i
Dynamiska egenskaper hos håldäcksbjälklag belastade med gångtrafik
DANIEL GUSTAFSSON
Examensarbete
Dynamiska egenskaper hos håldäcksbjälklag belastade med gångtrafik
DANIEL GUSTAFSSON
Examensarbete vid ABE-skolan
Handledare: Kent Arvidsson och Raid Karoumi Examinator: Raid Karoumi
TRITA-BKN. Master Thesis 346, 2012
Referat
Betongbjälklag har traditionellt inte haft några problem med vibrationer orsaka- de av gående personer. Dagens krav på långa spännvidder har dock tvingat fram slankare och mer högpresterande konstruktioner som kan få problem med störande svängningar.
I det här examensarbetet har vibrationsegenskaperna hos tvåsidigt upplagda håldäcksbjälklag undersökts. Det har gjorts genom simuleringar i finita elementpro- grammet Ansys. Vid simuleringarna har ett flertal element i bredd belastats med en lastfunktion som beaktar hur lasten från en gående person varierar. Lastens an- greppspunkt har flyttas för att simulera rörelsen hos den gående. Håldäckselement gjuts samman med en betongfog. I undersökningen simulerades fogen med tre olika modeller, två typer av leder och en stel länk så att håldäcken fungerade som ett massivt bjälklag. Jämförelse av fogarna visade att modellerna med leder gav relativt lika accelerationer och att modellen med stel länk gav marginellt lägre amplituder.
Simuleringarna visade att vibrationerna blir som störst när stegfrekvensen eller en multipel som ingår i lastfunktionen är lika med bjälklagets första egenfrekvens.
Vibrationernas amplitud är också stark beroende av vilken väg över bjälklaget som belastas. Stråk som går i elementens mittpunkt orsakar störst maximala accelera- tioner och stråk i samma riktning som elementens spännvidd något lägre. Maximum Transient Vibration värdet (MTVV) blir dock lägre för gångstråket i mittpunkterna än de korsande stråken. Belastas bjälklaget utmed ett upplag blir accelerationerna minst.
I studien simulerades olika antal håldäckselement i bredd för att undersöka hur accelerationerna påverkades av ökat antal element. Beräkningarna visar att accelerationerna i det exciterade elementet minskar linjärt då antalet element ökar.
Den visar också att antalet medverkande element är påtagligt fler i ett dynamiskt lastfall än i ett statisk lastfall. Detta gör de regler som finns för lastspridning vid statisk belastning, alltför konservativa vid dynamisk belastning. Även effekten av pågjutning på håldäckselement har studerats.
Abstract
Dynamic properties of hollow core slabs excited by walking people
Concrete floors have traditionally had no problems with annoying vibrations. Ho- wever with the demand for larger spans the floors need to be made more slender with a higher degree of utilization and lower mass. Therefore new floors may have problems with vibration serviceability.
This thesis studies the vibration characteristics of hollow core slabs. The analysis was made in the finite element program Ansys. The hollow core slab was subjected to a varying force simulating one person walking across the slab. The point where the force was acting on the slab moved through the analysis to simulate the move- ment of a walking person. Hollow core elements are connected with concrete joints.
These joints where modeled in three different ways, two models with hinges and one solid model. The comparison showed that the accelerations caused by the walking person where roughly the same for the models with hinges. In the solid model the amplitudes where slightly smaller.
The calculations show that the largest vibration amplitudes always occur when the forcing frequency is the same as the eigenfrequency of the floor. Also the path of the walking person strongly affects the vibrations in the floor. A path in mid span of a slab will cause larger maximum amplitudes than a path parallel to the hollow core elements. The Maximum Transient Vibration Value (MTVV) will however be larger for paths parallel to one element. Walking along an supported edge creates much lower amplitudes.
This study also shows that increasing the number of hollow core elements alongside of each other decrease the vibration amplitudes linearly with increasing number of elements. The number of contributing elements is also significantly more in the dy- namic load case than in the static load case. Therefore load distribution rules from statics directly used in dynamics will be over conservative.
Förord
Detta examensarbete är skrivet inom ämnet brobyggnad vid institutionen för bygg- vetenskap på Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm. Arbetet motsvarar 30 hög- skolepoäng och är det avslutande momentet på civilingenjörsprogrammet i Sam- hällsbyggnad. Arbetet har utförts på WSP Sverige AB där Kent Arvidsson, teknisk doktor, varit handledare och upprättat programmet till examensarbetet. Examina- tor och handledare på KTH var Raid Karoumi, professor vid avdelningen för bro- och stålbyggnad.
Stockholm, Februari 2012
Daniel Gustafsson
Innehåll
1 Inledning 1
1.1 Bakgrund . . . 1
1.2 Syfte . . . 1
1.3 Avgränsning . . . 2
1.4 Metod . . . 2
1.5 Disposition . . . 2
2 Introduktion till strukturdynamik 3 2.1 Egensvängning och resonans . . . 4
2.2 Dämpning . . . 5
3 Existerande gränsvärden 7 3.1 Normkrav och standarder . . . 7
3.1.1 Eurokoder med nationella anpassningsdokument . . . 7
3.1.2 Boverkets Konstruktionsregler . . . 8
3.1.3 Bro 2004 . . . 9
3.1.4 BV Bro . . . 9
3.1.5 National Building Code of Canada . . . 9
3.1.6 Design Guide – Floor Vibrations Due to Human Activity . . 10
3.1.7 ISO 2631-1 . . . 12
3.1.8 ISO 2631-2 . . . 13
3.1.9 ISO 10137 . . . 15
3.2 Annan litteratur . . . 17
3.2.1 Svingninger av Betongkonstruktioner . . . 17
3.2.2 Vibration problems in structures . . . 17
4 Modellering i Ansys 21 4.1 Tröghetsmoment . . . 21
4.2 Elasticitetsmodul . . . 21
4.3 Tvärkontraktion . . . 22
4.4 Dämpning . . . 22
4.5 Förspänning . . . 22
4.6 Håldäck . . . 22
4.7 Ekvivalenta materialegenskaper . . . 23
4.8 Last från gående . . . 24
4.9 Randvillkor . . . 25
4.10 Konvergens . . . 27
5 Resultat 29 5.1 Lastens frekvensinnehåll . . . 29
5.2 Utvärderingsmetoder . . . 30
5.3 Verifiering av fogens modell . . . 31
5.4 Lastspridning . . . 33
5.5 Inverkan av pågjutning . . . 35
5.6 Placering av gångstråk . . . 37
5.7 Andra kriterier . . . 37
5.8 Utnyttjandegrad . . . 39
6 Diskussion och förslag på fortsatta studier 41 6.1 Diskussion och slutsatser . . . 41
6.2 Förslag på fortsatta studier . . . 42
Litteraturförteckning 43
Bilagor 45
A Tabeller 47
B Figurer 51
Kapitel 1
Inledning
1.1 Bakgrund
Betongbjälklag har historiskt sett inte haft några problem med störande vibrationer.
Detta beror på att betongbjälklag traditionellt haft en mycket stor egenvikt jämfört med de dynamiska lasterna. Bjälklag har dock blivit slankare än tidigare. Mycket tack vare nya byggtekniker, exempelvis förspänning och starkare betong, men också därför att beräkningarna blivit mer exakta. Dagens krav på öppna planlösningar med få om några avdelande väggar ställer också krav på längre spännvidder än ti- digare. Övergången till digital lagring då inga tunga dokumentskåp behövs minskar också den statiska massan på bjälklagen. Nya konstruktioner kan därför få problem med vibrationer som är störande för människor som vistas i byggnaderna.
De vibrationer som uppstår kan orsakas av människor eller maskiner i byggnaden eller av aktiviteter utanför byggnaden. Olika aktiviteter orsakar olika stor respons beroende på amplituden och frekvensen hos störningen. Vibrationerna från männi- skor som går, springer, dansar och ser konserter kommer därför påverka strukturen olika mycket.
Ett problem är att det i dag saknas vedertagna rutiner för hur betongbjälklag ska dimensioneras med hänseende till vibrationer. Normer i olika länder ger lite vägledning om vilka krav som bör ställas på bjälklagen. Kriterier för broar med gångtrafik finns däremot angivet i många normer.
I Sverige används i stor utsträckning prefabricerade betongelement för att kon- struera bjälklag. En av de mest frekvent använda typerna är förspända håldäck.
Betongelementen kan ha långa spännvidder och samtidigt låg massa vilket gör att brukarkrav på vibrationer kan bli den dimensionerande faktorn. Om konstruktören inte beaktar detta kan bjälklaget få problem med störande svängningar.
1.2 Syfte
I dagsläget saknas tydliga gränsvärden för vilka svängningar som kan tillåtas i bjälk- lag. Syftet med detta arbete är därför att sammanfatta de normkrav, rekommen-
KAPITEL 1. INLEDNING
dationer och praxis som finns inom området vibrationer i bjälklag. Även tidigare forskning inom området kommer att undersökas. Ur detta ska förslag till gränsvär- den ges.
Med bakgrund i det som framkommer i litteraturstudien kommer dynamiska beräkningar att utföras på några av de mest frekvent använda bjälklagskonstruk- tionerna. Några olika metoder finns framtagna och dessa kommer att jämföras med varandra och med en finita elementberäkning. Med hjälp av beräkningarna ska rikt- linjer för hur bjälklag dimensioneras mot svängningar föreslås.
1.3 Avgränsning
Arbetet kommer att begränsas till att undersöka vibrationer i bjälklag orsakade av olika mänskliga aktiviteter. Gränsvärdena är dock applicerbara även på andra typer av störningar. Dessutom kommer endast bjälklag av betong att behandlas och framförallt prefabricerade håldäck.
1.4 Metod
För att ta fram gränsvärden att använda i beräkningarna och som rekommendation görs en litteraturstudie. I den sammanfattas och utvärderas de normer, rapporter och handböcker som behandlar området. De handberäkningsmetoder som finns i handböcker och standarder kommer att jämföras med en finita elementberäkning.
1.5 Disposition
Arbetet delas in i följande kapitel:
• Kapitel 2 ger en kort introduktion till strukturmekaniken.
• Kapitel 3 sammanfattar normkrav och rekommendationer samt tidigare forsk- ning och utgivet material.
• Kapitel 4 förklarar grunderna och antaganden till FE-modellen.
• Kapitel 5 redovisar beräkningarnas resultat.
• Kapitel 6 innehåller diskussion och slutsatser från arbetet.
Kapitel 2
Introduktion till strukturdynamik
Det enklaste sättet att beskriva en rörelse inom strukturdynamiken är genom ett system med en rörelsemöjlighet, så kallad frihetsgrad (SDOF = Singel degree of freedom). Vagnen i figur 2.1 har en frihetsgrad. Systemet består av en massa, m, som påverkas av en tidsberoende kraft p(t). På systemet verkar också en kraft ku, där likt en fjäder k är systemets styvhet och u är förskjutningen. En kraft, c ˙u där u är hastigheten och c dämpningen verkar bromsande på systemtet.˙
Figur 2.1. Krafter verkande på en svängande massa [23]
Genom att använda Newtons andra lag fås ekvation (2.1) som kan skrivas om till rörelseekvationen, (2.2).
p(t) − ku − c ˙u = F = m¨u (2.1)
m¨u + c ˙u + ku = p(t) (2.2)
Om vi har ett system med flera kopplade massor och därmed flera frihetsgrader (MDOF = Multiple defrees of freedom) får vi istället ett ekvationssytem, (2.3).
M¨u + C ˙u + Ku = p(t) (2.3)
KAPITEL 2. INTRODUKTION TILL STRUKTURDYNAMIK
Där M är massmatrisen, C är dämpmatrisen och K är styvhetsmatrisen. Dessa har lika många rader och kolumner som antalet frihetsgrader.
2.1 Egensvängning och resonans
När en struktur exciteras från sitt jämviktsläge och tillåts svänga fritt kommer den att svänga med en speciell frekvens, dess egenfrekvens. Egenfrekvensen beror på hur massa och styvhet är fördelad i strukturen. Alla system har oändligt många egenfrekvenser och till varje egenfrekvens hör en viss deformationsfigur så kallad mod. För dämpade system skiljer sig egenfrekvensen något jämfört med den för fri svängning. För system med låg dämpning såsom byggnader är dock egenfrekvenen ungefär lika med den för fri svängning. För ett system med en frihetsgrad kan egenfrekvensen, fn, och motsvarande vinkelfrekvens, ωn, beräknas enligt (2.4) och (2.5). För att hitta egenfrekvenserna till ett system med fler än en frihetsgrad måste ett egenvärdesproblem lösas.
ωd= q
1 − ζ2· s
k
m (2.4)
fn= ωn
2π (2.5)
När ett struktur exciteras med en last vars frekvens ligger nära egenfrekvensen kommer förskjutningar, hastigheter och accelerationer att öka betydligt i jämförel- se med när frekvenserna är skilda. Fenomenet kallas resonans. I figur 2.2 visas den dynamiska förstoringsfaktorn för accelerationer, Ra, som funktion av olika förhål- landen mellan påtvingande frekvens, f , och egenfrekvens, fn. Vi ser hur accelera- tionerna ökar då f → fn och att dämpningen har stor betydelse för hur kraftig förstoringen blir. I allmänhet är det några av de första egenfrekvenserna som ligger nära lastens frekvens och därför är intressanta i analys av byggnader. Dämpningen påverkar hur stor toppen på förstoringsfaktorn är. Har strukturen en dämpning som är större än 1/√
2 försvinner toppen helt [23]. För byggnader som har en mycket lägre dämpning kommer dock förstoringsfaktorn och därmed accelerationerna att öka kraftigt kring egenfrekvenserna.
För enkla strukturer kan egenfrekvensen beräknas analytiskt. För en fritt upp- lagd balk kan egenfrekvenserna beräknas enligt ekvation (2.6).
fn= π2n 2π ·
s EI
mL4 (2.6)
En fritt upplagd balk har egenfrekvens f1, f2 och f3 där πn= π, 2π, 3π. För fast inspända balkar, konsoler, etcetera kan egenfrekvenserna beräknas på motsvarande sätt. I (2.6) betecknar E och I elasticitetsmodul respektive tröghetsmoment, m balkens massa per meter och L balkens längd [16].
2.2. DÄMPNING
0 0.5 1 1.5 2
0 5 10 15 20 25
f / f
n
R a
δ = 2 % δ = 5 % δ = 10 %
Figur 2.2. Dynamisk förstoringsfaktor för ett enfrihetsgradssystem vid olika kvoter mellan påtvingad frekvens och egenfrekvens.
2.2 Dämpning
I alla system finns det en viss dämpning som gör att amplituden hos svängningen avtar. Detta sker genom att energin försvinner ut ur systemet. I rörelseekvationen modelleras detta som viskös dämpning, c, som är proportionell mot hastigheten.
Dämpningen redovisas dock oftast som en dämpkvot, ζ, som är ett förhållande mellan dämpningen, c, och den kritiska dämpningen ccr.
ζ = c
ccr = c 2√
km (2.7)
I verkliga byggnader försvinner energin ur systemet genom flera olika processer som exempelvis friktion, öppning och stängning av sprickor i betongen och genom att energi försvinner ut i andra delar av byggnaden. Dämpningen från dessa me- kanismer är svåra att bestämma och därför används värden valda genom erfaren- heter från existerande byggnader. Ett systems dämpning benämns överdämpat om c > ccr, kritiskt dämpat om c = ccr och underdämpat om c < ccr. Ett underdämpat system kräver fler än en svängning för att stanna i sitt ursprungliga läge om det utsätts för en störning. Kritisk dämpning är den minsta dämpning som krävs för att ett system ska återgå till sitt ursprungliga läge utan att svänga över det. Bygg- nader brukar ha en dämpningskvot mellan strax över 0 % och 8 % och är därmed underdämpade [23].
I ett system med flera frihetsgrader måste en dämpningsmatris, C, beräknas.
Detta kan göras på flera olika sätt. I ett system där alla delar har liknande dämp- ningsmekanismer som i exempelvis ett hus kan en klassisk dämpningsmatris använ- das. Ska istället både byggnad och dess grundläggning modelleras bör man använda
KAPITEL 2. INTRODUKTION TILL STRUKTURDYNAMIK
en mer avancerad modell eftersom dämpningen skiljer sig åt mellan byggnad och jord. Ett sätt att bygga en klassisk dämpningsmatris är med Rayleighdämpning.
Rayleighdämpningen förutsätter att dämpningen i strukturen är proportionell mot massmatrisen och styvhetsmatrisen med en faktor, α respektive β [23].
C = αM + βK (2.8)
Med Rayleighdämpning varierar dämpningen med frekvensen enligt figur 2.3. I de första moderna kommer α dämpningen att vara dominerande för att sedan avta snabbt. I de högre moderna blir β delen störst. För att beräkna faktorerna ansätts två dämpningar, ζ1 och ζ2, i två kända moder, f1 och f2, varefter α och β kan lösas ut [23].
α = ζ14π f1f2
f1+ f2 (2.9)
β = ζ2 π
1
f1+ f2 (2.10)
f [Hz]
Dämpning [%]
Total dämpning α dämpning β dämpning
Figur 2.3. Rayleigh dämpning
Kapitel 3
Existerande gränsvärden
3.1 Normkrav och standarder
Det är svårt att fastställa generella krav på vibrationer i bjälklag eftersom olika människor uppfattar samma vibration olika störande. Känsligheten varierar också med frekvensen hos störningen [17]. Därför saknas det i dagens normer tydliga gränsvärden för vilka vibrationer som kan tillåtas. Normerna hänvisar istället ofta till aktuell litteratur och informella bilagor.
I litteraturen ställs vibrationskrav upp på olika sätt. Kravet kan vara ställt i form av en acceleration eller en hastighet som inte får överskridas. Acceleration hos svängningen varierar med tiden och topparna är vanligtvis korta. Det vanligaste är därför att gränsen ställs upp antingen som ett maximal- eller som ett effektivvärde, exempelvis som ett root mean square (r.m.s.) värde enligt (3.1).
arms= s
1
∆t Z ∆t
0
a2(t)dt (3.1)
Nedan presenteras några i sammanhanget intressanta normer och litteratur inom området svängningar i bjälklag.
3.1.1 Eurokoder med nationella anpassningsdokument
Sedan 2 maj 2011 ersätter Eurokoderna helt de i Sverige tidigare gällande normerna Boverkets Konstruktionsregler och Vägverkets Bro 2004 [2] [20]. Eurokoderna är ett för Europa gemensamt dimensioneringsregelverk. Eurokoderna består av tio koder benämnda 1990 till 1999. Koderna kan bestå av flera delar till vilka det kan höra normativa och informativa bilagor. Till varje del hör också ett nationellt anpass- ningsdokument, NAD som specificerar ändringar och parametrar som är specifika för varje land.
I Eurokoderna återfinns regler för svängningar och vibrationer dels i EN 1990 Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk [7], dels i EN 1991 Grundläggande dimensioneringsregler och laster [8] samt dess bilagor. I EN 1992 [9] som behandlar
KAPITEL 3. EXISTERANDE GRÄNSVÄRDEN
konstruktioner i betong finns dock inget skrivet om vibrationer och svängningar.
I EN 1990 definieras att kraven på bärverkets funktion vid normal användning klassificeras som bruksgränstillstånd och att dessa krav omfattar människors väl- befinnande. Som anmärkning till detta står att “Vanligtvis bestäms krav gällande brukbarhet för varje enskilt byggprojekt”. Vidare anges att:
“Verifiering av bruksgränstillstånd bör baseras på kriterier som berör följande aspekter . . .
b) vibrationer och svängningar; som orsakar obehag för människor eller som begränsar bärverkets funktion.”
I den normativa bilaga A1 till EN 1990 finns några riktlinjer angående sväng- ningar och vibrationer. För att en byggnad ska ha ett acceptabelt uppträdande men hänsyn till svängningar i bruksgränstillstånd ska brukarens komfort, bärver- kets funktion (sprickor och skador på ytskikt) samt känslighet hos innehållet i bygg- nadens beaktas. Det bör i varje byggprojekt övervägas om även andra faktorer har betydelse. Bruksgränstillståndet med avseende på svängningar kan verifieras genom att byggnadens egenfrekvens hålls över lämpliga värden vilka är beroende på vibra- tionskällan och funktionen hos byggnaden. Om egensvängningarna inte kan hållas över detta lämpliga värde bör en förfinad analys av byggnadens reaktion utföras [7].
För ytterligare vägledning hänvisas till ISO 10137 som behandlas nedan.
Till EN 1990 hör också bilaga A2 i vilken rekommendationer finns angivna för broar med gång- och cykeltrafik. Enligt TK BRO måste dessa krav vara uppfyll- da vid dimensionering av broar [20]. I bilagan rekommenderas att den maximala vertikala accelerationen, amax, ska uppfylla kriteriet (3.2). Där f1 är brons första egenfrekvens.
amax ≤ min
(0, 5pf1 m/s2
0, 7 m/s2 (3.2)
I EN 1991:1 ges samma riktlinjer som i EN 1990 men till prEN 1991:1-1994 hör också den informativa bilagan Annex C i vilken det ges förslag på hur man specificerar tillåtna svängningar. Bilagan föreslår att man ställer kraven i form av accelerationer antingen som ett effektivvärde (r.m.s.) eller som ett maximivärde under en specificerad exponeringstid. Krav på maximala accelerationer kan härledas från obehag hos människor och krav från känsliga maskiner. Krav baserade på människors obehag bör ges i form av accepterade nivåer enligt den internationella standarden ISO 2631-1. Mer information om standarden följer nedan. Annex C finns inte med i senaste utgåvan av EN 1991:1 [8].
3.1.2 Boverkets Konstruktionsregler
I de i Sverige tidigare gällande reglerna, Boverkets Konstruktionsregler [1], står följande under 2:122 Svängningar: “Byggnadsdelar skall utformas så att uppkomna svängningar inte upplevs som besvärande”. Detta är skrivet utan vidare beskrivning
3.1. NORMKRAV OCH STANDARDER
hur detta förhindras. Vidare finns det i kapitlet om dimensionering av träkonstruk- tioner under 5:323 Svikt hänvisning till Boverkets handbok Svängningar, deforma- tionspåverkan och olyckslast. I handboken finns riktlinjerna för dimensionering mot svängning. Riktlinjerna är framtagna för träbjälklag och gäller endast för bjälklag kortare än 4 m och med en egenfrekvens över 8 Hz. I BKR ges för träbjälklag en förenklad dimensioneringsmetod. Den säger att ett bjälklag kan anses godkänt om deformationen hos en enskild bjälke som belastas med en punktlast om 1 kN inte överstiger 1,5 mm. Enligt handboken är kriteriet dock trubbigt och sällan avgörande för betongbjälklag [19].
3.1.3 Bro 2004
I Vägverkets Bro 2004 ges riktlinjer för broar med gång- och cykeltrafik. Antingen ska sådana broar ha en egenfrekvens högre än 3,5 Hz eller så ska den vertikala r.m.s.
accelerationen vara mindre än 0,5 m/s2. Vid beräkning av de vertikala acceleratio- nerna kan osprucken betong förutsättas. Dessutom får tillkommande styvhet från andra permanenta delar av konstruktionen exempelvis räcken, etc. räknas med. Den dynamiska analysen kan göras enligt handböcker eller med datorprogram.
I bilagan 1-1 ges även en förenklad metod som kan användas för att beräkna den vertikala accelerationen. Vid beräkningen antas en harmonisk punktlast motsvarade lasten från en gående person verka i den punkt på bron där den vertikala acceleration blir som störst. Lasten varierar som en sinusfunktion med samma frekvens som brons första egenfrekvens. Eftersom lastens frekvens är densamma som brons uppstår resonans. Den största resonanseffekten anses endast kunna uppkomma för frekvenser under 2,5 Hz. Därför reduceras lasten så att den motsvarar lastens överton för broar med egenfrekvens över 2,5 Hz. Den beräknade accelerationen jämförs sedan med kriteriet i normen [3].
3.1.4 BV Bro
BV Bro är ett av Banverket utgivet dokument med ändringar och tillägg till Bro 2004. Vid dimensionering av järnvägsbroar med tåghastigheter över 200 km/h ska dynamiska beräkningar göras enligt bilaga BV 2-2.3 Vertikala deformationer. En- ligt bilagan ska järnvägsbroar dimensioneras så att passagerarna inte utsätts för vertikala accelerationer som är större än 1.0 m/s2 [5].
3.1.5 National Building Code of Canada
Till de Kanadensiska byggnormerna ges förklarande kommentarer ut till de olika delarna. I kommentarerna till kapitel 4 ges bakgrund till och vägledning om hur en dynamisk analys av vibrationsproblem utförs. I normerna ställs det krav på att denna dynamiska analys ska göras om bjälklagets egenfrekvens är lägre än 6 Hz.
Detta krav har tillkommit efter att det uppkommit problem hos bjälklag med stora spännvidder [15].
KAPITEL 3. EXISTERANDE GRÄNSVÄRDEN
Acceleration [% g] Acceleration [m/s2]
Kontor och bostäder 0,4 - 0,7 0,04 - 0,07
Restaurang och tyngdlyftning 1,5 - 2,5 0,15 - 0,25
Rytmisk aktivitet 4,0 - 7,0 0,39 - 0,69
Tabell 3.1. Rekommenderade gränsvärden för maximala accelerationer orsakade av rytmisk aktivitet [15]
I tabell 3.1 visas de rekommenderade gränsvärden för maximala accelerationer som ges i vägledningen. Den maximala accelerationen, amax, hos en struktur kan beräknas som:
amax
g = 1, 3αwp/wt s
f
n
f
2
− 1
+2βffn2
(3.3)
där α är en faktor som beror på aktiviteten som orsakar svängningen, wp är tyngden av de personer som deltar i aktiviteten och wt är den totala tyngden hos den medsvängande strukturen och de personer som befinner sig på bjälklaget. För en fritt upplagd platta är wtsumman av lasterna och bjälklagets tyngd. Strukturens egenfrekvenser benämns fn där n = 1, 2, 3 . . . och lasten har frekvensen f . Värden för f , wp och α återfinns i tabell A.1. Dämpningen hos strukturen, β, går inte att beräkna analytiskt men är enligt vägledningen cirka 4 % för ett betongbjälklag med många personer och cirka 2 % för ett med få personer. Om aktiviteten har harmoniska övertoner som inte kan försummas adderas bidragen från dessa [15]
enligt (3.4).
amax=Xa1,5i
1
1,5 (3.4)
Är lastens frekvens eller en multipel av denna nära bjälklagets egenfrekvens upp- står resonans och accelerationerna kan bli väldigt höga, ofta högre än gränsvärdet.
För bjälklag med rytmisk aktivitet är det därför att rekommendera att bjälklaget väljs så att egenfrekvensen uppfyller kravet nedan [15].
fn f ≥
s
1 + K ao/g
αwp wt
(3.5) där K är en faktor som är 1,3 för alla aktiviteter, utom hoppande, för vilket K är 2,0 och ao är maximal tillåten acceleration. Lastfaktorerna, α och wp väljs så att lastens frekvens hamnar så nära bjälklagets egenfrekvens som möjligt.
3.1.6 Design Guide – Floor Vibrations Due to Human Activity
American Institute of Steel Construction har tillsammans med Canadian Institute of Steel Construction publicerat Design Guide – Floor Vibrations Due to Human
3.1. NORMKRAV OCH STANDARDER
Activity. Metoderna och gränsvärdena liknar till stor del de som finns uppställda i kommentarerna till National Building Code of Canada. Gränsvärdena bygger på baskurvor ur ISO 2631-2 som multipliceras med faktorer beroende på strukturens användning, se figur 3.1. För kontor och bostäder är faktorn 10, för köpcentra är faktorn 30 och för rytmisk aktivitet är faktorn 100. Beroende på störningens frekvens och varaktighet kan värdena variera mellan 0,8 till 1,5 gånger dessa rekommenderade värden [16].
Figur 3.1. Gränsvärden för maximal acceleration [16]
I guiden föreslås lastfunktionen (3.6) som beskriver hur kraften från en gående person varierar med tiden. Människans steg består av flera olika frekvenser men då frekvensen närmast bjälklagets egenfrekvens kommer att påverka bjälklaget mer än de övriga frekvenserna kan beräkningen förenklas genom att låta endast denna ingå i beräkningen [16].
Fi= P aicos (2πfit) (3.6)
Där P är tyngden hos den gående personen (0,7 kN) och αi är en dynamisk faktor som beror på vilken frekvens, i, som används. Faktorn beskriver hur stor amplitud den aktuella frekvensen har. Frekvensen hos stegen benämns fi och tiden, t. Värden för αi och φi hos olika frekvenser ges i tabell 3.2. Koefficienten αi beror på frekvensen och kan approximeras enligt (3.7) [16].
KAPITEL 3. EXISTERANDE GRÄNSVÄRDEN
α(f ) = 0, 83 · 10−0,35f (3.7)
För bjälklag med första egenfrekvensen över 8 Hz kan impulsaccelerationen från stegen bli större än accelerationen på grund av resonans med bjälklagets egenfre- kvens. Metoden tar hänsyn till detta genom att gränsvärdet för acceleration inte ökar med frekvensen efter 8 Hz så som det skulle gjort om baskurvan i figur 3.1 använts.
Frekvens mutlipel, i 1 2 3 4
αi 0,5 0,2 0,1 0,05
φi 0 π/2 π/2 π/2
fi[Hz] 1,6-2,2 3,2-4,4 4,8-6,6 6,4-8,8
Tabell 3.2. Stegfunktion enligt ASCI
Responsen till en harmonisk exitation kan ställas upp enligt (3.8). Där R är en reduktionsfaktor som beaktar att den som exiterar och den som störs inte kan vara i punkten med maximal förskjutning samtidigt [16].
a
g = RαiP βwt
cos(2πifstept) (3.8)
Efter insättning av (3.7) i (3.8) och förenkling kan ett kriterie ställas upp:
amax
g = Po· 10−0,35fn βwt ≤ a0
g (3.9)
där P0 är 0,29 kN för bjälklag, resterande beteckningar enligt tidigare. Gräns- värdet bör sättas till 0,5 % för kontor och bostäder och till 1,5 % för köpcentrum.
Kriteriet för andra aktiviteter som konsert, dans och aerobics är detsamma som definieras i National Building Code of Canada, se (3.3) - (3.5). Värden för faktor K föreslås dock som 1,3 för dans, 1,7 för konsert och 2,0 för aerobics. Gränsvärdet föreslås till 5 % g som i figur 3.1 [16].
3.1.7 ISO 2631-1
Den internationella standarden 2631-1 har titeln Vibration och stöt - Vägledning för bedömning av helkroppsvibrationers inverkan på människan - De1: Allmänna krav. Den behandlar helkroppsvibrationer generellt. Standarden är applicerbar på vibrationer av alla amplituder oavsett om de är enbart störande, orsakar åksjuka eller är hälsofarliga [10]. De svängningar i bjälklag som undersöks här är framförallt problematiska eftersom de kan vara störande.
I den gällande upplagan ISO 2631-1:1997 fastslås att vibrationer ska mätas i form av accelerationer. Det står dock inga explicita krav på hur stora vibrationer som kan tillåtas för att undvika störningar. Eftersom människors upplevelse av vibrationer är mycket komplex och varierar från person till person är gränsvärden svåra att
3.1. NORMKRAV OCH STANDARDER
fastställa. I standarden fokuseras i stället på hur vibrationer mäts och utvärderas.
Då människor är olika känsliga i olika riktningar, beroende på kroppsställning och orientering och för olika frekvenser måste dessa vägas samman för att bilda ett jämförelsetal. Vibrationens frekvensinnehåll beaktas genom att accelerationen delas upp i tersband. Varje tersband multipliceras sedan med en vägningsfaktor som beror på människors vibrationskänslighet i aktuellt område. När accelerationerna vägts summeras de till ett sammansatt värde. Hur detta går till beskrivs detaljerat i standarden. Till standarden finns också fyra bilagor som handlar om hur vägningen matematiskt går till och hur vibrationer kan påverka hälsa, komfort och åksjuka [10]. I bilaga C angående komfort står:
“With respect to comfort and/or discomfort reactions to vibration in residential and commercial buildings, ISO 2631-2 should be consulted.
Experience in many countries has shown that occupants of residential buildings are likely to complain if the vibration magnitudes are only slightly above the perception threshold.”
Vidare skrivs att 50 % av alla alerta och friska människor har en känseltröskel för vibrationer så att de precis märker amplituden 0, 015 m/s2efter att de frekvensvägts enligt standarden [10].
I standarden definieras också en metod för att bestämma accelerationens r.m.s- värde för svängningar med transient karaktär. I stället för att integrera över hela mätperioden samtidigt utvärderas samtliga intervall, ∆t, om 1 s inom perioden.
Det maximala värdet på aw under mätperioden kallas maximum transient vibration value, MTVV. Detta värde jämförs sedan med uppställda kriterier [10].
aw(t0) = s 1
∆t
Z t0+∆t t0
aw(t)2dt (3.10)
M T V V = max (aw(t0)) (3.11)
Beteckningen aw innebär att accelerationerna är frekvensvägda enligt ISO 2631.
3.1.8 ISO 2631-2
Den andra delen av standarden heter Vibration och stöt - Vägledning för bedömning av helkroppsvibrationers inverkan på människan - Del 2: Vibrationer i byggnader.
Denna del beskriver hur vibrationer i byggnader ska mätas och bearbetas för att vara jämförbara. Standarden är avsedd för att utvärdera svängningar i byggnader som kan vara störande och orsaka obehag. Till skillnad från utvärderingar enligt den första generella delen behöver inte kroppsställning beaktas vid vibrationsmätning i byggnader. Accelerationerna mäts i tre koordinataxlar i förhållande till byggnaden.
Accelerationerna i den riktningen med störst amplituder frekvensvägs sedan och jämförs med uppställda krav [12].
KAPITEL 3. EXISTERANDE GRÄNSVÄRDEN
Figur 3.2. Baskura för vertikala accelerationer [11]
I den senaste versionen ISO 2631-2:2003 finns inga gränsvärden för vibrationer angivna eftersom de data som finns har för stor spridning för att presenteras i en internationell standard [12]. I den tidigare versionen ISO-2:1989 finns dock kriterier uppställda. Trots att standarden dragits in är dessa kriterier ändå intressanta då gränser för olika frekvenser sammanställs i baskurvor, se figur 3.2. För att jämföra uppmätta accelerationer flyttas baskurvan olika mycket uppåt beroende på vilken typ av vibration och aktivitet som pågår i byggnaden. För accelerationer under baskurvan ska vibrationer i allmänhet inte skapa klagomål eller kommentarer. I standarden påpekas också att det beroende på sysselsättning och förväntningar även för värden över baskurvan inte behöver framkomma några klagomål. Temporära störningar från exempelvis byggnadsarbeten är ofta mer accepterade [11].
Gränsvärdena för vibrationer varierar beroende på typen av byggnad och vibra- tionernas karaktär. Vibrationernas karaktär är antingen transienta (kort impuls), intermittenta (förekommer då och då) eller kontinuerliga. För varje typ ska bas- kurvan multipliceras med en specifik faktor. De uppmätta värdena jämförs sedan i tersband med värdena på baskurvan. Om alla värden hamnar under baskurvan bör inga störningar uppstå. Accelerationerna kan också först frekvensvägas och sedan jämföras med det mest känsliga område i baskurvan [11]. Vägningsfaktor återfinns i tabell A.6. För att transformera accelerationerna till de olika tersbanden används ett så kallat Butterworth filter, se [10].
3.1. NORMKRAV OCH STANDARDER
3.1.9 ISO 10137
Standarden ISO 10137 har namnet Grundläggande dimensioneringsregler för bär- verk, Byggnaders samt gång- och cykelbroars brukbarhet med hänsyn till svängning- ar och vibrationer. Standarden beskriver principer för att förutsäga svängningar i byggnader samt principerna för hur vibrationer i befintliga byggnader bedöms. I ISO 10137 förutsätts att strukturen inte går till brott och att den reagerar linjärelastiskt [17].
Figur 3.3. Dämpning hos några vanliga typer av bjälklag [17]
För problem där lasten varierar i tiden men ej i rummet kan beräkningarna ofta förenklas till system av en frihetsgrad. När lasten däremot varierar både i tid och rum kan denna förenkling inte göras. Problemet måste då analyseras med ett system med flera frihetsgrader [17]. Man ska dock inte förenkla beräkningarna för långt då detta lätt leder till onödigt konservativa resultat [14]. Ett bjälklags dämpning kan i dagsläget inte beräknas endast utifrån de material den består av eftersom alla fysiska mekanismer som påverkar dämpningen inte är utredda. Dämpningen måste i stället väljas baserat på erfarenhet och tidigare mätningar [14]. Då dämpningen beror på bjälklagets material, kvalité och ålder, hur anslutningar är utformade och vad för övergolv, undertak och andra strukturella element som är fästa i bjälklaget är detta en svår bedömning. En ytterligare komplikation är att dämpningen varierar med amplitud hos svängningen. Tabellen 3.3 kommer från Annex B i ISO 10137 och ger förslag på dämpningsintervall för olika sorters bjälklag vid bruksgränsberäkningar [17].
Karaktären på den dynamiska lasten från mänsklig aktivitet varierar mycket beroende på typen av aktivitet. När flera personer gör samma aktivitet exempelvis gymnastik, dans eller ser på konsert kan lasten generaliseras till att verka som en utbredd last på bjälklaget. Även om personer rör på sig är de ofta väl utspridda
KAPITEL 3. EXISTERANDE GRÄNSVÄRDEN
över golvets yta och lasten kan då beskrivas som funktion av tiden. När människor går eller springer över ett bjälklag varierar dock lasten både med koordinat och tid.
I Annex A ges förslag på hur lasten modelleras och vilka kriterier som ska uppfyllas [17]. Enligt bilagan varierar lasten som
Fv(t) = Q 1 +
k
X
n=1
ansin(2πnf t + φn)
!
(3.12) där Q är den statiska lasten från deltagande personer, k är antalet övertoner av lastfunktionen som är intressanta, αn är en numerisk koefficient tillhörande den n:e övertonen, n är den aktuella övertonen, fn är lastens frekvens, t är tiden och φn är fasförskjutningen hos den n:e övertonen. För gång kan fasförskjutningen antas vara π/2 för alla överfrekvenser. Tabell A.4 och A.5 visar koefficienter för några vanliga rörelser [17].
När flera personer ska koordinera sina rörelser kommer alla inte att hålla exakt samma frekvens dessutom uppstår en viss fasförskjutning mellan olika personers frekvenser. Beroende på svårighetsgraden på aktiviteten kan därför den dynamiska lasten F (t) reduceras med en faktor C beroende på antalet personer, N.
F (t)N = F (T ) · C(N ) (3.13)
Personer som går och springer över ett bjälklag gör ofta detta okoordinerat. Då kan lasten reduceras enligt (3.14).
C(N ) =
√ N
N = N−0,5 (3.14)
För rytmiska aktiviteter med fler än 50 deltagande personer reduceras lastfunk- tionen enligt tabell 3.3. Vid rytmisk dans och gymnastik kan personer förväntas ha hög koordination. Vid sportevenemang är koordinationen medel och vid konserter låg. Vid aktiviteter med färre än 5 personer reduceras inte lastfunktionen och för aktiviteter med mellan 5 och 50 personer ska lastfunktionen interpoleras mellan full koordinering för 5 personer och värden givna i tabell 3.3.
Koordination 1:a egenfrekvensen 2:a egenfrekvensen 3:e egenfrekvensen
Hög 0,80 0,67 0,50
Mellan 0,67 0,50 0,40
Låg 0,50 0,40 0,30
Tabell 3.3. Reduktion när flera personer koordinerar sina rörelser
Vibrationskriterierna i Annex C av standarden bygger till mycket stor del på de baskurvor som presenterats i ISO 2361-2:1989. Några ändringar har skett bland de koefficienter som baskurvan multipliceras med. Det har gjorts finare uppdelning mellan olika typer av bjälklag. Exempelvis används faktorn 2 för landskapskontor och faktorn 4 vanliga kontor. Samtliga faktorer kan ses i tabell A.3.
3.2. ANNAN LITTERATUR
3.2 Annan litteratur
3.2.1 Svingninger av Betongkonstruktioner
Den norska publikationen Svingninger av Betongkonstruktioner ger bakgrunden till svängningsproblematik i bjälklag och gångbroar av håldäck och TT-kassetter. Till guiden hör ett beräkningsprogram med vilket konstruktören överslagsmässigt kan beräkna risken för störande svängningar i olika typer av bjälklag. I programmet antas att håldäck och TT-kassetter endast bär i en riktning och därför kan approx- imeras som balkar. Detta gör att elementen kan modelleras som enkla system med en frihetsgrad och därmed beräknas analytiskt [18].
Gränsvärdena bygger på baskurvan för vertikala accelerationer från ISO 2631- 2:1989. Kurvan multipliceras med en faktor beroende på vilken aktivitet som bjälk- laget dimensioneras för. För känsliga rum som operationssalar och kontrollrum an- vänds faktorn 5, för kontor och bostäder 10 och för köpcentrum och restauranger 30. Vid rytmisk aktivitet uppfattas inte vibrationer lika lätt och baskurvan mul- tipliceras då med 100 [18]. Dessa liknar till stor del de gränser som förespråkas i Design Guide – Floor Vibrations Due to Human Activity [16].
En vanlig tumregel vid dimensionering mot svängningar är att egenfrekvensen skall vara dubbelt så hög som lastens frekvens. Golv som dimensioneras för gång- trafik bör därför ha en egenfrekvens högre än 5 Hz, dans en egenfrekvens högre än 7 Hz och rytmisk aktivitet en egenfrekvens högre än 8 Hz [18].
3.2.2 Vibration problems in structures
I boken Vibration problems in structures behandlas golv med personer som går, dansar och sportar. Det ges förslag på lämpliga maximala accelerationsgränser för olika aktiviteter. Dessa bygger dels på hur små accelerationer människor kan upp- fatta i försök, se tabell 3.4. Men också på att dessa förändras beroende på aktivitet, ålder, position, störningens frekvens och amplitud, hur ofta personen utsätts, med mera. För kontor där vibrationer uppkommer från personer som går på bjälklaget anses att accelerationen kan uppgå till maximalt 0,5 % av tyngdaccelerationen, g, om störningen inträffar mellan 10 och 30 gånger per dag. För vissa bjälklag där arbetet kräver extra hög koncentration kan dock en lägre gräns nedåt 0,2 % g vara berättigad. För golv med sportaktiviteter eller dans är accelerationsgränsen 5 % g.
Vid konserter har dock 30 % g uppmätts utan att klagomål uppkommit. Om det finns sittande personer i närheten av dansgolvet bör gränsvärdet dock sänkas från 5 % till 2 % av g [21].
Författarna föreslår två enkla metoder för att säkerställa att vibrationskravet uppfylls. Den första, High tuning method, innebär att bjälklaget väljs så att egenfre- kvensen är högre än lastens andra överfrekvens. Bjälklag bör därför ha en egenfre- kvens över 5 Hz. Bjälklag med låg dämpning kan kräva att även den tredje överfre- kvensen hamnar under egenfrekvens som då bör vara över 7,5 Hz. Att dimensionera efter denna princip är enkel och effektiv men den är dock väl konservativ eftersom
KAPITEL 3. EXISTERANDE GRÄNSVÄRDEN
Gränsvärde för acceleration
m/s2 % g
Precis kännbar 0,034 0,35
Klart kännbar 0,100 1,02
Störande / Obehalig 0,550 5,60
Icke tolererbar 1,800 18,33
Tabell 3.4. Mänsklig uppfattning av vibrationer [21]
den inte explicit tar hänsyn till dämpning, exciterad massa och lastens karaktär [21]
[14]. Ett sätt att differentiera bedömningen är att ställa upp olika krav för olika ty- per av bjälklag och last. Bachmann et al. har ställt upp ett förslag på gränser som tar hänsyn till dessa varierande egenskaper [21]. Detta ger frekvenser enligt tabell 3.5.
Lägsta egenfrekvens, f1 [Hz]
Sport Dans
Slakarmerade betongkonstruktioner 7,5 6,5
Spännarmerade betongkonstruktioner 8,0 7,0
Kompositkonstruktioner (stål-betong) 8,5 7,5
Stålkonstruktioner 9,0 8,0
Tabell 3.5. Lägsta egenfrekvenser för High Tuning Method [21]
Man beskriver också en andra metod, Heel Impact Method, för att utvärdera vibrationer från gående. Metoden är framtagen av Allen, Rainer och Pernica [22]
och är speciellt utvecklad för kompositbjälklag men kan även användas för betong- bjälklag. Den begränsas till att endast gälla för bjälklag längre än 8 m och med en egenfrekvens lägre än 10 Hz. Metoden går ut på att man låter en person som väger 700 N ställa sig på tå och sedan plötsligt släppa ner hälarna mot golvet. Utvärde- ringen görs genom att den första egenfrekvensen, f1 och den effektiva massan, M , hos bjälklaget beräknas. Med dessa värden beräknas sedan den initiala acceleratio- nen, α0, på grund av en impuls, I, om 67 Ns. En fritt upplagd balks första böjmod har formen av en sinuskurva. För en sådan mod är den effektiva massan 67 % av den totala massan [21].
α0 = 0, 9 ·2πf1I
M (3.15)
Den beräknade accelerationen jämförs sedan med kriteriet i figur 3.4. Dämpning- en motsvarar den dämpning som uppkommer vid stora amplituder på ett färdigt golv och är generellt sett större än dämpningen vid små amplituder. Dämpningen i konstruktioner av förspänd betong kan för endast konstruktionen antas vara mel- lan 0,4 % och 0,7 %. På detta tillkommer dämpning från väggar, golvbeläggning, undertak och installationer upphängda i bjälklaget [21].
3.2. ANNAN LITTERATUR
Figur 3.4. Kriterie för “Heel Impact Method”
Metoden fungerar dock dåligt för slanka håldäck. För mer avancerade beräkning- ar av vibrationer från gång och rytmiska aktiviteter föreslås istället en lastfunktion.
Denna är precis som i (3.12) beskriven som en Fourierserie. Koefficienterna kan ses i tabell A.2.
Kapitel 4
Modellering i Ansys
Utöver de analytiska metoder som presenterats ovan utfördes beräkningar med finita elementprogrammet Ansys 13.0. En modell med flera håldäckselement byggdes och belastades med en gångfunktion. Genom att bygga en parametrisk modell kunde indata i modellen enkelt varieras. Resultaten från körningarna analyserades sedan med MATLAB. I detta kapitel presenteras indata och antaganden i modellen.
4.1 Tröghetsmoment
Tröghetsmomentet för konstruktioner i betong påverkas av vilket stadium som be- tongen är i, det vill säga om den är sprucken eller osprucken. Hos förspända kon- struktioner som håldäck och TT-kassetter kan man anta att betongen är osprucken och att tröghetsmomenten därför inte behöver reduceras. För sprucken betong måste tvärsnittet reduceras på grund av sprickorna.
4.2 Elasticitetsmodul
Elasticitetsmodulen påverkas av vilken hastighet belastningen ändras med. Enligt Boverket ska den karakteristiska elasticitetsmodulen användas vid måttligt hastig pålastning. När pålastningen sker snabbt som exempelvis vid svängningar orsakade av gående personer är dock elasticitetsmodulen större och den bör därför ökas med 20 % [1]. Det saknas liknande resonemang i Eurokoderna. En ökning med 20 % enligt Boverket gav bra överensstämmelse i en dansk undersökning av håldäck där både mätningar och beräkningar utfördes [31].
Håldäckselement gjuts oftast med betong i hållfasthetsklassen C50/60. För så- dan betong är den karakteristiska elasticitetsmodulen 37 MPa. Elasticitetsmodulen för dynamiska beräkningar blir därför 44,4 MPa.
KAPITEL 4. MODELLERING I ANSYS
4.3 Tvärkontraktion
Tvärkontraktionstalet får enligt Eurocode och BKR försummas för sprucken betong och sättas till 0,2 för osprucken betong [1] [9]. Eftersom beräkningarna är i bruks- gränstillstånd och på grund av förspänning antas betongen vara osprucken. Därför används tvärkontraktionstalet, ν = 0, 2.
4.4 Dämpning
I modellen användes Rayleigh dämpning med dämpningen ansatt i de två första böjmoderna. I två andra studier har dämpningen hos tre sammangjutna håldäck mätts till 1,79 % respektive 1,15 % i första böjmoden och 0,84 % respektive 0,4
% i andra böjmoden [24] [25]. ISO 10137 anger den typiska dämpningen hos för- spända konstruktioner till mellan 0,8 % och 3,0 %. I beräkningarna antogs därför dämpningen till 1,5 % i den första böjmoden och 0,75 % i den andra böjmoden.
4.5 Förspänning
Håldäckselement är förspända för att minska deformationerna och sprickvidderna. I modellen tas inte förspänningseffekten med eftersom den endast påverkar bjälklagets deformation och inte de accelerationer som uppkommer. På grund av avsaknaden av förspänning i modellen kommer deformationerna vara större än i verkligheten.
Att förspänningen inte påverkar de dynamiska effekterna har visats av bland annat Pavic och Reynolds [13].
4.6 Håldäck
Håldäck är alltid 1,2 m breda och gjuts i olika höjder. De vanligaste höjderna är 200 mm, 270 mm, 320 mm och 380 mm men även andra höjder förekommer [27]. I figur 4.1 visas sektionen hos ett 200 mm högt håldäck. Övriga sektioner återfinns i bilaga, se figur B.1, B.2 och B.3. Respektive tvärsnitt har egenskaper enligt tabell 4.1. Håldäcken är förspända och har därför en viss överhöjning som är störst i mitten av bjälklagets spann. På grund av överhöjningen måste ett avjämningslager gjutas på elementen för att få ett jämnt bjälklag.
Namn Höjd [mm] Tröghetsmoment [m4] Massa [kg/m]
HDF 120/20 200 0,000590 286
HDF 120/27 265 0,001440 421
HDF 120/32 320 0,002480 469
HDF 120/38 380 0,004000 522
Tabell 4.1. Egenskaper hos håldäck
4.7. EKVIVALENTA MATERIALEGENSKAPER
Figur 4.1. Sektion av håldäck (HDF 20)
4.7 Ekvivalenta materialegenskaper
I finita elementmodellen modellerades bjälklaget med fyrnodiga isotropa skalele- ment vilket innebär att bjälklagets tvärsnitt modelleras som homogent utan de håligheter som finns i verkliga håldäck, se figur 4.2. I Ansys betecknas elementet SHELL181. Ett alternativ hade varit att modellera bjälklaget med solidelement vilket dock hade krävt betydligt längre beräkningstid. Håldäckens ortotropa egen- skaper kan försummas eftersom fogen mellan elementen fungerar som en led. Ele- mentens styvhet tvärs spännriktningen får på grund av att leden saknar styvhet liten betydelse för resultatet. Det har i tidigare studier visats att solidelement och isotropa skalelement med egenskaper ekvivalenta med solidelement ger likvärdiga resultat [24] [25].
Figur 4.2. Fyrnodigt skalelement
Eftersom håldäck saknar de egenskaper som skalelementen kräver måste ett ek- vivalent tvärsnitt beräknas. Då tröghetsmomentet och massan per meter är känt kan utifrån dessa egenskaper en ekvivalent höjd och densitet beräknas. Dessa paramet- rar definierar tillsammans med tvärkontraktionstalet, ν, och elasticitetsmodulen, E, alla skalelementens egenskaper. Den ekvivalenta höjden, hekv, beräknas enligt ekvation (4.1) där I är tröghetsmomentet och b är bredden.
I = b · h3ekv
12 =⇒ hekv = 3 s
12 · I
b (4.1)
Ifall styvheten från pågjutningen ska medräknas måste det nya tröghetsmo- mentet fastställas exempelvis med hjälp av Steiners sats. Från tröghetsmomentet
KAPITEL 4. MODELLERING I ANSYS
beräknas sedan en ny ekvivalent höjd. Den ekvivalenta densiteten, ρekv, beräknas sedan utifrån massan per meter, mbjälklag med tillägg för pågjutningens massa per meter, mpågjutning.
ρekv= mbjälklag+ mpågjutning
hekv· b (4.2)
4.8 Last från gående
En viktig parameter när lasten från gående modelleras är stegfrekvensen. En av de största undersökningarna av stegfrekvenser har gjort på en gångbro i Japan. Stu- dien visade att stegfrekvensen var normalfördelad med ett väntevärde om 1,99 Hz och en standardavikelse på 0,173 Hz [28]. En annan studie har utförts på en inklädd bro mellan två hus i Storbrittanien. I denna undersökning hade stegfrekvensen ett väntevärde på 1,94 Hz och en standardavikelse på 0,187 Hz [29]. Sannolikhetsför- delningarna visas i figur 4.3. I modellen provades därför stegfrekvenser mellan 1,6 Hz och 2,3 Hz. Med detta intervall fångades 95 % respektive 94 % av de gående i respektive undersökning upp.
1.35 1.55 1.75 1.95 2.15 2.35 2.55
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frekvens [Hz]
Sannolikhet
Zivanovic Matsumoto
Figur 4.3. Gångfrekvensens sannolikhetsfördelning
En annan parameter som påverkar responsen är gånghastigheten som beror på steglängden. I [29] var väntevärdet för steglängden 0,75 m med en standardavikelse om 7,8 cm. Korrelationen mellan steglängd och stegfrekvens var enligt undersök- ningen så liten att de kan anses oberoende. Eftersom bjälklag har en mycket be- gränsad längd blir tiden som den gående exciterar bjälklaget kort. En liten skillnad i steglängd kommer därför inte att påverka responsen nämnvärt. I beräkningarna kommer därför endast en steglängd om 0,75 m att användas.
4.9. RANDVILLKOR
I litteraturstudien har tre olika gångfunktioner identifierats. Dessa redovisas med stegfrekvensen 2 Hz i figur 4.4. Samtliga är relativt lika med en accentuerad topp vid nedsättningen av hälen och en vid frånskjutningen med tårna. Det är dock endast stegfunktionen från ISO 10137 som är definierad för hela stegfrekvensintervallet 1,6 - 2,3 Hz och därför kommer denna att användas i beräkningarna.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
200 400 600 800 1000
Tid [s]
Kraft [N]
ISO AISC Bachmann
Figur 4.4. Stegfunktioner med stegfrekvensen 2 Hz
Eftersom den gående rör sig varierar också kraftens angreppspunkt. Genom att låta kraften angripa på ett rörlig element stor som en fot kunde kraftens positions ändras. Plattan placerades i ena änden av bjälklaget och fick initialt en hastighet motsvarande stegfrekvensen och steglängden. När plattan förflyttat sig till motstå- ende sida stoppades den. Fyra olika sätt att gå över bjälklaget testades, se figur 5.12. I en finita elementanalys måste kontaktelement skapas mellan fotplattan och bjälklaget för att de ska kunna interagera. I Ansys skapades ett kontaktpar genom att fotplattan täcktes med element av typen CONTA173 och bjälklaget med typen TARGET170. Plattan modellerades med samma materialegenskaper som bjälkla- get.
4.9 Randvillkor
Bjälklaget modellerades som tvåsidigt fritt upplagt trots att det i verkligen bör finnas ett viss motstånd där håldäcken är upplagda och fastgjutna. På den ena sidan låstes rörelsen i alla tre koordinataxlarna för att motsvara ett fixlager och på den andra sidan låstes två axlar för att motsvara ett rullager. Övriga sidor har fria kanter.
Håldäcken har när de lagts på plats en fog mellan varandra som är öppen ovan- ifrån och stängd undertill. I figur 4.1 syns profilen som bildar fogen. Fogen fylls
KAPITEL 4. MODELLERING I ANSYS
Figur 4.5. Krafterna mellan håldäcken överförs som skjuvkrafter och blir vridmo- ment i angränsande element.
med betong för att öka samverkan mellan elementen. Eftersom fogen saknar arme- ring, gjuts mot äldre betong och inte täcker hela bjälklagets höjd, kan det antas att fogen inte har någon hög draghållfasthet. Detta gör att betongen i fogen lätt spricker upp. På grund av detta måste den resulterande kraften av spänningarna i fogen ge en tryckkraft. Fogen borde också kunna överföra skjuvspänningar genom friktion mellan betongen i fogen och angränsande element. I SS-EN 1168:2005 För- tillverkade betongprodukter - Håldäcksplattor beskrivs vilka antaganden som får göras vid dimensionering av håldäck. När ett bjälklag dimensioneras för en statisk punktlast får det antas att lasten sprids mellan flera element. Fogarna ska då antas som leder i vilket endast skjuvkrafter kan överföras [6]. Detta stämmer väl överens med tidigare resonemang. I figur 4.6 syns fyra olika sätt att modellera fogen mellan håldäcken. I A) försummas fogen och elementen är fast anslutna till varandra, i B) och C) låses nodernas frihetsgrader ihop men noderna är placerade på olika höjd i elementen och i D) modelleras fogen som ett eget material.
Figur 4.6. Fyra olika varianter av nodkoppling mellan håldäckselement
I [25] jämfördes två modeller med olika typer av fog mellan håldäck. Dels mo- dellerades fogen som betong med en lägre elasticitetsmodul (fogtyp D) och dels
4.10. KONVERGENS
försummades den och håldäckselementen antogs vara kontinuerliga i båda riktning- arna (fogtyp A). Modellerna gav små skillnader vilket medförde att den enklare modellen med kontinuerlig platta användes i de fortsatta beräkningarna.
I en annan studie [24] modellerades tre håldäckselement med en 40 mm bred och väldigt styv fog (fogtyp D). Materialet i fogen var betong i kvalitén C25/30. I beräkningen antogs elasticitetsmodulen 48,6 MPa för fogen. Tyvärr gjordes ingen analys av hur fogen påverkade resultatet men modellen stämde efter kalibrering bra med de försök som gjordes.
I de båda undersökningarna har en fog som tar dragspänningar förutsatts och i den ena har fogtyp D) kunnat approximeras som typ A). I beräkningarna kom- mer därför typ A) som kan ta dragspänningar jämföras med typ B) och C) som förespråkas i SS-EN 1168:2005.
4.10 Konvergens
Konvergensen för storleken på elementen i modellen testades med en statisk last.
Ett bjälklag med fem element belastades med en punktlast mitt i spannet på det element som var placerat i mitten. Nedböjningen i samma punkt som lasten jämför- des med varandra. Detta gjordes för två olika kombinationer håldäcksdimensioner och längder. Fem olika storlekar på element testades, med kortsidor mellan 0,6 m och 0,05 m. Elementen var något längre utmed spännvidden än tvärs spännvidden för att minimera antalet element och därmed beräkningstiden. I resultatet i figur 4.7 är den valda elementstorleken markerad med en cirkel. Storleken på elementen som användes i den fortsatta analysen är 0,25 m · 0,2 m.
I de transienta beräkningarna användes Newmarks metod med linjär accelera- tion. Metoden är ovillkorligt stabil men för att få ett noggrant resultat behöver ett litet tidsteg väljas [23]. Ett vanligt sätt att bestämma tidsteget är genom (4.3) där f är den högsta frekvensen som är av intresse. Om tidsteget väljs på detta sätt får den högsta frekvensen 20 integrationspunkter i varje period, vilket är tillräckligt för att noggrant fånga dess variation [30].
∆T = 1
20f (4.3)
Gångfunktionen som användes innehåller frekvenser mellan 1,6 Hz och 11,5 Hz och den största delen av responsen kommer därför att återfinnas inom detta inter- vall. Därför antogs att alla intressanta frekvenser ligger under 20 Hz vilket enligt ekvationen ger ett tidsteg på 2,5 ms. Valet av tidsteg verifierades genom att testa fem olika tidsteg. I figur 4.8 ses accelerationerna i mittpunkten för de olika tidste- gen. Accelerationerna för 1 ms och 0,5 ms tidsteg ligger på varandra i figuren.
Accelerationerna har bra konvergens vid 2,5 ms och därför valdes detta tidsteg till beräkningarna.
KAPITEL 4. MODELLERING I ANSYS
0.1 0.2 0.3 0.6
−5.82
−5.8
−5.78
−5.76
−5.74
−5.72
−5.7
−5.68
−5.66
−5.64
HD/F 200 − 8 m
Elementstorlek
Förskjutning [mm]
0.1 0.2 0.3 0.6
−24.78
−24.76
−24.74
−24.72
−24.7
−24.68
−24.66
−24.64
−24.62
−24.6
−24.58
HD/F 380 − 16 m
Elementstorlek
Förskjutning [mm]
Figur 4.7. Nedböjning av en punktlast på 1000 kN i fältmitt
3.1 3.15 3.2 3.25
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Tid [s]
Acceleration [m/s 2 ]
Konvergens − accelerationer
0,5 ms 1 ms 2,5 ms 5 ms 12,5 ms
1 2.5 5 12.5
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Konvergens − MTVV
Tidsteg [ms]
MTVV Acceleration [m/s 2 ]
Figur 4.8. Konvergens hos accelerationer och MTVV
Kapitel 5
Resultat
5.1 Lastens frekvensinnehåll
I de första körningarna modellerades endast ett fritt upplagt håldäckselement. Detta gjorde att modellen blev liten och därför kunde beräknas snabbt samt att model- len kunde jämföras med analytiska metoder. Några kombinationer av de vanligast förekommande håldäcksdimensionerna med olika längder belastades med stegfunk- tionen med frekvenser mellan 1,6 Hz och 2,3 Hz i steg om 0,05 Hz. I figur 5.1 framgår hur bjälklagets respons varierar med frekvensen. Se även bilaga B.4, B.5 och B.6. För samtliga fall gav den stegfrekvens som sammanföll med, eller hade en multipel som sammanföll med, bjälklagets första egenfrekvens störst amplituder. I den fortsatta studien har därför endast denna frekvens studerats för att begränsa beräkningstiden. De första egenfrekvenserna är uppritade i bilaga B.7, B.8 och B.9.
1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Gångfrekvens [Hz]
Acceleration [m/s 2 ]
Max
Max (frekvensvägd) MTVV
MTVV (frekvensvägd) RMS
RMS (frekvensvägd)
Figur 5.1. Acceleration i fältmitt hos ett 10 m långt HDF 27 element vid olika gångfrekvenser. Den vertikala linjen motsvarar 1/3 av den första egenfrekvensen.
KAPITEL 5. RESULTAT
Då bjälklagets egenfrekvens är känd kan den jämföras med de frekvenser som ingår i gångfunktionen. I figur 5.2 är ingående frekvenser i gångfunktionen marke- rade inom det normala intervallet för stegfrekvenser. Då dimensionering sker för att undvika vibrationer som är störande för personer på bjälklaget bör de tre första multiplarna av stegfunktionen beaktas. Finns även känslig utrustning på bjälkla- get kan även den 4:e och 5:e multipeln behöva beaktas för att undvika störande vibrationer [17].
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Frekvens [Hz]
1 2 3 4 5
Stegfrekvens och övertoner i gångfunktion Multipel:
Figur 5.2. Frekvenser som ingår i gångfunktionen och därmed kan ge resonans med bjälklagets egenfrekvens. Den 1:a, 2:a och 3:e multipeln kan orsaka störande vibra- tioner för personer. Den 4:e och 5:e är aktuell då känslig utrustning är placerad på bjälklaget [17].
5.2 Utvärderingsmetoder
De olika standarderna och normerna som presenterats förespråkar olika metoder att bedöma svängningarna. I ISO 10137 förespråkas användandet av r.m.s-värden eller MTVV-värden (Maximum Transient Vibration Value) för accelerationer samt att dessa ska vägas i olika frekvensintervall. I NBC och Design Guide – Floor Vibrations Due to Human Activity ställs istället kraven upp i form av de maximala acceleratio- nerna utan frekvensvägning. För att jämföra hur de olika metoderna förhåller sig till varandra beräknades accelerationerna på sex olika sätt, med frekvensvägning och utan frekvensvägning, som r.m.s, MTVV och maximal acceleration. I figur 5.1 vi- sas resultatet från de olika metoderna. Det kan konstateras att r.m.s-accelerationer inte är något bra mått vid transienta förlopp som vibrationer från gående. Då ac- celerationerna summeras över hela mätserien kommer perioder utan vibrationer att sänka värdet. Eftersom vibrationer från gående skapar stora amplituder under korta tidsintervall kommer perioderna utan vibrationer därför att dra ner r.m.s-värdet.
I figur 5.3 visas de maximala accelerationerna dividerat med√
2 och MTVV ac- celerationerna för ett HDF 27 bjälklag med 10 m spännvidd. Eftersom en funktion av sinus har ett r.m.s-värde som är dess maximala värde dividerat med√
2 är detta en intressant jämförelse. Det kan konstateras att de frekvensvägda storheterna är mycket lika. Medelskillnaden mellan dem är endast 1,3 %. Om vi istället jämför de ej frekvensvägda värdena är skillnaderna stora. Liknande siffror fås för andra bjälk- lag och längder se bilaga B.4, B.5 och B.6. Frekvensvägningen gör vibrationerna mer betydande inom det område där människor är som mest känsliga. Eftersom
