Sida 1 av 3 Matematiska Institutionen, KTH
Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 27 maj 2020,
DEL A (Omfattar Del I och Del II) Tid för A delen: 08.00–11. 00
Därefter 20 min att ta bilder och ladda upp i canvas och 10 min rast.
( Del B 11:30 -13:30. Därefter 20 min att ladda upp lösningar i canvas ) Extra tid för del A 8:00-12:30
Därefter 20 min att ta bilder och ladda upp i canvas och 10 min rast.
( Del B 13:00 -16:00. Därefter 20 min att ladda upp lösningar i canvas ) Examinator: Armin Halilovic, tel 08 790 4810
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Tentamen består av 10 frågor i tre delar.
Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning, för alla tre delar, är 37p
OBS:: En komplett lösning med fullständiga motiveringar krävs för alla uppgifter.
Betygsgränser:
13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 27 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst A Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.
Du använder papper och penna för att lösa nedanstående uppgifter. Du skannar eller tar bilder av dina lösningar (PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer). (Vi föredrar PDF-format) . Dina lösningar samlade i en mapp och komprimerade (som en zip eller rar fil) laddar du upp på Canvas https://kth.instructure.com/courses/17514/assignments
i Mappen DelA_TEN_27maj 2020
(eller Extra_tid_DelA_TEN_27maj 2020 för de som har rätt för extra tid)
Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_ NAMN för mappens namn.
---
Skriv namn och personnummer på varje blad. Deklarera på första sidan att du själv har gjort denna tentamen. Skriv på första inlämnade blad ” Jag själv har gjort denna tentamen” och signera.
Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.
T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.
---
Sida 2 av 3 DEL I
Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2019 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i.
Att lösa en uppgift som man på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng.
1. (3p) Bestäm samtliga heltalslösningar (x,y) till den diofantiska ekvationen
(q+3)x+(10−q y) = − +q2 7q+30.
OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.
2. (3p) Bestäm antalet heltal n, där 100+ ≤ ≤p n 200+p, som är delbara med minst ett av talen 3 eller 4.
3. (3p) Låt n= 5p+15. Vi betraktar gruppen G=( Zn, + ) a) Bestäm en delgrupp H till G så att |H|= p+3.
b) Bestäm alla sidoklasser till H.
c) Bestäm ett element i gruppen ( Zn, + ) som har ordning 5.
4. (3p) Låt A= (p mod 2)
a) Bestäm alla kodord som definieras av checkmatrisen 1 0 0 1 1
1 0 1 1
0 1 1 1 1
H A
=
.
b) Bestäm minimala distansen mellan två kodord i ovanstående koden.
5. (3p) Rita en sammanhängande graf sådan att antalet kanter är ≥ (p+5) a) som är eulersk men inte hamiltonsk graf
b) som är hamiltonsk graf men inte eulersk graf c) som är varken eulersk eller hamiltonsk graf.
DEL II 6. (4p)
Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att talet
3
2 3n27 9
n( 1) (40 27) q ⋅
++ ⋅ + q + ⋅ n −
är delbart med 64 för alla heltal n ≥0.
OBS. Du får 0 poäng om du inte använder induktionsbevis.
Sida 3 av 3 7. (4p)
a) (2p) Låt K= 7+ (p mod 2) Bestäm antalet ord av längd K som man kan bilda med hjälp av bokstäverna a, b, c ,d och e, och som är sådana att var och en av
bokstäverna a, b, c och d förekommer minst en gång i ordet, medan bokstaven e förekommer precis två gånger.
b) (2p) I en klass finns (20+q) studenter från Stockholm, 12 studenter från Uppsala och 14 studenter från Sundsval. Man vill välja ett lag som innehåller 7 studenter som inkluderar minst en student från varje av de tre städer.
Bestäm antalet sådana lag (med 7 studenter och minst 1 från varje stad) där antalet studenter från Stockholm är större än antalet studenter från Uppsala och Sundsval tillsammans.
Anmärkning: I uppgift 7 a,b får du använda fakultet, binomiska koefficienter och Stirlingtal i svaret.
8. (4p)
Ett RSA-krypto har parametern n = 143. Välj ett lämpligt krypteringsnyckel e där 12≤ ≤e 20+ . För detta e bestäm dekrypteringsnyckeln d. p
Kryptera ”medelandet” 2.
