Sida 1 av 6 Matematiska Institutionen, KTH
Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 12 aug 2020,
DEL_B
(Del III)Tid: 11:30-13:30. Därefter 20 min att ladda upp lösningar i canvas. (Lösningarna ska vara i Canvas senast 13: 50)
Extra tid 13:00-16:00 Därefter 20 min att ladda upp lösningar i canvas. (Lösningarna ska vara i Canvas senast 16: 20)
Examinator: Armin Halilovic, tel 08 790 4810 Jourhavande lärare
Klass CINTE (SV) : Armin Halilovic armin@kth.se, tel 08 790 4810 , Klass TCOMK (ENG) Ivan Martino, imartino@kth.se, tel 08 790 6643
Jourhavande lärare kommer att besöka Zoomrummet i början av varje del. Skriv i chatten om du har frågor.
Under skrivtiden är toalettbesök tillåtet. (Anmäl till tentavakten om du behöver gå på toa.) Som student ska du ha följande inställningar i ZOOM:
Stäng AV den virtuella bakgrunden Stäng AV mikrofonen
Sätt PÅ webbkameran
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning (för alla delar) är 37p
OBS:: En komplett lösning med fullständiga motiveringar krävs för alla uppgifter.
Betygsgränser:
13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 27 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst A
Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.
Du använder papper och penna för att lösa nedanstående uppgifter. Du skannar eller tar bilder av dina lösningar (PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer). (Vi föredrar PDF-format och gärna en fil med alla uppgifter.) Dina filer laddar du upp på det här webbplatsen https://kth.instructure.com/courses/24026/assignments
Sida 2 av 6 Del_B_TEN_12_aug_2020_Swedish version
(eller Extra_Tid_FUNKA_Del_B_TEN_12_aug__2020 för de som har rätt för extra tid) Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_ NAMN som filernas namn.
---
Skriv namn och personnummer på varje blad. Deklarera på första sidan att du själv har gjort denna tentamen. Skriv på första inlämnade blad ” Jag själv har gjort denna tentamen” och signera.
Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.
T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.
---
DEL III 9. (4p)
Låt G vara mängden av alla heltal som är delbara med (q+3). dvs G={(q+ ⋅3) ,k k Z∈ }. a) (1p) Bevisa att (G,+) är en grupp. (där + betecknar addition av heltal)
b) (3p) Bevisa eller motbevisa följande påstående:
Varje delgrupp till (G,+) är cyklisk.
Lösning för q=9:
Om q=9 har vi G={12 ,k k Z∈ } { 24,12,0,12,24,36,...}= − . a)
1. Om a b G, ∈ så är a=12m och b=12n för några heltal m,n.
Då är a b+ =12(m n G+ ∈) . Med andra ord är räkningen sluten . 2. Räkningen är associativt i Z därmed gäller detta också i G.
3. Eftersom 0=0∙12 ligger i G. Eftersom 0+ = + =a a 0 a för alla a G∈ är 0 neutralt element för räkningen i G.
4. Om a G∈ så är a=12m för något heltal m.
Då är − = −a 12m=12(−m G)∈ och a+(–a)=0.
Dvs. varje a G∈ har inversen i G.
Därmed har vi visat att (G,+) är en grupp.
b)
Låt (G1,+) vara en delgrupp till (G,+). Om G1 innehåller endast ett element 0 så är (G1,+)
Sida 3 av 6 uppenbart en cyklisk grupp.
Anta nu att G1 innehåller andra element förutom 0. Beteckna med c det minsta positiva element i G1. Vi ska visa att G1=< c >
Först konstaterar vi att alla tal i talmängden M={…–3c, –2c, –c, 0, c, 2 c, 3 c ,…} ligger i G1( eftersom G1 är enligt antagande en delgrupp ). Alltså M G⊆ 1
Vi ska visa att G1 har inga andra element, förutom de i M.
Anta nu att det finns ett tal d G∈ 1 som inte ligger i M. (*) Vi ska visa antagandet (*) leder till motsägelse.
Anta att d > .(På liknande sätt resonerar vi om d<0) . 0
Vi betraktar två tal i M som ligger närmast talet d ( ett tal från vänster och ett från höger) . Låt k vara ett heltal sådant att kc d< <(k+1)c G∈ 1.
Notera att båda tal kc och (k+1) ligger i c G1.
Då gäller d kc− <(k+1)c kc c− = . Eftersom G är en delgrupp ligger 1 d kc− i G : 1
Då har vi ett positivt tal (d kc− ) i G , som är mindre än c . Detta strider mot valet av c som 1 minsta positiva talet i G . 1
Motsägelsen visar att G =M dvs G1 1=< c >.
Vi har bevisat att G1 är en cyklisk grupp.
Rättningsmall:
Korrekt a ger +1p. Korrekt b) ger +3p .
10. (4p)
(20+p) stolar står på rad bredvid varandra. 10 barn ska sätta sig på stolarna (med högst ett barn på varje stol. På hur många sätt kan vi placera 10 barn på (20+p) stolar om inga av de tre barnen Maja, Peter och Mats får sitta på stolar intill varandra?
Du kan svara med n! (men inte med m n
och S(m,n) ).
Lösning:
Vi betecknar :
G:= mängden av alla olika placeringar av 10 barn på 20+p stolar (som står i en rad).
A= mängden av alla placeringar där Maja och Peter sitter bredvid varandra B= mängden av alla placeringar där Maja och Mats sitter bredvid varandra C= mängden av alla placeringar där Peter och Mats sitter bredvid varandra
Då är antalet sätt att vi placera 10 barn på (20+p) stolar så att inga av de tre barnen Maja, Peter och Mats får sitta på stolar intill varandra lika med
|G| – |A B C∪ ∪ |= (inklusion exklusion)
|G| – (| | | | | | |A + B + C − A B∩ | |− A C∩ | |− B C∩ | |+ A B C∩ ∩ |).
Sida 4 av 6
Först bestämmer vi |G| dvs antalet sätt att placera 10 barn på 20+p stolar.
(Vi kan direkt bestämma |G| eller t ex använda formeln för antalet sätt att välja k bland n element, utan uppräkning och med hänsyn till ordning: !
( )!
kn n
V = n k
− ).
|G|= (20 )! (20 )!
(20 10)! (10 )!
p p
p p
+ = + =
+ − +
Nu bestämmer vi |A|.
Maja och Peter (M och P) kan sitta bredvid varandra i två ordningar: MP eller PM.
Först bestämmer vi antalet placeringar som innehåller MP ( i exakt denna ordning).
Vi kan välja två stolar för MP på (19+p) olika sätt ( Maja på stol 1, Peter på Stol2,…,Maja på 19+p, Peter på sista stolen. När vi väljer platser för MP kan vi placera andra 8+p barn på 18 +p stolar på (18 )! (18 )!
((18 ) (8))! (10 )!
p p
p p
+ = +
+ − +
Alltså finns det (19 ) (18 )!
(10 )!
p p
p
+ ⋅ + =
+
(19 )!
(10 )!
p p +
+ sätt för att placera MP tillsammans.
Samma gäller för ordningen PM.
Därmed |A|= (192 )!
(10 )!
p p
⋅ +
+ . Med samma resonemangs får vi
|B|= (192 )!
(10 )!
p p
⋅ +
+ och |C|= (192 )!
(10 )!
p p
⋅ +
+ .
Nu bestämmer vi |A B∩ |.
En placering ligger i A B∩ om
Maja och Peter sitter bredvid varandra och samtidigt Maja och Mats sitter bredvid varandra.
Detta är möjlig om vi har Peter, Maja, Mats (PMM) eller Mats Maja, Peter bredvid varan.
Resonemang som ovan ger att vi kan placera gruppen PMM på 18+p sätt. Då har vi kvar att placera 17+p stolar för 7 studenter som kan göras på (17 )!
(10 )!
p p +
+ olika sätt. Samma gäller för gruppen MMP. Därför
Sida 5 av 6
|A B∩ =| 2 (18 ) (17 )! 2 (18 )!
(10 )! (10 )!
p p
p p p
+ +
⋅ + ⋅ = ⋅
+ + .
Samma gäller för |A C∩ |= (182 )!
(10 )!
p p
⋅ +
+ och |B C∩ |= (182 )!
(10 )!
p p
⋅ + +
Slutligen är A B C∩ ∩ = ∅ ( om Maja sitter bredvid både Peter och Mats, då kan inte Mats och Peter sitta bredvid varandra ) och därmed |A B C∩ ∩ |=0
Slutsvar är
|G| – (| | | | | | |A + B + C − A B∩ | |− A C∩ | |− B C∩ | |+ A B C∩ ∩ |)=
(20 )!
(10 )!
p p +
+ – 3 2 (19 )! 3 2 (18 )! 0
(10 )! (10 )!
p p
p p
⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + +
+ +
Svar: (20 )! 6 (19 )! 6 (18 )!
(10 )! (10 )! (10 )!
p p p
p p p
+ − ⋅ + + ⋅ +
+ + +
Rättningsmall:
Korrekt |G| ger +1p. Korrekt |A| ger +1p . Korrekt |A C∩ | ger +1p.
Allt korrekt=4p.
11. (2p) Låt L=5+( q mod 2). Bestäm alla heltal x som uppfyller följande system:
4(mod ) 5(mod11)
x L
x
≡
≡
Lösning för L=6:
Vi ska bestämma x som uppfyller 4(mod 6)
5(mod11) x
x
≡
≡ (system 1)
Vi ska lösa tillhörande ekvationssystem med diofantiska ekvationer.
4 6 5 11
x r
x s
= +
= +
(system 2)
Härav ( efter subtraktionen) 0= − +1 6 11r− s
dvs
6 11r− s=1. (**)
Vi löser (**) till ex. med hjälp av Euklides algoritm och får r=2+11k , s= 1+6k.
Sida 6 av 6 Från (*) får vi x= +4 6r= +4 6(2 11 ) 16 66+ k = + k
(Notera att vi kan få ekvivalent lösning om vi använder andra ekvationen i (*) och s=1+6k)
Svar om L=6:
16 66
x= + ⋅k där k Z∈
Rättningsmall: +1 poäng för korrekt en lösning (t ex x=16) 2p om allt är korrekt.
Svar om L=5:
49 55
x= + ⋅k där k Z∈ Svar om L=6:
16 66
x= + ⋅k där k Z∈
Lycka till.
