KONTROLLSKRIVNING 1 version A Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 30 mars 2015 Skrivtid: 8:15-10:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 8 poäng.
Uppgift 1. (2p)
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.7 , P(A∩ B)=0.2och P(A)=0.5 a) Bestäm P(BC).
b) BestämP(A∩BC).
Uppgift 2. (1p)
Bland 40 produkter finns 10 defekta. Man tar 5 produkter på måfå utan återläggning och utan hänsyn till ordning. Vad är sannolikhet att få exakt 3 korrekta (och därmed 2 defekta) i vilken ordning som helst?
Du svarar med binomiska koefficienter
k n .
Uppgift 3. (1p)
Vi ska placera 5 identiska bollar i 4 lådor L1, L2, L3, L4. På hur många olika sätt kan vi göra detta?
Var god vänd!
Sida 1 av 5
Uppgift 4. (2p)
Komponenter K1, K2, K3 och K4 fungerar oberoende av varandra med följande
sannolikheter 0.5, 0.6, 0.7 och 0.8. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar. ( Vi anser att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B)
K1 K2 K3
K4
A B
Uppgift 5. (2p)
Ett företag som tillverkar glödlampor av en viss typ har tillverkningen förlagt i 3 olika fabriker. Fabrik A står för 50 % av tillverkningen, fabrik B 30 %, fabrik C 20% . Sannolikheten för att en glödlampa från fabrik A är defekt är 1 % . Motsvarande sannolikheten för en defekt lampa från B är 2 %, och från C 3 %.
a) Karin köper en glödlampa. Vad är sannolikheten att lampan är defekt.
b) Thomas köper en glödlampa och finner att den är defekt. Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik B?
Lycka till!
Sida 2 av 5
FACIT
Uppgift 1. (2p)
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.7 , P(A∩ B)=0.2och P(A)=0.5 a) Bestäm P(BC).
b) BestämP(A∩BC). Lösning:
a)
Från P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) får vi 4
. 0 ) ( 2 , 0 ) ( 5 . 0 7 .
0 = +P B − ⇒P B =
Därmed P(Bc)=1−P(B)=0.6. b)
3 . 0 2 . 0 5 . 0 ) (
) ( )
(A∩B =P A −P A∩B = − =
P C
Svar: a) P(Bc)=0.6 b) P(A∩BC)=0.3 Uppgift 2. (1p)
Bland 40 produkter finns 10 defekta. Man tar 5 produkter på måfå utan återläggning och utan hänsyn till ordning. Vad är sannolikhet att få exakt 3 korrekta (och därmed 2 defekta) i vilken ordning som helst?
Du svarar med binomiska koefficienter
k n .
Svar:
= 5 40
2 10 3 30 P
Sida 3 av 5
Uppgift 3. (1p)
Vi ska placera 5 identiska bollar i 4 lådor L1, L2, L3, L4. På hur många olika sätt kan vi göra detta?
Lösning:
Vi betraktar ekvivalent problem: Antalet permutationer av bokstäver I , väggar ( 5 st.) och O ( 5 st) där varje permutation måste börja och sluta med I (annars hamnar bollar utanför lådorna).
T ex följande placering
svarar mot permutationen I O O I O I I O O I
Eftersom varje permutation måste börja och sluta med I, permuterar vi faktiskt 3 bokstäver I och 5 bokstäver O
Antalet sådana permutationer är 56
)
! 5 ( )
! 3 (
! ) 8
10
5(
,
5 =
= ⋅ P
Svar: 56
Uppgift 4. (2p)
Komponenter K1, K2, K3 och K4 fungerar oberoende av varandra med följande
sannolikheter 0.5, 0.6, 0.7 och 0.8. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar. ( Vi anser att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B)
K1 K2 K3
K4
A B
Lösning:
Systemet fungerar om minst en av de två parallella vägar fungerar.
i) Väg1 fungerar om alla tre komponenter K1, K2, K3 fungerar . P(Väg1 fungerar )=P(K1∩K2∩K3)=(oberoende händelser)
21 . 0 7 . 0
* 6 . 0
* 5 . 0 ) 3 ( ) 2 ( ) 1
(K ⋅P K ⋅P K = =
P .
Sida 4 av 5
ii) Väg2 fungerar om K4 fungerar.
P(Väg2 fungerar )=P(K4)=0.8 Slutligen P(system fungerar) =
=P( Väg1 eller Väg2 fungerar)= P( Väg1)+ P( Väg2)– P( Väg1 och Väg2)
=0.21+0.8 – 0.21·0.8=0.842 Svar: 0.842
Uppgift 5. (2p)
Ett företag som tillverkar glödlampor av en viss typ har tillverkningen förlagt i 3 olika fabriker. Fabrik A står för 50 % av tillverkningen, fabrik B 30 %, fabrik C 20% . Sannolikheten för att en glödlampa från fabrik A är defekt är 1 % . Motsvarande sannolikheten för en defekt lampa från B är 2 %, och från C 3 %.
a) Karin köper en glödlampa. Vad är sannolikheten att lampan är defekt.
b) Thomas köper en glödlampa och finner att den är defekt. Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik B?
Lösning:
a) Den totala sannolikheten för en defekt lampa är
P(defekt) =0.50*0.01+0.30*0.02+0.20*0.03=0.017 b) Sannolikheten för B givet att lampan är defekt är
0.017 0.02
* 0.30 )
(
) ) (
|
( ∩ =
= P defekt defekt B
defekt P B
P =0.3529
Svar: a)0.017 b) 0.3529
Sida 5 av 5
