(1p) Lösningsförslag: Vi har w z z så arctanba Π om a 0 arctan 11 Π Π4 Π 54Π

(1)

Övningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp

Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1. Beräkna arg z z , då z 2 och z betyder komplexkonjugat. (1p)

Lösningsförslag: Vi har w z z 2 2 2 ² 2 ² 1 1 ,

så arctan^b_a Π

om a 0

arctan ¹₁ Π ^Π₄ Π ⁵₄^Π. Går lika bra att svara ³₄^Π.

w z z . z 2

1

Arg w

3Π 4

Rätt svarsalternativ: b a arctan 2 b ⁵₄^Π c ⁵₄^Π d ³₄^Π e Inget av a till d.

2. Beräkna abs 4 2 . (1p)

Lösningsförslag: r abs z z a² b² 4² 2² 16 4 20 2 5 . Abs 4 2

2 5

Rätt svarsalternativ: a

a 2 5 b 6 c 5 d 6 e Inget av a till d.

3. Bestäm värdemängden Vf till funktionen f x 2 3cos² x , x 0,Π. (1p)

Lösningsförslag: Eftersom vi har x 0,Π kommer cos x att genomlöpa hela sin värdemängd Vcos 1, 1

max f 2 3 1 1 och min f 2 3 0 2 Vf 2, 1 .

Plot 2 3 Cos x ², x, 0, Π , AxesLabel "x", "y" 

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 y

Rätt svarsalternativ: d

a 1, 1 b 2, 3 c 2, 0 d 2, 1 e Inget av a till d.

4.Lös ekvationen 3^{x 1} 3^x 36. (1p)

Lösningsförslag: Potenslagar! 3^{x 1} 3^x 36 3 3^x 3^x 36 4 3^x 36 3^x 3² x 2.

Solve3^{x 1} 3^x 36, x

x 2

Rätt svarsalternativ: c

a 1 b 1 c 2 d 2 e Inget av a till d.

(2)

5. Lös ekvationen ln x 2 ln x 3ln 2 . (1p)

Lösningsförslag: Övning på logaritmlagar, ln x 2 ln x 3ln 2

x 2 0

x 0 ln x 2 x ln 2³ x 2 x 8 x 2 eller x 4.

Här är x 2 falsk rot med hänsyn till kravet ovan, ty logaritmlagen ln ab ln a ln b gäller ju bara om a 0 och b 0. Detta vet naturligtvis Mathematica

Solve Log x 2 Log x 3 Log 2 , x

x 4

Rätt svarsalternativ: c a 3 b ⁵₃ c 4 d ¹³₃ e Inget av a till d.

6. Låt f x x² x ln x . Bestäm f ' 1 . (1p)

Lösningsförslag: _x x² x ln x Regler pot.lagar _x x^{5 2} _x ln x SD ⁵₂x^{5 2 1} ¹_x ⁵₂x^{3 2} ¹_x.

dfdx Dx² x Log x , x

5 x^{3 2} 2

1 x

dfdx . x 1

7 2

Rätt svarsalternativ: e a ¹₂ b ⁵₂ c ⁹₂ d ¹³₂ e Inget av a till d.

7.Låt f x _{x 2}^x² . Bestäm f ' 2 . (1p)

Lösningsförslag: _x ^x²

x 2 Kvotregeln ^{2x x 2} ^x²¹

x 2²

x² 4x x 2².

dfdx D

x²

x 2, x Simplify x x 4

x 2²

dfdx . x 2

3 4

Rätt svarsalternativ: e a ¹₉ b ²₉ c ⁵₉ d ⁷₉ e Inget av a till d.

8.Låt f x sin cos x . Bestäm f '^Π₂. (1p)

Lösningsförslag: _x sin cos x KR Sätt u cos x _u sin u _x cos x Konst.regeln _u sin u 1 _x cos x SD cos u 1 sin x Byt tillbaka cos cos x sin x Cos jämn fkn. cos cos x sin x .

dfdx D Sin Cos x , x Simplify

sin x cos cos x

dfdx . x Π 2 1

a 1 b ¹

2 c ¹₂ d 1 e Inget av a till d.

9.Sök tangentens ekvation till kurvan y cos 3x i den punkt på kurvan som har x ^Π₂. (1p) Lösningsförslag: Först funktionen och dess derivata

f x : Cos 3 x

(3)

f ' x

3 sin 3 x

Kanske är det av intresse att kolla dessa i punkten x ^Π₂.

fΠ 2

, f 'Π 2



0, 3

Tangentens riktningskoefficient är värdet av derivatan i punkten, så med direkt omlastning av enpunktsformeln till y kx m får vi

Solvey f

Π

2 f '

Π 2 x

Π

2, y ExpandAll

y 3 x 3Π 2 ^

Rätt svarsalternativ: e a y 3x ³₂^Π b y 3x ³₂^Π c y 3x ⁵₂^Π d y 3x ^Π₂ e Inget av a till d.

10. Sök ^y_x i punkten x 1, y 2 på kurvan x²y 2xy² 10x. (1p)

Lösningsförslag: Derivera implicit och lös ut ^y_x.

Dtx²y 2 x y² 10 x, x

x² y

x 2 x y 4 x y y

x 2 y² 10

impl Dx²y x 2 x y x ² 10 x, x

y x x² 2 y x x 4 y x y x x 2 y x² 10

dydx Solve impl, y ' x First

y x 2 y x² x y x 5

x x 4 y x ^

Slutligen numeriskt i den önskade punkten.

dydx . x 1, y x 2

y 1 2

9^

Rätt svarsalternativ: b a ¹₅ b ²₉ c ₂₆⁷ d ₁₇⁴ e Inget av a till d.

11.Betrakta den styckvis konstanta funktionen i figuren.

Beräkna sedan ⁴₄ f x 1² x. 1p

4 3 2 1 1 2 3 4 x

1 1 2 3 4 f x

Lösningsförslag: Dela upp integrationsområdet så att integranden är konstant k i varje intervall, då är _a^bk x k _a^b x k b a .

4

4 f x x 2 1² 3 4 1 1² 1 3 4 1² 4 1 1² 1 2²4 3² 3 44.



4

4 2 x 3

1 x 1

4 x 4

1

2

x

44

Rätt svarsalternativ: a a 44 b 55 c 66 d 77 e Inget av a till d.

12. Beräkna ₁^{2 x 2}

x² x. (1p)

(4)

Lösningsförslag: Vi får ₁^{2 x 2}

x² x ₁^{2 1}_x ²

x² x ln x ²_x₁² ln 2 1 ln 1 2 1 ln 2 .



1 2x 2

x² x

1 log 2

Rätt svarsalternativ: c a ln 2 b 1 c 1 ln 2 d ³₂ e Inget av a till d.

13. Bestäm ₀²2 x⁶ x. (1p)

Lösningsförslag: Luktar lite variabelsubstitution. Sätt u 2 x, så har vi u x, med gränserna x_u 0 u_u 2 0 2 och xö 2 uö 2 2 0. Nu är det bara att meka ihop det hela ₀²2 x⁶ x ₂⁰u⁶ u ¹₇u⁷₂⁰ ¹²⁸₇ .



0 2

2 x ⁶ x

128 7

Rätt svarsalternativ: b a ⁶⁴₇ b ¹²⁸₇ c ²⁵⁶₇ d ¹²⁷₆ e Inget av a till d.

14. Integrera _Π²^Πsin^u₄ u. (1p)

Lösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt x ^u₄, så har vi x ¹₄ u, med gränserna uu Π xu ^Π4 och uö 2Π xö 2Π 4

Π 2. Så

Π 2Π

sin^u

4 u _Π^Π₄²sin x 4 x 4 cos x ^Π_Π₄² 4cos^Π

2 cos^Π

4 40 ¹

2  2 2 .



Π 2 Π

Sinu 4

 u

2 2

Rätt svarsalternativ: e a 2 b 4 2 c 3 d 2 e Inget av a till d.

15.Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av x axeln, linjerna x 1 och x 2 samt grafen till y ¹

x³, 1 x 2 roterar ett varv kring y axeln. 1p

x z

y

Lösningsförslag: Direkt med "formel" V _a^b2Πxy x ₁²2Πx¹

x³ x 2Π₁²x ² x 2Π^x_{2 1}^{2 1}

1

2 2Π2 ¹ 1 ¹ Π.



1 2

2 Π x 1 x³

x

Π

Rätt svarsalternativ: c a ³¹₁₆₀^Π b ^Π₂ c Π d ³₂^Π e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16 21.Genom punkten 2, 1 drages en rät linje, som tillsammans med de positiva koordinataxlarna begränsar en triangel. Sök den triangel som har minst area.

2 x

1 y

(5)

16. Inför i problemtextens figur sträckan a på x–axeln från 2 till linjens skärningspunkt. Inför på motsvarande sätt sträckan b på y–

axeln. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer arean A a och b a . (1p) Lösningsförslag:Rita och inför sträckornaaochbenligt recept.

Då har vi triangelns area och likformiga trianglar.

2 a x

1 b y

ekv A 1 2

2 a 1 b , b 2

1 a



A 1

2 a 2 b 1 ,b 2

1 a^

a ekv A ¹

2 2 a 1 b , ^b

2 1 a

b ekv A ¹

2 1 a 2 b , ^b

2 1 a

c ekv A ¹

2 1 a 2 b , ^b

1 2 a

d ekv A ¹

2 2 a 1 b , ^b

a 1 2 e Inget av a till d.

17. Lös ut A a och b a ur ekv med Solve. Spara som regler i AÅb. (1p) Lösningsförslag: Följ rådet.

AÅb Solve ekv, A, b First

A a² 4 a 4

2 a , b 2

a^

a AÅb Solve ekv b Solve ekv AÅb

c AÅb Solve ekv, A, b d AÅb Solve ekv, A, b e Inget av a till d.

18. Rita A a , a 0, 5 , i rött med Plot. Pynta axlarna på lämpligt sätt! (1p)

Lösningsförslag: Alltid bra att pigga upp sig med en liten bild över situationen som vi ska optimera.

PlotA . AÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "a", "A" 

1 2 3 4 5 a

4.5 5.0 5.5 6.0 A

Rätt svarsalternativ: b

a PlotAÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "a", "A"  b PlotA . AÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "a", "A"  c PlotA . AÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, Axes "a", "A"  d PlotA AÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "a", "A"  e Inget av a till d.

19. Sök a som minimerar A med D och Solve. Spara som regel i a . (1p)

Lösningsförslag: Ser ut att vara ett minimum i figuren ovan, som sig bör, eftersom A både då a 0 och a . Sök nu det a som minimerar arean, det vill säga lös ekvationen ^A_a 0.

dAda DA . AÅb, a Simplify

(6)

1 2

2 a²^

a Solve dAda 0, a

a 2 , a 2

a a SolveDA . AÅb 0, a, a b a SolveDA . AÅb, a 0, a

c a SolveDA . AÅb, a, a 0 d a SolveDAÅb, a 0, a e Inget av a till d.

20. Bestäm minimalt A. Tänk på att det kan vara flera lösningar på a. (1p)

Lösningsförslag: Här duger bara sista lösningen. Slutligen svaret på den brännande frågan. På köpet får vi också den andra hjälpvari- abeln. Problemtextens figur återspeglar denna optimala situation.

AÅb . a 2

A 4, b 1

a AÅb . a 2 b Solve a 2 , A

c SolveAÅb . a 2 , A d a 2 . AÅb e Inget av a till d.

21. Minimalt A, ännu en gång, nu med en direkt numerisk lösare. (1p) Lösningsförslag: Det är bara att skedmata FindMinimum.

FindMinimumA . AÅb, a, 3 

4., a 2.

Rätt svarsalternativ: e

a FindMinimumAÅb , a b FindMinA . AÅb, a, 3 

c MinA . AÅb, a, 3  d FindMinimizeA . AÅb, a, 3  e Inget av a till d.

22 26.I en smal rak stång med längden L m är densitetenΡx kg m proportionell med k mot kvadratroten ur avståndet x till stångens ena ände. Stångens totala vikt är M kg.

0 L x

Ρ_max y

Ρx

22. Definiera densiteten som en funktion i Mathematica, Ρ[x]. (1p)

Lösningsförslag: Låt x 0, L vara längskoordinat i stången räknat från "ena" ändpunkten. Enligt uppgift varierar densiteten som Ρx k x . Definiera den som en funktion.

Ρ x : k x

a Ρ x : k x b Ρ x : k x

c Ρ x : k x d Ρ x k x e Inget av a till d.

23. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer k och Ρmax. (1p)

Lösningsförslag: Massan för en liten bit x vid x blir m Ρx x. Dessutom vet vi hur mycket alla småbitar väger tillsammans, M _M m. Nu är det bara att samla de önskade sambanden

ekv Ρ_max Ρ L , M 

0 L

Ρ x x

Ρmax k L , M 2 3k L^{3 2}

a ekv Ρ_max Ρ L , M

0

LΡ x x b ekv Ρ_max Ρ L , M

0

LΡ x x

c ekv Ρ_max Ρ L , M

0

LΡ x x d ekv Ρ_max Ρ L , M

0

LΡ x x e Inget av a till d.

(7)

24. Lös ut Ρmax och k. Spara dem som regler i råÅk. (1p) Lösningsförslag: Passar bra att använda Solve.

råÅk Solve ekv, Ρ_max, k First

Ρmax

3 M

2 L, k 3 M 2 L^{3 2}^

Rätt svarsalternativ: d a råÅk Solve ekv, Ρ_max, k b råÅk Solve ekv, Ρ_max, k

c råÅk Solve ekv, Ρ_max, k d råÅk Solve ekv, Ρ_max, k e Inget av a till d.

25. Bestäm stångens tyngdpunkt G ur ekvationen _m x G m 0. (1p)

Lösningsförslag: Vi har att lösa ekvationen _m x G m ₀^Lx G Ρx x 0. Dessutom måste vi meka in k.

Solve

0 L

 x G Ρ x . råÅk x 0, G

 G

3 L 5 ^

Rätt svarsalternativ: e

a Solve

0

Lx GΡ x . råÅk x 0, G

b Solve

0

Lx _GΡ x . råÅk x, _G 0

c Solve

0

L x _G Ρ x . råÅk x 0, _G

d Solve

0

L x _G Ρ x . råÅk 0 x, _G

e Inget av a till d.

26. Bestäm stångens masströghetsmoment J _mr² m då den roterar runt y–axeln. (1p)

Lösningsförslag: Det är bara att meka in m Ρx x i definitionen. Dessutom måste vi meka in k.



0 L

x²Ρ x . råÅk x

3 L²M 7

a

0

Lx²Ρ x . råÅk x b

0

Lx²Ρx² . råÅk x

c 0

Lr²Ρ x . råÅk r d

0

Lx²Ρ x ² . råÅk x e Inget av a till d.

27 30.En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt p y Ρg y N m², där y är djupet under vattenytan.

27. Strimla luckan i y–led, b y. Bestäm strimlans bredd b vid y med lämligt geometrisamband. Spara b som regel. (1p) Lösningsförslag:Snegla på problemtextens figur, så har vi direkt med

likformiga trianglar strimlans bredd b på djupet y, se figur till höger.

bAvy Solveb 6

2 8 y 8

, b First

(8)

b 3

4 y 10

a bAvy Solve^b

6 8 y

8 , y b bAvy Solve^b

6 2 y

8 , y

c bAvy Solve^b

6

2 8 y

8 , y d bAvy Solve^b

6

2 8 y

8 2 , y e Inget av a till d.

28. Bestäm tryckkraften dF på den lilla strimlan vid djupet y. (1p)

Lösningsförslag: På djupet y har vi den lilla rektangelarean A b y på vilken den lilla tryckkraften F p y A verkar.

dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy

3

4dy g y 10 yΡ

a dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy b dF p y dA . bAvy . dA b dy; p y Ρ g y c dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy d dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy e Inget av a till d.

29. Bestäm tryckkraften F på luckan. (1p)

Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan.



0 F

F 

2 2 8dF

dy y

F 112 gΡ

a 0

F F

2 2 8 dF

dy y b

0 F F

2

2 8dF y

c 0

F F

2 8 dF

dy y d

0 F F

0 2 8 dF

dy y e Inget av a till d.

30. Bestäm vridmomentet M kring en axel i luckans plan vid vattenytan som orsakas av vattentrycket. (1p) Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M y F över dammluckan.



0 M

M 

2 2 8

y dF dy y M 608 gΡ

a 0

Fy F

2 8 dF

dy y b

0 M F

2

2 8y dF y

c 0

M M

2 2 8y ^dF

dy y d

0 My M

2 2 8 dF

dy y e Inget av a till d.