(1p) Lösningsförslag: Först w 2z2 z a b a b så arg w arctanbaΠ a 0 arctan13 arctan 3

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp, 2021-06-01

Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1. Beräkna arg2z² z, då z 1 och z betyder komplexkonjugat. (1p)

Lösningsförslag: Först w 2z² z a b a b 2 1 ² 1 2 1² 2 1 ² 1 ²: 1 1 3 , så arg w arctan^b_aΠ

a 0

arctan₁³ arctan 3 .

w 2 z² z . z 1 1 3

Arg w tan¹3

Rätt svarsalternativ: d a arctan 3 b arctan¹₃ c ^Π₆ d arctan 3 e Inget av a till d.

2.Lös ekvationen z 2 z , där z betyder komplexkonjugat. (1p)

Lösningsförslag: Ansätt z a b. Sedan kravet på likhet mellan komplexa tal, med andra ord identifiera real- och imaginärdelar.

z 2 z

a b

a b a b 2 a b ^{2: 1} a b 2a 2b ^Likhet Re : a 2b 0

Im : b 2a 1

a ²₃ b ¹₃. En sista ängslig test...

Solve z 2 z

z 2 3 3^

Rätt svarsalternativ: b a 1 b ²₃ ¹₃ c ²₃ d 2 ¹₃ e Inget av a till d.

3.Beräkna 1 ¹₅ ¹₅² ¹₅³ . (1p)

Lösningsförslag: Geometrisk (prototyp)summa med kvoten q ¹₅, ty 1 ¹₅ ¹₅² ¹₅³ 1  ¹₅  ¹₅²  ¹₅³ . För n 1 termer är summan ^{1 }

1 5^{n 1} 1  ¹₅

1 1 ¹₅

5

6då n .



i 0

1 5

i

5

6 Rätt svarsalternativ: c

a ⁵₇ b ⁷₉ c ⁵₆ d ₁₁⁹ e Inget av a till d.

4. Bestäm naturliga Df och Vf till funktionen f x _{2x 4}¹ . (1p)

Lösningsförslag: Här måste 2x 4 0, på grund av i nämnaren. Så 2x 4 0 x 2, varav Df 2, och Vf 0, .

Plot 1 2 x 4

, x, 2, 5 , PlotRange 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel x, f x 

2 1 0 1 2 3 4 5 x 1

2 3 4 5 f x

Rätt svarsalternativ: e a Df x 2, Vf 0, b Df x 2, Vf

c Df 2, , Vf 0, d Df , 2 , Vf 0, e Inget av a till d.

5.Lös ekvationen 4 8^x 3 2^{3x 1} 20. (1p)

Lösningsförslag: Ta hjälp av potenslagarna, 4 8^x 3 2^{3x 1} 20 4 2³^x 3 2^3x 2¹ 20 4 2^3x 3 2^3x 2¹ 20 2^3x4 3 2 20 2^3x 2 2^3x 2¹ 3x 1 x ¹₃. Detta klarar naturligtvis vår bästa kompis oxå

Solve4 8^x 3 2^{3 x 1} 20, x, Reals

x 1 3^

Rätt svarsalternativ: c a ²₃ b ¹₃ c ¹₃ d ²₃ e Inget av a till d.

6.Lös ekvationen ln x lnx² 8. (1p)

Lösningsförslag: Logaritmlagarna, ln x lnx² 8^{x 0}2 ln x ² 8 ln x 2 x1,2 2 0, så ok. Mathematica är försiktig med logaritmlagarna eftersom den inte vet vad x kan vara. Vi får hjälpa till.

SolveLog x Logx² 8, x, Reals

x 1

2,x ²

Rätt svarsalternativ: b

a ² b ² c d 2 e Inget av a till d.

7. Låt f x ln2sin²x x². Bestäm f ' Π. (1p)

Lösningsförslag: Jobba på med lämpliga regler, _xln2sin²x x² u 2sin²x x² _u ln u _x2sin² x x²

u ln u 2 _xsin²x _xx² v sin x _u ln u 2 _vv² _x sin x _xx² SD ¹_u 2 2v cos x 2x Byt tillbaka 4sin x cos x 2x

2sin²x x² . Undrar om Mathematica klarar detta Df x Log2 Sin x ² x², x

. x Π

f x 2 x 4 sin x cos x x² 2 sin²x f Π 2

Π Rätt svarsalternativ: a

a ²_Π b ₈^4Π_Π c ₈^Π

Π² d ₈⁴

Π² e Inget av a till d.

8.Låt f x x^x. Bestäm f ' 1 . (1p)

Lösningsförslag: _x x^x _x ^{ln xx} _x ^{xln x} KR, PR & SD ^{xln x}1 ln x x ¹_x x^xln x 1 . Så f ' 1 1¹ 0 1 1.

D f x x^x, x . x 1 f x x^x log x 1 f 1 1

Rätt svarsalternativ: d a b 2 c ln 2 d 1 e Inget av a till d.

9.Låt f x ^x2

3x 1². Bestäm f ' 1 . (1p)

Lösningsförslag: _x_{3x 1}^x2 ₂ KVR & SD ^{2x 3x 12 x22 3x 12 13}

3x 1²²

x ¹₃ 2x 3x 1 x²6 3x 1³

2x

3x 1³ x 1 _{3 1 1}^{2 1} ₃ ¹₄.

Df x x²

3 x 1 ²

, x Simplify . x 1

f x 2 x

3 x 1³

f 1 1

4 Rätt svarsalternativ: e

a ¹₃ b ²₃ c ¹₂ d ²₅ e Inget av a till d.

10. Givet kurvan y² 2 y 1 sin^Π₂x y. Sök ^y_t i punkten x 2, y 1 då ^x_t 1. (1p)

Lösningsförslag: Derivera implicit, sätt in numeriska värden. Lös slutligen ut ^y_t.

Dy t ² 2 y t 1 SinΠ 2

x t y t , t

. x t 2, y t 1, x ' t 1 Solve

2 y t y t 2 y t 1

2^Πy t x t 1

2^Πx t y t cos 1 2^Πx t y t 0 Πy t ^Π

2

y t 1 2^

Rätt svarsalternativ: a a ¹₂ b ¹₄ c ¹₄ d ¹₂ e Inget av a till d.

11. Beräkna ₁^{2 x 2}_x2 x. (1p) Lösningsförslag: Vi får ₁^{2 x 2}

x² x ₁^{2 1}_x ²

x² x ln x ²_x₁² ln 2 1 ln 1 2 1 ln 2 .



1 2x 2

x² x 1 log 2

Rätt svarsalternativ: a a 1 ln 2 b ln 6 c ln²₃ d 1 ln 6 e Inget av a till d.

12. Bestäm ₁^{2 x}_x3²₁ x. (1p)

Lösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u x³ 1, så har vi u 3x² x, med gränserna xu 1 uu 1³ 1 2 och xö 2 uö 2³ 1 9. Nu är det bara att meka ihop det hela, ₁^{2 x}_x3²₁ x ₂^{9 x}_u²_3x¹₂ u ¹₃ ln u ₂⁹ ₃¹ ln 9 ln 2 ¹₃ln⁹₂.



1 2 x²

x³ 1 x 1

3log 9

2 Rätt svarsalternativ: c

a ln 9 b ¹₃ln 9 c ¹₃ln⁹₂ d ln⁹₂ e Inget av a till d.

13. Beräkna ₀^Π2xsin x x. (1p)

Lösningsförslag: Partiell integration för att “bli av” med x-et, ₀^Π2xsin x x x cos x ₀^Π2 ₀^Π21 cos x x xcos x sin x ₀^Π2  ^Π₂ 0 1 0 1 0 1.



0 Π 2

x Sin x x 1

Rätt svarsalternativ: a a 1 b ³₂ c ^Π₂ d Π e Inget av a till d.

14.Bestäm volymen av sockerkakan som uppkommer då det område i första kvadranten som innesluts av x–axeln och grafen till y 2x 1 x roterar ett varv kring y–axeln. 1p

Lösningsförslag: Vi har direkt med "formel" V _a^b2Πx y x. Integrationsgränserna ges av kurvans skärningspunkter med x-axeln, 2x 1 x 0 x 0 eller x 1. Så ₀¹2Πx 2x 1 x x 4Π ₀¹x² x³ x 4Π¹₃x^{3 1}₄x⁴₀¹ 4Π¹_{3 4}¹ 0 4Π^{4 3}₁₂ ^Π₃.



0 1

2 Π x 2 x 1 x x Π

3 Rätt svarsalternativ: e

a ^Π₂ b ^Π₄ c ^Π₅ d ^Π₆ e Inget av a till d.

15. Bestäm längden av kurvan y x ²₃ x 1^{3 2}, x 1, 4 . (1p)

Lösningsförslag: Vi kommer ihåg formeln, annars får vi härleda likt det är gjort i kompendiet. Så S _a^b 1 y' x² x

1

4 1 ²₃ ³₂ x 1^{1 2}² x ₁⁴ x x ²₃x^{3 2}₁^{4 2}₃ 8 1 ¹⁴₃. Mathematica både deriverar, förenklar och integrerar åt oss.



1 4

1 D2 3

x 1 ^{3 2}, x

2

x 14

3 Rätt svarsalternativ: b

a ¹⁰₃ b ¹⁴₃ c ¹⁸₃ d ²²₃ e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16̅20.I en liksidig triangel med sidan a är en rektangel inskriven enligt figuren till höger. Vi söker den rektangel som har störst area.

16. Låt rektangeln ha basen b och höjden h. Sök sambandet mellan dessa. (1p) Lösningsförslag: Efter en stund funderande får vi

bÅh h 1 2

a b TanΠ 3



h 1

2 3 a b

Rätt svarsalternativ: d

a bÅh ¹

2 h a b Tan^Π

3 b bÅh h ¹

2 a b Tan^Π

6

c bÅh h 2 a b Tan^Π

4 d bÅh h ¹

2 a b Tan^Π

3 e Inget av a till d.

17. Lös ut rektangelns area A b och höjd h b . (1p)

Lösningsförslag: Typisk övning med Solve.

AÅh SolveA b h, bÅh, A, h 

A 1

2 3 b a b , h 1

2 3 a b

Rätt svarsalternativ: a

a AÅh SolveA b h, bÅh, A, h  b AÅh SolveA b h, bÅh, A, b  c AÅh SolveA b h, bÅh, A, b  d AÅh SolveA b h, bÅh, A, h

e Inget av a till d.

18. Låt a 1 och rita A b , b 0, 1 , i orange. Pynta axlarna! (1p) Lösningsförslag: Rita på med Plot.

PlotA . AÅh . a 1, b, 0, 1 , PlotStyle Orange, AxesLabel b, A b 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0b 0.05

0.10 0.15 0.20 A b

Rätt svarsalternativ: a

a PlotA . AÅh . a 1, b, 0, 1 , PlotStyle Orange, AxesLabel b, A b 

b PlotA . a 1 . AÅh, b, 0, 1 , PlotStyle Orange, AxesLabel b, A b 

c PlotAÅh . A . a 1, b, 0, 1 , PlotStyle Orange, AxesLabel b, A b 

d PlotAÅh . a 1, b, 0, 1 , PlotStyle Orange, AxesLabel b, A b 

e Inget av a till d.

19. Bestäm det b som maximerar A b . (1p)

Lösningsförslag: Derivera och sök nollställe till derivatan.

bOpt SolveDA . AÅh, b 0, b First

b a 2^

Rätt svarsalternativ: e

a bOpt SolveDAÅh, b 0, b b bOpt SolveD A, b . AÅh 0, b

c bOpt MaximizeAÅh, b d bOpt SolveDAÅh . A, b 0, b e Inget av a till d.

20. Bestäm maximalt A och tillhörande h. (1p)

Lösningsförslag: Sätt in optimalt b i regeln från Solve så får vi ett snyggt självdokumenterande svar.

AÅh . bOpt

A 3 a²

8 , h 3 a 4 ^

Rätt svarsalternativ: b

a bOpt . AÅh b AÅh . bOpt c AÅh . b bOpt d AÅh bOpt e Inget av a till d.

21.Bestäm arean av en cirkel med radien R. 1p

Lösningsförslag: Cirkelarean som fyra kvartscirklar, varav den i första kvadranten med smala rektanglar.

4 

0 R

R² x² x PowerExpand

ΠR²

Rätt svarsalternativ: d a

R

R2 Π r r b

0

RΠ r² r c

R

R2 R R x x d

0

R4 R² x² x e Inget av a till d.

22.Bestäm omkretsen av en cirkel med radien R. 1p

Lösningsförslag: Omkretsen, där en liten bit s R Θ om Θ är bågvinkeln, så



0 2 Π

R Θ 2ΠR

Rätt svarsalternativ: c a

R

RR² x² x b

0

RΠ r r c

0

2 ΠR Θ d

0

2 Π2 Π r Θ e Inget av a till d.

23.Bestäm volymen av ett klot med radien R. 1p

Lösningsförslag: Välj metoden med tunnväggiga rör. Så med formel V 2Πx y x



0 R

2 Π x 2 R² x² x PowerExpand 4ΠR³

3 Rätt svarsalternativ: a

a

0

R2 Π x 2 R² x² x b

0

RΠ x R² x² x

c 0

R2 Π x R x 

2

x d

0

RΠ R² x² x e Inget av a till d.

24.Bestäm volymen av en rak cirkulär kon med basradien R och höjden H. 1p

Lösningsförslag: Välj metoden med tunna cylindrar från toppen ner till botten.



0 H

Π h HR

2

h 1

3^ΠH R²

Rätt svarsalternativ: b

a

0 HΠ ^h

R H² h b

0 HΠ ^h

H R² h

c 0

R2 Π x H x x d

0

RΠ H² x² x e Inget av a till d.

25.I en smal stång med längden L m är densitetenΡkg m i varje punkt x proportionell med k mot x i kvadrat. Bestäm

tyngdpunkten Gur _mx G m 0. 1p ^{0 L x}

Lösningsförslag: Massan för en liten bit x vid x är m Ρ x x k x² x och slutligen tyngdpunktens läge.

Solve

0 L

x G k x² x 0, G

 G 3 L 4 ^

Rätt svarsalternativ: d

a Solve

0

Lx _Gk x² x 0, _G b Solve

0

Lk x² _G x 0, _G c Solve

0

Lx k x² _G x 0, _G d Solve

0

L x _G k x² x 0, _G e Inget av a till d.

26.En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök masströghetsmomentet J _mr² m då den roterar kring axeln linjen x a. 1p

a x b

y

Lösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ ₁^m

2ab. Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor y x, där y ges av likformiga trianglar _b^{y a x}_a . Bidraget till masströghetsmomentet från en sådan är J r² m x a²Ρy x. Nu är det bara att lägga samman.



0 J

J 

0 a

x a ² 2 m a b

ba x a

x

J a²m

2 Rätt svarsalternativ: c

a

0 J J

0

a x a x ^m

a b b ^x

a x b

0 J J

0

ax² a² ^m

a b x x

c 0

J J

0

a x a ^{2 2 m}

a b b ^{a x}

a x d

0 J J

0

a x a ^{2 2 m}

a b a ^{a x}

b x e Inget av a till d.

27̅30. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt p y Ρg y N m², där y är djupet under vattenytan.

27. Strimla luckan i y–led, A b y. Bestäm strimlans bredd b vid y med lämpligt geometrisamband. Spara b som regel. (1p) Lösningsförslag:Snegla på problemtextens figur, så har vi

direkt med likformiga trianglar strimlans bredd b på djupet y, se figur till höger.

bAvy Solveb 6

2 8 y 8

, b First

b 3

4 y 10

Rätt svarsalternativ: c

a bAvy Solve^b

y 8

6, y b bAvy Solve^b

4 2 y

8 , y

c bAvy Solve^b

6

2 8 y

8 , y d bAvy Solve^b

8 2 y

10, y e Inget av a till d.

28. Bestäm tryckkraften dF på den lilla strimlan dA vid djupet y. (1p)

Lösningsförslag: På djupet y har vi den lilla rektangelarean A b y på vilken den lilla tryckkraften F p y A verkar.

dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy 3

4dy gΡ y 10 y

Rätt svarsalternativ: e

a dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy b dF p y dA . bAvy . dA b dy; p y Ρ g y c dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y, b bAvy d dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy e Inget av a till d.

29. Bestäm tryckkraften F på luckan. (1p)

Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan.



0 F

F 

2 2 8dF

dy y

F 112 gΡ

Rätt svarsalternativ: a

a 0

F F

2 2 8 dF

dy y b

0 F F

2 8dF y

c 0

F F

0 10 dF

dy y d

0 F F

2 8 dF

dy y e Inget av a till d.

30. Bestäm vridmomentet M kring en axel i luckans plan vid vattenytan som orsakas av vattentrycket. (1p) Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M y F över dammluckan.



0 M

M 

2 2 8

y dF dy y M 608 gΡ

Rätt svarsalternativ: c

a 0

Fy F

2 2 8 dF

dy y b

0 M F

2

8y dF y

c 0

M M

2 10y ^dF

dy y d

0 My M

2 2 8 dF

dy y e Inget av a till d.