Företagsekonomiska institutionen
STOCKHOLMS UNIVERSITET Magisteruppsats 10 poäng
VT 2006
Portföljoptimering som alternativ till
indexfonder
Hur skulle en fond konstruerad enligt
portföljoptimeringsmodeller utvecklas i jämförelse med index?
Författare: Mikael Brodersen Handledare: Jens Lindberg
Peter Elfgren
Abstract
This paper investigates the possibilities to construct automatized portfolios based on optimizations strategies that could outperform comparable indexes. The study is based on time-series of Swedish stocks dating from 1986 to 2006. In the research four different portfolio optimization techniques were studied. These were: the Classical Markowitz Approach, Mean-Absolute-Deviation, Minimum-Regret and Conditional Value-at-Risk of which the three latter are based on generated scenarios.
The behaviour of these models was studied for different choices of parameters such as backward time-horizon and targeted average return. The constructed portfolios were then rebalanced on equidistributed occasions in time. The results indicate that portfolio
optimization models could indeed generate a better return than index. Particularly, the Minimum-regret technique on average outperforms index significantly, whereas it does not rebalance the assets in the portfolio as often as the other scenario-based models. Markowitz shows good results when rebalanced quite infrequently.
Innehållsförteckning
1 Introduktionskapitel ... 4
1.1 Bakgrund ... 4
1.2 Definition av undersökningsproblemet ... 6
1.3 Syfte ... 6
1.4 Perspektiv ... 6
1.5 Eventuella Avgränsningar ... 7
1.6 Uppsatsens upplägg... 7
2 Teoretisk referensram... 8
2.1 Effektiva kontra ineffektiva marknader ... 8
2.2 Markowitz ... 8
2.3 Scenario-Optimering ... 10
2.3.1 Mean-Absolute Deviation ... 11
2.3.2 Minimum Regret ... 12
2.3.3 Conditional Value-at-Risk... 12
3 Metod ... 14
3.1 Vetenskapssyn ... 14
3.2 Val av metod ... 15
3.2.1 Datainsamling & anpassning av data ... 15
3.2.2 Modellanpassning... 16
3.2.3 Utvärderingsmetod ... 18
3.3 Validitet, reliabilitet & generaliserbarhet... 20
4 Egen undersökning ... 22
4.1 Resultat... 22
4.1.1 Markowitz ... 23
4.1.2 MAD - Mean Absolute Deviation ... 26
4.1.3 Minimum Regret ... 29
4.1.4 Conditional Value at Risk ... 32
4.2 Analys... 35
4.2.1 Kort sikt... 36
5 Slutsatser ... 38
5.1 Diskussion ... 38
5.2 Fortsatt forskning ... 39
6 Litteraturreferenser... 40
6.1 Böcker ... 40
6.2 Artiklar ... 40
6.3 Elektroniska källor ... 41
6.4 Övriga källor ... 41
7 Bilagor ... 42
7.1 Bilaga 1 ... 42
7.2 Bilaga 2 ... 43
7.3 Bilaga 3 ... 44
7.4 Bilaga 4 ... 45
1 Introduktionskapitel
1.1 Bakgrund
John C. Bogle, grundare av indexfondförvaltarna The Vanguard Group, är en ivrig, även om partisk, förespråkare för indexfonder. Han uttalade sig om detta i Dagens Industri den 20 november 2002: ”Varför ska man nöja sig med 75 procent när man kan få hela värdeökningen genom att placera i en indexfond?” 1 , detta grundar sig på statistik i USA som visar att: 169 aktiefonder var verksamma i USA under hela perioden 1970–1999.
Värdestegringen (efter avgifter) i genomsnitt motsvarar tre fjärdedelar av uppgången i indexet S&P 500. 2
Detta påstående om indexfondernas fördelar gentemot aktivt förvaltade fonder förstärks även av det faktum att indexfonder erbjuder en lägre förvaltningsavgift än de aktivt förvaltade.
Påståendet ovan, vilket som nämnts är av partisk karaktär och bör därför ifrågasättas, men även stora delar av oberoende expertis påpekar indexfondernas fördelar. Även i akademiska kretsar finns det artiklar som påvisar detta samband som exempelvis: Mutual Fund Performance 3 och den senare: Another Puzzle: The Growth in Actively Managed Mutual Funds 4 . Även om den större delen av artiklar och undersökningar som behandlat detta område, påpekar index eller indexfondernas positiva utveckling gentemot de aktivt förvaltade fonderna, så finns det självklart empiriska undersökningar där motsatsen, ofta inom begränsade perioder, har påvisats.
Området har även behandlats i Sverige där flera undersökningar har påvisat att svenska fonder i de flesta fall har sämre avkastning än jämförande index. Tidningen Dagens Industri
publicerade den 4 januari 2006 en studie om hur Sverigefonderna hade utvecklats i jämförelse med index under 2005. Resultatet var att bara 5 av 23 Sverigefonder hade klarat att slå index 5 . En utförligare studie, som utfärdats av tidningen Sparöversikt år 2002, jämförde fonders utveckling gentemot index på tre och fem års sikt. Studien visade 80 procent av fonderna gått sämre än sina jämförelseindex 6 .
Om indexfonder, vilket tidigare diskuterats, skulle både generera bättre avkastning och dessutom erbjuda lägre förvaltningsavgifter än aktivt förvaltade fonder, finns det då andra alternativ till indexfonder? Kan alternativ finnas inom finansiell teoribildning?
Inom finansiell teoribildning är modern portföljteori ett område som bland annat behandlar optimering av portföljer, vilka analytiskt kan jämföras med fonder.
Modern portföljteori och även den effektiva marknadshypotesen bygger på antagandet att risk bygger på volatilitet. Enligt modern portföljteori är investerarna riskaversiva, de är beredda att acceptera en högre risk (volatilitet) för högre avkastning och sedermera acceptera en lägre avkastning för en investering med en lägre riskbild. Skaparen av den moderna portföljteorin, Harry Markowitz var en av de första att kvantifiera risk och att kvalitativt demonstrera varför och hur portföljdiversifiering kan fungera som riskreduktion för investerare. Han låg även bakom idén om en effektiv/optimal portfölj, vilken baseras på relationen mellan risk och
1
Svensson, 2002, http://www.di.se/ hämtad den 29 april 2006
2
ibid
3
Sharpe, 1966
4
Gruber, 1996
5
Hammarström, 2006, http://www.di.se/ hämtad den 20 april 2006
6
Huldschiner, 2002, http://www.di.se/ hämtad den 20 april 2006
avkastning. Optimering i det avseendet är: minimering av risk, givet grad av förväntad avkastning eller motsatt d.v.s. maximering av förväntad avkastning givet riskgrad. Den optimala portföljen skapas med hjälp av mått på: avkastning, risk (standard avvikelse) samt korrelation koefficienter för varje tillgång.
Den moderna portföljteorin är och har varit hårt utsatt, där bland annat kritik framförts kring dess grundantaganden såsom förhållandet mellan risk och avkastning. De hävdar att det inte finns en permanent korrelation mellan risk och avkastning. Hög risk (volatilitet) ger inte alltid bättre avkastning och en lägre risk genererar inte konsekvent en lägre avkastning . Märkbar kritik framförs även kring den effektiva marknadens förutsättningar, där ifrågasättande av investerarnas rationalitet och marknadens anomalier är betydande.
Portföljteori inom fondförvaltning är ett område som behandlas i magisteruppsatsen: Portfolio Optimisation in Equity Funds and Portfolio Management in Project Financing 7 . Studien baseras, dels på intervjuer med representanter från en bank och ett antal fondförvaltare, dels på användandet av en optimeringsmodell.
Författaren har intervjuat 10 förvaltare på den studerade banken och intervjuresultatet tyder på att det bara är på de högre organisationsnivåerna man använder sig av portföljteori för att allokera bankens kapital medan det inte nämns i uppsatsen exakt hur detta går till. Endast två av de intervjuade fondförvaltarna använde portföljteori för att beräkna vikterna i de olika tillgångarna. En intressant iakttagelse av författaren är att de fondförvaltare som har använt någon form av optimeringsmodell har haft en bättre utveckling på sitt förvaltade kapital än de övriga.
En annan artikel som berör investeringsstrategier är: On Mutual Fund Investment Styles 8 där författarna utreder olika investeringsstilar som används hos olika fonder. Författarna kommer till slutsatsen att bara väldigt få fonder tar (extrema) positioner som avviker från index. De få fonder som går in i sådana positioner tenderar att premiera tillväxtaktier och ”past winners”
det vill säga aktier som tidigare har gått bra. De skriver vidare att fondförvaltare kanske undviker att eftersträva investeringsstrategier som dokumenterats ge upphov till överlägsna historiska avkastningar då detta kan involvera ett högt personligt risktagande hos
fondförvaltaren. Detta leder till investeringsstrategier som avviker väldigt lite från
marknadsindex. En annan faktor som kan ha betydelse är att fondförvaltarnas prestationer utvärderas på ganska kort sikt vilket ytterligare kan bidra till att deras portföljer ligger nära index. Andra intressanta fynd i studien är att fondförvaltare i tider av motgångar upplever en stark press på sig att ändra investeringsstil.
Sammanfattningsvis bör nämnas att indexfondernas fördelar belyses under den effektiva marknadens förutsättningar, där det är underförstått att marknaden inte går att ”slå”. När dessa förutsättningar ifrågasätts så indikerar det att det finns möjligheter att övervinna marknaden.
Det finns ett antal stöd för denna tes, där det främsta exemplet är Warren Buffett, en man som upprepade gånger lyckats ”slå” marknaden. Men Warren Buffett och de andra ytterst
framgångsrika aktörerna utgör enbart en mycket liten del av marknadens aktörer. Flertalet, även inräknat de professionella aktörerna, lyckas inte med bedriften att genomgående ”slå”
marknaden. Om detta bekräftar eller förkastar den effektiva marknadshypotesen, låtes här vara osagt, men tydligt är att flertalet undersökningar tyder på att merparten av de aktiva fondförvaltarna inte konsekvent lyckas med detta. Därför bör indexfonderna för närvarande
7
Sylwan, 2003
8
Chan, 2002
ses som det mest fördelaktiga alternativet, speciellt mot bakgrund av de förhållandevis moderata avgifterna.
1.2 Definition av undersökningsproblemet
Med utgångspunkt i det inledande avsnittet tycks det som om aktivt förvaltade aktiefonder förefaller avkasta ganska dåligt i jämförelse med index. Detta skulle man kunna tolka som att en rationell investerare gör bäst i att investera sina pengar i en indexfond, som ju dessutom har lägre avgifter. Frågan är om indexfonder verkligen är det bästa alternativet eller om det går att konstruera ”mekaniska” fondstrategier som ger bättre avkastning än index men som skulle kosta lika lite att förvalta som en indexfond.
I inledningen berättades kort om klassisk portföljteori och portföljoptimeringsmodeller. Ett sätt att åstadkomma en bättre avkastning än index vore kanske att använda sig av någon form av portföljoptimeringsmodell. Som nämnts verkar inte portföljoptimeringsmodeller vara särskilt vanliga i fonder och där de används verkar de snarare vara komplement i aktivt förvaltade fonder. Frågeställningen i denna uppsats lyder således:
Är det möjligt att hitta en automatiserad portföljoptimeringsstrategi som ger bättre avkastning än index?
Om sådana portföljoptimeringsstrategier går att finna skulle en följdfråga vara varför sådana strategier inte verkar förekomma i förvaltning av fonder.
1.3 Syfte
.
Huvudsyftet med denna uppsats är att använda olika portföljoptimeringsmodeller på reell aktiekurshistorik för att se om det går att hitta en optimeringsstrategi som skulle kunna vara ett alternativ till indexfonder. Därutöver kan studierna av portföljoptimeringsmodellerna förhoppningsvis ge fördjupad förståelse av teorin bakom modellerna när de implementeras på riktig data. Ett ytterligare syfte är att utreda vad som händer om modellerna används på (delvis) nya sätt samt att jämföra olika modeller med varandra.
Det tycks även som ganska få studier har gjorts där portföljoptimeringsmodeller testats empiriskt över olika långa tidsperioder, för att se vad tidsaspekten har för betydelse för optimeringsmodellens prestanda.
1.4 Perspektiv
Rapporten är i huvudsak författad utifrån ett förståelseinriktat perspektiv, för att bringa klarhet
i vilka förtjänster användandet av portföljoptimeringsmodeller kan innebära. Det valda
perspektivet gör det möjligt för både fondförvaltare och investerare i fonder att få glädje av
rapporten. Ur en fondförvaltares synvinkel kan det vara intressant att se på alternativ som
kanske kan leda till uppstartandet av nya fonder. För en investerare kan det vara intressant att
få fördjupad förståelse för vad en investering i en fond baserad på portföljteori skulle kunna
innebära.
1.5 Avgränsningar
För att göra studien genomförbar är det tvunget att avgränsa de möjliga tillgångar som skall kunna tas i de skapade portföljerna. Först och främst är studien begränsad till att enbart avhandla aktier vilket motiveras av att det finns lämpliga aktieindex att jämföra med.
Dessutom är placeringsmöjligheterna ytterligare begränsade till att enbart innefatta svenska aktier på A- och O-listan. Aktier som under tiden har försvunnit från A- och O-listan har också exkluderat vilket gör att enbart aktier som fanns noterade den 30 december 2005 ingår i studien. Tidsserierna för de aktier som ingår i studien har som tidigaste startdatum den 2 januari 1986 vilket innebär att studien använder sig av cirka 20 år långa tidsserier.
Av naturliga skäl kan inte alla upptänkliga portföljoptimeringsmodeller behandlas i uppsatsen.
Därför har studien begränsats till att omfatta fyra olika modeller som redogörs för i teorikapitlet.
1.6 Uppsatsens upplägg
Teorikapitlet inleds med en introduktion om betydelsen av effektiva respektive ineffektiva marknader. Kapitlet fortsätter sedan med en redogörelse för den moderna portföljteorin med Markowitz’ modell för portföljoptimering samt en kortare introduktion till CAPM samt av olika riskmått och prestationsmått. Nästa avsnitt handlar om scenarieoptimering där tre olika scenarieoptimeringsmodeller presenteras.
Metodkapitlet beskriver hur modellerna har implementerats, t.ex. i fråga om val av parametrar och behandling av data för att passa i modellerna.
I resultat- och analyskapitlet redovisas de viktigaste fynden från undersökningen. För att göra materialet mer lättöverskådligt redovisas en stor del av resultaten i form av olika grafer och bilder. Resultaten presenteras först var för sig för var och en av modellerna och sedan tillsammans i ett avslutande jämförande avsnitt.
I det avslutande kapitlet presenteras slutligen det sammanfattade intrycket från studien och en
diskussion förs om i vilken mån frågeställningen har kunnat besvaras.
2 Teoretisk referensram
2.1 Effektiva kontra ineffektiva marknader
Den klassiska definitionen av en effektiv marknad är en marknad i vilken alla värdepapperspriser vid varje tillfälle till fullo reflekterar all publikt tillgänglig information.
Den effektiva marknadshypotesen innebär att värdepappersmarknaden i den ”verkliga”
världen är effektiva enligt definitionen. En starkare formulering av hypotesen är att priserna reflekterar all information alltså även sådan information som inte är tillgänglig för allmänheten d.v.s. insiderinformation. 9
En implikation av denna hypotes är att aktiepriser och därmed aktieavkastningar är slumpmässiga och följer så kallade ”random walks”. 10 En random walk är en process där enbart det nuvarande värdet är relevant för att prediktera framtiden. Detta leder dels till att förutsägelserna är osäkra och måste uttryckas i form av sannolikhetsfördelningar, dels till att prisets sannolikhetsfördelning vid varje godtycklig tidpunkt i framtiden är oberoende av vilken väg prisprocessen har tagit för att nå punkten. 11
En konsekvens är att om EMH är sann är det omöjligt att använda handelssystem som enbart baseras på idag tillgänglig information för att erhålla en förväntad avkastning över jämviktsavkastningen eller marknadens avkastning. Således skulle alla pengar för att analysera, välja och handla värdepapper vara bortkastade. I denna situation vore det bättre att investera alla tillgångar i marknadsportföljen. 12 EMH är dock inte självklar och de senaste tjugo åren har både de teoretiska fundamenten bakom EMH samt de empiriska undersökningar som stödjer hypotesen ifrågasatts. 13
2.2 Markowitz
Markowitz-modellen utgör en grund för investeringsteori baserad på två tidpunkter, idag t = 0 samt någon tidpunkt i framtiden t = T. Modellen behandlar balansen mellan förväntad avkastning och variansen hos portföljens avkastning. 14
Portföljer som bara innehåller ett litet antal tillgångar kan innebära en stor risk i form av en relativt stor varians 15 . Markowitz-modellen tar fasta på att variansen ofta kan minskas genom att inkludera fler tillgångar i portföljen, d.v.s. modellen använder sig av diversifiering för att minska portföljens varians till en given avkastning.
Portföljens varians kan skrivas som VAR ( ) ω T R = ω T COV ( R , R ) ω = ω T V ω d
)
är betecknar portföljens vikt i respektive tillgång samt anger avkastningen för respektive tillgång. Detta leder till att Markowitz modellen där korta positioner i kontrakt är tillåtna kan formuleras som
( ω ω N T
ω = 1 ,..., R = ( R 1 ,..., R N ) T
16 :
9
Schleifer, 2000, sid 1
10
ibid, sid 2-3
11
Hull, 2003, sid 217
12
Schleifer, 2000, sid 1
13
ibid, sid 2
14
Luenberger, 1998, sid 156
15
ibid, sid 151
16
Armerin, 2004, sid 57-58
⎪ ⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑ =
1 .
2 min 1
1 arg N
i i T
et t T
T
I r a
s
V
ω ω
μ ω
ω
ω ω
Där μ = ( E [ ] R 1 ,..., E [ ] R N ) T är väntevärdet för respektive tillgångs avkastning och är den förväntade avkastning som portföljen ska uppnå. Problemet formulerat enligt ovan utan olikhetsvillkor har en exakt lösning enligt nedanstående:
et
r t arg
( ) (
{ cr b a br I }
b V
ac t arg et t arg et
1 2
ˆ 1 − + −
= − − μ
ω )
där
( ) T
T T
T V b V I c I V I I
a = μ − 1 μ , = μ − 1 , = − 1 , = 1 ,..., 1
Markowitz modellen där korta positioner inte tillåts kan skrivas enligt följande
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
=
≥
=
=
N i
I r a
s
V
i T
et t T
T
,..., 1 0
1 .
2 min 1
arg
ω ω
μ ω
ω
ω ω
Detta problem kan inte skrivas om som ett system av lineära ekvationer och lösas analytiskt utan löses med hjälp av kvadratisk programmering, där man försöker hitta en lösning som så bra som möjligt uppfyller villkoren. En effektiv portfölj är en portfölj som i Markowitz- modellen får en så låg varians som möjligt givet ett visst värde på r t arg et .
Om man även inkluderar en riskfri tillgång med avkastning i Markowitz- modellen, säger CAPM (Capital Asset Pricing Model) att den enda effektiva portföljsammansättningen enbart bestående av riskfyllda tillgångar är densamma som marknadsportföljens. Det enda som skiljer olika investerare med effektiva portföljer från varandra är hur stor andel av sitt investerade kapital de har allokerat till den riskfria tillgången respektive till marknadsportföljen.
r f
17 Följden av CAPM skulle bli att det enda rimliga investeringsrekommendationen skulle bli att investera i marknaden eller snarare en indexfond som försöker följa marknadsportföljen.
17
Luenberger, 1998, sid 183
Om marknadsportföljen M är effektiv och har avkastning , kan varje tillgångs förväntade avkastning
r M
r skrivas som i r i − r f = β ˆ i ( r M − r f ) där ˆ 2
M iM
i σ
β = σ . 18 kan således tolkas som
ett riskmått som mäter tillgången i:s rörelser (korrelation) i förhållande till marknadsportföljen. En tillgång som har = 0 är helt okorrelerad med marknadsportföljen och bör alltså ha en förväntad avkastning på d.v.s. samma förväntade avkastning som den riskfria tillgången.
β ˆ i
β ˆ i
r f
Många investerare är inte helt nöjda med CAPM:s lösning som säger att marknadsportföljen är den bästa portfölj man kan inneha. Dessa investerare tror att man kan få en bättre avkastning genom att söka en optimal portfölj genom att använda Markowitz-modellen rakt av, genom att göra bra val av parametrar. Problemet är dock att det är svårt att få korrekta estimat av den förväntade avkastningen för vanliga aktier med hjälp av historisk data. Ett stort problem i sammanhanget är att lösningen i Markowitz-modellen är relativt känslig för förändringar i dessa värden. Enligt Luenberger 19 gör detta att det i stort sett är meningslöst att använda Markowitz-modellen enbart på historisk data. Luenberger skriver vidare att man kan få bättre estimat om det finns ytterligare information utöver den information som finns inbakad i historisk data. Sådan information kan t.ex. bestå av fundamental analys av olika företag eller från nyhetsartiklar och personlig erfarenhet. Det finns då sätt att kombinera denna typ av information med den historiska datan för att erhålla bättre estimat.
Ett mått som används för att utvärdera fonders utveckling och som förknippas med CAPM är den så kallade Sharpe-Kvoten. Denna kvot kan skrivas som r r S
p f
p − =
σ
20 , där S betecknar kvoten, r p betecknar portföljens förväntade avkastning och σ är portföljens p standardavvikelse.
2.3 Scenario-Optimering
Scenario-optimering går ut på att undersöka hur väl olika möjliga lösningar presterar i olika scenarier och sedan försöka hitta en optimal lösning enligt någon målfunktion. Trots att de framtida avkastningarna för de olika valbara tillgångarna är okända så försöker man generera scenarier som är representative för den framtida utvecklingen. 21
Nyckeln till att erhålla en bra lösning är kvaliteten hos de genererade scenarierna. De krav som bör ställas på scenarierna är:
• De bör inte vara för många och därmed ta för lång tid att evaluera
• De måste vara representativa och ge en realistisk beskrivning av det relevanta problemet
• De genererade scenarierna får inte innebära att optimiseringsalgoritmen ”hittar”
lösningar som skulle innebära arbitrage. 22
18
ibid, sid 177
19
Luenberger, 1998, sid 218
20
ibid, sid 187
21
Scherer, 2002, sid 137
22
ibid, sid 142
Scenario-optimering kräver en avsevärd store beräkningsinsats av investeraren än optimering med Markowitz-modellen men kan vara att föredra, bland annat om avkastningarna inte är normalfördelade.
2.3.1 Mean-Absolute Deviation
Denna modell mäter risk som absolut-avvikelse från medelvärdet snarare än kvadrerad avvikelse vilket ju är fallet med varians. Mean - Absolute Deviation (MAD) kan definieras
som ∑ [ ]
=
−
= S
s
s
T R R
MAD S
1
1 ω
Där ω som vanligt betecknar vektorn med portföljvikter, är en vektor med de olika tillgångarnas avkastning i scenario s och
R s
R är en vektor med tillgångarnas medelavkastning över alla scenarier.
I denna modell till skillnad från i varians-baserade metoder är det möjligt att specificera kostnaderna för att avvika från medelvärdet olika beroende på om portföljen överavkastar eller underavkastar. 23
Modellen kan formuleras som:
( )
( )
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪ ⎪
⎪
⎨
⎧
≥
=
≥
=
≥
−
−
=
≥
−
−
∑ =
0 1
,..., 1 , 0
,...
1 , 0 .
.
min 1
arg 1
i T
et t T
s T u s
s T
d s
S
s
s
I r R
S s
R R c MAD
S s
R R c MAD a s
S MAD
ω ω ω ω
ω
ω
Där betecknar kostnaden för att underavkasta i förhållande till portföljmedelvärdet, betecknar kostnaden för att överavkasta i förhållande till portföljmedelvärdet och som vanligt betecknar målavkastningen.
c d c u
et
r t arg 24
23
Scherer, 2002, sid 144-146
24
Topaloglou, 2004, sid 50
2.3.2 Minimum Regret
Minimum Regret kan vara en optimal modell för investerare som under alla förutsättningar (scenarier) inte får ha lägre avkastning än ett visst värde. Denna strategi kan vara lämplig om avkastningarna avviker kraftigt från normalfördelningen eller om investeraren är extremt riskavert.
Modellen kan formuleras som 25 :
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪
⎪ ⎪
⎨
⎧
≥
=
≥
−
=
≥
−
0 1
,..., 1 , 0 .
.
max
arg min
min min
i T
et t T
s T
I R R R
S s
R R a s
R
ω ω ω
ω ω
Där är den lägsta avkastningen som investeraren kan uppleva över alla genererade scenarier. Till skillnad från de tidigare beskrivna modellerna är det här ett maximeringsproblem där målet är att maximera den lägsta möjliga avkastningen.
R min
2.3.3 Conditional Value-at-Risk
Value-at-Risk (VaR) är ytterligare ett mått på portföljrisk. Måttet ger en siffra på den förlust, antingen i form av ett absolut monetärt värde eller som en avkastning, en given portfölj understiger med en sannolikhet på β över en viss given tidsperiod. Ett typiskt värde på konfidensgraden β är 95 procent. Det finns dock ett antal problem förknippade med VaR 26 vilka inte finns hos ett närbesläktat riskmått kallat Conditional Value-at-Risk (CvaR). Detta riskmått ger information om förluster som ligger i svansen hos portföljens avkastningsfördelning.
CVAR i form av avkastning kan skrivas som
( ) [ ]
β β ω
ω −
− +
= ∑ =
1
0 , 1 max
, 1
S
s s
T VAR VAR
CVAR
R S R
R R
Där är VaR i form av avkastning. Det kan visas att man kan formulera en portföljoptimeringsmodell baserad på CVAR som kan lösas med lineär programmering.
Formuleringen lyder enligt nedanstående:
R VAR
27
25
Scherer, 2002, sid 146-148
26
Embrechts, 2005, sid 40-41
27
Topaloglou, 2004, sid 49
n i
I R R
S s
d
S s
R R
d a s
S d R
T
et t T
s i
s T VAR s
S
s s R VAR
d
s VAR,...., 1
1
,..., 1 ,
,..., 1 ,
.
1 1 min 1
arg 0 , 1 ,
=
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨
⎧
=
≥
=
=
−
≥ + −
≥
∑ =
ω ω ω
ω β
ω
Där d s som representerar max [ s , 0 ]
T
VAR R
R − ω är införd som variabel för att det skall vara möjligt att formulera ett lineärt programmeringsproblem.
Annalisa Di Clemente och Cladio Romano 28 har gjort en studie på hur den optimala portföljen baserad CVaR-optimering beror på den metod man använt för att generera scenarier. De metoder de använder i sin studie är Filtered Historical Simulation, multivariate conditional normal distribution samt Monte Carlo. I den sistnämnda antar man att avkastningarna har marginalfördelningarna som är konstruerade så att de följer en normalfördelning i mitten men har en EVT (Extreme Value Theory) – fördelning i svansen. Som underliggande data i studien användes tidsserier för tio italienska aktier under fyra år och den resulterande portföljen antogs behållas under en dag. I studien genererades 5000 scenarier för var och en av de ovannämnda metoderna. Studiens resultat visar att användandet av 99 % CVaR minimering ger en annan kapitalallokering än vad som är fallet när man använder sig av Mean-Variance metoden.
28
Di Clemente, 2003
3 Metod
3.1 Vetenskapssyn
Mot bakgrund av att frågeställningen handlar om att utreda om det går att överträffa indexfonder med mekaniskt konstruerade portföljstrategier, och då de vanligaste förekommande utvärderingsmåtten för fondprestationer är av kvantitativ karaktär har denna uppsats utformats huvudsakligen utifrån en positivistisk grundsyn.
Induktion samt deduktion är två olika sätt att dra slutsatser. Induktion bygger på empiri och deduktion på logiskt giltiga resonemang. 29 Denna undersökning baserar sig på användandet av portföljteori på empirisk data för att kunna säga något om hur teorin fungerar i
”verkligheten”, vilket innebär att undersökningens slutsatser med nödvändighet är baserade på induktiva resonemang.
För att ett induktivt resonemang baserat på empiri skall kunna ansers vara berättigad måste följande villkor vara uppfyllda 30 :
1. Antalet observationer som bildar grunden för generalisering måste vara stort.
2. Observationerna måste upprepas under en lång rad olika förhållanden.
3. Inget accepterat observationspåstående får strida mot den erhållna slutsatsen.
En lösning som innebär att man försöker tillgodose dessa villkor är att utforma undersökningen som experiment. Där huvudsyftet är att isolera och estimera det fenomen som undersökningen är tänkt att mäta. För att detta ska åstadkommas måste experimenten utformas så att de för det första medger reliabilitet men även validitet. Två olika typer av validitet som bör tillgodoses är intern validitet som berör frågan om resultaten som ingår i undersökningen kan anses vara ”sanna”, samt extern validitet som handlar om undersökningens fynd kan generaliseras till att gälla även under andra förutsättningar. 31 I denna undersökning handlar den externa validiteten framförallt om möjligheten till att dra slutsatser om hur de undersökta portföljoptimeringsstrategierna fungerar på andra marknader samt under andra tidsperioder.
De följande avsnitten är tänkta att beskriva den experimentella design som använts i undersökningen samt att försöka motivera de val av tillvägagångssätt som gjorts men även att belysa de svagheter som dessa val medför.
29
Thurén, 2002, sid 19
30
Chalmers, 2003, sid 56
31
Ghauri, 2005, sid 65
3.2 Val av metod
I detta avsnitt avhandlas undersökningens konkreta utformande både i form av datainsamling samt hur ovidkommande störningsmoment som skulle kunna hota de erhållna resultatens giltighet har eliminerats.
3.2.1 Datainsamling & anpassning av data
Ramarna för val av data inför datainsamlingen grundas på att begränsningarna efterliknar objekten av jämförande karaktär. De vill säga, portföljer byggda på A- och O-listan kan på ett tillfredställande sätt jämföras med de flesta Sverigefonder, vilka även de begränsas till innehav på A- och O-listan.
Data, i form av historiska tidsserier, från Stockholmsbörsens A- och O-lista är hämtade från informations- och analysverktyget SIX Trust utfärdat av SIX AB. De två sektionerna av data vilka studien tagit del av är:
1. Aktiedata i form av Effektiv Avkastning som enligt SIX AB:s hemsida definieras som: den avkastning man skulle ha fått om man återinvesterat utdelningen genom att köpa nya aktier, till kursen vid utdelningstillfället. Det är en faktor som man kan multiplicera med kursen, och på så sätt få fram värdet. Kurstypen som man återinvesterar i är, om inte annat anges, köp. 32 2. Jämförelseindex SIX Return Index (SIXRX), vilken enligt SIX AB:s hemsida har gjorts med utgångspunkt från att spegla marknadsutvecklingen av bolag på Stockholmsbörsen A- och O-lista 33 . SIXRX tar hänsyn till den avkastning aktieägarna erhåller i form av utdelning.
Utdelningarna återläggs på ex-dagen.
De utvalda tidsserierna motiveras med att börsnotering i form av effektiv avkastning möjliggör analys på en längre sikt utan att behöva modifiera tidsserierna kontinuerligt.
SIXRX är valt för att det är i linje med de utvalda tidsserierna i form av effektiv avkastning och innefattar aktier noterade på A- och O-listan.
Med bakgrund av att tidsserierna studien tagit i beräkning, redan på ett tillfredställande sätt är i linje med studiens ändamål, så har inte tidsserierna modifierats utan sammanställts efter valda tidsperioder och därefter anpassats för att kunna appliceras i program skrivna i programmeringsverktyget Matlab, utfärdat av MathWorks.
Eventuella bortfall eller konkurser på de aktuella marknaderna finns ej med studien då enbart de aktier vilka finns tillgängliga i dagens läge finns representerade. Eftersom studien enbart innefattar ett urval av aktierna på Stockholmsbörsen som fanns noterade den 30 december 2005, bortser studien från eventuella konkurser och andra omvälvande scenarier där aktien försvunnit från börsen. En annan nackdel med detta är att studien har ett index som jämförande riktlinje, detta index har därför under korta perioder tagit del av en större vidd av aktier i sina beräkningar än vad studien omfattar vid dessa tillfällen.
I de fall det har funnits luckor i tidsserierna där prisangivelser för vissa handelsdagar har saknats, har dessa luckor fyllts ut med hjälp av linjärinterpolation mellan de två punkter som ligger precis före respektive precis efter luckorna. I de använda tidsserierna har det inte
32
SIX Trust Hjälp, 2006, http://services.six.se/ hämtad den 14 mars 2006
33
SIX AB, 2006, http://www.six.se/ hämtad den 25 mars 2006
förekommit särskilt många eller särskilt långa perioder med avsaknad av data varför det kan antas att detta inte bör påverka studiens resultat i någon avgörande omfattning.
3.2.2 Modellanpassning
I rapporten studeras samtliga modeller som nämnts i teorin där parameterval gjorts utifrån den specifika modellen men med samma förutsättningar när det gäller bakomliggande historisk data. Exempel på modellspecifika parametrar som måste anges är samt för MAD.
Dessa parametrar kan inte bestämmas inne i modellen utan måste anges av investeraren.
Utöver dessa parametrar behöver modellerna data i form av historik.
u
d c
c , r t arg et
Samtliga modeller har begränsats till att enbart tillåta lösningar med positiva vikter i respektive tillgång. Att inte tillåta negativa tillgångsvikter ger i allmänhet en något ”sämre”
lösning än vad som vore fallet i en modell som inte är begränsad. Anledningen till att denna
”approach” har valts är att det för traditionella aktiefonder är standard att nästan enbart ha långa positioner samt att utfallen för de olika modellerna i rapporten jämförs med index vilka är baserade uteslutande på långa positioner.
3.2.2.1 Skattade parametrar
Samtliga modeller som använts i denna uppsats utgår från aktiernas avkastningar. Om betecknar aktie i:s pris vid tidpunkten t kan aktiens avkastning skrivas som
t
P i ,
1 ,
1 , , ,
−
− −
=
t i
t i t i t
i P
P
r P .
Detta är detsamma som att säga att dagens pris ges på formen P i , t = P i , t − 1 + r i , t P i , t − 1 . Modellerna använder nu en vektor med historiska avkastningar enligt:
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
= −
t T t t i
r r
r Μ
*
,
Där T ′ betecknar den historiska tidshorisont som valts i modellen. Detta innebär att om investeraren står vid tidpunkt t så använder han/hon bara data från tidsperioden mellan t till . En motivering till detta är att investeraren annars skulle ha en större och större datamängd att arbeta med ju längre tiden går, vilket till slut riskerar att göra beräkningarna mer omfattande. Den främsta motiveringen är dock att avkastningsfördelningen förändras över tiden och att för gammal data därmed inte är representativ för avkastningens fördelning idag.
T t − ′
Antalet aktier som modellerna har möjlighet att investera i vid varje tidpunkt beror på hur länge aktien funnits noterad på A-, eller O-listan. Från och med att aktien noterats dröjer det handelsdagar innan det finns tillräckligt mycket data för aktien för att den skall kunna tas med i modellerna. Antalet aktier som finns tillgängliga för modellerna vid tidpunkt t betecknas som N(t). Matrisen som innehåller alla aktier som finns tillgängliga vid tidpunkten t kan nu skrivas som
T ′
[ t N ( ) t t ]
t r r
r = 1 , Λ , .
För Markowitz-modellen behövs även aktiernas medelavkastningar samt deras inbördes kovarians. Svårigheten ligger i att bestämma dessa parametrar för en viss period. Ett sätt att göra detta är att använda historiska data över avkastningarna för att på så sätt kunna skatta väntevärdesvektorn samt kovariansmatrisen vid tiden t.
Väntevärdesvektorn vid tiden t betecknas som:
[ ] [ ] [ ] ( )
[ ] [ t t n t ] T
T t t N t
t
t E r 1 , E r 2 , E r , μ 1 , μ 2 , μ ,
μ = Λ = Λ
Kovariansmatrisen vid tiden t skrivs:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
2 , ,
2 ,
1
, 2 2
, 22 ,
21
, 1 ,
12 2
, 11
t t N t N t
t N t t N
t t N t
t
t t N t
t
V t
σ σ
σ
σ σ
σ
σ σ
σ
Λ
Μ Ο
Μ Μ
Λ Λ
Där det gäller att σ ij , t = Cov ( r i , t , r j , t ), i , j = 1 ,...., n
Ett problem med detta tillvägagångssätt är denna metod att skatta parametrar är att den fungerar ganska bra för att skatta parametrar som kovarianser och varianser men är direkt olämplig för att skatta väntevärden. Detta beror på en statistisk begränsning som kallas ”the blur of history”. 34 Trots detta används i uppsatsen den historiska skattningen för väntevärden då andra sätt att skatt väntevärdesvektorn kräver kontinuerlig tillgång till kompletterande information som till exempel nyhetsartiklar eller prognoser av aktieanalytiker vilket skulle göra studien och beräkningarna betydligt mer omfattande. Då dessutom Markowitz-modellen bara är en modell av fyra och är den enda som är beroende av beräknande av väntevärdesvektor bedömdes den eventuellt dåliga skattningen av väntevärdesvektorn ha mindre betydelse för studien i sin helhet.
3.2.2.2 Rebalanseringar
I studien har modellerna använts på så sätt att en ny portföljbalansering sker med hjälp av respektive modell med jämna mellanrum som givits på förhand. Ett exempel skulle kunna vara att portföljen rebalanseras var tvåhundrade handelsdag med Markowitz som rebalanseringsmodell. Vid varje tidpunkt t gäller det att det belopp W i kronor som investeras i aktie i ges av uttrycket , där står för antalet aktier i företag i som hålls i portföljen. anger aktiens pris vid tidpunkt t. Portföljens totala värde vid tidpunkten t ges nu av , det vill säga summan av beloppen i respektive tillgång vid den aktuella tidpunkten. Om tiden t är ett rebalanseringstillfälle beräknas det nya antalet aktier för
t i t i t
i P
W , = ω * , , ω i * ,t
t
P i ,
∑ ( )
=
= N t
i t i t
tot W
W
1 , ,
34
Luenberger, 1998, sid 212
respektive företag enligt
t i
t tot t i t
i P
W
, ,
* , ,
ω = ω där 0 ≤ ω i , t ≤ 1 ges av den rebalanseringsmodell som
använts och där det gäller att .
( )
1
1 , =
∑ = t N
i t
ω i
3.2.2.3 Scenariogenerering
Samtliga modeller förutom Markowitz kräver att användaren genererat scenarier som sedan används i modellerna för att med hjälp av lineärprogrammering beräkna de optimala vikterna över de olika scenarierna. Dessa scenarier kan genereras på många olika sätt, t.ex. med hjälp av multinormala fördelningar eller asymmetriska s.k. copulas med olika marginalfördelningar för de olika ingående tillgångarna. I denna rapport används historisk simulering vilket har den fördelen att beroendestrukturen mellan tillgångarnas avkastning behålls. Avkastningarna väljs nu som slumpmässiga rader ur matrisen r historisk som ges av nedanstående uttryck:
( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
′
−
′
−
t t N t
T t t N T
t
historisk
r r
r r
r
, ,
1
, ,
1
Λ
Μ Ο
Μ Λ
.
Detta ger nu upphov till en ny matris R med S stycken rader som betecknas enligt beteckningarna i teorikapitlet. Denna teknik fungerar bra givet att raderna i matrisen är oberoende likafördelade stokastiska variabler.
R s
35 Om EMH är korrekt bör detta villkor vara uppfyllt, dock visar empiriska undersökningar att det ofta förekommer så kallad volatilitetsklustring i tidsserier av aktieavkastningar. Om så är fallet är valet av tidshorisont
av stor betydelse. Ett för högt värde på T
T ′ ′ kan innebära att volatilitetsklustringsfenomenet
ignoreras, å andra sidan kan ett för lågt värde på T ′ innebära att man får med få extremvärden och att risken underskattas i modellerna. 36
Scenario-optimering som bygger på få genererade scenarier riskerar att få lösningar som anpassar sig ”för” bra till data och därmed ger överoptimistiska portföljpositioner. Genereras i stället väldigt många scenarier kan beräkningarna bli för stora för att kunna genomföra. 37
3.2.3 Utvärderingsmetod
Resultaten från undersökningen presenteras initialt separat för var och en av de fyra undersökta optimeringsmodellerna. Modellerna ”testas” med olika val av parametrar samt med olika val av rebalanseringshorisonter respektive historiska tidshorisonter, d.v.s. val av . För scenariomodellerna som får aningen olika lösningar vid olika ”körningar” på grund av att olika scenarier genererats, körs ett antal olika parallella körningar för ett givet parameterval och resultatet presenteras som ett medelvärde över dessa körningar.
T ′
35
Jorion, 2001, sid 222-223
36
Di Clemente, 2003, sid 7
37
Scherer, 2002, sid 137
Den första jämförelsen som görs med index är grafer där portföljens värdeutveckling i kronor plottas mot index´ värdemässiga utveckling över samma period givet att initialkapitalet som investeras i index respektive de olika portföljerna är 100 000 kronor. För scenarieoptimeringsmodellerna har graferna även kompletterats med kurvorna för den sämsta respektive bästa värdeutvecklingen i portföljen för att illustrera modellens resultatspridning.
Nästa jämförelse görs av portföljens samt det valda index medelavkastningar i procent, där medelavkastningarna är beräknade som dagsavkastningar. I samband med denna jämförelse presenteras även de riskjusterade avkastningarna enligt
σ ˆ
r riskjuster ad = ˆr där rˆ samt σ ˆ är portföljen respektive index skattade medelavkastning och standardavvikelse över perioden.
Detta mått tar hänsyn till ökningar av standardavvikelsen som följd av ökningar i medelavkastningen vilket speglar ett ökat risktagande vilket inte bör värderas lika högt som ökningar i medelavkastningen utan motsvarande höjningar av standardavvikelsen.
Förutom dessa mått presenteras grafer över betas utveckling över tiden. Nya beräkningar på beta har här genomförts var hundrade dag. Betas värde ges liksom tidigare av uttrycket
2 M iM
i σ
β = σ .
För att mäta riskexponeringen i portföljerna samt följa hur stora rebalanseringar som sker, presenteras även grafer över antalet aktier som ingår i de olika portföljerna vid olika tidpunkter. Väldigt få aktier skulle kunna tolkas som ett högt risktagande, medan frekventa byten mellan aktier skulle kunna medföra stora kostnader i form av transaktionsavgifter vilket skulle göra den undersökta portföljstrategin mindre eftersträvansvärd.
För att illustrera hur olika parameterval påverkar modellerna presenteras även bilder över medelavkastningarna, respektive de riskjusterade avkastningarna som funktion av de valda parametrarna. Dessa bilder presenteras som tredimensionella ytor vilket innebär att värdeförändringarna har beräknats som funktion av två parametrar i taget.
För att öka förståelse för hur de olika modellerna fungerar har modellerna även testats på
olika tidsperioder för att se om val av start, respektive slutdatum har något inflytande på
resultatet i jämförelse med index.
3.3 Validitet, reliabilitet & generaliserbarhet
Undersökningens reliabilitet beror på kvaliteten på den data som används. Då de aktiekurser som använts i undersökningen kommer från en pålitlig källa bör reliabiliteten vara hög.
Reliabilitet är bara ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för studiens validitet varför följande stycken motiverar i vilket hänseende undersökningen frågeställningar kan besvaras med den undersökningsmetodik som valts.
En första fråga är om det index som valts som jämförelseobjekt, verkligen utgör en bra referenspunkt. Jämförelseindex som valts, SIX Return Index (SIXRX), har enligt SIX AB:s hemsida gjorts med utgångspunkt från att spegla marknadsutvecklingen av bolag på Stockholmsbörsen A- och O-lista. SIXRX tar hänsyn till den avkastning aktieägarna erhåller i form av utdelning. Utdelningarna återläggs på ex-dagen. 38 Med utgångspunkt med den data som använts i undersökningen, d.v.s. aktiekurser från A- respektive O-listan samt att det finns data över index utveckling över hela undersökningsperioden bör index därför utgöra ett lämpligt jämförelseobjekt.
Både i teorikapitlet och i metoden har det diskuterats kring olika problem vid skattningar av parametrar samt genererande av scenarier. Det finns uppenbarligen mer avancerade metoder än de som använts i undersökningen. Dessa metoder innebär dock i allmänhet en mer omfattande kunskap om de underliggande processerna bakom aktiekurserna. Dessa kunskaper är både av kvalitativ och av kvantitativ natur men har det gemensamt att de skulle kräva en aktiv inblandning vilket skulle förta syftet med att konstruera en automatiserad portföljstrategi. Således baseras alla parameteruppskattningar samt genererade scenarier på historisk data, vilket kanske inte är det bästa valet i en verklig fond men motsvarar bäst förutsättningarna bakom studien.
Det finns en risk att de resultat som erhållits med modellerna bara beror på slumpen, det vill säga att man ”råkat” rebalansera vid rätt tillfälle, eller ”råkat” generera lämpliga scenarier. För att minska denna risk har modellerna som nämnts testat på olika tidsperioder med olika start och stop-tider. Scenariemodellerna har av tids- och beräkningskapacitetsskäl inte baserats på särskilt många scenarier per körning (mellan 50–100 stycken) vilket ökar slumpmässigheten, svårigheten att beräkna modellerna för riktigt många scenarier borde dock göra det svårt även för den tänkta användaren att konstruera riktigt stabila modeller. För att illustrera hur mycket inslaget av slump påverkar modellerna har som nämnts både det sämsta samt det bästa scenariot ritats ut i samma bilder som medelvärdet.
För att fullständigt besvara frågan varför portföljoptimeringsmodeller inte tycks användas mycket i praktiken i fondförvaltning skulle det krävas en mer omfattande studie som även omfattade kvalitativa inslag som intervjuer med fondförvaltare. Denna studie är endast tänkt att utreda om det är rent kvantitativa aspekter som ligger bakom att det inte verkar finnas fonder baserade på portföljoptimering.
Studien avhandlas inom utvalda ramar och kan därför anses begränsad då den enbart inbegriper den svenska marknaden. Slutsatserna kan därför eventuellt anses smala och i vissa fall bristfälliga med bakgrund av att en reproduktion av denna studie på en annan marknad skulle generera skilda resultat. En reproduktion av denna studie på en annan marknad kan därför verka både stärkande och stjälpande av studiens resultat.
38
