Företagsekonomi C, Kandidatuppsats 15 hp Vårterminen 2009
E N U TVÄRDERING A V VaR - M ODELLER
- M ED K UPIECS B ACKTEST
Martin Linzander Carl-Johan Runer
Handledare: Joachim Landström Datum: Torsdagen den 4 juni 2009
SAMMANDRAG
Historisk Simulation, Delta-Normal och RiskMetrics prestation utvärderas med hjälp av Kupiecs Backtest. Value at Risk (VaR) beräknas med tre olika konfidensnivåer utifrån Affärsvärldens Generalindex och HSBC kopparindex. Utifrån överträdelser från verkligt utfall undersöks vilken VaR- modell som estimerar marknadsrisken bäst. VaR-modellernas prestation jämförs, och i analysen utreds hur konfidensnivå och tillgångars egenskaper påverkar VaR-modellernas prestation. Resultaten visar att Historisk Simulation presterar bättre än Delta-Normal och RiskMetrics på den högsta konfidensnivån vilket troligtvis beror på att RiskMetrics och Delta-Normal antar normalfördelning.
RiskMetrics och Delta-Normal presterar dock bättre än Historisk Simulation på den lägsta konfidensnivån vilket sannolikt är en följd av att Historisk Simulation anpassar sig långsammare till volatilitetsförändringar. Undersökningen tyder även på att avtagningsfaktorn som RiskMetrics använder får minskad effekt vid högre konfidensnivåer varför skillnaden mellan Delta-Normals och RiskMetrics prestation är marginell på dessa nivåer.
Innehållsförteckning
1. Introduktion
s. 32. Value at Risk
s. 52.1 Historisk Simulation s. 7
2.2 Delta-Normal s. 9
2.3 RiskMetrics s. 10
2.4 Kupiecs Backtest s. 12
3. Metod
s. 143.1 Historisk Simulation s. 17
3.2 Delta-Normal s. 19
3.3 RiskMetrics s. 20
3.4 Kupiecs Backtest s. 22
4. Resultat & Analys
s. 244.1 Historisk Simulation s. 24
4.2 Delta-Normal s. 26
4.3 RiskMetrics s. 28
5. Slutsats
s. 31Referenser
s. 33Appendix
s. 341.Appendix s. 34
2.Appendix s. 37
3.Appendix s. 38
4.Appendix s. 39
5.Appendix s. 40
1. INTRODUKTION
Alla företag är utsatta för olika typer av risker i sina verksamheter. En av de mer omfattande riskerna som företag utsetts för är marknadsrisk, dvs. risken för att marknadsfluktuationer ska orsaka finansiella förluster. Korrekta modeller för att mäta marknadsrisk betraktas som mycket betydelsefullt för företag. Företagen kan då förutse och kontrollera riskerna bättre.
(J.P. Morgan RiskMetrics™, 1996).
Sedan 1970-talet har teorin och utövningen av riskhantering ökat explosionsartat. En av de främsta orsakerna till detta är enligt Dowd (2003) den instabila omgivningen som företag verkar inom. Exempelvis har valutamarknaden, räntemarknaden och aktiemarknaden kännetecknats av hög volatilitet de senaste årtiondena. Andra orsaker till den ökade uppmärksamheten kring riskhantering är den ökade handelsaktiviteten som globaliseringen medfört. Den ökade omfattningen av derivat har ytterligare förstärkt företags behov av korrekt riskbedömning. (Dowd, 2003, s. 4-8).
Enligt Jorion (2002) har Value at Risk (VaR) blivit en standard för finansiella företag att estimera marknadsrisk med. Beder (1995) definierar VaR som en beräkning av en portföljs maximala potentiella förlust given en viss tid och konfidensnivå. Fördelen med VaR är att det på ett relativt enkelt sätt ger en siffra på riskexponeringen som är lätt att kommunicera.
Befattningshavare kräver ofta kontinuerliga och lättförståeliga rapporter istället för svårtolkade modeller och resultat. (Jorion, 2002). Den internationella banktillsynen, Baselkommittén, tillåter även användandet av VaR för att bestämma bankernas kapitalkrav.
Förutom att stabilisera den finansiella marknaden syftar detta till att skydda insättare, långivare och andra motparter från bankverksamhetens olika risker. (Basel Committee on Banking Supervision, 2006).
Det finns dock en mängd olika VaR-modeller som alla skiljer sig åt och därmed uppskattar risker olika. Man brukar skilja mellan två olika kategorier; parametriska och icke- parametriska. Parametriska modeller utgår ifrån statistiska antaganden medan icke- parametriska endast utgår ifrån historisk data. (Penza & Bansal, 2001, s. 65-68). Tidigare forskning är inte enhällig kring vilken VaR-modell som bäst uppskattar marknadsrisken.
Exempelvis skriver Cabedo & Moya (2003) att en icke-parametrisk modell genererar bättre VaR-prognoser än en parametrisk, medan Costello (2008) menar på motsatsen. Linsmeire &
Pearson (1996) skriver att det inte går att dra några generella slutsatser kring vilken modell
som är bäst, utan att varje modell har sina fördelar respektive nackdelar och fungerar olika bra under olika omständigheter. Vidare menar Hendricks (1996) att valet av parametrar som VaR beräknas utifrån påverkar VaR-modellernas prestation. Exempelvis tyder hans forskning på att icke-parametriska modeller, som Historisk Simulation, fungerar bättre på en högre konfidensnivå, medan Butler & Schachters (1996) forskning tyder på motsatsen. Pafka &
Kondor (2001) menar att parametriska modeller, som RiskMetrics och Delta-Normal, presterar bättre på lägre konfidensnivåer då dessa modeller ofta antar normalfördelning.
Ytterligare visar tidigare forskning att valet av VaR modell är direkt beroende av tillgången man ämnar analysera.
För finansiella företag är det av stor vikt att kunna estimera marknadsrisken på ett så tillförlitligt sätt som möjligt (Jorion, 2002). För en bank är det exempelvis oerhört viktigt att estimera marknadsrisken korrekt, då felbedömningar kan orsaka ineffektiv kapitalallokering eller i värsta fall leda till att finansiella marknader hamnar i obalans (Jorion, 2001) (Dowd, 1998). Detta gör det intressant att undersöka de olika VaR-modellernas prestation. Att tidigare forskning inte är enhällig kring vilken VaR-modell som presterar bäst eller hur olika omständigheter påverkar VaR-modellernas prestation gör det också intressant att utvärdera modellerna emellan.
I denna undersökning beräknas VaR med Historisk Simulation, Delta-Normal och RiskMetrics. VaR-värden beräknas dagligen utifrån AFGX och HSBC Kopparindex från 1996 till 2009 med olika konfidensnivåer. Analysen utreder VaR-modellernas prestation utifrån antal överträdelser i förhållande till verkligt utfall med Kupiecs backtest. Effekten av valet av parametrar och tillgång analyseras för att se hur de påverkar modellernas prestation.
I linje med tidigare forskning visar undersökningen att modellernas prestation påverkas av konfidensnivån och tillgångens egenskaper. Historisk Simulation är överlägsen på en högre konfidensnivå i förhållande till Delta-Normal och RiskMetrics då dessa antar normalfördelning. Resultaten tyder däremot på att RiskMetrics presterar bättre än de andra modellerna på tillgångar med fler volatilitetskluster1 och att de parametriska modellerna bättre estimerar volatilitet på de lägre konfidensnivåerna.
Uppsatsen har fortsättningsvis följande upplägg. Avsnitt två behandlar teorin bakom VaR- modellerna och Kupiecs backtestingmetod. Tredje avsnittet beskriver hur undersökningen
1 Kluster med hög prisrörlighet som kännetecknas av instabilitet och hög osäkerhet. Se vidare under 2.3 RiskMetrics.
görs och operationaliserar uppsatsens val. I avsnitt fyra presenteras och analyseras resultaten och i avsnitt fem återfinns slutsatsen.
2. Value at Risk
VaR definieras i sin enklaste mening av Linsmeier och Pearson (1996) som ett summerande statistiskt mått av den möjliga förlusten hos en tillgång eller portfölj. En mer konkret definition av begreppet VaR ges av Penza & Bansal (2001); VaR av en tillgång kan beskrivas som prognosen av den möjliga förlusten under en viss tidsperiod given en specifik konfidensnivå (s. 65). Parametriska VaR-modeller (vid normalfördelning) kan uttryckas matematiskt som:
(1)
(2) (1) Där α är det kritiska värdet2 av den efterfrågade konfidensnivån; σ är prognosen av volatiliteten (standardavvikelsen) av portföljens avkastningar under en given tidsperiod; P står för marknadsvärdet av portföljen; och √t är kvadratroten ur tidsperioden (t). Om VaR beräknas dagligen (t = 1) kan således √t exkluderas ur ekvationen, vilket ger oss ekvation (2).
(Penza & Bansal, 2001, s. 69).
Konfidensnivån, även kallad säkerhetsnivån och sannolikhetsnivån, och tidsperioden är två avgörande parametrar i alla sammanhang där ett VaR värde skall beräknas. Enligt Dowd (1996) är dessa direkt kopplade till VaR och beroende utifrån situationen och användningen av VaR (s. 51-53). Parametrarna ger förutsättningarna för uträkningen och avgränsar VaR till den tidsperiod som skall analyseras. Med andra ord; VaR värdet med tidsperioden t dagar och med konfidensnivån X procent ger den maximala förlusten som uppkommer efter t dagar med X % sannolikhet. Utan användningen av konstanta parametrar i en situation där man vill jämföra olika VaR modeller blir analysen mer komplicerad då resultaten kommer att bygga på olika förutsättningar. Exempelvis skulle två identiska företag med identiska portföljer få ut olika VaR-värden vid appliceringen av samma modell om någon av parametrarna var olika.
(Linsmeier & Pearson, 1996) (Hendricks, 1996).
2 Det kritiska värdet hämtas från Table D.2 (Gujarati, 2003, s. 961) och definieras på s. 5-6.
Valet av tidsperiod är beroende av marknadsförhållandena för branschen och typen av tillgång/portfölj under analys. Vanliga tidsperioder är 1-dag, 2-dagar, 10-dagar och 1 månad (arbetsdagar). Finansiella företag som aktivt handlar med sina portföljer är intresserade av korta tidsperioder som till exempel 1-dag medan det är mer förekommande att icke-finansiella företag har långsiktigare perspektiv med sina portföljer och därför väljer längre tidsperioder.
Valet av tidsperiod är med andra ord bestämd av portföljens eller tillgångens tidshorisont (Dowd, 1996, s. 50-52). Ett antagande man gör vid beräkningen av VaR är att portföljen eller tillgången under analys förblir oförändrad under tidsperioden, vilket motiverar till kortare tidsperioder (Linsmeier & Pearson, 1996) (Dowd, 1998, s. 50-51). Längre tidsperioder tar med flera beräkningar av risk vilket medför att VaR värdet blir större3 än vid kortare tidsperioder (ex. t = 1). Korrelationen mellan t och VaR är med andra ord positiv (Penza &
Bansal, 2001, s. 66).
Enligt Linsmeier & Pearson (1996) finns det inte någon given konfidensnivå att använda sig av vid beräkning av VaR. Dowd (1998) menar dock att valet av konfidensnivå är direkt beroende av syftet med VaR analysen (s. 52-53). Enligt Dowd (1998) bör en högre konfidensnivå användas om syftet är att beräkna kapitaltäckningsgraden då en högre konfidensnivå leder till större VaR-värden och därmed högre kapitaltäckning. Om syftet är att validera en finansiell institutions VaR kan istället en lägre konfidensnivå vara användbar då en högre konfidensnivå kräver ett mer omfattande dataset, vilket inte alltid finns att tillgå.
Lägre konfidensnivåer minskar dock chansen att ”fånga” de extrema avvikelserna vilket kan resultera i att VaR, och därmed risken, inte uppskattas korrekt. (Dowd, 1998).
Forskning tyder även på att olika VaR-modeller presterar olika bra beroende på vilken konfidensnivå som används vid beräkningarna. Exempelvis skriver Hendricks (1996) att parametriska modeller presterar sämre på en högre konfidensnivå i och med att de antar normalfördelning. Detta på grund av att tillgångars fördelning ofta har större s.k. svansar än vad normalfördelningen antar vid en högre konfidensnivå. Därmed underskattas risken av VaR-modellerna på de högre nivåerna. Vidare skriver Hendricks (1996) att Historisk Simulation får mer tillförlitliga VaR-värden på högre konfidensnivåer. Dock att detta är beroende av storleken på perspektivfönstret. Med andra ord finns det ingen given konfidensnivå, utan valet är direkt beroende av syftet med VaR analysen och företagets syn på risk. Desto mer försiktig och riskkänslig ett företag är, eller vill vara, desto högre
3 Med ett större VaR-värde menas att det är ett värde som är mer negativt (i och med att vi mäter förluster).
konfidensnivå väljer dem. (Linsmeier & Pearson, 1996). De mest förekommande konfidensnivåerna som finansiella företag använder är 95 %, 99 % och 99,9 % (Dowd, 1998).
Vid beräkning av kapitaltäckning måste dock banker använda en konfidensnivå på minst 99 % (Basel Committee on Banking Supervision, 2006).
Parametriska VaR-modeller utgår ifrån statistiska antaganden, till skillnad från icke parametriska modeller som enbart bygger på verkliga historiska utfall (Penza & Bansal, 2001, s. 65-68). Ett av de mest kända och använda statistiska antagande som finns inom den finansiella teorin är normalfördelningen. Statistiska fördelningar illustrerar hur en variabels värden är spridda utifrån dess givna medelvärde och vad som karaktäriserar normalfördelningen är att den antar en symmetrisk fördelning av avvikelserna. Detta illustreras och beskrivs utförligare i appendix.4 Data med antingen en positiv respektive negativ skevhet samt större respektive lägre kurtosis än vad normalfördelningen antar, avviker från normalfördelningen som parametriska VaR-modeller ofta antar. Detta får effekten att VaR värdena riskerar att bli felaktigt värderade beroende på den underliggande tillgångens fördelning. (Costello, Asem & Gardner, 2008).
Vid beräkning av VaR utgår man även ifrån en utvald ”sampleperiod” (perspektivfönster).
Med perspektivfönster menas antalet dagar (observerade avkastningar) som ligger till grund för att beräkna VaR-värden. Exempelvis innebär ett perspektivfönster på 250 dagar att det hela tiden är de senaste 250 dagarnas avkastning som används för att uppskatta volatiliteten.
Det finns en viss problematik med att bestämma längden på perspektivfönstret. En fördel med ett stort perspektivfönster är att man kan dra tillförlitliga slutsatser om distributionens
”svans”. Eftersom ”svans” -händelser är ovanliga behövs en relativt lång observationstid om resultaten ska bli tillförlitliga. Dock kan förändringar av volatilitet och korrelationer ske, vilket innebär att data från nyare observationer är mer relevant än data från äldre observationer. En lång observationstid kommer då leda till att nyare, mer aktuell information, inte får tillräckligt mycket utrymme. (Dowd, 1998, s. 102-103).
2.1 HISTORISK SIMULATION
Vid Historisk Simulation (HS) används historisk fördelning av avkastningar på en portföljs tillgångar för att simulera portföljens VaR. Man gör antagandet att den historiska fördelningen av avkastningar liknar den framtida fördelningen av avkastningar. (Dowd, 1998, s. 99). Den
4 Se 1. Appendix
relevanta percentilen från fördelningen av de historiska avkastningarna ger portföljens förväntade VaR. Om man exempelvis har ett perspektivfönster på 1000 dagar och en konfidensnivå på 99 % förväntas den verkliga förlusten att överstiga VaR 1 % (100 - 99 = 1) av dagarna, dvs. 10 dagar, och VaR skulle då vara den 11:e (10 + 1 = 1) högsta förlusten under perioden. Nedan visas ekvationen för att beräkna VaR med Historisk Simulation (Goorbergh & Vlaar, 1999).
(3) Där är VaR-värdet dag t+1, W0 det initiala värdet av tillgången och den relevanta percentilen5 av perspektivfönstret. De historiska observationerna ger oss fördelningen av hypotetiska portföljavkastningar. Sedan omvandlas portföljens avkastningar till portföljens förluster och vinster, och VaR läses av från ett histogram över förlusterna och vinsterna.
Historisk Simulation har vissa fördelar gentemot parametriska modeller. Den anses vara ett relativt enkelt sätt att beräkna VaR på, vilket underlättar arbetet för risk managers. (Dowd, 1998, s. 99). En annan fördel är att den inte är beroende av antaganden om avkastningens fördelning. Till skillnad från parametriska modeller behöver man inte göra antagandet att distributionen är normalfördelad. HS tillåter insamlad data att fastställa avkastningens distribution och är på så sätt inte lika restriktiv. Modellen har därför inte några problem att anpassa sig till ”fat tails” till skillnad från parametriska VaR-modeller. HS behöver heller inte estimera volatilitet, korrelationer eller andra parametrar för att beräkna VaR, vilket innebär att det inte finns någon risk för att göra felbedömningar av parametrar. (Penza & Bansal, 2001, s.267-270) (Jorion, 2001, s. 221-223).
Ett problem med HS är dess beroende av datainsamlingen. Det underliggande antagandet är att det förflutna är tillräckligt likt framtiden för att kunna ge tillförlitliga framtidsprognoser.
Under vissa omständigheter kan detta leda till felaktiga VaR-uppskattningar. Exempelvis kan datainsamlingen som gjorts under observationstiden vara ovanligt volatil vilket resulterar i att risken överskattas och VaR-värdet därmed blir för stort. Det kan också ha skett ovanliga händelser, såsom börskrascher, som inte förväntas inträffa inom överskådlig framtid. Även då kan VaR-värdet bli för stort. Risken finns också att händelser som inte inträffat under observationstiden inträffar i framtiden och då kan VaR-värdena på samma sätt bli felaktiga.
Samma problem finns även för parametriska modeller, men eftersom dessa ofta antar kortare
5 Percentilen bestäms utifrån konfidensnivån.
perspektivfönster anpassar de sig snabbare till förändringar. (Jorion, 2001, s. 223-224) (Dowd, 1998, s. 101-102) (Penza & Bansal, 2001, s. 270-271).
Tidigare forskning tyder också på att tillförlitligheten av VaR-värden genererade från HS kan ifrågasättas. Exempelvis menar Butler & Schachter (1996) att VaR-värden med Historisk Simulation varierar avsevärt i sin precision och ofta är felaktiga. Deras forskning visar att små perspektivfönster genererar felaktiga VaR-värden när konfidensnivån är hög. Om VaR exempelvis beräknas dagligen med en konfidensnivå på 99,9 % måste perspektivfönstret bestå av 1000 dagar för att producera en ”svans”-observation, vilket innebär att VaR- uppskattningarna blir mindre tillförlitliga vid mindre perspektivfönster. Enligt Jorion (2001) kräver Historisk Simulation därför mycket stora perspektivfönster för att producera tillförlitliga VaR-estimeringar på en hög konfidensnivå (s. 224). Problemet är att stora perspektivfönster samtidigt kan innehålla gamla och irrelevanta observationer (Dowd, 1998, s.
103-104). Hendricks (1996) visar i sin undersökning att VaR-värden beräknade med ett långt perspektivfönster inte tar hänsyn till nyare information och då inte räknar med förändringar av risker. Enligt Hendricks (1996) resulterar även ett längre perspektivfönster i större och mindre varierande VaR-värden.
2.2 DELTA-NORMAL
Delta-Normal är av tidigare forskning även kallad ”Moving Average Approach” då den räknar ut standardavvikelsen med ett rörligt perspektivfönster där man antar ett medelvärde lika med noll (µ = 0) (Hendricks, 1996) (Jorion, 2002). Hull (2008) rekommenderar att parametriska VaR-modeller bör utgå ifrån ett perspektivfönster på lika många dagar som man försöker estimera. Dock att perspektivfönstret inte ska vara mindre än 30 dagar.
Delta-Normal räknar ut volatiliteten, dvs. standardavvikelsen på historiska avkastningar för att med hjälp av normalfördelningen estimera sannolikheten för hur avkastningarna kommer att bete sig i framtiden. Med andra ord estimerar normalfördelning fördelningen av framtidens avkastningar given en viss sannolikhet. För att beräkna standardavvikelsen i tidigare observationer med Delta-Normal används formeln (Gujarati, 2003, s. 880):
(4)
Där σ är standardavvikelsen; σ2 är variansen; X är en observation (avkastning); µ är medelvärdet; och n är antalet observationer. Standardavvikelsen ges av kvadratroten ur variansen, där medelvärdet antas vara lika med noll. Denna funktion kallas ”Equally Weighted Moving Average Approach” då den lägger samma vikt vid alla observationer. På grund av detta har tidigare forskning, som exempelvis Hendricks (1996), utsatt modellen för kritik då den bortser från fenomenet volatilitetskluster till skillnad från RiskMetrics beskriven nedan.
En stor del av tidigare forskning förkastar även normalfördelningen som Delta-Normal antar.
Dowd (1998) menar att extremt volatila avvikelser riskerar att falla utanför den antagna normalfördelningen, vilket leder till underskattade VaR-värden (s. 44). Fördelarna med antagandet, vilket motiverar till användandet, är att den förenklar uträkningen av VaR samtidigt som den ger upphov till lättförståeliga och jämförbara resultat (Dowd, 1998, s. 64).
För att beräkna VaR med Delta-Normal används ekvationen illustrerad inledningsvis i teorin.6 Ekvationen är nämligen densamme för samtliga parametriska VaR-modeller som antar normalfördelning som statistisk fördelning.
2.3 RISKMETRICS
Precis som Delta-Normal är RiskMetrics en parametrisk VaR-modell. Den utvecklades av J.P.
Morgan 1994 och är idag använd över hela världen. (Marshall & Siegel, 1996). Som tidigare nämnt antar ofta parametriska VaR-modeller normalfördelning som spridning för variabelns värden, vilket klart underlättar uträkningen och förståelsen av VaR. Detta är fallet för RiskMetrics vilket gör att man behöver se till avtagningsfaktorn (λ) utöver parametrarna;
konfidensnivån och tidsperioden. (Hendricks, 1996).
RiskMetrics förlitar sig på ”Exponentially Weighted Moving Average Method”7 (EWMA) vilket räknar ut standardavvikelsen med hänsyn till volatilitetskluster. Fenomenet volatilitetskluster, även kallade kluster med hög prisrörlighet, är vanligen förekommande på
6 VaRt = α * σ * P
7 Exponentially Weighted Moving Average Method ska inte blandas ihop med Equally Weighted Moving Average Approach som Delta-normal utgår ifrån.
de finansiella marknaderna och kännetecknas av hög osäkerhet och instabilitet. Dowd (1998) beskriver fenomenet som: ”[…] the tendency of high-volatility observations to be clustered with other high-volatility observations, and low-volatility observations with other low- volatility observations” vilket först belystes av Mandelbrot (1963) och sedan bekräftats av många andra studier och forskning (s. 94). Med andra ord tar EWMA olika hänsyn till observationerna under perspektivfönstret och anpassar sig snabbare till de avkastningskluster som finns i perioden. Detta genom användningen av avtagningsfaktorn. Avtagningsfaktorn lägger större vikt vid nyligen inträffade observationer och tar på så sätt hänsyn till att observationer med extrema avvikelser ofta återfinns tillsammans med andra extrema avvikelser, i s.k. kluster. (Pafka & Kondor, 2001) (Dowd, 1998) (Jorion, 2001, s. 193-196) (Penza & Bansal, 2001, s. 132-133).
EWMA funktionen ger standardavvikelsen genom följande ekvation:
(5)
Där är avkastningen på tillgången; är variansen vid tidpunkt t; och λ är avtagningsfaktorn. När tidsperioden är lika med 1 dag (t = 1) antar RiskMetrics att medelvärdet är lika med 0 (µ = 0). Av tidigare forskning och rekommendationer från J.P.
Morgan’s RiskMetrics Group (1996) framgår det att en avtagningsfaktor lika med 0,94 (λ = 0,94) anses vara optimal för att producera backtestingresultat8.
Dock har vi i tidigare forskning och teori svårt att finna grunder eller kritik till varför en avtagningsfaktor på 0,94 är bra. Dowd (1998), Pafka & Kondor (2001) och Jorion (2001) med flera tillhandahåller sparsmakade kommentarer och refererar konsekvent användandet av en avtagningsfaktor på 0,94 till rekommendationer av skaparna till RiskMetrics; J.P. Morgan’s RiskMetrics Group (1996). Endast Hendricks (1996) och Penza & Bansal (2001) framför åsikter och i ringa mängd kritik. De menar på att det inte finns någon optimal teoretisk ansats att förklara eller undersöka avtagningsfaktorn med, men att ett värde på 0,94 kräver aktuell daglig data. Hendricks (1996) visar dock i sin studie att skillnaden i EWMA funktionen mellan en avtagningsfaktor på 0,99 och 0,94 är förhållandevis stor. Undersökningen visar att desto lägre värde, desto snabbare är avtagningen av tidigare observationer.
8 Mer information angående backtesting finns under rubriken ”Kupiecs backtest”.
För att slutligen få ut VaR-värden används samma formel som vid Delta-Normal9. Som tidigare nämnt innebär ett antagande av normalfördelningen både fördelar och nackdelar. Vid normalfördelning förenklas verkligheten avsevärt och VaR värdet kan över- respektive underskattas i och med kurtosis och skevhet hos tillgångarna, precis som med Delta-Normal.
2.4 KUPIECS BACKTEST
Det finns olika typer av sätt att utvärdera VaR-modellers prestation. Exempelvis kan man som Hendricks (1996) använda en mängd olika kriterier eller som Wong, Cheng & Wong (2003) använda en backtestingmetod som mäter antalet överträdelser. Backtesting är ett statistiskt verktyg för att verifiera att verkliga förluster stämmer överens med uppskattade förluster.
Detta involverar att systematiskt jämföra historiska VaR-prognoser med dess portföljs verkliga avkastningar. Enligt Dowd (1998) är det viktigt för risk managers att kontinuerligt testa detta för att se att deras VaR-modell är väl kalibrerad. Är modellen perfekt kalibrerad kommer antalet överträdelser stämma överens med konfidensnivån. Är antalet överträdelser för många betyder det att VaR-modellen underskattar risken. Detta kan vara ett problem då det kan leda till för låg kapitaltäckning enligt Basel II. För få överträdelser är också ett problem då det leder till ineffektiv kapitalallokering. (Jorion, 2001, s.129-135).
Om man antar en konfidensnivå på 1 – p* (ex. 1 – 0,99 = 0,01) och att uppskattade och verkliga VaR-värden är observerade under T dagar samt att verkliga förluster överstiger uppskattade VaR-värden N dagar, blir frekvensen av överträdelser N/T. För att se om frekvensen av överträdelser är signifikant skiljt från det uppskattade värdet av p* används binomialfördelningen. Sannolikheten att observera N överträdelser under T dagar ger sannolikhetsfunktionen för Kupiecs backtest (Viega & McAleer, 2008):
(6)
Där χ är antalet överträdelser; n är antalet observationer och p är konfidensnivån vid uträkningen av VaR. Detta betyder att antalet överträdelser kommer att påverkas av konfidensnivån (Kupiec, 1995). Om antalet observationer sätts in och p är lika med ett minus konfidensnivån (p = 1 – p*) kommer binomialfunktionen producera sannolikheten för att ett
9 VaRt = α * σ * P
specifikt antal överträdelser kommer att inträffa. Genom den kumulativa binomialfördelningen är det möjligt att beräkna intervallet som antalet överträdelser måste ligga inom för att accepteras av testet. Om sannolikheten som beräknas ligger mellan 2,5 % ‐ 97,5 % så är det ett accepterat antal överträdelser vid ett test på en 95 % säkerhetsnivå.10 Om antalet överträdelser hamnar utanför detta intervall accepteras inte VaR-modellen. (Jorion, 2001, s.129-135).
Kupiecs backtest blir tillförlitligare ju större antalet observerade dagar (T) är. När T är större blir skillnaden mellan N/T och p* (antalet verkliga och uppskattade överträdelser) mindre.
Skillnader som då uppstår är därför mer signifikanta och kan leda till slutsatsen att VaR- modellen är bristfällig. (Dowd, 1998, s. 55-56).
3. METOD
I undersökningen används en icke-parametrisk modell (Historisk Simulation) och två parametriska modeller (Delta-Normal och RiskMetrics) för att beräkna VaR. Dessa modeller väljs då de enligt exempelvis Dowd (1996) och Jorion (2001) är vanligen förekommande bland finansiella företag, vilket ökar undersökningens aktualitet och samtidigt gör det möjligt att jämföra olika kategorier av VaR-modeller. VaR-modellerna skiljer sig alla åt vilket gör det möjligt att undersöka modellernas fördelar och nackdelar och under vilka omständigheter som respektive modell presterar minst överträdelser. Detta medför att vi kan analysera de olika modellernas användningsområden. Genom att undersökningen innefattar både parametriska och icke-parametriska modeller kan analysen även behandla hur den antagna normalfördelningen gjord av de parametriska modellerna påverkar VaR-estimeringarna. Då undersökningen inkluderar RiskMetrics och Delta-Normal kan vi även utreda avtagningsfaktorns betydelse för modellernas förmåga att anpassa sig till volatilitetskluster.
Dessa faktorer bidrar också till valet av VaR-modeller som inkluderas i undersökningen.
Enligt Linsmeier & Pearson (1996) har konfidensnivån stor betydelse för respektive VaR- modells prestation. Eftersom Dowd (1998) även visar att konfidensnivån bör väljas utifrån syftet med VaR-analysen, beräknas VaR med tre olika konfidensnivåer; 95 %, 99 % och 99,9
%. Dessa nivåer är enligt Jorion (2002) och Hendricks (1996) vanligt förekommande hos
10 Denna säkerhetsnivå ska inte blandas ihop med konfidensnivån som används vid beräkningen av VaR. Denna säkerhetsnivå anger istället Kupiecs backtesting intervall (2,5 % - 97,5 %).
finansiella företag som använder VaR för att beräkna riskexponering eller kapitaltäckning. Att vi utgår ifrån olika konfidensnivåer gör det möjligt att undersöka vilken modell som genererar minst överträdelser utifrån respektive konfidensnivå.
I undersökningen beräknas VaR under en observationstid på drygt 13 år; från 1996-01-01 till 2009-03-31. Då AFGX inklusive återläggning av utdelningar slutade publiceras 2009-03-31 kan undersökningen inte använda senare data än så. En observationstid på 13 år sträcker sig över konjunktursvängningar och resultaten av undersökningen blir därmed inte beroende av enskilda konjunkturer. Utifrån tidigare forskning, som exempelvis Hendricks (1996) och Pafka & Kondor (2001), är 13 år även en tillräckligt lång observationstid för att jämföra och analysera VaR-värden beräknade med olika modeller. Då de första 1000 dagarna används för att beräkna det första jämförbara VaR-värdet, och VaR-värden beräknas på daglig basis, innebär detta att vi har 2456 observerade VaR-värden för respektive modell. VaR beräknas genom att dagligen simulera en investering på 1 miljon kronor i respektive tillgång.
Anledningen till att VaR beräknas på daglig basis är dels för att värden på AFGX och HSBC kopparindex varierar från dag till dag och dels för att öka antalet observerade VaR-värden så att VaR-modellerna kan jämföras i större utsträckning. Att finansiella företag enligt Dowd (1996) ofta är intresserade av dagliga VaR-värden är ytterligare en anledning till att VaR beräknas dagligen.
För att undersöka prestationen av de olika utvalda VaR-modellerna används historiska data över Affärsvärldens generalindex11 (AFGX) inklusive återläggning av utdelningar och aktiesplitar samt HSBC kopparindex12 (Kopparindex). Utifrån Indexserierna som hämtas från Datastream13 simuleras dagliga avkastningar som används för att beräkna VaR. AFGX innehåller en blandning av företagssektorer, såsom läkemedel, energi, bygg, telekom, industri, bank och gruvdrift. Denna portfölj är väl diversifierad vilket innebär att den är utsatt för många olika typer av marknadsrisker både lokalt och globalt, exempelvis råvarurisk, valutarisk, ränterisk och aktiemarknadsrisk. Denna portfölj väljs för att dess risker är tänkta att likna de risker som en internationell bank som exponerar sig öppet mot olika finansiella marknader har. Kopparindex väljs då denna portfölj innehar andra egenskaper än AFGX.
Exempelvis är Kopparindex mer volatil och avviker mer från normalfördelningen, samtidigt som det kännetecknas av mindre volatilitetskluster. Att tillgångarna skiljer sig åt vad gäller
11 AFGX är ett prisindex över samtliga aktier noterade på stockholmsbörsen.
12 Kopparindex innehåller 14 stycken globala kopparaktier.
13 Koder i Datastream för respektive indexserie: AFFGENL(RI); JCBGCOE~SK.
volatilitet, fördelning och volatilitetskluster gör det möjligt att undersöka hur dessa faktorer påverkar respektive VaR-modells prestation. Tidigare forskning av exempelvis Costello, Asem & Gardner (2008), Pafka & Kondor (2001) och Hendricks (1996) har nämligen visat att dessa egenskaper kan påverka VaR-modellernas prestation. Ytterligare en anledning till att vi väljer att beräkna VaR utifrån ett kopparindex är att råvaror, enligt Jorion (2001), ofta ingår i finansiella företags portföljer och eftersom det liksom AFGX utsätts för många olika typer av marknadsrisker. Resultaten i denna undersökning och dess analys bör inte tas som indikativa för andra VaR-modellers resultat av andra tillgångar. Att vi endast undersöker två olika typer av tillgångar medför att slutsatserna nödvändigtvis inte är generella.
Tabell 3.1 visar respektive tillgångs egenskaper vad gäller volatilitet och fördelning.
Nedanstående värden är beräknade utifrån avkastningarna 1996-01-01 till 2009-03-31 för båda tidsserierna.
AFGX Kopparindex Daglig volatilitet: 1,45 % 1,94 % Årlig volatilitet: 23,06 % 30,75 %
Skevhet: -0,01 -0,23
Kurtosis: 7,20 10,90
Tabell 3.1 AFGX och Kopparindex egenskaper (Egen illustration)
Från tabell 3.1 kan avläsas att Kopparindex är en mer volatil tillgång (30,75 % > 23,06 %) än AFGX. Kopparindex avviker också mer från normalfördelningen då den visar ett mer negativt skevhetsvärde och ett högre kurtosisvärde. Kopparindexets fördelning kännetecknas av att den är spetsig, vilket innebär att den har ett högre kurtosisvärde än normalfördelningen (10,90 >
3). Kopparindex fördelning kännetecknas även av att vara mindre symmetriskt än normalfördelningen i form av negativ skevhet (-0,23 < 0). Detta illustreras även av histogrammen i appendix.14
Att tillgångarna skiljer sig vad gäller volatilitet illustreras i diagram 3.2 och 3.3 som visar tillgångarnas historiska avkastningar i procent från 1996 till 2009.
14 Se 2. Appendix.
Diagram 3.2 Historiska avkastningar - AFGX (Egen illustration)
Diagram 3.3 Historiska avkastningar - Kopparindex (Egen illustration)
Diagrammen visar att Kopparindex är mer volatil än AFGX, men att volatilitetskluster är mer förekommande för AFGX. Illustrativt i diagrammen ovan kännetecknas volatilitetskluster av att de extrema avvikelserna återfinns i kluster. Kopparindex avkastningar är mer ”jämnt”
fördelade och de extrema avkastningarna återfinns oftast inte tillsammans med andra extrema avkastningar. AFGX har en mer ”ojämn” linje av avkastningar där de extrema avkastningarna
ofta återfinns tillsammans i perioder. Viktigt att förtydliga är att Kopparindex är mer volatil15 än AFGX vilket inte innebär att Kopparindex skulle lida av fler volatilitetskluster än AFGX.
3.1 HISTORISK SIMULATION
Eftersom storleken på perspektivfönstret påverkar Historisk Simulations prestation, mätt med antal överträdelser, testar vi att beräkna VaR utifrån olika perspektivfönster. Jämförelsen visar hur valet av perspektivfönster påverkar VaR-värdenas storlek, varians och förmåga att följa de verkliga avkastningarna. Eftersom Historisk Simulation inte antar normalfördelning kräver den ett större perspektivfönster jämfört med parametriska modeller. Vid en konfidensnivå på 99,9 % krävs exempelvis ett perspektivfönster på 1000 dagar för att en svansobservation ska inkluderas i VaR-estimeringen. Exempelvis visar Butler & Schachter (1996) och Dowd (1996) (s. 103-104) att mindre perspektivfönster än 1000 dagar på en 99,9 % konfidensnivå kan ge felaktiga VaR-värden. Storleken på perspektivfönster är dock inte enhetlig i tidigare forskning. Exempelvis använder sig Beder (1995) av ett perspektivfönster på 250 dagar, Hendricks (1996) använder 1250 dagar medan Viega, Chan & McAleer (2007) använder ett ännu större perspektivfönster. För att få en uppfattning om hur valet av perspektivfönster påverkar våra data beräknas därför VaR-värden utifrån 250, 1000 och 2000 dagars perspektivfönster med Historisk Simulation på de olika konfidensnivåerna. Då vi inte har äldre data än från 1996-01-01 och behöver ett perspektivfönster på 2000 dagar för att beräkna det första jämförbara VaR-värdet, kan VaR vid denna jämförelse beräknas först från 2003-09- 02 och framåt. I diagram 3.5 illustreras VaR-värden beräknade utifrån olika storlek på perspektivfönstret med Historisk Simulation på 99 % konfidensnivå.
15 Kopparindex = 30,75 % volatilitet på årsbasis. AFGX = 23,06 % volatilitet på årsbasis.
Diagram 3.4 HS med olika perspektivfönster 99 % - AFGX (Egen illustration)
I enlighet med Hendricks (1999) slutsatser visar diagram 3.5 att ett längre perspektivfönster ger stabilare och större VaR-värden. Detta mönster är tydligare ju högre konfidensnivån är.16 Exempelvis är VaR-värden beräknade utifrån en observationstid på 2000 dagar i genomsnitt 122 % större än VaR-värdena beräknade utifrån 250 dagar. VaR-värden beräknade utifrån 2000 dagar ligger relativt stabilt runt -40 000 under hela tidsperioden medan VaR-värden beräknade utifrån 250 dagar är betydligt mer varierande. I och med att VaR-värdena blir större med längre perspektivfönster är antalet överträdelser fler med ett perspektivfönster på 250 dagar, trots att detta perspektivfönster ser ut att följa den verkliga avkastningen bättre.
Historisk Simulation beräknas i vår undersökning utifrån ett perspektivfönster på 1000 dagar.
1000 dagar har minst överträdelser samtidigt som det följer avkastningen bättre än ett fönster på 2000 dagar. Ett perspektivfönster på 1000 dagar välj även för att en svansobservation ska fångas på 99,9 % konfidensnivå. Ett perspektivfönster på 1000 dagar innebär att VaR-värden beräknade med Historisk Simulation anpassar sig långsamt till förändringar i avkastningen, men att antalet överträdelser blir mindre då VaR-värdena blir större.
16 Se 3. Appendix
3.2 DELTA-NORMAL
Parmetriska modeller kräver enligt tidigare forskning inte ett lika stort perspektivfönster som Historisk Simulation. I tidigare forskning varierar dock storleken av perspektivfönstret även bland parametriska modeller. Exempelvis använder sig Hull (2008) av ett perspektivfönster på 30 dagar, Pafka & Kondor (2001) 250 dagar medan Wong, Cheng & Wong (2003) använder 500 dagar. För att se hur storleken av perspektivfönstret påverkar våra VaR-värden beräknade med Delta-Normal beräknas därför VaR utifrån ett perspektivfönster på 30, 250 och 500 dagar på de olika konfidensnivåerna. Eftersom vi inte har äldre data än från 1996-01-01 och behöver ett perspektivfönster på 500 dagar för att beräkna det första jämförbara VaR-värdet, kan VaR vid denna jämförelse beräknas först från 1999-11-02 och framåt. Diagram 3.6 illustrerar VaR-värden beräknade med olika perspektivfönster med Delta-Normal på en 99 % konfidensnivå.
Diagram 3.5 Delta-Normal med olika perspektivfönster 99 % - AFGX (Egen illustration)
Diagram 3.6 illustrerar att VaR-estimeringarna blir mer varierande och tenderar att följa den verkliga avkastningen bättre både i upp- och nedgångar med ett kortare perspektivfönster.
Detta mönster är lika tydligt oberoende av konfidensnivån.17 Med ett längre perspektivfönster ökar överträdelserna och VaR-estimeringarna varierar mindre. Till skillnad från Historisk Simulation skiljer sig det genomsnittliga VaR-värdet beräknade med respektive perspektivfönster inte nämnvärt åt. Ett perspektivfönster på 30 dagar tenderar att följa den verkliga avkastningen bättre än längre perspektivfönster eftersom nyare data då får mer
17 Se 4. Appendix
utrymme vid VaR-estimeringarna. Vi ser därför ingen anledning till att välja ett längre perspektivfönster än 30 dagar med Delta-Normal. Detta i linje med Hulls (2008) rekommendation.
3.3 RISKMETRICS
Effekten av storleken på perspektivfönster är liknande för RiskMetrics som för Delta-Normal.
Diagram 3.7 nedan illustrerar VaR-värden beräknade utifrån 30, 250 och 500 dagars perspektivfönster under tidsperioden 1999-11-02 till 2009-03-31 med RiskMetrics på en 99 % konfidensnivå.
Diagram 3.6 RiskMetrics med olika perspektivfönster 99 % - AFGX (Egen illustration)
Diagram 3.7 visar att VaR-estimeringar blir mer varierande och tenderar att följa den verkliga avkastningen bättre med ett kortare perspektivfönster, precis som med Delta-Normal. Likt Delta-Normal är mönstret oberoende av konfidensnivå.18 Med RiskMetrics varierar dock VaR-estimeringarna något mer även vid längre perspektivfönster. Troligtvis beror detta på avtagningsfaktorn som RiskMetrics använder sig av. Ett perspektivfönster på 30 dagar resulterar dock i minst överträdelser och det genomsnittliga VaR-värdet är lika stort oberoende av perspektivfönstret. Att RiskMetrics och Delta-Normal beräknas med lika stora
18 Se 5. Appendix
perspektivfönster medför även att utvärderingen med Kupiecs backtest blir mer rättvisande eftersom valet av perspektivfönster då inte påverkar jämförelsen mellan modellerna.
Av tidigare forskning och rekommendationer antar vi att avtagningsfaktorn är lika med 0,94 (λ = 0,94), vilket anses vara optimalt för att producera backtestingresultat. Penza & Bansal (2001) skriver att användandet av en avtagningsfaktor på 0,94 kräver tillgång till daglig aktuell data och är bäst lämpad för dagliga VaR-beräkningar (t = 1), vilket vår undersökning utgår ifrån. Hendricks (1996) slutsats att en faktor på 0,94 snabbare avtar vikten på tidigare observationer än en faktor på 0,99 bidrar också till vårt val då vi har förhållandevis volatila indexserier. Diagram 3.8 nedan illustrerar detta förhållande närmare. Som Hendricks (1996) kommer fram till är RiskMetrics snabbare med avtagningsfaktor 0,94 än 0,99. För att utveckla resonemanget ytterligare valde vi att testa hur RiskMetrics fungerade med en avtagningsfaktor på 0,90. Som förväntat är den ännu snabbare än 0,94, dock skriver Hendricks (1996) att en för snabb avtagningsfaktor gör att för mycket vikt läggs på de mest aktuella av observationer. För mycket vikt på de allra nyaste observationer gör att resterande historiska observationer i perspektivfönstret inte har någon påverkan. Att endast titta på gårdagens observation ger volatila och oförutsägbara resultat vilket ökar risken att få snedvridna resultat. (Hendricks, 1996). I diagram 3.7 nedan visas VaR-värden beräknade med RiskMetrics på 95 % konfidensnivå med en tre olika värden på avtagningsfaktorn under tidsperioden 2000-06-02 till 2001-06-02.
Diagram 3.7 RiskMetrics med olika avtagningsfaktorer på 95 % konfidensnivå - AFGX (Egen illustration)
3.4 KUPIECS BACKTESTING
I denna undersökning används den vanligaste utvärderingsmetoden, Kupiecs backtestingmetod. En nackdel med denna metod är att den bara mäter antalet överträdelser och inte tar hänsyn till hur stora överträdelserna är. Kupiecs backtestingmetod tar heller inte hänsyn till metodernas förmåga att prestera så låga VaR-värden som möjligt utan att orsaka överträdelser. Detta innebär att en modell som presterar onödigt höga VaR-värden oavsett hur stor den verkliga avkastningen är kan accepteras enligt Kupiecs test. (Jorion, 2001, s. 129- 135). Vidare påpekar Kupiecs (1995) att testet inte ska anses tillförlitligt om man har få observationer. Detta kan för många innebära ett problem då data ofta tenderar att vara begränsad. Antingen saknas information eller så är portföljen relativt ny vilket gör att önskad mängd historisk data inte finns att tillgå. (Kupiecs, 1995). I vår undersökning ingår 2456 stycken observationer insamlade under 13 år, vilket enligt Kupiecs (1995) är tillräckligt mycket data för att backtestingmetoden ska vara tillförlitlig. Då Kupiecs backtest är en av de mest förekommande och inte kräver mycket information (utöver historiska data) anser vi den passa undersöknings syfte. Ytterligare en anledning till att vi väljer att utvärdera modellerna med Kupiecs backtest är att banker, enligt Basel II bara ska rapportera antalet överträdelser vid beräkning av kapitaltäckning (Wong, Cheng & Wong, 2003). Valet av backtestingmetod innebär att VaR-modellernas prestation enbart mäts utifrån antalet överträdelser vilket medför att hänsyn inte kommer tas till hur stora överträdelserna är. Utvärderingen kommer heller inte att ta hänsyn till modellernas förmåga att prestera så låga VaR-värden som möjligt utan att orsaka överträdelser.
Överträdelserna mäts genom att se om förlusten för dag t+1 är större än vad VaR-modellen estimerat dag t (dagen innan). Det uttrycks matematiskt av Wong, Cheng & Wong (2003) som:
VaRt+1 > Avkastning dag t+1. Där; (7) VaRt+1 = VaR-estimering för dag t+1 estimerades vid dag t.
Intervallen för vilka överträdelserna skall befinna sig inom för att VaR-modellen ska accepteras av Kupiecs backtest är angivna nedan i tabell 3.8. De är beräknade av
sannolikhetsfunktionen angiven i teorin19 utifrån 95 %, 99 % och 99,9 % konfidensnivåer och 2456 observationer för respektive index.
95 % 99 % 99,9 %
(2456 obs.) Min. Resultat Max. Min. Resultat Max. Min. Resultat Max.
AFGX (102) X (143) (15) X (34) (0) X (5) Kopparindex (102) X (143) (15) X (34) (0) X (5)
Tabell 3.8 Kupiecs backtestingintervall (Egen illustration)
För att vara godkänd skall antalet överträdelser på exempelvis 95 % konfidensnivå ligga mellan intervallet 102 till 143. Intervallen blir mindre och får lägre värden desto högre konfidensnivån är vid VaR-beräkningarna. Således tar testet hänsyn till att VaR-modellerna presterar färre överträdelser på högre konfidensnivåer (Kupiecs, 1995).
4. RESULTAT OCH ANALYS
Tabellerna nedan innehåller respektive VaR-modells överträdelser vid respektive konfidensnivå för de två olika data vi valt att analysera; Affärsvärldens general index och HSBC Kopparindex. Är resultaten röda betyder det att antalet överträdelser ligger utanför intervallet givet av Kupiecs backtestingmetod. Är resultaten gröna betyder det att överträdelserna befinner sig inom intervallet och att modellen är godkänd.
4.1 HISTORISK SIMULATION
95 % 99 % 99,9 %
(2456 obs.) Min. Resultat Max. Min. Resultat Max. Min. Resultat Max.
AFGX (102) 160 (143) (15) 45 (34) (0) 6 (5) HSBC Copper
Index (102) 180 (143) (15) 55 (34) (0) 11 (5) Tabell 4.1 HS - överträdelser och Kupiecs backtestingintervall (Egen illustration)
Tabell 4.1 visar att Historisk Simulation20 inte klarar Kupiecs backtest på någon av konfidensnivåerna vare sig på AFGX eller på Kopparindex. Tabellen visar dock att Historisk Simulation presterar betydligt bättre på den högsta konfidensnivån, 99,9 %, jämfört med den lägre nivån på 95 %. Exempelvis har Historisk Simulation bara en (6 – 5 = 1) överträdelse för mycket på AFGX med konfidensnivån 99,9 % medan den har 17 stycken (160 – 143 = 17)
19 Se 2.4 Kupiecs Backtesting
20 Icke-parametrisk modell (antar ej normalfördelning), uträknad på 95 %, 99 % och 99,9 % konfidensnivå. VaR värden uträknade per dag (√t = 1) med ett perspektivfönster på 1000 dagar ger 2 456 stycken observationer.
överträdelser för mycket på 95 % konfidensnivå. Att Historisk Simulation presterar bättre på en högre konfidensnivå i likhet med vad Hendricks (1996) kommer fram till, och i motsats till vad Butler & Schachter (1996) visar, är förmodligen ett reslutat av vårt relativt stora perspektivfönster på 1000 dagar. När perspektivfönstret är större minskar risken för att
”svans”-händelser (extrema avvikelser) ska hamna utanför konfidensintervallet. Historisk Simulation presterar även betydligt bättre än de parametriska modellerna på 99,9 % konfidensnivå (totalt 16 stycken mindre än Delta-Normal och 15 stycken mindre än RiskMetrisk på 99,9 %). Troligtvis beror detta på att de parametriska modellerna antar normalfördelning, vilket försämrar deras prestation mer ju högre konfidensnivån är.
Diagram 4.2 illustrerar AFGX avkastningar tillsammans med VaR-värden beräknade med Historisk Simulation på 95 %, 99 % och 99,9 % konfidensnivå.
Diagram 4.2 HS med olika konfidensnivåer - AFGX (Egen illustration)
Av diagram 4.2 kan avläsas att VaR-värdena blir större ju högre konfidensnivån är. Detta stödjer Dowds (1998) resonemang kring att valet av konfidensnivå bör avgöras av syftet med VaR-analysen. Vill företaget vara försiktiga och minska risken för att VaR-estimeringarna ska underskattas bör en högre konfidensnivå användas. VaR-värdena är i genomsnitt 241 % större med en konfidensnivå på 99,9 % jämfört med en konfidensnivå på 95 %. Detta medför att antalet överträdelser minskar i takt med att konfidensnivån ökar, vilket sannolikt beror på att fler och större extremt negativa avkastningar fångas upp med en högre konfidensnivå. Med andra ord påverkar valet av konfidensnivå kraftigt VaR-estimeringarna.
I diagram 4.2 illustreras även att risken och VaR-estimeringarna ständigt underskattas på 95
% konfidensnivå. Anledningen kan vara att perspektivfönstret på 1000 dagar är för stort för en konfidensnivå på 95 %. Detta kan dels bero på att antalet extrema avkastningar hamnar utanför konfidensintervallet och därmed inte vägs in i VaR-estimeringarna, dels på att de mer frekventa och mindre avkastningarna får mer utrymme med ett större perspektivfönster.
Konsekvensen blir att VaR-estimeringarna underskattas och att antalet överträdelser ökar. Vid en konfidensnivå på 95 % är det troligt att ett mindre perspektivfönster fungerat bättre eftersom mer aktuell data då hade fått mer utrymme. De större negativa avkastningarna hade då påverkat VaR-värdena mer, vilket hade ökat variationen av estimeringarna och troligtvis minskat antalet överträdelser. Valet av konfidensnivå vid Historisk Simulation bör därför inte enbart påverkas av syftet med VaR-analysen, utan även av storleken på perspektivfönstret.
Finns det inte tillgång till ett stort perspektivfönster bör man använda sig av en lägre konfidensnivå för att få tillförlitliga VaR-värden. Likaså tyder våra resultat på att företag bör använda en högre konfidensnivå om VaR beräknas utifrån ett stort perspektivfönster med Historisk Simulation.
Vidare kan av tabell 4.1 avläsas att överträdelserna är betydligt fler på Kopparindex jämfört med AFGX (totalt 35 stycken fler) trots att AFGX kännetecknas av fler volatilitetskluster.
Detta beror sannolikt på att kopparindexet är en mer volatil tillgång, något som Historisk Simulation har svårt att anpassa sig till, speciellt med ett stort perspektivfönster.
Perspektivfönstret på 1000 dagar gör att VaR-estimeringarna blir stabila och långsamt anpassar sig till nyare data. Att Historisk Simulation heller inte viktar mer aktuell data högre än äldre data gör också att modellen har svårt att anpassa sig till volatilitet. Med ett kortare perspektivfönster hade skillnaden mellan överträdelserna på AFGX och Kopparindex sannolikt varit mindre i och med att modellen då anpassat sig snabbare till de mer extrema avvikelserna.
4.2 DELTA-NORMAL
95 % 99 % 99,9 %
(2456 obs.) Min. Resultat Max. Min. Resultat Max. Min. Resultat Max.
AFGX (102) 146 (143) (15) 56 (34) (0) 19 (5)
Kopparindex (102) 145 (143) (15) 51 (34) (0) 14 (5) Tabell 4.3 Delta-Normal - överträdelser och Kupiecs backtestingintervall (Egen illustration)
Precis som med Historisk Simulation minskar antalet överträdelser med Delta-Normal21 allt eftersom en högre konfidensnivå tillämpas. Dowd (1998) och Hendricks (1996) förklarar detta med att fler och mer extremt volatila avkastningar tas med i beräkning vid högre konfidensnivåer, vilket leder till att större VaR-värden genereras (se diagram 4.4 nedan).
Samtidigt minskar även intervallen i Kupiecs backtestingmetod i och med att konfidensnivån ökar, vilket resulterar i att Delta-Normal förkastas på alla tre olika konfidensnivåer både på AFGX och på Kopparindex.
I likhet med Hendricks (1996) resultat visar tabell 4.3 att Delta-Normal presterar bättre vid en lägre konfidensnivå då antalet överträdelser ligger närmare Kupiecs backtestingintervall än vid exempelvis 99,9 % nivå. Troligtvis är anledningen att 95 % konfidensnivå är mer överensstämmande med normalfördelningen, vilket resulterar i att Delta-Normal underskattar risken på de högre nivåerna. Detta kan förklaras genom att svansarna i AFGX och Kopparindex fördelning återfinns utanför de kritiska värdena i förhållande till vad som antas av konfidensnivån.
21 Parametrisk modell (antar normalfördelning), uträknad på 95 %, 99 % och 99,9 % konfidensnivå. VaR värden uträknade per dag (√t = 1) med ett perspektivfönster på 30 dagar ger 2 456 stycken observationer.
Diagram 4.4 Delta-Normal med olika konfidensnivåer - AFGX (Egen illustration)
Förvånande nog visar resultaten att Delta-Normal presterar mindre överträdelser på Kopparindex än AFGX. Exempelvis menar Dowd (1998) och Costello, Asem & Gardner (2008) att de parametriska VaR-modellerna får mer snedvridna värden ju mer tillgångens fördelning avviker från normalfördelningen. Som framfört i metoden är AFGXs avkastningar förhållandevis normalfördelade22 i relation till Kopparindex. Detta borde innebära att Delta- Normal skall estimera AFGX framtida avkastningar bättre än Kopparindex framtida avkastningar. En förklaring till varför detta inte är fallet i vår undersökning kan vara att AFGX har fler perioder av volatilitetskluster än Kopparindex, vilket Delta-Normal anpassar sig långsamt till då den inte använder någon avtagningsfaktor. Vidare har Kopparindex en högre grad av kurtosis vilket talar för en högre grad av volatilitet som tidigare diskuterat i metoden. Dock har denna egenskap mindre betydelse jämfört med volatilitetskluster för Delta-Normal, då modellen lättare estimerar konsekvent volatilitet som i Kopparindex jämfört med AFGX. På 95 % nivå skiljer sig dock antalet överträdelser med endast en (146 – 145 = 1) överträdelse, vilket talar för möjligheten att Delta-Normal har lättare att anpassa sig till volatilitetskluster på den lägsta konfidensnivån.
Hendricks (1996) utpekar Delta-Normal som att vara den mer naiva VaR-modellen i sammanhanget. Delta-Normal lägger lika vikt på samtliga historiska observationer när volatiliteten estimeras, till skillnad från RiskMetrics som bättre följer avkastningarna genom avtagningsfaktorn. Illustrativt kännetecknas egenskapen i diagram 4.5 nedan av att
22 AFGX fördelning lider inte av särskild skevhet (-0,008107) och graden av kurtosis (7,198804) är mindre än Kopparindex (10,89460).
RiskMetrics mer ”följsamt” anpassar sig jämfört med Delta-Normal som inte är lika varierande, medan Historisk Simulation har en mer ”rätlinjigare” riktning.
Tabell 4.5 Delta-Normal, HS & RiskMetrics – AFGX (Egen illustration)
4.3 RISKMETRICS
RiskMetrics23 tar hänsyn till volatilitetskluster och anpassar sig snabbare till volatiliteten hos avkastningarna genom avtagningsfaktorn (λ) i EWMA funktionen. I tabell 4.6 är antalet överträdelser för RiskMetrics redovisade.
95 % 99 % 99,9 %
(2456 obs.) Min. Resultat Max. Min. Resultat Max. Min. Resultat Max.
AFGX (102) 141 (143) (15) 57 (34) (0) 17 (5) Kopparindex (102) 145 (143) (15) 51 (34) (0) 15 (5)
Tabell 4.6 RiskMetrics - överträdelser och Kupiecs backtestingintervall (Egen illustration)
Av samtliga VaR-modeller i undersökningen är det endast RiskMetrics som vid 95 % konfidensnivå accepteras (AFGX). Precis som Hendricks (1996) visar i sin undersökning presterar RiskMetrics bättre på lägre konfidensnivåer. Vid de högre nivåerna förkastas RiskMetrics, i likhet med Delta-Normal, i och med att modellen antar normalfördelning.
23 Parametrisk modell (antar normalfördelning), uträknad på 95 %, 99 % och 99,9 % konfidensnivå. VaR värden uträknade per dag (√t = 1) med ett perspektivfönster på 1000 dagar ger 2 456 stycken observationer.
Vidare finner vi det förvånande att RiskMetrics inte presterar bättre än vad som redovisas i tabellen. Våra förväntningar var att skillnaden mellan RiskMetrics och Delta-Normal skulle vara mer betydande och att den förstnämnda skulle redovisa mindre överträdelser på alla nivåer i och med avtagningsfaktorn. På AFGX efterlevs dock våra förväntningar då modellen accepteras på 95 % konfidensnivå, vilket inte gäller för Delta-Normal. Detta styrker även analysen i avsnitt 4.2 kring att Delta-Normal presterar sämre VaR-estimeringar på AFGX än Kopparindex på grund av att AFGX innehåller fler volatilitetskluster. Tillskillnad från Delta- Normal lyckas RiskMetrics bättre med att estimera risken och dess volatilitetskluster hos AFGX genom avtagningsfaktorn.
Att RiskMetrics inte accepteras på Kopparindex på 95 % konfidensnivå är förvånande då modellen, genom avtagningsfaktorn, borde ta hänsyn till att Kopparindex kännetecknas av hög volatilitet. Förklaringen kan vara att Kopparindex avviker mer från normalfördelningen jämfört med AFGX, men att Delta-Normal och RiskMetrics presterar exakt lika många överträdelser på 95 % konfidensnivå på Kopparindex medan de skiljer sig åt på AFGX är förvånansvärt. En förklaring kan vara att avtagningsfaktorn får mindre effekt på Kopparindex då den avviker mer från normalfördelningen. En annan förklaring kan vara att Kopparindex innehar förhållandevis få volatilitetskluster och att RiskMetrics därför inte får lika stor fördel med avtagningsfaktorn.
Den största förvåningen i undersökningen är att RiskMetrics presterar sämre på AFGX än Kopparindex på de högre konfidensnivåerna; 99 % och 99,9 %. Enligt oss kan orsaken vara att EWMA funktionen i RiskMetrics blir lidande av de högre konfidensnivåerna på grund av den antagna normalfördelningen. Resultatet blir då att RiskMetrics precis som Delta-Normal, bortser från volatilitetskluster och således presterar sämre på AFGX, trots att AFGX är mer normalfördelad än Kopparindex. Som diskuterat i teorin är tidigare forskning nästan oroande enhällig och konsekvent till användningen av en avtagningsfaktor på 0,94 vid uträkning av dagliga VaR-värden. Med de förutsättningarna är chansen stor att vårt val av värde på avtagningsfaktorn påverkar undersökningens resultat. Säkerligen har värdet fungerat bra i andra studier men det ger inga garantier för att så är fallet i vår undersökning på tillgångarna AFGX och Kopparindex. Som Jorion (2001) påpekar är tidserier sällan normalfördelade vilket starkt påverkat våra utfall, både för Delta-Normal och RiskMetrics. Detta kan innebära att man får mer tillförlitliga VaR-värden om avtagningsfaktorn bestäms utifrån den underliggande tillgångens egenskaper istället för att utgå ifrån en standardfaktor på 0,94.
5. SLUTSATS
Som inledningsvis diskuterat i uppsatsen är tidigare forskning inte enhällig rörande vilken VaR-modell som presterar bättre jämfört med en annan. Vi har undersökt hur väl Historisk Simulation, Delta-Normal och RiskMetrics presterar utifrån Kupiecs backtest på tre olika konfidensnivåer på Affärsvärldens generalindex och HSBC Kopparindex. Resultaten visar att det endast är RiskMetrics på 95 % konfidensnivå för AFGX som klarar testet. RiskMetrics som är den mer avancerade VaR-modellen i sammanhanget har en fördel mot de andra modellerna i och med att hänsyn tas till volatilitetskluster som är vanligt förekommande i tidsserier. Vår undersökning tyder dock på att avtagningsfaktorn bara har marginell betydelse, då Delta-Normal presterar ungefär lika många överträdelser som RiskMetrics. Resultaten tyder dock på att avtagningsfaktorn kan få större betydelse på lägre konfidensnivåer, vilket kan bero på att den antagna normalfördelningen fungerar sämre på högre nivåer och att avtagningsfaktorns effekt därför minskar. På AFGX presterar emellertid RiskMetrics överlag bättre än Delta-Normal. Vår tolkning är att AFGX innefattar fler volatilitetskluster vilket gör att RiskMetrics kommer till sin rätt i sammanhanget. Kopparindex kännetecknas dock inte av lika många kluster utan är istället generellt mer volatil och på färre villkor normalfördelad, vilket gör det svårare för RiskMetrics att estimera tillgångens framtida avkastningar på 95 % nivå.
Undersökningen tyder på att Historisk Simulation presterar bättre på högre konfidensnivåer medan de parametriska VaR-modellerna presterar bättre på lägre nivåer, vilket sannolikt beror på att de parametriska modellerna antar normalfördelning. Få tidsserier antar normalfördelning vilket gör att de parametriska VaR-modellerna underskattar dess VaR- värden på de högre konfidensnivåerna. Att Historisk Simulation beräknades med ett relativt stort perspektivfönster på 1000 dagar är troligtvis också en bidragande faktor till att den presterar sämre på den lägsta nivån. Vid en konfidensnivå på 95 % kan ett för stort perspektivfönster leda till att Historisk Simulation underskattar VaR.
Valet av VaR-modell bör inte endast avgöras av syftet med VaR-analysen. Undersökningen visar att tillgångarnas egenskaper kan ha stor effekt på de olika modellernas prestation.
Resultaten antyder att Historisk Simulation kan ha svårare att anpassa sig till volatilitetskluster än till hög volatilitet. Undersökningen visar även att Delta-Normal och RiskMetrics har svårare att anpassa sig till volatilitetskluster än till avvikande normalfördelning på högre konfidensnivåer.
