» I e n r ä k n e b o k , s o m u t k o m för några år sedan, f ö r e k o m m a s a m - m a b e s y n n e r l i g a s a m m a n s ä t t n i n g a r , s o m s a k n a b e t y d e l s e i d e n a l l - m ä n t a n t a g n a m a t e m a t i s

Full text

(1)

I fjärde o c h f e m t e häftet a f P e d a g o g i s k T i d s k r i f t h a r v a r i t i n - t a g e n e n u p p s a t s a f u n d e r t e c k n a d » O m undervisning i räkning m e d a n l e d n i n g a f e n n y l i g e n u t g i f v e n l ä r o b o k i b r å k » . I d e n n a u p p s a t s f ö r e k o m p å s i d . 157 f ö l j a n d e :

B e t y d e l s e n a f ± £ 2 i l ^ L

1

, 5 m i l X 4 t i m . o c h 3 t i m . X 11 m i l

• S t i m . ! 4 t i m . '

h a r förf. u r a k t l å t i t a t t a n g i f v a .

» I e n r ä k n e b o k , s o m u t k o m för några år sedan, f ö r e k o m m a s a m - m a b e s y n n e r l i g a s a m m a n s ä t t n i n g a r , s o m s a k n a b e t y d e l s e i d e n a l l - m ä n t a n t a g n a m a t e m a t i s k a k o r t s k r i f t e n . T r o l i g e n h a r förf. u t a n e f t e r t a n k e h ä m t a t d e m från d e t t a a r b e t e , i h v i l k e t n a t u r l i g t v i s ej h e l l e r m e d d e l a s n å g o n t y d n i n g . »

L e k t o r D a m m gissar a l l d e l e s r i k t i g t , a t t dessa o r d åsyftade d e n l ä r o b o k , t i l l h v i l k e n h a n är m e d u t g i f v a r e .

H a n b e s k y l l e r m i g e m e l l e r t i d för a t t i d e t anförda u t t a l a n d e t

h a f v a k o m m i t m e d i c k e m i n d r e ä n tre o r i k t i g a u p p g i f t e r . J a g s k a l l

n u b e s v a r a b e s k y l l n i n g a r n a i t u r o c h o r d n i n g .

(2)

1) Lektor Damm säger sig icke hafva användt »samma besynner- liga sammansättningar», ty han har icke användt den af typen

»mil X timme» utan endast typen »-^-»

ar t i m .

Ja, r o a r d e t l e k t o r D a m m a t t på g r u n d a f d e t a l l m ä n n a u t t r y c - k e t » s a m m a b e s y n n e r l i g a s a m m a n s ä t t n i n g a r » b e s k y l l a m i g för a t t h a f v a l ä m n a t e n o r i k t i g u p p g i f t , så gärna för m i g . U t t r y c k e t af- såg n a t u r l i g t v i s i första r u m m e t själfva p r i n c i p e n a t t på a n a l o g t sätt h o p s t ä l l a i e n m a t e m a t i s k f o r m e l s t o r h e t e r af o l i k a slag. V ä l t a l a r l e k t o r D . o m e n » d j u p g å e n d e o l i k h e t » , s o m s k u l l e e x i s t e r a m e l - l a n t y p e r n a » m i l X t i m » o c h - ^ i - , m e n d e n n a o l i k h e t erkänner j u l e k t o r D . själf v a r a af p r a k t i s k o c h i c k e af p r i n c i p i e l l b e t y d e l s e . O c h s k u l l e l e k t o r D . ej särskildt i k o r t s k r i f t h a f v a a n v ä n d t t y p e n

» m i l X t i m . » , så f ö r e k o m m e r l i k a f u l l t s a k f e l e t i m e r u t f ö r d s k r i f t . M a n får på s i d 165 följande » u p p l y s n i n g » :

Vägen = produkten af hastigheten och tiden.

M e n n u f ö r e k o m m e r d ä r j ä m t e å s a m m a sida k o r t s k r i f t e n 6 ^ X 6 sek.

s e k .

E n l i g t l e k t o r D :s b e t e c k n i n g s s ä t t u t m ä r k e r j u d e n första f a k - t o r n e n längd. Således h ö r d e n t i l l t y p e n » m i l X t i m . » eller ä n n u n o g g r a n n a r e t i l l t y p e n » k m X s e k . » , s o m j u hörer t i l l s a m m a k a t e - g o r i , s o m d e n förra.

T i l l s a m m a k a t e g o r i räknar j a g äfven s å d a n a s a m m a n s t ä l l n i n - gar ( s i d . 159) s o m » 4 m X 30 m

8

, » , h v i l k e n b e t e c k n a r p r o d u k t e n af en l ä n g d o c h en y t a .

2) L e k t o r D a m m b e s k y l l e r m i g v i d a r e för a t t o r i k t i g t h a f v a på- stått, att dylika sammanställningar sakna betydelse i den allmänt an- tagna matematiska kortskriften.

L e k t o r D . å b e r o p a r sig på, a t t d y l i k a s a m m a n s ä t t n i n g a r före- k o m m a i f y s i s k a o c h t e k n i s k a h a n d b ö c k e r — m ä r k l i g t n o g t a l a r h a n ej o m matematiska h a n d b ö c k e r — o c h t i l l på k ö p e t i s v e n s k för- f a t t n i n g s s a m l i n g . Dessa a r b e t e n äro a f d e n n a t u r , a t t deras u t - sago ej k a n h a f v a gällande k r a f t i d e n n a fråga. V i l l m a n h a f v a en v e r k l i g k u n s k a p o m d e n a l l m ä n t a n t a g n a matematiska k o r t s k r i f t e n , så får m a n a n l i t a e n matematisk h a n d b o k .

L e k t o r D : s l i l l a k o m p l i m e n t åt sig själf, » a t t dessa u t t r y c k s s ä t t m e d h a n s l ä r o b o k f ö r e k o m m a för första gången i en l ä r o b o k i räk- n i n g » , b e s t y r k e r j u i själfva v e r k e t p å d e t mest eklatanta sätt, a t t de icke äro a l l m ä n t a n t a g n a .

D e n allmänt a n t a g n a matematiska k o r t s k r i f t e n u t m ä r k e r sig ge-

(3)

n o m e n sträfvan efter sträng i n r e l o g i k , h v a r m e d i n f ö r a n d e t a f de af l e k t o r D . f ö r o r d a d e b e t e c k n i n g s s ä t t e n , är fullständigt o f ö r e n l i g t . O c h särskiklt b e t ä n k l i g t är d e t n a t u r l i g t v i s a t t p å s k o l s t a d i e t , d ä r det gäller a t t b i b r i n g a lärjungen k l a r h e t , r e d a o c h s t a d g a i de m a t e - m a t i s k a b e g r e p p e n , införa d y l i k a förvirrande motsägelser i f o r m e l - b e t e c k n i n g e n .

3) L e k t o r D . b e s k y l l e r m i g s l u t l i g e n för att oriktigt hafva angif- vit, att i hans lärobok »naturligtvis» icke meddelats någon tydning öf- ver, hvad de omnämnda sammanställningarna betydde.

A t t l e k t o r D . t i l l v i t a r m i g en o r i k t i g u p p g i f t p å d e n n a p u n k t och »till p å k ö p e t » f i n n e r a d v e r b e t » n a t u r l i g t v i s » i n s i n u a n t b e r o r därpå, a t t l e k t o r D . o c h j a g h a f v a o l i k a a n s p r å k p å e n tydning, för a t t d e n s k a l l k u n n a erkännas s o m tillfredsställande i e n s k o l b o k . D e n i r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n e n d a tillfredsställande t y d n i n g e n b e s t å r däri a t t d e t n y i n l ä r d a u p p v i s a s v a r a e n g i f v e n följd af förut i n s e d d a san- n i n g a r o c h g i f n a d e f i n i t i o n e r . F ö r k o r t s k r i f t e n s d e l följer häraf, a t t i n n e b ö r d e n a f n y a sammanställningar, där n y a t e c k e n i c k e t i l l - k o m m a , s k a l l härledas u r d e t , s o m lärjungarne r e d a n k ä n n a o m t e c k - nens g r u n d l ä g g a n d e o c h p r i n c i p i e l l a b e t y d e l s e . E n sådan v e r k l i g t y d n i n g h a r l e k t o r D . » n a t u r l i g t v i s » ej m e d d e l a t e l l e r ens k u n n a t m e d d e l a , e m e d a n d e t ej låter sig g ö r a . Ä r l e k t o r D . från p e d a g o - g i s k s y n p u n k t n ö j d m e d d e n s. k . tillfredsställande t y d n i n g h a n m e d d e l a t , så v a r e d e t h a n s ensak.

O c h h ä r m e d anser j a g m i g t i l l deras r ä t t a h a l t h a f v a r e d u c e r a t de b e s k y l l n i n g a r för o r i k t i g a u p p g i f t e r , s o m l e k t o r D . v e l a t p å b ö r d a m i g .

I s l u t e t a f g e n m ä l e t f ö r e k o m m e r följande s a t s :

» D e t är m ö j l i g t , a t t d e t t a ( u n d e r t . :s k r i t i k ) , s o m j a g t r o r m i g ha v i s a t , f u l l k o m l i g t o b e r ä t t i g a d e p å s t å e n d e b l o t t b e r o r p å en m i n d r e n o g g r a n n g e n o m l ä s n i n g a f v å r b o k , e h u r u j a g i så f a l l h a r s v å r t a t t förstå, h v a r f ö r l e k t o r N . u t r u s t a t d e t s a m m a m e d d e t i n s i n u a n t a a d - v e r b e t » n a t u r l i g t v i s » , h v a r s g r u n d o c h m e n i n g n o g s k u l l e i n t r e s s e r a m i g a t t v e t a » .

T i l l k o m s t e n af d e t s k e n b a r t » i n s i n u a n t a » a d v e r b e t » n a t u r l i g t v i s » anser j a g m i g h a f v a h ä r o f v a n p å e t t f u l l t n ö j a k t i g t sätt förklarat.

D e t återstår m i g n u a t t b e m ö t a d e n e x t r a a n k l a g e l s e n att mitt (undert. :s) fullkomligt oberättigade påstående blott beror på en mindre noggrann genomläsning af vår (lektor D:s) bok.

F ö r a t t b e m ö t a d e n n a a n k l a g e l s e n ö d g a s j a g v a r a n å g o t o m -

ständlig.

(4)

M i t t t i l l v ä g a g å n g s s ä t t s k a l l b l i f v a a t t g e n o m u t d r a g u r l e k t o r D :s l ä r o b o k v i s a följderna af d e t af l e k t o r D . införda s y s t e m i en del a f h a n s l ä r o b o k , h v a r a f t o r d e framgå, a t t m i n a p å s t å e n d e n ej k u n n a stämplas s o m fullkomligt oberättigade.

D e t , s o m f ö r m å t t m i g a t t ä f v e n b e m ö t a d e n n a e x t r a a n k l a - gelse, h a r v a r i t

1 :o) m i t t v a r m a i n t r e s s e för e n r a t i o n e l l r ä k n e u n d e r v i s n i n g i v å r a s k o l o r ,

2:o) f r u k t a n för a t t l e k t o r D : s n y a förslag s k a l l a c c e p t e r a s af k o m m a n d e l ä r o b o k s f ö r f a t t a r e ( L i c . L i n d b o r g s ) o c h v i d u n d e r v i s - n i n g e n i v å r a s k o l o r , h v i l k e t e n l i g t m i t t f ö r m e n a n d e s k u l l e h a f v a m y c k e t m e n l i g a följder.

S l u t l i g e n m å k r a f t i g t b e t o n a s , a t t d e t t a m i t t inlägg icke h a r s i n o r s a k i n å g o t l u m p e t k l a n d e r b e g ä r .

l : o ) . P å s i d a n 143 läses f ö l j a n d e :

M a n k o m m e r öfverens o m att med 1 mX 1 m menas 1 ni

2

. M a n h a r då r e g e l n , a t t

en rektangels yta = produkten af dimensionerna. H ä r e m o t a n m ä r k e s : l : o ) . O r d s a m m a n s t ä l l n i n g e n : p r o d u k t e n af 1 m o c h 1 m är 1 k v a d r a t m e t e r » ( 1 m X 1 m = l m

2

) är o c h förblir m e n i n g s l ö s .

E t t p å s t å e n d e , s o m är o r i m l i g t k a n ej b l i f v a r i m l i g t g e n o m nå- g o n öfverenskommelse o c h e t t p å s t å e n d e , s o m är r i m l i g t , är r i m l i g t u t a n öfverenskommelse. D e n u r d e t o r i m l i g a p å s t å e n d e t h ä r l e d d a r e g e l n är n a t u r l i g t v i s äfven o r i m l i g o c h k a n ej t j ä n a s o m g r u n d - v a l för läran o m y t o r s s t o r l e k s b e s t ä m n i u g a r . I L i c . L i n d b o r g s lä- r o b o k f ö r e k o m m e r e n r e g e l m e d väsentligen s a m m a innehåll.

I m i n g r a n s k n i n g a f n ä m n d a l ä r o b o k f i n n e r läsaren r e g e l n j ä m t e de af m i g g j o r d a a n m ä r k n i n g a r n a , h v i l k a äfven gälla of v a n - stående r e g e l . F ö l j a n d e sats, s o m är k o r t o c h lättfattlig, k a n där- e m o t t j ä n a s o m g r u n d v a l för läran o m y t o r s s t o r l e k s b e s t ä m n i n g a r :

En rektangels kvadratmetertal är produkt af basens och höjdens ( d i m e n s i o n e r n a s ) metertal.

D e n n a sats b l i r ä f v e n s a n n , o m o r d e t » m e t e r » u t b y t e s m o t e t t n a m n å e t t l ä n g d m å t t h v i l k e t s o m h e l s t , t . e x . d e c i m e t e r , k i l o m e t e r , f o t , t u m , m i l o. s. v .

O f v a n s t å e n d e s a t s är e t t e n s k i l d t f a l l af följande s a t s :

Om förhållandet mellan en rektangel R:s bas och en godtycklig

linje p är talet t och förhållandet mellan R:s höjd och en godtycklig

linje q år talet t

u

så är förhållandet mellan R och en rektangel, hvars bas

är p och höjd är q, lika stort med produkten af t och t^.

(5)

O m h v a r o c h e n af p o c h q är 1 m , så s a m m a n f a l l e r d e n n a s a t s m e d d e n första, s o m således är e t t e n s k i l d t f a l l af o f v a n s t å e n d e .

O m p t . e x . är l m o c h q t . e x . är 1 f o t , så erhålles följande s a t s : Förhållandet mellan rektangel R och en rektangel, hvars bas är 1 m och höjd är 1 fot, är lika stort med produkten af basens meter- tal och höjdens fottal o. s. v . M ö j l i g e n anför D . t i l l försvar för s a t s e n :

"En rektangels yta är lika stor med produkten af dimensionerna, följande, s o m v a n l i g e n plägar a n v ä n d a s :

» M e d d i m e n s i o n e r n a förstås i c k e d i m e n s i o n e r n a u t a n deras s t o r l e k s t a l » . O m v å r a m a t e m a t i s k a förfäder v a l t t i l l m å t t för y t o r i c k e d e n reguljära f y r s i d i n g e n k v a d r a t e n u t a n t . e x . d e n reguljära t r e s i d i n g e n , i h v i l k e n h v a r j e sida är l m eller t . ex. e n c i r k e l , i h v i l k e n d i a m e t e r n är 1 m , så h a d e följande satser v a r i t s a n n a :

Förhållandet mellan en rektangel och en reguljär tresiding, i hvil- ken hvarje sida är 1 m, är lika stort med produkten af metertalen till basen och höjden samt förhållandet mellan 4 °ch V 3 .

Förhållandet mellan en rektangel och en cirkel, i hvilken diametern är lm, är lika stort med produkten af basens och höjdens metertal samt förhållandet mellan 4 och n.

A f dessa satsers innehåll framgår k l a r t skälet t i l l , a t t k v a d r a - t e n b l e f v a l d t i l l m å t t för y t o r o c h ej c i r k e l n e l l e r d e n l i k s i d i g a t r i - a n g e l n e l l e r n å g o n a n n a n rätlinig reguljär f i g u r . V i d a r e framgår äfven, a t t l e k t o r D a m m s sats ej h e l l e r k a n r ä d d a s g e n o m o f v a n s t å - ende försvar, h v a d a n d e n m å s t e s t ä m p l a s s o m o s a n n .

2:o) F ö r s l a g e t a t t a n v ä n d a m

2

, m

8

o. s.v. s å s o m k o r t s k r i f t s t e c k e n för k v a d r a t m e t e r n , k u b i k m e t e r n o. s. v . t o r d e först h a f v a u t g å t t från T y s k l a n d . A t t förslagsställaren ej ansåg m

2

o c h m

3

v a r a p o - tenser af m , d . v . s. l i k b e t y d a n d e m e d de o r i m l i g a u t t r y c k e n 1 m X 1 m o c h 1 m X 1 m X 1 m framgår t y d l i g t af k o r t s k r i f t s t e c k - n e n a t . e x . för k v a d r a t c e n t i m e t e r n o c h k u b i k c e n t i m e t e r n , s o m äro c m

2

o c h c m

3

. H a d e förslagsställaren u p p f a t t a t d e m s o m p o t e n s e r af c m , så h a d e h a n n ö d g a t s u t b y t a d e n n a c m

2

m o t ( e m )

2

eller c

2

m

2

s a m t c m

3

m o t ( c m )

3

eller c

3

r n

3

.

H a d e l e k t o r D . , s o m u p p f a t t a r d e m s o m p o t e n s e r af c m . , v a r i t följdriktig, så b o r d e h a n h a f v a a n v ä n d t dessa o f v a n n ä m n d a t e c k e n o c h ej c m

2

och c m

3

.

L e k t o r D . h a r j u e t t b i ä n d a m å l m e d k o r t s k r i f t e n , n ä m l . d e t

a t t u n d e r l ä t t a k a l k y l e n . D e t t a h a d e h a n b ä t t r e v u n n i t g e n o m a n -

(6)

t a g a n d e t a f f o r m e r n a c

2

m

2

och. c

3

m

8

i st. f. c m

2

o c h c m

3

. F ö r e t t . m a t e m a t i s k t ö g a t e sig följande e k v a t i o n e r v i d r i g a :

3 c m X 12 c m

2

= 36 c m

3

o c h

]

|

c

°™

3

= 4 c m .

O m c o c h m b e t e c k n a t a l , så äro de e n l i g t d e t m a t e m a t i s k a t e c k e n s p r å k e t o s a n n a . I d e t t a f a l l b ö r a de h a f v a följande f o r m :

3 e m X 12 c m

2

= 3 6 c

2

m

3

o c h j J^"" = 4 m ,

h v i l k a f o r m e r i c k e återgifva l e k t o r D :s t y d n i n g . O m c o c h m äro t a l , så äro följande e k v a t i o n e r s a n n a

-, ^ 9 9 r. r, q q 1 12 C '2m2 ,

3 c m X 12 c " m " = 36 c

r f

m '

!

o c h

s cm

= 4 c m .

P å s a m m a g å n g återgifva de l e k t o r D :s t y d n i n g . Ifrån l e k t o r D :s s t å n d p u n k t b ö r a således c

2

m

2

o c h c

3

m

3

h a f v a s t o r t företräde f r a m - f ö r de t y s k a f o r m e r n a c m

2

o c h c m

3

.

3:o) I r ä k n e b ö c k e r , s o m a n v ä n d a s i f r a n s k a s k o l o r , f ö r e k o m m a ej de o f v a n n ä m n d a k o r t s k r i f t s t e c k n e n a för m e t e r s y s t e m e t s y t - o c h r y m d - m å t t . A n l e d n i n g e n härtill t o r d e få sökas däri, a t t d e t t a be- t e c k n i n g s s ä t t är s t r i d a n d e m o t d e t a l l m ä n t a n t a g n a sättet a t t be- t e c k n a de öfriga m å t t e n i m e t e r s y s t e m e t .

S å l u n d a b e t e c k n a r t . e x . c l . hundradelen af r y m d m å t t e t liter.

I öfverensstämmelse h ä r m e d s k u l l e c m

2

b e t e c k n a hundradelen af k v a - d r a t m e t e r n , s o m innehåller 100 k v c m ; c m

3

s k u l l e b e t e c k n a hundra- delen af k u b i k m e t e r n , s o m innehåller 10000 k b c m . F ö r a t t c m

2

s k a l l k u n n a a n v ä n d a s s å s o m t e c k e n för k v a d r a c e n t i m e t e r n , så måste c ö f v e r s ä t t a s m e d en tiotusendel o c h för a t t c m

3

s k a l l k u n n a a n v ä n d a s s å s o m t e c k e n för k u b i k c e n t i m e t e r n , så måste c öfversättas m e d en milliondel. V i f i n n a således, a t t c i c k e a l l t i d s k a l l öfversättas m e d en h u n d r a d e l u t a n s t u n d o m m e d en tiotusendel o c h s t u n d o m m e d en milliondel. D e t från T y s k l a n d i m p o r t e r a d e b e t e c k n i n g s s ä t t e t , s o m således är f u l l k o m l i g t regellöst o c h s t r i d a n d e m o t d e t a l l m ä n t a n t a g n a är i h ö g g r a d förvillande o c h därför o a n v ä n d b a r t .

D e t är a n m ä r k n i n g s v ä r d t , a t t v i s v e n s k a r — t i l l o c h m e d så- d a n a , s o m äro l a g s t i f t a r e — o f t a a n t a g a förslag, s o m k o m m a från T y s k l a n d , u t a n a t t eftertänka, h u r u v i d a de äro g o d a eller förkast- l i g a .

S å l u n d a h a f v a v i från T y s k l a n d b l a n d a n d r a k o r t s k r i f t s t e c k - n e n a -jj- o c h för procent o c h promitlle.

D e t s k u l l e ej v ä c k a m i n förvåning, o m en lärjunge, s o m a n v ä n - d e r d e m , p å f r å g a n : » h v a d b e t y d e r

s x2- 1 6 i s x2- 1 6

aJ x—i °J (x—i) ( x - 4 ) '

d å x b e t y d e r 4?» s v a r a d e a) p r o c e n t b ) p r o m i l l e .

(7)

I s a m m a n h a n g h ä r m e d m å n ä m n a s , a t t i n s k j u t a n d e t a f — i frågesatsen

» H u r u m å n g a ~ k o l innehåller k r u t » ( s i d . 193) förefaller m y c - k e t o e g e n t l i g t o c h s m a k l ö s t .

V å r a g r a n n a r d a n s k a r n e h a f v a i c k e , s o m v i s v e n s k a r » n a p p a t » p å de t y s k a k r o k a r n a , u t a n a n v ä n d a de i stället f ö r k o r t n i n g a r n a pre o c h prm, s o m äro n a t u r l i g a o c h t y d l i g a , s a m t s k r i f v a s på k o r - t a r e t i d än de o f v a n n ä m n d a .

4:o) U p p f a t t n i n g e n a f m

2

o c h m

3

s å s o m p o t e n s e r a f m l e d e r t i l l m a t e m a t i s k a o r i m l i g h e t e r .

O m e n t r i a n g e l s k v a d r a t m e t e r t a l är t o c h s i d o r n a s m e t e r t a l äro

« , /) o c h c, så är följande a l l m ä n t b e k a n t a e k v a t i o n s a n n : t

3

= JL((a + b + c) (—a + b + c) ( a — b + c) (a + b — c ) ) =

^ < 2 a

2

b

2

+ 2 a V +

2

b V - a

4

— b

4

— c

4

}

I n s a t t e s e n l . l e k t o r D : s förslag i d e n n a e k v a t i o n t m

2

i st. f. t , a m i st.

f. a, b m i st. f. b o c h c m i st. f. c, så får e k v a t i o n e n följande u t s e e n d e : t

ä

m

4

= ± { 2 a

2

b

3

m

4

+ 2 a

2

c

2

m

4

+ 2 b

2

c

2

m

4

- - a

4

m

4

— b

4

m

4

— c

4

m

4

} M a n träffar här på t e c k n e t n i

4

, h v a r s b e t y d e l s e är o m ö j l i g a t t på n å g o t v i l l k o r f r a m p r e s s a g e n o m n å g o n » ö f v e r e n s k o m m e l s e » . M ö j l i g e n föreslår h r . D . a t t » d i v i d e r a b o r t » d e t » s t ö r a n d e o t y g e t » för a t t b l i f v a d e t k v i t t , då d e n första e k v a t i o n e n , s o m är r i k t i g , er- hålles.

5:o) I f ö r e g å e n d e m o m e n t h a r j a g v i s a t d e t o r i k t i g a i h r . D : s åsikt, a t t e t t p å s t å e n d e , s o m är o r i m l i g t , k a n b l i f v a r i m l i g t g e n o m

» ö f v e r e n s k o m m e l s e » .

J a g s k a l l n u på e t t a n n a t r ä k n e o m r å d e y t t e r l i g a r e v i s a , a t t d e n n a åsikt är f a l s k .

D e b ä g g e p å s t å e n d e n a : » p r o d u k t e n a f 1 k r . o c h 1 k r . är 1 k r . » o c h » p r o d u k t e n a f 1 öre o c h 1 öre är 1 ö r e » äro o r i m l i g a . V i d t a n - k e n p å a t t » p r o d u k t e n af 1 o c h 1 är 1 » , förefalla de b ä g g e p å s t å e n - d e n a v a r a r i k t i g a .

G e n o m » ö f v e r e n s k o m m e l s e » a n t a g e s d e t t a v a r a f ö r h å l l a n d e t . V i k u n n a i sådant f a l l härleda t . e x . f ö l j a n d e t v å e k v a t i o n e r :

(3. 1 k r ) . (5. 1 k r ) = (3. 5) . ( 1 k r . 1 k r ) = 1 5 . 1 k r .

( 3 0 0 . 1 öre) . ( 5 0 0 . 1 öre) = ( 3 0 0 . 500) . ( 1 öre . 1 ö r e ) = 1 5 0 0 0 0 . 1 öre = 1 5 0 0 . 1 k r .

V i f i n n a således, a t t » ö f v e r e n s k o m m e l s e n » l e d e r t i l l d e n » o e g e n t -

l i g h e t e n » , a t t p r o d u k t e n af 3 k r , o c h 5 k r . är h u n d r a d e l e n af p r o d u k -

t e n a f 3 0 0 ö r e o c h 500 öre, s o m äro l i k a s t o r a m e d 3 k r . o c h 5 k r .

(8)

6:o) P å s i d . 144 § 92 i e x . S läses: I ö f v e r e n s s t ä m m e l s e m e d b e t e c k n i n g e n

7 m X 9 m = 63 m

2

k a n m a n s k r i f v a :

6

^ ™ = 9 m .

U r d e n första e k v a t i o n e n , s o m är o r i k t i g , h a r h r . D . h ä r l e d t d e n a n d r a , s o m äfven är o r i k t i g .

E n l i g t d e n i m a t e m a t i s k a l i t t e r a t u r e n f i x e r a d e b e t y d e l s e n a f k o r t s k r i f t e n i a n d r a e k v a t i o n s k u l l e dess innehåll återgifvet i f u l l - s t ä n d i g s k r i f t b l i f v a : » f ö r h å l l a n d e t m e l l a n 63 k v m . o c h 7 m är 9 m » . 63 k v m . är storleksbestämning t i l l e n y t a o c h 7 m t i l l e n l ä n g d . E n ä r y t a o c h l ä n g d äro s t o r h e t e r a f o l i k a s l a g , så k u n n a de ej m e d h v a r a n d r a j ä m f ö r a s . N å g o t förhållande d e m e m e l l a n f i n n e s så- ledes e j .

I e x . 9 f ö r e k o m m a f ö l j a n d e t e c k e n s a m m a n s t ä l l n i n g a r , s o m ä r o l i k a r t a d e m e d d e m , s ö m f ö r e k o m m a i l i c . L i n d b o r g s l ä r o b o k o c h f i n n a s u p p t a g n a i b ö r j a n a f d e t t a s v a r .

s 3,000 M» ? , N 36 ar ? \ 4'/2 d m2 ?

* / 90 m " ' 90 m ' ° ' 1 dm 5 cm :

D y l i k a t e c k e n s a m m a n s t ä l l n i n g a r f ö r e k o m m a i s t o r m ä n g d . P å s i d . 154 i e x . 14 f i n n a s t . e x .

1 m8 1 ms l m = „,

- i — ,

T-,—> Ö

:— m . 11.

1

ar' 1 km' 2 m

x

4 m

H v a r f ö r h a r h r . D . ej v a r i t följdriktig o c h u p p t a g i t t . e x . j - ^ b l a n d s i n a u p p g i f t e r s å s o m t e c k e n för 1 m

s

eller 1 k b m , d å h a n g o d k ä n n e r s å s o m t e c k e n för 1 k v m o c h för 1 m j ~ ?

7:o) P å s i d . 165 f i n n e s f ö l j a n d e p å s t å e n d e , s å s o m förut är n ä m n d t : Vägen = produkten af hastigheten och tiden

V i föreställa oss, a t t e n lärjunge får f ö l j a n d e u p p g i f t a t t l ö s a : Hastigheten är 7 m. 2 dm. Tiden år 2min. 4 sek.

Hur ii lång år vägen?

V i a n t a g a v i d a r e , a t t h a n t a r t i l l hjälp o f v a n s t å e n d e p å s t å e n d e . M e d l e d n i n g häraf u p p s k r i f v e r h a n f ö l j a n d e s. k . p r o d u k t :

(7 m 2 d m ) . ( 2 m i n . 4 s e k . ) .

D e n fråga, s o m h a n först g ö r sig, är:

T i l l h v i l k e t slag a f s t o r h e t e r är u t t r y c k e t e n storleksbestämning?

O m f a k t o r n ( 7 m 2 d m ) u t b y t e s m o t e t t t a l , så f i n n e r h a n u t -

t r y c k e t v a r a storleksbestämning t i l l e n tid. N u b e t e c k n a r f a k t o r n

en l ä n g d o c h ej e t t t a l , alltså k a n u t t r y c k e t ej v a r a s t o r l e k s b e s t ä m -

n i n g t i l l en tid.

(9)

G e n o m a n a l o g t r e s o n e m a n g f i n n e r h a n , a t t d e t ej h e l l e r k a n v a r a storleksbestämning t i l l e n längd.

L ä r j u n g e n är d å » s t ä l l d » o c h är l i k a s o m h v a r j e a n n a n m ä n n i - s k a u r s t å n d s a t t a t t r e d a d e n »trassliga» p r o d u k t e n .

E n lärjunge åter, s o m är v a n a t t tänka, d å h a n sysslar m e d m a t e m a t i k — h v i l k e t i c k e a l l t i d plägar v a r a händelsen — löser l ä t t u p p g i f t e n på följande s ä t t :

U n d e r 1 sek. tillryggalägges 7 m 2 d m .

U n d e r 2 m i n . 4 sek., s o m är 124 f a l d e n a f 1 sek, tillryggalägges 124 . 7,2 m . = 892,8 m .

A t t i e n l ä r o b o k u p p t a g a föreskrifter för sättet a t t lösa d y l i k a lätta u p p g i f t e r anser j a g v a r a ö f v e r f l ö d i g t , m e n sker d e t , så b ö r a föreskrifterna v a r a r i k t i g a t . e x .

En tillryggalagd våglängds metertal är produkt af hastighe- tens metertal och tidens sekundtal.

O m o r d e t meter i d e n n a sats u t b y t e s m o t n a m n e t på e t t l ä n g d - m å t t h v i l k e t s o m h e l s t o c h o r d e t sekund m o t n a m n e t p å n å g o t a f de öfriga t i d s m å t t e n , så b l i r satsen äfven s a n n .

P å några a n d r a ställen i l ä r o b o k e n f ö r e k o m m a meningslösa o r d s a m m a n s t ä l l n i n g a r l i k n a n d e d e n , s o m är u p p t a g e n i b ö r j a n a f d e t t a m o m e n t .

K ä r m a n s a m t a l a r m e d lärare o c h räkneboksförfattare i d e t t a ä m n e , n ö d g a s de erkänna b e f o g e n h e t e n a f de g j o r d a a n m ä r k n i n - g a r n a . D e anföra e n d a s t t i l l s i t t försvar d e n dråpliga u r s ä k t e n

» d e t är så v i g t » o c h säga sig ä m n a f o r t f a r a n d e stå k v a r p å s i n » n o n p o s s u m u s » - s t å n d p u n k t .

I e n u p p s a t s , s o m f ö r e k o m m e r i t i d s k r i f t e n » V e r d a n d i » h a r j a g g a n s k a o m s t ä n d l i g t b e h a n d l a t d e n n a för r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n y t - t e r s t v i k t i g a f r å g a : R u b r i k e n å u p p s a t s e n ä r : Om storleksbestäm- ningar.

8:o). P å s i d . 165 e x . 6 f ö r e k o m m e r f ö l j a n d e :

» E n h a s t i g h e t a f 6 k m . i t i m m e n t e c k n a s o c k 6 1,5 m . p e r sek. k a n t e c k n a s 1,5 ^ o. s. v .

V i l l m a n i d e n t e c k n a d e u t r ä k n i n g e n u t s ä t t a e n h e t e r n a s n a m n , s k r i f v e r m a n t . ex.

„ l i m 6000 n i . m ,

6 - . — = 77——=100=- o c h

t i m . 00 m m . m m .

„ k m . . r , 6000 m _ , . „

6

T.— X 6 s e k . = ; ^ T~ X 6 sek. = 10 m . »

t i m . 81)00 sek.

H ä r b e g a g n a r åter l e k t o r D . i s i n k o r t s k r i f t d e t v å g r ä t a s t r e c -

(10)

k e t i s t r i d m o t dess f i x e r a d e b e t y d e l s e . G e n o m a t t u t e s l u t a b r å k - s t r e c k e t m e l l a n k m o c h t i m . o c h s k r i f v a h a d e a n m ä r k n i n g e n b l i f v i t o b e f o g a d . H u r u v i d a l e k t o r D . k a n l y c k a s a t t efter d e n n a ä n d r i n g få d e n föreslagna k o r t s k r i f t e n a n t a g e n af lärare o c h r ä k n e - boksförfattare är t v i f v e l u n d e r k a s t a d t .

A f o f v a n s t å e n d e u t d r a g f i n n e r m a n , a t t d e t t a k o r t s k r i f t s t e c k e n äfven s k a l l g ö r a tjänst v i d k a l k y l e r .

J a g a n t a g e r , a t t följande u p p g i f t s k a l l l ö s a s : En person tillrygg ålägger 6 km under 1 timme.

Huru lång våg tillryggalågger han under 6 sek. med oförändrad hastighet?

L e k t o r D : s lösningssatt är framställt i s i s t a r a d e n a f o f v a n - stående u t d r a g .

D e t v a n l i g a lösningssättet är:

U n d e r 1 t i m . eller 3600 sek. tillryggalägges 6 k m . eller 6000 m . . U n d e r 6 sek., s o m är 600-delen a f 3600 sek., tillryggalägges

~ • 6000 m = 1 0 m.

000

I p r a k t i s k t h ä n s e e n d e anser j a g d e t senare h a f v a afgj o r d t f ö r e - träde framför d e t förra, s o m är m y c k e t a r t i f i c i e l l t o c h kräfver l ä n g r e t i d .

3coo s e k .

X 6 sek. s k a l l f ö r k o r t a s först m e d 600, sedan m e d 6 och.

sist m e d sek. D e b ä g g e s i s t n ä m n d a f ö r k o r t n i n g a r n a s k o l a ske » k o r s - v i s » , s o m g a m l e Z w e i g b e r k u t t r y c k t e sig.

N å g o t b e h o f a f e t t k o r t s k r i f t s t e c k e n för d e n n a o b e t y d l i g h e t f ö - r e f i n n e s e j . V i h a f v a j u a t t tillgå d e t f ö r k o r t a d e u t t r y c k e t » 6 k n i - p e r t i m m e » , s o m är t y d l i g t u t a n förklaring o c h s k r i f v e s på s a m m a t i d s o m d e t föreslagna.

9:o). I d e t föregående h a r j a g dels g e n o m e x e m p e l h ä m t a d e u r l ä r o b o k e n , dels g e n o m af m i g v a l d a l i k a r t a d e , v e l a t u p p v i s a en d e l o e g e n t l i g h e t e r , s o m v i d l å d a d e t af l e k t o r D . a n v ä n d a s y s t e m e t . D e t återstår n u a t t i allmänhet framlägga h u f v u d s k ä l e n t i l l m i n a a n m ä r k n i n g a r s a m t p å p e k a följderna af d e t föreslagna s y s t e m e t s u t b r e d n i n g .

V i k u n n a föreställa oss, a t t e n författare A t . ex. a n v ä n d e r i s i n l ä r o b o k k o r t s k r i f t s t e c k n e t 4 s å s o m t e c k e n t . ex. för t a l e t åtta, och.

a t t e n författare B a n v ä n d e r s a m m a t e c k e n t . e x . för t a l e t sjutton

o. s. v . O m d ä r j ä m t e s a m m a författare på e n d e l ställen i s i n a l ä r o -

(11)

b ö c k e r äfven a n v ä n d e r s a m m a t e c k e n för t a l e t fyra, så inser h v a r j e t ä n k a n d e m ä n n i s k a o r i m l i g h e t e n i d e t t a förfaringssätt. F ö l j d e n häraf s k u l l e l e d a t i l l e n gräslig v i l l e r v a l l a o c h o m ö j l i g g ö r a s t u d i e t af m a t e m a t i k .

D e t , s o m här o f v a n är s a g d t o m k o r t s k r i f t s t e c k n e t 4, gäller f u l l - s t ä n d i g t o m h v a r j e a n n a t k o r t s k r i f t s t e c k e n , h v a r s b e t y d e l s e v å r a m a t e m a t i s k a fäder b e s t ä m t .

K u h a f v a förf. b e g å t t d e t f e l e t , a t t de a n v ä n d t k o r t s k r i f t s t e c k - n e n X o c h d e t v å g r ä t a s t r e c k e t — dels i d e n f i x e r a d e b e t y d e l s e n , dels i e n h e l t a n n a n b e t y d e l s e än d e n , h v a r i de a n v ä n d a s i d e n a n t a g n a m a t e m a t i s k a k o r t s k r i f t e n .

I s a m m a n h a n g h ä r m e d h a f v a de n ö d g a t s a n v ä n d a o r d e n pro- dukt o c h potens, dels i d e n b e t y d e l s e , s o m de ä g a i n o m m a t e m a t i k e n dels i e n f ö r m a t e m a t i k e n f r ä m m a n d e b e t y d e l s e .

Förhållande, s o m är m a t e m a t i k e n s v i k t i g a s t e b e g r e p p o c h f ö - r e k o m m e r i n o m h e l a m a t e m a t i s k a l i t e r a t u r e n — u n d a n t a g a n d e s d e f l e s t a r ä k n e b ö c k e r , s o m d a g l i g e n a n v ä n d a s i v å r a s k o l o r — u p p t a - ges ej i l ä r o b o k e n t i l l a n v ä n d n i n g . D e t f ö r e k o m m e r likväl p å s i d . 2 2 8 , d ä r förf. v a r i t n ö d d a o c h t v u n g n a a t t o m n ä m n a d e t . M a n läser d ä r f ö l j a n d e : » D e t t a l , s o m a n g i f v e r c i r k e l p e r i f e r i e n s l ä n g d i f h . t . d i a m e t e r n s , b r u k a r m a n b e t e c k n a m e d g r e k i s k a b o k s t a f v e n TC (utläses p i ) » . F ö r a t t så l i t e t s o m m ö j l i g t framhålla d e t v i k t i g a b e g r e p p e t h a f v a förf. s k r i f v i t d e t i f ö r k o r t a d f o r m f h , i s t . f.

» f ö r h å l l a n d e » . Förf. t y c k a s h y s a en s t a r k o v i l j a m o t d e t t a o r d s a n v ä n d n i n g .

F ö l j d e n häraf framstår t y d l i g a s t i åtskilliga o t y d l i g a o c h t u n g a frågformer.

E x e m p e l v i s m å anföras följande, s o m f ö r e k o m m e r i e x . 5 s i d . 202:

» H u r u m å n g a gånger så d y r t s o m e t t t o n a f d e t v a n l i g a k r u t e t ställer s i g e t t t o n a f d e t r ö k s v a g a ? » F å r frågan följande l y d e l s e , så b l i r d e n e n k e l o c h t y d l i g :

» H v i l k e t är förhållandet m e l l a n p r i s e t å e t t t o n r ö k s v a g t k r u t och e t t t o n v a n l i g t k r u t » ?

S v a r e t är 6.

P å s t å e n d e t : » F ö r h å l l a n d e t m e l l a n p r i s e t å 1 t o n r ö k s v a g t k r u t o c h 1 t o n v a n l i g t k r u t är 6 innehåller s a m m a m e n i n g s o m p å s t å e n - d e t :

» P r i s e t å e n t o n r ö k s v a g t k r u t är 6 - f a l d e n a f p r i s e t å 1 t o n v a n - l i g t k r u t » .

H ä r m e d anser j a g m i g h a f v a v i s a t , dels a t t m i t t p å s t å e n d e icke

(12)

v a r »fullkomligt o b e r ä t t i g a d t » dels a t t l e k t o r D :s f ö r m o d a n , a t t d e t t a m i t t p å s t å e n d e » b e r o d d e p å e n m i n d r e n o g g r a n n g e n o m l ä s n i n g af l ä r o b o k e n » icke v a r ö f v e r e n s s t ä m m a n d e m e d v e r k l i g a f ö r h å l l a n d e t .

K. P. Nordlund.

D e t från l i c . L i n d b o r g l ä n g e v ä n t a d e g e n m ä l e t h a r e t t m y c k e t m ä r k l i g t innehåll. I stället för a t t s v a r a p å de v i k t i g a s t e a n m ä r k - n i n g a r n a i m i n u p p s a t s h a r l i c . L . föredragit a t t i s i t t g e n m ä l e gå i n p å d e t p e r s o n l i g a o m r å d e t s a m t d e s s u t o m b e r ö r t m e d lätt h a n d n å g r a a f a n m ä r k n i n g a r n a , s o m äro a f m i n d r e b e t y d e n h e t . H a n h a r ej ens b r y t t s i g o m a t t f ö r s v a r a s i n a » n y a p r i n c i p e r » , s o m l i g - g a t i l l g r u n d för h a n s » m e t o d » , h v i l k e n är e n a f f r u k t e r n a a f h a n s s t u d i e r v i d a k a d e m i e n .

D e t t o r d e v a r a l i c . L . b e k a n t , a t t t i l l g r i p a n d e t a f d e t r e n t p e r - s o n l i g a i e n literär d i s k u s s i o n a l l m ä n t anses s o m e t t o s v i k l i g t k ä n n e - t e c k e n på b r i s t a n d e sakskäl.

A t t b e m ö t a l i c . L : s u t f a l l m o t m i g o c h m i n f o r n a lärareverk-

s a m h e t m . m . k a n n a t u r l i g t v i s oj k o m m a i fråga. D o c k m å d e t ej

anses v a r a f u l l k o m l i g t o b e r ä t t i g a d t a t t i största k o r t h e t b e r ö r a

v å r a » m e l l a n h a f v a n d e n » s a m t t i l l l i c . L . framställa e n fråga, s o m

däraf är b e r o e n d e . S o m l i c . L . t o r d e p å m i n n a s i g v o r o h a n s m a t e -

m a t i s k a i n s i k t e r m y c k e t u n d e r h a l t i g a , då j a g i n e d r e sjätte k l a s s e n

b ö r j a d e m i n u n d e r v i s n i n g m e d h o n o m i m a t e m a t i k . D e n n a f o r t -

g i c k u n d e r 4 läsår, h v a r e f t e r h a n a f l a d e m o g e n h e t s e x a m e n , d å

h a n erhöll af m i g b e t y g e t berömlig i m a t e m a t i k . » Ä r d e t ej m ö j l i g t ,

a t t m i n u n d e r v i s n i n g i n å g o n r i n g a m å n b i d r a g i t t i l l d e t t a h e d r a n d e

b e t y g s a m t t i l l d e n m a t e m a t i s k a s t å n d p u n k t , s o m h a n n u i n t a r ?

N a t u r l i g t v i s h a d e h a n s m a t e m a t i s k a s t å n d p u n k t v a r i t b e t y d l i g t

m e r a f r a m s k j u t e n , än h v a d d e n n u är, o m h a n h a f t d e n s t o r a l y c k a n

a t t i s k o l a n h a f v a fått e n u n d e r v i s n i n g i e n l i g h e t m e d de » n y a p r i n -

c i p e r » , s o m f i n n a s a n g i f n a i h a n s l ä r o b o k .

Figur

Updating...

Referenser

Updating...

Relaterade ämnen :