CISSOIDE D10 CLIS

(1)

DE

CISSOIDE D10 CLIS

DISSERTATIO

CUJUS PARTUM POSTERIOREM

VENIA AMPL. FACULT,

PHILOS. UPSAL.

p. p.

Mag. PETRUS M. E K IE AM

ET

JOHANNES EDVARDUS LUNDSTRÖM

8M0LANDI.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE

XIII

DEC

MDCCCXXXVI.

H. P. M. S.

ÜPSALI^

EXCUDEBANT REGIME ACADEMIA

TYPOGRAP.Ul.

(2)

(3)

ratoris,

tnm

segmentum illius segmenti hujus; éi _respon- dentis, triplum *).

5- s.

Adhibebant, ut supra dictum _est, hane

curvamveteres ad

problema de duplicatione cubi solvendum. Quod _quo-

modo factum sit, priusquam _exponere adgrediamur,

^mo¬

tten

dum videtur, hane qusestionem in _{duas medie}

propor¬

tionales inveniendas abire;

nam cum cubi

sint inter

se

in

*) Aquatio enim ad Cycloidem

x = Are.

(sin.

vers. =

y)

—-

\{ay -~yz) diiferenliata

fit

dx-

("

^—

V (ay—yz)

2

Y(ay—yz)

ydy V(°y-~yz)

et

ulrimque

per y

mulliplicala

yc/x = —--

3'2

—- _

Vty—y*) >

ex qua

cequallone provenit inlegratione formula quadratur»

= -

'yV(«y-ylh

unde facile

colligitur spatium, inter Cycloidem, normalem

et abscissam

comprehensum, triplum esse segmenti circu-

kris

inter peripheriam eandemque normalem comprehensi*

(4)

ratione laterum triplicata,

quo

fit, ut cubus, cujus latus

sit

duplex dati lateris, sit octuplus dati cubi, necesse est

quattuor cuborum continue proportionalium m3, 2»i3

^,

4m3, 8m3

latera

quoque sint inter se in continua proportione

m : x : : x :

y : : y : 2m.

Quare prima ^x duarum medie proportionalium inter

m et 2»i

quaerenda est, si latus cubi duplicati 2w3 habere

velis.

In his

igitur medie proportionalibus inveniendis

ver¬

satur

qusestio, cujus hane generalem, quicumque sint

termini

extremi m et

solutionem tradidit

Pappus

*),

Duc duas recfas

(Fig. i ) CB aequalem majori

^m

et CL aequalem minori

«,

continentes angulurn ^rectum BCL,

et

hypothenusam BL. In CB,

^versus

C producta, cape CA aequalem CB et describe circulum diametro AB.

Tum producantur CL et BL versus'L, et AF ab altera

ex-

tremitate diametri ita ducatur, ut

^secefur ^a

BM

et

CH

fiatque segmen MJT segmini KF aequale;

quo

facto erit

CK major medie proportionalium. Ducta enim AN ipsi

BM parallela et dictis A C

s; m»

CL

= n9

CK

~

y9

Collectiones Mathemalicae. Li b. HL

_prop.

5. et Lib. VIII.

V

¥*0$.

ii.

(5)

fiimt, ob iriangula similia et aequalia ACN et BCL,

C N zz

CL

zz »,

KN

zz

y 4- n, KL zz y

—

nefc

KR'

zz m

4" y> KH zz m

—

y itemque y2 zz (AK)2

^—

Quoniam

^vero

sunt AK.KF zz (m -f* y)

^•

(w*

^—

y) e*

propter triangula ßimilia AKN et MKL

A

K:

(M K m) KF:: y -J- n : y

—

n, habenms-^

(m2—

?/2) (u—m)

^„

(m2

—

u2)

AKzz

_KF_—,

₇ KF

zz

AK ~et (AK)2

zz -—

y } {yXJ

y

4~

»

y

—

n

^jui quidem valor pro (AK)2 substitutus reddit

, _

(y + »)

^_

y—

n

et

sequatione concinnata

y3 zzm2n vel tny3 = «3» h. ^e. »z3 ^; ?/3 ; : in: rtm

At una

utralibet duarum medie proportionalium in-

venta, altera facile invenitur ex proportione m : y :: y ; x*

Hsec

tarnen

constructio, ceteroquin simplex, ea diffi-

cultate

laborat, quod modum quendam non suppeditat

AF ita ducendi, ut fiat MK zz KF, ad quam difficul-

tatem

tollendam nostra

ourva

confert, cujus beneficio re-

ctam

AF ita ducere licet, ut conditioni satisfiat. Quo*

hoc

modo efficitur. Describatur Cissois, quee ad circu-

(6)

Jurn AHB pertineat cuspidemque habeat in A, et erit punctum Ä7, ubi cissois hypothenusam _productam

_secat, _»

ita

situm, ut linea ab A

ad

peripheriam circuli

_per

M ducta, habeat _partem MK oequalem KF ideoque lineae

CH partern praecidat CK, majorem medie proportiona- lium inter

m et it.

Quoniarn enirn secundum definiiio-

nem

cissoidis AM aequalis est FD

et ob

CH

et

BD pa- rallelas AK aequalis est KD, erit etiam MK

zzz

KF.

Invertere

autem possumus

Pappi eonstructionem ita,

ut

fiat minor

n

duplicata diameter circuli, et major

m

huic

in _centro ad normam

insistat, et cissois etiam

tum

punctum determinabit, ad quod linea ab A ducenda est, quae desecet de

ni

priorem

eamque

minorem medie

_pro-

dortionalium inter

n et tn.

Quod simili fere demonstra- tione,

ac

superiore, comprobatur.

Prseterea

facile intelligrtur, utramque medie _propor¬

tionalem expedite inveniri, si in cissoide PB

et

PM ita

capiantur ut sit PB:PM::m:n. Cum

enim sint continue

proportionales PB, PF\ PA

et

PM, erit tum

y; PF'::

m :

PB, tum

x:

PA

:: n :

PM,

Hcec quaastio de inveniendis duabus medie proportio- nalibus, in

_qua

solvenda inclytissimi antiquitatis

geome¬

tri laborem

suum et

operam posuerunt,

non

ad litteras

solum, sed etiam ad

usum

quodammodo pertinebat. Cum

enim in

tanta

arithraeticae imperfectione operosus esset labor

(7)

13

radicem cubicam computando extrahere, hsec operatio

plerumque ad problema geometricum de inveniendis

me-

die proportionalibus revocabatar. Cujus rei exempla tra- diderunt Philo

et

Heiio, qui de ballistarum

conslru-

ctione scripserunt»

4.

Hactenus cissoidis proprietafes et

^usum

ad solutio-

nem

problematis de duplicatione cubi demonstrare

conati

suraus. Jam ne

quidquam, quod expositione dignurn es-' set, praeteriisse videamur, nonnulla etiam de

eonstructio-

ne

aequationum lineari

per

cissoidem subjungere in ^ani-

mo est.

Primum si abscissas _quaeramus punctorum, ubi

cissois et

parabota, cujus axis principalis in ordinatarum

_axem,

Vertex autem

in coordinatarum originem incidat, Jsibi

oq-

currant, invenimus, componejndis sequationibus, quibus

curvas

definiuntur,

» =—*' x

Iias

abscissas, omissa x nr

o,

quae ad originem respon-

deat, aequatione quadratica definitum iri

x2 ^— ax

-f- c2

zr o

ideoque

curvas

in universum in duobus punctis sibi

oe- currere.

Quoniara

vero

haec aquatio soluta dat

(8)

— ' 11 ^—

x uz

\ü ± V\\o?

^—

c2)

patet, has

curvas,

si

^c

major sit

quam

nulluni

pun¬

ctum

praeter originem commune habere, duo

vero,

si

c minor sit quam

et

unum

solum, si c sit

zrz

1

a ,

id ipsum nimirum, ubi cissois circulum secat. Haec autem

parabola, cissoidem in uno puncto solum praeter originem contingens,

ramum

ejus iotum intra

se

complectitur, at-

que

ita iimitem constituit inter parabolas parametro

ma¬

jori,

quae

cissoidem

nusquam

contingunt, et parabolas

parametro

minori,

quse eam

in duobus punetis secant. Si

enim in

aequationibus

x3

f

= ,

x2

=

iav

a — x

faciamus

x ~a ±

df ubi d quantitatem quameumque

minorem quam

significet, fit ordinata parabolas

(\a ± dY

"=——

cissoidis

vero

Q«±rf) K(la±rf)

_

qa±rf)»

^_

±rf)'

+

~~' V(

quando per

—

D

summam

terminorum

-—

See.

a a3

deeignamus; unde colligitur, ordinatam cissoidis, sive a-f-d

*ire

«—

d pro x substituatur, Semper majorem

manere.

(9)

—

J5

^—

- v '

- ' ^" ^- ~

Jam ex allatis

sequitur, aequationes quadraticas

x2 ^— px

-f- q zzz o et x* px q zu o

qua?

signo solum radicum inter ^se differunt, |per cissoi-

dem et

parabolam, his aequationibus definitas

x3

f =

>

*

—

p — x

eonstrui posse ita, ut fiant abseissae punctorum, ubi cur-

vse se

intersecent, sequationis radices. Quoniani vero hsec

constructio quadraticarum aequationum, quse per rectam

et

circulum eonstrui possunt, magis est composita, quam

ut

usui commode inservire possit, ei ulterius persequen-

dse non

imraoramur, sed ad aequationum cubicarum con- structionenir quatenus per cissoidem conficiatur, trans- gredimur.

Quod ad aequationem cubicam, duos modo terminos

eontinentem, x*

z=z q,

attinet, nullo negotio invenimüs, ejus solutionem eodem redire, ^ac si alterutra düarum nie-

die

proportionalium invenienda sit, ideoque constructio-

nem

illius eandem

esse,

achujus problematis paragr.

q.

expositam, si modo prius q ita in factores dividamu«, ut

sit

alter quantitas quadrata, alter linearis q =z m2 n.

Quod si aequatio cubicä completa proponatur, seimas,

eam,

secundo termino sublato, ad

unam

aliquam redigi

formularum

(10)

*3

+

Px

-f-

q ~ O,

a;3 -f

px — q

m

q

*^3

,PX + 1 = O, tf3

^— _px _— _{q z=Z} _o

quaium

prima et secunda, signo solum radicum diverssej

umcam

radicem realem habeant, tertia

vero et

quarta, quae ltidem solo signo ipsius

*

inter

se

differant, nisi sit

/*2 „3

5_

_>

P_

4 27

'

omnes

radices habeant reales.

Illae autem

per cissoidem

et rectum axi

abscifcsarum pa- rallelam facile

construuntur,

Componainus enim sequatio-"

nes,

qnibus hae lineae definiuntur,

ÄT3

^

a —- x

^ ^

et in

veniemus, abscissam, quse ad

eorum

punctum inter-

sectionis

respondeat, hac cequat^pne cubica definiri

x* c1x — g f2 _o,

quam

quidem

cum

secunda de _supra atlatis formulis

con- gruere,

primo adspectu apparet. Si igitur proponatuf iequatio cubica

*3

-{"

px .— q

zzz

o,

faciamus

a = ~ et c zzz

Vp

P

et

describamus cissoidem

et rectam

his jequationibus de-

ßnitas

(11)

— 17 —

x3

f =

r

y = ypr

?

*

• P

quo

facio erit abscissa communis

x

longitudo queesita,

qua

radix realis sequationis d( termin

a

t

ur.

Hadem etiani fit

constructio

aequationis

X3

jpx -J- £ ZZ;

o.

mutata x

in

— x.

Ut vero

hae aequationes et problefria de duplicatione eubi, ita etiam

cetera

duaj

et

problema de trisectione anguli magnam inter

se

haben t

con

venientiam

et

eodem fere

modö construuntur.

Ad postremum

non

alienum

esse

pufamus huncnexum

inter

parabolam et cissoidem

commem orare,

quod, si detur parabolay cujus ^parameter sit aequalis diametro cireuli

qua-

druplicato, cujusque axis principalis in abscissarum axenij,

Vertex vero

in coordinatarum originem incidat, in

con-

trariam partem excurrens» etquaeratur locus omniumpun-

ctorum, in quibus rectae

per

originem ducendae, singulis tangentibus perpendiculares, suam qureque tangentem se- cent, erit hic locus cissois, ad eundem circulum perti-

du

nens,

Exterminatis enim

v,

t et

— ex

his aequationibus,

dt

3

(12)

parabolam, functionem ejus derivatam prirai ordinis, tan- gentem et perpendiculum definientibus,

v2

-■{- 4at

= o vdv -f- 2adt = o

du dv

y

— — ^ . i;

4-

— t ^- 0

dt 1 dt

■ dt

y

~r x — o du

prodibit, omnibus idte peractis, sequatio ad Cissoidena

x2 ^—

ay2 -{- xy2

— o.

—(»C jfc».—.

(13)

(14)

CISSOIDE D10 CLIS