PARTIELLA DERIVATOR.

(1)

1 av 10

PARTIELLA DERIVATOR.

Partiella derivator definieras genom gränsvärden.

Definition 1. Låt

f ( x

₁

, x

₂

,..., x

_n

)

vara en reellvärd funktion definierad på en öppen mängd Rn

⊆

Ω . Den partiella derivatan av f i punkten A(a₁,...,a_n) ∈

Ω

med avseende på variabeln xk betecknas

k n

x a a a f

∂

∂ (

₁

,

₂

,..., )

och definieras som gränsvärdet

h

a a a a f a h a a a f x

a a a

f

_k _n _k _n

k h

n

( , ,..., , , ) ( , ,..., , , )

) lim ,..., ,

(

₁ ₂ ₁ ₂

0 2

1

= + K − K

∂

→

• En partiell derivata

x

k

f

∂

beskriver hur snabbt f växer med avseende på variabeln

x

_k.

• När man deriverar en funktion av flera variabler med avseende på x_k betraktar man alla andra variabler som konstanter (och använder deriverings regler för envariabelfunktioner).

Exempel 1. Låt f(x,y,z)=3+x² + y⁴ +z+xy²z³+5sin(xyz)+e^x²⁺^y²⁺^z²^. Bestäm

z f y

f x f

∂

∂ , och

.

Lösning.

2 x y

²

z

³

5 yz cos( xyz ) 2 xe

^x² ^y² ^z²

x

f

₊ ₊

+ +

+

∂ =

∂

2 2

2

) cos(

5 2

4 y

³

xyz

³

xz xyz ye

^x ^y ^z

y

f

₊ ₊

+ +

+

∂ =

∂

2 2

2

) cos(

5 3

1 xy

²

z

²

xy xyz ze

^x ^y ^z

z

f

₊ ₊

+ +

+

∂ =

∂

Derivator av andra ordningen

Andra derivatan två gånger på

x

_kbetecknas ₂

2

x

k

f

∂

Andra derivatan en gång på

x

_k och en gång på

x

_j betecknas

( )

2

j k j

k

x

f x x x

f

∂

= ∂

∂

Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats) Om partiella derivator av andra ordningen är kontinuerliga i en punkten så är

) (

j

k x

f x ∂

∂

∂ = ( )

k

j x

f

x ∂

∂

∂ i denna punkt.

(2)

2 av 10

Derivator av högre ordningen betecknas på liknande sätt. T ex ytrycket

z y x

f

∂

3 4

8

betyder att vi deriverar funktionen f åtta gånger: 4 gånger på x, 3 gånger på y och en gång på z.

Exempel 2. Låt

f ( x , y ) = 3 + x

²

+ y

⁴

+ xy

²

+ cos y

^. Bestäm

y x

f y

f x

f y f x f

∂

∂ ²

2 2

och , , ,

, .

Lösning:

2 x y

2

x

f = +

∂

,

y xy y

y

f = 4

³

+ 2 − sin

∂

2

∂ =

∂ x

f

, y x y

y

f 12 ² 2 cos

2 2

− +

∂ =

∂ ,

till slut blandade derivatan

y y x

f 2

2

∂ =

∂

∂ ( Notera att vi får samma resultat om vi deriverar först på x sedan på y ,

x y f y ( ) = 2

∂

eller först på y sedan på x,

y

y f x ( ) = 2

∂

)

Följande beteckningar för partiella derivator också förekommer i olika matteböcker:

k k

k

f f f f

x D f

x x

x k

även och

, ,

,

, ′

∂

T ex, för en given funktion av två variabler

= ( , ) kan vi beteckna partiella derivator på följande sätt

• Första derivatan med avseende på x betecknas

( , )

, ( , ), ( , ), , ℎ ä ,

• Första derivatan med avseende på y betecknas

• ^{( , )} , ( , ), ( , ) , , ,

• Andra derivatan med avseende på x två gånger betecknas

( , )

, ( , ), ( , ) , eller

• Andra derivatan med avseende på y två gånger betecknas

( , )

, ( , ), ( , ) , eller

• Andra derivatan med avseende på x och y betecknas

( , )

, ( , ), ( , ) , eller

(3)

3 av 10

Uppgift 1. Beräkna

, , , och då

f ( x , y ) = 5 x

²

+ y

²

+ xy

⁴

+ 3

Lösning:

= 10 + ( eftersom vi betraktar y som en konstant när vi deriverar med avseende på x)

= 2 + 4 ( eftersom vi betraktar x som en konstant när vi deriverar med avseende på y)

= 10 ( vi deriverar en gång till med avseende på x)

= 2 + 12 ( vi deriverar en gång till med avseende på y)

= 4 ( vi deriverar med avseende på y, eller med avseende på x)

Uppgift 2. Beräkna

, , , och (som ä = ) då

a)

f ( x , y ) = 5 x

²

− y

²

+ 5

b)

f ( x , y ) = 5 x

²

+ xy

⁴

+ 2

c) f(x,y)=e^x²⁺^y²^d)

f ( x , y ) = sin( x + 2 y )

Svar: a) = 10 , = −2 , = 10 , = −2 , = 0 b) = 10 + , = 4 , = 10 , = 12 , = 4 c) = 2

e

^x²⁺^y², = 2

e

^x²⁺^y²,

= 2

e

^x²⁺^y² + 4

e

^x²⁺^y² , = 2

e

^x²⁺^y² + 4

e

^x²⁺^y² , = 4

e

^x²⁺^y²

d) a) = ( + 2 ) , = 2 ( + 2 ),

= − ( + 2 ) , = −4 ( + 2 ) , = −2 ( + 2 )

Uppgift 3. Bestäm konstanten A om funktionen

f (x, y) = ln(x

³

+ y

³

)

satisfierar följande ekvation

A

f y f

_x

′ +

_y

′ =

x

.

Svar: A=3.

Uppgift 3. Bestäm konstanten A om funktionen f(x,y)=e^(x²⁺^y²⁾ satisfierar följande ekvation

) , ( )

, 1 ( ) , x (

1 f x y A f x y

y y x

f

_x

′ +

_y

′ = ⋅

(

x ≠ 0, y ≠ 0

).

Svar: A=4

(4)

4 av 10

BESTÄMNING AV FUNKTIONER OM PARTIELLA DERIVATOR ÄR GIVNA Fall 1. En derivata till

f ( x , y )

känd.

Om (för en funktion av två variabler) derivatan på x är given,

( , ) ( , )

y x x P

y x

f =

∂

(*)

då kan vi bestämma x-delen av funktionen, (genom att beräkna

∫ P ( x , y ) dx

^).

Alla funktioner som uppfyller (*) är givna med

dx y x P y x

f ( , ) ⁼ ∫ ( , )

+ g(y) ,

där g(y) är ett godtyckligt uttryck, som innehåller y- men inte x-variabeln.

Exempel 3.

Bestäm alla funktioner av två variabler som satisfierar

x x y x

f ( , ) 2

∂ =

∂

Lösning.

Från

x

x y x

f ( , ) 2

∂ =

∂

kan vi bestämma den del av funktionen som innehåller x-variabeln ( dvs

x

²).

Därför

) ( )

, ( ) 2

,

(

₂

y g x y x f x x

y x

f = ⇒ = +

∂

där

g ( y )

är en godtyckligt funktion som beror av y, dvs som innehåller y-variabeln (och en godtycklig konstant) men inte x-variabeln.

Svar:

f ( x , y ) = x

²

+ g ( y )

Exempelvis, följande tre funktioner av två variabler

5 y x y)

(x,

² ³

1

= + +

f

,

f

₂

(x, y) = x

²

+ sin y + 10

och

2 arcsin sin

ln x y)

(x,

²

3

= + y + y + y +

f

har samma första derivatan på x :

x x f x f x

f

¹ ² ³

= 2

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

Uppgift 4.

(5)

5 av 10

a)

x

x y x

f ( , ) cos

∂ =

∂

b)

( , )

₄

cos 3

+ + +

∂ =

∂ xy x y

x y x f

c)

xy x

y y x

f ( , ) cos +

∂ =

∂

b)

( , ) =

4

+ + 9

∂

x

ye y y

y x f

Svar: a)

f ( x , y ) = sin x + g ( y )

^{, där}

g ( y )

är en godtycklig funktion av y ( som inte innehåller x).

b)

sin 3 ( )

) 2 , (

4 2

y g x xy y x

y x x

f = + + + +

c)

cos ( )

) 2 , (

2

x g x xy y

y x

f = + +

^{, där}

g ( x )

är en godtycklig funktion av x ( som inte innehåller y).

d)

9 ( )

2 ) 5

, (

2 5

x g y y e

y y x

f = +

^x

+ +

^.

2. Om vi har

Fall 2. Vi söker

f ( x , y )

för givna

)

, ) (

,

( P x y

x y x

f =

∂

_och

( , ) ( , )

y x y Q

y x

f =

∂

(*) .

Anmärkning: För kontinuerliga partiella derivator har problemet lösning om och endast om

)

( )

( y

f x x f

y ∂

∂

= ∂

∂

dvs

( ( , )) ( Q ( x , y ))

y x x

y P ∂

= ∂

∂

Därför gäller följande

Det finns funktioner (med kontinuerliga andra derivator) som satisfierar ekvationer

) , ( x y x P

∂ f =

∂

och

Q ( x , y )

y f =

∂

om och endast om följande villkor är uppfyllt

P

_y

′ = Q

_x

′

Exempel 3.

y x x

y x

f = +

∂

∂ ( , ) 2

och

x y

y y x

f ( , ) 2 +

∂ =

∂

Lösning:

(6)

6 av 10

) ( )

, ( ) 2

,

(

₂

y g xy x y x f y x x

y x

f = + ⇒ = + +

∂

(*) ,

För att bestämma

g ( y )

deriverar vi (*) på y, substituerar i andra villkoret

y

y x y x

f ( , ) 2 +

∂ =

∂

och får

y x y g

x + ′ ( ) = + 2

^dvs

y

g ′ ( ) = 2

. ( notera att båda sidor innehåller endast y och INTE x-variabeln) Här av får vi

C y y

g ( ) =

²

+

, där C är en konstant Till slut från (*) har vi

C y xy x y g xy x y x

f ( , ) =

²

+ + ( ) =

²

+ +

²

+

Svar:

f ( x , y ) = x

²

+ xy + y

²

+ C

( Anmärkning: Det är enkelt att kontrollera lösningen:

Om vi deriverar på x resp. y har vi:

x y x

y x

f = +

∂

∂ ( , ) 2

och

x y

y y x

f ( , ) 2 +

∂ =

∂

)

Exempel 4.

Bestäm alla funktioner av två variabler, med kontinuerliga part. derivator, som satisfierar

x y y x

f =

∂

∂ ( , )

och

x

y y x

f ( , ) 2

∂ =

∂

Lösning:

Metod 1. Det finns ingen funktion som satisfierar givna villkor eftersom

2 ) ( 1 )

( =

∂

≠ ∂

∂ =

∂

y f x x

f y

Metod 2.

) ( )

, ( ) 1

,

( f x y x g y

x y x

f = ⇒ = +

∂

(*) , där

g ( y )

inte innehåller x-variabeln.

För att (eventuellt) bestämma

g ( y )

deriverar vi (*) på y, substituerar i andra villkoret

y x

f ( , ) 2

∂ =

∂

och får

x y

g ′ ( ) = 2

som är motsägelse, eftersom

g ( y )

beror endast av y.

(7)

7 av 10 Därmed saknas funktioner som satisfierar givna villkor.

Svar: Ingen funktion satisfierar givna villkor.

Uppgift 5.

x x y

y x

f ( , ) cos +

∂ =

∂

, ₂

1 2 )

, (

y x y

y y x f

+ +

∂ =

∂

Svar:

f ( x , y ) = xy + sin x + ln( 1 + y

²

)

Uppgift 6.

x x y

y x

f ( , ) 2 cos +

∂ =

∂

,

x

y y x

f =

∂

∂ ( , )

Svar: Ingen funktion satisfierar givna villkor. ( Eftersom

2 = 1

∂

≠ ∂

∂ =

∂

y f x f x

f y

f

)

NÅGRA EXEMPEL MED FUNKTIONER AV TRE VARIABLER Uppgift 7.

Bestäm alla funktioner av tre variabler, med kontinuerliga part. derivator, som satisfierar

a) 2

1 1 ) , , (

x x

z y x f

= +

∂

b)

( , , ) cos 3

+ + + +

∂ =

∂ xyz x y z

y z y x

f

c)

( , , )

² ³ ⁴

z y z x

z y x

f =

∂

Svar: a)

f ( x , y , z ) = arctan x + g ( y , z )

^,

där

g ( y , z )

är ett godtyckligt uttryck som innehåller y och z (men innehåller inte x).

b)

3 ( , )

cos 2 ) 2

, , (

2 2

z x g y y yz

x z y

z xy y x

f = + + + + +

c)

( , )

) 5 , , (

5 3 2

y x z g

y z x

y x

f = +

(8)

8 av 10 Uppgift 8.

Bestäm alla funktioner av tre variabler, med kontinuerliga part. derivator, om alla tre partiella derivator är givna

yz x x

z y x

f = +

∂

∂ ( , , )

2

,

y xz

y z y x

f = +

∂

∂ ( , , )

3

och

z xy

z z y x

f = +

∂

∂ ( , , )

4

Lösning:

Villkor 1 implicerar

) , 3 (

) , , (

3

z y g x xyz

z y x

f = + +

(*)

För att bestämma

g ( y , z )

substituerar vi (*) i andra villkoret

y xz y

f = +

∂

3

och får

3

( , )

) ,

( y

y z y xz g

y y z y

xz g =

∂

⇒ ∂ +

∂ =

+ ∂

Härav

( )

) 4 , (

4

z y h

z y

g = +

som vi substituerar i (*) och får

) 4 (

) 3 , , (

4 3

z y h

x xyz z

y x

f = + + +

^(**)

Till slut för att bestämma

h (z )

och därmed hela funktionen substituerar vi (**) i det tredje villkoret.

xy z z

z y x

f = +

∂

∂ ( , , )

4

ger

xy z z h

xy + ′ ( ) =

⁴

+

dvs

z C z h z z

h ′ = ⇒ = +

) 5 ( )

(

5

4

Från (**) har vi slutligen hela funktionen

z C xyz y

z x y x

f = + + + +

5 4 ) 3

, , (

5 4 3

.

( Anmärkning: Det är enkelt att kontrollera lösningen genom att beräkna partiella derivator.)

Svar:

y z C

x xyz z

y x

f = + + + +

5 4 ) 3

, , (

5 4 3

.

Uppgift 9.

(9)

9 av 10

Bestäm en funktion av tre variabler som uppfyller följande krav

) 2 , ,

( =

∂

∂ x

z y x

f

,

( , , )

²

y z z y x

f =

∂

,

yz

z z y x

f ( , , ) 2

∂ =

∂

och

f ( 1 , 1 , 1 ) = 13

.

Tips: Från första tre villkor har vi

f ( x , y , z ) = 2 x + yz

²

+ C

, Från

f ( 1 , 1 , 1 ) = 13

får vi C=10.

Svar:

f ( x , y , z ) = 2 x + yz

²

+ 10

Anmärkning: Vi kan kontrollera direkt ( på liknande sätt som för funktioner med 2 var) om problemet

) , , ) (

, ,

( P x y z

x z y x

f =

∂

_,

( , , ) ( , , )

z y x y Q

z y x

f =

∂

och

( , , ) ( , , )

z y x z R

z y x

f =

∂

(*) har någon lösning.

Om partiella derivator är kontinuerliga då är andra derivator oberoende av deriverings ordning:

Därför

x

y

Q

y P f x x f

y ⇒ ′ = ′

∂

= ∂

∂

∂ ( ) ( )

x

z

R

z P f x x f

z ⇒ ′ = ′

∂

= ∂

∂

∂ ( ) ( )

och

y

z

R

z Q f y y f

z ⇒ ′ = ′

∂

= ∂

∂

∂ ( ) ( )

Med andra ord:

Det finns funktioner (med kontinuerliga andra derivator) som satisfierar ekvationer

) , , ( x y z x P

∂ f =

∂

,

Q ( x , y , z )

f = y

∂

och

R ( x , y , z )

f = z

∂

(*) om och endast om följande (alla) tre villkor är uppfyllda

P

_y

′ = Q

_x

′

P

_z

′ = R

_x

′

och

Q

_z

′ = R

_y

′

^.

Uppgift 10.

Bestäm alla funktion av tre variabler , med kontinuerlig andra derivator, som uppfyller

x y z y x

f =

∂

∂ ( , , )

,

x z

y z y x

f = +

∂

∂ ( , , )

,

y z

z z y x

f = +

∂

∂ ( , , ) 3

Svar: Ingen lösning eftersom

Q ′

_z

= 1 ≠ R ′

_y

= 3

.

(10)

10 av 10

ETT EXEMPEL MED BERÄKNING AV PARTIELLA DERIVATOR ENLIGT DEFINITIONEN Uppgift 10.

Låt

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

= + ≠

=

) 0 , 0 ( ) , ( om 0

) 0 , 0 ( ) , ( ) om

(

² ²

y x

y y x

x xy x

f

a) Använd derivatans definition för att beräkna partiella derivator

x f

∂

∂ ( 0 , 0 )

och

y f

∂

∂ ( 0 , 0 )

b) Är funktionen kontinuerlig i punkten

( 0 , 0 )

. Lösning:

a)

0 0 lim 0 0

) lim 0 , 0 ( ) 0 , 0 lim ( ) 0 , 0 (

0 0

0

+ − = − = =

∂ =

∂

→

→ h h

h

h h

f h f x

f

0 0 0 lim lim 0

) 0 , 0 ( ) 0 , 0 lim ( ) 0 , 0 (

0 0

0

+ − = − = =

∂ =

∂

→

→ h h

h

h h

f h f

y f

Alltså båda partiella derivator existerar i punkten (0, 0) och

) 0 0 , 0

( =

∂

∂ x

f

,

( 0 , 0 ) 0

∂ =

∂ y

f

.

b) Om vi skriver ₂ ₂

y x

xy

+

i polära koordinater

θ θ θ

θ

^sin _cos _sin cos

2 2

2

2 = =

+ r

r y x

xy ,

Om r går mot 0 är resultat, ^cos

θ

^sin

θ

, beror av

θ

, och därför existerar inte ₂ ₂

) 0 , 0 ( ) , (

lim

y x

xy

y

x ^→

+

^.

Funktionen är inte kontinuerlig eftersom ₂ ₂

) 0 , 0 ( ) , (

lim

y x

xy

y

x ^→

+

existerar inte.

Kommentar. Om en envariabelfunktion f(x) är deriverbar i en punkt så är funktionen kontinuerlig i samma punkt.

Ovanstående exempel visar att existensen av partiella derivator i en punkt inte garanterar att funktionen är kontinuerlig i punkten (till skillnad från egenskaper hos ordinära derivator för envariabelfunktioner).