Analys av empiriskt forskningsresultat från fas 1 och fas 2

Under detta underavsnitt redovisas en resultatanalys av samtliga konstruerade begreppskartor från fas 1 och fas 2. I denna resultatanalys ingår en poängbedömning (se tabell 3 och tabell 4) av samtliga konstruerade begreppskartor från fas 1 och fas 2. Exemplifiering av bedömda begreppskartor som är konstruerade av deltagarna A1, B1 och

30

Tabell 3: Tabellen visar en sammanställning av en poängbedömning av samtliga begreppskartor som är konstruerade under fas 1. Poängbedömningen är baserad på instruktionsvillkoren från det analysverktyg som redovisas under tabell 1 (se underavsnittet 4.3.1 Analysverktyg för en kvantitativ framställning).

Deltagare Antalet erhållna poäng från den första omgången Antalet erhållna poäng från den andra omgången Antalet erhållna poäng från den tredje omgången Det totala antalet erhållna poäng från samtliga omgångar 𝐴₁ 12 8 5 25 𝐴₂ 15 10 6 31 𝐵₁ 10 4 2 16 𝐵₂ 5 0 0 5 𝐵₃ 10 3 3 16 𝐶₁ 41 24 14 79 𝐶₂ 84 48 28 160

Tabell 4: Tabellen visar en sammanställning av en poängbedömning av samtliga begreppskartor som är konstruerade under fas 2. Poängbedömningen är baserad på instruktionsvillkoren från det analysverktyg som redovisas under tabell 1 (se underavsnittet 4.3.1 Analysverktyg för en kvantitativ framställning).

Deltagar- grupp Antalet erhållna poäng från den första omgången Antalet erhållna poäng från den andra omgången Antalet erhållna poäng från den tredje omgången Det totala antalet erhållna poäng från samtliga omgångar 𝐴 35 25 16 76 𝐵 37 22 15 74 𝐶 115 66 36 217

Bedömningen av det empiriska resultatet visar att deltagarna A1, B1 och B2 konstruerat

minst en nod som innehåller mer än ett begrepp i en beskrivande text. Detta är inte i enlighet med instruktionerna för begreppskartläggning (se Bilaga C och underavsnit tet

4.3.1 Analysverktyg för en kvantitativ framställning). Vidare visar bedömningen av

empirin att begreppskartan konstruerad av deltagare B3 endast innehåller retoriska

uttrycksformer vid begreppslig representation (se underavsnittet 3.3.1 Lärar- och

elevrollen i en begrepps- och problembaserad matematikundervisning) och denna

begreppskarta innehåller länkar som saknar länkande ord. För den begreppskarta som är konstruerad av deltagargrupp A framgår det att komplexa tal är imaginära tal samt att potenstermer har nollställen, vilka båda är felaktiga påståenden. Dessa två beskrivningar ingår inte i någon av de begreppskartor som är konstruerade av deltagare A1 och A2.

Deltagargrupp A, B och C har konstruerat begreppskartor av större komplexitet på så sätt att den består av flera korrekt använda nyckelelement och korrekt använda begreppsliga representationer än motsvarande begreppskartor som är konstruerade under fas 1. För den

31

begreppskarta som är konstruerad av deltagargrupp B framgår det att derivata har ett gränsvärde, vilket är ett felaktigt påstående. Denna beskrivning ingår dessutom i den begreppskarta som är konstruerad av deltagare B3. Begreppskartorna som är konstruerade

av deltagare B1, B2 respektive deltagargrupp B innehåller minst en nod som saknar en

retorisk uttrycksform, vilket inte är i enlighet med instruktionerna för begreppskartläggning (se Bilaga C och underavsnittet 4.3.1 Analysverktyg för en

kvantitativ framställning). Exempelvis framgår det i den begreppskarta som är

konstruerad av deltagargrupp B att de två länkarna med det gemensamma länkande ordet

Har derivatan förbinder begreppen Rät linje och Andragradsfunktion med de två

symboliska uttrycksformerna 𝑦´ = 𝑘 och 𝑦´ = 2𝑎𝑥 + 𝑏. Denna framställning förmedlar således en tvetydig beskrivning då det exempelvis inte är möjligt att avgöra om begreppskartan beskriver att en andragradsfunktion har derivatan 𝑦´ = 2𝑎𝑥 + 𝑏 eller om en andragradsfunktion har derivatan 𝑦´ = 𝑘. Den begreppskarta som är konstruerad av deltagare C1 innehåller i kontrast till den begreppskarta som är konstruerad av deltagare

C2 en nod med begreppet Skalmetoden och en tillhörande symbolisk uttrycksform för

volymberäkning av ett volymområde alstrad då funktionsgrafen roterar kring en av axlarna. Vid poängbedömning är denna nod inte tilldelad poäng för symbolisk uttrycksform, ty uttrycket ΔV_x tolkas syfta till ett volymområde alstrad vid rotation kring x-axeln medan uttrycket 2𝜋 ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥_𝑎𝑏 tolkas syfta till ett volymområde vid rotation kring y-axeln. Den begreppskarta som är konstruerad av deltagargrupp C innehåller en nod med begreppet skalmetoden och den symboliska uttrycksformen ΔV_y= 2𝜋 ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥_𝑎𝑏 , vilken i kontrast till motsvarande begreppskartor som är konstruerade under fas 1 är korrekt poängbedömd. För den begreppskarta som är konstruerad av deltagare C1 framgår det att

länken med det länkande ordet Kan begränsas m.h.a. ett förbinder det korrekt använda begreppet Primitiva funktioner med det inkorrekt använda begreppet Villkor. Anledningen till att Villkor har tolkats som inkorrekt vid poängbedömning under den första omgången är att det retoriska uttrycket inte är tillräckligt avgränsat för att entydigt kunna tolkas som ett matematiskt begrepp. Detta kan jämföras med att den begreppskarta som är konstruerad av deltagare B3 innehåller de inkorrekt använda begreppen Positiv

och Negativ, vilka hade kunnat avgränsas till de matematiska begreppen Positivt tal respektive Negativt tal. För den begreppskarta som är konstruerad av deltagare C1 är

länken med det länkande ordet Kan begränsas m.h.a. ett inkorrekt använd enligt poängbedömningen under den andra omgången, ty det inte tydligt framgår vad som

32

menas med att de primitiva funktionerna begränsas. Den begreppskarta som är konstruerad av deltagare C2 innehåller en nod med det korrekt använda begreppet Asymptot och en tillhörande estetisk uttrycksform som är inkorrekt använd. Anledninge n

till att den estetiska uttrycksformen för begreppet Asymptot är inkorrekt använd är att motsvarande kurva som uttryckts inte är en graf som tillhör en enkelvärd funktio n samtidigt som en parametrisering av kurvan inte uttryckts. För den begreppskarta som är konstruerad av deltagargrupp C är den estetiska uttrycksformen tillhörande begreppet

Asymptot är korrekt använd, ty den kurva som uttryckts är en graf som tillhör en enkelvärd

funktion.

För samtliga begreppskartor som är konstruerade under fas 2 förekommer det sekvenser som är ett resultat av en kombination av motsvarande sekvens(er) från de berörda deltagarnas individuellt konstruerade begreppskartor. Andra sekvenser i samtliga gemensamt konstruerade begreppskartor innehåller i kontrast till de motsvarande individuellt konstruerade begreppskartorna tillägg och omformuleringar av länkar med länkande ord, tillägg av noder och tillägg och omformulering av begreppsliga representationer. Den begreppskarta som är konstruerad av deltagare C2 och den

begreppskarta som är konstruerad av deltagargrupp C är de enda begreppskartor i forskningsstudien som behandlar både huvudbegreppet Integral och Derivata. Följande figurer nedan visar dels en deltagares poängbedömda begreppskarta från fas 1 och dels en poängbedömd begreppskarta som är konstruerad av motsvarande deltagargrupp under fas 2. Poängbedömningen av varje begreppskarta är redovisad i form av röd-, blå- och grönfärgad text. Den färgmarkerade texten kan vara KB: Korrekt begrepp (1 poäng), En/två KU: Korrekt uttrycksform (1 eller 2 poäng), KLML: Korrekt länk med länkande ord (1 poäng) och KP: Korrekt proposition.

33

Figur 5: Figuren visar två bedömda begreppskartor med huvudbegreppet andragradspolynom. Den bedömda begreppskartan till vänster är under fas 1 konstruerad av deltagare A1 medan den bedömda begreppskartan till höger

är under fas 2 konstruerad av deltagargruppen A.

Figur 6: Figuren visar två bedömda begreppskartor med huvudbegreppet derivata. Den bedömda begreppskartan till vänster är under fas 1 konstruerad av deltagare B1 medan den bedömda begreppskartan till höger är under fas 2

konstruerad av deltagargruppen B.

Figur 7: Figuren visar två bedömda begreppskartor med huvudbegreppet integral. Den bedömda begreppskartan till vänster är under fas 1 konstruerad av deltagare C2 medan den bedömda begreppskartan till höger är under fas 2

34