Diskussion av resultatanalys – Del 2

Den begreppskarta som är konstruerad av deltagare B2 har endast tilldelats poäng under

omgång 1 (se tabell 3) och LRB22b och LRB24b är bedömda till U (se tabell 5). Denna

resultatanalys kan vara en indikation på att individens svårigheter att beskriva förhållanden mellan matematikbegrepp innebär svårigheter att tillämpa motsvarande matematikbegrepp vid matematisk problemlösning. För deltagare B2 kan begreppskartans

avsaknad av länkar med länkande ord och propositioner under fas 1 samt den olämpliga tillämpningen av metodval vid problemlösning under fas 3 vara resultatet av sådana svårigheter. Vidare innehåller LRB22b och LRB24b inte något av begreppen som

45

ytterligare en indikation på svårigheter att tillämpa matematikbegrepp vid matemat isk problemlösning. De begreppskartor som är konstruerade av deltagare C1 respektive C2

har i kontrast till den begreppskarta som är konstruerad av deltagare B2 tilldelats poäng

under samtliga omgångar (se tabell 3). Samtliga lösningar med reflekterande text som är producerade av deltagare C1 och C2 är bedömda på objektsnivå (se tabell 5) och innehå ller

adekvata begrepp som uppvisats i den begreppskarta som är konstruerad av deltagargr upp C. Denna resultatanalys kan vara en indikation på att individens goda förmåga att beskriva förhållanden mellan matematikbegrepp innebär en god förmåga att tillämpa motsvarande matematikbegrepp vid matematisk problemlösning. Denna slutledning är dessutom i kongruens med resultatanalysen av den empiri som deltagare A1 och A2 har producerat.

Endast LRA24a är emellertid bedömd på objektsnivå (se tabell 5) medan övriga

lösningsförslag med tillhörande reflekterande text som deltagare A1 och A2 har

producerat är bedömda på processnivå (se tabell 5). Det faktum att lösningsförslagen med tillhörande reflekterande text som deltagare A1 har producerat inte är bedömd på

objektsnivå beror endast på att denna empiri innehåller externa ledtrådar. En anmärkning är att denna empiri innehåller välformulerade motiveringar och resonemang med en tydlig anknytning till matematikbegrepp som ingår i den begreppskarta som är konstruerad av deltagargrupp A. Denna resultatanalys innebär emellertid inte nödvändigtvis att en god förmåga att resonera kring matematikbegrepp är proportionell mot den matemat iska problemlösningsförmågan. Anledningen till deltagarens beslut att inkludera externa ledtrådar kan endast spekuleras i orsaker som exempelvis bristande tålamod eller bristande förkunskaper. Dessa externa ledtrådar kan utgöra en form av vägledning och stöd under problemlösningsprocessen, vilket enligt Henningsen och Stein (1997) kan tolkas som stödstrukturer (Scaffolding). En problematik med utnyttjandet av externa ledtrådar är att de endast betraktas utgöra stödstrukturer om den matemat iska problemställningen av problemlösaren uppfattas vara en kognitiv utmaning, vilket aldrig kan säkerhetsställas vid bedömning av deltagarnas reflektionstexter under fas 3.

Det faktum att inte samtliga lösningsförslag med reflekterande text som är producerade av deltagare A2 är bedömda på objektsnivå beror huvudsakligen på att denna empiri

innehåller felaktigt använda begrepp och ett felaktigt svar på problemställninge n. Motsvarande begreppskartor konstruerade av deltagare A2 respektive deltagargrupp A

innehåller ett fåtal inkorrekt använda matematikbegrepp samtidigt som de felaktiga svaren på problemställningarna inte utvärderas i tillhörande reflektionstext. Den utsträckning som begreppsträningen under fas 1 och fas 2 kan ha inverkat på de felaktigt

46

använda matematikbegreppen under fas 3 kan således inte med tillräcklig säkerhet fastställas. Exempelvis kan det endast spekuleras om konstruerade begreppskartor av högre komplexitet alltid kan innebära en korrekt tillämpning av matematikbegrepp vid problemlösning och att omvändningen av detta påstående då skulle vara sann. Baserat på forskningsstudiens resultatanalys kan en sådan slutledning med viss säkerhet endast fastställas vid extremfall som exempelvis det faktum att begreppskartorna producerade av C1 och C2 har en relativt hög komplexitet medan begreppskartan konstruerad av B2 har

en relativt låg komplexitet. Lester (2013) betonar att problemlösningsförmågan bäst utvecklas under förutsättning att individer lär sig relevanta matematikbegrepp, vilket bekräftar den bedrivna forskningsstudiens resultatanalys. Vidare betonar Nunokawa (2005) och Fatqurhohman (2016) att omvändningen av detta påstående är sant, nämlige n

att den matematiska problemlösningsförmågan tycks kunna ge individer verktyg för att uppnå en fördjupad begreppsförståelse och därmed ett meningsfullt lärande. Fas 3 av den bedrivna forskningsstudien kräver bl.a. att deltagarna redovisar en reflektionstext som ett komplement till de producerade lösningsförslagen. Enligt Pugalee (2001) kan skriftli gt redovisade reflektioner över den egna problemlösningsprocessen bidra till en facilite r ing vid bedömning av den matematiska problemlösningsförmågan. För den bedrivna forskningsstudien innebär kravet på reflektionstext under fas 3 således en facilitering vid tillämpning av analysverktyget för en kvalitativ framställning (se underavsnitt 4.3.2

Analysverktyg för en kvalitativ framställning).

Av resultatanalysen för den empiri som deltagare B3 har producerat framgår det att

den konstruerade begreppskartan från fas 1 endast innehåller retoriska uttrycksformer och LRB32b och LRB34b uppvisar bristande kommunikation av begrepp. Denna

kommunikation är bristande på så sätt att den empiri som deltagare B3 har producerat

under fas 3 saknar motivering av metodval och det förekommer i detta resultat begreppsliga representationerna som enligt instruktionsvillkoren under tabell 2 bedöms vara otydliga. De övriga deltagarna har under fas 1 konstruerat begreppskartor som innehåller olika uttrycksformer och en stor majoritet av deras lösningsförslag med reflekterande text under fas 3 innehåller tydliga begreppsliga representatio ner. Exempelvis innehåller LRB32b en estetisk uttrycksform i form av en rektangel med

utsatta dimensionsvärden och den tillhörande retoriska uttrycksformen Största möjliga

area. Den estetiska uttrycksformen är i detta fall i enlighet med instruktionsvillkore n

under tabell 2 bedömd som en otydlig representation av begreppet maximal rektangelarea, ty uttrycksformen felaktigt beskrivs som en maximal area. Denna resultatanalys kan vara

47

en indikation på att förmågan att representera matematikbegrepp via översättninge n mellan olika uttrycksformer innebär en god förmåga att tydligt kommunicera matematikbegrepp vid matematisk problemlösning. Tichá och Hošpesová (2013), Taflin (2007) och Clarke m.fl. (2007) understryker att framgång vid matemat isk problemlösning förutsätter en tillämpning av flera begreppsliga representationer via olika uttrycksformer. Vidare tillägger Clarke m.fl. (2007) och Engelbrecht m. fl. (2005) att förmågan att kunna tillämpa matematiska begrepp i olika problemsituationer liksom förmågan att kunna översätta begreppen mellan olika representationer utmärker en utvecklad begreppsförståelse.

Enligt instruktionsvillkoren under tabell 2 ingår en tydlig framställning av begreppsliga representationer som ett villkor för de båda utvecklingsnivåerna processnivå och objektsnivå (se underavsnittet 4.3.2 Analysverktyg för en kvalitativ framställning). Ett villkor för uppvisad processnivå är enligt instruktions villkoren under tabell 2 att lösningsförslag med reflekterande text ska innehålla minst en process lämplig för problemställningen, vilket enligt APOS teorin (se underavsnittet 2.1 APOS teorin) är ett minimikrav för denna begreppsliga utvecklingsnivå. Vidare villkor för uppvisad processnivå är enligt instruktionsvillkoren under tabell 2 att lösningsförslag med reflekterande text ska innehålla svar med tillhörande resonemang som inte nödvändigt vis är korrekt. En fördel med detta villkor vid tillämpning av motsvarande analysverktyg är att lösningsförslag med reflekterande text som endast innehåller ett fåtal metodval i form av minst två processer utan vidare resonemang som leder till ett svar missgynnas på så sätt att bedömningen i en sådan situation inte blir på objektsnivå. En annan fördel med detta villkor vid tillämpning av motsvarande analysverktyg är att lösningsförslag med reflekterande text som innehåller flera metodval med vidare resonemang som leder till ett svar gynnas på så sätt att minst en uppvisad handling inte avgör om bedömningen istället blir på procedurnivå. Dessa detaljer för instruktionsvillkoren tillhörande processnivån bidrar således till en tydlighet i progressionen mellan de tre begreppsliga utvecklingsnivåerna. Ett förslag för utveckling av det analysverktyg som används vid bedömning av empirin från fas 3 är att införa en ny begreppslig utvecklingsnivå som går under benämningen generaliserad objektsnivå. Instruktionsvillkoren för den generaliserade objektsnivån kan vara att samtliga villkor på objektsnivå ska vara uppfyllda samt att generaliserade processer vid uppkapsling av minst ett begreppsligt objekt uppvisas vid problemlösning. Exempelvis kan påståendet 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 10 − 𝑣

48

följaktiga påståendet 𝑣(𝑡) = 20 (1 − 𝑒−

𝑡

2) som båda ingår i LRC_{15c i form av två}

processer och som båda är resultatet av att det begreppsliga objektet Ordinär linjär

differentialekvation har uppkapslats vid problemlösning. En tänkbar generalisering av

dessa processer kan vara att påståendet ∀{𝑎, 𝑏} ⊂ ℝ+| 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑎 − 𝑏𝑣 leder till den

allmänna lösningsmängden i form av påståendet 𝑣(𝑡) =𝑎_𝑏(1 − 𝑒−𝑏𝑡).