6.6 Derivatan av sammans¨attningar och
inverser
Vi har l¨art oss att derivera √
x och x2 + 2x + 2, men vad ¨ar derivatan av sammans¨attningen√
x2+ 2x + 2? F¨or att klara av denna och liknande fr˚agor beh¨over vi en regel f¨or hur man deriverar sammans¨attningar av funktioner.
L˚at oss b¨orja med ett enkelt fall.
Exempel 10 Om f ¨ar en deriverbar funktion, och c ¨ar en konstant, s˚a ¨ar funktionen f (cx) deriverbar och
d
dxf (cx) = cf
′(cx).
Bevis. S¨att g(x) = f (cx). P˚ast˚aendet st¨ammer uppenbarligen om c = 0 ty d˚a ¨ar funktionen g(x) konstant (= f (0)), och s˚aledes g′(x) = 0. Antag d¨arf¨or att c 6= 0; d˚a ¨ar g(x) − g(x0) x − x0 = cf (cx) − f(cx0) cx − cx0 = cf (y) − f(y) y − y0 ,
d¨ar vi satt y = cx och y0 = cx0. N¨ar x g˚ar mot x0 g˚ar y mot y0; f¨oljaktligen ¨ar g′(x0) = lim x→x0 g(x) − g(x0) x − x0 = lim y→y0 cf (y) − f(y) y − y0 = cf′(y0) = cf′(cx0).
Exemplet ovan ¨ar ett enkelt fall av den s.k. kedjeregeln, som vi formulerar i n¨asta sats.
Sats 4 (Kedjeregeln) S¨att F (x) = f (g(x)), och antag att g′(x0) existerar och att f′(g(x0)) existerar. D˚a ¨ar den sammansatta funktionen F (x) deriverbar i punkten x0 och
F′(x0) = f′(g(x0))g′(x0).
Om man uppfattar x som en oberoende variabel och inf¨or nya beroende variabler y och z genom sambanden y = g(x) och z = f (y) = f (g(x)) = F (x), s˚a kan man skriva kedjeregeln F′(x) = f′(y)g′(x) p˚a formen
dz dx =
dz dy · dy
dx.
Bevis. S¨att y0 = g(x0), z0 = f (y0) = f (g(x0)) = F (x0), ∆x = x − x0, ∆y = y − y0 = g(x) − g(x0), ∆z = z − z0 = f (y) − f(y0) = F (x) − F (x0). Eftersom dz dx = lim∆x→0 ∆z ∆x
beh¨over vi unders¨oka kvoten ∆z/∆x. Vi b¨orjar f¨or den skull med approxi-mationen
∆y = dy
dx · ∆x + r1(∆x),
d¨ar feltermen r1(∆x) g˚ar mot 0 s˚a snabbt att till och med kvoten r1(∆x)/∆x g˚ar mot 0. Vi kan d¨arf¨or skriva feltermen p˚a formen
r1(∆x) = ǫ1(∆x) · ∆x,
d¨ar funktionen ǫ1(∆x) g˚ar mot 0 d˚a ∆x → 0. Ins¨attning i likheten f¨or ∆y ger oss den nya formeln
(6.4) ∆y = dy
dx + ǫ1(∆x) · ∆x. Motsvarande g¨aller f¨orst˚as f¨or ∆z, dvs. det g¨aller att
(6.5) ∆z = dz
dy + ǫ2(∆y) · ∆y, d¨ar ǫ2(∆y) → 0 d˚a ∆y → 0.
S¨att nu in det i (6.4) erh˚allna uttrycket f¨or ∆y i ekvation (6.5); detta ger oss det nya sambandet
∆z = dz
dy + ǫ2(∆y) dy
dx + ǫ1(∆x)∆x, som efter division med ∆x blir
(6.6) ∆z ∆x = dz dy + ǫ2(∆y) dy dx + ǫ1(∆x).
N¨ar ∆x g˚ar mot 0 g˚ar ocks˚a ∆y mot 0, s˚a det f¨oljer att b˚ade ǫ2(∆y) och ǫ1(∆x) g˚ar mot 0, och h¨ogerledet i likheten (6.6) g˚ar d¨arf¨or mot
dz dy + 0 dy dx + 0 = dz dy · dy dx.
6.6 Derivatan av sammans¨attningar och inverser 119 Genom gr¨ans¨overg˚ang f˚as d¨arf¨or det ¨onskade resultatet
dz dx = lim∆x→0 ∆z ∆x = dz dy · dydx. Exempel 11 Funktionen F (x) =√
x2+ 2x + 2 ¨ar sammansatt av funktio-nerna f (y) = √y och y = g(x) = x2+ 2x + 2. Enligt kedjeregeln ¨ar d¨arf¨or
F′(x) = f′(y)g′(x) = 1
2√y(2x + 2) =
x + 1 √
x2 + 2x + 2.
Exempel 12 Antag att sambandet mellan en m¨anniskas kroppsl¨angd x och huvudl¨angd y i cm ¨ar allometriskt och ges av funktionen y = 1,8√
x. Antag vidare att en baby v¨axer med tillv¨axthastigheten 1,2 cm per vecka n¨ar den ¨ar 56 cm l˚ang. Om vi l˚ater t vara tidsvariabeln, s˚a inneb¨ar detta att dx
dt = 1,2 (cm/vecka). F¨or att f˚a huvudets tillv¨axthastighet dydt d˚a babyn ¨ar 56 cm, anv¨ander vi kedjeregeln dy dt = dy dx · dx dt = 1,8 · 1 2√ x · dx dt, som f¨or x = 56 och dxdt = 1,2 ger
dy dt =
1,8 · 1,2 2√
56 ≈ 0,14. Huvudets tillv¨axthastighet ¨ar s˚aledes 1,4 mm/vecka.
L˚at f vara en funktion som ¨ar definierad p˚a ett intervall I och som har intervallet J som v¨ardem¨angd. Om ekvationen
f (x) = y
f¨or varje y ∈ J har en unik l¨osning x som ligger i I, s˚a s¨ager man att funktionen f ¨ar inverterbar. Man skriver x = f−1(y) och kallar f−1 f¨or inversen till funktionen f . Den inversa funktionens definitionsm¨angd ¨ar lika med J och dess v¨ardem¨angd ¨ar lika med intervallet I.
Exempel 13 Kvadreringsfunktionen f (x) = x2 ¨ar definierad f¨or alla reella tal x, s˚a dess definitionsm¨angd ¨ar I = R, och dess v¨ardem¨angd ¨ar lika med intervallet J = [0, +∞[ av alla icke-negativa reella tal. Funktionen f ¨ar inte inverterbar, ty ekvationen x2 = y har tv˚a reella l¨osningar f¨or varje tal y > 0.
L˚at oss d¨arf¨or inskr¨anka funktionens definitionsm¨angd genom att enbart betrakta kvadraten p˚a icke-negativa tal. Vi s¨atter allts˚a
g(x) = x2 f¨or x ≥ 0
och f˚ar p˚a s˚a s¨att en funktion g med icke-negativa reella axeln I = [0, +∞[ som definitionsm¨angd (och fortfarande [0, +∞[ som v¨ardem¨angd). Den nya funktionen funktionen g ¨ar inverterbar, ty ekvationen g(x) = y har f¨or varje y ≥ 0 bara en l¨osning x ∈ I, n¨amligen x =√y (den icke-negativa kvadratro-ten). Detta inneb¨ar att g−1(y) = √y.
L˚at nu f vara en deriverbar och inverterbar funktion, l˚at x0 vara en punkt i definitionsm¨angden till f och s¨att y0 = f (x0). Vi skall se att vi d˚a kan ber¨akna derivatan till den inversa funktionen f−1i punkten y0. Observationen att y → y0 om och endast om x → x0 i kombination med f¨oljande likhet
f−1(y) − f−1(y0) y − y0 = x − x0 f (x) − f(x0) = 1 f (x) − f(x0) x − x0 ,
d¨ar h¨ogerledet g˚ar mot 1/f′(x0) d˚a x → x0, leder oss n¨amligen till slutsatsen att
(f−1)′(y0) = 1 f′(x0).
Med den alternativa beteckningen f¨or derivator kan vi ocks˚a skriva ovanst˚ a-ende formel p˚a formen
dx dy = 1 dy dx .
Exempel 14 Inversen till funktionen y = xnmed positiva reella axeln ]0, ∞[ som definitionsm¨angd ¨ar rotfunktionen x = y1/n (= √ny). D¨arf¨or ¨ar
d dyy 1/n = dx dy = 1 dy dx = 1 nxn−1 = 1 ny(n−1)/n = 1 ny 1/n−1.
En funktion y = f (x) s¨ages vara implicit definierad om den ¨ar given genom att x och y satisfierar n˚agon ekvation av typen g(x, y) = 0. Ibland ¨ar det m¨ojligt att l¨osa ut y ur ekvationen och att d¨arigenom skaffa sig ett explicit uttryck f¨or funktionen, men oftast ¨ar s˚a inte fallet. F¨or att ber¨akna derivatan av en implicit given funktion m˚aste man d˚a anv¨anda sig av s. k. implicit derivering. Vi beskriver metoden med tv˚a exempel.
6.6 Derivatan av sammans¨attningar och inverser 121 Exempel 15 Ekvationen
x2+ y2 = 1
och villkoret y > 0 definierar tillsammans y som en funktion av x, n¨amligen funktionen
y = f (x) =√
1 − x2 = (1 − x2)1/2.
H¨ar ¨ar det naturligtvis ingen konst att ber¨akna derivatan; vi anv¨ander ked-jeregeln och f˚ar
f′(x) = 1
2(1 − x2)−1/2· (−2x) = − x
(1 − x2)1/2 = −f (x)x .
Men det finns en alternativ metod. F¨or varje x i funktionens definitionsm¨angd ] − 1, 1[ ¨ar ju
x2+ f (x)2 = 1,
vilket kan uppfattas som en likhet mellan tv˚a funktioner, n¨amligen funktio-nen x2 + f (x)2 i v¨ansterledet och den konstanta funktionen 1 i h¨ogerledet. Lika funktioner har f¨orst˚as lika derivator. Den konstanta funktionens deriva-ta ¨ar 0, och derivaderiva-tan av funktionen i v¨ansterledet ¨ar p˚a grund av kedjeregeln lika med 2x + 2f (x)f′(x). D¨arf¨or ¨ar
2x + 2f (x)f′(x) = 0. Vi kan nu enkelt l¨osa ut f′(x) och f˚ar d˚a
f′(x) = − x f (x), vilket ¨overensst¨ammer med vad vi fick ovan.
N¨ar man som i exemplet ovan l¨att kan l¨osa ut funktionen explicit finns det knappast n˚agon po¨ang med att anv¨anda sig av implicit derivering. Men i n¨asta exempel g˚ar det inte att skaffa sig ett explicit uttryck f¨or funktionen, och d˚a ¨ar implicit derivering enda m¨ojligheten att ber¨akna derivatan. Exempel 16 Ekvationen
y5+ 8xy3− x2+ 1 = 0
satisfieras av (x, y) = (2, 1) och definierar y som en funktion y = f (x) av x i en omgivning av punkten och som uppfyller f (2) = 1. H¨ar finns det inga m¨ojligheter att hitta ett explicit uttryck f¨or f (x), s˚a d¨arf¨or anv¨ander vi oss av
implicit derivering f¨or att best¨amma derivatan y′. Med hj¨alp av kedjeregeln och regeln f¨or derivatan av en produkt f˚ar vi
5y4y′ + 8y3+ 8x · 3y2y′− 2x = 0 (5y4+ 24xy2)y′ = 2x − 8y3
y′ = 2x − 8y3
5y4+ 24xy2.
Detta ¨ar ett allm¨ant uttryck f¨or derivatan som vi speciellt kan anv¨anda f¨or att ber¨akna y′(2); ins¨attning av x = 2 och y = 1 ger:
y′(2) = 2 · 2 − 8 · 13 5 · 14+ 24 · 2 · 12 = −534 .
¨
Ovningar
6.11 Best¨am f′(x) om a) f (x) = x1/4 b) f (x) =√ 1 + 4x c) f (x) = (x2+ 1)√x d) f (x) = (x2+ x)50 e) f (x) = 1 + √ x 1 −√x.6.12 En sf¨arisk ballong fylls med luft. N¨ar ballongens volym ¨ar 8 dm3 bl˚aser man in luft med en hastighet av 0,3 dm3/s. Med vilken hastighet ¨okar i detta ¨
ogonblick ballongens area?
6.13 F¨or den beryktade tasmanska dj¨avulen, som inte s¨allan ger sig p˚a byten st¨orre ¨an sig sj¨alv, har forskare funnit f¨oljande samband
L(w) = 2,265 w2,543
mellan vikten w i kg och kroppsl¨angden L(w) i mm, f¨orutsatt att den inte ¨
ar ¨aldre ¨an ett ˚ar. Antag attt den efter 30 veckor v¨ager 5,525 kg och ¨okar sin vikt med 0,18 kg per vecka. Hur fort v¨axer den p˚a l¨angden vid denna tidpunkt?
6.14 Ber¨akna f′(x) genom implicit derivering om y = f (x) ¨ar en funktion som satisfierar ekvationen
a) xy = 1 b) x2− y2 = 1 c) 1 − y 1 + y + xy
3 = 1. Kontrollera resultaten i a) och b) genom att f¨orst l¨osa ut y explicit.