Linj¨ara differensekvationer av h¨ogre ordning

ar i livet om n ˚ar.

a) St¨all f¨orst upp en differensekvation f¨or xn. b) Uttryck y_n med hj¨alp av talen i f¨oljden (xn).

c) Generera med hj¨alp av rekursionsformeln i a) och n˚agot dataprogram tillr¨ackligt m˚anga x_n-v¨arden f¨or att kunna ber¨akna y25.

d) Best¨am ocks˚a som j¨amf¨orelse en explicit formel f¨or xn och anv¨and den f¨or att ber¨akna y25.

4.6 Linj¨ara differensekvationer av h¨ogre

ord-ning

Resultaten f¨or andra ordningens homogena linj¨ara differensekvationer l˚ater sig generaliseras. L¨osningen till en allm¨an homogen linj¨ar differensekvation av ordning k

x_n+k = c_k−1x_n+k−1+ · · · + c1x_n+1+ c₀x_n

beror helt och h˚allet p˚a r¨otterna r1, r₂,. . . , r_k till motsvarande karakteris-tiska ekvation

rk= c_k−1rk−1+ · · · + c1r + c₀. Om r¨otterna ¨ar skilda, s˚a har l¨osningen formen

xn = C1rⁿ₁ + C2rⁿ₂ + · · · + Ckr_kⁿ

d¨ar konstanterna C1, C2,. . . , Ck skall v¨aljas s˚a att begynnelsevillkoren f¨or x0, x1, . . . , x_k−1 blir uppfyllda. R¨otterna kan f¨orst˚as vara komplexa, men resultatet g¨aller ¨aven i detta fall.

4.6 Linj¨ara differensekvationer av h¨ogre ordning 67 Om man har en dubbelrot, t. ex. r1 = r2, s˚a m˚aste termerna C1r₁ⁿ+ C2rⁿ₂ i summan ovan ers¨attas med (C1n + C2)rn

1. Vid en trippelrot r1 = r2 = r3

byts ist¨allet de tre f¨orsta termerna i summan ut mot (C1n2+ C2n + C3)rn 1, osv.

Beviset f¨or att det ¨ar s˚a ¨ar analogt med beviset f¨or andra ordningens differensekvationer men f¨orst˚as beteckningsm¨assigt lite mer komplicerat.

Om roten r1 till beloppet ¨ar strikt st¨orre ¨an ¨ovriga r¨otter, s˚a dominerar termen C1rn

1 ¨ovriga termer f¨or stora v¨arden p˚a n, och detta inneb¨ar att xn ≈ C1r₁ⁿ.

Tillv¨axten ¨ar s˚aledes i s˚adana fall exponentiell.

Som ett exempel p˚a en tredje ordningens linj¨ar differensekvation skall vi angripa och l¨osa Darwins elefantproblem fr˚an avsnitt 4.1. Vi har tidigare citerat Darwins tvivel om sin ber¨akning av elefantpopulationens tillv¨axt. De var tydligen s˚a starka att han best¨amde sig f¨or att justera den n˚agot i 6:e upplagan av ”Om arternas uppkomst”. Vi citerar direkt: ”. . . it will be safest to assume that it begins breeding when thirty years old, and goes on breeding till ninety years old, bringing forth six young in the interval, and surviving till one hundred years old; if this be so, after a period of from 740 to 750 years there would be nearly nineteen million elephants alive, descended from the first pair.” Det finns anledning att ifr˚agas¨atta Darwins uppfattning om elefantens livshistoria, men det ¨ar intressantare att g¨ora om hans ber¨akningar eftersom han inte l¨amnat n˚agon information om vilken metod han anv¨ant. Vi skall utnyttja v˚ara nyvunna kunskaper om linj¨ara differensekvationer.

F¨or att g¨ora detta verkar det rimligt att f¨orenkla situationen genom att endast betrakta hondjur och f¨orst˚as komma ih˚ag att dubblera antalet n¨ar ber¨akningen ¨ar klar f¨or att ocks˚a inkludera handjur. Vi kan d˚a t¨anka oss att varje hondjur producerar tre honliga avkommor vid ˚aldern 30, 60 och 90 ˚ar. P˚a det s¨attet kan vi dela in tidsrymden i enheter om 30 ˚ar, och 750 ˚ar ¨ar 25 s˚adana perioder. Vi startar med en nyf¨odd elefanthona i b¨orjan av period 1. I slutet av denna period ¨ar hon 30 ˚ar och f˚ar 1 honlig avkomma. I b¨orjan av period 2 finns det d¨arf¨or 2 honor, 0 resp. 30 ˚ar gamla, och de f˚ar i slutet av period 2, dvs. b¨orjan av period 3, var sin unge av honligt k¨on, vilket inneb¨ar att det d˚a finns totalt 4 honelefanter.

F¨or att beskriva den fortsatta utvecklingen l˚ater vi xn beteckna antalet honor som f¨ods i b¨orjan av period n. L˚at oss nu se vad som h¨ander under de 90 ˚ar som f¨orl¨oper mellan begynnelsen av period n och begynnelsen av period n + 3; de xn honor som f¨oddes i b¨orjan av period n har blivit 90 ˚ar gamla, de xn+1 honor som f¨oddes i b¨orjan av period n + 1 har blivit 60 ˚ar gamla och de xn+2 honor som f¨oddes i b¨orjan av period n + 2 har blivit 30 ˚ar.

Tabell 4.2. Antal olika hondjur i olika ˚aldersgrupper.

Period Antalet hondjur i olika ˚aldrar

nummer vid periodens b¨orjan

0 ˚ar 30 ˚ar 60 ˚ar 90 ˚ar 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 3 2 1 1 0 4 4 2 1 1 5 7 4 2 1 6 13 7 4 2 .. . n xn ∗ ∗ ∗ n + 1 xn+1 xn ∗ ∗ n + 2 xn+2 xn+1 xn ∗ n + 3 xn+3 xn+2 xn+1 xn ...

I b¨orjan av period n+3 ¨ar d¨arf¨or antalet honelefanter i respektive ˚aldersklass lika med xn, xn+1 och xn+2. Se tabell 4.2. Eftersom var och en av de vuxna honelefanterna f˚ar en en unge av honk¨on, blir antalet nyf¨odda honelefanter i b¨orjan av en period lika med summan av antalet vuxna honor, och detta ger oss nu differensekvationen

xn+3 = xn+2+ xn+1+ xn

med begynnelsev¨ardena x1 = x2 = 1, x3 = 2.

L˚at nu yn beteckna totala antalet honelefanter i b¨orjan av period n, de nyf¨odda inr¨aknade. Enligt rad n + 3 i tabell 4.2 ¨ar

yn+3 = xn+3+ xn+2+ xn+1+ xn,

och om vi kombinerar detta med differensekvationen ovan f˚ar vi sambandet yn+3 = 2xn+3,

d¨ar n = 1, 2, 3, . . . . Totala antalet elefanter i b¨orjan av en period ¨ar med andra ord lika med dubbla antalet nyf¨odda. (P˚ast˚aendet g¨aller enligt h¨arledningen ovan fr˚an och med period 4, men tabellen visar att det ¨ar sant f¨or alla perioder utom den f¨orsta.)

4.6 Linj¨ara differensekvationer av h¨ogre ordning 69 Totala antalet elefanthonor efter 750 ˚ar, dvs. n¨ar 25 perioder g˚att till ¨anda och den 26:e perioden just b¨orjat med att nya ungar f¨otts ¨ar d¨arf¨or lika med 2x26.

Med hj¨alp av en dator eller en programmerbar minir¨aknare ¨ar det f¨orst˚as enkelt att ber¨akna x26 direkt ur rekursionsformeln; det exakta v¨ardet ¨ar x26= 2 555 757. Men vi kan ocks˚a anv¨anda den explicita formeln

(4.9) xn= Ar₁ⁿ+ Brⁿ₂ + Crⁿ₃

f¨or l¨osningen till differensekvationen, d¨ar r1, r2, r3 ¨ar de tre r¨otterna till den karakteristiska ekvationen, tredjegradsekvationen

r³ = r²+ r + 1,

och konstanterna A, B och C skall v¨aljas s˚a att de tre begynnelsevillkoren blir uppfyllda. Nu har tredjegradsekvationen bara en reell rot, vilket man uppt¨acker genom att rita kurvan y = x3− x2− x − 1; kurvan sk¨ar x-axeln endast en g˚ang. Med numeriska metoder kan vi ber¨akna den reella roten; den ¨ar r1 = 1,8393. De tv˚a komplexa r¨otterna r2 och r3 har formen r2 = α + iβ, r₃ = α − iβ, och eftersom samtliga tre r¨otters produkt = 1, ¨ar

r1r2r3 = 1,8393 · (α²+ β²) = 1,

dvs. |r2| = |r2| = ^pα2+ β2 = p1/1,8393 = 0,737. Eftersom beloppen ¨ar < 1, g˚ar rn

2 och rn

3 snabbt mot 0 − exempelvis ¨ar |r10

2 | < 0,05, medan d¨aremot rn

1 v¨axer mot o¨andligheten (r10

1 ≈ 443). I formeln (4.9) f¨or xn kan vi s˚aledes stryka de tv˚a sista termerna och med god noggrannhet anv¨anda approximationen

xn≈ Ar1ⁿ= A · 1,8393ⁿ

f¨or stora n. Tyv¨arr k¨anner vi inte konstanten A, men det kan vi komma runt p˚a f¨oljande vis. Genom att utvidga tabellen med fem rader ser man l¨att att x11= 274. H¨arav f¨oljer att

x₂₆≈ Ar26 1 = Ar11 1 r15 1 ≈ x11r15 1 = 274r15 1 = 274 · 1,839315= 2 555 872. (J¨amf¨or med det exakta v¨ardet; det relativa felet ¨ar mindre ¨an 5·10−5!)

Med de nyf¨odda honorna inr¨aknade blir det dubbelt s˚a m˚anga honor vid periodens slut. Adderar vi sedan lika m˚anga hanar f˚ar vi totalt ca 10,2 miljo-ner djur. Detta st¨ammer ju inte med Darwins p˚ast˚aende, men det ¨ar inte klart fr˚an boken n¨ar Darwin b¨orjar r¨akna. Det kan vara s˚a att de 750 ˚aren b¨orjar i och med den f¨orsta ungens f¨odelse. I s˚a fall ¨okar antalet med ytterligare en faktor 1,8393 till 18,8 miljoner eller n¨astan 19 miljoner elefanter. Detta ¨ar s˚a n¨ara Darwins resultat att det ¨ar sv˚art att tro att han skulle ha kommit fram till det p˚a n˚agot grundl¨aggande annorlunda s¨att. Det ¨ar dock oklart varf¨or han skriver ”740 till 750 ˚ar”. Kanske betyder detta att de nyf¨odda inte skall r¨aknas med? I s˚a fall har Darwin i alla fall fel med en faktor 2!