Kvantitativ Biologi och Matematiska Metoder

Kvantitativ Biologi

och

Matematiska Metoder

Lars-˚ Ake Lindahl

Ulf Lindh

2008

Inneh˚ all

F¨orord . . . vii

1 Lite av varje 1 1.1 R¨akneregler . . . 1

1.2 Summor . . . 4

1.3 Andragradsekvationen . . . 5

1.4 Absolutbeloppet . . . 7

1.5 Komplexa tal . . . 8

1.6 R¨ata linjens ekvation . . . 10

1.7 Minstakvadratanpassning . . . 13

2 Potenser och logaritmer 17 2.1 Potenser . . . 17

2.2 Logaritmer . . . 20

2.3 Liv ˚at logaritmerna . . . 29

3 Allometri 33 3.1 Allometri . . . 33

3.2 Geometrisk skalning . . . 35

3.3 Kroppsstorlek och metabol hastighet . . . 38

3.4 D¨aggdjursskelettet . . . 44

4 Exponentiell tillv¨axt 47 4.1 En diskret modell . . . 48

4.2 Differensekvationer . . . 51

4.3 Gr¨ansv¨ardesbegreppet . . . 54

4.4 Linj¨ara differensekvationer av f¨orsta ordningen . . . 57

4.5 Linj¨ara differensekvationer av andra ordningen . . . 61

4.6 Linj¨ara differensekvationer av h¨ogre ordning . . . 66

4.7 En kontinuerlig modell . . . 70 iii

5 Linj¨ara ekvationssystem, matriser och vektorer 75

5.1 Linj¨ara ekvationssystem . . . 75

5.2 Matriser och vektorer . . . 83

5.3 Matrisinvers . . . 91

5.4 En skogsbruksmodell . . . 96

6 Derivatan 103 6.1 Inledning . . . 103

6.2 Derivatans definition . . . 105

6.3 Derivatans tolkning . . . 108

6.4 Approximationsfel; kontinuitet . . . 112

6.5 Deriveringsregler . . . 114

6.6 Derivatan av sammans¨attningar och inverser . . . 117

6.7 Derivator av h¨ogre ordning . . . 123

6.8 Kritiska punkter . . . 124

6.9 Optimering . . . 126

6.10 Partiella derivator . . . 131

7 Medelv¨ardessatsen med till¨ampningar 135 7.1 Medelv¨ardessatsen och monotonitet . . . 135

7.2 Taylors formel . . . 139

8 Exponentialfunktionen 147 8.1 Exponentialfunktionens derivata . . . 147

8.2 Monotonitet och tillv¨axthastighet . . . 150

8.3 Den naturliga logaritmen . . . 151

8.4 Talet e . . . 154

8.5 Exponential- och logaritmfunktioner − godtyckliga baser . . . 156

8.6 Potensfunktionen x^b . . . 158

8.7 Exponentiella och allometriska samband ¨an en g˚ang . . . 159

9 Egenv¨arden 163 9.1 Samspel mellan olika djurarter . . . 163

9.2 Determinanten . . . 167

9.3 Egenv¨arden . . . 171

9.4 En demografisk modell . . . 178

10 Populationsdynamik och diskreta dynamiska system 193 10.1 Populationsdynamik . . . 193

10.2 Diskreta dynamiska system . . . 194

10.3 Den logistiska modellen . . . 195

v

10.4 J¨amvikter och stabilitet . . . 202

10.5 Analys av den logistiska modellen . . . 207

10.6 Effekter av jakt och fiske . . . 212

10.7 Rickers modell . . . 214

10.8 Newtons metod . . . 219

11 Integraler 223 11.1 Primitiva funktioner . . . 223

11.2 Integrationsteknik . . . 225

11.3 Integralen . . . 229

12 Differentialekvationer 233 12.1 N˚agra modeller . . . 234

12.2 Existens av l¨osningar . . . 238

12.3 Separabla differentialekvationer . . . 240

12.4 Logistiska modellen . . . 245

12.5 Autonoma ekvationer . . . 249

12.6 Linj¨ara differentialekvationer . . . 250

12.7 System av differentialekvationer . . . 255

12.8 Enzymkinetik . . . 260

12.9 Biologi i h¨ogre rymder . . . 267

Appendix: En introduktion till Derive . . . 277

Svar till ¨ovningarna . . . 291

Sakregister . . . 301

F¨ orord

Under ˚arhundranden har matematik varit ett sj¨alvklart verktyg f¨or fysiken − fysikens lagar formuleras som ekvationer och med hj¨alp av dem kan man g¨ora kvantitativa f¨oruts¨agelser och utveckla modern teknologi. Utan matematik inga elmotorer, inga datorer och mobiltelefoner, inga spektakul¨ara rymdre- sor, osv. I sj¨alva verket har en stor del av matematiken utvecklats just f¨or fysikens behov, f¨oreg˚angaren Newton var b˚ade matematiker och fysiker, och fortfarande drivs utvecklingen inom delar av matematiken av fr˚agest¨allningar som uppkommit i fysik.

Inom biologin f¨orh¨oll det sig l¨ange annorlunda. En stor del av biologin har best˚att i att samla in, beskriva, kategorisera och katalogisera. Mycket kan naturligtvis fortfarande g¨oras inom biologin utan hj¨alp av kvantitativa metoder, men den nya utvecklingen inom biologi − fr˚an genetik och fysiologi till ekologi − f¨oruts¨atter i v¨axande utstr¨ackning kvantitativa metoder, dvs.

matematik och statistik.

En blivande biolog beh¨over d¨arf¨or i sin utbildning orientera sig om kvan- titativa metoder. P˚a Uppsala universitets biologprogram ges d¨arf¨or parallellt tv˚a kurser med detta syfte, Kvantitativ biologi och Matematik och statistik f¨or biologer om 5 resp. 10 h¨ogskolepo¨ang. Huvudsyftet med de b˚ada kurserna

¨ar att ge studenten ett spr˚ak som g¨or det m¨ojligt f¨or honom eller henne att tolka och f¨orst˚a i biologiska sammanhang vanligen f¨orekommande matema- tiska ekvationer och uttryck och − i den m˚an de egna kunskaperna inte visar sig r¨acka till − kommunicera med specialister.

Det h¨ar kompendiet ¨ar avsett att t¨acka matematikdelen av kursen Mate- matik och statistik f¨or biologer, som dessutom inneh˚aller ett rej¨alt moment statistik, samt huvuddelen av den kvantitativa biologin med st¨od av tidigare inf¨orskaffad biologilitteratur. F¨or att stoffet skall rymmas inom den givna po¨angramen har vi tvingats avst˚a fr˚an mycket som traditionellt ing˚ar i inle- dande matematikkurser. Exempelvis n¨amns inte de trigonometriska funktio- nerna.

Vi har f¨ors¨okt att introducera matematiken via olika biologiska exempel, och i ˚atskilliga fall ¨ar det l¨att att finna s˚adana exempel som motiverar ett

vii

matematisk begrepp. Det ¨ar exempelvis sj¨alvklart att man f¨or att f¨orst˚a och tolka ett allometriskt samband m˚aste f¨orst˚a potens- och logaritmbegreppen.

Det ¨ar lika sj¨alvklart att man f¨or att modellera diffusionsprocesser i en cell, n˚agot som leder till partiella differentialekvationer, m˚aste f¨orst˚a det matema- tiska begreppet derivata. Men precis som det i en rallyt¨avling beh¨ovs trans- portstr¨ackor mellan de olika fartstr¨ackorna, beh¨ovs det transportstr¨ackor n¨ar man l¨ar sig matematik, vilket i det h¨ar fallet betyder att det finns metoder och tekniker som man − inte utan viss m¨oda − m˚aste l¨ara sig utan att se den omedelbara nyttan i form av intressanta till¨ampningar. Po¨angen med derivatan som matematisk abstraktion f¨or begreppet tillv¨axthastighet kan man s¨akert f¨orst˚a direkt av derivatans definition, men innan man tar ste- get att modellera biologiska processer som differentialekvationer, kr¨avs det nog att man arbetar en del med deriveringsregler och andra egenskaper hos derivatan. Kompendiets kapitel om derivatan ¨ar d¨arf¨or till stor del en ”trans- portstr¨acka”.

Det som ¨ar speciellt f¨or matematiken ¨ar ju att dess resultat och metoder

¨ar allm¨angiltiga och f¨oljaktligen kan till¨ampas i en m¨angd olika situationer.

Samma differentialekvation kan anv¨andas f¨or att beskriva diffusion i en cell och v¨armeledning i en kropp. Allm¨angiltigheten f¨oljer av att resultaten inte beror av hur verkligheten faktiskt r˚akar se ut utan kan bevisas vara sanna med hj¨alp av logiska resonemang, s. k. bevis.

Det ¨ar naturligtvis inte n¨odv¨andigt att k¨anna till beviset f¨or ett matema- tiskt resultat f¨or att kunna till¨ampa det, ¨aven om en k¨annedom om beviset faktiskt f¨ordjupar insikten om resultatets r¨ackvidd och begr¨ansningar. Men utan minsta hum om hur de matematiska resultaten motiveras och h¨anger samman blir matematiken l¨att en o¨oversk˚adlig och sv˚aranv¨andbar recept- samling. Dessutom l¨ar man sig att resonera logiskt fram till ett m˚al, och det

¨ar en kunskap som ¨ar mycket anv¨andbar i alla vetenskapliga sammanhang.

Kompendiet inneh˚aller d¨arf¨or bevis och underst¨odjande argument f¨or n¨astan alla de matematiska satser och resultat som presenteras. Bevisens roll

¨ar att ¨overtyga om p˚ast˚aendenas giltighet, och de ¨ar som brukligt skrivna i ”monologform”, f¨orfattarnas monolog, men som l¨asare b¨or du komplettera dem till en dialog, d¨ar du efter varje mening eller stycke skjuter in en kom- mentar av typen ”Ja, s˚a h¨ar ¨ar det”, ”Det h¨ar f¨orst˚ar jag”, ”Det h¨ar ¨ar ju sj¨alvklart”, ”Nej, det h¨ar f¨orst˚ar jag inte alls”. I det sistn¨amnda fallet b¨or du backa tillbaka, och l¨asa om stycket en g˚ang till. N¨ar du sedan kommit igenom texten, ja d˚a ¨ar du (och f¨orfattarna) att gratulera. D˚a har du verk- ligen f¨orst˚att! Bevisen ¨ar avsedda att fungera som en stege f¨or att n˚a h¨ogre h¨ojder; n¨ar man n˚att upp kan man kasta stegen, vilket i det h¨ar fallet skall tolkas som att gl¨omma detaljerna.

Trots f¨oreg˚aende styckes lovs˚ang till bevisens roll ¨ar ¨and˚a probleml¨osning

F¨orord ix

matematikinl¨arningens A och O. Som student b¨or du d¨arf¨or arbeta dig ige- nom s˚a m˚anga som m¨ojligt av de ¨ovningsuppgifter som avslutar avsnitten.

N˚agra uppgifter kr¨aver att man anv¨ander sig av en dator, och dessa har markerats med bokstaven d. Framg˚ang i probleml¨osandet ¨ar ett kvitto p˚a att man tillgodog¨or sig kursen.

F¨orfattarna

Kapitel 1

Lite av varje

N˚agonstans m˚aste man b¨orja och vad ¨ar l¨ampligare ¨an att b¨orja med en re- petition av n˚agra viktiga baskunskaper fr˚an tidigare skolkurser i matematik.

Det ger oss ocks˚a tillf¨alle att komplettera med lite nytt material.

1.1 R¨ akneregler

Vi l¨aser text fr˚an v¨anster till h¨oger, men matematik styrs av ett antal kon- ventioner som g¨or att man inte alltid utf¨or matematiska operationer i den ordningen. I exempelvis uttrycket 3 + 7 · 5 skall man utf¨ora multiplikationen f¨ore additionen med 38 som resultat. Detta beror p˚a konventionen att mul- tiplikation och division har h¨ogre prioritet ¨an addition och subtraktion. Om avsikten var att additionen av 3 och 7 skulle utf¨oras innan summan multipli- cerades med 5, s˚a m˚aste man ange detta med hj¨alp av parenteser genom att skriva (3 + 7) · 5. Uttryck inom parentes ber¨aknas f¨orst, och finns det flera parentesuttryck inuti varandra ber¨aknar man den innersta f¨orst.

Multiplikation och division har inb¨ordes samma prioritet, och detsamma g¨aller f¨or addition och subtraktion. Om flera operationer av samma prioritet f¨orekommer i f¨oljd, s˚a utf¨or man dem fr˚an v¨anster till h¨oger. Exempelvis ¨ar 6/2 · 3 lika med 3 · 3, dvs. 9, och inte lika med 1 (6/6). Vill man vara extra tydlig kan man alltid s¨atta ut parenteser − ett parentespar f¨or mycket g¨or inte n˚agon skada. D¨aremot kan det vara katastrofalt att utel¨amna n¨odv¨andiga parenteser. Var allts˚a noga med parenteserna och tappa inte bort dem under r¨akningarnas g˚ang!

Observera att minustecknet − anv¨ands i tv˚a betydelser: f¨or att bilda negativa tal som exempelvis −7 och f¨or subtraktion som i 9 − 3. De b˚ada betydelserna knyts samman av att −7 = 0 − 7, och rent allm¨ant ¨ar f¨orst˚as

−a = 0 − a f¨or alla reella tal a.

1

Det ¨ar naturligtvis viktigt att beh¨arska r¨akning med negativa tal. H¨ar f¨oljer de fundamentala reglerna:

−(−a) = a a + (−b) = a − b

(−a) · b = a · (−b) = −(a · b) (−a) · (−b) = a · b

Konkreta exempel p˚a ovanst˚aende regler ¨ar −(−7) = 7, 7 + (−9) = −2, 5 · (−7) = −35 och (−3)(−5) = 15.

Normalt utel¨amnar man produkttecknet · mellan tv˚a tal n¨ar s˚a kan ske utan missf¨orst˚and. Om a och b st˚ar f¨or tv˚a tal skriver man s˚aledes ab och 7a ist¨allet f¨or a · b respektive 7 · a.

R¨akneoperationerna addition och multiplikation kopplas samman genom f¨oljande s˚a kallade distributiva lag

(a + b)c = ac + bc.

Eftersom ordningen mellan faktorerna i en produkt ¨ar ov¨asentlig (liksom ordningen mellan termerna i en summa), ¨ar f¨orst˚as ocks˚a c(a + b) = ca + cb.

Genom att anv¨anda ovanst˚aende distributiva lag flera g˚anger kan man multiplicera ihop summor. Exempelvis ¨ar

(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd.

Ett viktigt specialfall ¨ar att de b˚ada parentesuttrycken ¨ar identiska; d˚a f˚ar man

(a+b)² = (a+b)(a+b) = (a+b)a+(a+b)b = aa+ba+ab+bb = a²+2ab+b². Detta resultat brukar kallas kvadreringsregeln.

Det finns ocks˚a en motsvarande kvadreringsregel f¨or differenser; genom att i uttrycket ovan byta talet b mot −b f˚ar man n¨amligen

(a − b)² = (a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)² = a²− 2ab + b².

Konjugatregeln bevisar man ocks˚a genom att multiplicera ihop paren- tesuttryck med hj¨alp av den distributiva lagen:

(a + b)(a − b) = aa − ab + ba − bb = a²− b².

Kvadreringsreglerna och konjugatregeln b¨or man absolut l¨ara sig utantill.

Vi sammanfattar dem d¨arf¨or i f¨oljande sats.

1.1 R¨akneregler 3

Sats 1 F¨oljande r¨akneregler g¨aller:

(a + b)² = a²+ 2ab + b² (f¨orsta kvadreringsregeln) (a − b)² = a²− 2ab + b² (andra kvadreringsregeln) (a + b)(a − b) = a²− b². (konjugatregeln)

Ovningar ¨

1.1 Ber¨akna

a) 4 · (9 − 2) − 3(5 − 7)/2 b) (2 − 9)(5 − 8) 1.2 F¨orkorta s˚a l˚angt som m¨ojligt

a) 24

36 b) 360

960

1.3 Tv˚a studenter, som ¨ar slarviga med att s¨atta ut parenteser, skriver a) 5 − 7 · 3 + 4 = −2 b) 5 − 7 · 3 + 4 = −44

Hj¨alp dem att f˚a r¨att svar genom att i vardera uttrycket s¨atta ut ett paren- tesbar p˚a l¨ampligt st¨alle.

1.4 F¨orenkla f¨oljande uttryck s˚a l˚angt som m¨ojligt a) 1/a + 1/b

1/ab b) (a²− b²)³

(a + b)²(a − b)⁴ c) (a/b − b/a)² (1/a + 1/b)² d) 1

a+1

b
(a²b − ab²).

1.5 Utveckla (a + b + c)² som en summa av termer.

1.6 Multiplicera ihop f¨oljande uttryck

a) (2x + 3)(2x − 3) b) (x − 3)(x²+ 3x + 9) 1.7 Faktorisera uttrycken

a) x²− 36 b) 4x²− 49 c) x²− 10x + 25

d) 4x²+ 4x + 1

1.2 Summor

Vi kommer ibland att beh¨ova bilda summor som inneh˚aller m˚anga termer, och f¨or den skull beh¨ovs det ett bekv¨amt s¨att att skriva s˚adana summor.

Antag att a1, a2, . . . , an ¨ar n stycken tal. D˚a representerar symbolen Pn i=1ai

summan av alla dessa tal, dvs.

n

X

i=1

ai = a1+ a2+ · · · + aⁿ.

Summationssymbolen P ¨ar en f¨orstorad version av den grekiska boksta- ven Σ (sigma), som i det latinska alfabetet motsvaras av S, f¨orsta bokstaven i summa. Bokstaven i i uttrycketPn

i=1ai kallas summationsindex och kan bytas mot vilken annan bokstav som helst.

Exempel 1 Antag att vi vill ha ett uttryck f¨or summan av de 7 f¨orsta kvadrattalen 1, 4, 9, 16, 25, 36 och 49. D˚a beh¨over vi f¨orst en allm¨an formel f¨or kvadrattalen, och den ¨ar f¨orst˚as i² eftersom 1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², osv.

De sju aktuella kvadrattalen f˚ar vi genom att l˚ata i vara 1, 2, . . . , 7. Summan kan s˚aledes skrivas

7

X

i=1

i².

Vill vi ist¨allet betrakta de 100 f¨orsta talen ¨ar det bara att skriva

100

X

i=1

i².

Summationen i ett summa beh¨over inte n¨odv¨andigtvis starta fr˚an i = 1.

Summan av kvadrattalen fr˚an och med 64 (= 8²) till och med 10000 (= 100²) kan vi s˚aledes skriva som

100

X

i=8

i².

Ibland, n¨ar det ¨ar sj¨alvklart mellan vilka gr¨anser summationen skall g˚a, bryr man sig inte om att skriva ut summationsgr¨anserna. Givet n tal som skall summeras kan man skrivaP ai ist¨allet f¨or Pn

i=1ai f¨or att spara plats i formler.

Med det (aritmetiska) medelv¨ardet a av n stycken tal a₁, a₂, . . . , a_n menas talens summa dividerat med antalet tal. Med hj¨alp av summasymbolen kan vi skriva detta som

a = 1 n

n

X

i=1

ai.

1.3 Andragradsekvationen 5

Ovningar ¨

1.8 Skriv f¨oljande summor utan summationssymbol och ber¨akna dem a)

5

X

k=1

k(k − 1) b)

6

X

i=3

i c)

10

X

k=1

1 k − 1

k + 1

1.9 Skriv f¨oljande summor med hj¨alp av summationssymbolen

a) 1 + ¹₂+¹₃ + · · · +_n¹ b) 2³+ 4³+ 6³+ 8³+ 10³ 1.10 Ber¨akna medelv¨ardet av talen 3, 7, 10, 12 och 13.

1.3 Andragradsekvationen

Utg˚a fr˚an kvadreringsregeln

x² + 2ax + a² = (x + a)²

och flytta ¨over termen a² till h¨ogerledet. Detta resulterar i likheten x²+ 2ax = (x + a)²− a².

Byt sedan ut a mot a/2 samt addera b till b˚ada sidor och vi har erh˚allit identiteten

(1.1) x²+ ax + b = (x + a/2)²− a²/4 + b.

Denna metod att skriva om ett andragradspolynom i variabeln x som summan av kvadraten p˚a en linj¨ar term och ett tal kallas f¨or kvadratkom- plettering och ¨ar en teknik som kommer till anv¨andning i m˚anga samman- hang. H¨ar f¨oljer ett exempel.

Exempel 2 Vi skall l¨osa ekvationen

x²+ 6x + 4 = 0

och antar att vi inte kan l¨osningsformeln f¨or andragradsekvationens r¨otter.

Med hj¨alp av kvadratkomplettering skriver vi om ekvationens v¨ansterled som x²+ 6x + 4 = x²+ 2 · 3x + 4 = x²+ 2 · 3x + 3²− 3²+ 4

= (x + 3)²− 3²+ 4 = (x + 3)²− 5.

V˚ar ursprungliga ekvation kan d¨arf¨or skrivas p˚a formen (x + 3)²− 5 = 0,

och ¨overflyttning av femman till h¨ogerledet samt kvadratrotsutdragning ger nu

(x + 3)² = 5 x + 3 = ±√

5 x = −3 ±√

5.

Ekvationen har med andra ord de tv˚a r¨otterna −3 +√

5 och −3 −√ 5.

Metoden i f¨oreg˚aende exempel fungerar generellt och ger oss formeln f¨or andragradsekvationens r¨otter. En allm¨an andragradsekvation har formen

Ax²+ Bx + C = 0,

men genom att f¨orst dividera ekvationen med koefficienten A f¨or x²-termen kan vi alltid ¨overf¨ora en s˚adan ekvation till formen

x²+ ax + b = 0

(med a = B/A och b = C/A). Med hj¨alp av likheten (1.1) reduceras sedan ekvationen till

(x + a/2)²− a²/4 + b = 0

Overflyttning av termer till h¨ogerledet ger nu forts¨attningsvis¨ (x + a/2)²= a²/4 − b

x + a/2 = ±pa²/4 − b

x = −a/2 ±pa²/4 − b.

Sammanfattningsvis har vi d¨armed h¨arlett f¨oljande resultat.

Sats 2 Andragradsekvationen x² + ax + b = 0 har r¨otterna

x = −a/2 −pa²/4 − b och x = −a/2 +pa²/4 − b.

Ovningar ¨

1.11 Skriv om f¨oljande uttryck med hj¨alp av kvadratkomplettering a) x²− 10x b) x²+ 4x + 5 c) x²+ x + 1

1.4 Absolutbeloppet 7

1.12 L¨os f¨oljande andragradsekvationer

a) x²− 4x + 3 = 0 b) x²− 2x − 3 = 0 c) 6x²− 5x + 1 = 0 d) (x + 2)(x − 3) = 0 e) x²+ 10x + 25 = 0.

1.13 L¨os ekvationen x²− 4x − 5 = 0. Skriv d¨arefter x²− 4x − 5 som en produkt av tv˚a f¨orstagradsfaktorer.

1.14 L¨os ekvationen 6x²+ x −1 = 0 och skriv d¨arefter 6x²+ x −1 som en produkt av f¨orstagradsfaktorer.

1.4 Absolutbeloppet

Med absolutbeloppet |a| av ett reellt tal menas talet a sj¨alvt ifall det

¨ar positivt eller noll, och talet −a ifall det ¨ar negativt. Med formler lyder definitionen s˚a h¨ar:

|a| =

( a om a ≥ 0,

−a om a < 0.

Exempelvis ¨ar allts˚a |13| = 13, |0| = 0 och | − ¹₂| = ¹₂.

Exempel 3 Om x ¨ar ett tal och vi vet att |x| = 3, s˚a ¨ar x antingen lika med 3 eller lika med −3. Olikheten |x| > 3 ¨ar uppfylld f¨or alla positiva tal x som ¨ar st¨orre ¨an 3 och f¨or alla negativa tal x som ¨ar mindre ¨an −3. Och olikheten |x| < 3 g¨aller f¨or alla x i intervallet −3 < x < 3.

Generellt g¨aller att om d ¨ar ett positivt tal, s˚a ¨ar

|x| = d detsamma som x = d eller x = −d;

|x| > d detsamma som x > d eller x < −d;

|x| < d detsamma som −d < x < d.

F¨or absolutbeloppet av en produkt ab av tv˚a tal g¨aller att

|ab| = |a||b|.

Exempelvis ¨ar |(−3) · 5| = | − 15| = 15 = 3 · 5 = | − 3||5|.

Notera i detta sammanhang att beloppet av en summa inte alltid ¨ar lika med summan av beloppen. Detta visas till exempel av att

|7 + (−9)| = | − 2| = 2

|7| + | − 9| = 7 + 9 = 16.

D¨aremot g¨aller alltid den s. k. triangelolikheten

|a + b| ≤ |a| + |b|.

Vi f˚ar, som l¨asaren l¨att kan kontrollera, likhet i triangelolikheten n¨ar a och b har samma tecken, dvs. n¨ar b˚ada talen ¨ar positiva eller b˚ada ¨ar negativa, och n¨ar ett av talen ¨ar noll. Om a och b har olika tecken r˚ader str¨ang olikhet i triangelolikheten.

Ovningar ¨

1.15 F¨or vilka tal x ¨ar

a) |x − 3| = 2 b) |x − 3| = 7 c) |x − 1| < 5

d) |x − 8| ≥ 2 e) |3x − 9| = 6 f) |x + 1| + |x − 1| = 6?

1.5 Komplexa tal

Komplexa tal spelar visserligen bara en marginell roll i den h¨ar boken, men det h¨or till allm¨anbildningen att veta lite om dem, och de kommer att dyka upp i kapitlet om egenv¨arden. D¨arf¨or g˚ar vi h¨ar mycket kortfattat igenom hur man r¨aknar med dem.

F¨or alla reella tal a utom talet 0 ¨ar kvadraten a² ett positivt tal. D¨arf¨or saknar exempelvis andragradsekvationen x² = −3 reella l¨osningar, och f¨olj- aktligen existerar inte heller kvadratroten √

−3 som reellt tal. Matematiker tycker emellertid inte om undantag − alla andragradsekvationer (och ekva- tioner av h¨ogre grad) skall ha l¨osningar, och finns det inga reella s˚adana

˚aterst˚ar det bara att f¨ors¨oka utvidga talbegreppet s˚a att ekvationerna f˚ar l¨osningar med hj¨alp av de nya talen.

Det visar sig finnas en enkel l¨osning p˚a problemet; man inf¨or en ny symbol i med egenskapen att

(1.2) i² = −1

och deklarerar sedan att alla uttryck av typen a + bi, d¨ar a och b ¨ar reella tal, ¨ar nya tal. Som r¨akneregler f¨or addition, subtraktion, multiplikation och division f¨or dessa nya komplexa tal anv¨ander man samma regler som g¨aller f¨or reella tal kompletterade med regeln (1.2).

Detta betyder att exempelvis

(2 + 3i) + (4 − 5i) = 2 + 4 + 3i − 5i = 6 − 2i och (2 + 7i)(3 + 5i) = 2 · 3 + 2 · 5i + 7i · 3 + 7 · 5i²

= 6 + 10i + 21i + 35(−1) = 6 − 35 + 31i = −29 + 31i.

1.5 Komplexa tal 9

Allm¨ant ¨ar

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i och

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Det komplexa talet a − bi s¨ages vara konjugerat till det komplexa talet a + bi. En konsekvens av konjugatregeln ¨ar att

(a + bi)(a − bi) = a²− b²i² = a²+ b²,

dvs. produkten av tv˚a konjugerade komplexa tal ¨ar ett reellt tal (och positivt utom i fallet a = b = 0). Detta faktum anv¨ander man f¨or att ber¨akna kvoten av tv˚a komplexa tal − man f¨orl¨anger helt enkelt det aktuella br˚aket med n¨amnarens konjugat som f¨oljande exempel visar

Exempel 4 10 + 5i

3 + 4i = (10 + 5i)(3 − 4i)

(3 + 4i)(3 − 4i) = 10 · 3 − 10 · 4i + 5 · 3i − 5 · 4i² 3²+ 4²

= 30 − 40i + 15i + 20

25 = 50 − 25i

25 = 50 25− 25

25i = 2 − i.

De komplexa talen kan ges en mycket konkret geometrisk tolkning som punkter eller som vektorer i ett plan, det komplexa talplanet. I planet inf¨or vi ett vanligt r¨atvinkligt koordinatsystem och kallar den horisontella axeln f¨or reella axeln och den vertikala axeln f¨or imagin¨ara axeln. P˚a den reella axeln avs¨atter vi p˚a vanligt s¨att de reella talen, medan vi p˚a den imagin¨ara axeln v¨aljer talet i som enhet och avs¨atter talen bi. Detta g¨or att vi nu kan identifiera det komplexa talet a + bi med punkten med koordinaterna (a, b) alternativt med vektorn fr˚an origo till denna punkt. Se figur 1.1.

...

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ..

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

.. ........ ........ ........ ........ ........ . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

reella axeln imagin¨ara axeln

•

•

•

•

3 + 2 i 1 + 2 i

4 + 4 i

i · (1 + 2i)

. .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . ..................... .. ....................

.. .

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..

. .. . .....................................................................................................................................................................................................................

. . . .

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ....................................................................................................................................................................................................

.. . .. . . . .. . . .. . . .. . . ..

.. . .

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . ................. . ...................... ......................

Figur 1.1. Komplexa talplanet: Illustration av addition och multiplikation med talet i.

I det komplexa talplanet svarar addition av komplexa tal mot vanlig vek- toraddition. Tolkningen av multiplikation ¨ar n˚agot mer komplicerad, men multiplikation med i svarar mot 90 graders vridning kring origo.

L¨angden av vektorn fr˚an origo till punkten med koordinaterna (a, b) ¨ar lika med √

a²+ b²; denna l¨angd kallas f¨or beloppet av det komplexa talet a + bi och betecknas |a + bi|.

Genom inf¨orandet av komplexa tal blir varje ekvation x² = c l¨osbar − f¨or negativa reella tal c f˚ar ekvationen r¨otterna ±√

−c i. Formeln f¨or en allm¨an andragradsekvations r¨otter fungerar d¨arf¨or ocks˚a ¨aven i de fall d˚a talet un- der rottecknet ¨ar negativt. Varje andragradsekvation har s˚aledes tv˚a r¨otter (f¨orutsatt att vi r¨aknar eventuella dubbelr¨otter tv˚a g˚anger).

Exempel 5 Ekvationen x²+ 4x + 7 = 0 har r¨otterna x = −2 ±√

2²− 7 =

−2 ±√

−3 = −2 ±√ 3 i.

Att varje andragradsekvation blir l¨osbar ¨ar en direkt f¨oljd av definitionen i² = −1 och s¨attet att definiera de komplexa talen. Mirakul¨ost nog f˚ar ocks˚a alla algebraiska ekvationer av h¨ogre grad l¨osningar. Beviset f¨or att s˚a ¨ar fallet

¨ar emellertid l˚angt ifr˚an trivialt och faller utanf¨or ramen f¨or den h¨ar kursen.

Ovningar ¨

1.16 Ber¨akna

a) (3 + 4i)(5 − 2i) b) (4 − 3i)² c) 1 + i

1 − i d) |3 + 4i|

1.17 L¨os ekvationen x²− 6x + 25 = 0.

1.6 R¨ ata linjens ekvation

I det h¨ar avsnittet skall vi repetera hur man beskriver r¨ata linjer analytiskt.

Vi f¨oruts¨atter att vi har ett givet plant koordinatsystem och betraktar linjer som ligger i koordinatplanet. Vi m˚aste till att b¨orja med s¨arskilja tv˚a fall − linjer som ¨ar parallella med y-axeln och linjer som inte ¨ar det.

En linje som ¨ar parallell med y-axeln karakteriseras av att dess punkter har samma x-koordinat. Linjer som ¨ar parallella med y-axeln best˚ar d¨arf¨or av alla punkter vars koordinater (x, y) satisfierar en ekvation av typen

(1.3) x = a,

vilket vi kallar den aktuella linjens ekvation.