9.3 Egenv¨arden
L˚at oss ˚aterv¨anda till en fr˚aga som blev h¨angande i luften i avsnitt 9.1. D¨ar plockade vi f¨or matrisen
A =2,5 −1,5
0,5 0,5
fram tv˚a tal λ1 och λ2 och tv˚a motsvarande kolonnvektorer v1 och v2 med egenskapen att Av1 = λ1v1 och Av2 = λ2v2. Vi kunde sedan utnyttja detta f¨or att best¨amma Anv f¨or en (godtycklig) vektor v. Nu skall vi f¨orklara hur vi hittade de magiska talen och vektorerna.
Definition L˚at A vara en godtycklig kvadratisk matris. Ett tal λ kallas ett egenv¨arde till matrisen A om det finns en vektor v, som inte ¨ar nollvektorn, s˚a att Av = λv, och varje nollskild vektor v med den egenskapen kallas en egenvektor.
F¨or att best¨amma eventuella egenv¨arden och egenvektorer skall vi s˚aledes l¨osa ekvationen
Av = λv,
som vi kan skriva som Av = λEv, d¨ar som vanligt E betecknar enhetsmatri-sen av samma ordning som A. Genom att flytta ¨over alla termer till en sida f˚ar vi den ekvivalenta ekvationen
(9.2) (λE − A)v = 0.
Detta ¨ar ett homogent linj¨art ekvationssystem, och talet λ ¨ar tydligen ett egenv¨arde om och endast om systemet har en icke-trivial l¨osning v, dvs. en l¨osning som inte best˚ar av idel nollor. Fr˚an sats 3 i f¨oreg˚aende avsnitt vet vi n¨ar s˚a ¨ar fallet; det n¨odv¨andiga och tillr¨ackliga villkoret ¨ar att matrisens determinant ¨ar lika med noll.
Vi hittar allts˚a egenv¨ardena till matrisen A genom att l¨osa ekvationen det(λE − A) = 0.
Detta ¨ar en algebraisk ekvation av grad n som kallas den karakteristiska ekvationen till matrisen A. Sj¨alva polynomet
p(λ) = det(λE − A) kallas matrisens karakteristiska polynom.
En ekvation av grad n har som bekant h¨ogst n stycken olika r¨otter, och vissa eller alla kan vara komplexa. Om man r¨aknar varje eventuell dubbelrot
tv˚a g˚anger, varje eventuell trippelrot tre g˚anger, osv., s˚a har den karakteris-tiska ekvationen exakt n stycken r¨otter.
Slutsatsen blir f¨orst˚as att varje kvadratisk matris av ordning n har h¨ogst n stycken olika egenv¨arden. Motsvarande egenvektorer f˚as genom att l¨osa det homogena ekvationssystemet (9.2).
Exempel 3 F¨or matriser
A =a11 a12 a21 a22 av ordning 2 ¨ar λE − A = λ1 00 1 −aa11 a12 21 a22 = λ − a11 −a12 −a21 λ − a22
Matrisens karakteristiska polynom ¨ar d¨arf¨or p(λ) = λ − a11 −a12 −a21 λ − a22 = ( λ − a11)(λ − a22) − a12a21 = λ2 − (a11+ a22)λ + a11a22− a12a21,
vilket som synes ¨ar ett andragradspolynom. F¨or den speciella matrisen
A =2,5 −1,5
0,5 0,5
blir p(λ) = λ2−(2,5+0,5)λ+2,5·0,5+1,5·0,5 = λ2−3λ+2, och r¨otterna till den karakteristiska ekvationen p(λ) = 0 ¨ar, som man l¨att verifierar, λ1 = 2 och λ2 = 1. Detta ¨ar med andra ord matrisens egenv¨arden.
F¨or att best¨amma egenvektorerna till det f¨orsta egenv¨ardet skall vi l¨osa ekvationssystemet (2E − A)x = 0. P˚a schematiskt form blir detta
2 − 2,5 1,5 0 −0,5 2 − 0,5 0 −0,5 1,5 0 −0,5 1,5 0 1 −3 0 0 0 0 .
9.3 Egenv¨arden 173 Det sista schemat svarar mot ekvationen x1 − 3x2 = 0, s˚a l¨osningen har formen x2 = t, x1 = 3t. Egenvektorerna som h¨or till egenv¨ardet λ1 = 2 har d¨arf¨or formen x1 x2 =3t t = t3 1 , dvs. samtliga ¨ar en multipel av vektorn
v1 =3 1
,
och f¨or t = 10 f˚ar vi speciellt den vektor som figurerade i exempel 1.
P˚a motsvarande s¨att f˚ar vi egenvektorerna som h¨or ihop med egenv¨ardet λ2 = 1 genom att l¨osa ekvationen (E − A)x = 0 med motsvarande koeffient-schema 1 − 2,5 1,5 0 −0,5 1 − 0,5 0 −1,5 1,5 0 −0,5 0,5 0 1 −1 0 0 0 0 .
Den allm¨anna l¨osningen till detta system har formen x1 = x2 = t, vilket betyder att egenvektorerna har formen tv2, d¨ar
v2 =1 1
.
F¨or t = 10 f˚ar vi den vektor som anv¨andes i exempel 1.
Vi sammanfattar de viktigaste egenskaperna f¨or egenv¨arden och egenvek-torer i f¨oljande sats, som vi inte bevisar.
Sats 5 L˚at A vara en kvadratisk matris av ordning n.
(a) Egenv¨ardena till matrisen A f˚as som r¨otter till den karakteristiska ek-vationen det(λE − A) = 0, som ¨ar en algebraisk ekvation av grad n. Matrisen har d¨arf¨or h¨ogst n stycken olika egenv¨arden.
(b) Egenvektorerna som h¨or ihop med ett egenv¨arde λ f˚as som l¨osningar till det homogena linj¨ara ekvationssystemet (λE − A)x = 0.
(c) Om λ ¨ar ett enkelt egenv¨arde, dvs. en enkelrot till den karakteristiska ekvationen, s˚a ¨ar alla motsvarande egenvektorer multipler av en enda vektor v. (Man brukar uttrycka detta genom att s¨aga att egenrummet ¨ar endimensionellt.)
(d) Om matrisen har n stycken olika egenv¨arden och om v1, v2, . . . , vn ¨ar egenvektorer som h¨or till olika egenv¨arden, s˚a ¨ar varje vektor v en linj¨ar-kombination av dessa egenvektorer, dvs. det finns koefficienter α1, α2, . . . , αn s˚a att
v = α1v1+ α2v2+ · · · + αnvn.
Om man bildar en matris genom att skriva vektorerna v1, v2, . . . , vn som kolonner s˚a blir denna matris inverterbar.
Exempel 4 Vi illustrerar p˚ast˚aende (d) i satsen ovan f¨or matrisen A i f¨oreg˚aende exempel, vars egenv¨arden vi fann vara 2 och 1. Motsvarande egen-vektorer har formen tv1 och tv2, d¨ar
v1 =3 1 och v2 =1 1 . L˚at v =b1 b2
vara en godtycklig vektor; f¨or att skriva v som en linj¨arkombination av vektorerna v1 och v2 skall vi best¨amma koefficienterna α1 och α2 s˚a att α1v1 + α2v2 = v, och detta ¨ar tydligen detsamma som att l¨osa det linj¨ara ekvationssystemet
3α1+ α2= b1
α1+ α2= b2
som har matrisen
C =3 1
1 1
som koefficientmatris. Observera att matrisens kolonner best˚ar av egenvek-torerna v1 och v2. Eftersom det C = 3 · 1 − 1 · 1 = 2 6= 0, har det linj¨ara ekvationsssystemet en unik l¨osning f¨or varje h¨ogerled v, dvs. koefficienterna α1 och α2 ¨ar entydigt best¨amda. Det f¨oljer ocks˚a att matrisen C ¨ar inverter-bar; inversen ¨ar
C−1 = 0,5 −0,5 −0,5 1,5 .
Varf¨or ¨ar det nu s˚a intressant att kunna skriva en godtycklig vektor v som en linj¨arkombination
9.3 Egenv¨arden 175 av egenvektorer? Jo, om Avi = λivi, s˚a ¨ar ju
A2vi = A(Avi) = A(λivi) = λiAvi = λi(λi)vi = λ2ivi A3vi = A(A2vi) = A(λ2 ivi) = λ2 iAvi = λ2 i(λi)vi = λ3 ivi ... Akvi = λkivi,
f¨or i = 1, 2, . . . , n, och f¨oljaktligen ¨ar
Akv = α1Akv1+ α2Akv2+ · · · + αnAkvn = α1λk1v1 + α2λ2kv2+ · · · + αnλknvn. (9.3)
Vi kan allts˚a enkelt ber¨akna Akv f¨or godtyckliga naturliga tal k. Innan vi forts¨atter beh¨over vi en definition.
Definition Ett egenv¨arde λ till en matris A kallas dominant om egen-v¨ardets belopp ¨ar st¨orre ¨an eller lika med alla andra egenv¨ardens belopp, dvs. om olikheten |λ| ≥ |λ| g¨aller f¨or alla egenv¨arden λ (som f˚ar vara komplexa). Egenv¨ardet λ kallas strikt dominant om dess belopp ¨ar strikt st¨orre ¨an alla andra egenv¨ardens belopp, dvs. om |λ| > |λ| f¨or alla andra egenv¨arden λ till A.
Antag nu att egenv¨ardet λ1 ¨ar strikt dominant. D˚a ¨ar |λi/λ1| < 1 f¨or alla andra egenv¨arden λi, och det f¨oljer att (λi/λ1)k → 0 n¨ar k → +∞. Om vi skriver ekvationen (9.3) p˚a formen
Akv = λk1 α1v1+ α2(λ2/λ1)kv2+ · · · + αn(λn/λ1)kvn,
s˚a g˚ar s˚aledes alla termerna inom parentesen i h¨ogerledet utom den f¨orsta mot 0 d˚a k g˚ar mot o¨andligheten. F¨or stora v¨arden p˚a k kan vi d¨arf¨or f¨orsumma dessa termer j¨amf¨ort med den f¨orsta termen α1v1, f¨orutsatt att α1 6= 0, och vi drar d¨arigenom slutsatsen att
Akv ≈ α1λk1v1
f¨or stora v¨arden p˚a k. F¨or alla vektorer v som har n˚agon v1-komponent (α1 6= 0) ¨ar med andra ord vektorn Akv n¨astan proportionell mot egenvektorn v1 (om k ¨ar stort).
Exempel 5 Vi forts¨atter v˚ar diskussion av exempel 3. F¨or vektorn v =100
10
g¨aller att v = 45v1− 35v2. F¨oljaktligen ¨ar Akv = 45 · 2kv1− 35v2 f¨or alla k. Eftersom egenv¨ardet λ1 = 2 ¨ar strikt dominant, ¨ar Akv ≈ 45 · 2kv1 f¨or stora v¨arden p˚a k.
Med hj¨alp av egenvektorer kan man ocks˚a diagonalisera matriser. Vad detta inneb¨ar framg˚ar av f¨oljande exempel.
Exempel 6 F¨or matriserna A och C i exempel 3 och 4 bildar vi produkten C−1AC: C−1AC = 0,5 −0,5 −0,5 1,5 2,5 −1,5 0,5 0,5 3 1 1 1 = 0,5 −0,5 −0,5 1,5 6 1 2 1 =2 0 0 1 . Produkten ¨ar en diagonalmatris med egenv¨ardena till A som diagonalelement. Resultatet i f¨oreg˚aende exempel ¨ar inte n˚agon tillf¨allighet. Allm¨ant g¨aller f¨oljande resultat.
Sats 6 L˚at A vara en kvadratisk matris med egenv¨arden λ1, λ2, . . . , λn och motsvarande egenvektorer v1, v2, . . . , vn. Bilda matrisen C genom att skriva egenvektorerna v1, v2, . . . , vn som kolonner och antag att matrisen C ¨ar in-verterbar (vilket s¨akert g¨aller om egenv¨ardena ¨ar olika). L˚at vidare D vara diagonalmatrisen med egenv¨ardena λ1, λ2, . . . , λn som sina diagonalelement. D˚a ¨ar
C−1AC = D och A = CDA−1.
Bevis. Matrisen C har allts˚a formen
C =v1 v2 . . . vn .
Nu erinrar vi oss att man f˚ar matrisprodukten AC genom att i tur och ordning multiplicera varje kolonn i matrisen C med matrisen A, dvs.
AC =Av1 Av2 . . . Avn .
Men enligt definitionen av egenv¨arde och egenvektor ¨ar Avi = λivi, s˚a pro-dukten ovan f¨orenklas till
AC =λ1v1 λ2v2 . . . λnvn . Multiplicera nu ihop matrisen C med diagonalmatrisen
D = λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . λn
9.3 Egenv¨arden 177 i ordningen CD. Man erh˚aller denna produkt genom att multiplicera den f¨orsta kolonnen i C med λ1, den andra kolonnen i C med λ2, osv., vilket betyder att
CD =λ1v1 λ2v2 . . . λnvn . S˚aledes ¨ar
AC = CD,
och om vi multiplicerar b˚ada sidorna i denna likhet fr˚an v¨anster med C−1
f˚ar vi
C−1AC = C−1CD = ED = D. Multiplikation fr˚an h¨oger ger ist¨allet A = CDC−1.
En kvadratisk matris A kallas diagonaliserbar om det finns en inverter-bar matris C och en diagonalmatris D s˚a att A = CDC−1. Satsen ovan ger d¨arf¨or ett villkor f¨or diagonaliserbarhet.
Ett sk¨al att diagonalisera matriser ¨ar att det ger ett enkelt s¨att att ber¨akna potenser; om A = CDC−1, s˚a ¨ar n¨amligen
Ak = CDC−1CDC−1· · · CDC−1 = CDEDE · · · EDC−1
= CDD · · · DC−1 = CDkC−1,
och att ber¨akna potenser av en diagonalmatris D ¨ar trivialt; f¨or en dia-gonalmatris D med diagonalelementen d1, d2, . . . , dn ¨ar potensen Dk en ny diagonalmatris med diagonalelementen dk
1, dk 2, . . . , dk n. Exempelvis ¨ar −1 0 0 2 7 =(−1)7 0 0 27 =−1 0 0 128 .
¨
Ovningar
9.2 Ber¨akna egenv¨arden och egenvektorer till matrisen 1 2
4 3
.
Kan varje vektor skrivas som en linj¨arkombination av egenvektorer? Ber¨akna A4v f¨or v = 5
1
. Best¨am ocks˚a en matris C s˚a att matrisen C−1AC blir diagonal.
9.3 Best¨am egenv¨arden och egenvektorer till matrisen 0 −1
1 0
9.4 Best¨am egenv¨arden och egenvektor till matrisen 2 4
0 2
.
Kan varje vektor skrivas som en linj¨arkombination av egenvektorer? 9.5 Best¨am egenv¨arden och egenvektor till matrisen
2 4 3 0 1 2 0 0 4 .