c) Efter hur m˚anga generationer har antalet lejon vuxit till 130 individer? d) Efter ett antal generationer, n¨ar populationen vuxit till maximala 150 lejon intr¨affar en pl¨otslig minskning i systemets b¨arkraft till 100 individer p˚a grund av habitatf¨orst¨oring. Unders¨ok hur detta p˚averkar populationen genom att studera differensekvationen med K = 100 och x0= 150.
4.10 Visa att den allm¨anna l¨osningen till differensekvationen xn+1 = 3xn+ 2n
har formen xn= A3n+ a2n, d¨ar konstanten A ¨ar godtycklig och konstanten a ¨ar entydigt best¨amd. Vad ¨ar a? Best¨am vidare A om x0 = 4.
4.11 Generalisera f¨oreg˚aende problem genom att visa att den allm¨anna l¨osningen till differensekvationen
xn+1 = cxn+ bn,
d¨ar b 6= c, har formen xn= Acn+ abn, d¨ar konstanten a ¨ar entydigt best¨amd och konstanten A ¨ar godtycklig.
4.5 Linj¨ara differensekvationer av andra
ord-ningen
V¨axtriket h¨or till det mest fascinerande n¨ar det g¨aller m¨onster och mate-matiska uppenbarelser. Det finns t. ex. matemate-matiska m¨onster i hur l¨ov ¨ar ordnade i f¨orh˚allande till varandra upp¨over stammen och hur kronblad ¨ar arrangerade runt blomman. V¨axtv¨arlden kan s¨agas ha l˚anat strukturer fr˚an fysiken och de uppenbarar sig i huvudsak i enlighet med originalstrukturen. De matematiska aspekterna av v¨axter har varit k¨anda under l˚ang tid. D’Arcy Thompson s˚ag klar den s¨aregna numerologin i v¨axtv¨arlden och att den hade konsekvenser f¨or v¨axtutvecklingens biologi. Tack vare samtida ar-beten i dynamik har vi nu en ganska klar bild av vad som ing˚ar i en s˚adan biologi. Och vi f¨oljer en v¨aletablerad tradition, som kan sp˚aras tillbaka til Leonardo da Vinci och mycket v¨al kan ha r¨otter hos de antika egyptierna. Thompson observerade att v¨axtv¨arlden har en egendomlig f¨ork¨arlek f¨or spe-ciella tal och spiralgeometrier och att talen och geometrierna var n¨ara sam-manl¨ankade. Man kan notera att de tal som dyker upp i v¨axter − kronblad, foderblad och andra egenskaper − p˚afallande ofta kan h¨arledas till talf¨oljden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. I denna f¨oljd ¨ar varje tal summan av de tv˚a f¨oreg˚aende talen. De flesta undantagen till detta ¨ar antingen att talen
dubbleras eller att ursprunget ¨ar en annan f¨oljd 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, som uppvisar samma additiva m¨onster men som b¨orjar med andra tal.
De givna f¨oljderna satisfierar rekursionssambandet xn+2 = xn+1+ xn
som ¨ar en linj¨ar differensekvation av andra ordningen. Den f¨oljd som f˚as genom att starta med x0 = x1 = 1 kallas Fibonaccif¨oljden.2
F¨or oss ¨ar Fibonaccif¨oljden ett motiv att utveckla en l¨osningsmetod f¨or homogena linj¨ara differensekvationer av ordning 2. Betrakta f¨or den skull en allm¨an s˚adan ekvation:
(4.7) xn+2 = axn+1+ bxn, n = 0, 1, 2, . . .
Differensekvationens l¨osning kommer naturligtvis att bero av vilka startv¨ar-den vi ger x0 och x1, men om dessa ¨ar givna s˚a ¨ar l¨osningen entydigt best¨amd.
Vi b¨orjar med att konstatera att om (x′
n) och (x′′
n) ¨ar tv˚a f¨oljder som uppfyller ekvationen (4.7), s˚a kommer ocks˚a den sammansatta f¨oljden
xn= Ax′
n+ Bx′′ n
att vara en l¨osning till ekvationen f¨or varje val av konstanterna A och B. F¨or att verifiera detta beh¨over vi bara s¨atta in den nya f¨oljden i h¨ogerledet av ekvation (4.7); efter omgruppering av termerna f˚ar vi
axn+1+ bxn = a(Ax′n+1+ Bx′′n+1) + b(Ax′n+ Bx′′n)
= A(ax′n+1+ bx′n) + B(ax′′n+1+ b′′xn) = Ax′n+2+ Bx′′n+2 = xn+2,
vilket visar v˚art p˚ast˚aende.
Vi skall nu konstruera tv˚a speciella l¨osningsf¨oljder till differensekvationen. F¨or den skull betraktar vi andragradsekvationen
r2 = ar + b,
som kallas differensekvationens karakteristiska ekvation. Ekvationen har tv˚a r¨otter, som vi kallar r1 och r2. R¨otterna beh¨over naturligtvis inte vara reella − om de ¨ar komplexa s˚a har de formen r1 = α + iβ, r2 = α − iβ. Det kan ocks˚a h¨anda att ekvationen har en dubbelrot, dvs. att r1 = r2; i s˚a fall ¨ar r1 = r2 = a/2.
2
F¨oljden har f˚att sitt namn efter den italienske matematikern Leonardo av Pisa, som ¨
aven var k¨and under namnet Leonardo Fibonacci och levde ca 1170 – ca 1250. F¨oljden f¨orekommer som l¨osning till det s. k. kaninproblemet i verket Liber Abaci (1202). Leonardo introducerade de arabiska siffrorna och positionssystemet i Europa.
4.5 Linj¨ara differensekvationer av andra ordningen 63 Det ¨ar nu enkelt att verifiera att f¨oljderna (rn1) och (r2n) ¨ar l¨osningar till differensekvationen (4.7). Ins¨attning av xn = rn
1 i ekvationens h¨ogerled ger oss n¨amligen:
axn+1+ bxn = arn+11 + brn1 = r1n(ar1+ b) = rn1 · r21 = rn+21 = xn+2, d¨ar vi i den tredje likheten utnyttjade att r1 ¨ar en rot till den karakteristiska ekvationen, dvs. att ar1+ b = r2
1.
Naturligtvis g¨aller motsvarande f¨or roten r2. Om de b˚ada r¨otterna ¨ar olika, s˚a har vi d¨armed tv˚a olika l¨osningar till differensekvationen, och av v˚art inledande resonemang f¨oljer d¨arf¨or att f¨oljden
xn= Ar1n+ Brn2
l¨oser differensekvationen (4.7) f¨or alla v¨arden p˚a konstanterna A och B. F¨or varje givet startv¨arde x0 och x1 kan vi vidare best¨amma konstanterna A och B s˚a att begynnelsevillkoren blir uppfyllda; konstanternas v¨arden f˚as genom att l¨osa ekvationssystemet
A + B = x0
Ar1+ Br2= x1
som har en unik l¨osning. D¨armed har vi konstruerat l¨osningen till differens-ekvationen i det fall d˚a den karakteristiska ekvationen har tv˚a skilda r¨otter. Om r¨otterna sammanfaller, fungerar inte ovanst˚aende ansats. Naturligtvis ¨ar f¨oljden (rn1) fortfarande en l¨osning till differensekvationen (4.7), men vi tj¨anar ingenting p˚a att blanda in f¨oljden (rn
2) − det ¨ar ju samma f¨oljd! Ist¨allet konstaterar vi att nu ¨ar ocks˚a f¨oljden (nrn
1) en l¨osning. Ins¨attning av xn = nrn 1
i v˚ar differensekvation ger n¨amligen
axn+1+ bxn = a(n + 1)rn+11 + bnr1n= r1n n(ar1 + b) + ar1 = rn
1(nr12+ ar1) = r1n(nr12+ 2r12) = (n + 2)rn+21 = xn+2,
d¨ar vi i tredje likheten fr˚an slutet utnyttjat att a = 2r1 i dubbelrotsfallet. I dubbelrotsfallet har d¨arf¨or den allm¨anna l¨osningen formen
xn= (An + B)r1n.
Vidare kan konstanterna A och B best¨ammas s˚a att begynnelsevillkoren ¨ar uppfyllda; de ¨ar l¨osningar till ekvationssystemet
B = x0
(Ett trivialt undantag ¨ar fallet r1 = r2 = 0, som svarar mot att xn+2= 0 f¨or alla naturliga tal n. D˚a ¨ar f¨orst˚as xn = 0 fr˚an och med n = 2, s˚a formeln xn = (An + B)rn
1 st¨ammer i detta fall f¨or n ≥ 2 oavsett v¨ardena p˚a A och B.)
Sammanfattningsvis har vi h¨arlett f¨oljande resultat. Sats 2 L¨osningen till differensekvationen
xn+2 = axn+1+ bxn
har om r1 och r2 betecknar r¨otterna till den karakteristiska ekvationen r2 = ar + b formen xn = ( Arn 1 + Brn 2 om r1 6= r2 (An + B)rn 1 om r1 = r2 6= 0
d¨ar konstanterna A och B ¨ar best¨amda av starv¨ardena p˚a x0 och x1.
Exempel 6 Vi anv¨ander sats 2 f¨or att l¨osa Fibonaccis klassiska differens-ekvation
xn+2 = xn+1+ xn
med startv¨ardena x0 = x1 = 1. Den karakteristiska ekvationen r2 = r + 1
har r¨otterna r1,2 = (1 ±√5)/2, s˚a l¨osningen har formen xn= A 1+√ 5 2 n + B 1−√5 2 n
med koefficienter best¨amda av begynnelsevillkoren A + B = 1 1+√ 5 2 A +1−√5 2 B = 1. Detta ekvationssystem har l¨osningen
A = 1+2√√5 5 och B = −1−2√√5 5 . F¨oljaktligen ¨ar xn= √1 5 1+√ 5 2 n+1 − 1−√5 2 n+1 .
Observera att roten r1 = 1+2√5 ≈ 1,618 ¨ar st¨orre ¨an 1, medan den andra roten r2 = 1−√5
2 ≈ −0,618 till beloppet ¨ar mindre ¨an 1. F¨oljaktligen g˚ar rn 1
4.5 Linj¨ara differensekvationer av andra ordningen 65 mot o¨andligheten, medan r2ng˚ar snabbt mot 0, d˚a n v¨axer mot o¨andligheten. Redan f¨or m˚attligt stora v¨arden p˚a n g¨aller d¨arf¨or med stor noggrannhet att
(4.8) xn ≈ √1 5 √ 5+1 2 n+1 ,
och f¨or alla v¨arden p˚a n ¨ar xn lika med potensen i h¨ogerledet avrundad till n¨armaste heltal! F¨oljden xn v¨axer med andra ord exponentiellt.
Om man ber¨aknar x10 med hj¨alp av (4.8) f˚ar man v¨ardet 88,998; det exakta v¨ardet ¨ar 89.
Talen √5+12 och √5−12 i Fibonaccil¨osningen har en intressant geometrisk egenskap. Betrakta en str¨acka av l¨angd 1 och dela den i tv˚a delar x och 1 − x p˚a ett s˚adant s¨att att hela str¨ackan f¨orh˚aller sig till den l¨angre x av de b˚ada delarna som den l¨angre delen till den kortare. Se figur 4.6. Detta ger oss ekvationen
1
x =
x 1 − x
dvs. efter f¨orenkling x2 + x − 1 = 0 med den positiva l¨osningen x = √5−1 2 . F¨orh˚allandet mellan den l¨angre delstr¨ackan och den kortare delstr¨ackan, dvs. 1/x, kallas det gyllene snittet och ¨ar lika med √5+12 . Detta delningsf¨or-h˚allande uppfattades av ren¨assanskonstn¨arerna som speciellt harmoniskt, och talet har m˚anga speciella talteoretiska egenskaper. Det ¨ar anm¨arkningsv¨art, men kanske inte speciellt konstigt, att talet realiseras av Moder Natur.
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 − x
Figur 4.6. Gyllene snittet 1/x = √5+12 .
¨
Ovningar
4.12 L¨os differensekvationen
xn+2= xn+1+ 2xn
med begynnelsev¨ardena x0 = 0, x1= 1. (Jmf. ¨ovning 4.3.) 4.13 L¨os Fibonaccis differensekvation
xn+2= xn+1+ xn
med begynnelsev¨ardena x0 = 1, x1 = 3. Anv¨and l¨osningen f¨or att uppskatta x100 och x1000.
4.14 L¨os differensekvationen
xn+2= −4xn
med begynnelsev¨ardena x0 = 1, x1= 2.
d4.15 Betrakta ett hypotetiskt djur med en livsl¨angd av tv˚a ˚ar och tio m˚anader och med f¨oljande reproduktionsegenskaper. Vid ett ˚ars ˚alder f˚ar honorna fyra ungar var och vid tv˚a ˚ars ˚alder tv˚a ungar var. H¨alften av ungarna ¨ar honor, och samtliga lever under hela den maximala livsl¨angden. Ber¨akna antalet levande avkommor av honk¨on om 25 ˚ar till en hona som f¨ods nu med hj¨alp av f¨oljande kalkyler, d¨ar xn betecknar antalet avkommor av honk¨on som f¨ods om n ˚ar, och ynbetecknar totala antalet avkommor av honk¨on som ¨
ar i livet om n ˚ar.
a) St¨all f¨orst upp en differensekvation f¨or xn. b) Uttryck yn med hj¨alp av talen i f¨oljden (xn).
c) Generera med hj¨alp av rekursionsformeln i a) och n˚agot dataprogram tillr¨ackligt m˚anga xn-v¨arden f¨or att kunna ber¨akna y25.
d) Best¨am ocks˚a som j¨amf¨orelse en explicit formel f¨or xn och anv¨and den f¨or att ber¨akna y25.