6.3 Linj¨ art kaos, hypercyklicitet och universalitet
6.3.1 Exempel: Rolewiczs operatorer
Vi p˚aminner att Rolewiczs operator T p˚a rummet lp, 1 ≤ p < ∞, f¨or skal¨aren λ ∈ K (d¨ar K ¨ar antingen R eller C) definieras som
T x = T (x0, x1, x2, . . .) = λ(x1, x2, x3, . . .)
f¨or x ∈ lp. Vi visade i Avsnitt 5.2.3 att operatorn ¨ar hypercyklisk, och vi kommer nu att visa att den dessutom ¨ar kaotisk (se [10], Example 2.32, s.
43).
F¨or att visa detta vill vi visa att m¨angden av periodiska punkter f¨or T
¨ar t¨at i lp. Elementet x ¨ar en periodisk punkt f¨or T om det existerar n˚agot s˚adant N ∈ N och s˚adana xk∈ K, k = 1, . . . , N att
x = (x1, . . . , xN, λ−Nx1, . . . , λ−NxN, λ−2Nx1, . . . , λ−2NxN, . . .).
D˚a har vi TkNx = x f¨or alla k ∈ N0.
Vi vill nu visa att vektorer av denna form bildar en t¨at m¨angd i lp. F¨or att g¨ora detta utg˚ar vi fr˚an den t¨ata m¨angd som inneh˚aller alla ¨andliga f¨oljder y = (y1, . . . yn, 0, 0, 0 . . .), n ∈ N och visar att vi kan approximera en godtycklig s˚adan f¨oljd med v˚ara periodiska punkter.
Vi l˚ater d¨arf¨or y vara som ovan och v¨aljer v˚ar periodiska punkt x p˚a f¨oljande vis:
x = (y1, . . . , yn, λ−ny1, . . . , λ−nyn, λ−2ny1, . . . , λ−2nyn, . . .).
Nu f˚ar vi:
||x − y||pp =
∞
X
j=1
|xj − yj|p
=
n
X
j=1
|yj− yj|p + |λ|−np
n
X
j=1
|yj|p+ |λ−2np|
n
X
j=1
|yj|p+ · · ·
=
∞
X
k=1
|λ|−knp||y||pp −→ 0 d˚a n → ∞.
Detta visar att vi kan approximera godtyckliga ¨andliga f¨oljder y med hj¨alp av periodiska punkter x, och d¨armed ¨ar m¨angden av periodiska punkter t¨at i lp.
Eftersom operatorn T ¨ar hypercyklisk och har en t¨at m¨angd av periodiska punkter har vi enligt definitionen att Rolewiczs operatorer ¨ar kaotiska.
Detta exempel avslutar avsnittet om kaosteori.
7 Avslutning
Vi har nu i stora drag behandlat fenomenet universalitet och visat en del av dess f¨orenklingar och till¨ampningar. Teorin och exemplen i Avsnitt 2 och 4 var relativt avancerade j¨amf¨ort med senare resultat, och m˚anga av resultaten i Avsnitt 5 kunde f¨orenklas med hj¨alp av teorin om topologisk transitivitet.
Detta uppl¨agg torde ¨and˚a ˚ask˚adligg¨ora hur teorin kan byggas upp p˚a olika vis.
Eftersom teorin bakom fenomenet universalitet ¨ar relativt ny finns det naturligtvis m˚anga ¨oppna fr˚agor och problem. I Grosse-Erdmanns artikel
”Universal families and hypercyclic operators” [9], skriven i slutet av 90-talet, n¨amns bland annat f¨oljande fr˚agor:
1. Satisfierar varje hypercyklisk vektor i ett Banachrum Hypercyklicitets-kriteriet (Sats 14)? Grosse-Erdmann n¨amner att matematikerna B`es och Peris har visat att det i F-rum g¨aller att varje kaotisk operator (se Definition 14) uppfyller kriteriet ([9], s. 355). Det har dock under 2000-talet visat sig att det existerar hypercykliska operatorer i Banachrum som inte satisfierar Hypercyklicitetskriteriet (se [2]).
2. Existerar det en kontinuerlig operator T p˚a n˚agot separerbart och o¨andlig-dimensionellt Hilbertrum X, s˚adan att varje vektor x 6= 0 ¨ar hypercyklisk f¨or T ? Vi p˚aminner att ett Hilbertrum ¨ar ett fullst¨andigt innerproduktrum, och d¨armed ¨aven ett Banachrum.
3. Existerar det en hypercyklisk operator i varje separerbara och o¨ andlig-dimensionella F-rum? ˚Ar 1996 visade S. Ansari att svaret ˚atminstone i varje separerbara och o¨andligdimensionella Banachrum ¨ar ja (se [1]).
Det ¨ar oklart om alla dessa fr˚agor besvarats fullst¨andigt under 2000-talet, och i och med att teorin utvecklas dyker naturligtvis m˚anga nya fr˚agor upp.
Med detta avslutar vi nu denna avhandling om universalitet. F¨or yt-terligare f¨ordjupning i ¨amnet kan vi speciellt n¨amna Karl-Goswin Grosse-Erdmanns ovan n¨amnda artikel [9], hans text ”Holomorphe Monster und universelle Funktionen” [11] och boken ”Linear Chaos” av Grosse-Erdmann och Alfred Peris Manguillot [10]. F¨or flera och mer f¨ordjupande exempel p˚a universalitet och hypercyklicitet kan vidare n¨amnas k¨allorna [1], [2], [3], [4], [7], [12], [13], [14], [17] och [18].
8 Bilaga: Definitioner och satser
I b¨orjan av avsnittet presenteras n˚agra allm¨anna definitioner som anv¨ands i avhandlingen, och d¨arefter presenteras ett antal n¨odv¨andiga satser utan bevis.
Definition 15 (Gδ- och Fσ-m¨angder). L˚at X vara ett topologiskt rum. D˚a
¨ar
1. en Gδ-m¨angd ett uppr¨akneligt snitt av ¨oppna m¨angder i X;
2. en Fσ-m¨angd en uppr¨aknelig union av slutna m¨angder i X.
Definitionen ¨ar formulerad enligt [30], men se ¨aven [20], Section 1.11 p˚a sidan 12.
Definition 16 (Cantors 1/3-funktion). Vi b¨orjar med att definiera den s˚a kallade Cantorm¨angden och betraktar intervallet I1 = [0, 1]. I konstruktio-nens f¨orsta steg sk¨ar vi bort den mittersta tredjedelen av intervallet och erh˚aller m¨angden
I2 =
0,1
3
[ 2
3, 1
.
I det andra steget sk¨ar vi bort de mittersta tredjedelarna av de tv˚a ˚aterst˚ a-ende delintervallen, och vi forts¨atter p˚a detta vis tills vi f˚ar en m¨angd som kan uttryckas som
C = [0, 1]\
∞
[
n=1 3n−1−1
[
k=0
3k + 1
3n ,3k + 2 3n
.
Denna m¨angd kallas f¨or Cantorm¨angden.
F¨or enkelhetens skull definierar vi nu iterativt intervallen i m¨angden [0, 1]\C med Ij,k, d¨ar j ∈ N beskriver hur m˚angte iterationen vi betrak-tar och k ∈ N beskriver hur m˚angte intervallet fr˚an n¨armast 0 till n¨armast 1 vi betraktar. Med denna beteckning kan vi skriva det f¨orsta intervallet som I1,1, de tv˚a f¨oljande som I2,1 och I2,2, de fyra f¨oljande som I3,k, k = 1, 2, 3, och s˚a vidare.
L˚at oss nu definiera Cantors 1/3-funktion C(x). Vi betraktar m¨angden [0, 1]\C och definierar stegvis funktionen enligt
C(x) =
0, d˚a x = 0, 1, d˚a x = 1, 1/2, d˚a x ∈ I1,1, 1/4, d˚a x ∈ I2,1, 1 − 1/4 d˚a x ∈ I2,2, 1/8 d˚a x ∈ I3,1,
...
Funktionsv¨ardet i ett godtyckligt intervall Ij,k f˚as allts˚a som C(x) = 1 + 2(k − 1)
2j .
Funktionen antar allts˚a konstanta v¨arden i de intervall d¨ar x /∈ C, kan visas vara kontinuerlig i hela intervallet och har derivatan C0(x) = 0 f¨or n¨astan alla x ∈ [0, 1] med avseende p˚a Lebesguem˚attet. Trots detta v¨axer funktionen fr˚an 0 till 1 d˚a x g˚ar fr˚an 0 till 1.
F¨or mer information om funktioner av Cantor-typ, se till exempel kursen Reell Analys I, eller [28] och [29].
Nedan presenteras nu i korthet n˚agra n¨odv¨andiga resultat som anv¨ants i avhandlingen. Bevis kan hittas i de n¨amnda k¨allorna.
Sats 21 (Baires kategorisats). L˚at X vara ett fullst¨andigt metriskt rum och l˚at (Gj)j∈N vara en f¨oljd av ¨oppna och t¨ata delm¨angder i X. D˚a ¨ar m¨angden G = ∩j∈NGj t¨at i X.
F¨or beviset av satsen, se till exempel [20], Theorem 5.6, sidan 97.
Sats 22 (Weierstrass approximationssats). Om f ¨ar en kontinuerlig och re-ellv¨ard funktion definierad p˚a intervallet [a, b] s˚a g¨aller det att det f¨or varje godtyckligt ε > 0 existerar ett polynom Pε s˚adant att f¨or varje x ∈ [a, b] g¨aller
|f (x) − Pε(x)| < ε.
F¨or beviset av satsen, se [19], Theorem 7.26.
Sats 23 (Luzins sats). L˚at f : [a, b] → R vara en m¨atbar funktion. D˚a g¨aller det att det f¨or varje godtyckligt ε > 0 existerar en kompakt delm¨angd E ⊂ [a, b] s˚adan att f begr¨ansad till E ¨ar kontinuerlig f¨or n¨astan alla x ∈ E, och
m(E) > b − a − ε.
F¨or beviset av satsen, se [20], Theorem 2.24, s. 55-56.
Sats 24 (Hahn-Banachs Sats). L˚at M vara ett underrum i ett linj¨art norm-rum X och l˚at f vara en begr¨ansad funktional p˚a M . D˚a kan vi utvidga f till en funktional F definierad p˚a hela X s˚adan att ||f || = ||F || och f (x) = F (x) f¨or alla x ∈ M .
F¨or beviset av satsen, se [20], Theorem 5.16, s. 104-107.
Sats 25 (Riesz Representationssats). L˚at X vara ett lokalt kompakt Haus-dorffrum (se [23], s. 11) och l˚at Λ vara en positiv och linj¨ar funktional p˚a C0(X), rummet av alla kontinuerliga funktioner f : X → X med kompakt st¨od. D˚a existerar det en σ-algebra Γ i X som inneh˚aller alla Borelm¨angder i X, och det existerar ett unikt positivt m˚att µ p˚a Γ s˚adant att
Λf = Z
X
f dµ f¨or alla f ∈ C0(X), och med egenskaperna att
1. µ(K) < ∞ f¨or varje kompakt m¨angd K ⊂ X;
2. F¨or varje E ∈ Γ g¨aller det att µ(E) = inf{µ(V ) : E ⊂ V, d¨ar V ¨ar ¨oppen};
3. Likheten µ(E) = sup{µ(K) : K ⊂ E, K kompakt i X} g¨aller f¨or varje
¨oppen m¨angd E och f¨or varje E ∈ Γ med µ(E) < ∞;
4. Om E ∈ Γ, A ∈ E och µ(E) = 0 s˚a g¨aller A ∈ Γ.
F¨or beviset av satsen, se [20], Theorem 2.14, s. 40-47.
Sats 26 (Moreras sats). Anta att f ¨ar en kontinuerlig, komplexv¨ard funktion i en ¨oppen m¨angd Ω ⊂ C s˚adan att
Z
∂∆
f (z)dz = 0
f¨or varje sluten triangel ∆ ⊂ Ω. D˚a g¨aller det att f ¨ar analytisk i hela Ω.
F¨or beviset, se [20], Theorem 10.17 p˚a sidan 208.
Sats 27 (Maximumprincipen). L˚at f vara en analytisk och komplexv¨ard funktion i n˚agot sammanh¨angande omr˚ade Ω ⊂ C. Om z0 ¨ar n˚agon s˚adan punkt i Ω att
|f (z0)| ≥ |f (z)|
f¨or alla z i en omgivning av z0 s˚a ¨ar f konstant i Ω.
F¨or beviset, se [20], Theorem 10.24 p˚a sidan 212.
Referenser
[1] Shamin Ansari, Existence of Hypercyclic operators on Topological Vector Spaces, Journal of Functional Analysis, Vol. 148, 1997, s. 384-390 [2] F. Bayart, ´E. Matheron, Hypercyclic operators failing the Hypercyclicity
Criterion on classical Banach spaces, Journal of Functional Analysis, Vol. 250, 2007, s. 426-441
[3] F. Bayart, ´E. Matheron, Dynamics of Linear Operators, Cambridge Tracts in Mathematics vol. 179, 2009
[4] Andrew M. Bruckner, Differentiation of Real Functions, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1978
[5] Peter L. Duren, Theory of Hp spaces, Academic Press, Inc. (London) LTD., 1970
[6] R. Garcia, J. Mashreghi, W. T. Ross, Finite Blaschke Products: A Sur-vey, arXiv: 1512.05444v2, 2016
[7] Robert M. Gethner, Joel H. Shapiro, Universal Vectors for Operators on Spaces of Holomorphic Functions, Proceedings of the American Mathe-matical Society, Vol. 100, Nr. 2 (1987), s. 281-288
[8] Walter H. Gottschalk, Gustav A. Hedlund Topological Dynamics, Ame-rican Mathematical Society Vol. 36, 1955, Kapitel 9
[9] Karl-Goswin Grosse-Erdmann, Universal families and hypercyclic ope-rators, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 36, Nr. 3, s.
345-381, publicerad elektroniskt 1999
[10] Karl-Goswin Grosse-Erdmann, Alfred Peris Manguillot Linear Chaos, Springer-Verlag London, 2011
[11] Karl-Goswin Grosse-Erdmann, Holomorphe Monster und universelle Funktionen, Mitteilungen aus dem mathematischen Seminar Giessen, Heft 176, 1987
[12] Teresa Bermudez, Karl-Goswin Grosse-Erdmann, Alfredo Peris, Gilles Godefroy Mini-Workshop: Hypercyclicity and Linear Chaos, Oberwol-fach reports, Vol. 3, Utg. 3, s. 2227-2276, 2006
[13] Karl-Goswin Grosse-Erdmann, On the universal functions of G. R.
Maclane, Complex Variables, Theory and Application: An Internatio-nal JourInternatio-nal, Vol. 15, s. 193-196, 1990
[14] Maurice Heins, A universal Blaschke product, Archive Math. 6, 1954, s.
41-44
[15] J¨urgen Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, Utg. 2, 2002
[16] Paul Koosis, Introduction to Hp-spaces, Cambridge University Press, 1980
[17] Wolfgang Luh, Holomorphic Monsters, Journal of Approximation The-ory, Vol. 53, s. 128-144, 1988
[18] Pekka Nieminen, Luentomuistiinpanot: Lineaaristen operaattorien dy-namiikka, Institutionen f¨or matematik och statistik, Helsingfors Univer-sitet, h¨osten 2010
[19] Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company, Utg. 3, 1976
[20] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, Utg. 3, 1987
[21] Joel H. Shapiro, Composition operators and classical function theory, Springer-Verlag New York, 1993, Kapitel 7
[22] Joel H. Shapiro, Notes on the dynamics of linear operators, Universities of Rome, Florence and Padua, juni 2001
[23] Jussi V¨ais¨al¨a, Topologia II, Limes ry, Utg. 3, 2015
[24] Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag New York, 1982, Kapitel 5
[25] https://en.wikipedia.org/wiki/Michael Fekete (30.6.2017) [26] https://en.wikipedia.org/wiki/Meagre set (20.7.2017) [27] https://en.wikipedia.org/wiki/F-space (5.9.2017)
[28] https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor set (13.9.2017) [29] https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor function (13.9.2017) [30] https://en.wikipedia.org/wiki/Gδ space (13.9.2017)
[31] https://en.wikipedia.org/wiki/Linear dynamical system (30.11.2017) [32] https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos theory (19.1.2018)
[33] https://en.wikipedia.org/wiki/Blaschke product (24.1.2018)