Topologisk transitivitet

Senare kommer vi att begr¨ansa oss till metriserbara topologiska vektorrum och ¨aven till familjer (T_i)_i∈N0, d¨ar T_i = Tⁱ f¨or alla i ∈ N0 ¨ar iterationer av en och samma kontinuerliga operator T : X → X, allts˚a

(T_i)_i∈I = (Tⁱ)_i∈N0 = T⁰, T, T², T³, . . . ,

d¨ar Tⁿ(x) = T (Tⁿ⁻¹(x)) f¨or n ≥ 2 och T⁰ ¨ar identitetsoperatorn. I och med detta kommer vi att tangera de dynamiska systemens teori. Vi kommer inte h¨ar att f¨ordjupa oss n¨armare i denna teori, men vi kan notera att d˚a rummet X ¨ar metriskt s˚a beskriver paret (X, T ) ett kontinuerligt dynamiskt system.

Den centrala id´en bakom denna teori ¨ar att unders¨oka operatorns bana o(T, x) := {Tⁱ(x) : i ∈ N0}

f¨or element x ∈ X. Mycket av den kommande teorin kunde behandlas ut-g˚aende fr˚an dynamiska system med hj¨alp av de begrepp som h¨or samman med detta omr˚ade inom matematiken. Vi n¨ojer oss dock f¨or det mesta med att notera detta faktum och sedan anv¨anda oss av mer allm¨anna begrepp.

Undantaget ¨ar Avsnitt 6, d¨ar vi bekantar oss med de dynamiska systemens kaosteori, och hur vi kan koppla denna till universaliteten.

Vi kommer nu att behandla en grundl¨aggande egenskap som ofta dyker upp d˚a vi unders¨oker till¨ampningar av universaliteten. Detta ¨ar ett begrepp bekant fr˚an den topologiska dynamiken (se till exempel [10], Definition 1.11, s. 8) som implicit redan f¨orekommer i villkor (III) i Universalitetskriteriet (Sats 1).

Definition 5 (Topologisk transitivitet). En familj (Tⁱ)_i∈N av iterationer Tⁱ av den kontinuerliga avbildningen T : X → X, d¨ar X ¨ar ett topologiskt rum, kallas topologiskt transitiv om det f¨or varje par U , V av icke-tomma delm¨angder i X existerar ett s˚adant n att

Tⁿ(U ) ∩ V 6= ∅.

Om X ¨ar ett Baire-rum med en uppr¨aknelig bas till rummets topologi har vi d¨armed enligt Universalitetskriteriet att m¨angden av universella element f¨or v˚ar familj av operatorer m˚aste vara t¨at i X. Vi kan vidare ge f¨oljande generaliserade definition f¨or att understryka kopplingen mellan universalitet och topologisk transitivitet:

Definition 6. L˚at X och Y vara metriska rum och T_n : X → Y kontinuerliga avbildningar mellan dessa. D˚a kallar vi familjen (T_n)_n∈N topologiskt transitiv om det f¨or varje par U ⊂ X och V ⊂ Y av icke-tomma delm¨angder existerar ett s˚adant n ∈ N att

T_n(U ) ∩ V 6= ∅.

Utg˚aende fr˚an denna definition kan vi omformulera Universalitetskriteriet f¨or metriska rum p˚a f¨oljande vis (se ¨aven [10], Sats 1.57):

Sats 4. L˚at X vara ett fullst¨andigt metriskt rum och Y ett separerbart metriskt rum, samt l˚at (T_n)_n∈N vara en familj kontinuerliga avbildningar Tn: X → Y . D˚a ¨ar f¨oljande villkor ekvivalenta:

(I) Familjen (T_n)_n∈N ¨ar topologiskt transitiv;

(II) M¨angden universella element ¨ar t¨at i X.

Bevis. (II) ⇒ (I): Om vi antar att (II) g¨aller s˚a betyder det att det i varje icke-tom delm¨angd U ⊂ X finns ett universellt element x ∈ U f¨or vilket det existerar ett s˚adant n ∈ N att Tⁿ(x) ∈ V . Detta visar att familjen ¨ar topologiskt transitiv.

(I) ⇒ (II): Anta att familjen ¨ar topologiskt transitiv och beteckna m¨ ang-den av universella element i X med U . Vi betecknar metriken i X med dX

och metriken i Y med d_Y. Eftersom Y ¨ar separerbar betyder det enligt defi-nitionen att Y inneh˚aller en uppr¨aknelig t¨at m¨angd {y_j : j ∈ N}. Vi kan d˚a v¨alja s˚adana mj ∈ N att de ¨oppna kulorna B^j := {y ∈ Y : dY(yj, y) < 1/mj} bildar en uppr¨aknelig bas till topologin i Y . Vi f˚ar att x ∈ U om och endast om det f¨or varje j ∈ N existerar ett n ∈ N s˚adant att T_n(x) ∈ B_j.

Om vi fixerar en kula B_j s˚a har vi enligt den topologiska transitiviteten att det f¨or alla icke-tomma U ⊂ X existerar ett s˚adant n ∈ N att

T_n(U ) ∩ B_j 6= ∅.

Med andra ord har vi d¨armed att m¨angden av universella element kan skrivas som

U =

∞

\

j=1

∞

[

n=1

T_n⁻¹(Bj).

Kontinuiteten hos avbildningarna i familjen (T_n)_n∈N ger oss att m¨angderna

∞

[

n=1

T_n⁻¹(B_j)

¨ar ¨oppna, och vidare f˚ar vi utg˚aende fr˚an den topologiska transitiviteten och Baires kategorisats (se Sats 21 i Avsnitt 8) att U ¨ar t¨at. M¨angden U av universella element ¨ar allts˚a t¨at i X.

Detta avslutar avsnittet om Fr´echetrum och topologisk transitivitet, och med dessa nya begrepp kan vi nu ˚aterg˚a till att unders¨oka universaliteten som fenomen.

4 Exempel p˚ a universella familjer

Det f¨orefaller som om s˚a gott som varje divergerande eller oregelbunden pro-cess inom analysen i n˚agon bem¨arkelse uppvisar universella egenskaper [9].

D¨armed finns det en m¨angd exempel p˚a universella familjer- och objekt, men h¨ar kommer vi att fokusera p˚a n˚agra av de mest k¨anda och klassiska exemp-len.

4.1 Universella potens- och Taylorserier

Vi bekantar oss nu med universella potens- och Taylorserier. I detta avsnitt betraktar vi endast reella serier, ¨aven om teorin ¨aven kan utvidgas f¨or att g¨alla i det komplexa planet C.

I den historiska tillbakablicken n¨amndes matematikern Michael Fekete, som 1914 visade att det existerar en reell potensserie p˚a intervallet [−1, 1]

som uppvisar universella egenskaper. Detta ¨ar troligen det f¨orsta dokumen-terade exemplet p˚a universalitet och efter˚at har matematiker som Mazurki-ewicz, Sierpi´nski, Seleznev, Lorentz och Luh bidragit med ytterligare bevis och generaliseringar ber¨orande liknande Taylorserier [9].

I detta avsnitt bevisar vi existensen av en universell Taylorserie. B˚ade definitionen och satserna baserar sig p˚a Grosse-Erdmanns arbete (se [11]).

Vi b¨orjar med att definiera det universella objektet i fr˚aga.

Definition 7. L˚at f ∈ C^∞(R) och f (0) = 0. Taylorserien

∞

X

j=1

f^(j)(0) j! x^j

kallas universell om det g¨aller att det f¨or varje funktion g ∈ C(R) med g(0) = 0 existerar en f¨oljd (n_k)_k∈N av naturliga tal s˚adan att delsummorna

nk

X

j=1

f^(j)(0)

j! x^j −→ g(x)

lokalt likformigt p˚a varje kompakt delm¨angd i R d˚a k → ∞.

Vi kommer ih˚ag att C^∞(Ω), f¨or en ¨oppen m¨angd Ω ⊂ R, betecknar rum-met med o¨andligt m˚anga g˚anger deriverbara funktioner f : Ω → Ω. Topologin

i detta rum definieras som likformig konvergens av alla derivator p˚a kompak-ta delm¨angder i Ω, i enlighet med teorin om F-rum i Avsnitt 3. Mer exakt har vi att fj → f d˚a j → ∞ i C^∞(Ω) om

sup

x∈K

 

f_j⁽ⁿ⁾(x) − f⁽ⁿ⁾(x)  

→ 0, d˚a j → ∞, f¨or alla n = 0, 1, 2, . . . och p˚a alla kompakta delm¨angder K ⊂ Ω.

Nu definierar vi underrummet C₀^∞(Ω) := {f ∈ C^∞(Ω) : f (0) = 0} och rummet C₀(Ω) := {f ∈ C(Ω) : f (0) = 0}. Utg˚aende fr˚an dessa definitioner och fr˚an Defninition 7 formulerar vi f¨oljande sats:

Sats 5. Det existerar en universell Taylorserie i R, och {f ∈ C₀^∞(R) : f har en universell Taylorserie}

¨ar ett residuellt underrum i rummet C₀^∞(R).

F¨or att bevisa satsen beh¨over vi M¨untz-Szaszs approximationssats och tv˚a lemman.

Sats 6 (M¨untz-Szaszs Sats). Anta att 0 < λ₁ < λ₂ < λ₃ < · · · och l˚at X vara det slutna h¨oljet i C([0, 1]) av m¨angden av alla ¨andliga linj¨ara kombinationer av funktionerna

1, t^λ1, t^λ2, t^λ3, . . . D˚a g¨aller att

(a) om P

n1/λ_n= ∞ s˚a ¨ar X = C([0, 1]);

(b) om P

n1/λ_n< ∞ och om λ /∈ {λ_n: n ∈ N}, λ 6= 0, s˚a t^λ ∈ X./

F¨or det fullst¨andiga beviset av M¨untzs approximationssats, se exempelvis [20], Theorem 15.26, sidorna 313-315. Vi kommer bara att beh¨ova del (a) av satsen, och vi skisserar h¨ar kort id´en f¨or hur denna del kan bevisas.

Vi anv¨ander oss av ett korollarium till Hahn-Banachs sats (se Sats 24 i Avsnitt 8) som s¨ager f¨oljande:

Lemma 3. L˚at M vara ett linj¨art underrum i ett Banachrum X och l˚at x₀ ∈ X. D˚a g¨aller att x₀ ∈ M om och endast om det inte finns n˚agon begr¨ansad funktional f p˚a X s˚adan att f (x) = 0 f¨or alla x ∈ M , men f (x₀) 6= 0.

F¨or beviset, se [20], Theorem 5.19, s. 107, eller kursen i Funktionalanalys.

Vi anv¨ander detta resultat f¨or att bevisa M¨untzs approximationssats:

Bevisets id´e: Lemmat ovan ger oss att det f¨or ett element x g¨aller att x ∈ C([0, 1]) och x /∈ X om och endast om det existerar en s˚adan linj¨ar funktional F p˚a C([0, 1]) att F (x) 6= 0, men F (y) = 0 f¨or alla y ∈ X. Vidare ger Rieszs representationssats (se Sats 25 i Avsnitt 8) oss att varje begr¨ansad och linj¨ar funktional p˚a C([0, 1]) kan uttryckas med hj¨alp av integrering med avseende p˚a ett begr¨ansat Borelm˚att µ p˚a [0, 1], det vill s¨aga

f 7−→ (f, µ) :=

Z

[0,1]

f dµ.

Utg˚aende fr˚an allt detta f˚ar vi att vi f¨or att bevisa (a) endast beh¨over visa att om P

n1/λ_n = ∞ och µ ¨ar ett begr¨ansat Borelm˚att p˚a [0, 1] s˚adant

att Z

[0,1]

t^λndµ(t) = 0, f¨or n = 1, 2, 3, . . . och Z

[0,1]

1dµ(t) = 0, s˚a g¨aller att

Z

[0,1]

t^kdµ(t) = 0, f¨or k = 1, 2, 3, . . . .

Detta visar n¨amligen att X inneh˚aller alla funktioner med formen t^k, ur vilket f¨oljer att X inneh˚aller alla polynom. Detta betyder p˚a basen av Weierstrass approximationssats (se Sats 22 i Avsnitt 8) att X = C([0, 1]).

F¨or att visa p˚ast˚aendet observerar vi f¨orst med hj¨alp av Moreras sats (se Sats 26 i Avsnitt 8) att funktionen

f (z) :=

Z

[0,1]

t^zdµ(t)

¨ar analytisk f¨or alla z i omr˚adet {z ∈ C : Re(z) > 0} och d¨arefter visar vi att funktionen ¨aven ¨ar begr¨ansad i detta omr˚ade, d¨ar enligt v˚art antagande f (λ_n) = 0 f¨or alla n = 1, 2, 3, . . .

Utg˚aende fr˚an detta kan vi definiera en begr¨ansad analytisk funktion g : {z ∈ C : |z| < 1} → C genom

g(z) := f 1 + z 1 − z



, |z| < 1,

d¨ar g(α_n) = 0 f¨or α_n= (λ_n− 1)/(λ_n+ 1). H¨ar ¨ar avbildningen z 7−→ 1 + z

1 − z, |z| < 1,

analytisk och konform fr˚an den ¨oppna enhetscirkelskivan till m¨angden {z ∈ C : Rez > 0}, och den sammansatta funktionen g avbildar d¨armed element fr˚an enhetscirkelskivan till C.

Vi noterar f¨orst att f¨or λ_n> 1 g¨aller 1 − |α_n| = λ_n+ 1 − λ_n+ 1

λ_n+ 1 = 2

λ_n+ 1. (3)

Vi vet redan att (λ_n)_n∈N ¨ar en v¨axande f¨oljd och vi antar att vi har P

n1/λ_n = ∞. Om λ_n → ∞ d˚a n → ∞ f˚ar vi enligt utr¨akningen i (3) att vi har P

n(1 − |α_n|) = ∞. Om d¨aremot λn → β d˚a n → ∞ f¨or n˚agot β ∈ (0, ∞) s˚a betyder det att 1 − |α_n| inte konvergerar mot 0, vilket naturligtvis ger att serien P

n(1 − |α_n|) divergerar mot o¨andligheten ¨aven i detta fall.

Vi vill nu utnyttja detta i f¨oljande v¨alk¨anda resultat fr˚an den komplexa analysen (se exempelvis [20], Theorem 15.26 med korollarium, s. 313-314, eller kurserna i Komplex analys):

L˚at D beteckna den ¨oppna enhetscirkelskivan i C. Om f ¨ar begr¨ansad och analytisk i m¨angden D, med nollst¨allena α1, α₂, α₃, . . . i D, och om P

n(1 −

|α_n|) = ∞ s˚a ¨ar f (z) = 0 f¨or alla z ∈ D.

Detta resultat ger oss att v˚ar funktion satisfierar g(z) = 0 f¨or alla z ∈ U , vilket ger oss att f (k) = 0 f¨or alla k = 1, 2, 3, . . ., vilket var vad vi ville visa!

Vi ¨overg˚ar nu till de ¨ovriga hj¨alpsatser som beh¨ovs f¨or att bevisa Sats 5. Vi p˚aminner att rummet C([−a, a]) ¨ar ett Banachrum med maxnormen ||f ||∞= sup{|f (x)| : x ∈ [−a, a]} f¨or f ∈ C([−a, a]), och noterar att detta naturligvis

¨aven g¨aller underrummet C0([−a, a]). Vi formulerar f¨oljande lemma:

Lemma 4. L˚at a > 0 och N ∈ N0 vara givna. D˚a ¨ar m¨angden polynom av formen

P (x) =

m

X

j=N

a_jx^j,

d¨ar a_j ∈ R f¨or j = N, . . . , m och m ≥ N, t¨at i rummet C0([−a, a]).

Bevis av Lemma 4. Vi vill visa att vi f¨or varje funktion i C₀([−a, a]) kan hitta ett polynom av formen ovan som ¨ar godtyckligt n¨ara funktionen. Vi betraktar d¨arf¨or en godtycklig funktion f ∈ C0([−a, a]) och l˚ater ε > 0 vara godtyckligt. Eftersom f ¨ar kontinuerlig och reellv¨ard kan vi dela upp funktionen i f = f_j + f_u, d¨ar f_j ∈ C([−a, a]) ¨ar j¨amn och fu ∈ C([−a, a]) ¨ar

Vi vill nu anv¨anda M¨untz-Szaszs Sats f¨or att hitta l¨ampliga polynom.

L˚at oss d¨arf¨or betrakta delm¨angderna N_j := {n ∈ N : n > N, n j¨amn} och

Enligt del (a) i M¨untz-Szaszs Sats har vi d¨armed att det existerar ett polynom P_u med exponenter fr˚an N_j och ett polynom P_j med exponenter fr˚an N_u, Om vi nu kombinerar dessa f˚ar vi

max

a
den s¨okta formen och lig-ger inom avst˚andet ε ifr˚an funktionen f i maxnormen. M¨angden av s˚adana polynom ¨ar allts˚a t¨at i m¨angden {f ∈ C([−a, a]) : f (0) = 0}.

I b¨orjan av detta avsnitt n¨amnde vi att topologin i rummet C^∞(Ω) f¨or n˚ a-gon ¨oppen m¨angd Ω ⊂ R definieras som likformig konvergens av derivatorna p˚a kompakta delm¨angder till Ω. Vi noterar att detta ¨aven g¨aller specialfallet

C^∞(R), det vill s¨aga rummet av o¨andligt m˚anga g˚anger deriverbara funk-tioner p˚a hela R. Det ¨ar dock viktigt att notera att detta rum inte ¨ar ett normrum, och att vi d¨arf¨or m˚aste anv¨anda oss av teorin om F-rum.

Vi ¨overg˚ar nu till att betrakta underrummet C₀^∞(R) till detta rum, och noterar att b˚ade rummet C₀^∞(R) och rummet C0(R) ¨ar F-rum, till exempel med metriken

d(f, g) :=

∞

X

n=1

1

2ⁿ · p_n(f − g) 1 + p_n(f − g). H¨ar definieras seminormen p_n(f ) f¨or n ∈ N som

pn(f ) := max

j≤n max

x∈[−n,n]|f^(j)(x)|

f¨or j ∈ N0 och f ∈ C₀^∞(R), och som p_n(f ) := max

x∈[−n,n]|f (x)|

f¨or f ∈ C₀(R). Som vi s˚ag i Avsnitt 3 ¨ar F-rum fullst¨andigt metriserbara vektorrum, och vidare kan vi utg˚aende fr˚an Weierstrass approximationssats (Sats 22 i Avsnitt 8) notera att rummet C0(R) ¨ar separerbart.

Vi ¨overg˚ar nu till ett lemma som ber¨or underrummet C₀^∞(R):

Lemma 5. M¨angden av polynom med nollst¨alle i origo ¨ar t¨at i rummet C₀^∞(R).

Bevis av Lemma 5. Vi vill visa att det f¨or alla funktioner f ∈ C₀^∞(R) finns en f¨oljd av polynom (P_n)_n∈N, med P_n(0) = 0 f¨or alla n, s˚adan att P_n → f d˚a n → ∞. Vi l˚ater en funktion f ∈ C₀^∞(R) vara given.

Weierstrass approximationssats (se Sats 22 i Avsnitt 8) ger oss att det f¨or varje n ∈ N finns ett s˚adant polynom Q_n att

max

x∈[−n,n]

|f⁽ⁿ⁾(x) − Q_n(x)| < 1 nⁿ⁺¹.

Vidare f˚ar vi genom att integrera att det f¨or varje n ∈ N existerar ett polynom P_n med Pn^(m)(0) = f^(m)(0) f¨or m = 0, 1, 2, . . . , n − 1, och Pn⁽ⁿ⁾(x) = Q_n(x).

Det ¨ar uppenbart att P_n∈ C₀^∞(R), och dessutom g¨aller det att max

x∈[−n,n]|(f − P_n)⁽ⁿ⁾(x)| < 1

nⁿ⁺¹, d˚a n ∈ N.

Enligt Analysens Fundamentalsats och triangelolikheten vet vi att det f¨or funktioner h ∈ C₀^∞(R) g¨aller att

|h(x)| ≤ Z x

0

|h⁰(t)|dt.

Detta ger oss att

|(f − P_n)^(m)(x)| ≤ Z x

0

|(f − P_n)^(m+1)(x₁)|dx₁ ...

≤ Z x

0

· · ·

Z xn−m−1

0

|(f − P_n)⁽ⁿ⁾(x_n−m)|dx_n−m· · · dx₁, och d¨armed f˚ar vi

max

x∈[−n,n]|(f − P_n)^(m)(x)| ≤ 1

nⁿ⁺¹ · n^n−m≤ 1

n, f¨or alla m = 0, 1, . . . , n.

Vi ser nu att f¨oljden (P_n)_n∈N samt dess derivator konvergerar likformigt p˚a kompakta delm¨angder mot v˚ar godtyckligt valda funktion f , och d¨armed

¨aven konvergerar i rummets topologi. Det ger oss att m¨angden av polynom med nollst¨alle i origo m˚aste vara t¨at i rummet C₀^∞(R).

Nu kan vi ¨overg˚a till att bevisa Sats 5.

Bevis av Sats 5. L˚at oss betrakta den familj av avbildningar (Tn)_n∈N d¨ar avbildningarna T_n : C₀^∞(R) → C0(R) definieras enligt

(T_nf )(x) :=

n

X

j=1

f^(j)(0)

j! x^j, f¨or x ∈ R.

Enligt Definition 7 och Definition 1 har vi att det existerar en universell Taylorserie i C₀(R) om f ¨ar ett universellt element f¨or familjen (Tn)_n∈N. Korollarium 1 i Avsnitt 2 ger oss nu att vi bara beh¨over visa att det f¨or varje polynom Q ∈ C₀^∞(R) och f¨or varje funktion g ∈ C0(R) existerar en f¨oljd av polynom (f_n)_n∈N ⊂ C₀^∞(R) och en delf¨oljd (kn)_n∈N ⊂ N s˚adana att

n→∞lim f_n(x) = Q(x) och lim

n→∞(T_knf_n)(x) = g(x) i metriken i C₀(R).

L˚at oss nu betrakta ett godtyckligt polynom av formen Q(x) =Pk i=1a_ixⁱ och en godtycklig funktion g ∈ C₀(R). Vi l˚ater n ∈ N vara godtyckligt.

Eftersom funktionen g − Q ∈ C0(R) vet vi utg˚aende fr˚an Lemma 4 att det existerar ett polynom R_n(x) =Pm

j=1b_jx^j s˚adant att max

x∈[−n,n]|xⁿR_n(x) − (g(x) − Q(x))| < 1

n. (4)

Vi betecknar P_n(x) := xⁿR_n(x) = Pm

j=1b_jx^j+n och noterar att derivatan Pn⁽ⁿ⁾ ∈ C0(R). Om vi definierar kⁿ := max(k, m + n) har vi, igen utg˚aende fr˚an Lemma 4, att det existerar ett polynom S_n(x) =Pp

l=1c_lx^l s˚adant att max

x∈[−n,n]|x^kn−n+1S_n(x) − P_n⁽ⁿ⁾(x)| < 1 n + 1. Genom integrering hittar vi ett polynom L_n(x) s˚adant att

L⁽ⁿ⁾_n (x) = x^kn−n+1S_n(x) =

p

X

l=1

c_lx^l+kn−n+1,

och med egenskapen att det f¨or varje j = 0, 1, 2, . . . , n − 1 g¨aller att

L^(j)_n (0) = 0 = P_n^(j)(0). (5) Ur beviset f¨or Lemma 5 f¨oljer det att

max

x∈[−n,n]|L^(j)_n (x) − P_n^(j)(x)| < 1 n

f¨or j = 0, 1, 2, . . . , n. Om vi nu betraktar funktionen fn(x) = Q(x) + Pn(x) − L_n(x) s˚a m¨arker vi att f_n∈ C₀^∞(R) ¨ar ett polynom f¨or alla n ∈ N, och att

max

x∈[−n,n]|(f_n− Q)^(j)(x)| = max

x∈[−n,n]|(P_n− L_n)^(j)(x)| < 1 n,

f¨or alla j = 0, 1, 2, . . . , n. Detta ger att f_n konvergerar mot polynomet Q i metriken i C₀^∞(R).

Eftersom den l¨agsta exponenten f¨or x i polynomet L_n ¨ar minst k_n+ 1 f˚ar vi utg˚aende fr˚an likheten i (5) att de k_n+ 1 f¨orsta derivatorna av L_n i origo m˚aste vara 0. Detta ger oss att

(T_knL_n)(x) =

kn

X

j=1

L^(j)n (0)

j! x^j = 0.

Vi m¨arker ¨aven att eftersom den h¨ogsta exponenten f¨or x i polynomet Q(x) h¨ogst ¨ar k och den h¨ogsta exponenten f¨or x i P_n(x) ¨ar h¨ogst m + n s˚a

¨ar den h¨ogsta exponenten f¨or Q(x) + Pn(x) h¨ogst kn, vilket ger oss att (Tkn(Q + Pn))(x) =

kn

X

j=1

Q^(j)(0) j! x^j +

kn

X

j=1

Pn^(j)(0)

0! x^j = Q(x) + Pn(x).

Ur detta f˚ar vi att (T_knf_n)(x) = Q(x) + P_n(x), vilket i sin tur enligt olikheten i (4) ger oss att

max

x∈[−n,n]|(T_knf_n)(x) − g(x)| = max

x∈[−n,n]|Q(x) + P_n(x) − g(x)| < 1 n. Vi har allts˚a att T_knf_n konvergerar mot g i C₀(R).

Eftersom polynomet Q ∈ C₀^∞(R) och funktionen g ∈ C0(R) var godtyckli-ga s˚a har vi visat att det existerar en funktion f som ¨ar ett universellt element f¨or familjen (T_n)_n∈N. Detta visar samtidigt att m¨angden av universella funk-tioner ¨ar t¨at i C₀^∞(R), och eftersom ett fullst¨andigt metriskt vektorrum enligt Baires kategorisats (se Sats 21 i Avsnitt 8) ¨ar ett Bairerum har vi enligt Sats 1 att m¨angden av universella funktioner ¨ar residuell i C₀^∞(R). Detta avslutar beviset.

Vi noterar att resultatet i Sats 5 ¨ar starkare ¨an det Fekete formulerade

˚ar 1914. I st¨allet f¨or att visa att den universella Taylorserien existerar p˚a intervallet [−1, 1] har vi nu visat att en s˚adan de facto existerar p˚a hela R. F¨or att bevisa Feketes ursprungliga resultat kan vi i stort sett anv¨anda samma bevis som ovan, men vi begr¨ansar oss till Banachrummet C0([−1, 1]) med supremumnormen ||f ||∞= sup_x∈[−1,1]|f (x)| i Lemma 4, och vi beh¨over inte alls Lemma 5. Detta f¨orenklar beviset en hel del.

Det ¨ar m¨ojligt att utvidga teorin om universella Taylorserier till att g¨alla i hela C, men f¨or detta exempel n¨ojer vi oss med det reella fallet.

In document HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI (Page 16-27)