Kaos

I slutet av 80-talet gav den amerikanske matematikern Robert L. Devaney en f¨orsta rigor¨os definition p˚a kaotiska dynamiska system i metriska rum.

F¨or denna definition beh¨ovs f¨orutom den ovan definierade k¨ansligheten till begynnelsef¨orh˚allanden ¨aven topologisk transitivitet och begreppen fr˚an De-finition 11. Vi kommer nu att ge denna ursprungliga deDe-finition och d¨arefter ge en f¨orb¨attrad version av samma definition (se exempelvis Definition 1.26 i [10]).

Definition 13 (Kaos). L˚at (X, d) vara ett metriskt rum utan isolerade punk-ter och l˚at avbildningen T : X → X vara kontinuerlig. Denna avbildning ¨ar kaotisk om f¨oljande villkor uppfylls:

(i) T ¨ar k¨ansligt beroende av sina begynnelsef¨orh˚allanden;

(ii) T ¨ar topologiskt transitiv;

(iii) M¨angden av periodiska punkter f¨or T ¨ar t¨at i X.

Vi kommer nu att visa att det f¨orsta villkoret ovan de facto f¨oljer ur de tv˚a ¨ovriga. Beviset grundar sig p˚a det motsvarande bevis vi exempelvis hittar i boken ”Linear Chaos” (se [10], Theorem 1.29 p˚a sidorna 13-14).

Sats 19. L˚at (X, d) vara ett metriskt rum utan isolerade punkter och l˚at avbildningen T : X → X vara kontinuerlig. Anta att T ¨ar topologiskt transitiv och att m¨angden periodiska punkter f¨or avbildningen ¨ar t¨at i X. D˚a ¨ar T k¨ansligt beroende av sina begynnelsef¨orh˚allanden.

Vi b¨orjar med att p˚aminna att avst˚andet mellan en punkt a ∈ X och en delm¨angd A ⊂ X i ett metriskt rum X definieras som

d(a, A) = inf

x∈Ad(a, x),

och avst˚andet mellan tv˚a delm¨angder A ⊂ X och B ⊂ X definieras som d(A, B) = inf

x∈A,y∈Bd(x, y).

Utg˚aende fr˚an detta formulerar vi f¨oljande lemma:

Lemma 8. L˚at (X, d) vara ett metriskt rum utan isolerade punkter och l˚at avbildningen T vara kontinuerlig. Anta vidare att m¨angen periodiska punkter f¨or T ¨ar t¨at i X. D˚a existerar det ett s˚adant δ0 > 0 att det f¨or varje x ∈ X existerar en periodisk punkt p ∈ X f¨or T s˚adan att

d(x, o(p, T )) = inf

n∈Nd(x, Tⁿ(p)) ≥ δ₀.

Bevis av lemmat. Intuitivt betyder detta att varje element x ∈ X ¨ar ”tillr¨ ack-ligt” l˚angt borta fr˚an n˚agon periodisk punkts bana. D¨armed ¨ar de periodiska punkternas banor inte n¨odv¨andigtvis t¨ata i X.

Eftersom X inte har n˚agra isolerade punkter betyder det att X inneh˚ al-ler o¨andligt m˚anga element. Detta ger oss i sin tur att ¨aven de periodiska punkterna f¨or T m˚aste vara o¨andligt m˚anga. Banorna f¨or tv˚a olika periodiska punkter kan inte sk¨ara varandra (eftersom de d˚a skulle vara samma perio-diska punkt) s˚a vi vet att det existerar periodiska punkter p och q s˚adana att

o(p, T ) ∩ o(q, T ) = ∅.

L˚at x ∈ X vara godtyckligt. Med hj¨alp av triangelolikheten f˚ar vi f¨oljande:

d(o(p, T ), o(q, T )) = inf

n,m∈Nd(Tⁿ(p), T^m(q))

≤ inf

n,m∈N(d(x, Tⁿ(p)) + d(x, T^m(q))) . Om vi nu betecknar

D := d(o(p, T ), o(q, T )) > 0 ger detta oss att

d(x, o(p, T )) ≥ D

2 eller d(x, o(q, T )) ≥ D 2.

Om vi v¨aljer δ₀ = D/2 s˚a kan vi v¨alja antingen p eller q som v˚ar periodiska punkt, och d¨armed har vi bevisat lemmat.

Nu kan vi ¨overg˚a till att bevisa satsen.

Bevis av Sats 19. Vi kommer att visa att T ¨ar k¨ansligt beroende av sina begynnelsef¨orh˚allanden med k¨anslighetskonstanten δ = δ₀/4 = D/8 som i lemmat ovan. F¨or beviset beh¨over vi f¨oljande tre uppskattningar:

Den f¨orsta uppskattningen f˚ar vi d˚a vi l˚ater δ₀ vara som ovan och x ∈ X och ε > 0 vara godtyckliga. Eftersom de periodiska punkterna f¨or T ¨ar t¨ata i X vet vi att det existerar en s˚adan periodisk punkt q till T att

d(x, q) < min{ε, δ₀/4}. (22) Den andra uppskattningen f¨oljer ur lemmat ovan. Det ger oss att det existerar en s˚adan periodisk punkt p till T att

d(x, Tⁿ(p)) ≥ δ₀, (23)

f¨or alla n ∈ N.

F¨or v˚ar tredje uppskattning b¨orjar vi med att beteckna perioden f¨or q med N . Eftersom T ¨ar kontinuerlig vet vi att det existerar en s˚adan omgivning Ω ⊂ X till p att

d(Tⁿ(p), Tⁿ(y)) < δ₀/4, , f¨or alla y ∈ Ω och n = 0, 1, 2, . . . , N. (24) Om B(x, ε) betecknar ett ¨oppet klot kring x med radien ε ger oss den topo-logiska transitiviteten att det existerar ett s˚adant n₀ ∈ N att

Tⁿ⁰(B(x, ε)) ∩ Ω 6= ∅.

Detta ger oss i sin tur att det existerar n˚agot s˚adant z i v˚ar kula B(x, ε) att Tⁿ⁰(z) ∈ Ω.

L˚at oss nu betrakta n˚agot s˚adant k att n₀ ≤ kN < n₀ + N . Utg˚aende fr˚an olikheten i (23) och triangelolikheten f˚ar vi f¨oljande kedja av olikheter:

δ₀ ≤ d(x, T^{kN −n0}(p))

≤ d(x, q) + d(q, T^{kN −n0}(p))

≤ d(x, q) + d(q, T^kN(z)) + d(T^kN(z), T^{kN −n0}(p))

Uppskattningen i (22) ger oss direkt att d(x, q) ≤ δ₀/4. Eftersom T^kN(z) = T^{kN −n0}(Tⁿ⁰(z)),

d¨ar Tⁿ⁰(z) ∈ Ω, ger uppskattningen i (24) vidare att d(T^kN(z), T^{kN −n0}(p)) < δ₀

4. D¨armed har vi allts˚a att att

δ₀ < δ0

2 + d(q, T^kN(z)), vilket ger oss att

d(T^kN(q), T^kN(z)) = d(q, T^kN(z)) > δ₀ 2 Om vi ¨annu en g˚ang anv¨ander triangelolikheten f˚ar vi

δ₀

2 < d(T^kN(q), T^kN(z)) ≤ d(T^kN(q), T^kN(x)) + d(T^kN(x), T^kN(z)), vilket ger att

d(T^kN(q), T^kN(x)) > δ₀

4 eller d(T^kN(z), T^kN(x)) > δ₀ 4.

Eftersom d(x, q) < ε och d(x, z) < ε f¨oljer det att T ¨ar k¨ansligt beroende p˚a sina begynnelsef¨orh˚allanden med k¨anslighetskonstanten δ = δ₀/4.

6.2.1 Exempel

Det finns m˚anga klassiska exempel p˚a den form av kaos som definierats ovan, och h¨ar kommer vi att bekanta oss med ett som tydligg¨or de kaotiska egenska-perna. Vi betraktar den kontinuerliga avbildningen T : C → C d¨ar T (z) = z². Vi ser att om vi itererar denna operation s˚a f˚ar vi Tⁿ(z) = z²ⁿ. Vi m¨arker att vi beroende p˚a vad vi v¨aljer f¨or utg˚angsv¨arde z₀ f˚ar vitt skilda banor.

F¨or denna avbildning kan vi skriva banan som o(z₀, T ) =z₀²ⁿ : n ∈ N ,

d¨ar z₀ ∈ C ¨ar v˚art utg˚angsv¨arde. Om |z₀| < 1 f˚ar vi ett system som kon-vergerar mot origo, medan |z₀| > 1 ger oss divergens mot o¨andligheten. F¨or

|z0| = 1, allts˚a ett element p˚a enhetscirkeln, kommer banan att vara be-gr¨ansad till enhetscirkeln, och det ¨ar h¨ar vi finner avbildningens kaotiska egenskaper.

Sats 19 ger oss att vi bara b¨or visa att T ¨ar topologiskt transitiv och att m¨angden av periodiska punkter f¨or T ¨ar t¨at i S := {z ∈ C : |z| = 1} d˚a vi begr¨ansar oss till |z₀| = 1.

Eftersom varje komplext tal p˚a enhetscirkeln kan skrivas som z = e^iϕ, d¨ar ϕ ¨ar talets argument, ser vi att avbildningen f¨or varje iteration f¨ordubblar argumentet. Det ¨ar l¨att att se att varje icke-tom ¨oppen delm¨angd U ⊂ S in-neh˚aller en b˚age med medelpunktsvinkeln 2π/2ⁿf¨or n˚agot n ∈ N. Vi noterar att vi genom att iterera n g˚anger f˚ar att Tⁿ(U ) inneh˚aller en b˚age med me-delpunktsvinkeln 2π, allts˚a hela S. D¨arf¨or har vi f¨or varje godtycklig ¨oppen delm¨angd V ⊂ S att

Tⁿ(U ) ∩ V 6= ∅, vilket visar att T ¨ar topologiskt transitiv.

Vi ¨overg˚ar till att unders¨oka de periodiska punkterna f¨or systemet, allt-s˚a l¨osningarna till ekvationen z²ⁿ = z d¨ar n ∈ N. Vi f˚ar e^i2nϕ = e^iϕ f¨or argumentet ϕ, vilket ger e^i(2n−1)ϕ = 1. Vi f˚ar l¨osningen

ϕ = 2πk 2ⁿ− 1,

f¨or k ∈ Z. Vi m¨arker snabbt att dessa periodiska punkter z = e^iϕ bildar en t¨at delm¨angd i S.

D¨armed har vi visat att avbildningen T ¨ar kaotisk f¨or utg˚angsv¨arden ur enhetscirkeln S.