En universell Blaschke-produkt

f ∈ C([a, b]) : sup

x∈[a,b]

|f (x) − F (x)| < ε )

⊂ S_n,k,

och eftersom funktionen F var godtycklig s˚a betyder detta att S_n,k^{ m˚aste vara t¨at.

Ur resonemanget ovan f¨oljer att S ¨ar en m¨angd av den f¨orsta Baire-kategorin, allts˚a m˚aste F = S^{ vara en residuell m¨angd i C([a, b]). Detta avslutar beviset.

4.3 En universell Blaschke-produkt

I v˚art tredje exempel, som hittades av Maurice Heins, vill vi visa att det finns en begr¨ansad analytisk funktion ϕ definierad i den ¨oppna enhetscirkelskivan D, s˚adan att varje funktion f som ¨ar analytisk och med |f (z)| ≤ 1 i D kan ges som det likformiga gr¨ansv¨ardet p˚a kompakta delm¨angder av en f¨oljd av speciella ”translationer” till ϕ. Det kommer att visa sig att ϕ de facto kan v¨aljas som en speciell sorts produkt kallad Blaschke-produkt, och beviset grundar sig p˚a ”A universal Blaschke product” av Heins (se [14]).

Vi kommer senare att notera att detta exempel ¨ar en icke-euklidisk version i D av n˚agot som kallas Birkhoffs translationer, som vi kommer att bekanta oss med n¨armare i Avsnitt 5.2.1.

Vi ¨overg˚ar nu till f¨oljande definition:

Definition 9 (Blaschke-produkt). L˚at (an)_n∈N vara en f¨oljd av punkter inuti enhetscirkelskivan D := {z ∈ C : |z| < 1}. D˚a s¨ager vi att f¨oljden uppfyller Blaschke-villkoret om

∞

X

n=1

(1 − |a_n|) < ∞.

Anta att vi har en s˚adan f¨oljd. Vi definierar B(a_k, z) := |a_k|

ak

· a_k− z 1 − akz,

f¨or ak 6= 0 och d¨ar ak betecknar elementets komplexkonjugat, och B(0, z) :=

z. D˚a best¨ams f¨oljdens Blaschke-produkt av uttrycket B(z) :=

∞

Y

n=1

B(a_n, z).

Man kan visa att B(z) ovan definierar en analytisk funktion i D med noll-st¨allen exakt i punkterna a_k, k ∈ N. F¨or definitionen och mer information om Blaschke-produkter, se exempelvis [20], sidorna 310-312. Vi formulerar och bevisar nu f¨oljande fundamentala resultat g¨allande Blaschke-produkternas konvergens som vi kommer att ha nytta av senare:

Sats 8. Anta att |z| < 1 och att funktionerna B(a_k, z) f¨or alla k ∈ N ¨ar som

Beviset grundar sig p˚a ett bevis av P. Koosis (se [16], sidorna 90-91):

Bevis. Ett klassiskt resultat inom den komplexa analysen (se till exempel [20], Theorem 15.4 p˚a sidorna 299-300) s¨ager att om vi har en f¨oljd (ϕ_n)_n∈N av begr¨ansade komplexa avbildningar p˚a enhetscirkelskivan D ⊂ C s˚a g¨aller

∞

Vi noterar att f¨or funktionerna B(a_k, z) i Definition 9 g¨aller att B(a_k, z) = |a_k| Detta i kombination med resultatet (7) ovan ger oss att Blaschke-produkten

∞

konvergerar om och endast om serien

Men om denna serie konvergerar ser vi utg˚aende fr˚an ekvation (8) i sj¨alva verket att serien Nu har vi igen utg˚aende fr˚an resultatet i (7) att

∞

Om produkten i Definition 9 ¨ar ¨andlig, det vill s¨aga B(z) =

m

Y

n=1

B(a_n, z),

f¨or n˚agot m ∈ N s˚a kallar vi den resulterande analytiska funktionen f¨or en

¨andlig Blaschke-produkt. F¨or mera information om ¨andliga Blaschke-produkter, se exempelvis [6]. Vi kommer att beh¨ova f¨oljande sats, som bevisats av den franske matematikern Pierre Fatou p˚a 1920-talet:

Sats 9. Anta att f : D → D ¨ar analytisk och satisfierar

|z|→1lim |f (z)| = 1.

D˚a ¨ar f en ¨andlig Blaschke-produkt.

F¨or beviset, se till exempel [6], Theorem 4.1 p˚a sidan 7. Id´en ¨ar att an-v¨anda sig av den ¨andliga Blaschke-produkt B som definieras av de ¨ and-ligt m˚anga nollst¨allena till funktionen f , och d¨arefter betrakta de analytiska funktionerna f /B och B/f . Resultatet f¨oljer fr˚an den komplexa analysens Maximumprincip (se Sats 27 i Avsnitt 8).

D˚a vi nu har diskuterat konvergensen av Blaschke-produkterna och for-mulerat denna sats kan vi g˚a vidare till avsnittets huvudsakliga resultat. Vi definierar ¨and˚a f¨orst delm¨angden

F := {f ∈ H(D) : |f(z)| ≤ 1 f¨or alla z ∈ D}

av underrummet av begr¨ansade analytiska funktioner f : D → C med sup-normen || · ||∞. Vi konstaterar vidare att topologin i H(D) definieras som likformig konvergens p˚a kompakta delm¨angder av D, och med hj¨alp av detta kan vi definiera t¨athet och andra begrepp r¨orande topologin f¨or vektorrummet H(D) och m¨angden F. Vi noterar att topologin i F allts˚a inte erh˚alls med hj¨alp av sup-normen || · ||∞.

Avsikten ¨ar nu att bevisa f¨oljande sats:

Sats 10. Det existerar en konvergent Blaschke-produkt ϕ : D → C med egenskaperna:

(I) Punkten z = 1 ¨ar den enda anhopningspunkten f¨or nollst¨allena till ϕ;

(II) Det existerar en monotont v¨axande f¨oljd (x_n)_n∈N ∈ [0, 1) med x₁ = 0 och lim_n→∞x_n = 1 s˚adan att det f¨or varje f ∈ F existerar en delf¨oljd (x_nk)_k∈N med egenskapen att

ϕ z + x_nk 1 + x_nkz



konvergerar likformigt mot f p˚a alla kompakta delm¨angder till D d˚a k → ∞.

Bevis. Vi b¨orjar med att visa att det existerar en funktionsf¨oljd (γ_n)_n∈N med f¨oljande egenskaper:

(i) Funktionerna γ_n ¨ar icke-konstanta och analytiska i D och satisfierar

|γ_n(z)| = 1 d˚a |z| = 1;

(ii) F¨or alla n ∈ N g¨aller γn(1) = γ_n(−1) = 1;

(iii) F¨or varje f ∈ F existerar en delf¨oljd till f¨oljden (γ_n)_n∈N som konverge-rar likformigt mot f p˚a kompakta delm¨angder till D.

Existensen av en s˚adan f¨oljd kommer att hj¨alpa oss vid konstruktionen av satsens Blaschke-produkt.

Vi utnyttjar f¨oljande sats, bevisad av G. Herglotz:

Sats 11. Varje analytisk funktion f (z) i D, som satisfierar Ref (z) ≥ 0 f¨or alla z ∈ D, kan skrivas som

f (z) = 1 2π

Z 2π 0

e^iα+ z

e^iα− zdµ(α) + id, (10) d¨ar d ¨ar ett reellt tal och integralen tas i Stieltjes-avseendet (se till exempel [19]) f¨or en icke-avtagande och begr¨ansad funktion µ.

Denna integralformel kallas f¨or Herglotzs formel. F¨or mer detaljer, se till exempel [5], Kapitel 1.1.

Vi approximerar (10) med de likformiga indelningarna P_n = {0, 2π/n, 4π/n, 6π/n, . . . , 2π}, d¨ar n ∈ N, av α ∈ [0, 2π]. Vi f˚ar summan

1 2π

n

X

k=0

e^2πik/n+ z e^2πik/n− z2π

µ(k/n) − µ((k − 1)/n) + id.

Om vi vidare approximerar µ(k/n)−µ((k−1)/n) med ett rationellt tal ak∈ Q f¨or alla k och d med ett rationellt d⁰ ∈ Q f˚ar vi till slut en approximerande

”rationell” summa

n

X

k=1

a_ke^2πik/n + z

e^2πik/n− z + id⁰. (11)

L˚at oss nu betrakta den uppr¨akneliga funktionsfamilj G, d¨ar varje funk-tion g ∈ G kan skrivas i formen (11), f¨or n˚agot n ∈ N och de rationella talen d⁰, a1, a2, . . . , an. Utg˚aende fr˚an Sats 11 ser vi att denna familj ¨ar t¨at i rummet av analytiska funktioner i D med positiv reell del, vilket g¨or det m¨ojligt att f¨or vilken som helst s˚adan funktion f erh˚alla en delf¨oljd ur G som konvergerar likformigt p˚a kompakta delm¨angder av D mot denna funktion.

Vi l˚ater g ∈ G vara given och betraktar avbildningen T : C\{−1} → C\{−1}, definierad av

T (z) = 1 − z 1 + z.

Vi noterar att T ¨ar analytisk i D och att f¨or z ∈ C g¨aller att

|T (z)| = |1 − z|

|1 + z| = p(1 − Rez)²+ (Imz)² p(1 + Rez)²+ (Imz)² ≤ 1,

om Rez > 0. Vi f˚ar att den sammansatta funktionen T ◦g ¨ar analytisk i D och att |(T ◦ g)(z)| ≤ 1 i D. Vi har d¨armed att T ◦ g ∈ F, och t¨atheten ovan ger vidare att funktioner av denna typ de facto ¨ar t¨ata i F . Vidare noterar vi att T

¨ar en analytisk bijektion med inversen T⁻¹ = T , som avbildar den komplexa talaxeln till enhetscirkeln {z ∈ C : |z| = 1}, medan varje funktion g avbildar enhetscirkeln till den komplexa talaxeln. Detta ger oss att |(T ◦ g)(z)| = 1 d˚a

|z| = 1. Sats 9 ger oss d˚a att T ◦ g ¨ar en ¨andlig Blaschke-produkt och d¨armed

¨

aven en rationell funktion.

Eftersom familjen av dessa funktioner bildar en uppr¨aknelig f¨oljd som

¨ar lokalt likformigt t¨at i F s˚a existerar det en f¨oljd (A_n)_n∈N som uppfyller villkoren (i) och (iii). Vi vill utg˚aende fr˚an denna f¨oljd konstruera den s¨okta f¨oljden (γ_n)_n∈N.

Vi b¨orjar med att konstatera att vi f¨or alla komplexa tal c, b₁, b₂ ∈ C med

|c| < 1 och |b₁| = |b₂| = 1 kan hitta funktioner h ∈ H(D), h(z) := c + zρ(z)

1 + czρ(z), d¨ar funktionen ρ : D → D har formen

ρ(z) := ζ p − z

1 − pz (12)

f¨or l¨ampliga |p| < 1 och |ζ| = 1, och d¨ar ρ(1) = d₁ och ρ(−1) = d₂ f¨or tal d₁ och d₂ med |d₁| = |d₂| = 1 l¨oser ekvationerna

b₁ = c + d₁ 1 + cd1

, och b₂ = c − d₂ 1 − cd2

. Fr˚an detta f¨oljer det att h(0) = c, h(1) = b₁ och h(−1) = b₂.

D¨armed vet vi nu att det f¨or alla n ∈ N existerar s˚adana analytiska funktioner hn ∈ H(D) att

h_n(0) = 1 − 1

2ⁿ, h_n(1) = 1

A_n(1), h_n(−1) = 1 A_n(−1). Vi f˚ar den s¨okta f¨oljden (γ_n)_n∈N genom att s¨atta γ_n = A_n· h_n.

Eftersom den sammansatta funktionen av tv˚a ¨andliga Blaschke-produkter

¨ar en ¨andlig Blaschke-produkt (se [6], Theorem 3.12 p˚a sidan 6), och eftersom funktionen ρ i (12) och funktionen z 7→ z ¨ar ¨andliga Blaschke-produkter f˚ar vi att funktionerna h_n ¨ar ¨andliga Blaschke-produkter. Detta ger oss att ¨aven γ_n f¨or alla n ∈ N ¨ar en ¨andlig Blaschke-produkt.

Vi vet allts˚a att en funktionsf¨oljd (γ_n)_n∈N med egenskaperna (i)-(iii) ovan existerar, d¨ar varje funktion γ_n¨ar en ¨andlig Blaschke-produkt. Utg˚aende fr˚an denna f¨oljd kan vi nu konstruera den universella produkten. F¨orst visar vi att det existerar en s˚adan monotont v¨axande f¨oljd (y_n)_n∈N0 ⊂ [0, 1) att y₀ = 0 och limn→∞yn = 1 och s˚adan att

ϕ_n(z) := γ_n z − y_n 1 − y_nz



uppfyller f¨oljande villkor:

(i) Alla nollst¨allen till funktionen ϕ_n+1 ligger i omr˚adet {z ∈ C : |z − 1| ≤ 2⁻ⁿ⁻¹} ∩ D;

(ii) |ϕn+1(y) − 1| ≤ 2⁻ⁿ⁻¹ f¨or −1 ≤ y ≤ yn; (iii) |ϕ_k(y_n+1) − 1| ≤ 2⁻ⁿ⁻¹ f¨or k = 0, 1, 2, . . . , n;

f¨or alla n ∈ N.

F¨or att konstruera f¨oljden (y_n)_n∈N b¨orjar vi med att notera att den sam-mansatta funktionen av den ¨andliga Blaschke-produkten γ_n och M¨ obiusav-bildningen

θ_n(z) := z − y_n 1 − y_nz

¨ar en ¨andlig Blaschke-produkt. Detta beror p˚a att den sammansatta funk-tionen bevarar antalet nollst¨allen, och ¨aven den ¨andliga Blaschke-produktens egenskaper.

Konstruktionen av f¨oljden (y_n)_n∈N0 och funktionerna ϕ_n, n = 1, 2, 3 . . .

¨ar rekursiv, och notera att den sker p˚a s˚a vis att villkoren (i), (ii) och (iii) samtidigt uppfylls. Detta sker genom att alltid v¨alja f¨oljande element i f¨oljden tillr¨ackligt n¨ara 1. Vi b¨orjar med att anta att y₀, y₁, . . . , y_noch ϕ₁, ϕ₂, . . . , ϕ_n redan konstruerats.

Funktionen γ_n+1 har sina ¨andligt m˚anga nollst¨allen i D. Vi noterar att M¨obiusavbildningen θ_n+1(z) har inversen

θ⁻¹_n+1(w) = w + y_n+1 1 + y_n+1w,

vilken har sitt nollst¨alle i −y_n+1. D˚a kan vi v¨alja y_n+1 p˚a s˚a vis att yn< yn+1 < 1, och s˚a att ϕn+1 har sina nollst¨allen i m¨angden

{z ∈ C : |z − 1| ≤ 2⁻ⁿ⁻¹} ∩ D.

Detta ger oss villkor (i).

Eftersom γ_n+1¨ar kontinuerlig i D och γn+1(−1) = 1, och eftersom vi redan konstruerat y₀, . . . , y_n f˚ar vi att

|ϕn+1(x) − 1| < 2⁻ⁿ⁻¹

d˚a −1 ≤ x ≤ y_n, och d˚a vi v¨aljer y_n+1tillr¨ackligt n¨ara 1 f¨or att ¨aven satisfiera villkor (i). Detta ger oss villkor (ii).

Eftersom ϕk(1) = 1 f¨or alla k = 1, . . . , n kan vi utg˚aende fr˚an kontinui-teten v¨alja ett element y_n+1 tillr¨ackligt n¨ara 1 f¨or att uppfylla villkor (i) och (ii) och som vidare ger oss att

|ϕk(yn+1) − 1| < 2⁻ⁿ⁻¹. Detta ger oss villkor (iii).

Eftersom y₀ = 0 och y₁ enkelt kan konstrueras utg˚aende fr˚an villkoren (i)-(iii) f¨oljer det d¨armed att vi har konstruerat v˚ar f¨oljd (y_n)_n∈N0, och d¨armed

¨

aven funktionerna ϕn f¨or alla n ∈ N.

Vi vill nu visa att produkten ϕ(z) :=Q∞

n=1ϕ_n(z) faktiskt konvergerar f¨or

|z| < 1 och har de egenskaper som gavs i Sats 10. Vi anv¨ander oss av Sats 8 f¨or att visa att produkten konvergerar.

Det klassiska resultatet (7) i Sats 8 i kombination med villkor (ii) ovan ger oss att

∞

Y

n=1

ϕ_n(0) konvergerar,

och eftersom varje funktion ϕ_n ¨ar en ¨andlig produkt med faktorer i formen B(a_k, z) f¨oljer det ur Sats 8 att ¨aven

∞

Y

n=1

ϕ_n(z) konvergerar.

Ur detta f¨oljer det att ϕ(z) existerar och ¨ar en Blaschke-produkt.

Vi vill nu ¨annu visa att det f¨or varje f ∈ F existerar en delf¨oljd (y_nk)_k∈N likformigt konvergerar mot f p˚a kompakta delm¨angder av D d˚a k → ∞.

Vi l˚ater f ∈ F vara en given funktion, och b¨orjar med att notera att vi utg˚aende fr˚an konstruktionen vet att det existerar en f¨oljd (n_k)_k∈N av na-turliga tal n_k ∈ N s˚adan att funktionsf¨oljden (γ_nk)_k∈N konvergerar likformigt mot f p˚a kompakta delm¨angder till D.

Triangelolikheten ger oss f¨oljande:



d¨ar vi i h¨ogra leden har F¨or att kunna forts¨atta beh¨over vi f¨orst en form av medelv¨ardesolikheten formulerad f¨or Banachrum:

Sats 12 (Medelv¨ardesolikheten f¨or Banachrum). L˚at X vara ett Banachrum med normen || · ||_X och [a, b] ett reellt intervall. Om funktionen f : [a, b] → X

¨ar kontinuerlig och differentierbar i (a, b) s˚a g¨aller det att

||f (b) − f (a)||_X ≤ sup

t∈(a,b)

||f⁰(t)||_X

!

|b − a|.

F¨or ett bevis av satsen, och f¨or en vidare diskussion om differentiering i Banachrum, se till exempel [15], sidorna 103-107. F¨or v˚ara syften r¨acker det att konstatera att X = C ¨ar ett Banachrum och att differentieringen i satsen i detta fall helt enkelt motsvaras av vanlig derivering av funktioner med v¨arden i C.

L˚at oss nu f¨or ett fixerat m ∈ N betrakta de kontinuerliga och diffieren-tierbara funktionerna fm(t) : [0, 1] → C d¨ar

och u_k ∈ D f¨or alla k ∈ N. Vi noterar att f(0) = 1, och att vi vidare kan

Detta ger oss funktionens derivata i formen

f_m⁰ (t) =

Medelv¨ardesolikheten f¨or Banachrum s¨ager att

|f (1) − f (0)| ≤ sup

D˚a vi l˚ater m v¨axa mot o¨andligheten f˚ar vi den allm¨anna olikheten

Vi kommer nu att till¨ampa denna olikhet i v˚art bevis. Vi betraktar av-st˚andet |Q

Genom att kombinera dessa uppskattningar f˚ar vi att:



Detta i kombination med Sats 8 ger oss att Y

n6=nk

ϕ_n z + y_nk 1 + y_nkz



konvergerar, vilket implicerar att denna o¨andliga produkt konvergerar likfor-migt p˚a kompakta delm¨angder K ⊂ D. Ur detta f¨oljer att produkten

ϕ z + y_nk 1 + y_nkz



likformigt konvergerar mot v˚ar funktion f p˚a varje kompakt delm¨angd i D.

Detta avslutar beviset.

Vi kan notera att beviset f¨or att de universella Blaschke-produkterna exi-sterar var mycket tekniskt, och kr¨avde flera omfattande resultat, b˚ade ur den komplexa analysen och ur funktionalanalysen. Det ¨ar ¨aven v¨art att s¨arskilt n¨amna att den universella Blaschke-produkten i Sats 10 explicit konstruera-des utan hj¨alp av Universalitetskriteriet eller motsvarande resultat.

Nu ¨overg˚ar vi till ett delomr˚ade inom teorin om universalitet d¨ar resul-taten ¨ar betydligt enklare att uppn˚a och hantera.

5 Hypercykliska operatorer

5.1 Hypercyklicitetskriteriet

Teorin bakom universella familjer ¨ar mindre k¨and, men vi ¨overg˚ar nu till att betrakta ett specialfall av universalitet d¨ar teorin redan ¨ar relativt v¨ alut-vecklad. I Definition 1 betraktade vi en familj av avbildningar (T_i)_i∈I, d¨ar I ¨ar n˚agon indexm¨angd, och f¨or dessa definierade vi begreppen universella familjer och universella element. Nu begr¨ansar vi oss till linj¨ara avbildningar, allts˚a avbildningar T definierade i ett vektorrum X med egenskapen

T (αx + βy) = αT (x) + βT (y)

f¨or alla skal¨arer α och β och alla element x, y ∈ X, d¨ar ¨aven αx + βy ∈ X.

D¨artill v¨aljer vi att unders¨oka den speciella familj av operatorer d¨ar varje operator ¨ar n˚agon iteration av en och samma operator T (se Avsnitt 3.2 f¨or fler detaljer). Vi ger f¨oljande definition:

Definition 10. L˚at X vara ett linj¨art topologiskt vektorrum och T : X → X en kontinuerlig operator. D˚a kallas en vektor x ∈ X hypercyklisk f¨or T om m¨angden

{Tⁿx : n ∈ N0}

¨ar t¨at i X. Operatorn T ¨ar hypercyklisk om den har en hypercyklisk vektor.

Vi noterar att m¨angden {Tⁿ: n ∈ N0} ¨ar ett specialfall av v˚ara universella familjer fr˚an Avsnitt 2. Vi kommer ofta att r¨ora oss i F-rum d˚a vi unders¨oker hypercyklicitet, och i en s˚adan omgivning kan vi formulera f¨oljande version av Universalitetskriteriet:

Sats 13. L˚at X vara ett separerbart F-rum, och l˚at T vara en kontinuerlig operator p˚a X. D˚a ¨ar f¨oljande villkor ekvivalenta:

(I) T ¨ar hypercyklisk;

(II) F¨or varje x, y ∈ X existerar s˚adana f¨oljder (x_k)_k∈N i X och (n_k)_k∈N i N att

x_k → x och T^nkx_k → y d˚a k → ∞.

Eftersom X enligt Baires kategorisats (se Sats 21 i Avsnitt 8) dessutom ¨ar ett Bairerum s˚a ¨ar m¨angden av hypercykliska vektorer f¨or T residuell i X.

Notera att (II) kommer fr˚an Korollarium 1 och det faktum att X ¨ar metriserbart.

Nu formulerar vi det s˚a kallade Hypercyklicitetskriteriet, som ¨ar ett an-v¨andbart men mera specialiserat resultat ¨an Universalitetskriteriet f¨or att unders¨oka hypercykliciteten hos operatorer. Formuleringen och beviset f¨oljer boken ”Linear Chaos” av K-G Grosse-Erdmann och Alfred Peris Manguillot (se [10], Theorem 3.12, sidorna 74-76). Det ¨ar v¨art att notera att det ocks˚a ¨ar m¨ojligt att bevisa satsen utg˚aende fr˚an den topologiska transitiviteten och del (III) i Universalitetskriteriet i Sats 1, men vi v¨aljer h¨ar att ge en mer konkret konstruktion.

Sats 14 (Hypercyklicitetskriteriet). L˚at X vara ett separerbart F-rum, och T en kontinuerlig operator p˚a X. Anta att det finns t¨ata delm¨angder X₀ och Y₀ av X, en v¨axande f¨oljd (n_k)_k∈N av positiva heltal och avbildningar S_nk : Y₀ → X s˚adana att

(i) f¨or varje x ∈ X₀ g¨allet lim_k→∞T^nkx = 0;

(ii) f¨or varje y ∈ Y₀ g¨aller lim_k→∞S_nky = 0;

(iii) f¨or varje y ∈ Y0 g¨aller limk→∞(T^nk ◦ Sn_k)y = y.

D˚a ¨ar T hypercyklisk.

Bevis. Vi l˚ater || · ||_F beteckna F-normen f¨or v˚art Fr´echetrum X. Eftersom rummet X ¨ar separerbart s˚a inneh˚aller det en uppr¨aknelig och t¨at f¨oljd av element. Vi kan d¨armed v¨alja en s˚adan f¨oljd ur den t¨ata delm¨angden Y₀, allts˚a en f¨oljd (y_j)_j∈N, d¨ar y_j ∈ Y₀ f¨or alla j ∈ N och {yj : j ∈ N} = X.

F¨or att visa att T ¨ar hypercyklisk vill vi hitta en hypercyklisk vektor f¨or operatorn. Vi kommer nu att visa att det existerar en f¨oljd (x_j)_j∈N⊂ X och en f¨oljd positiva heltal (k_j)_j∈N s˚a att den konstruerade serien

x :=

∞

X

j=1

(x_j + S_nkjy_j) (17)

konvergerar i X och ¨ar en hypercyklisk vektor f¨or T i X.

F¨or detta ¨andam˚al konstruerar vi nu rekursivt vektorerna x_j och heltalen

Vi l˚ater sedan j ≥ 2. L˚at oss anta att vi har konstruerat alla vektorer x_l och positiva heltal k_l f¨or l = 1, 2, . . . , j − 1 s˚a att (18), (19) och (20) g¨aller. satisfierar olikheterna i (18) och s˚adant att

j−1

X

l=1

(x_l+ S_nkly_l) + x_j ∈ X₀. (21) Om vi nu v¨aljer ett tillr¨ackligt stort k_j s˚a f¨oljer det direkt fr˚an villkoren (i), (ii) och (iii) att ¨aven den f¨orsta olikheten i (19) och olikheterna i (20) satisfieras f¨or alla tidigare val xl d˚a l = 1, 2, . . . , j. Den andra olikheten i (19) f˚as utg˚aende fr˚an kontinuiteten av operatorn T . Eftersom vi redan konstruerat x₁ och k₁ har vi d¨armed lyckats konstruera f¨oljderna (x_j)_j∈N och (kj)_j∈N.

F¨or att visa att serien

∞

X

j=1

(x_j + S_nkjy_j)

konvergerar i X beh¨over vi nu bara anv¨anda de f¨orsta olikheterna i (18) och (19). Vi ser att serien konvergerar som en geometrisk serie i F-normen, och d¨armed existerar v˚ar vektor x i (17).

Nu vill vi till sist visa att x ¨ar en hypercyklisk vektor f¨or operatorn T . Vi anv¨ander oss av olikheterna i (18), (19) och (20), samt av (21) och noterar f¨oljande: vektor f¨or operatorn T , och d¨armed ¨ar T hypercyklisk.

Hypercyklicitetskriteriet i Sats 14 ger oss ett redskap som i m˚anga fall

¨ar nyttigare ¨an den omarbetade versionen av Universalitetskriteriet i Sats 13 [9]. Det finns m˚anga motsvarande kriterier f¨or hypercyklicitet, och i boken

”Linear Chaos” (se [10]) byggs Hypercyklicitetskriteriet stegvis upp utg˚aende fr˚an s˚adana.

I boken konstateras d¨artill att en operator T satisfierar Hypercyklicitets-kriteriet om och endast om den satisfierar f¨oljande kriterium:

Det existerar ett t¨att linj¨art underrum X₀ i F-rummet X, en f¨oljd (n_k)_k∈N av positiva heltal och linj¨ara avbildningar S_nk : X₀ → X, k ≥ 1 s˚adana att

(i) lim_k→∞T^nkx = 0 f¨or alla x ∈ X₀; (ii) limk→∞Sn_kx = 0 f¨or alla x ∈ X0;

(iii) lim_k→∞(T^nk ◦ S_nk)x = x f¨or alla x ∈ X₀.

F¨or satsen och beviset h¨anvisar vi till [10], Proposition 3.20 p˚a sidan 79, men vi avst˚ar h¨ar fr˚an att g˚a n¨armare in p˚a detaljerna.

I ett specialfall f˚ar vi dessutom ytterligare en f¨orenklad version av Sats 14, som ¨ar uppkallat efter matematikern C. Kitai, som var den f¨orsta att visa hypercyklicitetskriteriet [18]:

Sats 15 (Kitais kriterium). L˚at X vara ett separerbart F-rum. L˚at

T : X → X vara en kontinuerlig operator. Anta att det existerar s˚adana t¨ata delm¨angder X0 och Y0 i X och en s˚adan avbildning S : Y0 → Y0 att

(i) Tⁿx → 0 f¨or alla x ∈ X₀ d˚a n → ∞;

(ii) Sⁿy → 0 f¨or alla y ∈ Y₀ d˚a n → ∞;

(iii) T (Sy) = y f¨or alla y ∈ Y₀. D˚a ¨ar T hypercyklisk.

Bevis. Vi utg˚ar fr˚an Hypercyklicitetskriteriet och v¨aljer den v¨axande f¨oljden (n_k)_k∈N = (k)_k∈N och avbildningen S_nk = S^nk = S^k. Hypercyklicitetskriteriet ger oss att T d˚a m˚aste vara hypercyklisk.

Vi bevisade Hypercyklicitetskriteriet i Sats 14 genom att explicit kon-struera en hypercyklisk vektor f¨or v˚ar operator. Detta resultat och de mot-svarande kriterierna kunde ¨aven bevisas utg˚aende fr˚an den topologiska tran-sitiviteten som vi definierade i Avsnitt 3.2, och vi kommer att se att detta begrepp i sj¨alva verket ¨ar n¨ara sammanbundet med hypercykliciteten.

F¨or att unders¨oka hypercyklicitet med hj¨alp av topologisk transitivitet beh¨over vi en version av Birkhoffs transitivitetssats f¨or kontinuerliga avbild-ningar p˚a vissa metriska rum (se [10], Theorem 1.16, s. 10):

Sats 16. L˚at T vara en kontinuerlig avbildning p˚a ett separerbart och full-st¨andigt metriskt rum X utan isolerade punkter. D˚a ¨ar T hypercyklisk om och endast om T ¨ar topologiskt transitiv.

Bevis. Vi b¨orjar med att notera att kravet p˚a ett rum utan isolerade punkter beh¨ovs f¨or att f¨oljande villkor ska g¨alla:

Om det f¨or ett element x ∈ X g¨aller att {Tⁿ(x) : n ∈ N⁰} ¨ar t¨at i X s˚a g¨aller detta ¨aven f¨or ett element y = T^m(x) ∈ X f¨or alla m ∈ N0.

I metriska rum utan isolerade punkter g¨aller det n¨amligen att en t¨at m¨angd f¨orblir t¨at ¨aven om man avl¨agsnar ett ¨andligt antal punkter fr˚an m¨angden.

Vi kan nu ¨overg˚a till att bevisa satsen:

”⇒” Anta att T ¨ar hypercyklisk enligt en version av Definition 10 till¨ am-pad p˚a kontinuerliga avbildningar i metriska rum. D˚a g¨aller det per definition att det existerar n˚agot s˚adant element x ∈ X att m¨angden {Tⁿx : n ∈ N0}

¨ar t¨at i X. L˚at U och V vara ¨oppna och icke-tomma delm¨angder i X. T¨ at-heten ger oss att vi kan hitta ett n ≥ 0 s˚adant att Tⁿx ∈ U och ett s˚ a-dant m ≥ n att T^mx ∈ V . Eftersom T^m−n(Tⁿx) = T^mx ∈ V f˚ar vi att T^m−n(Tⁿx) ∈ T^m−n(U ) ∩ V . Detta betyder att

T^m−n(U ) ∩ V 6= ∅, vilket visar att T ¨ar topologiskt transitiv.

”⇐” Anta nu att T ¨ar topologiskt transitiv. Vi betecknar metriken i rum-met med d. Eftersom X ¨ar separerbart vet vi att det finns en uppr¨aknelig m¨angd {y_j : j ∈ N} som ¨ar t¨at i X. Detta betyder att de ¨oppna kloten B_j := {z ∈ X : d(z, y_j) < 1/j} f¨or j ∈ N bildar en uppr¨aknelig bas till topologin i X.

F¨or att visa att det existerar hypercykliska vektorer f¨or T b¨orjar vi med att f¨or varje j ∈ N definiera m¨angden av alla element som f¨or n˚agon iteration av T avbildas till ett specifikt B_j:

U_j := {z ∈ X : det existerar ett n ∈ N s˚adant att Tⁿz ∈ B_j}.

En hypercyklisk vektor x m˚aste tillh¨ora alla dessa m¨angder U_j, s˚a vi under-s¨oker storleken av denna snittm¨angd best˚aende av hypercykliska vektorer till avbildningen T : na-turligtvis ger att ¨aven den uppr¨akneliga unionen av alla dessa m¨angder ¨ar

¨oppen. Vidare har vi utg˚aende fr˚an den topologiska transitiviteten att denna m¨angd m¨oter varje ¨oppen delm¨angd i X, vilket med andra ord betyder att m¨angden och speciellt att den ¨ar icke-tom. T ¨ar allts˚a en hypercyklisk avbildning.

Vi kan j¨amf¨ora detta resultat med Sats 3 och konstatera att vi ¨aven kunde ha anv¨ant denna sats f¨or att motivera sambandet mellan topologisk transitivitet och hypercyklicitet, samt att bevisen i stort sett f¨oljer samma uppbyggnad.

Vi har redan noterat att vi ofta kommer att r¨ora oss i F-rum d˚a vi un-ders¨oker hypercyklicitet, och i s˚adana omgivningar f˚ar vi nu f¨oljande version av satsen ovan:

Sats 17. L˚at T vara en kontinuerlig operator p˚a ett F-rum X. D˚a ¨ar T hypercyklisk om och endast om T ¨ar topologiskt transitiv.

En intressant punkt att notera ¨ar att ekvivalensen mellan topologisk tran-sitivitet och hypercyklicitet inte g¨aller f¨or mera allm¨anna topologiska rum.

I allm¨anna topologiska vektorrum har vi att en avbildnings hypercyklicitet implicerar topologisk transitivitet, men det omv¨anda g¨aller inte. F¨or mer detaljer, se till exempel Avsnitt 12.2 i ”Linear Chaos” ([10], sidorna 334-337).

Den topologiska transitiviteten ger oss ett effektivt och anv¨andbart verk-tyg f¨or att unders¨oka hypercykliciteten hos olika operatorer. ¨Aven om Hy-percyklicitetskriteriet i Sats 14 och dess f¨oljdsatser i m˚anga fall blir sv˚ara att till¨ampa kan vi ¨and˚a i s˚adana fall ofta anv¨anta oss av transitiviteten.

Hypercyklicitetskriteriet och Kitais kriterium i Sats 15 ¨ar ¨and˚a de tv˚a mest praktiska versionerna av satserna ovan.

I n¨asta avsnitt ger vi n˚agra exempel p˚a hypercykliska operatorer, samt bevis f¨or att dessa verkligen ¨ar hypercykliska enligt Definition 10.

In document HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI (Page 32-51)