V˚art andra exempel behandlar s˚a kallade universella primitiva funktioner (eng: Universal primitives) f¨or m¨atbara, n¨asta ¨overallt ¨andliga funktioner i R.
˚Ar 1935 bevisade den polske matematikern J´osef Marcinkiewicz existensen av s˚adana funktioner. Vi ˚aterger h¨ar definitionen av universella primitiva funktioner och beviset f¨or att de existerar. B˚ade definitionen och satserna baserar sig p˚a Andrew Bruckners ”Differentiation of Real Functions” (se [4]).
Definition 8. L˚at funktionen f vara m¨atbar och ¨andlig n¨astan ¨overallt i R, och l˚at f¨oljden (hn)n∈N uppfylla kravet hn → 0 d˚a n → ∞. Om det existerar en kontinuerlig funktion F och en delf¨oljd (hnk)k∈N till (hn)n∈N s˚adana att
k→∞lim
F (x + hnk) − F (x)
hnk = f (x) n¨astan ¨overallt (6) s˚a kallas F f¨or en generaliserad primitiv funktion till f .
Om det f¨or alla m¨atbara och n¨astan ¨overallt ¨andliga funktioner f finns en s˚adan delf¨oljd (hnk)k∈N att (6) g¨aller, s˚a att den kontinuerliga funktionen F allts˚a ¨ar en generaliserad primitiv funktion till alla s˚adana funktioner f , s˚a kallas F f¨or en universell primitiv funktion.
Marcinkiewicz visade att s˚adana kontinuerliga och universella primitiva funktioner existerar f¨or alla reella intervall [a, b]. Vi kommer nu att formulera och bevisa detta resultat.
Sats 7. L˚at (hn)n∈N vara en f¨oljd med hn → 0 d˚a n → ∞ och hn 6= 0 f¨or alla n ∈ N. D˚a g¨aller f¨oljande: Om f ¨ar m¨atbar och ¨andlig n¨astan ¨overallt i [a, b] s˚a existerar en delf¨oljd (hnk)k∈N av (hn)n∈N s˚adan att
k→∞lim
F (x + hnk) − F (x)
hnk = f (x)
f¨or n¨astan alla x ∈ [a, b] och f¨or alla kontinuerliga F i n˚agon residuell del-m¨angd av C([a, b]).
Beviset av satsen baserar sig p˚a tv˚a hj¨alpsatser som vi nu kommer att formulera och skissera bevis f¨or.
Lemma 6. L˚at F1 och F2 vara kontinuerliga funktioner definierade p˚a in-tervallet [a, b], d¨ar F2 ¨ar deriverbar n¨astan ¨overallt. F¨or varje ε > 0 existerar d˚a en kontinuerlig funktion G s˚adan att G0 = F20 n¨astan ¨overallt i intervallet, och |F1(x) − G(x)| < ε f¨or alla x ∈ [a, b].
Bevisets id´e: Vi l˚ater ε > 0 vara godtyckligt. Vi s¨oker efter en kontinuerlig funktion G s˚adan att
G0(x) = F20(x) f¨or n¨astan alla x ∈ [a, b], och
|F1(x) − G(x)| < ε f¨or alla x ∈ [a, b].
Eftersom funktionerna F1 och F2 ¨ar kontinuerliga i intervallet [a, b] kan vi i samma intervall betrakta den kontinuerliga funktionen G1 := F1 − F2 ∈ C([a, b]). Vi v¨aljer nu en s˚a t¨at indelning a = a1, a2, a3, . . . , an−1, an = b av intervallet att vi i varje delintervall [ak−1, ak] kan approximera G1 med ett linjesegment.
P˚a dessa intervall definierar vi d¨arefter funktioner Ck av Cantor-typ, det vill s¨aga monotona funktioner som konstruerats p˚a samma vis som Cantors trappstegsfunktion. Denna ber¨omda surjektion fC : [0, 1] → [0, 1] ¨ar str¨angt monoton i den klassiska Cantorm¨angden C(1/3) och har derivatan fC0 (x) = 0 f¨or n¨astan alla x ∈ [0, 1] (se Definition 16 i Avsnitt 8, eller kursen Reell Analys I). Genom att omskala och f¨orflytta denna funktion kan vi konstruera funktioner med motsvarande egenskaper p˚a varje intervall [ak−1, ak].
Vi noterar att eftersom vi i varje intervall [ak−1, ak] kan approximera funktionen G1 med ett linjesegment, och eftersom vi i varje intervall kan konstruera en funktion Ck som ligger godtyckligt n¨ara denna linje, s˚a kan vi konstruera s˚adana funktioner Ckatt |G1(x)−Ck(x)| < ε f¨or alla x ∈ [ak−1, ak] och Ck(ak−1) = G1(ak−1) och Ck(ak) = G1(ak). Om vi nu definierar en funktion C s˚adan att C(x) = Ck(x) d˚a x ∈ [ak−1, ak], s˚a noterar vi att C ¨ar en kontinuerlig och n¨astan ¨overallt deriverbar funktion som har egenskapen att C0(x) = 0 n¨astan ¨overallt i intervallet [a, b] och
|G1(x) − C(x)| < ε f¨or x ∈ [a, b].
Vidare ser vi att om vi definierar funktionen G = F2+C s˚a har vi att G0 = F20 n¨astan ¨overallt i intervallet [a, b]. Dessutom har vi att
|F1(x) − G(x)| = |F1(x) − F2(x) − C(x)| = |G1(x) − C(x)| < ε
f¨or x ∈ [a, b]. D¨armed ¨ar G v˚ar s¨okta funktion och detta avslutar beviset av lemmat.
Lemma 7. L˚at f vara m¨atbar och ¨andlig n¨astan ¨overallt p˚a intervallet [a, b], och l˚at (Pk)k∈N vara en uppr¨akning av alla polynom med rationella koeffici-enter. D˚a existerar en delf¨oljd (Pki)i∈N av (Pk)k∈N s˚adan att Pki → f n¨astan
¨overallt p˚a intervallet [a, b].
Bevisets id´e: Lemmat f¨oljer direkt fr˚an Weierstrass Approximeringssats och fr˚an Luzins sats (se Sats 22 och Sats 23 i Avsnitt 8). Vi l˚ater m ∈ N vara godtyckligt. Luzins sats s¨ager att vi f¨or varje m¨atbar funktion f och med
avseende p˚a Lebesguem˚attet kan hitta en kompakt delm¨angd Em ⊂ [a, b]
i vilken f ¨ar kontinuerlig f¨or n¨astan alla x. Med andra ord har vi att den m¨atbara och ¨andliga funktionen f |Em ¨ar kontinuerlig f¨or n¨astan alla x ∈ Em. Weierstrass sats ger oss vidare att vi p˚a intervallet [a, b] kan approxime-ra varje kontinuerlig funktion f med ett polynom P . Det betyder att det existerar ett s˚adant polynom P att
sup
x∈Em
|f (x) − P (x)| < 1 m.
D˚a f i v˚art fall bara ¨ar kontinuerlig n¨astan ¨overallt i intervallet f˚ar vi naturligt att P endast approximerar funktionen n¨astan ¨overallt p˚a [a, b].
Vi beh¨over nu bara v¨alja en s˚adan f¨oljd (Pkm)m∈N av polynom med ratio-nella koefficienter att
sup
x∈[a,b]
|Pkm(x) − P (x)| < 1 m. Det f¨oljer att
sup
x∈Em
|f (x) − Pkm(x)| < 2 m,
och d¨armed har f˚ar vi iterativt ur de b˚ada satserna att Pkm → f d˚a m → ∞ n¨astan ¨overallt p˚a intervallet [a, b]. Detta avslutar beviset av lemmat.
Vi kan nu ¨overg˚a till att bevisa satsen.
Bevis av sats 7. Vi l˚ater (Pk)k∈Nvara en fixerad uppr¨akning av alla polynom med rationella koefficienter och (hn) vara som i Sats 7, och d¨artill betecknar vi Lebesguem˚attet i R med µ. Vi betraktar m¨angden F av de kontinuerliga funktioner F ∈ C([a, b]) f¨or vilka g¨aller att det f¨or varje par n, k av positiva heltal finns ett p > n s˚adant att
F (x + hp) − F (x)
hp − Pk(x)
< 1 n,
f¨orutom p˚a en m¨angd D ⊂ [a, b] med m˚attet µ(D) < 1/n. Utg˚aende fr˚an Lemma 7 kan vi hitta en s˚adan delf¨oljd av polynom (Pki)i∈N som konvergerar n¨astan ¨overallt mot vilken som helst given funktion f som ¨ar m¨atbar och
¨andlig i intervallet [a, b]. Detta betyder att vi f¨or vilken som helst funktion
f med dessa egenskaper genom att v¨alja l¨ampliga k och n kan skapa en f¨oljd (hp)p∈N som ger oss konvergens mot funktionen f .
Det f¨oljer att vi bara beh¨over visa att denna m¨angd F bildar en residuell delm¨angd i C([a, b]), och speciellt att F 6= ∅ s˚a att universella primitiva funktioner existerar. (se Definition 2). Detta g¨or vi genom att visa att Sn,k ¨ar sluten och har ett t¨att komplement.
Vi b¨orjar med att visa att Sn,k ¨ar sluten. Vi l˚ater (Fq)q∈N vara en f¨oljd i Sn,k s˚adan att Fq konvergerar likformigt mot n˚agon funktion F i C([a, b]).
Vi p˚ast˚ar att F ∈ Sn,k. Vi l˚ater ε > 0 vara godtyckligt och v¨aljer ett s˚adant
f¨or x ∈ E med µ(E) ≥ 1/n. V˚art ε ¨ar godtyckligt, s˚a d¨armed har vi F ∈ Sn,k som ¨onskat, vilket implicerar att Sn,k ¨ar sluten i C([a, b]).
F¨or att visa att Sn,k har ett t¨att komplement l˚ater vi F ∈ Sn,k och till¨ampar Lemma 6 p˚a funktionerna F och Pk. Lemmat ger direkt att det f¨or varje k och f¨or varje ε > 0 existerar en funktion G ∈ C([a, b]) s˚adan att G0 = Pk n¨astan ¨overallt i [a, b] och |G(x) − F (x)| < ε f¨or alla x i intervallet.
Eftersom G0 = Pk n¨astan ¨overallt i intervallet har vi att G /∈ Sn,k. Eftersom vi d¨armed inte kan hitta ett s˚adant ε > 0 att den ¨oppna kulan
(
f ∈ C([a, b]) : sup
x∈[a,b]
|f (x) − F (x)| < ε )
⊂ Sn,k,
och eftersom funktionen F var godtycklig s˚a betyder detta att Sn,k{ m˚aste vara t¨at.
Ur resonemanget ovan f¨oljer att S ¨ar en m¨angd av den f¨orsta Baire-kategorin, allts˚a m˚aste F = S{ vara en residuell m¨angd i C([a, b]). Detta avslutar beviset.