Under studiens fortlöpande har ytterligare frågor uppkommit angående hur barns förmågor att storleksordna utvecklas. Dessa frågor har inte kunnat besva-ras eftersom effekten och betydelsen av vissa avvägningar eller val av aktiviteter som gjordes inför och under studiens gång inte kunde förutses. En fråga som uppstod i analysarbetet var: Har färgen på ringarna någon betydelse? En annan fråga var: Vilken betydelse har antalet om fler eller färre ringar ska placeras? Ringarna placeras på skaftet och ger barnen då ett handlingserbjudande, men hur ordnar barnen ringar i olika storlek, om de inte har tillgång till något skaft? Då barn endast ordnade burkar med ett cirkulärt tvärsnitt uppstod frågan om de har burkar med exempelvis ett kvadratiskt tvärsnitt, sker förmågans utveckling då på samma sätt, när en dimension tillkommer (rotation, hur burken måste vridas) och fler värden måste urskiljas? Resultaten visar att när barnen var experter på att storleksordna föremålen så grupperade de om föremålen och byggde andra storleksordningar. Då uppstod frågan: Hur fortskrider utvecklingen av förmågan att storleksordna föremål och vilka andra storleksgrupperingar gör barnen? Dessa frågor skulle kunna studeras genom en än mer experimentell, systematisk och longitudinell design.
Tidigare forskning om barns lärande i matematik har framför allt fokuserat arit-metiska kunskaper. Detta bör enligt flera forskare förändras (Clements & Sarama, 2007; Ginsburg & Golbeck, 2004; Seo & Ginsburg, 2004). Svenska för-skolebarns matematiserande, deras utveckling och verksamhetens påverkan är inte väl beforskatNMQ
. Samtidigt bör påtalas att tidigare internationell forskning får betraktas som helt relevant för svenska barns utveckling av kunnande i matema-tik. Svensk förskola och barn i småbarnsgruppen utgör en unik företeelse efter-som yngre barn, i flertalet andra länder, inte på samma sätt erbjuds eller har till-gång till en liknande vistelse som regleras med lagar, läroplan och med välutbil-dad personal och miljöer anpassade för barns omsorg och lärande (se Tallberg Broman, 2010). Min förhoppning är att detta arbete kan locka andra, forskare och lärare, till att synliggöra barns matematiserande på annat sätt än den tidigare etablerade forskningen.
We caution researchers interested in studying young children’s mathematical
thinking against restricting their attention to numbers and arithmetic. The
mathematical world of young children is much richer. (Clements & Sarama, 2007, s. 537)
Slutord
I takt med att arbetet med denna studie har fortskridit har min syn på barns lärande förändrats och även gett mig stor respekt för barns kunnande och det matematiserande som visats genom barns handlande. Det viktigaste för min egen del var att jag allt tydligare såg hur grundläggande handlingar var för yngre barns utveckling av förmågor. Barns handlingar är inte slumpmässiga utan syfte eller mål. Yngre barns handlingar är strategiska, målinriktade och kunskapsutveck-lande och barnen är både skapare och medverkande i eget och i andras lärande.
104 Den forskning som beskriver förskolebarns ”matematiserande” i svensk förskolekontext har framför allt genomförts av Doverborg (1987); Doverborg och Emanuelsson (Red., 2006) och Doverborg och Pramling-Samuelsson (1999, 2009, 2011).
SUMMARY
Introduction
This study is inspired by a genuine interest in toddlers and the mathematical understanding they encounter everyday in preschool. The title of this work, To order, is one of several categories derived from the analysis of the empirical material, through which children’s capabilities are described. Regardless of any consideration about more or less “correct” ways of ordering, the category To order is here described as a category of toddlers’ mathematizing, seen through their actions.
The theoretical framework draws mainly upon phenomenography and variation theory (Marton & Booth, 1997; Marton et al., 2004). I will address qualitatively different ways in which toddlers explore and handle situations involving basic understanding of mathematical concepts. Young children often solve dilemmas of mathematical meanings by using their senses. An extensive body of research exists within this area of interest. Different research traditions and various views exist regarding what constitutes a conceptual understanding of mathematics and the development of mathematical knowledge. The bulk of this research focuses on young children’s counting. Piaget is one of the most well-known researchers in the field and research on young children’s development of mathematical skills has been dominated by attempts to verify, discount or reinterpret his theories (Baroody, 2004; Clements & Sarama, 2007; Clements, Wilson et al., 2004; Fuson, 1992; Mix, 2002; Seo & Ginsburg, 2004). The research mainly concerns children older than 3 years and their arithmetic skills in arranged situations. Ginsburg and Goldbeck (2004) argue that previous research mainly focused children’s early skills in mathematics in isolation, divorced from the child’s everyday world. In this thesis, some concepts and definitions of terms are more important than others. One concept is mathematizing, which is used to describe and emphasize the mathematical process and development of skills that occur through children’s experiences when seeking structure and creating order. Mathematizing contributes to greater understanding of mathematical concepts and development of mathematical language. Freudenthal (1991) describes mathematizing as a process that continues as long as reality changes, expands and deepens, which in turn changes reality. I use the word toddlers as a term for children between 1
and 3 years of age, in line with how Baroody, Li, and Lai (2008) used the term for children 2 to 4 ½ years of age. (cf. Clements & Wilson et al., 2004; Clements & Sarama et al., 2004). Another important definition is the concept structure, the structure of toddlers’ mathematizing. The concept structure has been chosen for toddlers’ acquisition and development. It depends on the child’s capability “to see” structures and relationships and is also a part of my definition of mathematics.
In mathematics the relationship between form and content is reflected by that between something having or being a structure. Structuring is a means of organising phenomena, physical and mathematical, and even mathematics as a whole. (Freudenthal, 1991, p. 20)
Aims
The goal of this study is to provide an empirical analysis that describes the development of toddlers’ mathematical activities in preschool. This development is described in terms of differences and similarities in temporal sequences of situations where toddlers work with size order activities in preschool. The objects of analysis are what resources the toddlers use and how they accomplish the tasks. A subordinated aim was to describe the affordances of these activities: What dimensions of variation and object of learning can be seen? Another subordinated aim was to se if toddlers can transfer or generalize a previously developed capability to a new and different material. The research questions are based on an idea that toddlers develop and learn mathematics through their own activities in informal situations in a social context over time.