Alla forskningsrön påverkas av den tid och de förhållanden som råder. Våra tankar om barn, pedagogisk verksamhet och pedagogiska strömningar är direkt eller indirekt påverkade av teoretiska perspektiv, kultur och samhälle, men även influerade av forskarens inblick i och kännedom om det som studeras. Detta kan i sin tur ge frågor om förgivettagna förhållningssätt, tolkningar, generaliserbarhet och sanningsanspråk i de forskningsresultat som framkommit (se Pring, 2004).
Det övergripande syftet för avhandlingsarbetet har varit att med en empiriskt grundad analys beskriva hur yngre förskolebarn utvecklar sitt matematiserande. Frågan som jag vid flertal tillfällen har fått besvara lyder: Varför gör du denna studie när yngre barns lärande i matematik är så väl beforskat? Om man söker information via Internet på orden children och mathematics får man miljoner träffar. Men om ämnesområdet studeras närmare finner man att merparten av den genomförda forskningen fokuserar äldre barns aritmetiska kunskaper och oftast i situationer som varit skilda från barns vardagsvärld. Andra forsknings-fokus är studier om åldersrelaterade kunskaper vid enstaka observationstillfällen och generella slutsatser har då dragits av vad barn kan eller inte kan i en viss ålder. Tidigare forskning har inte i lika stor utsträckning studerat hur yngre barn (under 3 år) matematiserar, löser problem eller utför uppgifter i vardagen, över en längre tid. Några enstaka studier med liknande fokus har bedrivits och beskri-vits (bl.a. Babbington, 2006; Mix, 2002, 2009) och de barn som deltagit har oftast varit knutna till forskarna genom en barn- och föräldrarelation. En annan fråga som jag fått är: Hur är det möjligt att beskriva att yngre barn matematiserar då de
inte vet att uppgiften som utförs ger matematiska implikationer och kan beskri-vas med matematiska termer? Frågan är relevant men studiens resultat kan jämföras med andra tillfällen då barn söker kunnande och matematiserar. Ett exempel är när ett barn räknar i en matematikbok och utför de uppgifter som stipuleras i boken. Barnet vet och beskriver själv att han eller hon räknar och kan ge denna beskrivning eftersom andra personer tidigare har beskrivit och definierat handlingen med matematiska termer.
Utifrån mitt intresse att studera de yngsta barnens matematiserande bedömde jag vissa teorier som mer användbara än andra. Utgångspunkt var att studera barnens förmågor och utveckling av förmågor som visades i barns handling under en viss tid. En annan utgångspunkt var att visa hur barn undersöker och lär sig tillsammans med andra, barn och vuxna. Ytterligare en utgångspunkt var att försöka synliggöra barns matematiserande och lärande i matematik i aktiviteter som inbjuder till ordnande. I förberedelsearbetet inför studiens design diskuterades de hinder och möjligheter som olika teoretiska ramverk ger och då valdes framför allt variationsteorin (Emanuelsson, 2001; Marton & Booth, 1997; Marton & Pang, 1999; Marton & Tsui, 2004; Pang, 2003, Runesson, 1999, 2006; Runesson & Marton, 2002), som ger möjlighet att studera barns lärande genom deras handlingar och från barns perspektiv.
Objekt för lärande ses här från två perspektiv, ett barnperspektiv och ett fors-karperspektiv. I barnens perspektiv ses avsett objekt för lärande. I mitt, forskarens, perspektiv analyseras och kategoriseras objekt för lärande utifrån (min tolkning av) barnens visade syfte med aktiviteten när förmågor utvecklas och nya eller andra drag urskiljs. Detta speglas genom logisk relevans (relevansstruktur) i barnens handlingar (Häggström, 2008; Marton & Booth, 1997). Andra utgångspunkter hämtades från ekologisk psykologi, Gibson och Gibson (1955), Gibson m.fl. (1962), Gibson (1979) samt Gibson och Pick (2000) och då specifikt tankar kring barnets kropp som perceptuellt system för att undersöka tingens egenskaper och dess betydelse för handlingars utförande. En annan utgångspunkt för detta val var att studera hur barn urskiljer skillnaderVT inom de dimensioner som varierar.
I analysen av det empiriska materialet visas hur barnen utför aktiviteter och deras riktade uppmärksamhet. Barnens syfte med materialet beskrivs som objekt för lärande, det vill säga om de ordnar i rader, i travar eller staplar burkar och ringar i
varandra, över varandra eller på varandra för att ordna dem i storlek. Här visas också de aspekter, dimensioner av variation, som är av betydelse för förmågans utveckling. Dessa aspekter beskrivs inte av barnen med ord utan framstår som hinder eller möjligheter i deras handling, ett kunnande eller en förmåga som utvecklas då de med tiden lär sig att bemästra en uppgift. För att urskilja olika dimensioner av variation ses olika variationsmönster, som tidigare även visats av Marton och Booth (1997). Ett mönster som visats är separation som kan ske om bakgrunden är konstant och fenomenet varierar och man skiljer de aspekter som är irrelevanta från dem som är relevanta i den aktuella aktiviteten. Ett exempel är när Ella urskiljer att burkarna har olika torntillhörighet då hon skiljer ut en röd burk från torn 1 från en annan röd burk från torn 2. Eller då hon urskiljer storleksskillnaden (kontrast) mellan burkarna och vet vilken burk hon bör ta härnäst.
Analysen av det empiriska materialet visar andra variationsmönster, exempelvis när barn placerar burkar och ringar tillsammans i travar eller torn och de vet hur burkarnas bör vändas, då generaliserar barnet till en tidigare förståelse av hur burken tidigare har vänts. Hur barnen ordnar beror också på de värden inom dimensioner av variation som differentieras, utifrån objekt för lärande. Ett exempel är Eskil som ordnar alla burkarna i fullständig storleksordning i burk-traven. Om han däremot ska bygga upp alla burkar i ett torn så har han inte urskiljt skillnaderna mellan (differentierat) alla burkarnas storleksvärden (efter-som han inte kan bygga upp ordnade torn med alla burkarna). Ella och Alva bygger upp alla burkarna i storleksordnande torn, travar eller i rader. De ordnas från stor till liten men även från liten till stor. Flickorna har då urskiljt storleks-skillnader, torntillhörighet och hur burken bör vändas i relation till objekt för lärande (fusion).
För att lösa den uppgift som barnen har föresatt sig visas att vissa dimensioner av variation är mer betydelsefulla än andra i relation till barnens lärandeobjekt. Om dessa aspekter uppträder som kritiska eller ej beror på barnet och hans eller hennes tidigare erfarenhet. Inledningsvis är exempelvis burkens torntillhörighet och orientering dimensioner som varierar och utgör kritiska drag för några av barnen. Burkarna är från olika burkset, dessa har då olika tillhörighet och burkseten innehåller åtta, nio eller tio burkar i olika storlekar. Burktorn 1 och burktorn 2 har båda burkar i fyra färgerVU, så en ytterligare dimension som varierar och är potentiellt kritisk för att ordna burkar är färg eftersom den största
burken i båda burkseten (1 och 2) är gul. Om burkarna i burkset 1 ordnas efter den färgordning som burkarna från burkset 2 har, erhålls en annan storleksordning. Andra dimensioner som varierar, men som är helt korrelerade med storlek är burkens eller ringens diameter (beror även på ringens orientering) och burkens volym och höjdVV
.
Ett annat potentiellt kritiskt drag som synliggörs är när Ella och Alva bygger torn, flickorna placerar metodiskt den största av de kvarvarande burkarna eller ringarna. Detta urskiljs inte av Eskil eller Chris när de bygger burkar i torn. Om barnen i stället väljer att trava burkar i varandra kan de antingen kontinuerligt placera den minsta eller den största av de kvarvarande burkarna. Om burkarna ska travas över varandra i en vänd trave bör burkarna placeras från den minsta till den största och barnen kan inte byta utförandestrategi under aktivitetens fortlöpande om burkarna ska ordnas i storlek. Barnen kan inte heller se eller känna om någon burk fattas och är alla burkarna placerade, i den vända traven, då är de också placerade i storleksordning.
När barnen försöker ordna alla burkarna i storleksordning i en trave så visas att de delar burktraven (om någon burk inte kan placeras) eller också skapas fler mindre travar, med färre burkar. Är inte alla burkarna i travarna helt storleks-ordnade så är det inte möjligt att placera dem tillsammans i traven. För att bedöma (storleksvärdet) var en burk ska placeras tar barnen traven i handen och skakar den och kan på så sätt känna om och i så fall var en burk fattas. Detta ses framför allt i episoderna med burktorn 4 där burkarnas breda kanter döljer mellanrummet. Ett annat förfaringssätt för att urskilja var en burk ska placeras är att känna med fingret i mellanrummet som också syns i burktraven som bildas om en burk saknas (görs framför allt med burkset 1 och 2). I ringtornsepiso-derna visas också att barnen känner, med handen, formen på tornets sida eller tar på kanten på ringarna för att urskilja skillnad i storleksvärdet eller i ringens orientering.
Resultatet visar hur barnen placerar burkar och ringar i olika ordningar. De dimensioner av variation och de kritiska drag som uppträder för enskilda barn visar sig oftast vara gemensamma för flera av barnen. Barnen ordnar i storlek först med något och sedan med allt fler föremål, då storleksvärden allt eftersom differentieras. Antalet burkar i de olika tornen varierar och för att bygga upp helt storleksordnade torn ska alla burkarna urskiljas, storleksvärdet differentieras så
de kan placeras i storleksordning. Då utgör antal, storlek och storleksordning kritiska drag. Ett exempel är Ella som beskriver att det fattas en grön burk och den måste hon hitta då hon vill skapa storleksordning. Men Eskil och Chris urskiljer inte detta inledningsvis, då de burkar som har fallit till golvet inte tas upp eller placeras i storleksföljden.