Fourierserien

−π π

5 10

t

Figur 3.6. Dirichlets polynom D₄(t).

¨

Ovningar

3.7 Skriv sinusoiden y = 3 sin(2t + π

4) p˚a exponentialform.

3.8 Visa att summan av tv˚a sinusoider med samma vinkelfrekvens ω ¨ar en ny sinusoid med vinkelfrekvensen ω.

3.9 Visa att summan C+e^iωt+ C−e^−iωt ¨ar en sinusoid A sin(ωt + φ) med reell amplitud A om och endast om C−= C₊.

3.10 Skriv cos³t som ett trigonometriskt polynom p˚a amplitud-fasvinkel-form.

3.11 Skriv sin⁴t som ett trigonometriskt polynom p˚a exponentialform och p˚a trigonometrisk form.

3.12 Skriv Dirichlets polynom DN(t) p˚a trigonometrisk form, dvs. som en summa av sinus- och cosinusfunktioner.

3.13 Hur m˚anga nollst¨allen har D_N(t) p˚a intervallet [−π,π]?

3.3 Fourierserien

V˚art m˚al ¨ar att representera t¨amligen godtyckliga periodiska funktioner som trigonometriska serier. Eftersom varje periodisk funktion kan transformeras till en funktion med period 2πmed hj¨alp av en skalning, kan vi d˚a utan att f¨orlora i generalitet anta att perioden hos de studerade funktionerna ¨ar just 2π, n˚agot som kommer att f¨orenkla en del formler. Forts¨attningsvis anv¨ander vi d¨arf¨or begreppet periodisk funktion i betydelsen periodisk funktion med period 2π, om inte annat s¨ags explicit.

54 3 Fourierserier

Rummet L1(T) ¨

Aven om klassen av kontinuerliga periodiska funktioner ¨ar stor, s˚a finns det f¨orst˚as m˚anga i olika till¨ampningar f¨orekommande intressanta och viktiga funktioner som inte ¨ar kontinuerliga och som vi vill kunna fourierserieut-veckla. Tv˚a exempel p˚a diskontinuerliga signaler fr˚an signalteorin ¨ar ”fyr-kantsv˚agen” och ”s˚agtandsv˚agen”, som visas i figur 3.7.

Figur 3.7. Fyrkantsv˚ag och s˚agtandsv˚ag

En funktionsklass som inneh˚aller alla kontinuerliga och alla begr¨ansade styckvis kontinuerliga periodiska funktioner ¨ar klassen av alla periodiska funktioner som ¨ar absolutintegrabla ¨over en period, dvs. ¨over ett intervall av l¨angd 2π. F¨or dem och f¨or de kontinuerliga periodiska funktionerna inf¨or vi f¨oljande beteckningar.

Definition. Klassen av alla kontinuerliga periodiska funktioner med period 2π betecknas C(T), och klassen av alla periodiska funktioner med period 2πsom ¨ar absolutintegrabla ¨over ett intervall av periodens l¨angd betecknas L¹(T).

Bokstaven T i beteckningen ¨ar vald d¨arf¨or att den ¨ar f¨orsta bokstav i ordet ”torus”. Periodiska funktioner kan n¨amligen p˚a ett naturligt s¨att uppfattas som funktioner definierade p˚a enhetscirkeln, den endimensionella torusen.

Klassen C(T) ¨ar ett normerat vektorrum med kf k_∞= max

0≤t≤2π

|f (t)|

som norm, och rummet inneh˚aller uppenbarligen alla trigonometriska poly-nom.

Eftersom en periodisk funktion ¨ar entydigt best¨amd av sina v¨arden i ex-empelvis intervallet [0, 2π], kan vi uppenbarligen identifiera rummet L¹(T) med L1([0, 2π]) som vi studerade i avsnitt 2.4, och som norm i L1(T) anv¨ander vi f¨oljaktligen kf k₁ = ¹ 2π Z 2π 0 |f (t)| dt.

3.3 Fourierserien 55

att inf¨ora den normaliserade integralen R

Tf (t) dt genom att s¨atta Z T f (t) dt = ¹ 2π Z 2π 0 f (t) dt. P˚a grund av periodiciteten ¨ar d˚a f¨orst˚as

Z T f (t) dt = ¹ 2π Z b a f (t) dt f¨or varje intervall [a, b] av l¨angd 2π.

Vi kommer forts¨attningsvis att kalla R

Tf (t) dt f¨or integralen av funktio-nen f ¨over T, och med v˚ar nya beteckning blir f¨oljaktligen

kf k₁= Z

T

|f (t)| dt.

Som vi redan p˚apekat i avsnitt 2.4 ¨ar L¹(T) ett normerat vektorrum med k·k₁ som norm. Rummet inneh˚aller C(T) som t¨at delm¨angd. Dessutom ¨

ar rummet translationsinvariant och invariant under skalning med heltals-faktorer. Med detta menas att om f ∈ L¹(T), τ ¨ar ett godtyckligt reellt tal och m ¨ar ett godtyckligt nollskilt heltal, s˚a ligger s˚av¨al translatet T_τf som den skalade funktionen Smf i L¹(T), och

Z T f (t − τ ) dt = Z T f (mt) dt = Z T f (t) dt.

De trigonometriska polynomets koefficienter

V˚art m˚al ¨ar som n¨amnts att skriva en t¨amligen godtycklig funktion f som en trigonometrisk serie eller mer generellt att skriva f som ett gr¨ansv¨arde av en f¨oljd av trigonometriska polynom (som i seriefallet ¨ar seriens partialsum-mor), och vi har vidare specificerat att vi med ”godtycklig funktion” menar en funktion i L¹(T). Koefficienterna i de approximerande trigonometriska polynomen till en funktion kommer att ges i form av speciella integraler med funktionen och den komplexa exponentialfunktionen som ingredienser. F¨orutom exponentialfunktionens multiplikativa egenskaper kommer vi d˚a att utnyttja f¨oljande egenskap:

Lemma 3.3.1. F¨or alla heltal n ¨ar Z T e^intdt = ( 1 om n = 0, 0 om n 6= 0. Bevis. F¨or nollskilda heltal n ¨ar

Z T e^intdt = ¹ 2π Z 2π 0 e^intdt = ¹ 2nπi h e^inti2π 0 = ¹ 2nπi  e²ⁿπi− 1^= 0

56 3 Fourierserier och f¨or n = 0 f˚as f¨orst˚as Z T e^intdt = Z T 1 dt = ¹ 2π Z 2π 0 1 dt = 1.

Vi ska b¨orja med att skaffa oss en formel f¨or trigonometriska polynoms koefficienter. Betrakta f¨or den skull ett trigonometriskt polynom

P (t) =

N

X

k=−N

c_ne^int

p˚a exponentialform, och l˚at oss ber¨akna integralen Z

T

P (t)e^−iktdt

d˚a k ¨ar ett heltal mellan −N och N . Eftersom P (t)e^−ikt=PN

n=−Nc_ne^i(n−k)t, blir Z T P (t)e^−iktdt = N X n=−N c_n Z T e^i(n−k)tdt.

P˚a grund av lemma 3.3.1 ¨ar alla termer i summan ovan lika med noll utom den term som f˚as d˚a summationsindex n ¨ar lika med k. Slutsatsen ¨ar att

Z

T

P (t)e^−iktdt = c_k,

och vi har d¨armed funnit f¨oljande formel f¨or koefficienterna cn i polynomet P (t): cn= Z T P (t)e^−intdt = ¹ 2π Z 2π 0 P (t)e^−intdt. Fourierkoefficienter

De trigonometriska polynomen ¨ar periodiska funktioner, men det finns na-turligtvis periodiska funktioner som inte ¨ar trigonometriska polynom, dvs. ¨

andliga summor av sinus- och cosinusfunktioner, eller ekvivalent komplexa exponentialfunktioner. Det ligger d˚a n¨ara tillhands att unders¨oka om inte alla periodiska funktioner kan skrivas som o¨andliga summor. Det ideala vore att hitta en serierepresentation av typen

(3.4) f (t) =^X

n∈Z

c_ne^int

d¨ar den o¨andliga summan skall tolkas som gr¨ansv¨ardet av partialsummorna S_N(t) =

N

X

n=−N

3.3 Fourierserien 57

d˚a N g˚ar mot o¨andligheten.

Om nu S_N(t) konvergerar mot f (t) p˚a ett ”hyggligt” vis¹, s˚a kan man dra slutsatsen att integralerna R

TS_N(t)e^−intdt konvergerar mot R

Tf (t)e^−intdt d˚a N g˚ar mot o¨andligheten. Men vi vet fr˚an f¨oreg˚aende avsnitt att

Z

T

S_N(t)e^−intdt = c_n

om |n| ≤ N , s˚a f¨oljaktligen ¨ar i s˚a fall ocks˚a ^R_Tf (t)e^−intdt = cn f¨or alla n. Detta inneb¨ar att om vi har en framst¨allning p˚a formen (3.4) och om konvergensen ¨ar hygglig, s˚a vet vi vad koefficienterna c_n¨ar; de m˚aste ges av formeln

cn= Z

T

f (t)e^−intdt.

Nu observerar vi att h¨ogerledet i denna formel ¨ar v¨aldefinierat och me-ningsfullt f¨or alla funktioner f ∈ L¹(T) eftersom funktionen f (t) e^−inttillh¨or L¹(T) om f g¨or det. Formeln f˚ar d¨arf¨or bli utg˚angspunkt f¨or f¨oljande gene-rella definition.

Definition. F¨or f ∈ L1(T) och n ∈ Z s¨atter vi ˆ

f (n) = Z

T

f (t) e^−intdt

och kallar talen ˆf (n) f¨or f :s fourierkoefficienter. Serien X

n∈Z

ˆ f (n) e^int

kallas funktionens fourierserie.

Fourierserien s¨ages vara konvergent i punkten t om f¨oljden (S_Nf (t))^∞_{N =0} av partialsummor S_Nf (t) = N X n=−N ˆ f (n)e^int konvergerar d˚a N g˚ar mot o¨andligheten.

Notera speciellt att koefficienten ˆ f (0) = Z T f (t) dt = ¹ 2π Z 2π 0 f (t) dt ¨

ar lika med medelv¨ardet av funktionen f ¨over en period.

1t. ex. likformigt p˚a intervallet [0, 2π], vilket ¨ar en typ av konvergens som behandlas i n¨asta kapitel.

58 3 Fourierserier

Vi kommer att skriva

f (t) ∼^X

n∈Z

ˆ f (n) e^int

f¨or att ange att serien ifr˚aga ¨ar fourierserie till funktionen f . Observera att vi d¨armed inte p˚ast˚ar att fourierserien konvergerar − konvergensen ¨ar ett delikat problem som vi kommer att behandla i senare avsnitt.

Genom att bilda fourierkoefficienterna till en funktion f skaffar vi oss en f¨oljd ( ˆf (n))n∈Z av komplexa tal, och avbildningen F som definieras av att

F (f ) = ( ˆf (n))n∈Z

f¨or alla funktioner f ∈ L1(T), ¨ar ett exempel p˚a en transform, fouriertrans-formen p˚a L¹(T). Tre naturliga fr˚agor som d˚a uppst˚ar ¨ar:

1. ¨Ar avbildningen F injektiv, dvs. ¨ar funktionen f entydigt best¨amd av sina fourierkoefficienter?

2. Kan vi om s˚a ¨ar fallet best¨amma inversen F⁻¹, dvs. rekonstruera funk-tionen f fr˚an dess fourierkoefficienter?

3. Kan vi karakterisera bildm¨angden till F , dvs. vilka f¨oljder som kan vara fourierkoefficienter?

Svaret p˚a de tv˚a f¨orsta fr˚agorna ¨ar ja, men beviset f¨or att s˚a ¨ar fallet ¨

ar inte helt enkelt och f˚ar d¨arf¨or anst˚a till kapitel 4. Den tredje fr˚agan har inte n˚agot enkelt svar, men en sak kan vi s¨aga redan nu − f¨oljden av fou-rierkoefficienter m˚aste vara begr¨ansad. Det finns exempelvis ingen funktion f vars fourierkoefficienter ¨ar ˆf (n) = n. Begr¨ansningen ¨ar en konsekvens av f¨oljande sats:

Sats 3.3.2. Antag f ∈ L¹(T). D˚a ¨ar | ˆf (n)| ≤ kf k1 f¨or alla n ∈ Z. Bevis. P˚ast˚aendet ¨ar en direkt f¨oljd av triangelolikheten f¨or integraler:

| ˆf (n)| =    Z T f (t) e^−intdt   ≤ Z T |f (t) e^−int| dt = Z T |f (t)| dt = kf k₁.

Exempel 3.3.1. L˚at oss best¨amma fourierserien till den 2π-periodiska funk-tion f som best¨ams av att f (t) = t f¨or |t| <π. (Notera att vi inte specificerat n˚agot funktionsv¨arde i punkten π, och d¨armed inte heller i n˚agon av punk-terna nπ f¨or udda heltal n. Funktionsv¨ardet f (π) ¨ar emellertid irrelevant, eftersom integralen som definierar fourierkoefficienterna inte bryr sig om funktionsv¨ardet i en enstaka punkt.)

Fourierkoefficienten ˆf (0) f˚as direkt som ˆ f (0) = ¹ 2π Z π −π t dt = 0,

3.3 Fourierserien 59

medan fourierkoefficienter ˆf (n) f¨or n 6= 0 ber¨aknas med hj¨alp av en partiell integration: ˆ f (n) = ¹ 2π Z π −π te^−intdt = ¹ 2π  t^e −int −in π −π + ¹ 2πni Z π −π e^−intdt = ¹ −2πni^(πe −inπ+πeⁱⁿπ) + 0 = ⁱ n⁽⁻¹⁾ n.

S˚aledes g¨aller att

f (t) ∼ i^X

n6=0

(−1)n

n ^e

int.

Vi kan skaffa oss ett alternativt uttryck f¨or fourierserien genom att kom-binera termer som svarar mot −n och n:

i⁽⁻¹⁾ −n −n ^e −int+ i⁽⁻¹⁾ n n ^e int= ⁽⁻¹⁾ n n ^{i e} int− e^−int
= ²⁽⁻¹⁾ n−1 n ^{sin nt.} Detta inneb¨ar att

f (t) ∼ ∞ X n=1 2(−1)ⁿ⁻¹ n ^{sin nt,} vilket ¨ar fourierseriens trigonometriska form.

Genom att utnyttja att − sin t = sin(t +π) f˚ar vi ocks˚a fourierserien p˚a amplitud-fasvinkelform: f (t) ∼ ^X n udda 2 n^{sin nt +} X n j¨amn 2 n^{sin(nt +π) =} ∞ X n=1 2 n^{sin(nt + φn),} d¨ar φ_n= ( 0 om n ¨ar udda, π om n ¨ar j¨amnt.

Vi har ¨an s˚a l¨ange inte verktyg nog f¨or att visa att fourierserien konver-gerar mot f (t) utan f˚ar v¨anta till avsnitt 4.8 innan vi kan g¨ora detta, men figur 3.8 som visar delsumman med fem termer, ger en klar indikation p˚a att s˚a ¨ar fallet i alla kontinuitetspunkter till f .

Trigonometrisk form

Exempel 3.3.1 visar att det finns flera alternativa s¨att att skriva en funktions fourierserie p˚a − formen

X

n∈Z

ˆ f (n) e^int

60 3 Fourierserier

−2π −π

−3π π 2π 3π t

Figur 3.8. Funktionen f i exempel 3.3.1 och delsumman

5

X

n=1

2(−1)ⁿ⁻¹ n ^{sin nt} till funktionens fourierserie.

¨

ar enklast och b¨ast n¨ar vi ska analysera serien, men den k¨anns inte lika naturlig i m˚anga till¨ampningssammanhang, speciellt inte om funktionen f ¨

ar reell. Genom att utnyttja att ˆ

f (n) e^int+ ˆf (−n) e^−int= ( ˆf (n) + ˆf (−n)) cos nt + i( ˆf (n) − ˆf (−n)) sin nt och s¨atta

an= ˆf (n) + ˆf (−n) och bn= i( ˆf (n) − ˆf (−n)), samt observera att detta speciellt inneb¨ar att ˆf (0) = a₀/2, ser vi att

(3.5) ^X n∈Z ˆ f (n) e^int= ^a0 2 ⁺ ∞ X 1 (a_ncos nt + b_nsin nt).

Serien i h¨ogerledet av (3.5) kallas fourierseriens trigonometriska form. Eftersom

ˆ

f (n) + ˆf (−n) = Z

T

f (t)(e^−int+ e^int) dt = 2 Z T f (t) cos nt dt och i( ˆf (n) − ˆf (−n)) = i Z T

f (t)(e^−int− e^int) dt = 2 Z

T

f (t) sin nt dt ges den trigonometriska formens koefficienter an och bnav f¨oljande integra-ler: (3.6) a_n= 2 Z T f (t) cos nt dt, b_n= 2 Z T f (t) sin nt dt.

Observera att koefficienterna an och bn s¨akert ¨ar reella om funktionen f ¨ar reell. En fourierseries partialsummor

S_N(t) = N X n=−N ˆ f (n)e^int= ^a0 2 ⁺ N X n=1 (a_ncos nt + b_nsin nt)

In document Lars-˚AkeLindahl Fourieranalys (Page 61-69)