I inledningskapitlet exemplifierade vi begreppet (diskret) faltning med dis-kreta svarta l˚ador. Nu ska vi diskutera den analoga motsvarigheten, dvs. system eller apparater som tar emot kontinurliga signaler, processar dem p˚a n˚agot s¨att och levererar kontinuerliga utsignaler. Vi ¨ar fortfarande inte intresserade av vad som h¨ander inuti systemet/apparaten utan betraktar det som en funktion T med m¨angden av alla m¨ojliga insignaler som defi-nitionsm¨angd. Sambandet mellan insignal x och utsignal y har f¨oljaktligen formen y = T (x), och vi kan beskriva det hela schematiskt med figur 8.3.
T Insignal
x(t)
Utsignal y(t)
Figur 8.3. Analog svart l˚ada
Ett s˚adant system kallas linj¨art om funktionen T ¨ar linj¨ar, dvs. om T (a1x1+ a2x2) = a1T (x1) + a2T (x2)
f¨or alla insignaler x1 och x2 och alla skal¨arer a1 och a2.
Inga verkliga apparater kan naturligtvis vara fullst¨andigt linj¨ara, men m˚anga kan med god approximation anses vara linj¨ara inom sina begr¨ansade funktionsomr˚aden.
Om ett system fungerar p˚a samma s¨att oavsett n¨ar det anv¨ands, kallas det tidsinvariant. F¨or att formulera egenskapen matematisk l˚ater vi xτ be-teckna den med τ enheter translaterade signalen x, dvs. xτ(t) = x(t − τ ). Systemet T ¨ar d˚a tidsinvariant om
T (xτ) = T (x)τ
f¨or alla signaler x och alla τ ∈ R. Om insignalen x(t) ger upphov till ut-signalen y(t), s˚a ska allts˚a den translaterade insignalen x(t − τ ) resultera i utsignalen y(t − τ ).
8.3 Linj¨ara tidsinvarianta system 171
System som ¨ar b˚ade linj¨ara och tidsinvarianta kallas LTI-system. Exem-pel p˚a apparater som kan modelleras som LTI-system ¨ar digitala f¨orst¨arkare och filter.1
Exempel 8.3.1. Ett system d¨ar utsignalens v¨arde varje tidpunkt t ¨ar me-delv¨ardet av insignalen under tidsintervallet [t−1, t+1], dvs. d¨ar sambandet mellan insignal x och utsignal y ges av ekvationen
y(t) = 1 2 Z t+1 t−1 x(s) ds, ¨ ar ett LTI-system.
Sambandet mellan ut- och insignal kan uttryckas som en faltning. Varia-belsubstitutionen s = t − u i integralen ger n¨amligen att
y(t) = 1 2 Z 1 −1 x(t − u) du = 1 2 Z R
x(t − u)χ[−1,1](u) du, s˚a y = k ∗ x f¨or funktionen k = 12χ[−1,1].
Exempel 8.3.2. Ett system d¨ar utsignalens v¨arde vid varje tidpunkt t ¨ar lika med medelv¨ardet av insignalens v¨arden vid tidpunkterna t − 1 och t + 1, dvs. d¨ar
y(t) = x(t − 1) + x(t + 1)
2 ,
¨
ar ocks˚a ett LTI-system. ¨Aven i detta fall kan vi skriva sambandet mellan ut- och insignal som en faltning y = k ∗ x, men nu beh¨over vi anv¨anda oss av Diracm˚attet f¨or att definiera k. F¨or Diracm˚attet δa i punkten a ¨ar δa∗ x(t) = x(t − a), s˚a faltningssambandet g¨aller f¨or k = 12(δ−1+ δ1).
L˚at T vara ett LTI-system som kan processa sinusoider och deras kom-plexa motsvarigheter, dvs. de komkom-plexa exponentialfunktionerna, och l˚at yω(t) beteckna utsignalen till insignalen eiωt. Vi ska titta p˚a utsignalen till den translaterade insignalen eiω(t−τ ). Eftersom
eiω(t−τ ) = e−iωτeiωt ¨
ar utsignalen dels lika med yω(t − τ ) p˚a grund av tidsinvarians, dels lika med e−iωτyω(t) p˚a grund av linearitet. Det f¨oljer att
yω(t − τ ) = e−iτ ωyω(t)
f¨or alla τ och alla t, och genom att speciellt v¨alja t = 0 och sedan byta τ mot −t ser vi att
T (eiωt) = yω(t) = yω(0)eiωt.
1Ett filter ¨ar en komponent som sl¨apper igenom signaler vars frekvenser ligger inom ett givet intervall och kraftigt reducerar ¨ovriga signaler.
172 8 Till¨ampningar p˚a fouriertransformen
Funktionerna eiωt ¨ar med andra ord egenfunktioner till avbildningen T med K(ω) = yω(0) som motsvarande egenv¨arden. Sammanfattningsvis har vi d¨armed visat f¨oljande sats.
Sats 8.3.1. F¨or LTI-system T ¨ar de komplexa exponentialfunktionerna eiωt egenfunktioner, dvs. det finns en funktion K(ω) med egenskapen att
T (eiωt) = K(ω)eiωt. Funktionen K(ω) kallas systemets frekvenssvar.
Exempel 8.3.3. F¨or LTI-systemet i exempel 8.3.1 resulterar insignalen eiωt i utsignalen yω(t) = 1 2 Z t+1 t−1 eiωsds. Frekvenssvaret ¨ar d¨arf¨or K(ω) = yω(0) = 1 2 Z 1 −1 eiωsds = sin ω ω .
Den uppm¨arksamme l¨asaren noterar nu att frekvenssvaret K(ω) ¨ar fou-riertransform till funktionen 12χ[−1,1], dvs. till den funktion k som g¨or att sambandet mellan in- och utsignal kan skrivas som en faltning y = k ∗ x.
Exempel 8.3.4. Frekvenssvaret i LTI-systemet i exempel 8.3.2 ¨ar p˚a mot-svarande vis
K(ω) = 1 2(e
−iω+ eiω) = cos ω,
och ¨aven i det h¨ar exemplet ¨ar frekvenssvaret lika med fouriertransformen till k = 12(δ−1+ δ1) i faltningssambandet y = k ∗ x mellan in- och utsignal.
Alla system i vilka sambandet mellan in- och utsignal ges av en faltning, ¨
ar LTI-system.
Sats 8.3.2. L˚at k vara en funktion eller mer allm¨ant ett m˚att. D˚a definierar faltningen y = k ∗ x ett LTI-system med x som insignal och y som utsignal. Det ¨ar underf¨orst˚att att de till˚atna insignalerna ¨ar de funktioner som g¨or faltningen v¨aldefinierad.
Bevis. B˚ade linearitet och tidsinvarians f¨oljer omedelbart fr˚an faltningsde-finitionen y(t) = k ∗ x(t) =R
Rk(t − u)x(u) du.
I LTI-systemet y = k ∗ x kallas k systemets impulssvar, och anledningen ¨
8.3 Linj¨ara tidsinvarianta system 173
Att LTI-systemen i exemplen ovan kan skrivas som faltningar och att frekvenssvaret K(ω) ges av fouriertransformen till impulssvaret k ¨ar ingen tillf¨allighet, utan motsvarande g¨aller under t¨amligen allm¨anna f¨orh˚allanden som f¨oljande heuristiska resonemang visar.
L˚at T vara ett LTI-system vars frekvenssvar K(ω) ¨ar fouriertransform till n˚agon funktion k (eller mer generellt till n˚agot m˚att k), och betrakta en insignal x(t) med fouriertransform ˆx(ω). Antag att signalen kan rekonstrue-ras fr˚an fouriertransformen med hj¨alp av inversionssatsen, dvs. att
x(t) = 1 2π Z R ˆ x(ω)eiωtdω,
att motsvarande g¨aller f¨or signalen k ∗ x(t), samt att LTI-systemet T ¨ar kontinuerligt i den bem¨arkelsen att linearitetsegenskapen kan utstr¨ackas fr˚an att g¨alla f¨or ¨andliga summor av insignaler till ”o¨andliga summor” i form av integraler. D˚a ¨ar T (x)(t) = T 1 2π Z R ˆ x(ω)eiωtdω= 1 2π Z R T (ˆx(ω)eiωt) dω = 1 2π Z R ˆ x(ω)T (eiωt) dω = 1 2π Z R ˆ x(ω)K(ω)eiωtdω = 1 2π Z R ˆ k(ω)ˆx(ω)eiωtdω = 1 2π Z R [ k ∗ x(ω)eiωtdω = k ∗ x(t).
En ¨onskv¨ard egenskap hos m˚anga verkliga system ¨ar att de ska vara stabila. Det finns flera olika stabilitetsbegrepp i bruk, men det vanligaste ¨ar f¨oljande.
Definition. Ett LTI-system kallas BIBO-stabilt om utsignalen ¨ar begr¨ansad f¨or varje begr¨ansad insignal. BIBO st˚ar f¨or ”bounded input-bounded out-put”.
Sats 8.3.3. LTI-systemet y = k ∗ x, d¨ar k ¨ar en funktion, ¨ar BIBO-stabilt om och endast om funktionen k ¨ar absolutintegrabel.
Bevis. Att systemet ¨ar BIBO-stabilt om k ∈ L1(R) f¨oljer av olikheten |y(t)| = Z R k(s)x(t − s) ds ≤ Z R |k(s)||x(t − s)| ds ≤ Z R |k(s)| sup s∈R |x(s)| ds = kkk1sup s∈R |x(s)|,
som visar att utsignalen ¨ar begr¨ansad f¨or alla begr¨ansade insignaler. Antag omv¨ant att systemet ¨ar BIBO-stabilt och l˚at x(t) vara den insignal som f˚as genom att s¨atta x(t) = k(−t)/|k(−t)| om k(−t) 6= 0 och x(t) = 0 om
174 8 Till¨ampningar p˚a fouriertransformen
k(−t) = 0. Insignalen x(t) ¨ar d˚a till beloppet begr¨ansad av 1, s˚a motsvarande utsignal y(t) ¨ar begr¨ansad. Eftersom
y(0) = Z R k(s)x(−s) ds = Z R |k(s)| ds = kkk1, ¨ ar kkk1 < ∞.
Exempel 8.3.5. Ett l˚agpassfilter ¨ar ett filter som sl¨apper igenom signaler med frekvenser som understiger ett givet v¨arde a och reducerar ¨ovriga sig-naler. Ett LTI-system med f¨oljande frekvenssvar
K(ω) = χ[−a,a](ω) = (
1 om |ω| ≤ a 0 f¨or ¨ovrigt
skulle d¨arf¨or vara ett perfekt l˚agpassfilter eftersom systemet annihilerar sig-naler med frekvenser som ¨overstiger a fullst¨andigt. Motsvarande impuls-svar k, dvs. den funktion som har K som fouriertransform, ¨ar funktionen sin at/πt och den ¨ar inte absolutintegrabel. Ett idealt l˚agpassfilter ¨ar d¨arf¨or inte BIBO-stabilt.
Ideala l˚agpassfilter g˚ar heller inte att realisera i praktiken, bl. a. av det sk¨alet att det inte fungerar i realtid. F¨or system som fungerar i realtid kan utsignalens v¨arde i en punkt t bara bero av insignalens v¨arden i tidpunkter upp till och med t. S˚adana system kallas kausala.. Ett system T ¨ar med andra ord kausalt om
x(s) = z(s) f¨or s ≤ t ⇒ T (x)(t) = T (z)(t) f¨or alla t. F¨or linj¨ara system T ¨ar detta ekvivalent med att
x(s) = 0 f¨or s ≤ t ⇒ T (x)(t) = 0.
Sats 8.3.4. Ett faltningssystem ¨ar kausalt om och endast om det kan skrivas p˚a formen
y(t) = Z ∞
0
k(s)x(t − s) ds.
Bevis. Antag f¨orst att systemet T har den formen, och l˚at x vara en insignal s˚adan att x(s) = 0 f¨or s ≤ t. D˚a ¨ar T (x)(t) = Z ∞ 0 k(s)x(t − s) ds = Z ∞ 0 k(s) · 0 ds = 0 vilket visar att systemet ¨ar kausalt.
Antag omv¨ant att systemet y = T (x) = k ∗ x ¨ar kausalt. F¨or alla signaler x med x(s) = 0 f¨or s ≤ 0 ¨ar d˚a ¨ar 0 = T (x)(0) = Z R k(s)x(0 − s) ds = Z 0 −∞ k(s)x(−s) ds,