Sv¨ angande str¨ angen

Tabell 5.1. Deltoner till s˚agtandstonen f¨or θ = 1/2.

Delton nr n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frekvens, Hz 131 262 392 523 654 785 916 1047 1177 Tonl¨age c c¹ g¹ c² e² g² a^{] 2} c³ d³ Relativ styrka 1 0 ¹₉ 0 ₂₅¹ 0 ₄₉¹ 0 ₈₁¹ 0 2000 4000 6000 8000 10000 0 −20 −40 −60 −80 Frekvens (Hz) Amplitud (dB)

Figur 5.2. S˚agtandstonens spektrum d˚a θ = 1/2.

5.2 Sv¨angande str¨angen

I det f¨orra avsnittet analyserade vi toner som fysikaliskt sett ¨ar periodiska mekaniska v˚agor som i form av f¨ort¨atningar och f¨ortunningar i luften n˚ar ¨

orat. Man kan som bekant ˚astadkomma s˚adana v˚agor p˚a olika s¨att, genom att kn¨appa, gnida eller sl˚a p˚a en str¨ang som i str¨anginstrument eller genom att s¨atta en luftpelare i r¨orelse som i bl˚asinstrument. Den alstrade tonens tonh¨ojd, tonstyrka och klangf¨arg beror av geometriska och fysikaliska egen-skaper hos instrumentet. Vi ska analysera detta f¨or det enkla fallet att v˚art instrument best˚ar av en enda str¨ang.

Betrakta f¨or den skull en str¨ang av l¨angd L som ¨ar fastsp¨and i sina ¨

andpunkter som vi f¨orl¨agger till punkterna 0 och L p˚a x-axeln. Om vi s¨atter str¨angen i r¨orelse i xy-planet, t. ex. genom att lyfta den och sedan sl¨appa den (som p˚a en gitarr) eller genom att sl˚a p˚a den (som hammaren i ett piano),

Omf˚anget av det h¨orbara frekvensomr˚adet motsvarar ca 10 oktaver, s˚a det beh¨ovs ca 120 namn f¨or att notera de av tolvtonskalan genererade tonerna. Det g¨or man genom att f¨orst ge de olika oktaverna namn s˚asom stora oktaven, lilla (eller ostrukna) oktaven, ettstrukna, tv˚astrukna oktaven, osv. Sedan f˚ar tonerna inom en oktav oktavens namn som till¨agg. Exempelvis kallas tonen C i stora oktaven ”stora C” och betecknas C, tonen C i lilla oktaven kallas ”lilla C” och betecknas c, tonen C i ettstrukna oktaven kallas ”ettstrukna c” och betecknas c1, osv. P˚a ett piano svarar C-tangenten mitt p˚a pianot mot ettstrukna c. Tonernas frekvenser fixeras av att a¹, ettstrukna a, har frekvensen 440 hertz.

116 5 Till¨ampningar p˚a fourierserien

L x

y

u(x, t)

Figur 5.3. Sv¨angande str¨ang

s˚a kommer den att sv¨anga periodiskt till dess att r¨orelsen s˚a sm˚aningom d¨ampas av friktionen mot luften och av gravitationen.

Om vi bortser fr˚an d¨ampningen och l˚ater u(x, t) beteckna avvikelsen fr˚an vilol¨aget i punkten x vid tidpunkten t, s˚a f¨oljer det fr˚an Newtons r¨orelselagar att r¨orelsen f¨or 0 < x < L och t > 0 beskrivs av den partiella differential-ekvationen (pd) ρ^∂ 2u ∂t2 = T ^∂ 2u ∂x2.

H¨ar ¨ar ρ str¨angens densitet (massa per l¨angdenhet) och T str¨angens tension som ¨ar ett m˚att p˚a str¨angens motst˚andskraft mot f¨or¨andring och som ¨okar med ¨okande sp¨anning hos str¨angen.

Eftersom str¨angen ¨ar fastsp¨and i sina ¨andpunkter har vi ocks˚a tv˚a rand-villkor i form av

(rv) u(0, t) = u(L, t) = 0 f¨or t ≥ 0.

Str¨angens r¨orelse best¨ams slutligen ocks˚a av begynnelsevillkoren

(bv)    u(x, 0) = u₀(x), 0 < x < L; ∂u ∂t^{(x, 0) = v0(x), 0 < x < L,}

d¨ar u₀(x) beskriver str¨angens l¨age och v₀(x) ¨ar den hastighet vid punkten x som str¨angen har i y-riktningen i start¨ogonblicket t = 0.

Vi ska nu konstruera en l¨osning till differentialekvationen som satisfierar givna rand- och begynnelsevillkor och konstaterar d˚a f¨orst att funktionerna

u_n(x, t) = b_n(t) sin^nπx L

satisfierar de homogena randvillkoren (rv) f¨or alla positiva heltal n och god-tyckligt val av funktionerna bn(t). En godtycklig summa av s˚adana funktio-ner satisfierar ocks˚a randvillkoren, s˚a d¨arf¨or ska vi unders¨oka om vi inte kan

5.2 Sv¨angande str¨angen 117

hitta en l¨osning till v˚art problem i form av en l¨amplig o¨andlig summa av funktioner u_n(x, t). F¨or att f¨orenkla beteckningarna s¨atter vi

Ω =π/L och ans¨atter f¨oljaktligen

u(x, t) =

∞

X

n=1

bn(t) sin nΩx.

L˚at oss nu anta att summan ¨ar konvergent f¨or 0 ≤ x ≤ L och t ≥ 0, att funktionerna bn ¨ar minst tv˚a g˚anger deriverbara samt att vi kan best¨amma de partiella derivatorna till funktionen u genom att derivera innanf¨or sum-matecknet − att s˚a verkligen ¨ar fallet kommer vi att verifiera i efterhand. D˚a blir ∂²u ∂t2 = ∞ X n=1 b⁰⁰_n(t) sin nΩx och ∂²u ∂x2 = ∞ X n=1 −n²Ω²bn(t) sin nΩx.

Genom att j¨amf¨ora koefficienterna f¨or sin nΩx ser vi att v˚ar funktion u satisfierar differentialekvationen (pd) om

ρ b⁰⁰_n(t) = −n²Ω²T bn(t)

f¨or alla n. Detta ¨ar en ordin¨ar differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter vars karakteristiska ekvation har r¨otterna ±ncΩi, d¨ar vi satt

c =^pT /ρ.

Differentialekvationens allm¨anna l¨osning har s˚aledes formen bn(t) = Ancos ncΩt + Bnsin ncΩt.

F¨orutsatt att v˚ara f¨oruts¨attningar ang˚aende deriveringen ¨ar uppfyllda satisfierar d¨arf¨or funktionen

(5.1) u(x, t) =

∞

X

n=1

(A_ncos ncΩt + B_nsin ncΩt) sin nΩx

s˚av¨al differentialekvation som randv¨ardesvillkor, men det ˚aterst˚ar f¨orst˚as att uppfylla begynnelsevillkoren som kr¨aver att

(5.2)            u(x, 0) = ∞ X n=1 Ansin nΩx = u0(x) ∂u ∂t^{(x, 0) =} ∞ X n=1 ncΩB_nsin nΩx = v₀(x).

118 5 Till¨ampningar p˚a fourierserien

F¨or att best¨amma koefficienterna Anoch Bns˚a att detta g¨aller utvidgar vi funktionerna u₀(x) och v₀(x) till udda funktioner p˚a intervallet [−L, L] och sedan till periodiska funktioner med period 2L. De utvidgade funktio-nernas fourierserier kommer d˚a p˚a trigonometrisk form att vara rena sinus-serier, och koefficienterna i dessa serier best¨ammer koefficienterna A_n och Bn, n¨armare best¨amt som

(5.3)          A_n= ² L Z L 0 u₀(x) sin nΩx dx ncΩBn= ² L Z L 0 v0(x) sin nΩx dx.

Om det finns en l¨osning u(x, t) som uppfyller v˚ara f¨oruts¨attningar om de-riverbarhet, s˚a har den s˚aledes formen (5.1) med koefficienter som ges av ekvationerna (5.3).

V˚ar h¨arledning bygger p˚a antagandet att det finns en deriverbar l¨osning med en fourierserieutveckling som kan deriveras under summatecknet. I ef-terhand kan vi verifiera detta genom att visa att den erh˚allna l¨osningen verkligen har dessa egenskaper f¨orutsatt att funktionerna u₀ och v₀ i begyn-nelsevillkoret ¨ar tillr¨ackligt regulj¨ara.

Sats 5.2.1. Antag att den periodiska, udda utvidgningen av u₀ ¨ar fyra g˚anger kontinuerligt deriverbar och att motsvarande utvidgning av v0 ¨ar tre g˚anger kontinuerligt deriverbar. D˚a ¨ar den av serien (5.1) definierade funktionen u(x, t) med konstanter A_n och B_n best¨amda av formlerna (5.3) tv˚a g˚anger kontinuerligt deriverbar och en l¨osning till differentialekvationen (pd) som uppfyller randvillkoret (rv) och begynnelsevillkoret (bv).

Bevis. Det f¨oljer av sats 3.5.3 att koefficienterna An och Bn uppfyller olik-heterna |A_n| ≤ Kn−4 och |B_n| ≤ Kn−4 f¨or n˚agon konstant K. Serien (5.1) liksom de serier som f˚as genom att derivera partiellt under summatecknet en och tv˚a g˚anger ¨ar d¨arf¨or absolut och likformigt konvergenta. Det f¨oljer nu av sats 4.1.6 att funktionen u har partiella kontinuerliga partiella derivator av ordning tv˚a samt att derivatorna erh˚alls genom derivering under sum-matecknet. Vidare konvergerar enligt sats 3.7.1 fourierserierna i (5.2) med u₀(x) resp. v₀(x) som summa. Funktionen u(x, t) satisfierar d¨arf¨or s˚av¨al differentialekvation som begynnelsevillkor.

Anm¨arkning. Man kan ocks˚a visa att l¨osningen i satsen ovan ¨ar entydigt best¨amd.

Det f¨oljer omedelbart av l¨osningsformeln att u(x, t + 2π/cΩ) = u(x, t) f¨or alla x och t. Den vibrerande str¨angen ˚aterf˚ar med andra ord sin ursprungliga form y = u₀(x) periodiskt med perioden