Punktvis konvergens

ar ett inreproduktrum med k · k2 som norm och ha, bi =^X

n∈Z

anbn

som inre produkt (jmf. exempel 2.5.1), och sats 4.7.1 inneb¨ar att fourier-transformen

F (f ) = ( ˆf (n))_n∈Z

av en funktion f ∈ L²(T) ¨ar ett element i `<sup>2</sup>(Z) och att kF (f )k<sub>2</sub> = kf k<sub>2</sub>. Restriktionen av fouriertransformen till rummet L2(T) ¨ar med andra ord en isometri fr˚an L<sup>2</sup>(T) till `²(Z). Man kan vidare visa att avbildningen ¨ar sur-jektiv, s˚a som normerade rum (och inreproduktrum) kan funktionsrummet L2(T) och rummet `2(Z) av f¨oljder uppfattas som ”samma” rum.

4.8 Punktvis konvergens

Vi har tidigare konstaterat att partialsumman

S_Nf (t) = N X n=−N ˆ f (n)e^int

till en funktions fourierserie kan skrivas som en faltning SNf (t) = f ∗ DN(t)

4.8 Punktvis konvergens 105

av funktionen f med Dirichletpolynomet

D_N(t) = N X n=−N e^int= ^{sin(N +} 1 2)t sin¹₂t ^.

Dirichletpolynomen har egenskaper som p˚aminner om Poissonk¨arnan. Exempelvis ¨ar Z T D_N(t) dt = 1 (4.6) och lim N →∞ Z π δ DN(t) dt = 0 om 0 < δ <π.

Likheten (4.6) f¨oljer genom att integrera summanPN

−Ne^inttermvis eftersom R

Te^intdt ¨ar lika med 0 f¨or n 6= 0 och lika med 1 f¨or n = 0, och gr¨ansv¨ardet ¨ar en konsekvens av Riemann-Lebesgues lemma eftersom funktionen 1/ sin¹₂t tillh¨or L¹([δ,π]).

F¨or att visa att partialsummorna konvergerar mot f (t) i en punkt t ¨ar det frestande att f¨ors¨oka kopiera beviset f¨or sats 4.5.1, men det fungerar inte av det sk¨alet att Dirichletpolynomen till skillnad fr˚an Poissonk¨arnan inte ¨ar positiva. F¨or att fourierserien skall konvergera punktvis kr¨avs det ytterligare villkor p˚a funktionen f , och vi skall nu h¨arleda ett tillr¨ackligt s˚adant.

Antag som alltid att f ∈ L¹(T), och l˚at till att b¨orja med A vara ett godtyckligt tal. Genom att utnyttja ekvation (4.6) erh˚aller vi identiteten

S_Nf (t) − A = f ∗ D_N(t) − A = Z T f (t − s) − A
D_N(s) ds = ¹ 2π Z 0 −π f (t − s) − A
D_N(s) ds + ¹ 2π Z π 0 f (t − s) − A
D_N(s) ds. Vi g¨or nu variabelbytet u = −s i integralen ¨over [−π, 0] samt utnyttjar att Dirichletpolynomet D_N ¨ar en j¨amn funktion. Detta resulterar i att

S_Nf (t) − A = ¹ 2π Z π 0 f (t + u) − A
D_N(u) du + ¹ 2π Z π 0 f (t − s) − A
D_N(s) ds = ¹ 2π Z π 0 f (t + s) + f (t − s) − 2A
D_N(s) ds = ¹ 2π Z π 0 f (t + s) + f (t − s) − 2A sin¹₂s ^{sin(N +} 1 2)s ds. Om nu funktionen g(s) = ^{f (t + s) + f (t − s) − 2A} sin¹₂s

106 4 Fourierseriens konvergens

tillh¨or L¹([0,π]), s˚a f¨oljer det av Riemann-Lebesgues lemma att lim N →∞S_Nf (t) − A = lim N →∞ 1 2π Z π 0 g(s) sin(N + ¹₂)s ds = 0, dvs. partialsummorna S_Nf (t) konvergerar mot A.

Vi kan ers¨atta villkoret g ∈ L¹([0,π]) med ett n˚agot enklare villkor genom att anv¨anda den element¨ara olikheten

2

πx ≤ sin x ≤ x,

som g¨aller f¨or 0 ≤ x ≤ π/2 och f¨oljer av att sinuskurvan f¨or 0 ≤ x ≤ π/2 ligger mellan kordan fr˚an origo till maximipunkten (π/2, 1) och tangenten i origo. F¨or 0 < s ≤ π ¨ar s˚aledes 2 ≤ s/ sin¹₂s ≤ π, s˚a om vi definierar funktionen h genom att s¨atta

h(s) = ^{f (t + s) + f (t − s) − 2A} s ^{= g(s)} sin¹₂s s blir f¨oljaktligen 2|g(s)| ≤ |h(s)| ≤π|g(s)|

f¨or 0 < s ≤ π. Funktionen g tillh¨or s˚aledes L¹([0,π]) om och endast om funktionen h g¨or det.

Vi unders¨oker d¨arf¨or n¨ar h tillh¨or L¹([0,π]) och l˚ater f¨or den skull δ vara ett godtyckligt tal i det ¨oppna intervallet ]0,π[. F¨or s ≥ δ ¨ar

|h(s)| ≤ δ⁻¹(|f (t + s)| + |f (t − s)| + 2|A|) och f¨oljaktligen Z π δ |h(s)| ds ≤ δ⁻¹ Z π 0 (|f (t + s)| + |f (t − s)| + 2|A|) ds = 2πδ⁻¹(kf k1+ |A|) < ∞.

Funktionen h liger s˚aledes i L¹([0,π]) om och endast om Z δ 0 |h(s)| ds = Z δ 0    f (t + s) + f (t − s) − 2A s   ds < ∞ f¨or n˚agot δ > 0. D¨armed har vi bevisat f¨oljande sats.

Sats 4.8.1 (Dinis konvergenskriterium). Fourierserien till L¹(T)-funktionen f ¨ar konvergent i punkten t med gr¨ansv¨arde A om

Z δ 0    f (t + s) + f (t − s) − 2A s   ds < ∞ f¨or n˚agot positivt tal δ.

4.8 Punktvis konvergens 107

Dinis konvergensvillkor ¨ar uppfyllt om gr¨ansv¨ardet

(4.7) lim

s→0+

f (t + s) + f (t − s) − 2A s

existerar, ty detta medf¨or att funktionen h(s) ¨ar begr¨ansad n¨ara s = 0. Och ett svagare tillr¨ackligt villkor ¨ar att det finns positiva konstanter C och α s˚adana att olikheten

(4.8) |f (t + s) + f (t − s) − 2A| ≤ Cs^α g¨aller f¨or alla tillr¨ackligt sm˚a tal s.

Sammanfattningsvis har vi allts˚a visat att S_Nf (t) → A d˚a N → ∞ om villkoret (4.7) eller villkoret (4.8) ¨ar uppfyllt, och f¨or att med utg˚angspunkt fr˚an detta skaffa oss tv˚a konvergenskriterier som ¨ar enkla att verifiera inf¨or vi f¨oljande beteckningar och definitioner.

Definition. I en punkt t0 d¨ar h¨ogergr¨ansv¨ardet f (t⁺₀) = lim

s→0+f (t0+ s) existerar kallas gr¨ansv¨ardet

f₊⁰ (t₀) = lim

s→0+

f (t₀+ s) − f (t⁺₀) s

f¨or den generaliserade h¨ogerderivatan, f¨orutsatt att det existerar. Och i en punkt d¨ar v¨anstergr¨ansv¨ardet

f (t⁻₀) = lim

s→0−f (t0+ s) existerar kallas gr¨ansv¨ardet

f₋⁰ (t0) = lim

s→0−

f (t0+ s) − f (t⁻₀) s

f¨or den generaliserade v¨ansterderivatan, f¨orutsatt att det existerar.

I punkter t₀ d¨ar funktionen ¨ar kontinuerlig ¨ar f¨orst˚as f (t⁺₀) = f (t⁻₀) = f (t0), och om den ”vanliga” v¨ansterderivatan existerar s˚a ¨ar den lika med f₋⁰ (t0), och motsvarande g¨aller f¨or den ”vanliga” h¨ogerderivatan. Speciellt existerar s˚av¨al f₊⁰(t₀) som f₋⁰(t₀) i alla punkter t₀ d¨ar funktionen f ¨ar deri-verbar.

Definition. Funktionen f kallas H¨olderkontinuerlig i punkten t₀ om det finns positiva konstanter C, α och δ s˚adana att olikheten

|f (t) − f (t₀)| ≤ C|t − t₀|α

108 4 Fourierseriens konvergens

Utrustade med dessa definitioner kan vi nu formulera f¨oljande konver-genskriterier.

Sats 4.8.2. Antag att f ∈ L¹(T), och l˚at t vara en punkt d¨ar de b˚ada ensidi-ga gr¨ansv¨ardena f (t⁻) och f (t⁺) och de tv˚a generaliserade ensidiga deriva-torna f₋⁰ (t) och f₊⁰ (t) existerar. D˚a konvergerar fourierserien till f i punkten t mot ¹₂ f (t⁺) + f (t⁻)
.

Bevis. S¨att A = ¹₂(f (t⁺) + f (t⁻)). V˚ara antaganden medf¨or att

lim s→0+ f (t + s) + f (t − s) − 2A s ^{= lim}s→0+ f (t + s) − f (t⁺) s − lim s→0+ f (t − s) − f (t⁻) −s ^{= f} 0 +(t) − f₋⁰(t)

existerar, dvs. det f¨or konvergens tillr¨ackliga villkoret (4.7) ¨ar uppfyllt. Sats 4.8.3. Antag att f ∈ L¹(T) och att t ¨ar en punkt d¨ar funktionen f ¨ar H¨olderkontinuerlig. D˚a ¨ar funktionens fourierserie konvergent i punkten t med summa f (t).

Bevis. P˚a grund av antagandet finns det positiva konstanter C och α s˚adana att

|f (t ± s) − f (t)| ≤ Cs^α

f¨or alla tillr¨ackligt sm˚a s, och d˚a ¨ar det tillr¨ackliga konvergensvillkoret (4.8) uppfyllt med A = f (t).

Huruvida en fourierserie konvergerar i en punkt beror enbart p˚a funk-tionens uppf¨orande i en godtyckligt liten omgivning av punkten. Detta ¨ar inneb¨orden av f¨oljande sats.

Sats 4.8.4 (Riemanns lokaliseringsprincip). (a) L˚at f ∈ L¹(T) och antag att f (t) = 0 f¨or |t − t₀| < δ, d¨ar δ ¨ar ett godtyckligt litet positivt tal. D˚a kon-vergerar fourierserien till f mot 0 i punkten t0.

(b) L˚at f, g ∈ L¹(T) och antag att f (t) = g(t) f¨or alla t i n˚agon ¨oppen om-givning av t₀. D˚a ¨ar antingen fourierserierna till f och g b˚ada konvergenta i punkten t₀ med samma summa, eller ocks˚a ¨ar b˚ada serierna divergenta. Bevis. (a) ¨ar en omedelbar konsekvens av sats 4.8.2, och (b) f¨oljer genom att till¨ampa (a) p˚a differensen f −g, eftersom S_nf (t) = S_n(f −g)(t)+S_ng(t).

Lokaliseringsprincipen ¨ar onekligen ¨overraskande, ty genom att ¨andra en funktion utanf¨or en godtyckligt liten omgivning av en punkt kan vi f¨or¨andra samtliga koefficienter i fourierserien, men detta p˚averkar allts˚a inte fourier-seriens summa i punkten.

4.8 Punktvis konvergens 109

Vi avslutar det h¨ar avsnittet med n˚agra konvergensresultat, vars bevis ¨

ar alltf¨or komplicerade f¨or att ges h¨ar.

Den svenske matematikern Lennart Carleson visade 1966 f¨oljande sats. Sats (Carlesons sats). M¨angden av punkter d¨ar fourierserien till en L² (T)-funktion inte konvergerar ¨ar en nollm¨angd.

Eftersom alla kontinuerliga funktioner p˚a T ligger i L²(T) f¨oljer speciellt: Korollarium. M¨angden av punkter d¨ar fourierserien till en kontinuerlig funk-tion p˚a T inte konvergerar ¨ar en nollm¨angd.

Korollariets resultat ¨ar det b¨asta vi kan hoppas p˚a p˚a grund av n¨asta sats.

Sats (Kahane–Katznelson). F¨or varje nollm¨angd E p˚a T finns det en konti-nuerlig funktion vars fourierserie divergerar f¨or alla punkter i E.

Och f¨or allm¨anna L¹-funktioner har vi f¨oljande negativa resultat. Sats (Kolmogorov). Det finns en L1(T)-funktion vars fourierserie divergerar punktvis ¨overallt.

Varje L¹-funktions fourierserie ¨ar enligt sats 4.5.1 abelsummerbar i L¹ -mening med funktionen som summa. Detta betyder emellertid inte att fou-rierseriens partialsummor beh¨over konvergera mot funktionen i L¹-mening, ty vi har f¨oljande sats.

Sats. Det finns en L¹(T)-funktion vars fourierserie inte konvergerar mot funktionen i L¹-mening.

F¨or bevisen av samtliga satser ovan, f¨orutom Carlesons sats, h¨anvisas till Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 3rd ed., Cambridge University Press, 2004.

¨

Ovningar

4.7 Visa f¨oljande normresultat f¨or Dirichletk¨arnan: a) kDNk_∞= 2N + 1 b) kDNk₁ = ⁴

π² log N + O(1).

Det f¨oljer att kD_Nk₁ → ∞ d˚a N → ∞, och det ¨ar detta faktum som g¨or att det exempelvis finns kontinuerliga funktioner med fourierserier som divergerar i vissa punkter.

110 4 Fourierseriens konvergens