Rummet L 1

Ovningar

2.1 Visa f¨oljande olikhet f¨or normen i ett normerat rum 

kf k − kgk

≤ kf − gk.

2.2 L˚at (fn)^∞₁ och (gn)^∞₁ vara tv˚a konvergenta f¨oljder i ett normerat rum och s¨att f = lim

n→∞fn och g = lim n→∞gn. Visa att a) lim n→∞(f_n+ g_n) = f + g, b) lim n→∞kf_nk = kf k.

2.4 Rummet L

Aven om klassen av kontinuerliga funktioner ¨ar stor s˚a finns det m˚anga i olika till¨ampningar f¨orekommande intressanta och viktiga funktioner som inte ¨ar kontinuerliga och som vi vill kunna transformera. En funktionsklass som inneh˚aller alla kontinuerliga funktioner om definitionsintervallet I ¨ar kompakt, och alla kontinuerliga funktioner som avtar tillr¨ackligt snabbt i o¨andligheten om intervallet I ¨ar obegr¨ansat, ¨ar klassen av alla absolutin-tegrabla funktioner, som vi nu ska studera.

Definition. L˚at I vara ett intervall. En integrerbar funktion f : I → C kallas absolutintegrabel om

Z

I

|f (t)| dt < ∞.

Rummet av alla absolutintegrabla funktioner p˚a I betecknas L¹(I). F¨or funktioner f ∈ L¹(I) s¨atter vi

kf k₁= ¹ d

Z

I

2.4 Rummet L¹ 27

d¨ar d ¨ar l¨angden av intervallet I om det ¨ar begr¨ansat, och d = 1 om inter-vallet I ¨ar obegr¨ansat.

Anm¨arkning. Normaliseringsfaktorn d ¨ar ditstoppad av det enkla sk¨alet att vi vill att den konstanta funktionen 1 ska ha norm lika med 1 i de fall d˚a intervallet I ¨ar begr¨ansat. (F¨or obegr¨ansade intervall ligger f¨orst˚as inga andra konstanta funktioner ¨an nollfunktionen i L¹(I).)

Vi har inte f¨orklarat vad L i beteckningen L¹(I) st˚ar f¨or. Svaret ¨ar ”Le-besgue”, ty det i sammanhanget ”r¨atta” integralbegreppet ¨ar inte Riemann-integralen utan den s. k. LebesgueRiemann-integralen som behandlas i mer avancera-de kurser i m˚att- och integrationsteori. Detta ¨ar dock inget som beh¨over bekymra den h¨ar bokens l¨asare, som inte kan f¨orv¨antas ha studerat den-na integral, ty f¨or alla Riemannintegrabla funktioner och d¨armed f¨or alla funktioner som kan t¨ankas f¨orekomma i till¨ampningarna, ¨ar Lebesgueinte-gralen lika med RiemanninteLebesgueinte-gralen. F¨ordelen med Lebesgueintegralen ¨ar att fler funktioner blir integrerbara samt att ett antal satser om gr¨ans¨overg˚ang under integraltecknet f¨orenklas. Det ¨ar s˚aledes inte n¨odv¨andigt att precist kunna avg¨ora vilka funktioner som ing˚ar i rummet L¹(I) f¨or att f¨orst˚a och kunna f¨olja den kommande framst¨allningen av fourierteorin. V¨asentligt ¨ar d¨aremot att veta att rummet har f¨oljande egenskaper, ty dem kommer vi att anv¨anda oss flitigt av i forts¨attningen.

1. Rummet L¹(I) ¨ar ett vektorrum

Om f₁, f₂ ¨ar funktioner i L1(I) och c₁, c₂ ¨ar komplexa tal, s˚a ligger med andra ord funktionen c1f1+ c2f2 ocks˚a i L¹(I), och

Z I (c1f1(t) + c2f2(t)) dt = c1 Z I f1(t) dt + c2 Z I f2(t) dt.

2. Rummet L¹(I) ¨ar ett normerat vektorrum med k·k₁ som norm Vi kallar kf k₁ f¨or L1-normen av funktionen f . De b˚ada normegenskaperna kf k₁ ≥ 0 och kcf k₁= |c|kf k1 ¨ar uppenbara, och triangelolikheten

kf + gk₁ ≤ kf k₁+ kgk₁

f¨oljer genom integration av olikheten |f (t) + g(t)| ≤ |f (t)| + |g(t)|, som g¨aller f¨or alla t p˚a grund av triangelolikheten f¨or komplexa tal.

F¨or att f˚a det ˚aterst˚aende normkravet att g¨alla, n¨amligen kravet att nollfunktionen ska vara den enda funktionen i rummet som har norm noll, m˚aste vi emellertid ta till ett trick eftersom likheten

kf k₁ = ¹ d

Z

I

|f (t)| dt = 0

uppenbarligen g¨aller f¨or andra funktioner ¨an nollfunktionen. Exempelvis g¨aller likheten f¨or alla funktioner som ¨ar lika med noll ¨overallt p˚a inter-vallet I utom i enstaka punkter.

28 2 Rekvisita

F¨or att komma runt detta dilemma finns det ingen annan utv¨ag ¨an att betrakta alla funktioner f ∈ L¹(I) med egenskapen att kf k₁ = 0 som sam-ma funktion, n¨amligen nollfunktionen. Och d˚a m˚aste vi ocks˚a betrakta alla funktioner f och g med egenskapen att kf − gk1 = 0 som samma funk-tion. Om du tycker att detta l˚ater alltf¨or l¨osligt, s˚a kan vi g¨ora det hela matematiskt oantastligt p˚a f¨oljande vis. F¨orst beh¨ovs d˚a en definition. Definition. Tv˚a funktioner f och g i L¹(I) s¨ages vara lika n¨asta ¨overallt, vilket vi f¨orkortar som f (t) = g(t) n.¨o., om kf − gk1= 0.

Speciellt ¨ar allts˚a f (t) = 0 n.¨o. om kf k₁= 0.

D¨arefter konstaterar vi att egenskapen ”likhet n¨astan ¨overallt” ¨ar en ekvivalensrelation, vilket inneb¨ar att

(a) f (t) = f (t) n.¨o. f¨or alla funktioner f . (b) f (t) = g(t) n.¨o. ⇒ g(t) = f (t) n.¨o.

(c) f (t) = g(t) n.¨o. & g(t) = h(t) n.¨o. ⇒ f (t) = h(t) n.¨o.

Vi kan d¨arf¨or partitionera L¹(I) i ekvivalensklasser, d¨ar varje s˚adan klass best˚ar av alla funktioner som ¨ar lika med varandra n¨astan ¨overallt, och ele-menten i v˚art ”nya L¹(I)” f˚ar nu bli dessa ekvivalensklasser. Detta nya rum blir med naturliga definitioner av linj¨arkombinationer och norm ett norme-rat vektorrum. Vi avst˚ar fr˚an att genomf¨ora detaljerna i denna konstruktion som ¨ar analog med hur man definierar rationella tal som ekvivalensklasser av br˚ak s˚a att exempelvis br˚aken 1/2, 2/4, 3/6, . . . blir representanter f¨or samma rationella tal. Kontentan av det hela ¨ar ¨and˚a bara att vi inte ska skilja p˚a tv˚a funktioner som ¨ar lika n¨astan ¨overallt eftersom de har samma integral.

D˚a uppst˚ar naturligtvis fr˚agan om det finns n˚agot direkt s¨att att avg¨ora om tv˚a funktioner ¨ar lika n¨astan ¨overallt som inte bygger p˚a att man ber¨ ak-nar integralen av beloppet av funktionernas differens. Exempelvis ¨ar ju tv˚a funktioner f och g lika n¨astan ¨overallt om f (t) = g(t) f¨or alla t i intervallet I utom i en punkt, eller i tv˚a punkter, eller mer generellt i ¨andligt m˚anga punkter. Det precisa svaret ¨ar att tv˚a funktioner f och g ¨ar lika n¨astan ¨

overallt om och endast om m¨angden {t | f (t) 6= g(t)} av punkter d¨ar funk-tionerna skiljer sig ˚at ¨ar en nollm¨angd, d¨ar begreppet nollm¨angd definieras p˚a f¨oljande vis.

Definition. En delm¨angd E av de reella talen kallas en nollm¨angd om det ¨ar m¨ojligt att t¨acka ¨over m¨angden med ¨oppna intervall vars sammanlagda l¨angd ¨

ar godtyckligt liten, dvs. om det f¨or varje  > 0 finns en f¨oljd I₁, I₂, I₃, . . . av ¨oppna intervall s˚adan att E ⊆S I_n ochP

n|I_n| < . (H¨ar betecknar |In| l¨angden av intervallet In.)

Alla ¨andliga m¨angder ¨ar f¨orst˚as nollm¨angder, men ocks˚a m¨angden Q av alla rationella tal ¨ar en nollm¨angd.

2.4 Rummet L¹ 29

Speciellt betraktas allts˚a en funktion f som lika med nollfunktionen om m¨angden av punkter d¨ar funktionen ¨ar skild fr˚an noll ¨ar en nollm¨angd.

Om g ¨ar en icke-negativ, kontinuerlig funktion och R

Ig(t) dt = 0, s˚a ¨ar n¨odv¨andigtvis g(t) = 0 f¨or alla t. En kontinuerlig absolutintegrabel funktion f med norm kf k1 = 0 ¨ar d¨arf¨or identiskt lika med noll. Om en kontinuerlig funktion ¨ar noll n¨astan ¨overallt, s˚a ¨ar den f¨oljaktligen noll ¨overallt.

3. Delrummet C_K(I) av kontinuerliga funktioner som ¨ar noll ut-anf¨or n˚agon kompakt delm¨angd av I ¨ar t¨att i L1(I)

Inneb¨orden av detta p˚ast˚aende ¨ar att varje funktion i L¹(I) kan approxime-ras av en kontinuerlig funktion som ¨ar noll utanf¨or n˚agon kompakt delm¨angd av I med godtycklig noggrannhet. Givet f ∈ L¹(I) och  > 0 finns det med andra ord en funktion g ∈ CK(I) s˚adan att kf − gk1 < .

Med en analogi kan vi s˚aledes s¨aga att ur approximationssynpunkt f¨ or-h˚aller sig de kontinuerliga funktionerna som ¨ar noll utanf¨or n˚agon kompakt delm¨angd av I till funktionerna i L¹(I) som de rationella talen g¨or till de reella talen. F¨or Riemannintegrabla funktioner f visar man p˚ast˚aendet ge-nom att f¨orst approximera funktionen med en trappstegsfunktion och sedan i sin tur approximera trappstegsfunktionen med en styckvis linj¨ar funktion. Figur 2.2 illustrerar det hela.

Figur 2.2. Approximation av integrerbar funktion med styckvis linj¨ar funktion.

Att en f¨oljd (fn)^∞₁ av funktioner i L¹(I) konvergerar mot funktionen f betyder enligt v˚ar generella definition av konvergens i ett normerat rum att kf_n− f k₁ → 0 d˚a n → ∞. Ibland beh¨over man f¨ortydliga att det ¨ar just den konvergensen som det r¨or sig om (och att det t. ex. inte handlar om punktvis konvergens), och d˚a s¨ager man att funktionsf¨oljden konvergerar i L¹-mening mot f ∈ L¹(T).

Att rummet CK(I) ¨ar t¨att i L¹(I) inneb¨ar att man f¨or givet f ∈ L¹(I) och varje positivt heltal n kan hitta en funktion gn∈ C_K(I) med egenskapen att kf − g_nk₁≤ 1/n. Man kan med andra ord konstruera en f¨oljd (g_n)^∞₁ av kontinuerliga funktioner, d¨ar varje funktion ¨ar noll utanf¨or n˚agon kompakt delm¨angd av I, som konvergerar i L¹-mening mot f .

30 2 Rekvisita ¨

Ovningar

2.3 Vilka av f¨oljande funktioner ligger i L¹([0, 1])? Ber¨akna i f¨ orekomman-de fall normen.

a) f (t) = t^−1/2, 0 < t ≤ 1 b) f (t) = t⁻¹, 0 < t ≤ 1 c) f (t) = ln t, 0 < t ≤ 1.

2.4 Antag att f ∈ L¹(I), d¨ar I ¨ar ett begr¨ansat intervall, och att |f (t)| ≤ C f¨or alla t ∈ I. Visa att kf k₁ ≤ C.