Kontinuitetsprincipen

¨

Ovningar

4.1 Ber¨akna gr¨ansv¨ardet lim

n→∞

Z ∞

−∞

e^−t2/n 1 + t2 dt.

4.2 F¨oljden (a_n)_n∈Z ¨ar begr¨ansad och 0 < r < 1. Visa att funktionen f (t) =^X

n∈Z

anr^|n|e^int

¨

ar o¨andligt deriverbar.

4.2 Kontinuitetsprincipen

Antag att funktionen f : R → C ¨ar kontinurlig och att vi vet att f (x) = 0 f¨or alla rationella tal x. D˚a f¨oljer det av kontinuiteten och av det faktum att varje reellt tal kan approximeras med godtycklig noggrannhet av rationella tal (dvs. av att Q ¨ar t¨at i R) att f (x) = 0 f¨or alla x. Vi ska formulera och bevisa en liknande princip som exempelvis kan anv¨andas f¨or att utvinna information om hur en avbildning beter sig p˚a m¨angden L¹(T) fr˚an infor-mation om hur samma avbildning beter sig p˚a den t¨ata delm¨angden C(T). Principen, som vi kallar kontinuitetsprincipen, bygger p˚a ett generellt re-sultat vars bevis ¨ar synnerligen enkelt. F¨or att kunna formulera den p˚a ett enkelt s¨att inf¨or vi f¨orst f¨oljande definitioner.

Definition. L˚at B beteckna ett godtyckligt normerat vektorrum med norm k · k. En avbildning S : B → C kallas

• additiv om S(f + g) = S(f ) + S(g) f¨or alla f, g ∈ B;

• begr¨ansad om det finns en konstant C s˚adan att |S(f )| ≤ Ckf k f¨or alla f ∈ B.

En avbildning S : B → R kallas

• subadditiv om S(f + g) ≤ S(f ) + S(g) f¨or alla f, g ∈ B; • positiv om S(f ) ≥ 0 f¨or alla f ∈ B.

Vi p˚aminner ocks˚a om definitionen av begreppet t¨at m¨angd.

Definition. En delm¨angd D av ett normerat rum B kallas t¨at i B om det f¨or varje f ∈ B och varje  > 0 finns ett element g ∈ D med egenskapen att kf − gk < .

Sats 4.2.1 (Kontinuitetsprincipen). Antag att S : B → R ¨ar en positiv, subad-ditiv, begr¨ansad avbildning p˚a ett normerat rum B samt att S(f ) = 0 f¨or alla f i n˚agon t¨at delm¨angd av B. D˚a ¨ar S(f ) = 0 f¨or alla f ∈ B.

Bevis. Antag att S(g) = 0 f¨or alla element g i den t¨ata delm¨angden D, och l˚at f vara ett godtyckligt element i B. F¨or varje  > 0 finns det d˚a ett

90 4 Fourierseriens konvergens

element g ∈ D s˚adant att kf − gk < , och av antagandena om avbildningen S f¨oljer d¨arf¨or att

0 ≤ S(f ) = S(f − g + g) ≤ S(f − g) + S(g) = S(f − g) ≤ Ckf − gk < C.

Eftersom detta g¨aller f¨or alla  > 0, ¨ar S(f ) = 0.

Sats 4.2.1 har f¨oljande tv˚a korollarier som ¨ar de versioner av kontinui-tetsprincipen som vi kommer att anv¨anda oss av vid ett flertal tillfallen. Korollarium 4.2.2. L˚at T_i: B → C, i = 1, 2, vara tv˚a additiva, begr¨ansade avbildningar p˚a ett normerat rum B, och antag att T1(f ) = T2(f ) f¨or alla f i n˚agon t¨at delm¨angd D av B. D˚a ¨ar T₁(f ) = T₂(f ) f¨or alla f ∈ B.

Bevis. S¨att S(f ) = |T1(f ) − T2(f )|. D˚a ¨ar S en positiv och subadditiv av-bildning B → R, ty

S(f + g) = |T₁(f ) − T₂(f ) + T₁(g) − T₂(g)|

≤ |T₁(f ) − T₂(f )| + |T₁(g) − T₂(g)| = S(f ) + S(g).

Eftersom avbildningarna T₁ och T₂ ¨ar begr¨ansade finns det vidare en konstant C s˚adan att |T1(f )| ≤ Ckf k och |T2(f )| ≤ Ckf k f¨or alla f ∈ B, och detta medf¨or att

S(f ) ≤ |T₁(f )| + |T₂(f )| ≤ Ckf k + Ckf k = 2Ckf k. Avbildningen S ¨ar s˚aledes ocks˚a begr¨ansad.

Slutligen ¨ar S(f ) = 0 f¨or alla f ∈ D. Det f¨oljer d¨arf¨or av kontinuitets-principen att Sf = 0 f¨or alla f ∈ B, vilket bevisar korollariet.

Korollarium 4.2.3. L˚at Tn: B → R, n = 1, 2, 3, . . . , vara avbildningar p˚a ett normerat rum B som ¨ar positiva, subadditiva och uniformt begr¨ansade, dvs. det finns en konstant C s˚a att Tn(f ) ≤ Ckf k f¨or alla f ∈ B och alla n. Antag vidare att lim

n→∞Tn(f ) = 0 f¨or alla f i n˚agon t¨at delm¨angd D av B. D˚a ¨ar lim

n→∞T_n(f ) = 0 f¨or alla f ∈ B.

Anm¨arkning. Vi kommer ocks˚a att anv¨anda en variant av korollariet d¨ar man ist¨allet f¨or att ha en familj av avbildningar som indexeras av de positiva heltalen har en familj av typen (Tx)x∈I d¨ar I ¨ar ett intervall, s¨ag I =]a, b[. Om dessa avbildningar ¨ar positiva, subadditiva och uniformt begr¨ansade och lim_x→bT_x(f ) = 0 f¨or alla f i n˚agon t¨at delm¨angd av B, s˚a ¨ar lim_x→bT_x(f ) = 0 f¨or alla f ∈ B.

Bevis. Vi skulle vilja s¨atta S(f ) = limn→∞Tn(f ) och till¨ampa kontinui-tetsprincipen p˚a avbildningen S. Problemet ¨ar att vi inte apriori vet att

4.2 Kontinuitetsprincipen 91

gr¨ansv¨ardet existerar f¨or alla f , och f¨or att komma runt detta s¨atter vi ist¨allet

S(f ) = lim

n→∞sup

k≥n

Tk(f ).

Detta ¨ar ett gr¨ansv¨arde som s¨akert existerar f¨or varje f ∈ B, ty f¨oljden a_n= sup

k≥n

T_k(f ), n = 1, 2, 3, . . .

¨

ar uppenbarligen avtagande och ned˚at begr¨ansad (av 0), och den har f¨ olj-aktligen ett gr¨ansv¨arde.¹

Vi p˚ast˚ar nu att S(f ) = 0 om och endast om lim_n→∞T_n(f ) = 0. Om S(f ) = 0, s˚a finns det n¨amligen givet  > 0 ett tal N s˚a att aN < , och d˚a ¨ar per definition 0 ≤ Tn(f ) ≤ aN <  f¨or n ≥ N , vilket inneb¨ar att

lim

n→∞T_n(f ) = 0.

Om det sistn¨amnda gr¨ansv¨ardet ¨ar lika med 0, s˚a finns det ˚a andra sidan, givet  > 0, ett tal N s˚a att 0 ≤ Tn(f ) <  f¨or n ≥ N , och d˚a ¨ar speciellt 0 ≤ a_N ≤ . Eftersom f¨oljden (a_n)^∞₁ ¨ar avtagande, ¨ar gr¨ansv¨ardet S(f ) mindre ¨an a_N, s˚a vi drar slutsatsen att 0 ≤ S(f ) ≤ . H¨arav f¨oljer slutligen att S(f ) = 0, eftersom  ¨ar ett godtyckligt positivt tal.

Att avbildningen S : B → R ¨ar positiv ¨ar uppenbart. L˚at oss nu visa att den ocks˚a ¨ar subadditiv och begr¨ansad.

Subadditiviteten T_k(f + g) ≤ T_k(f ) + T_k(g) hos var och en av avbild-ningarna T_k medf¨or f¨orst genom supremumbildning att

sup k≥n T_k(f + g) ≤ sup k≥n T_k(f ) + sup k≥n T_k(g)

och sedan genom gr¨ans¨overg˚ang d˚a n → ∞ att S(f + g) ≤ S(f ) + S(g). Av 0 ≤ T_k(f ) ≤ Ckf k f¨oljer genom supremumbildning att

0 ≤ sup

k≥n

T_k(f ) ≤ Ckf k,

och d˚a g¨aller ocks˚a f¨or gr¨ansv¨ardet S(f ) att 0 ≤ S(f ) ≤ Ckf k.

Antagandet limn→∞Tn(f ) = 0 f¨or f ∈ D medf¨or slutligen att S(f ) = 0 f¨or alla f i den t¨ata m¨angden D. Enligt kontinuitetsprincipen ¨ar d¨arf¨or S(f ) = 0 f¨or alla f ∈ B. D¨armed ¨ar korollariet bevisat.

Som ett exempel p˚a hur man kan anv¨anda sig av korollarium 4.2.3 visar vi nu att translatet T_tf till en L1(T)- eller L2(T)-funktion f varierar med t p˚a ett kontinuerligt vis.

1Den som ¨ar bekant med begreppet ¨ovre limes, lim sup, k¨anner omedelbart igen S(f ) som lim sup

n→∞

92 4 Fourierseriens konvergens

Sats 4.2.4. L˚at p vara 1 eller 2, och antag att f ∈ L^p(T). F¨or alla reella tal t₀ ¨ar d˚a

lim

t→t0

kT_tf − Tt0f kp = 0. Bevis. Eftersom integralen ¨ar translationsinvariant ¨ar

kT_tf − T_t0f k^p_p= Z T |f (s − t) − f (s − t₀)|^pds = Z T |f (s − t + t₀) − f (s)| ds = kTt−t0f − f k^p_p.

Det r¨acker f¨oljaktligen att visa p˚ast˚aendet i fallet t₀ = 0, vilket vi nu ska g¨ora.

Definiera d¨arf¨or avbildningarna S_t: L^p(T) → R genom att s¨atta Stf = kTtf − f kp.

Avbildningarna S_t ¨ar uppenbarligen positiva, och de ¨ar ocks˚a subadditiva och uniformt begr¨ansade eftersom

S_t(f + g) = kT_t(f + g) − (f + g)k_p = kT_tf − f + T_tg − gk_p ≤ kT_tf − f kp+ kTtg − gkp = Stf + Stg och

Stf = kTtf − f kp≤ kT_tf kp+ kf kp = kf kp+ kf kp = 2kf kp. Rummet C(T) av kontinuerliga periodiska funktioner ¨ar t¨att i s˚av¨al L¹(T) som L²(T), s˚a f¨or att visa satsen r¨acker det p˚a grund av korolla-rium 4.2.3 (och den efterf¨oljande anm¨arkningen) att visa att Stg → 0 d˚a t → 0 f¨or godtyckliga funktioner g i C(T).

S˚a antag att g ∈ C(T). Eftersom kontinuerliga periodiska funktioner ¨ar likformigt kontinuerliga, finns det givet  > 0 ett tal δ > 0 med egenskapen att |t₁− t₂| < δ ⇒ |g(t₁) − g(t₂)| < . Vidare ¨ar kgk_p ≤ kgk_∞. F¨or |t| < δ ¨ar f¨oljaktligen

0 ≤ S_tg = kT_tg − gk_p ≤ kT_tg − gk∞= max

s∈T|g(s − t) − g(s)| ≤ , vilket visar att S_tg → 0 d˚a t → 0.