Funktionen f¨ or sparade tillg˚ angar

Nyttomaximeringsproblemet f¨or den representativa individen vi har att l¨osa ges av

cu,t,maxcg,t+1

Ut = ln (cu,t) + β ln (cg,t+1), β > 0 (5.6)

f¨orutsatt att individens budgetrestriktion f¨or konsumtion som ung

c_u,t = (w_t− T_t) − a_t− m_t, m_t≡ M_t

N_tP_t (5.7)

och som gammal

c_g,t+1= (1 + r_t+1)a_t+ (1 + r^ekr_t+1)m_t+1, m_t+1 ≡ M_t+1

N_t+1P_t+1 (5.8) uppfylls. F¨or att h¨arleda nuv¨ardet av individens budgetrestriktion f¨or livstidskonsum-tion, vilket vi senare anv¨ander som bivillkor i v˚ar Lagrange-funktion, isolerar vi sparade reala tillg˚angar, a_t, i budgetrestriktionen som gammal (5.8) och substituerar in den i budgetrestriktionen som ung (5.7) och f˚ar

c_u,t + c_g,t+1

1 + r_t+1 = (w_t− T_t) + 1 + r_t+1^ekr

1 + r_t+1m_t+1− m_t. (5.9) Vidare anv¨ander vi att real m¨angd e-kronor per capita i t + 1 ¨ar lika med m¨angden i period t multiplicerat med den samlade f¨or¨andringsfaktorn _(1+n^(1+µt)

t)(1+πt) (4.36), vilken vi

(5.10) ¨ar individens intertemporala budgetrestriktion vilket ger oss att nuv¨ardet av indiv-idens livstidskonsumtion, c_u,t + _1+r^cg,t+1

t+1, ¨ar lika med l¨on efter skatt plus nuv¨ardet av vad vi ben¨amner som den abnormala avkastningen som ˚atnjuts av att h˚alla e-kronor. Vi f˚ar fraktionen ^1+r_1+r^t+1ekr

t+1 vilket ¨ar r¨antekvoten mellan e-kronan och reala tillg˚angar ¨over perioden som gammal.

I fallet d¨ar ^1+r

ekr t+1

1+rt+1 = 1, d.v.s., n¨ar r¨antan p˚a e-kronan ¨ar lika med r¨antan p˚a reala tillg˚angar, summeras uttrycket f¨or den abnormala avkastningen till (ψ_t − 1)m_t, vilket vi ben¨amner som den normala avkastningen. Vidare, om den samlade f¨or¨andringsfaktorn f¨or real m¨angd e-kronor per capita, ψ, ¨ar lika med ett reduceras (5.10) till

c_u,t+ c_g,t+1

1 + r_t+1 = (w_t− T_t) , (5.11) vilket ger oss att vid en normal avkastning p˚a e-kronan samt en konstant real m¨angd e-kronor per capita ¨ar individens livstidskonsumtion enbart lika med l¨on efter skatt.

Nu vill vi veta hur individens konsumtion f¨or¨andras ¨over tid och d˚a beh¨over vi l¨osa individens nyttomaximeringsproblem (5.6). Ett s¨att att g¨ora detta ¨ar att st¨alla upp en Lagrange-funktion d¨ar vi maximerar individens nyttofunktion under bivillkoret av individens intertemporala budgetrestriktion (5.10): Vi f˚ar d˚a f¨orsta ordningens villkor f¨or konsumtion som ung genom att s¨atta Lagrange-funktionen lika med noll och partialderivera med h¨ansyn till c_u,t:

∂L (c_u,t, c_g,t+1)

∂c_u,t = 0 : u⁰(c_u,t) − λ = 0. (5.13) Vi g¨or likadant men partialderiverar med h¨ansyn till c_g,t+1 f¨or att f˚a f¨orsta ordningens villkor f¨or konsumtion som gammal:

∂L (c_u,t, c_g,t+1)

∂cg,t+1

= 0 : βu⁰(c_g,t+1) − λ 1 1 + rt+1

= 0. (5.14)

Genom att isolera Lagrange-multiplikatorn, λ, och sedan substituera in (5.13) i (5.14) f˚ar vi uttrycket

u⁰(c_u,t) = β (1 + r_t+1) u⁰(c_g,t+1) , (5.15)

vilket ¨ar v˚ar Euler-ekvation (eller Keynes-Ramsey-regel). Den ger oss individens optimala konsumtion ¨over tid, och i v˚art fall ¨over perioden som ung och gammal.

Vi kan ¨aven skriva (5.15) som

u⁰(c_u,t)

u⁰(c_g,t+1) = β (1 + r_t+1) , (5.16)

och har d˚a att i optimum ¨ar den relativa marginalnyttan av konsumtion mellan perioden som ung och gammal lika med den framtida diskonterade r¨antan p˚a reala tillg˚angar. β ¨ar den subjektiva diskonteringsfaktor och kan tolkas som hur t˚almodig individen ¨ar, allts˚a hur villig individen ¨ar f¨or att skjuta upp konsumtion till perioden som gammal f¨or att

˚atnjuta avkastning p˚a sparandet. (Romer, 2011).

Om β ¨okar blir individen mer t˚almodig och d˚a diskonteras nyttan till en mindre grad av att skjuta upp konsumtionen. Konsumtionen som ung minskar f¨or att individen sparar mer f¨or att konsumera mer som gammal men eftersom marginalnyttorna har avtagande avkastning, u⁰⁰(c) < 0, r¨or de sig i motsatt riktning.

En ¨okning av r¨antan p˚a reala tillg˚angar har samma effekt p˚a konsumtionen: N¨ar avkast-ningen p˚a sparade tillg˚angar ¨okar f˚ar de gamla mer f¨or sina investeringar och framtida konsumtion blir billigare. Detta g¨or att de konsumerar mindre som ung och sparar f¨or att kunna investera mer.

Nu n¨ar vi vet hur individens konsumtion utvecklas ¨over tid vill vi hitta den optimala m¨angd reala tillg˚angar som individen sparar till perioden som gammal, vilket vi senare anv¨ander f¨or att hitta hur kapitalstocken utvecklas. Vi g¨or detta genom att integrera

budgetrestriktionerna f¨or ung (5.7) och gammal (5.8) i Euler-ekvationen (5.15) och dif-ferentierar:

1

w_t− T_t− a_t− m_t = β (1 + r_t+1) 1

(1 + r_t+1) a_t+ 1 + r^ekr_t+1
m_t+1. (5.17) Vi samlar at p˚a v¨ansterledet

(1 + r_t+1) a_t+ β (1 + r_t+1) a_t= β (1 + r_t+1) (w_t− T_t− m_t) − 1 + r^ekr_t+1
m_t+1, (5.18)

Vi f˚ar d˚a ett uttryck f¨or hur mycket en ung individ i period t sparar i tillg˚angar till perioden som gammal. F¨or att h¨arleda ett mer intuitivt uttryck tar vi ˚aterigen vara p˚a att real m¨angd e-kronor i period t+1 ¨ar lika med m¨angden f¨oreg˚aende period multiplicerat med f¨or¨andringsfaktorn ψ:

vilket ger oss att optimal m¨angd sparade tillg˚angar som ung i period t beror positivt p˚a den subjektiva diskonteringsfaktorn β, och negativt p˚a skatten T_t, realr¨antan p˚a e-kronan samt f¨or¨andringsfaktorn ψ.

Vi bryter upp (5.22) i tv˚a delar och analyserar den f¨orsta delen _1+β^β (w_t− T_t): Vid en given nettol¨on best¨ammer storleken p˚a diskonteringsfaktorn β hur stor del av nettol¨onen som sparas. Som n¨amnt innan kan β ses som ett m˚att p˚a individens t˚alamod. Ju h¨ogre β ju n¨armare g˚ar fraktionen _1+β^β mot ett (lim_{β→∞ 1+β}^β = 1), och ju mer av nettol¨onen sparas.

Och motsatsen, ju mindre β ju n¨armare g˚ar fraktionen _1+β^β mot noll (lim_β→01+β^β = 0), och ju mindre av nettol¨onen sparas.

Den andra delen, −_1+β¹ m_th

, ger oss att, vid given diskonteringsfaktorn β, ¨okar m¨angden e-kronor individen v¨aljer att spara n¨ar r¨antan p˚a e-kronan ¨okar relativt till r¨antan p˚a tillg˚angar. Vi har samma effekt n¨ar f¨or¨andringsfaktorn ψ f¨or e-kronan ¨okar.

Skriver vi ut den som _(1+n^(1+µt)

t)(1+πt) ser vi att det ¨ar f¨or¨andringen av nominella e-kronor (1 + µ) som m˚aste ¨oka relativt till befolkningstillv¨axten och prisniv˚an _(1+n ¹

t)(1+πt) om ψ ska ¨oka i v¨arde och d˚a tr¨anga undan sparade tillg˚angar.

I scenariot d¨ar ψ ¨ar konstant ¨over, d.v.s. n¨ar m_t= m_t+1 reduceras (5.22) till:

Vilket ger oss att m¨angden e-kronor individen v¨aljer att spara, vid given diskonterings-faktor β, enbart beror p˚a r¨antekvoten mellan e-kronan och tillg˚angar. Vidare visar vi fallet n¨ar individen inte ˚atnjuter n˚agon abnormal avkastning p˚a e-kronan:

a_t = β Vi kan ¨aven uttrycka (5.25) som

a_t+ m_t = β

1 + β (w_t− T_t) , (5.26)

och f˚ar att i fallet med normal avkastning p˚a e-kronan, d.v.s. n¨ar r¨antekvoten ¨ar lika med ett, beror individens totala sparande enbart p˚a diskonteringsfaktorn β. Sparade tillg˚angar och e-kronan ¨ar perfekta substitut och individens nytta p˚averkas inte av sammans¨ attnin-gen av sparandet.