Overlappande generationsmodellen

Den ¨overlappande generationsmodellen ¨ar uppbyggd p˚a mikrofundament, d.v.s. det ¨ar de ekonomiska agenternas beteende som best¨ammer relationen mellan de makroekonomis-ka variablerna. De ekonomismakroekonomis-ka agenterna i v˚ar version av OLG-modellen ¨ar individer, f¨oretag och staten. Individer maximerar sin nytta genom att v¨alja en optimal mix av sparande och konsumtion, f¨oretag ¨ar vinstmaximerande och staten m˚aste f¨orh˚alla sig till en intertemporal budgetrestriktion. Vi b¨orjar med att presentera ekonomin i sin helhet.

Ekonomin

Vi strukturerar v˚ar ekonomi likt den grundl¨aggande ekonomin som ˚aterfinns i Auerbach

& Kotlikoff, (1998) men g¨or vissa modifikationer och antaganden.

Inom ramverket f¨or den ¨overlappande generationsmodellen analyserar vi en teoretisk st¨angd ekonomi d¨ar staten inte genomf¨or n˚agon finanspolitik utan existerar enbart f¨or att finansiera centralbankens r¨antesatser p˚a e-kronan. Individer lever bara i tv˚a

tidsperi-oder: I f¨orsta perioden ¨ar de unga, arbetar och f˚ar betalt i form av l¨on. I andra perioden blir de gamla, g˚ar i pension och lever p˚a sina besparingar tills de d¨or i slutet av perioden.

Alla individer f¨odda i en tidsperiod ¨ar homogena agenter, d.v.s. de delar preferenser f¨or konsumtion. ¨Aven om varje generation d¨or efter tv˚a tidsperioder ¨ar ekonomin kontinuer-lig: I b¨orjan av varje period f¨ods en ny generation, den unga generationen blir gammal, och den gamla vandrar vidare. (Auerbach & Kotlikoff, 1998).

I ekonomin existerar det enbart en vara vilket tar formen som b˚ade en konsumtions- och kapitalvara: Den kan antingen konsumeras eller investeras f¨or att producera flera varor. De unga f˚ar en m¨angd av varan i l¨on och v¨aljer sedan mellan hur mycket de konsumerar som unga, och hur mycket de sparar till gammal ˚alder. Sparandet ¨ar i form av reala tillg˚angar och e-kronor d¨ar valet g¨ors enbart med h¨ansyn till vilken avkastning tillg˚angarna kommer generera under perioden som gammal.

I gammal ˚alder b¨orjar individerna med att investera sina reala tillg˚angar i sina egna f¨oretag d¨ar de ¨aven anst¨aller unga arbetare. De reala tillg˚angar som investeras blir ekonomins kapitalstock och vid slutet av perioden realiseras ekonomins output. En del av outputen g˚ar till de unga arbetarna i form av en marknadsm¨assig l¨on och resten beh˚aller de gamla i form av kapitalinkomst (avkastningen p˚a den m¨angd reala tillg˚angar de investerat). Innan de g˚ar bort konsumeras all kapitalinkomst de tj¨anat in plus m¨angden reala tillg˚angar de ursprungligen investerat. Lika s˚a konsumeras avkastningen som e-kronorna genererat.

Ekonomins aggregerade kapitalstock v¨axer enligt

Kt+1= (1 − δ) Kt+ Su,t+ Sg,t+1, (4.22)

d¨ar kapitalstocken i period t + 1 ¨ar lika med den of¨orslitna kapitalstocken fr˚an f¨oreg˚aende period, den unga generationens aggregerade sparande i period t och den gamla generatio-nens aggregerade sparande i period t + 1.

Den gamla generationen ¨ager hela kapitalstocken och eftersom de inte lever n¨asta period har de d¨arf¨or inga incitament att spara. Vidare g¨or vi antagandet om att det r˚ader full depreciering (δ = 1), vilket g¨or att (4.22) reduceras till:

K_t+1 = S_u,t. (4.23)

Ekonomin ˚atnjuter dessutom en konstant befolkningstillv¨axt, n, vilket inneb¨ar att det finns (1+n) fler unga arbetare ¨an vad det fanns f¨oreg˚aende tidsperiod, f¨or varje tidsperiod.

Vi kan d˚a skriva storleken p˚a den unga generationen i period t + 1 som L_t+1 = (1 + n)L_t och dividera (4.23) med befolkningen i period t + 1 f¨or att hitta kapitalstocken i termer av per arbetare:

Kt+1

L_t+1 = Su,t

(1 + n)L_t (4.24)

D˚a den unga generationens sparande kan skrivas som storleken p˚a generationen multipli-cerat med individuellt sparande, a_tL_t, reduceras (4.24) till:

k_t+1 = 1

1 + na_t, (4.25)

vilket ger oss ekvationen f¨or kapitalackumulering d¨ar kapitalstocken per arbetare i period t + 1 ¨ar lika med individens sparade reala tillg˚angar delat med befolkningstillv¨axten.

Individer

Individerna maximerar sin nytta genom att hitta den mix av konsumtion och sparande mellan perioden som ung och som gammal som generar den st¨orsta konsumtionen ¨over sin livstid. Den nyttofunktion vi kommer anv¨anda ¨ar den momentana nyttofunktionen som

˚aterfinns i Romer (2011, kap. 2):

Ut= c^1−θ_ut

1 − θ + βc^1−θ_g,t+1

1 − θ, θ > 0 ∧ θ 6= 1, β > 1 (4.26) d¨ar vi l˚ater c_u,t och c_g,tben¨amna konsumtionen i period t f¨or gamla och unga individer. Vi f˚ar d˚a att den momentana nyttan U_t f¨or en ung individ i period t beror p˚a konsumtionen som ung i period t (c_u,t) och konsumtionen som gammal i period t + 1 (c_g,t+1).

(4.26) ¨ar en konstant relativ risk -funktion (CRRA) och ¨ar en av tv˚a nyttofunktioner som ofta anv¨ands i modeller f¨or intertemporala val. Parametern θ m¨ater graden av individens relativa riskaversion och ¨ar lika med individens elasticitet av marginalnytta,¹ vilket ¨ar konstant. (Blanchard & Fischer, 1989, kap 2).

Om θ = 0 ¨ar individen riskneutral och om θ > 0 ¨ar individen riskavers. D˚a vi anv¨ander det senare fallet ¨ar alla individer riskaversa vilket betyder att nyttofunktionen ¨ar konkav (u⁰⁰(c) < 0). Med andra ord finner individer mindre nytta i till¨agg av konsumtion ju h¨ogre konsumtionen ¨ar.

F¨or att l¨attare hitta en analytisk l¨osning av OLG-modellen kommer vi anv¨anda oss av att θ = 1. Detta betyder att inkomst- och substitutionseffekten f¨or sparade tillg˚angar tar ut varandra,² vilket vi senare visar i resultatdelen. D˚a θ = 1 inte kan anta v¨ardet 1 i (4.26) anv¨ands l’Hˆopitals regel (se Appendix 1.) f¨or att visa att CRRA-funktionen n¨armar sig en logaritmerad nyttofunktion n¨ar θ = 1 n¨armar sig 1, d.v.s. lim_θ→1 ^c_1−θ^1−θ = ln c.

Vi f˚ar d˚a att den momentana nyttofunktionen tar f¨oljande uttryck:

u(c) =

F¨oretagen hyr kapital av den gamla generationen och anst¨aller den unga som arbetare.

Arbetsutbudet ¨ar inelastiskt och normaliserat till ett, d.v.s. att alla unga arbetar och det r˚ader ingen arbetsl¨oshet. F¨oretagens produktionsfunktion ¨ar en vanlig Cobb-Douglas-funktion d¨ar f¨oretagen ˚atnjuter en konstant skalavkastning.

1Individens elasticitet av marginalnytta kan ses som f¨or¨andringen i individens nytta vid en f¨or¨andring i konsumtionen. I fallet d¨ar den ¨ar lika med ett leder en ¨okning av konsumtionen med en procentenhet till en ¨okning av nyttan med en procentenhet.

2Sparade tillg˚angar ¨okar vid en r¨anteh¨ojning d˚a st¨orre avkastning f˚as p˚a tillg˚angar i n¨asta period, medan sparade tillg˚angar minskar med samma m¨angd d˚a mindre tillg˚angar beh¨over sparas f¨or att uppn˚a samma livstidskonsumtion.

Produktionen f¨or f¨oretag i ges av

Y_tⁱ = A(K_tⁱ)^α(Lⁱ_t)^1−α, A > 0, (4.28)

d¨ar A ¨ar total faktor-produktivitet, K_tⁱ m¨angden kapital f¨oretaget hyr, Lⁱ_t m¨angden ar-betare f¨oretaget anst¨aller, och α den del av outputen som g˚ar till kapital¨agarna. Det r˚ader full konkurrens p˚a faktormarknaden vilket g¨or att arbetare och kapital¨agare f˚ar sin marginalprodukt de genererar som ers¨attning.

Det representativa f¨oretagen vinstmaximerar i vanlig ordning enligt

max

K_tⁱ, Lⁱ_t

π_tⁱ = A(K_tⁱ)^α(Lⁱ_t)^1−α, (4.29)

och optimal m¨angd kapital och arbetskraft finner vi enligt

∂π_tⁱ vilket resulterar i att det individuella f¨oretagets kapital per arbetare ¨ar lika med den aggregerade ekonomins kapital per arbetare.

Staten

Vi strukturerar staten som en kontinuerlig agent med en intertemporal budget likt den i Auerbach & Kotlikoff (1998). I v˚ar ekonomi bedriver staten ingen finanspolitik utan

existerar enbart f¨or att finansiera den nominella r¨antan p˚a e-kronan. Staten finansierar sin budget med en mix av skatter och budgetunderskott d¨ar underskottet representerar

¨

okningen i statsskulden fr˚an en period till n¨asta:

B_t+1 = B_t+ D_t,

= B_t+ G^ekr_t − Z_t+ r_tB_t
.

(4.33)

D¨ar G^ekr_t ¨ar utgiften f¨or den nominella r¨antan p˚a e-kronan, Zt skatteint¨akter och rtBt

r¨antebetalningar p˚a den utest˚aende statsskulden i period t.

Statens intertemporala budgetrestriktion ¨ar vilket ger oss restriktionen att nuv¨ardet p˚a statsskulden plus nuv¨ardet av framtida ut-gifter f¨or den nominella r¨antan p˚a e-kronan ¨ar lika med nuv¨ardet av statens framtida skatteint¨akter. (Auerbach & Kotlikoff, 1998).

F¨ordelen med att modellera staten p˚a det h¨ar s¨attet ¨ar att vi kan l˚ata staten t¨acka sina utgifter under en l¨angre period ¨an ¨over en tidsperiod.

E-kronan

V˚art komplement till OLG-modellen ¨ar en r¨anteb¨arande e-krona som individerna kan spara till perioden som gammal d¨ar de i slutet av perioden konsumerar avkastningen som e-kronan genererat plus den ursprungliga investeringen. F¨or att underl¨atta analysen antas e-kronan konsumeras likt de reala tillg˚angarna individen ¨aven kan spara f¨or att generera nytta. N¨ar dessa konsumeras ¨overg˚ar de till den unga generationen i n¨asta period som i sin tur st˚ar inf¨or ett nytt val av sparandets sammans¨attning.

V˚art tillv¨agag˚angss¨att att inkorporera pengar i ekonomins mikrofundament ¨ar likt den utvidgning som presenteras i kap. 7 i Auerbach & Kotlikoff (1998), d¨ar individerna st˚ar inf¨or valet att v¨alja mellan tillg˚angar och pengar utan r¨antan. V˚ar addition ¨ar att g¨ora

kronan r¨anteb¨arande. Likt ekonomin i Auerbach & Kotlikoff (1998) underg˚ar den nomi-nella penningm¨angden en v¨ardef¨or¨andring beroende p˚a f¨or¨andringar i prisniv˚an, d.v.s.

inflationen.

Vi antar att centralbanken har fria h¨ander i att ¨oka den nominella penningstocken, och vi ben¨amner tillv¨axten av den nominella penningstocken i period t som (1 + µ_t). Vidare antar vi att prisniv˚an i ekonomin i period t ¨okar med inflationstakten i samma period (1 + π_t), vilket best¨ams exogent. Slutligen v¨axer befolkningen med (1 + n) som redovisat ovan, och real m¨angd e-kronor per capita i period t skrivs d˚a som

M_t

N_tP_t, (4.35)

och real m¨angd e-kronor per capita i period t + 1 blir d˚a m¨angden i f¨oreg˚aende period multiplicerat med den samlade f¨or¨andringsfaktorn f¨or real m¨angd e-kronor per capita

(1+µt)

(1+n)(1+πt) i f¨oreg˚aende period:

Mt+1

N_t+1P_t+1 = Mt

N_tP_t

(1 + µt)

(1 + n)(1 + π_t). (4.36)

5. Resultat

5.1 IS-MP-PC-modellen