:421 Primär konsolidering

A Endimensionell konsolidering

Beräkningen av tidsförloppet för den primära konsolideringen kan ba-seras på antingen portrycksförloppet eller kompressionsförloppct. Den klassiska teorin enligt Terzaghi bygger på ett studium av portrycket medan senare studier ofta bygger på själva kompressionsförloppet. De teoretiska betraktelserna baseras oftast på det starkt förenklade antagandet att por-vattenströmning endast sker i vertikalled. Resultatet av dessa betraktelser är därför endast korrekt eller nära korrekt när belastningen verkar över en stor yta jämfört med mäktigheten av det kompressibla lagret.

En beräkning av det primära konsolideringsförloppet för en vatten•

mättad lera, baserad på det genom lasten ökade porvattentrycket och med porvattenutpressning endast i vertikalled (endimensionell konsolidering), ger konsolideringsekvationen (jfr fig :421 a)

au/at = - M(av/az)

eller

! l l l ! ! ! l l l J

Lost (med oändlig utbredning)

·.·.•

.; ·.·:. • ' •

. .

-=-.~';'"'7'1".~.~.·

Porvottensträmning,

z+dz

t-,

z

-t-{v+2Ydz)a, Fig :42la. Beteckningar vid be-räkning av endimensionell kon-solidering, baserad på poröver-trycket av lasten

87

-

-173:4

där u = parvattenövertrycket genom lasten v = parvattnets strömningshastighet t

=

tiden

ev= kMfgyw= konsolideringskoefficienten

z = avståndet från den odränerade ytan till det betraktade elementet Lösningen till ekvationen kan uttryckas som ett samband mellan kon-solideringsgraden U= 1-Jg u dzJJg u0 dz= 1-umed/uomed och tidsfaktorn Tv= cvtfd², där d

=

det dränerade lagrets tjocklek (ensidigt dränerat), u₀

=

u vid tiden t = 0.

Resultatet med avseende på olika last- och dräneringsförhållanden och under antagande av konstant värde på ev framgår av fig :421 b.

l o ~ s tmed oöodlig otbc'.~oiog

I I I

-~ ;::--[

_Foll

(d)_lJ

2d

. I .

-

~-~

^_J

-: Foll\(o)-{b)

-~>0

I

t2>t1 ~-

',~

f ^\-·

^{- 0}

(aj (bl _{- 0}I - . .

I - ol! (c)"-

-,

---i- '

It

^-

--..

.

100 ^"

Tat gronsyto 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 2 5 10

(ej Tidsfaktor Tv

Fis: :421 b, Samband mellan Ofta varierar ev med djupet z, så att det blir omöjligt att lösa konsoli- tidsfaktor Tv och konsolide-deringsekvationen analytiskt. Det är emellertid alltid möjligt att lösa ekva- ringsgrad U för endimensionell tionen numeriskt. I

rsJ

har föreslagits följande metod. konsolidering enligt Terzaghi

Lerlagret indelas i skikt på sådant sätt att ev inom varje skikt kan be-traktas som konstant. För varje sådant skikt tillses att randvillkoren

upp-fylls.

" : :

_uit1

Antag att varje skikt har tjockleken 6.z. Antag vidare att portrycket vid

:

U/-!

"'

tiden tär u och vid tiden (t+Ö.t) är u'. Med beteckningar enligt fig :421c

vi

^{t+,1t lf(+II}

kan konsolideringsekvationen skrivas

u,t-l

' ' ' _'

(u~- u_{= Cv[(ll;+1 1})/l!it = cv(l/l!iz)

₊

_{ll1-1 -} 2111)/(Åz}2] [(11i+1-u₁)/Åz-(u_{1- 111_1})/Åz]

Lt:::f:::±::I::±:±:i..

_,z

' '

_,z

' ' '

_,z

' ' '

^z

Genom att välja cvÅl/(Åz)2=ÅTv (=konstant) kan man således, ut- Fig :42tc. Beteckningar för

numerisk av

gående från partrycket vid tiden t = 0, stegvis beräkna det kvarstående behandling por-trycksekvationen vid en dimen-partrycket efter en viss konsolideringstid och därmed bestämma konsoli- sionell konsolidering deringsförloppet för hela lerlagret. Med hänsyn till noggrannhet och enkel~

het väljs lämpligen ÅTv= 1/4. Därvid fäs u~ = ¼(ui+1+ u_{1_}1)+½u1= ½[½(ui+1+ u1)+½(u1

+

u1-1)l

dvs

u;

⁼ aritmetiska medelvärdet av portryckcn i gränsytorna mot omgivan-de skikt

Exempel: Homogent lerskikt. Lastökning= q. Välj t= l år= 3,15· 10⁷s och ev= 10-⁴ cm²/s.

IJ.Tv=i- ger då Åz=V¹0-.i.3,15·10⁷/¼=112 cm

Kap 173 Deformationer och sättningar

173:4

~

0

e '

J.

.1z,,112cm

j.

,iz

J.

^.1z j ½.1z

J,:!:

Fig :421 d. Exempel på numerisk lösning Fis: :421 c. Exempel på numerisk lösning då ev och k

då ev är konstant varierar

Konstruktionen utförs enligt fig :421 d.

Om både ev- och k-värdena varierar, bestäms tjockleken 6.z₁ hos ett skikt med konsolideringskoefficienten ev/ av den valda tiden 6.t enligt formeln _6.z1 =

V

cv16.t/6.Tv. Skikttjockleken blir alltså direkt proportionell mot kvadratroten ur konsolideringskoefficienten.

Vidare måste på ömse sidor om och omedelbart intill gränsytan mellan två skikt kontinuitetsvillkorct för strömningshastigheten uppfyllas, dvs om Darcys lag antas gälla,

ki(Ou/Oz)1

=

^ki• 1(811/0z)_{1,. 1}

Hur detta kan genomföras numeriskt visas i fig :421e där cv1fcv₂= 1,8, k₁/k₂=2, cv₂fcv₃=2,25 och k₂/k₃ =1,5 etc. Konstruktionen kräver extra hjälplinjer för att bestämma portrycksisokronens lutning mellan skiktens mittytor. Ur ev- och k-variationcn fäs 6.z2 =Jlz,25 6.z11 =1,5 6.::3 och 6.z₁

= J/}j

6.z₂ = 2,06.z3 etc. I konstruktionen betecknar tan IX=(Ou/OZ)1

och tan

fJ

= (011/0z)₂ vid tiden 6.t. Med den gjorda hjälpkonstruktionen fås tan a= k₂ tan {J, varav följer att randvillkoren uppfylls mellan skikten.

k₁

Med denna grafiska metod kan man också ta hänsyn till att k och mv varierar under konsolideringens gång genom att låta 6.z variera så att hela tiden

~T" - [~t/(~c)'J(kM/gy,,) ""

t

För att få tillräcklig noggrannhet räcker det i allmänhet om man drar endast 5 isokroner, vilket kan kontrolleras genom jämförelse med Ter-zaghis exakta lösning i vissa specialfall.

En bruksanvisning för den grafiska metoden skulle dä bli:

a Bestäm för vilken tidpunkt sättningen skall beräknas och bestäm sedan 6.t till 1/5 harav. Ex t= 50 är 6.t= 10 är

b Rita diagram över k~ och ev-värdena och rita porvattenövertrycket vid tiden t = 0 som funktion av z i lämplig skala

c Markera pä detta diagram skikt inom vilka k och ev kan anses konstanta och bestäm för varje skikt i tjockleken 6.z1=

J/

4 _cv16.t

d Rita hjälplinjer på avståndet (ki+1/k1)z1/2 från gränslinjerna mellan skikten

e Rita isokronerna

f Mät sjunkningen i porvattenövertryck 6.u1 (=ökningen effektivtryck öa;) i mitten av varje skikt

g Beräkna sättningen st=Z1(6.ztfm1) In

(a;ta;

1)

89

-- --

-173:4

~- Slutlig e-förde!n!ng

"

=-e

²⁰

^-~ _{- '}

I ^{'° -}

C

^I " ^{- F}

~ 60

- _-

^I

' '

-] 80

-

^.~

%

-.,,

-"

0,001 ^{0 QOO,} O,OOS 0,02 ⁰⁰⁵

o,

^{02 O,S 1} Tidsfoktor

' ' •

Tv Fig :421 f. Bereckningar vid beräkning av endimen- Fig :421 g. Samband mellan t'dsfaktor Tv och konsoli•

sionell konsolide:ing, bas~rnd på relativa kompre~- dcrlngsgrad U för endimensionell konsolidering enligt

:;ionen " av last Janbu

En alternativ beräkning, baserad på kompressionen och med antagande att porvattenutpressning endast försiggår i vertikalled, ger konsoliderings-ekvationen [6] (fig :421 f)

Oe/Ot = Ov/OZ eller

där v₀ = cv<Oevfclz)

e

=

kompression i vertika\led ev= primära slutkompressionen t, v, ev och z samma som förut

, . oe' a ( /Je')

Införs e = e - eP fås slutekvat1onen

fu = az

c.v Oz

Lösningen kan uttryckas som ett samband mellan konsoliderlngsgraden U= 1-

Jt

e'dzJJt epdz och tidsfaktorn Tv=Cvtfd²• Resultatet när ev antas konstant framgår av fig :421 g.

B Två- och tredimensionell konsolidering

I alla de fall där lastytan är liten i förhållande till det kompressibla lagrets tjocklek kan inverkan av porvattenströmning i horisontalled inte längre försummas. Problemet blir här matematiskt invecklat. Med hjälp av data-teknik kan emellertid lösningar åstadkommas till de flesta problem, förut-satt att man känner ingångsdata.

Konsolidcringsekvationen kan, om ct,, antas konstant, generellt skrivas Ou/Ot

=

cv(fPu/Ox² +0²u/Oy² +0²u/Oz²)

eller i cylindriska koordinater Ou/Ot = cv[8²u/Or²

+

(l/r)(clu/8r)+ö²u/öz²]

Har konsolideringskoefficienten i vertikalled annan storlek än i horisontal-led, fås

011/0t

=

cv(0²u/0z² )

+

c1i(0²u/Ox²

+

0²u/Oy²)

eller i cylindriska koordinater

Ou/Ot = cv<o':.u/Oz² )+ c₁₁ [8²u/ar²

+

(1/r)(Ou/Or)]

Cylindriska koordinater används bl a för beräkning av tidsförloppet vid vertikaldränering. I Sverige används därvid vanligen en av Kjellman [8]

angiven beräkningsmetod. Porvattenströmningen tänks här försiggå endast i horisontalled in mot dränema. Under konsolideringsförloppet antas vidare att horisontella tvärsnitt genom jorden förblir plana. Den för en viss medel-konsolidering Oh erforderliga tiden t blir därvid

--Kap 173 Deformationer och sättningar

173:4

,~ (D'/Bc,.)[ln (D/d)-3/4] In [l/(1- U,.)J

där D = diametern hos den cylinder som influeras av en drän d

=

drändiametern

= konsolideringskoefficient vid horisontell porvattenströmning c11

Önskar man ta hänsyn till konsolidering även genom vertikal porvatten-strömning (medelkonsolidering ^Ov) fås

0= 011+0v-0h0v

Numerisk lösning av ekvationerna för två- och tredimensionell dering kan utföras enligt samma metod som vid endimensionell konsoli-dering. Förutom tjockleken Az tillkommer här bredden Ax och längden Ay på det betraktade elementet [5].

C Konstruktion av konsolideringskurvan när lasten påförs successivt Om konsolideringsförloppet i leran är känt när lasten verkar med full in-tensitet redan från början (t=O, streckad kurva C1) kan konsolideringsför-loppet vid successiv pålastning (heldragen kurva ^C) konstrueras fram i enlighet med fig :421 h.

q.

"'

^{Tid t}

,,

U -skenbar konsolidering vid t"O av

__ !l{lybtdsormlli sommantr1:;lmi~ _ _ _

M,)u'

" , C --._f1

--.. --"-S.::::=="

¾

1 0 0 '

-Fig :421 h. Grafisk konstruktion av konsolidcringskur- Fig :421 i. Grafisk konstruktion av konsolideringskur-van enligt Terzaghi när lasten påförs långsamt van enligt Tcrzaghi när jorden innehåller gas. U0

=

skenbar konsolidering vid tiden t=O på grund av gas-blåsornas sammantryckning

D Inverkan av gas

Innehåller leran gas, förändras tidsförloppet. Förändringen beror på lastens art.

Exempel 1. Belastas marken med en ytlast fås av det ökade portryckct en omedelbar hoptryckning av gasblåsorna (Boyles lag) och därmed en Jni-tialsättning, motsvarande en skenbar konsolidering. Allteftersom portrycket minskar, växer gasblåsorna i storlek, för att efter avslutad konsolidering ha återtagit sin ursprungliga storlek. Konsolideringssättningens slutvärde på-verkas således inte. Man får därför, om konsolideringen bedöms med ut-gångspunkt frän sättningarna, skenbart ett snabbare konsolideringsförlopp (streckad kurva i fig :421 i).

Exempel 2. Om lastökningen på kornskelettet orsakas av grundvattensänk-ning minskar det ursprungliga portrycket successivt. Gasblåsorna växer därför under hand och har efter avslutad konsolidering större volym än från början. Konsolideringen fördröjs därmed skenbart.

91

:422 Sekundär konsolidering

Tidsförloppet är i stort sett direkt proportionellt mot logaritmen för tiden.

Den sekundära kompression e₃ som inträffar efter den primära konsoli-deringens avslutning kan uttryckas genom sambandet

= 1Xs In (t/tp) e₃

där a₃ = konstant

tv = tiden för 100 % primär konsolidering t

=

totala lasttiden

Den sekundära-konsolideringssättningen synes utgöra mellan O och 20 % av primära konsolideringssättningen för svenska leror. I organiska jordar med utpräglad struktur dominerar den sekundära sättningen. Samma gäller för vissa mellanjordar, speciellt svartmockorna.

In document STATENS GEOTEKNISKA INSTITUT MEDDELANDEN (Page 89-94)