(Almström & Tengvall 2015c, 2015d, 2016a, 2016b)
Koll på matematik 2A & 2B
Fas 1.
Utformning av uppgifter i elevbok
Fas 2.
Utformning av uppgifter i lärarguide.
Aspekt 1.
Produkter
Förväntningar & Förkunskaper 2A:
Framställs inte i läromedlet.
Förväntningar & Förkunskaper 2B:
Eleverna förväntas att beräkna subtraktioner genom strategin uppställning inom talområdet 0-100 och vidare 0-1000. Inledningsvis förväntas eleverna att beräkna uppställningar utan tiotalsövergångar och vidare med tiotalsövergång. Eleverna förväntas tillämpa strategin på ett korrekt sätt genom att lära sig de regler som finns för strategin exempelvis placering av talsorter, ental först och växling.
Möjliga förkunskaper som eleverna behöver är förståelse för positionssystemet inom talområdet 0-1000. De kan behöva ha förståelse för tiotalsövergångar samt medtagna erfarenheter från de inledande sidorna av uppställning då de sker en progression till nästa uppslag av uppställning.
Förväntningar & Förkunskaper 2A:
Framställs inte i läromedlet.
Förväntningar & Förkunskaper 2B:
Eleverna förväntas att utföra beräkningar av tvåsiffriga och tresiffriga tal genom metoden uppställning. De förväntas således att utföra algoritmer, flertalet lösningssteg som utförs i en viss ordning. Eleverna förväntas också att utföra uppställningar innehållande växling både av tiotal och hundratal. Eleverna förväntas också att beräkna genom metoden uppställning vid textuppgifter.
De förkunskaper som eleverna behöver ha för att beräkna genom uppställning är förståelse för positionssystemet. De behöver ha kunskaper om subtraktionsberäkning inom talområdet 9 vidare 0-18. Vid de senare uppslagen innehållande uppställning med växling behöver eleverna ha erfarenheter och förförståelse för uppställning utan tiotalsövergång.
Aspekt 2.
Ramar och material
Instruktion, material, stöttning och utmaning 2A:
Framställs inte i läromedlet.
Instruktion, material, stöttning och utmaning 2B:
Instruktion, material, stöttning och utmaning 2A:
Framställs inte i läromedlet.
Uppslagen som innehåller strategin uppställning har en liknande utformning gällande instruktion. Uppslagen inleds med en instruktions-/resonemangsruta som iscensätter ett eller två barn som visar hur en uppställning ska utformas, vad som händer och vad man ska tänka på. Vissa instruktions-/resonemangsrutor framställer en uppställning i tre steg som exempelvis när en växling sker då 56-37 ska beräknas, då instrueras eleverna på följande vis: “1. Subtrahera entalen. Entalen räcker inte. 2. Växla ett av tiotalen till 10 ental. 16-7=9 3. Tiotalen är 1 färre eftersom 1 tiotal är växlat till 10 ental. 4-3=1” (Almström & Tengvall 2016a:127). Eleverna uppmanas sedan att beräkna uppställningar genom korta skriftliga instruktioner för varje uppgift t.ex. “Subtrahera. Börja med entalen. Skriv differensen.” (Almström & Tengvall 2016a:38) eller “Subtrahera varje talsort för sig. Börja med entalen.” (Almström & Tengvall 2016a:126)
En möjlig stöttning som ges till eleverna är den färgkodning av talsorter som påvisas i instruktions-/resonemangsrutorna vid framställningen av uppställningar utförs. Instruktions-/resonemangsrutan i sig kan också tänkas vara en stöttning då den påvisar steg för steg hur en uppställning ska gå till. Vid vissa uppgifter är uppställningarna redan påbörjade och detta kan också anses vara en stöttning. En möjlig utmaning kan vara de textuppgifter som ska beräknas genom uppställning.
Läraren ges förslag till instruktioner utifrån elevboken genom att titta, läsa och samtala kring instruktions-/resonemangsrutan. Läraren uppmanas då att uppmärksamma exempelvis att den största termen ställs överst i uppställningen, att talsorterna ställs över varandra och är färgkodade samt att belysa elevernas tidigare erfarenheter av uppställningar. Vidare ges läraren förslag till ytterligare aktiviteter för att bearbeta uppställning exempelvis att läraren konkretiserar uppställningen genom laborativt material såsom tiobasmaterial eller pengar. Läraren kan också skriva egna uppställningar på tavlan där differensen och en term är utskriven medan en term fattas och eleverna ska lista ut vilken termen är. Detta kan eleverna fortsättningsvis göra själva eller i par.
Läraren uppmanas att stötta eleverna om de uppvisar osäkerhet vid beräkning genom uppställning. Om eleverna har svårt att hålla sig innanför rutorna så ska de ges papper med större rutor eller om eleverna har svårigheter med att skriva uppställningarna lodrätt så kan läraren visa fler exempel tillsammans. Lärarguiden uppmanar läraren att stötta elever som påvisar osäkerhet vid tiotalsövergångar och som uppvisar felaktiga beräkningar men inget konkret förslag till stöttning ges. Däremot konstaterar lärarguiden följande citat “Det är viktigt att metoden lärs in korrekt av eleven redan från början” (Almström & Tengvall 2016b:135).
Aspekt 3.
Elevaktiviteter och ansvar
Mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt & Ansvar 2A.
Framställs inte i läromedlet.
Mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt & Ansvar 2B.
Mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt & Ansvar 2A.
Framställs inte i läromedlet.
Eleverna engageras genom flertalet instruktions-/resonemangsrutor som påvisar hur en uppställning ska utföras och vad eleverna behöver tänka på. I dessa rutor förekommer illustrationer av uppställningar utan bilder eller konkret material. Det kan möjligen vara ett stort steg från tidigare bearbetade områden där eleverna får arbeta både abstrakt och konkret. En möjlig svårighet för eleverna kan vara att de tidigare skrivit uttryck vågrätt och ska nu börja skriva lodrätt vilket kan tänkas förvirra vissa elever. En annan möjlig svårighet skulle kunna vara att eleverna behöver följa proceduren med en exakthet för att den ska utmynna i rätt differens. Ett möjligt mottagande kan vara att eleverna finner lust i att beräkna genom uppställning då de kan beräkna större subtraktioner på ett enkelt vis, om uppställningen utförs korrekt. I elevboken beskrivs tankesättet vid uppställning för eleverna exempelvis när 4-3 ska subtraheras är talens värden egentligen 40-30 men det synliggörs inte. Detta kan möjligtvis vara en svårighet för eleverna.
Eleverna aktiveras mentalt då de arbetar genom uppställning i elevboken och inget konkret material används.
Eleverna ansvarar för att utföra uppgifterna utefter instruktionen och genom den strategin som bearbetas.
Vid arbetet i elevboken aktiveras eleverna mentalt då de beräknar genom uppställning. Eleverna kan aktiveras fysiskt vid genomgångar eller ytterligare aktiviteter om läraren väljer att använda laborativt material för att konkretisera uppställningar. Eleverna förväntas att ansvara över att delta i samtal kring instruktions-/resonemangsrutan samt vid gemensamma aktiviteter. De förväntas också att ta ansvar över att arbeta med uppgifterna i elevboken genom att använda strategin uppställning.
Hur utformas undervisning av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 2?
2A
Utifrån resultatet i analysmodellen går det att urskilja hur undervisningen av skriftliga räknemetoder i subtraktion sammanfattningsvis utformas utifrån läromedlet Koll på matematik 2A. Genomgående i läromedlet benämns minskning, jämföra skillnader samt se samband som strategier vid subtraktionsberäkning. Den övergripande undervisningen utifrån läromedlet inleds genom att klassen tillsammans samtalar och resonerar kring instruktions-/resonemangsrutan där ett resonemang alternativt en instruktion av minskning, jämföra skillnader eller se samband framställs. Läraren uppmanas att leda samtal kring dessa rutor för att synliggöra olika strategier och tankesätt vid subtraktionsberäkning. När uppslaget behandlar minskning konkretiseras detta i majoriteten av fallen genom tiobasmaterial eller pengar och eleverna uppmanas att se samband mellan minskning av olika talsorter, ental, tiotal och hundratal. När uppslaget behandlar att jämföra skillnader konkretiseras detta kontinuerligt genom tallinjen då eleverna ska “hoppa” på tallinjen för att urskilja differensen. Även vid dessa uppslag uppmanas eleverna att se samband mellan att jämföra tal med liten skillnad i olika talområden. Genomgående i alla uppslag oavsett bearbetad strategi ges en variation av subtraktionsuppgifter exempelvis textuppgifter, en term saknas, beräkna differensen och måla uttryck. I lärarguiden uppmanas läraren till flera olika ytterligare aktiviteter som antingen konkretiserar innehållet i elevboken eller ger eleverna fler erfarenheter av strategin i olika sammanhang. Dessa aktiviteter innehåller till största del någon form av laborativ övning där eleverna får arbeta både fysiskt och mentalt tillsammans med andra. Det går att urskilja att eleverna mestadels arbetar individuellt med elevboken. De förkunskaper som går att urskilja i lärarguiden är att eleverna behöver ha förståelse för positionssystemet, talföljden och taluppfattning inom talområdet 0-20 och vidare 0-100. Eleverna behöver också automatiserat tiokamraterna samt medta de erfarenheter som skapats genom de tidigare elevböckerna.
2B
Utifrån resultatet i analysmodellen går det att urskilja hur undervisningen av skriftliga räknemetoder i subtraktion sammanfattningsvis utformas utifrån läromedlet Koll på matematik 2B. De strategier som går att urskilja genom elevbok 2B är minskning, subtrahera tiotalen och hundratalen, uppställning samt att eleverna genomgående ska se samband. I läromedlet 2B inleds undervisningen på olika sätt, antingen genom gemensamma samtal utifrån instruktions-/resonemangsrutan eller genom korta skriftliga instruktioner i elevboken. Vid samtal kring instruktions-/resonemangsrutan när strategin “subtrahera tiotal” presenteras är subtraktionsuttrycket färgkodat utifrån talsorter och en pojke beskriver sina tankegångar kring strategin. I rutan ges inga illustrationer av konkret material. När eleverna arbetar genom ”subtrahera tiotal” uppmanas eleverna att resonera högt tillsammans med läraren. Likaså när strategin uppställning framställs i instruktions-/resonemangsrutorna, representeras dessa genom färgkodade uttryck och fiktiva barns resonemang men utan illustrationer av konkret material. När eleverna arbetar med metoden uppställning uppmanas läraren att påminna eleverna att placera den största termen överst och börja beräkna med entalen. Vid de korta skriftliga instruktionerna till uppgifterna i elevboken kan det vid vissa tillfällen ges illustrationer av konkret material, exempelvis när eleverna ska se samband i subtraktion av tiotal då representeras detta genom pengar som konkret material. Uppgifterna i elevboken är uppbyggda med repetition och erbjuder inte variation där eleverna arbetar individuellt. Utöver de uppgifter som bearbetas i elevboken erbjuder lärarguiden ytterligare aktiviteter för att träna den
strategin som uppslaget i elevboken syftar till, dock minskar förslag på ytterligare aktiviteter vid bearbetning av uppställning. Lärarguiden uppmuntrar läraren att erbjuda konkret material till de elever som är i behov av det. Vid uppslag i lärarguiden där uppställning bearbetas är förslag på stöttning bristfällig och det ges förslag att läraren ska erbjuda papper med större rutor till de elever som har svårt att hålla sig innanför rutsystemet i elevboken. Lärarguiden konstaterar också att “Det är viktigt att metoden lärs in korrekt av eleven redan från början” (Almström & Tengvall 2016b:135) för att förhindra felaktiga beräkningar och osäkerhet vid tiotalsövergångar.
I vilken ordning introduceras talbaserade- respektive sifferbaserade metoder i subtraktion i läromedlet Koll på matematik för elever i årskurs 2?
De räknemetoder som går att urskilja i läromedlet Koll på matematik för årskurs 2 är stegvis beräkning, talsortvis beräkning, delvis-talsortvis beräkning och standardalgoritm. Dessa strategier benämns inte vid namn utan kategoriseras som exempelvis minskning, jämföra skillnader, subtrahera 10, subtrahera tiotal och hundratal samt uppställning. Stegvis beräkning är den räknemetod som synliggörs i början av årskurs 2 i elevbok 2A men går även att urskilja i 2B. Stegvis beräkning förekommer vid 5 uppslag som analyserats. Vid beräkning genom stegvismetoden i elevböckerna ska eleverna mestadels jämföra skillnader och minska med 1 eller 2 med hjälp av tallinjen. Enligt tidigare forskning är kännetecken för stegvismetoden att steg mellan två termer beräknas och detta sker kontinuerligt med hjälp av tallinjen. Talsortvis beräkning är den andra strategi som går att urskilja i årskurs 2 efter att stegvismetoden introducerats. Strategin förekommer sammanlagt under 8 uppslag i elevböckerna. Vid beräkning genom talsortvis metod arbetar eleverna med talsorter då de ska subtrahera en talsort inom talområdet 0-1000 och detta representeras i de flesta fall genom konkret material så som pengar och tiobasmaterial. Enligt tidigare forskning beskrivs tasortvis beräkning som att beräkna varje talsort för sig för att därefter summera differensen. Stegvis- och talsortvis beräkning är de enda räknemetoderna som förekommer i elevbok 2A, dessa räknemetoder kan kategoriseras som talbaserade. Delvis-talsortvis beräkning är den tredje strategi som går att urskilja i årskurs 2 och förekommer i elevbok 2B. Räknemetoden förekommer i 1 uppslag där eleverna instrueras att subtrahera tiotal genom en uppdelning av subtrahend. Enligt tidigare forskning är kännetecken för beräkning genom delvis-talsortsvis metod att enbart subtrahend delas upp medan minuend består. Den sista räknemetoden som introduceras i årskurs 2, elevbok 2B, är standardalgoritm. Standardalgoritm går att urskilja då eleverna ska beräkna uppställning vilket är ett annat namn för strategin. Standardalgoritm förekommer vid 5 uppslag och beskrivs enligt tidigare forskning som en fixerad räknemetod med flera steg i beräkningen där eleverna kan beräkna större subtraktioner.
Utifrån resultatet går det att urskilja att talbaserade metoder så som stegvis beräkning, talsortvis beräkning och delvis-talsortvis beräkning bearbetas före sifferbaserade metoder så som standardalgoritm. Talbaserade metoder förekommer i 13 uppslag medan sifferbaserade förekommer i 5 uppslag. Däremot går det att urskilja att elevbok 2A endast bearbetar talbaserade metoder medan elevbok 2B bearbetar både talbaserade och sifferbaserade metoder. Det blir således tydligt att sifferbaserade metoder får en större roll i elevbok 2B då de behandlas lika många gånger som den talbaserade metoden.