”Det är viktigt att metoden lärs in korrekt av eleven”

(1)

Examensarbete

”Det är viktigt att

metoden lärs in korrekt av eleven”

- En läromedelsanalys av skriftliga

räknemetoder i subtraktion för årskurserna 1–3.

Författare: Ebba Selander &

Felicia Stigsson

Handledare: Susanne Erlandsson Examinator: Jeppe Skott

Datum: 2020-04-15 Kurskod: 4GN02E Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad

(2)

Abstrakt

Syftet med studien är att kartlägga talbaserade och sifferbaserade räknemetoder i subtraktion genom en läromedelsanalys av läromedlet Koll på matematik för årskurs 1-3.

Studien ämnar till att undersöka i vilken ordning räknemetoderna introduceras samt att urskilja hur undervisningen av dessa utformas utifrån läromedlet. Studiens teoretiska perspektiv, hypothetical learning trajectory, kopplas samman med Skotts analysmodell för att kartlägga räknemetoderna i läromedlet. Resultatet visar att undervisningen av skriftliga räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik sker på olika sätt beroende på årskurs, men liknande mönster går att urskilja. Inledande gemensamma samtal, stöttning, illustrationer, samt konkret material förekommer i alla årskurser men en övergripande regression av kvantitet sker i stigande årskurser. Det framgår även att talbaserade metoder är de som introduceras först och sifferbaserade metoder introduceras tidigast i elevbok 2B. En diskussion förs innan slutsatsen utmynnar i att tidigare forskning påvisar att talbaserade metoder bör introduceras tidigare än sifferbaserade metoder, vilket också är den ordning läromedlet introducerar räknemetoderna.

Nyckelord

Matematik, läromedel, undervisning, subtraktion, skriftliga räknemetoder, siffer- och talbaserade metoder och hypothetical learning trajectory.

(3)

Innehållsförteckning

1 Inledning ________________________________________________________ 5 2 Syfte och frågeställningar ___________________________________________ 6 2.1 Frågeställningar ________________________________________________ 6 3 Litteraturbakgrund _______________________________________________ 7 3.1 Subtraktion ___________________________________________________ 7 3.2 Läromedel ____________________________________________________ 7 3.3 Sifferbaserade metoder __________________________________________ 7 Vad säger forskningen om standardalgoritm? ____________________________ 8 Möjligheter _____________________________________________________ 8 Svårigheter _____________________________________________________ 8 3.4 Talbaserade metoder ____________________________________________ 9 Vad säger forskningen om talbaserade metoder? ________________________ 10 Möjligheter ____________________________________________________ 10 Svårigheter ____________________________________________________ 10 3.5 Inlärningstrappa ______________________________________________ 11 4 Teori ___________________________________________________________ 12 4.1 Hypothetical learning trajectory __________________________________ 12 4.2 De tre aspekterna ______________________________________________ 12 Sequence of instructional tasks _______________________________________ 13 4.3 Analysmodell ________________________________________________ 13 5 Metod __________________________________________________________ 15 5.1 Kvalitativ innehållsanalys _______________________________________ 15 5.2 Analysmodell ________________________________________________ 15 5.3 Val av litteratur och teori _______________________________________ 16 5.4 Val av läromedel ______________________________________________ 16 Koll på matematik _________________________________________________ 17 5.5 Val av uppgifter ______________________________________________ 17 5.6 Etiska överväganden ___________________________________________ 18 6 Resultat och analys _______________________________________________ 19 6.1 Talbaserade metoder i subtraktion, årskurs 1 ________________________ 20 6.2 Sifferbaserade metoder i subtraktion, årskurs 1 ______________________ 24 Hur utformas undervisning av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 1? _________________________________________ 24 I vilken ordning introduceras talbaserade respektive sifferbaserade metoder i subtraktion i läromedlet Koll på matematik för elever i årskurs 1? ___________ 24 6.3 Talbaserade metoder i subtraktion, årskurs 2 ________________________ 26 6.4 Sifferbaserade metoder i subtraktion, årskurs 2 ______________________ 33 Hur utformas undervisning av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 2? _________________________________________ 36 I vilken ordning introduceras talbaserade- respektive sifferbaserade metoder i subtraktion i läromedlet Koll på matematik för elever i årskurs 2? ___________ 37

(4)

6.5 Talbaserade metoder i subtraktion, årskurs 3 ________________________ 38 6.6 Sifferbaserade metoder i subtraktion, årskurs 3 ______________________ 42 Hur utformas undervisning av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 3? _________________________________________ 45 I vilken ordning introduceras talbaserade respektive sifferbaserade metoder i subtraktion i läromedlet Koll på matematik för elever i årskurs 3? ___________ 45 6.7 Syntes av årskurserna i helhet utifrån frågeställningarna _______________ 46 Hur utformas undervisning av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 1-3? _______________________________________ 46 I vilken ordning introduceras talbaserade respektive sifferbaserade metoder i subtraktion i läromedlet Koll på matematik för elever i årskurs 1- 3? ________ 47 7 Diskussion ______________________________________________________ 48 7.1 Metoddiskussion ______________________________________________ 48 7.2 Resultatdiskussion ____________________________________________ 49 7.3 Vidare forskning ______________________________________________ 50 Referenslista ________________________________________________________ 52 Bilaga 1 _______________________________________________________________ I Bilaga 2 _____________________________________________________________ IV Bilaga 3 ______________________________________________________________ V Bilaga 4 _____________________________________________________________ VI

(5)

1 Inledning

Utifrån PRIM-gruppens sammanställningar från de tre senaste nationella proven för elever i årskurs 3 (2019, 2018, 2017) visar resultaten att skriftlig beräkning vid subtraktion är det delmoment där färst antal elever uppvisar godtagbara kunskaper. Likaså framställer Aldenius, Franzon och Johanssons (2017) i sin artikel att elever presterar sämre vid beräkning genom subtraktion. I artikeln framgår det också att elever är mindre benägna att välja räknemetod vid subtraktionsberäkning utifrån uppgiftens karaktär och använder i större utsträckning samma metod för samtliga uppgifter (2017). Det går således att urskilja att skriftliga räknemetoder i subtraktion är något elever har svårigheter och bristande kunskaper i. Detta trots att det i kunskapskraven för godtagbara kunskaper i matematik för årskurs 3 (Skolverket 2019) framgår att elever både ska kunna välja och använda skriftliga räknemetoder i subtraktion på ett tillförlitligt sätt vid beräkning inom heltalsområdet 0–200 (2019). Eleverna ska således ges möjlighet till att utveckla förtrogenhet till att använda flera olika räknemetoder för att en måluppfyllelse ska kunna ske.

Baserat på observationer under verksamhetsförlagda utbildningar framgår det att matematikundervisningen sker utifrån läromedel som skolan eller arbetslaget valt att använda. Läromedlen styr arbetsgången och lärarguiden styr i många fall lärarens undervisning och instruktioner. Som framtida lärare är det av vikt att kritiskt granska läromedel så att lärarens didaktiska perspektiv stämmer överens med det läromedlet som används i undervisningen. Det blir således väsentligt att kartlägga innehållet i läromedel för att skapa en uppfattning om vilka metoder i subtraktion som förekommer i dem.

I tidigare litteraturstudie “Skriftliga räknemetoder i subtraktion: Hur en möjlig

undervisningsplanering kan utformas utifrån hypothetical learning trajectory” framgår det att skriftliga räknemetoder i subtraktion kan vara en svårighet för elever i de yngre årskurserna. Resultatet visar att talbaserade räknemetoder i subtraktion var att föredra i de yngre åldrarna innan sifferbaserade metoder så som standardalgoritm introduceras (Selander & Stigsson 2020). Utifrån de observationer som gjorts blir det relevant att kartlägga skriftliga räknemetoder inom subtraktion i läromedel för årskurs 1–3. Tanken är att undersöka hur undervisningen av skriftliga räknemetoder i subtraktion utformas utifrån ett läromedel samt urskilja vilka räknemetoder som förekommer och i vilken ordning dessa introduceras.

(6)

2 Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att kartlägga subtraktionsuppgifter i ett läromedel med elevböcker och tillhörande lärarguider för årskurs 1–3. Fokus kommer ligga vid skriftliga räknemetoder i subtraktion där sifferbaserade och talbaserade metoder är i centrum.

Studien ämnar till att undersöka hur räknemetoderna framställs och hur undervisningen i subtraktion utformas i läromedlet. Vidare syftar även studien till att urskilja talbaserade och sifferbaserade metoder i läromedlen för att avgöra i vilken ordning räknemetoderna presenteras.

2.1

Frågeställningar

• Hur utformas undervisning av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 1-3?

• I vilken ordning introduceras talbaserade respektive sifferbaserade metoder i subtraktion i läromedlet Koll på matematik för elever i årskurs 1-3?

(7)

3 Litteraturbakgrund

I denna litteraturbakgrund redogörs en beskrivning av subtraktion och de begrepp som angränsar till området samt en övergripande beskrivning av läromedel. Vidare presenteras resultatet från den litteraturstudie som inspirerat denna läromedelsanalys.

Litteraturstudien syftade till att undersöka vilka möjligheter och svårigheter som kunde urskiljas i forskning gällande skriftliga räknemetoder i subtraktion, med fokus på talbaserade och sifferbaserade metoder. Den presenterade även en möjlig arbetsgång genom en inlärningstrappa utifrån hypothetical learning trajectories gällande undervisning av räknemetoder i subtraktion för de yngre årskurserna.

3.1

Subtraktion

Subtraktion är ett av de fyra räknesätten inom matematik och kan beskrivas som ett räknesätt där en variation av tankegångar kan förekomma. En av dessa tankegångar är minskning som kan beskrivas som den dynamiska subtraktionen och innebär att något förloras eller försvinner. Ett exempel av den dynamiska subtraktionen kan vara att pengar används ur spargrisen för att köpa något eller att någon äter upp x-antal godisbitar. Vid denna tankegång inom subtraktion är begrepp som “blir kvar” och “ta bort” vanligt förekommande. Den statiska subtraktionen är en annan tankegång inom subtraktion och innebär beräkning av skillnad mellan tal och mängder. Ett exempel på den statiska subtraktionen kan exempelvis vara när åldersskillnaden mellan två syskon ska beräknas eller när mängder djur ska jämföras på bondgården. Vid den statiska subtraktionen används ett bredare språkbruk än vid den dynamiska subtraktionen, jämförelseord så som

“fler” och “färre” är vanligt förekommande vid den statiska subtraktionen (Malmer 2002).

Oavsett tankegång inom subtraktion benämns termerna i leden som minuend respektive subtrahend, minuend subtraheras med subtrahend och utfallet blir differens (Kiselman &

Mouwitz 2008).

3.2

Läromedel

I dagens skola finns det flertalet olika läromedel som influerar innehållet i undervisningen och dessa kan vara både i bokform men även digitaliserade. Forskningen ger en bild av att läromedlen har en dominerande roll i skolan och styr undervisningen i flera ämnen samt i allmänhet. Läromedlen används dock på olika sätt och användningsgraden varierar beroende på lärare och ämne (Ammert 2011). Läroboken ses som ett kunskapsgaranterat och legitimerat redskap som används för att underlätta arbetet för läraren. Den kan också anses ha en disciplinerande roll då läroboken skapar en gemenskap och sammanhållning, både ideologiskt och tankemässigt, mellan lärare och elever (Englund 2011).

3.3

Sifferbaserade metoder

Bentley och Bentley (2011) förklarar att vid användning av räknemetoden standardalgoritm placeras termerna ovanför varandra. De flersiffriga termerna placeras så varje talsort hamnar under varandra, tiotal under tiotal och ental under ental. Vid beräkning i subtraktion med tiotalsövergång, där standardalgoritm används som metod, görs en så kallad växling. Växlingen innebär att ett tiotal växlas till 10 ental som placeras ovanför entalen (2011). Nedan ges ett exempel på hur en standardalgoritm kan utföras:

(8)

Selter (2001:147) benämner att standardalgoritmer kan kategoriseras som siffermetoder då termerna ses som siffror istället för som tal vid beräkning genom metoden (2001). I linje med Selter beskriver Torbeyns och Verschaffel (2015:101) att vid beräkning genom standardalgoritmer sker operationen via siffror istället för via värden av tal som exempelvis när 457–238=__ ska beräknas. Då beräknas skillnaden mellan 5 och 3 istället för mellan 50 och 30 likaså när skillnaden mellan 400 och 200 ska beräknas då subtraheras 4–2. Forskarna beskriver standardalgoritm vid en förfinad och fixerad beräkningsmetod som sker steg för steg och som syftar till att lösa flersiffriga subtraktioner (2015).

Vad säger forskningen om standardalgoritm?

I forskningen går det att utläsa både svårigheter och möjligheter med standardalgoritm som räknemetod vid subtraktion och flera forskare belyser dessa på ett liknande vis.

Möjligheter

Torbeyns och Verschaffel (2015) lyfter standardalgoritm som en tidseffektiv räknemetod (2015). Likt Torbeyns och Verschaffel talar Fischer, Vilette, Joffredo-Lebrun, Morellato, Normand, Scheibling-Seve och Richard (2019) om att standardalgoritm är en tidseffektiv och mindre krävande räknemetod som möjliggör beräkning av flersiffriga aritmetiska uppgifter. De förklarar att elever som är väl förtrogna med standardalgoritm kan utföra beräkningar automatiserat utan att behöva fundera över talet, då de helt enkelt bara räknar siffror. Fischer et al. ponerar vidare att om elever har en väl utvecklad procedurförmåga när det kommer till standardalgoritm känner de en större motivation till att använda denna metod mer frekvent då de kan beräkna höga tal på ett enkelt sätt utan en större ansträngning (2019).

Svårigheter

Selter (2001) förklarar att beräkning genom standardalgoritm kan orsaka att elever inte ser värdet av talen som ska beräknas vilket kan ses som problematiskt, dels för elevers utveckling av taluppfattning och dels för deras förståelse för positionssystemet (2001). I linje med Selter beskriver Torbeyns och Verschaffel (2015) att beräkning genom

standardalgoritm kan osynliggöra tals värden då talen ses som siffror (2015). Fiori och Zuccheri (2015) beskriver de svårigheter som kan uppstå vid beräkning genom

standardalgoritm. De vanligaste misstagen som eleverna gör vid beräkning genom standardalgoritm grundar sig i en bristande förståelse för positionssystemet (2015).

Selter (2001) ger en liknande beskrivning och belyser vanliga misstag vid beräkning genom standardalgoritm. Inkorrekta svar och felaktiga beräkningar tillkommer oftast när uppgifter innehåller en tiotalsövergång. I vissa fall kan till och med differensen bli större än minuend, vilket är en omöjlighet, detta grundar sig i att tiotalsövergångar är ett kritiskt moment för elever då de beräknar genom standardalgoritm (2001). Vidare beskriver även Fischer et.al. (2019) orsaker till de vanliga misstag som görs vid användning av standardalgoritm genom följande citat:

The SWAs, [...] impose beginning the computation with the smallest units.

Therefore the magnitude of the numbers to add, subtract or multiply is masked. The

(9)

persons engaged in the computation ignore the place value of the digit they manipulate.

(Fischer et al 2019:3)

Torbeyns och Verschaffel (2015) påpekar slutligen att risken med att introducera eleverna till standardalgoritm, i ett för tidigt stadie när de inte är mogna för räknemetoden, blir att elevernas matematiska förmåga kommer i skymundan och att eleverna endast förlitar sig på en krånglig procedur (2015).

3.4

Talbaserade metoder

Torbeyns, Hickendorff och Verschaffel (2017) förklarar att talbaserade metoder är ett samlingsnamn för flera olika räknemetoder som exempelvis, stegvis beräkning och talsortsvis beräkning. Den gemensamma faktorn för räknemetoderna är att tals värden synliggörs vid användning av dessa. Vid beräkning genom talbaserade metoder krävs en grundläggande uppfattning om matematiska procedurer och siffersystemets funktion (2017).

Stegvis beräkning

Bentley och Bentley (2011) skildrar stegvis beräkning vid en metod som syftar till att beräkna antal steg mellan två termer. Metoden beskrivs som fördelaktig när differensen mellan två termer är liten. Utförandet av stegvis beräkning kan gå till på följande sätt:

25 - 17 = 8

Beräkningen börjar vid 17, från 17 beräknas antalet steg till 20, vilket är 3. Från 20 beräknas sedan antalet steg till 25, vilket är 5 steg. Därefter summeras antalet steg 3 och 5, vilket är 8. Differensen av subtraktionen 25–17 är således 8 (2011).

Talsortsvis beräkning

Bentley och Bentley (2011) beskriver att en hel talsortvis beräkning är att föredra om det inte sker en tiotalsövergång. Varje talsort subtraheras var för sig för att sedan summera dessa differenser. Exempel på utförande:

32 - 11 = [30 - 10 = 20; 2 - 1 = 1; 20 +1] = 21

De benämner att metoden även kan utföras med tiotalsövergång men det ställer dessvärre mer krav på den som utför beräkningen då det förekommer negativa tal, exempelvis:

31 - 12 = [30 - 10 = 20; 1 - 2 = -1; 20 + (-1)] = 19 (2011).

Blöte, Klein och Beishuizen (2000) förklarar att tillskillnad från hel talsortsvis beräkning kan istället en delvis talsortsvis beräkning utföras. Vid delvis talsortsvis beräkning delas enbart subtrahend upp i talsorter medan minuend består, exempelvis:

31 - 12 = [31 - 10 =21; 21 - 2] = 19 (Blöte, Klein och Beishuizen 2000).

(10)

Vad säger forskningen om talbaserade metoder?

Torbeyns och Verschaffel (2015:100) beskriver talbaserade metoder som skriftliga räknemetoder likväl som huvudräkningsstrategier. De menar att huvudräkning inte nödvändigtvis behöver ske” i huvudet” utan användning av verktyg såsom penna och papper, utan beskriver det snarare som beräkning som sker ”med huvudet” där kunskap om strategier och tal används (2015).

Möjligheter

Torbeyns, Verschaffel och Ghesquiére (2006) lyfter fördelen med att undervisningen berör flertalet olika räknemetoder för subtraktion. Ett fokus på flera olika strategier ger eleverna möjlighet att utveckla sin anpassningsförmåga, de kan välja rätt metod eller olika metoder för att lösa en uppgift. På så vis förlitar eleverna sig inte endast på sin procedurförmåga utan använder sig av en bredare kompetens och kunskap (2006). Detta ger Flores et al. (2015) en liknande beskrivning av då de uppmärksammar vikten av att eleverna ges en variation av strategier då det kan bidra till att eleverna utvecklar sin resonemangsförmåga. De belyser att om eleverna har kunskaper om olika räknemetoder kan detta gynna deras förmåga att lösa mer komplicerade uppgifter som kräver flera steg i beräkningen och en djupare förståelse (2015).

Torbeyns, Verschaffel och Ghesquiére (2006) uppmärksammar att det inte finns några större svårigheter med stegvis beräkning då räknemetoden undviker negativa tal och skifte av räknesätt. De beskriver räknemetoden som flexibel då proceduren inte behöver utföras med en strikt operation och påpekar även att stegvis beräkning är en passande metod för elever. Metoden är framförallt effektiv om differensen är liten mellan termerna som ska subtraheras. (2006). Selter (2001) berör ett liknande ämne och påpekar att stegvis beräkning till största del ger korrekta svar vid beräkning av subtraktion och att metoden är vanligt förekommande vid elevlösningar av subtraktionsuppgifter. I liknande riktning poängterar Blöte, Klein och Beishuizen (2000) att stegvis beräkning med hjälp av en tom tallinje är att föredra då metoden är utmanande och stärker elevers taluppfattning på en högre nivå, till skillnad från att enbart stärka procedurnivån. De talar även om talsortsvis beräkning och framhäver möjligheter med delvis-talsortsvis beräkning. De påpekar att vid beräkning genom räknemetoden undviks negativa tal vid tiotalsövergångar, vilket kan vara fördelaktigt (2000).

Torbeyns, Hickendorff och Verschaffel (2017) betonar att innan en siffermetod introduceras för elever bör de tillämpa och använda talbaserade metoder på ett tillförlitligt sätt i sina uträkningar upp till 1000 (2017). Flores, Kootz, Inan och Alagic (2015) är inne på liknande spår då de betonar att elever bör lära sig flertalet talbaserade metoder innan siffermetoder, så som standardalgoritm, introduceras. Vidare belyser de att om denna arbetsgång efterföljs hjälper det eleverna att nå en djupare förståelse för standardalgoritmer när dessa implementeras. Om undervisningen berör flertalet olika räknemetoder ges eleverna möjlighet att utveckla förståelse för matematiken och automatisering av strikta procedurer blir då sekundärt (2015).

Svårigheter

I kontrast till de möjligheter som synliggörs av ovanstående forskare identifierar Torbeyns, Verschaffel och Ghesquiére (2006) en svårighet med stegvis beräkning som tillkommer när differensen mellan termerna är stor. Beräkningsprocessen blir då längre och kan ses som ineffektiv (2006). Torbeyns, Verschaffel och Ghesquiére talar också om hel talsortsvis beräkning och poängterar två kritiska aspekter med den hela talsortsvisa metoden. Den första kritiska aspekten uppstår vid skiftet av räknesätt, från subtraktion till

(11)

addition, då differensen ska beräknas. Den andra kritiska aspekten är att negativa tal förekommer vid en tiotalsövergång. Dessa aspekter har visat sig vara orsaken till elevers felsvar när de beräknat genom metoden och därför kan hel talsortsvis beräkning vara ineffektiv (2006). Detta påpekar även Torbeyns, Hickendorff och Verschaffel (2017) när de talar om hel talsortsvis beräkning genom följande citat:

[…] number-based decomposition strategies are known to be very error-prone when crossing of tens and hundreds is necessary

(Torbeyns, Hickendorff & Verschaffel 2017:72)

3.5

Inlärningstrappa

De resultat som redovisades i litteraturstudien (Selander & Stigsson 2020) analyserades utifrån en inlärningstrappa i analysavsnittet där en möjlig planering för räknemetoder i subtraktion utfördes. Inlärningstrappan baseras på de två första aspekterna i teorin hypothetical learning trajectory, the learning goal och developmental progression of thinking and learning. Punkt 1 representerar the learning goal och syftar till lärandemålet medan punkt 2 representerar developmental progression of thinking and learning och syftar till de förkunskaper som eleverna behöver för att tillämpa räknemetoderna korrekt.

Inlärningstrappan består av 10 steg där de 6 första stegen består av talbaserade metoder och de 4 sista stegen består av sifferbaserade metoder. Inlärningstrappan kan vara en möjlig arbetsgång gällande undervisning av skriftliga räknemetoder i subtraktion och det kan därför vara intressant att urskilja om läromedlet följer en liknande arbetsgång. (Se bilaga 2 för tydligare bild).

Figur 1. Inlärningstrappa (Selander & Stigsson 2020)

(12)

4 Teori

I detta avsnitt presenteras inledningsvis studiens teoretiska utgångspunkt; hypothetical learning trajectory. Därefter urskiljs kännetecken för sequence of instructional tasks som implementeras i Skotts (2018) analysmodell.

4.1

Hypothetical learning trajectory

Hypothetical learning trajectory kan beskrivas som en möjlig väg till måluppfyllelse av ett specifikt lärandemål och har i denna studie översatts till “hypotetisk lärandebana”.

Clements och Sarama (2004) beskriver att konceptet learning trajectories har flera variationer av tolkningar men grundar sig i ett konstruktivistiskt perspektiv där elevers inlärning, utveckling och tänkande är i centrum. I denna studie kommer Simon (1995) samt Clements och Saramas (2004) framställning av hypothetical learning trajectory att synliggöras. I en konkretisering förklarar Simon (1995) att hypothetical learning trajectorys´ kan jämföras med en jordenruntresa, en resa som inte kan ske spontant utan måste planeras. Inledningsvis måste destinationer (lärandemål) samt resväg (lärande aktiviteter) bestämmas och därefter kan resan påbörjas. På resans väg uppstår olika hinder som förutsätter att planen kontinuerligt ändras och således utvecklas nya kunskaper kring väder, länder och segling. Nya besöksmål kan under resans gång läggas till och vid vissa besöksmål vistas vi längre. Den planerade resvägen är “hypothetical trajectory” och den resväg som vi faktiskt genomför är “trajectory” (1995).

4.2

De tre aspekterna

Simon (1995) samt Clements och Sarama (2004) beskriver de tre aspekter som hypothetical learning trajectory består av. The learning goal är den första aspekten och har i denna studie översatts till lärandemålet. Den handlar om att välja ut specifika lärandemål som eleverna ska lära sig inom ett visst område i matematiken. Developmental progression of thinking and learning är den andra aspekten och har översatts till utvecklingsprogressioner. Den handlar om att elever utvecklas och befinner sig i olika mentala nivåer och faser utifrån ålder och kognitiv nivå. Denna aspekt syftar till att undervisningsnivån ska anpassas utifrån elevernas utvecklingsprogressioner och därav krävs det en medvetenhet om de olika mentala utvecklingsnivåerna i klassrummet.

Sequence of instructional tasks är den tredje och sista aspekten av hypothetical learning trajectory och har i denna studie översatts till instruktionsuppgifter. Den handlar om att utforma uppgifter som är tillämpade för att främja elevers lärande med hänsyn till deras utvecklingsprogression. Inledningsvis behöver läraren bilda en uppfattning om elevers tänkande och de mentala uppbyggnader och mönster som skapar elevernas utvecklingsprogressioner och därefter kan anpassade uppgifter utformas. Dessa uppgifter bör innehålla material och aktivitet som speglar den uppfattning som finns kring elevernas utvecklingsprogression. Material och aktiviteter kan exempelvis vara konkret material såsom pinnar och former medan aktiviteter kan vara exempelvis att dela upp, lägga samman, skapa och kombinera. Uppgifterna kräver även att eleverna tillämpar material och aktiviteter på ett fysiskt och mentalt plan för att kunna nå högre nivåer av tänkande samt uppfylla målen (Clements & Sarama 2004). Simon (1995) talar om det viktiga sambandet mellan utformningen av lärandeaktiviteter och uppfattningen om elevers utvecklingsprogression. Vid framställning av lärandeaktiviteter blir lärarens antaganden om elevers tänkande och lärande väsentligt. I interaktion mellan lärare och elever samt

(13)

vid observationer av elevers mottagande av lärandeaktiviteter skapas en bild av elevers utvecklingsprogression. Utifrån denna bild av elevernas utvecklingsprogression kan läraren utforma nya lärandeaktiviteter som anpassas efter det läraren har iakttagit. Lärare behöver kontinuerligt förändra och utveckla lärandeaktiviteter utifrån elevers mottagande av dem (1995)

Sequence of instructional tasks

Utifrån Simon (1995) samt Clements och Saramas (2004) framställning av sequence of instructional tasks går det att urskilja vissa punkter som kan användas vid analys av läromedlen. De punkter som kännetecknar sequence of instructional tasks är att:

• Uppgifterna är utformade utifrån elevernas utvecklingsprogressioner (förkunskaper, kognitiv mognad, förutsättningar)

• Aktiviteten och materialet speglar elevernas nuvarande kunskapsnivå (konkret material + varierande arbetssätt)

• Uppgiften främjar fysisk och mental aktivitet

• Kontinuerlig förändring och anpassning utifrån mottagandet från eleverna.

4.3

Analysmodell

Denna studies teoretiska utgångspunkt är hypothetical learning trajectory med fokus på aspekten Sequence of instructional tasks. Aspekten har en betydande roll då studien syftar till att kartlägga framställningen av uppgifter innehållande skriftliga räknemetoder i subtraktion i läromedel för årskurs 1–3. Studiens teori vävs därför samman med de tre aspekterna i Skotts analysmodell som grundar sig i Stylianides aspekter och faser.

Stylianides (2016) presenterar 4 aspekter och 3 faser som kan användas för att analysera upplägg som Skott (2018) utformat till en modell. Modellen består av tre aspekter och tre faser. De tre aspekterna är: ¹produkter som syftar till att undersöka vilka förväntningar som ställs på eleverna utifrån uppgifter och de tänkta svaren. ²Ramar och material som syftar till att undersöka vilken instruktion/information som ges utifrån läromedlet och vilken stöttning som ges av läraren samt om något konkret material används.

³Elevaktiviteter/ansvar som syftar till att undersöka hur eleverna förväntas att engagera sig i uppgifterna samt vilket ansvar som ställs på eleverna utifrån att självständigt lösa problem, träna metoder de lärt sig i förväg och hitta förklaringar samt urskilja om uppgiftens syfte är ett träningstillfälle eller en formativ utvärdering. De tre faserna är;

upplägg som synliggörs i läromedel, upplägg som synliggörs av lärare samt upplägg som synliggörs i interaktion (2018). Syftet med denna studie är att analysera läromedel och därav exkluderas fas 3, upplägg som synliggörs i interaktion, eftersom empirisk insamling av faktisk interaktion inte är möjlig. Den andra fasen, upplägg som synliggörs av lärare, kartläggs och analyseras utifrån lärarguiden vilket kan vara en representation av lärarens upplägg och undervisning. Det ska dock tilläggas att lärarguiden inte nödvändigtvis används av lärare för att utforma upplägget av undervisningen.

Lärarguidens upplägg används som en ”proxy” för lärarens möjliga undervisning.

(14)

Figur 2. Analysmodell (Skott 2018)

De fyra punkter som urskildes som kännetecken för sequence of instructional tasks kan implementeras i Skotts aspekter på följande vis:

1. Produkter: Förväntningar kan kopplas till den hänsyn som tagits till elevernas utvecklingsprogressioner när uppgifter utformats.

2. Ramar och material: Instruktion, stöttning och material kan kopplas till aktivitetens spegling av elevernas nuvarande kunskapsnivå, varierande arbetssätt och användning av konkret material.

3. Elevaktivitet och ansvar: Förväntningar på elevers engagemang och mottagande av uppgiften kan kopplas till att eleverna bör engageras mentalt och fysiskt samt att en kontinuerlig förändring och anpassning utifrån elevernas mottagande av uppgiften bör utföras.

(15)

5 Metod

I detta avsnitt beskrivs studiens tillvägagångssätt och den analysmodell som används vid insamling av resultat och utförande av analys. Därefter presenteras och motiveras val av litteratur, teori, läromedel och uppgifter. Avslutningsvis beskrivs de etiska överväganden som utförts.

5.1

Kvalitativ innehållsanalys

Studiens insamlingsmetod sker genom en kvalitativ innehållsanalys som enligt Denscombe (2017) kan liknas vid en relativt simpel och naturlig process. Proceduren inleds med att välja text eller dokument som ska analyseras och därefter bryts texten ner i mindre delar som exempelvis i meningar, stycken, ord eller rubriker. Forskare bör ha en tydlig uppfattning om kategorier som är relevanta och intressanta för studiens syfte som lägger grunden för analysen. När forskare har klara uppfattningar om kategorier för analys kan textens nedbrutna enheter kodas i överensstämmelse med de framställda kategorierna. De enheter som förekommer i texten brukar beräknas för att utgöra antalet liknande enheter. Slutligen, ska enheterna analyseras utifrån frekvens och dess förhållande till de andra utvalda enheterna. Efter att enheterna har behandlats i förhållande till varandra kan en analys där enheterna sammanförs framställas. Denscombe påvisar att fördelen med denna metod är att den kan utföras av andra forskare, som i sin tur troligen kommer få samma utfall och resultat. Nackdelen med metoden är dock att enheterna plockas ur sitt sammanhang vilket kan minska dess betydelse och underförstådda mening som de utgjorde i texten (2017).

I denna studie kommer subtraktionsuppgifter att utgöra de enheter som benämns i förklaringen av innehållsanalys. Subtraktionsuppgifterna kommer delas in i mindre enheter, utifrån uppgifter där siffer- och talbaserade metoder förekommer. De uppgifter som behandlar siffer- och talbaserade metoder som går att utläsa i läromedlen kommer sedan att kodas i framställda kategorier som finns i Skotts (2018) analysmodell. Studien kommer även behandla antalet gånger de förekommer i de olika läromedlen samt hur de förhåller sig till varandra men även försöka utläsa när de förekommer och varför.

5.2

Analysmodell

I denna studie kommer en resultat- och analysmodell att användas vid insamling av data.

Analysmetoden utgörs av en analysmodell, med inspiration av Skotts (2018) analysmodell, som sammanfogats med den tredje aspekten, sequence of instructional tasks, i hypothetical learning trajectory. Insamlingen sker genom att föra in data i en tabell som består av aspekter och faser, likt Skotts modell. Modellens aspekter består av en kombination av Skotts aspekter samt de kännetecknen för sequence of instructional tasks som presenterades i teoriavsnittet. Faserna i modellen representerar de uppgifter som beskrivs i elevboken respektive lärarguiden. Resultat och analys kommer uppstå genom aspekterna och faserna som ämnar till att besvara frågeställningarna och studiens syfte.

Talbaserade- alt. sifferbaserade metoder i subtraktion

Koll på matematik

Fas 1.

Utformning av uppgifter i elevbok.

Fas 2.

Utformning av uppgifter i lärarguide.

(16)

Aspekt 1.

Produkter

Förväntningar och Förkunskaper

Förväntningar och Förkunskaper Aspekt 2.

Ramar och material

Instruktion, material och stöttning/utmaning

Aspekt 3.

Elevaktiviteter och ansvar

Hypotetiskt mottagande och engagemang, mentalt och fysiskt samt ansvar

Mottagande och engagemang, mentalt och fysiskt samt ansvar

Insamling av data samt analys av elevbok och lärarguide utförs i kronologisk ordning på följande vis: 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B.

5.3

Val av litteratur och teori

Bakgrunden till val av litteratur och teori grundar sig i Selander och Stigssons (2020) litteraturstudie om skriftliga räknemetoder i subtraktion. Insamling av artiklar till litteraturbakgrunden i denna studie har inhämtats från resultatet och de sökschema som anträffas i Selander och Stigssons litteraturstudie. Denscombe (2018:748) uppmuntrar att leta referenser i tidigare studie för att på så sätt få en indikation på relevanta och meningsfulla artiklar till den kommande studien (2018). Artiklarna som har behandlats är hämtade från databaserna Educational Resources Information Center (ERIC) och Onesearch. Sökningarna som utfördes i ERIC har skett med trunkerade ämnesord som ansågs relevanta för studien, vilka var: subtraction, “standard algorithm”, mathematic*, subtraction method, strategy*, subtract*, method*, strategies*, subtract*, algorithm, primary*, method*. Artiklar hämtades hem och lästes ingående. Vidare utfördes manuella sökningar i Onesearch utifrån titlar som ansågs relevanta ur referenslistorna från de lästa artiklarna. Totalt används 8 stycken vetenskapliga artiklar i denna studies litteraturbakgrund där samtliga innefattar markeringen peer reviewed.

Den teori som studien vilar på, Hypothetical learning trajectory, har även den valts ut med inspiration från Selander och Stigsson (2020). I deras litteraturstudie utgjorde aspekterna the learning goal och developmental progression of thinking and learning grunden för analysen. I denna studie kommer den tredje aspekten sequence of instructional tasks, tillsammans med Skotts (2018) analysmodell, utgöra grunden för analysen. De två artiklarna som används i teoriavsnittet inhämtades från databasen Onesearch där manuella sökningar på artiklarnas namn utfördes. Artiklarna innefattar peer reviewed, vilket gör dem till rättvisa och trovärdiga källor. Teorin anses som relevant då den syftar till att utforma en hypotetisk inlärningsbana och i denna studie ska utformning av undervisning av räknemetoder för subtraktion urskiljas i ett läromedel.

5.4

Val av läromedel

Vid val av läromedel till denna studie utfördes ett bekvämlighetsurval då rådande situation i landet påverkade tillgängligheten av läromedel. Flertalet läromedelsanalyser skulle utföras och därav blev tillgång till läromedel begränsad. Denscombe (2009) beskriver bekvämlighetsurvalet som ett urval som bygger på bekvämlighet, således att använda vad som finns till hands (2009). Urvalet grundades även i att läromedlet skulle vara avsett för årskurs 1-3, med elevböcker och tillhörande lärarguider samt att läromedlet skulle vara aktuellt i dagens skola. Det läromedlet som valdes ut var Koll på matematik (Almström & Tengvall 2017). Läromedlet väckte intresse då det inte påträffats under

(17)

verksamhetsförlagda utbildningar. Trots intresset valdes läromedlet främst utifrån bekvämlighetsprincipen då detta läromedel fanns tillgängligt på Linnéuniversitetet i Växjö i alla exemplar för årskurs 1–3.

Koll på matematik

Läromedlet är utgivet mellan åren 2014-2017 av det svenska förlaget Sanoma utbildning.

Författarna till elevböckerna och lärarguiderna är Hanna Almström & Pernilla Tengvall som är två legitimerade lärare för årskurs 1-7.

Elevbok

Elevböckerna har liknande struktur och upplägg oavsett avsedd årskurs. För varje årskurs finns två böcker som är märkta A och B. Böckerna är ungefär 140 sidor och är indelade i 6 kapitel. Elevbok A inleder med kapitel 1-6 och elevbok B avslutar med kapitel 7-12.

Kapitelupplägget är utformat i följande ordning: Startsidor som inleder kapitlet och bjuder, genom bilder, in till samtal som skapar förförståelse. Grundsidor erbjuder en introduktion av resonemang för uppgiften och syftar till eget eller gemensamt arbete samt självbedömning. Problemlösningssidor (ej i årskurs 1) innehåller problemlösningsuppgifter utifrån kapitlets innehåll och eleverna får möjlighet att formulera egna problem och lösningar. Mixsidorna består av aktiviteter där eleverna får använda sin kunskap och sina färdigheter i ett nytt sammanhang. Koll på-sidorna är en sammanfattning av grundsidorna där eleverna får självbedöma sin färdighet och förståelse för området och dessa sidor kan ses som underlag för bedömning. Gula och gröna sidorna är en följd av den självbedömning som görs i koll på-sidorna, gula sidor erbjuder repetition av grundsidorna och gröna sidorna erbjuder fördjupade kunskaper inom området. I stora begreppskollen (ej årskurs 1) får eleverna på olika sätt visa sin förståelse för begrepp (2016).

Lärarguide

Med varje elevbok tillkommer en lärarguide som beskriver hur varje kapitel är förankrat i läroplanen utifrån det centrala innehållet, de fem matematiska förmågorna samt kunskapskraven för årskurs 3. Vid varje kapitel och uppslag ges förslag till arbetsgång och tips till arbetssätt. Lärarguidernas struktur ser liknade ut då elevböckerna också gör det. Följande rubriker beskriver den struktur som innefattas i lärarguiden: Lgr11 ur det centrala innehållet som beskriver vilket centralt innehåll som behandlas i uppslaget och kapitlet, Begrepp som förklara centrala begrepp som är relevanta för arbetsområdet, Arbetsgång som ger förslag på hur undervisningen kan utformas, Material som tipsar om passande material för uppgiften/arbetsområdet, Tänk på som ger en information om vad som kan vara viktigt att uppmärksamma, Tips som ger förslag på aktivitet för fortsatt arbete oftast konkret och laborativt, Förmågesymboler som berättar vilket förmåga som utvecklas och tränas, Möjligheter som ger förslag på hur uppgiften kan utvecklas för att utmana elever, Problemlösning som beskriver problemlösningsuppgifter där eleverna får arbeta i par, grupp eller enskilt, Textuppgifter som beskriver uppgifter där eleverna arbetar enskilt, tillsammans eller i par, Lgr11 ur kunskapskraven som beskriver de nationella mål som eleverna genom uppgiften arbetar med, Återkoppling som ger förslag till feedback och frågor som kan användas i diskussioner och samtal med eleven/elever för att tydliggöra vart eleverna befinner sig och vart de ska i sitt lärande (2016).

5.5

Val av uppgifter

De uppgifter som valdes ut som relevanta inför datainsamling i läromedlet var uppgifter som läromedlet benämner vid subtraktionsuppgifter. Efter denna avgränsning valdes 49 sidor i Koll på matematik som skulle analyseras. I denna studie har författarna redan viss

(18)

insikt i området och val av uppgifter avgjordes utifrån de delar som framkommit i den tidigare forskningen kring strategier i subtraktion. Uppgifterna som valts ut innehåller de tal- och sifferbaserade metoder som beskrivits i litteraturbakgrunden. De uppgifter som analyseras beskrivs inte alltid som skriftliga räknemetoder i läromedlet men de har ansetts relevanta då innehållet kännetecknar skriftliga räknemetoder i subtraktion utifrån den beskrivning som ges i litteraturbakgrunden. De uppgifter som analyserats återfinns på de sidor som benämns vid “grundsidor” i läromedlet. Andra relevanta uppgifter innehållande skriftliga räknemetoder har påträffats vid de “gula och gröna sidorna” samt “koll-på sidorna” men dessa har valts bort. Detta för att det inte påträffats någon ny instruktion, information eller räknemetod vid dessa sidor samt att sidorna oftast blandas med andra uppgifter och räknesätt.

5.6

Etiska överväganden

Vetenskapsrådet (2007) betonar vikten av att alla medlemmar i ett samhälle har rätt till att forskning bedrivs inom ramen för de frågor som anses vara väsentliga. Forskningen ska hålla hög kvalitet och den ska fördjupa och utveckla kunskaper samt förbättra metoder. I samband med att forskning bedrivs tillkommer individskyddskravet, vilket kan konkretiseras genom fyra huvudkrav. Det första huvudkravet är informationskravet som innebär att forskaren kontaktar berörda parter för att informera om studiens syfte. Det andra kravet är samtyckeskravet, där de berörda parterna ger sitt godkännande över deltagandet i studien (2007). Vid insamling av data till denna studie har författarna kontaktat Sanoma utbildning som är utgivare av läromedlet Koll på matematik för att informera om studien och fråga om samtycke, vilket förlaget beviljade (visas i bilaga 3).

Stukát (2011) lyfter en annan viktig etisk aspekt, vilket är användandet av andra forskares skriftliga tankar. Plagiering, i form av att undanhålla forskares namn vid citat, referat eller nyttjandet av forskningsresultat anses oetiskt och får inte under några omständigheter förekomma. Stukát påpekar även att det i vissa fall kan vara svårt att avgöra vem som

“äger idéerna” i en text, den tidigare forskaren eller den som utför den aktuella studien.

En tydlig åtskillnad mellan vem som påvisar vad behöver utföras på grund av ärlighetsskäl (2011). Denna studie, har i möjligaste mån, använt sig av förstahandskällor för att på så vis minimera antalet led av tolkning och för att försäkra oss om att rätt källa anges vid rätt information.

(19)

6 Resultat och analys

I detta avsnitt framställs studiens resultat i analysmodeller som utformats utifrån Skotts (2018) analysmodell innehållande 2 faser och 3 aspekter. Faserna utgör vilken del av läromedlet som analyseras, elevbok eller lärarguide. Aspekterna syftar till att urskilja relevant innehåll som ska analyseras. Dessa aspekter har vävts samman med studiens teoretiska utgångspunkt, hypothetical learning trajectory, och i synnerhet sequence of instructional tasks. Resultatet består av sex tabeller, två tabeller för varje årskurs där den ena tabellen representerar talbaserade metoder medan den andra representerar sifferbaserade metoder. Analysmodellerna presenteras i kronologisk ordning utifrån årskurs och efter varje årskurs besvaras studiens frågeställningar. Avslutningsvis görs en syntes av årskurserna 1-3 i sin helhet, utifrån studiens frågeställningar. All data som presenteras i tabellerna är inhämtade från läromedlet Koll på matematik årskurserna 1-3.

(20)

6.1

Talbaserade metoder i subtraktion, årskurs 1

(Almström & Tengvall 2014a, 2014b, 2015a, 2015b) Koll på

matematik 1A & 1B

Fas 1.

Fas 2.

Aspekt 1.

Produkter

Förväntningar & Förkunskaper 1A:

Eleverna förväntas att inledningsvis minska med 1 och 2 och därefter med 3 och 4. Minskning och ökning sker i samband och med hjälp av att stryka över/ lägga till representationer för uttrycken. Eleverna förväntas inledningsvis arbeta inom talområdet 0-5 och vidare med 0- 10. De förkunskaper som eleverna möjligtvis kan behöva för att arbeta med subtraktionsuppgifterna i 1A är subtraktions- och likhetstecknets betydelse och en grundläggande taluppfattning inom talområdet 0-5 samt 0- 10.

Eleverna förväntas vara delaktiga i samtal och resonera kring exempel ur elevboken tillsammans i klassen. De förväntas också att arbeta individuellt med att minska inom talområdet 0-10 för att i framtiden kunna välja rätt subtraktionsstrategi. De förkunskaper som uppmärksammas i lärarguiden är att eleverna behöver ha förståelse för betydelsen av likhets- och subtraktionstecknet. De behöver ha en förmåga att räkna bakåt på tallinjen samt ha en taluppfattning inom talområdet 0-10.

Aspekt 2.

Ramar och material

Instruktion, stöttning och utmaning 1A:

Elevboken erbjuder exempel innefattande händelser tagna ur ett elevnära perspektiv. Där synliggörs minskningen genom att köttbullar äts upp eller snöbollar kastas iväg. Till varje uppgift ges en skriftlig instruktion till exempel

“minska med 1, stryk över.” (Almström &Tengvall 2014a:122). De bilder och representationer som finns i elevboken kan tolkas som en stöttning då de tydliggör och konkretiserar subtraktionen. I uppslagen finns en tallinje innefattande de talområde eleverna arbetar med, denna uppmärksammas dock inte i någon instruktion.

Instruktion, material, stöttning och utmaning 1A:

Läraren uppmanas att inleda undervisningen med att samtala kring resonemangsrutan utifrån samtalsfrågor och viktiga begrepp. Därefter kan en instruktion av första uppgiften i elevboken ges eller får eleverna arbeta direkt. Läraren uppmanas att synliggöra strategier som exempelvis talgrannar, tallinjer, överstrykning och behålla 5-talet intakt samt användning av konkret material för att stötta eleverna. Utöver de uppgifter som finns i elevboken kan läraren få tips om ytterligare aktiviteter som angränsar till arbetsområdet där eleverna får arbeta laborativt med

(21)

konkret material. Plockmaterial och talbilder är de material som föreslås.

Som utmaning eller repetition erbjuds arbetsblad i slutet av lärarguiden som angränsar till arbetsområdet.

Aspekt 3.

Hypotetiskt mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt

& Ansvar 1A:

Eleverna engageras genom att arbeta individuellt med minskning och ökning. Uppgifterna innefattar aktiviteter där eleverna ska beräkna genom att skriva uttryck, vilket kan ses som mental aktivitet, samt måla eller stryka över representationer, vilket kan ses som en delvis fysisk aktivitet. En underliggande tanke med upplägget kan vara att eleverna ska se sambandet mellan addition och subtraktion. De ansvar som sätts på eleverna är att arbeta individuellt med de uppgifter som tilldelats samt öva på minskning.

Mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt & Ansvar 1A.

Eleverna engageras mentalt då de beräknar uttryck genom symboler och representationer. Eleverna engageras fysiskt då de styrker över, laborerar med konkret material och arbetar med fingertal. Ett möjligt ansvar som ställs på eleverna är att de ska vara delaktiga vid samtal under genomgångarna, de ska också ta ansvar över det individuella arbetet med uppgifterna i elevboken samt att använda material som erbjuds vid behov.

Aspekt 1.

Produkter

Förväntningar & Förkunskaper 1B:

Eleverna förväntas att inledningsvis minska med 1 och 2 i talområdet 0-10. Vidare ska eleverna minska med 1 och 10 respektive 2 och 20 inom talområdet 0-80 samt se sambandet mellan ental och tiotal. Eleverna förväntas att arbeta genom tallinjen men också genom ental och tiotal som representeras i mynt och tiobasmaterial.

Förväntningar & Förkunskaper 1B:

Eleverna förväntas att vara delaktiga i samtal kring olika begrepp och strategier som exempelvis att använda enkronor, tiokronor, tiobasmaterial. De förväntas att se samband mellan att minska med samma antal i två olika talområden 0-10 och 10-20. De förväntas också att kommunicera kring uppgiftsutföranden med minskning.

Genom att arbeta med tiobasmaterial praktiskt förväntas eleverna på sikt att få förståelse för att välja strategi vid olika situationer.

De förkunskaper som uppmärksammas i lärarguiden är att eleverna behöver ha förståelse för minskning inom talområdet 0-10, de

(22)

behöver ha förståelse för tals egenskaper, talföljd och viss förståelse för det hela tiotalet (tiobassystem).

Aspekt 2.

Ramar och material

Instruktion, stöttning och utmaning 1B:

Vissa uppslag inleds med en instruktionsruta där uttryck representeras av ett konkret material, antingen mynt eller tiobasmaterial. Dessa stryks antingen över eller bryts av för att synliggöra minskningen. Andra uppslag består endast av skriftliga instruktioner såsom “minska med 1, öka med 1”

(Almström & Tengvall 2015a:57) samt pilar eller en ifylld första uppgift som visar hur uppgiften ska utföras. Dessa uppgifter konkretiseras ofta med en tallinje.

Övergripande beskriver instruktionerna att eleverna ska se samband, detta då nästan alla uppgifter är utformade så att samband mellan ental och tiotal kan urskiljas. T.ex. 5-2=3 vs 50-20=30, 3-2=1 vs 13-2=11.

Möjlig stöttning i elevboken kan vara de illustrationer och representationer som finns till uttrycken. Vissa illustrationer förekommer bara i exemplen och vissa vid uttrycken som eleverna ska beräkna. Det kan exempelvis vara tiobasmaterial med ental och tiotalsstavar, tiokronor och enkronor och tallinjer. Tallinjerna anses endast vara ett stöd om dessa fylls i korrekt av eleverna. I andra illustrationer synliggörs subtraktionen/minskningen genom att stryka över mynt/tiobasmaterial alternativt bryta tiobasmaterial.

Det kan urskiljas en viss form av utmaning i elevboken då uppslagen kan anses vara utformade med progression.

Instruktion, material, stöttning och utmaning 1B:

Läraren uppmanas att inleda undervisningen genom att samtala och resonera tillsammans med eleverna. Antingen utifrån ett exempel i elevboken eller utifrån samtalsfrågor och begrepp. I lärarguiden uppmanas läraren vid flertalet uppslag att instruera eleverna till hur man kan se samband men också uppmuntra dem till att tillsammans hitta samband mellan uttryck, vilka skillnader och likheter finns?

Läraren kan visa samband på ett konkret sätt genom material såsom tiobasmaterial, pengar, talkort och siffror. Förslag till ytterligare aktiviteter som gränsar till arbetsområdet är att låta eleverna arbeta tillsammans med bingo, memory samt bygga matematiska uttryck med tiobasmaterial för att se samband. Läraren ges tips till konkret material; pengar, talrader 0-10, 10-20, 0-100, talkort med talen 11- 19, tiobasmaterial samt annat plockmaterial.

I lärarguiden beskrivs olika svårigheter som eleverna kan hamna i vid arbetet med uppgifterna. Läraren ges förslag till vad hen kan göra för att stötta dessa elever. Läraren kan ha gemensamma genomgångar där läraren visar genom konkret material hur subtraktionen utförs, ramsräkna tillsammans med eleverna framåt och bakåt på tallinjen eller prata om tal som ligger nära i talföljden.

För de elever som inte automatiserat det hela tiotalet kan läraren erbjuda konkret material så eleven kan få arbeta med att bygga ihop tiogrupperingar.

Läraren kan erbjuda både repetition och utmaning i form av olika arbetsblad.

(23)

Aspekt 3.

Elevaktiviteter och ansvar

Hypotetiskt mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt

& Ansvar 1B.

Eleverna engageras genom att arbeta individuellt med att minska och försöka se samband mellan tiotal och ental.

Uppgifterna i elevboken kan förväntas mottagas med variation beroende på elevernas matematiska förmågor.

Vissa uppgifter kan beskrivas som mastiga då de innehåller flertalet olika subtraktionsuppgifter inom ett utvidgat talområde vilket kan avskräcka vissa elever och motivera andra.

Eleverna aktiveras till största del mentalt då de beräknar uttrycken genom att skriva symboler och i vissa fall ta hjälp av tallinje, tiobasmaterial och mynt. Dessa illustrationer kan klassas som instruktioner för hur uppgiften kan utföras, en förklaring av ett resonemang. Eleverna kan med hjälp av dessa skapa inre bilder men de blir inte fysiskt aktiverade genom att stryka över, måla eller arbeta konkret.

Elevernas ansvar kan möjligtvis vara att utföra uppgifter individuellt genom den metod som beskrivs i instruktionen.

En tolkning av ansvarsaspekten kan också vara att eleverna vid ett tillfälle ska fylla i en tallinje där tal saknas. Om detta sker på ett korrekt sätt kan denna tallinje vara ett stöd. Att fylla i tallinjen korrekt kan således tolkas som ett ansvar.

Mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt & Ansvar 1B.

Eleverna aktiveras mentalt då de arbetar med uppgifter i elevboken där de ska beräkna uttryck och skriva symboler. De aktiveras delvis fysiskt när de ges exempel genom representationer av mynt, tiobasmaterial och tallinjen då de kan skapa inre bilder. De aktiveras fysiskt då de erbjuds att använda konkret material då de beräknar men även då andra aktiviteter som angränsar till området utförs i klassen. Exempelvis, hopp på tallinjen, bygga uttryck, bingo och memory med likheter av uttryck, tiobasmaterial och pengar.

Eleverna förväntas ta ansvar över att tillämpa den aktuella strategin och arbeta både gemensamt, i par och individuellt. De förväntas också ta ansvar över att använda de material som erbjuds. De förväntas också ansvara för att vara delaktiga i samtal, diskussioner och ytterligare aktiviteter.

(24)

6.2

Sifferbaserade metoder i subtraktion, årskurs 1

(Almström & Tengvall 2014a, 2014b, 2015a, 2015b) Koll på

matematik 1A & 1B

Fas 1.

Fas 2.

Aspekt 1.

Produkter Förväntningar och

Förkunskaper 1A och 1B.

Framställs inte i läromedlet.

Förväntningar och

Förkunskaper 1A och 1B.

Framställs inte i läromedlet.

Aspekt 2.

Ramar och material

Instruktion, material och stöttning/utmaning 1A och 1B.

Framställs inte i läromedlet.

Aspekt 3.

Hypotetiskt mottagande och engagemang, mentalt och fysiskt samt ansvar 1A och 1B.

Mottagande och engagemang, mentalt och fysiskt samt ansvar 1A och 1B.

Hur utformas undervisning av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 1?

Utifrån resultatet i analysmodellen går det att urskilja att undervisningen av räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik för årskurs 1 sammanfattningsvis utformas på följande sätt. Minskning benämns som en strategi i subtraktion som läromedlet kontinuerligt bearbetar och strategin jämföra förekommer också men i mindre utsträckning. Läromedlet uppmanar kontinuerligt till att se samband i olika subtraktionssammanhang och speciellt då eleverna arbetar med ental och tiotal. I subtraktionsuppgifterna där eleverna arbetar med minskning, jämföra uttryck och se samband inleds dessa vanligtvis med att klassen tillsammans ska resonera kring strategin, resonemang, samband, begrepp och vad som händer i subtraktionen. Dessa samtal utgår från resonemangsrutor som innehåller verklighetsförankrade händelser med text och bilder som synliggör subtraktionen, vad som händer och hur eleverna kan resonera.

Genomgående i läromedlet förekommer bilder och illustrationer som representerar uttrycken för subtraktionen, i elevbok 1A består dessa mestadels av elevnära föremål så som köttbullar, snöbollar och vantar medan i elevbok 1B förekommer illustrationer av pengar, tiobasmaterial och tallinjer. I elevboken går det att urskilja att arbetet till största del ska ske individuellt och i lärarguiden ges förslag till både individuellt och gemensamt arbete med subtraktionsstrategierna. De förkunskaper som beskrivs i lärarguiden för beräkning genom subtraktionsstrategier i elevboken är att eleverna bör ha en taluppfattning inom talområdet som bearbetas samt förståelse för positionssystemet. I elevbok 1A är talområdet 0-5 samt 0-10 och i elevbok 1B är det talområdet 0-10, 11-20, 21-80.

I vilken ordning introduceras talbaserade respektive sifferbaserade metoder i subtraktion i läromedlet Koll på matematik för elever i årskurs 1?

I läromedlet går det att urskilja skriftliga räknemetoder i subtraktion men dessa namnges inte utan kännetecken för räknemetoderna går att urskilja i nedbrutna delar. I elevbok 1A

(25)

går det att urskilja att stegvis beräkning är den räknemetod som introduceras först då eleverna arbetar med minskning. Stegvis beräkning går att urskilja då eleverna får möjlighet att använda tallinjen när de beräknar subtraktioner, och tallinjen är enligt tidigare forskning ett kännetecken för stegvismetoden. I elevbok 1B går det också att urskilja att stegvis beräkning är den räknemetod som introduceras först, då eleverna ska använda sig av tallinjen för att minska. Vidare synliggörs räknemetoden talsortvis beräkning då eleverna ska minska med 1 och 10 respektive 2 och 20 inom talområdet 0- 80. Talsortvis beräkning kan enligt tidigare forskning kännetecknas av att varje talsort subtraheras för sig. Eleverna får möjlighet att utveckla förmågan att subtrahera talsorterna för sig genom att först beräkna en subtraktion med ental och därefter en subtraktion med tiotal. Detta representeras genom illustrationer av pengar, enkronor och tiokronor samt tiobasmaterial. Räknemetoderna stegvis- och talsortvis beräkning återkommer genomgående i elevbok 1B, dessa metoder klassas enligt tidigare forskning som talbaserade metoder. I årskurs 1 går det således att urskilja att talbaserade metoder introduceras först. Sifferbaserade metoder framgick inte i läromedlet för årskurs 1.

(26)

6.3

Talbaserade metoder i subtraktion, årskurs 2

(Almström & Tengvall 2015c, 2015d, 2016a, 2016b) Koll på

matematik 2A & 2B

Fas 1.

Fas 2.

Aspekt 1.

Produkter

Eleverna förväntas att minska, jämföra skillnader och se samband. Inledningsvis förväntas eleverna att minska med 1, 2, 3 och 4 inom talområdet 0-50 och vidare subtrahera med 10 inom talområdet 0-100. Då eleverna subtraherar med 10 förväntas de se samband. Vidare förväntas eleverna att utföra tiotalsövergångar i subtraktion inom talområdet 0-100 med hjälp av tiobasmaterial.

Eleverna förväntas att subtrahera alla ental, nästan alla ental och alla tiotal inom talområdet 0-100.Vidare förväntas eleverna att jämföra tal och beräkna subtraktioner med liten skillnad samt minska inom talområdet 0-100 med hjälp av tallinjen.

De förkunskaper som eleverna möjligtvis behöver ha för att utföra uppgifterna är inledningsvis en god taluppfattning inom talområdet 0-50 samt 0-20 om en tiotalsövergång sker. Vidare en god taluppfattning inom talområdet 0-100. Eleverna behöver ha en förståelse för positionssystemet inom talområdet 0-100.

Eleverna kan möjligtvis också behöva förståelse för begrepp såsom minska, differens, subtrahera, liten skillnad, jämföra, term

Eleverna förväntas att vara delaktiga i samtal kring de arbetsområde som bearbetas exempelvis tiotalsövergång, att jämföra tal, skillnad och likheter, strategier, subtrahera ental och tiotal, se samband samt begrepp och hur man kan resonera vi beräkning. Eleverna förväntas att arbeta med tiotalsövergångar, både laborativt och mentalt, inom talområdet 0-20 samt se samband till tiotalsövergångar inom talområdet 0-100.

Eleverna förväntas att jämföra tal med liten skillnad med användning av tallinjen inom talområdet 0-20 och vidare talområdet 0-100. Eleverna förväntas att beräkna genom olika strategier för att på sikt lära sig att välja metod utefter uppgiftens karaktär. Övergripande förväntningar är att elever ska se samband mellan olika talområden vid subtraktionsberäkning.

De förkunskaper som beskrivs i lärarguiden är att eleverna behöver ha förståelse för talföljd och en taluppfattning inom talområdet 0-20 och vidare 0-100. De behöver ha erfarenheter av tal och tals egenskaper. Eleverna behöver också ha förståelse för positionssystemet och att siffror kan ha olika positionsvärde.

Eleverna behöver också ha automatiserat tiokamraterna. Det som framkommer i lärarguiden är att den erfarenhet eleverna fått

(27)

och uttryck. Eleverna kan också möjligtvis behöva ha en djupare förståelse för likhetstecknets betydelse.

genom föregående uppgifter och elevböcker är en förutsättning för att arbeta med nuvarande uppgift/elevbok.

Aspekt 2.

Ramar och material

Uppslagen inleds antingen med en instruktions/resonemangsruta eller en kortare skriftlig instruktion. I resonemangs/instruktionsrutan illustreras tallinjer, tiobasmaterial eller pengar i samband med uttryck och samtalsbubblor som beskriver resonemang och tankesätt. Exempelvis presenteras subtraktioner med tiotalsövergångar genom tiobasmaterial och en beskrivning på hur man kan tänka och vad som händer, jämförelser av tal med liten skillnad illustreras genom hopp på tallinjen samt en beskrivning på hur man kan tänka.

De kortare skriftliga instruktionerna förekommer innan en subtraktionsuppgift, de kan förekomma fler på ett uppslag.

Instruktionerna innehåller information om vad som ska utföras, exempelvis: ”Subtrahera alla ental, se samband.” (Almström &

Tengvall 2015c:34), ”Subtrahera 10, se samband.” (Almström &

Tengvall 2015c:35), “Jämför talen, skriv differensen” (Almström

& Tengvall 2015c:36) osv.

Läraren ges förslag till instruktion genom att inleda lektionen med att samtala tillsammans med eleverna. Dessa samtal kan utgå från instruktions- eller resonemangsrutan då läraren uppmanas att samtala kring vad som händer i subtraktionen och viktiga begrepp samt strategier såsom jämföra, likheter, skillnader, samband, osv. Utifrån dessa samtal kan eleverna sedan arbeta vidare med elevboken och läraren ges möjlighet till att erbjuda ytterligare aktiviteter. Dessa aktiviteter angränsar till arbetsområdet som bearbetas i elevboken, om uppslaget exempelvis bearbetar tiotalsövergångar då kan ytterligare aktiviteter vara att automatisera tiokamraterna genom lekar, eller om elevboken bearbetar området kring jämförelse av liten skillnad då kan förslag på ytterligare aktiviteter vara att eleverna får använda remsor på tallinjen för att synliggöra hopp mellan tal. Förslag på ytterligare instruktioner till läraren är att visa tallinjen på tavlan, uppmana eleverna att se samband och använda sig av bildstödet, använda sig av laborativt material för att konkretisera för eleverna, erbjuda eleverna flera strategier än en när de arbetar med tiotalsövergångar exempelvis tallinjen och tiobasmaterial.

Läraren ges förslag till konkret material i form av; tiobasmaterial, pengar, talkort, tallinjer och 10-sidiga tärningar.

Läraren uppmanas att stötta eleverna på olika sätt beroende på uppslagets utformning. Uppmaningar som återkommer är att

(28)

Möjlig stöttning i elevboken kan vara de illustrationer av tiobasmaterial, pengar och tallinjen som används i samband med uttryck och uppgifter. Exempelvis då eleverna ska jämföra tal med liten differens, då kan de använda den illustrerade tallinjen för att jämföra talen eller då elever arbetar med tiotalövergång, då kan tiobasmaterial påvisa vad som händer när “entalen inte räcker […]”(Almström & Tengvall 2015c:34) och pengarna påvisar också en konkretisering när eleverna beräknar tiotal och ental.

Vissa illustrationer förekommer endast i instruktions/resonemangsrutan medan vissa förekommer i flera uppgifter som eleverna ska beräkna. En möjlig utmaning för eleverna kan vara att elevboken erbjuder ett varierande arbetssätt vid vissa uppslag t.ex. textuppgifter där man ska välja rätt räknesätt och sedan beräkna subtraktionen genom en vald räknemetod eller då eleverna ska arbeta med uttryck som har en liten skillnad och skriva differensen, fylla i termer som fattas samt måla uttryck med liten differens.

eleverna kan arbeta med tallinjen som en stöttning, då läraren bör poängtera att det är avståndet mellan markeringarna som ska beräknas inte markeringarna i sig. För elever som ramsräknar upp till tio, behövs de ges fler konkreta erfarenheter av det hela tiotalet. Vidare uppmanas användning av konkret material och laborativa arbetssätt för att konkretisera subtraktionen, t.ex. leka fruktaffär för att konkretisera tiotalsövergångar.

Den utmaning som påvisas är arbetsblad som finns i lärarguiden.

Aspekt 3.

Mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt & Ansvar 2A.

Eleverna arbetar med minskning, subtrahera ental och tiotal, jämförelse av tal samt se samband. En del av elevbokens uppgifter innefattar flera olika subtraktioner där eleverna får arbeta med subtraktion på olika sätt genom att måla, räkna ut differensen, välja räknesätt, fylla i termer osv. Andra delar av elevboken består av uppgifter där eleverna ska beräkna subtraktioner på liknande sätt genom hela uppslaget. Dessa olika upplägg kan möjligtvis mottagas med både motivation och frustration beroende på individen. Vissa elever motiveras av att kontinuerligt arbeta med

Mottagande/engagemang, Mentalt/fysiskt & Ansvar 2A.