uppgifter, matriser och kamratbedömning. Mest glädjande är att vid samtal har många elever uttryckt att under det här läsåret har matematik varit roligare än tidigare. De säger att lektionerna inte alltid har sett likadana ut och att det har varit roligt och utvecklande att diskutera och samarbeta med olika kamrater.
Leder det här sättet att arbeta till att elever upplever matematiken mer meningsfull och begriplig? Jag kan tyvärr inte påstå att de här eleverna har lärt sig mer än andra elever, även om en del säger att de har gått framåt och känner sig säkrare. Jag är dock
övertygad om att det är utvecklande för elever att ibland arbeta med uppgifter som kräver ett mer kreativt tänkande än vad lärobokens rutinuppgifter gör. En förutsättning för att arbetet med inlämningsuppgifter ska bli meningsfullt är att det utgör en del av den planerade verksamheten. Eleverna måste få god tid på sig i skolan och man måste betona att det är meningen att de ska samarbeta. Elever som är vana vid tyst enskilt arbete måste uppmuntras att aktivt delta i diskussioner och läraren måste poängtera att det är intressant för alla att ta del av flera olika strategier för att lösa en uppgift. Elevernas uthållighet är inte så stor. Man vill helst direkt veta vad man ska göra. Det krävs tålamod för att få elever att förstå att problemlösning tar tid och att det är en rolig utmaning att tillsammans försöka tänka ut lämpliga strategier utifrån de kunskaper man har. Läraren måste organisera kamratbedömningen. Det är viktigt att eleverna får se goda exempel åtminstone de första gångerna för att det ska upplevas meningsfullt. Det är också viktigt att eleverna känner sig trygga med varandra, vilket kan vara svårt för läraren att bedöma i förväg. Av klassrumsaktiviteten och av de avslutande kurssamtalen framgår att flera elever tycker att de här aktiviteterna är roliga. Roligt är naturligtvis inte det samma som meningsfullt, men jag tror att förutsättningarna för att verksamheten ska kännas meningsfull ökar, om eleverna har en positiv inställning och tycker att
matematik är roligt.
Det tar tid att hitta uppgifter som är utvecklande för elever. Black, m.fl. (2003) skriver att om det ska bli en förändring så måste lärare förses med konkreta exempel att arbeta med. Stedøy (2006) beskriver ett utvecklingsprojekt där forskaren först arbetade fram ett lämpligt läromedel. Jag tror dock inte att sådana uppgifter ska finnas i en lärobok, åtminstone inte så länge de elever vi möter på gymnasiet kommer från ett didaktiskt kontrakt som är väldigt likt uppgiftsparadigmet (Alrø, och Skovsmose, 2006).
Matematikundervisning är för dem i princip bara genomgångar och färdighetsträning i en lärobok. Jag tror att det är bra att markera att man använder läroboken för just
mycket av. Sfard (1991) skriver att begreppsutvecklingen hos varje individ går från en operationell till en strukturell förståelse som sedan leder till en ny operationell
förståelse. Jag skulle istället vilja att läroboken kompletteras med en fyllig uppgiftsbank med större och mindre uppgifter som kräver ett mer kreativt tänkande och som
uppmuntrar till samarbete. Risken med att låta dessa uppgifter finnas i en lärobok är att eleverna inte upplever skillnaden mellan dem och rutinuppgifterna.
Jag anser att matriser är ett bra hjälpmedel för både lärare och elever för att förtydliga hur en bra redovisning av en matematikuppgift ska se ut. Innehållet i de matriser som jag har använt behöver dock utvecklas så att elever kan se ett tydligare samband mellan uppgifterna och kursmålen och betygskriterierna. De första matriser som elever kommer i kontakt med bör vara uppgiftsspecifika men målet är att de ska kunna använda en generell matris.
En formativ bedömning kräver åtminstone i utvecklingsskedet mer arbete för läraren (Black, m.fl., 2002). Det tar tid att ge feedback på inlämningsuppgifter. Trots att mina matriser kan förbättras är de arbetsbesparande, eftersom vissa kommentarer kan
utelämnas och ersättas med markeringar i matrisen. Tyvärr saknar jag arbetskamrater att diskutera både uppgifter, matriser och bedömning av elevarbeten med. Jag tror att det är en förutsättning för att det ska bli en bestående förändring och för att man ska hitta en balans mellan olika typer av kunskapskontroller så att elever på en skola upplever att de betygsätts på likartat sätt. Webb (2004) skriver att det är svårt att göra annorlunda än sina kollegor. Jag har hittills varit ganska ensam på min skola om att försöka arbeta på detta sätt. Till min glädje har dock nyfikenheten ökat och ett par av mina kollegor har sent i vår, efter de nationella proven låtit eleverna arbeta med några av mina uppgifter. Det finns undersökningar som beskriver nackdelar med traditionell bedömning och som istället förordar en mer allsidig bedömning (Even, 2004, Jönsson och Svingby, 2007b). I kursmål och betygskriterier (Skolverket, 2000b) betonas färdigheter som inte kan testas vid traditionell bedömning. Förmåga till självvärdering lyfts fram som en viktig
kompetens inför framtidens krav på ett livslångt lärande (Black och Wiliam, 1998a). Det finns forskning som visar att kamratbedömning kan vara ett led i att träna sig i att bedöma sin egen insats (Black m.fl., 2003). En förutsättning för att kunna bedöma sig själv och andra är att man har en klar uppfattning om vad som ska bedömas och vilka kriterier som ska användas (Black och Wiliam, 1998a). Jönsson och Svingby (2007a) har kunnat konstatera att matriser kan vara användbara för elever vid själv- och kamratbedömning, men att det finns få undersökningar gjorda. Jag har valt att låta elever arbeta med uppgifter som kräver ett mer kreativt resonemang än traditionella
att fungera som ett hjälpmedel både för att förtydliga uppgifterna och för att synliggöra de kriterier som uppgifterna bedöms efter. Jag har dessutom organiserat kamrat-
bedömning för att få elever att reflektera över sina kamraters redovisningar. Jag skrev i inledningen (avsnitt 1.1) att det inte finns någon dokumenterad forskning som beskriver hur man kan arbeta med matriser och kamratbedömning i matematik. Jag har visat att det är ett arbetssätt som kan bidra till att stimulera elever att engagera sig i uppgifterna och att utveckla sina lösningsmetoder och sitt sätt att redovisa.
När man inför matriser förändras undervisningen. Man kommer att ge eleverna andra typer av uppgifter att arbeta med. Det didaktiska kontraktet måste omförhandlas vilket tar tid och kräver både lyhördhet och tålamod från lärarens sida. Denna rapport är ett konkret exempel som man kan välja att prova i sitt klassrum eller bara inspireras av. Jag har provat arbetssättet i två olika grupper med positivt resultat. Jag är övertygad om att det kan användas som ett sätt att variera undervisningen i alla matematikgrupper inte bara för gymnasieungdomar som läser kurs A. Eftersom det tar tid att förändra ett didaktiskt kontrakt tror jag att det är en fördel att vänja elever vid detta arbetssätt tidigt i grundskolan.
Jag har använt Skovsmose och Borbas aktionsforskningsmodell (Skovsmose och Borba, 2006). Den första fasen, pilotundersökningen, pågick under några veckor i slutet av en kurs. Den andra fasen, själva undersökningen, pågick under ett helt läsår. För mig var det en nyttig upplevelse att stanna upp och definiera hur utgångsläget - den aktuella situationen - verkligen såg ut. Det var också nyttigt att reflektera över hur situationen istället skulle kunna vara – den tänkta situationen. Det gjorde att jag fick en ganska klar bild av vilka åtgärder som skulle kunna leda till den önskade förändringen –
pedagogiska föreställningar. Att sedan analysera hur det didaktiska kontraktet har förändrats – kritiska reflektioner i förhållande till den förändrade och den tänkta situationen - och sedan definierar en ny aktuell situation är ett tillfälle att, om det behövs, förändra riktningen under resans gång. Erfarenheter från en fas leder ofta till att den tänkta situationen förändras något, vilket också innebär att de pedagogiska
föreställningarna ändras. Den mest markanta förändringen jag genomförde under den andra fasen var att eleverna fick arbeta med inlämningsuppgifterna under lektionstid. I allt förändringsarbete är det viktigt att ha realistiska förväntningar. Det tar tid att förändra ett didaktiskt kontrakt och det tar ännu längre tid för förändringarna att få genomslag. Jag är besviken över att mina elever inte lyckades bättre på det nationella provet. Jag är dock glad över att eleverna uttrycker att det har varit en roligare
Jag har under min yrkesverksamma tid kommit till insikt om att nyckelordet är variation. Jag tror på en varierad matematikundervisning där inlämningsuppgifterna ingår och där kamratbedömning förhoppningsvis blir en naturlig del av verksamheten. Det finns en fast rotad tradition för hur undervisningen i matematik ska se ut. Det visas i forskningsrapporter (SOU, 2004) och det framgår av elevernas inställning till ämnet när de kommer till gymnasiet. Det börjar komma gymnasieelever (i den här gruppen två) som beskriver andra erfarenheter av matematikundervisning än färdighetsträning i en lärobok. Om de intentioner som kommer till uttryck i våra styrdokument ska infrias behövs mer forskning om undervisningspraktiken och mer stöd till enskilda lärare i form av konkret material att arbeta med. Det finns också väl inarbetade normer för hur vi bedömer elevernas matematikkunskaper. Selghed (2004) har visat att lärare inte bedömer enligt kursmål och betygskriterier utan så som de alltid har gjort. Min undersökning visar att det går att förändra elevers inställning till matematik och matematikundervisning. Förhoppningsvis går det också att förändra lärares inställning till bedömning och matriser kan vara ett stöd i denna förändring.
REFERENSER
Alrø, H. och Skovsmose, O. (2006). Undersøgende samarbejde i
matematikundervisning – udvikling af IC-Modellen. I Skovsmose, O och Blomhøj, M. (red.) Kunne det tænkes? – om matematiklæring pp. (110-126). Köpenhamn: Malling Beck A/S.
Andrade, H.G. (1997). Understanding rubrics. Educational Leadership, 54(4), 4-8. Andrade, H.G. (2000). Using rubrics to promote thinking and learning. Educational
Leadership, 57(5), 13-18.
Andrade, H. och Du, Y. (2005). Student perspectives on rubric-referenced
assessment. Practical Assessment, Research & Evaluation, 10(3). Hämtad 07-01-22 från http://PAREonline.net/getvn.asp?v=10&n=3.
Arter, J och McTighe, J. (2001). Scoring rubrics in the classroom: Using
performance criteria for assessing and improving student performance. Thousand
Oaks: Corwin Press, Inc.
Black, P. (1998). Testing: Friend or foe? Theory and practice of assessment and
testing. London: Falmer press.
Black, P.; Harrison, C.; Lee, C.; Marshall, B. och Wiliam, D. (2002). Working inside
the black box: Assessment for learning in the classroom. London: Department of
Education and professional Studies, King´s College.
Black, P.; Harrison, C.; Lee, C.; Marshall, B. och Wiliam, D. (2003). Assessment for
learning:Putting it into practice. Buckingham: Open university press.
Black, P. och Wiliam, D. (1998a). Assessment and classroom learning. Assessment
in Education: Principles, Policy and Practice, 5(1), 7-73.
Black, P. och Wiliam, D. (1998b). Inside the black box: Raising standards through classroom assessment. Phi Delta Kappan, 80(2), 139-148.
Bodin, A. (1993). What does to assess mean? The case of assessing mathematical knowledge. In Niss, M. (red.), Investigations into assessment in mathematics
education, (pp. 113-141). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Boesen, J. (2006). Assessing mathematical creativity: Comparing national and
teacher-made tests, explaining differences and examining impact.
Even, R. (2004). Using assessment to inform instructional decisions: How hard could it be? Publicerad av TSG27: Internal assessment, ICME10. Hämtad från
www.icme10.dk.
Freccero, U.; Hortlund, T. och Pousette, A. (2005). Bedömning av kvalitativ kunskap.
Konkreta exempel från gymnasieskolan. Solna: Gymnasietidningen/grundskole-
tidningen/Fortbildningsförlaget.
Gipps, C. (2001). Sociocultural aspects of assessment. I: Svingby, G. och Svingby, S. (Red.), Bedömning av kunskap och kompetens, (sid 15-67). Stockholm:
Lärarhögskolan i Stockholm, PRIM-gruppen.
Jaworski, B. (2000). The student – teacher – educator – researcher in the mathematics classroom. Co-learning partnerships in mathematics teaching development. I Bergsten, C.; Dahland, G. och Grevholm, B. (red.) Research and
action in the mathematics classroom. Proceedings from the 2nd Swedish Mathematics Education Research Seminar (MADIF 2), s. 37-54. Linköping: Svensk Förening för
Matematikdidaktisk Forskning.
Jönsson, A. och Svingby, G. (2007a). The use of scoring rubrics: Reliability, validity and educational consequences. Educational research Review, 2, 130-144.
Jönsson, A. och Svingby, G. (2007b). Underlag till ramverk för en
provbank/bedömningsresurs i grundskolan. Rapport från Skolverket. Hämtad 07-10- 29 från www.skolverket.se/publikationer?id=1678.
Kjellström, K. (2005). Bedömningsmatriser – en metod för analytisk bedömning. I Lindström, L. och Lindberg, V. (red.). Pedagogisk bedömning. Om att dokumentera,
bedöma och utveckla kunskap (pp. 193-217). Stockholm: HLS Förlag.
Korp, H. (2003). Kunskapbedömning – hur, vad och varför? Stockholm: Myndigheten för skolutveckling.
Kosnik, C. och Beck, C. (2000). The action research process as a means of helping student teachers understand and fulfil the complex role of the teacher. Educational
Action Research, 8(1), 115-136.
Lindström, L. (2005). Pedagogisk bedömning. I Lindström, L. och Lindberg, V. (red.) Pedagogisk bedömning. Om att dokumentera, bedöma och utveckla kunskap (pp. 11-27). Stockholm: HLS Förlag.
Lorentz, H. (2004). Aktionsforskning: Om likheter och olikheter i användning och benämning inom pedagogisk forskning. Pedagogiska uppsatser 37. Lund:
Pedagogiska institutionen, Lunds universitet.
Läroplan för det frivilliga skolväsendet, Lpf94. Stockholm:
Utbildningsdepartementet, Fritzes.
Mattsson, M. (2006). Hur bedöma praxisorienterad forskning? I Bronäs, A.; Selander, S.; Lindström, L.; Saugstad, T. och Rolf, B. (red.) Verklighet, verklighet:
teori och praktik i lärarutbildningen (pp. 198-223). Stockholm: Norstedts
Akademiska Förlag.
Mertens, D. M. (2005). Research and evaluation in education and psychology.
Integrating diversity with quantitative, qualitative, and mixed methods. Thousands
Oaks: Sage publications, Inc.
Morgan, C: (2000). Better assessment in mathematics education? A social
perspective. I Boaler, J. (red.). Multiple perspectives on Mathematics teaching and
learning (pp.225-242). London: Ablex Publishing.
Morrell, P.D. och Ackley, B.C. (1999). Practicing what we teach: Assessing pre- service teachers´ performance using scoring guides. Paper presented at the annual
meeting of the American Educational Research Association, Montreal, Canada.
Hämtad 07-10-18 från
http://eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2sql/content_storage_01/0000019b/80/17/ 97/bc.pdf .
Mullen, Y.K. (2003). Student improvement in middle school science. Unpublished master thesis. USA: University of Wisconsin. Hämtad 071018 från
http://eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2sql/content_storage_01/0000019b/80/1b/ 2a/85.pdf .
Nationalencyklopedin (1995). Ett uppslagsverk på vetenskaplig grund utarbetad på initiativ av statens kulturråd. Första bandet. Höganäs: Bokförlaget Bra Böcker. Niss, M. (2001). Den matematikdidaktiska forskningens karaktär och status. I Grevholm, B. (red.). Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Pettersson, A. (2005). Bedömning – varför, vad och varthän? I Lindström, L. och Lindberg, V. (red.) Pedagogisk bedömning. Om att dokumentera, bedöma och
Sadler, R.D. (1989). Formative assessment and the design of instructional systems.
Instructional Science 18, 119-144.
Selghed, B. (2004). Ännu icke godkänt. Lärares sätt att erfara betygssystemet och
dess tillämpning i yrkesutövningen. Doktorsavhandling. Lärarutbildningen, Malmö
Högskola.
Selghed, B. (2006). Betygen i skolan – kunskapssyn, bedömningsprinciper och
lärarpraxis. Stockholm: Liber.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in
Mathematics, 22, 1-36.
Skemp, R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics
Teaching, Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics, 77, 20-26.
Skolverket (2000a). Gymnasial utbildning. Kursinfo. Ämnet matematik. Hämtad 070921 från www.skolverket.se.
Skolverket (2000b). Gymnasial utbildning. Kursinfo. MA1201 – Matematik A. Mål och betygskriterier. Hämtad 070921från www.skolverket.se.
Skolverket (2007). Provbetyg – Slutbetyg - Likvärdig bedömning? En statistisk
analys av sambandet mellan nationella prov och slutbetyg i grundskolan, 1998-2006. Sammanfattning av rapport 300. Stockholm: Fritzes
Skolverket (2008). Information till lärare inför de nationella kursproven i matematik
våren 2008. Prim-gruppen, Umeå universitet.
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande och kompetens. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
Skovsmose, O. och Borba, M. (2006). Research methodology and critical
mathematics education. Roskilde: Publication no 17. Centre for Research in Learning Mathematics. Roskilde Universitetscenter.
Stedøy, I. (2006). Hur blir man en duktig matematiklärare? I Boesen, J.; Emanuelsson, G.; Vallby, A. och Vallby, K. Lära och undervisa i matematik –
internationella perspektiv, sid 241-257. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikdidaktik.
Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan - för att skapa tillfälle till lärande. Doktorsavhandling. Umeå universitet.
Topping, K. (2003). Self and peer assessment in school and university: Reliability, validity and utility. I Segers, M.; Dochy, F. och Cascallar, E. (Red.). Optimising new
modes of assessment: In search of qualities and standards (sid 55-87). Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers.
Webb, D. (2004). Classroom assessment as a research context: variations on a theme of pedagogical decision making. Overview presentation for ICME 10. Publicerat av TSG27: Internal Assessment, ICME10. Hämtad 070312 från www.icme10.dk.
Wedege, T. och Skott, J. (2006). Changing views and practices? A study of the
KappAbel mathematics competition. kapitel 2. Trondheim: Norwegian Center for
Mathematics Education.
Wiggins, G. (1998). Educative assessment: Designing assessments to inform and
improve student performance. San Francisco: Jossey-Bass
Wiliam, D. (1998). Enculturating learners into communities of practice: raising achievement through classroom assessment. Paper presented at the European
Conference on Educational Research. Ljubljana, Slovenien. Hämtad 070312 från
www.umds.ac.uk/content/1/cb/01/29/72/enculturating.pdf.
Wiliam, D. (1999). Formative assessment in mathematics. Part 2: Feedback.
Mathematics and Special Educational Needs 5(3) 8-11.
Winsløw, C. (2006). Didaktiske elementer – en indføring i matematikkens og
naturfagenes didaktik, kapitel 7.4. Köpenhamn: Forlaget Biofolia.
Wohlin, P. (2004). Likvärdig bedömning i kemi med hjälp av bl. a. rubrics. Skolverket, Dnr 2003:2800.