Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö och samhälle
Magisteruppsats
30 hp
Bedömningsmatriser och kamratbedömning i
matematik: aktionsforskning i gymnasiet.
Rubrics and peer assessment in mathematics: action research in upper
secondary school.
Anna-Stina Bengtsson
Magisterkurs i utbildningsvetenskap inom matematik, 60 hp Datum för slutseminarium: 2008-09-11
Examinator: Arne Engström Handledare: Tine Wedege
FÖRORD
Stort tack till min handledare Tine Wedege som har gett mig konstruktiv kritik och som, trots att jag ibland har tvekat, hela tiden har trott att projektet skulle vara möjligt för mig att genomföra. Tack till min ”magisterkompis” Lena Andersson som jag under alla utbildningens kursträffar har haft givande diskussioner med. Tack också till mina elever vars synpunkter och tankar jag har fått ta del av genom samtal och enkäter.
SAMMANFATTNING
Jag har i flera år känt mig missnöjd med resultaten av min undervisning på gymnasiets A-kurs i matematik. Mötet med bedömningsmatriser blev den impuls som på allvar fick mig att försöka, tillsammans med mina elever, skapa ett didaktiskt kontrakt med inslag av formativ bedömning. I ett aktionsforskningsprojekt har jag minskat andelen
färdighetsträning och i stället låtit eleverna under lektionstid arbeta med lite större och öppnare inlämningsuppgifter med hjälp av bedömningsmatriser och kamratbedömning. Enkäter, observationer och samtal visar att eleverna anser att de har nytta av matriser både för att tolka uppgifterna och för att bedöma redovisningarnas kvalitet.
Inställningen till kamratbedömning är mer varierande. En förutsättning för att den ska fungera är att den ingår i den planerade lektionsverksamheten, att den görs i direkt anslutning till inlämningsuppgiften och att eleverna inte känner sig alltför osäkra inför varandra.
Nyckelord: aktionsforskning, bedömningsmatriser, didaktiskt kontrakt, feedback, formativ bedömning, kamratbedömning.
ABSTRACT
For several years, I have felt displeased with the results of my teaching in the A-course in mathematics at upper secondary school. The acquaintance of rubrics was the impulse that made me try, together with my students, to develop a didactical contract with a component of formative assessment. In an action research project, I have reduced the amount of proficiency training and instead permitted the pupils during lessons to work with longer and more open tasks to be submitted. In this process rubrics and peer assessment are used.
Questionnaires, observations and discussions show that the pupils find the rubrics useful for interpreting and judging the quality of the submitted reports. Their attitudes towards peer assessment show more variation. A prerequisite condition for peer
assessment to work is that it is a part of the planned lesson, that it is done together with the submitted task and that the pupils feel confident with each other.
Keywords: action research, rubrics, didactical contract, feedback, formative assessment, peer assessment.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
Sammanfattning... 3
Abstract ... 4
1. Inledning... 8
1.1. Syfte och frågeställningar ... 10
2. Bedömning, didaktiskt kontrakt och matriser ... 11
2.1. Formativ bedömning och feedback... 11
2.2. Didaktiskt kontrakt... 13
2.3. Traditionell bedömning och reformbedömning ... 15
2.4. Feedbackens betydelse för lärandet ... 16
2.5. Kamratbedömning ... 18
2.6. Matriser ... 19
2.7. Vad krävs för att det ska bli en förändring?... 23
3. Aktionsforskning i utbildningsvetenskap ... 27
3.1. En aktionsforskningmodell ... 28
4. Studiens design... 31
4.1. Pilotundersökningens design... 31
4.2. Undersökningens design ... 32
4.3. Etiska överväganden ... 33
5. Pilotundersökningen – den första fasen ... 35
5.1. AS
1– den aktuella situationen inför pilotundersökningen ... 35
5.2. TS
1– den tänkta situationen... 35
5.3. PF
1– pedagogiska föreställningar... 35
5.4. PO
1– praktisk organisering av undervisningen... 36
5.5. FS
1– den förändrade situationen ... 37
5.6. KR
1– kritiska reflektioner om pilotundersökningen ... 37
6. Undersökningen – den andra fasen ... 39
6.1. AS
2– den aktuella situationen inför undersökningen... 39
6.2. TS
2– en modifierad tänkt situation... 39
6.4. PO
2– praktisk organisering av undervisningen... 40
6.5. FS
2– den förändrade situationen ... 43
7. Kritiska reflektioner om undersökningen (KR
2) ... 45
7.1. Elevernas inställning till matriser... 45
7.2. Elevernas inställning till kamratbedömning ... 45
7.3. Elevernas inställning till inlämningsuppgifterna ... 48
7.4. Varför var eleverna i undersökningen mer positiva? ... 48
7.5. Hur tolkar jag elevernas resultat?... 49
7.6. Validitet ... 52
8. Slutsatser och framtidsperspektiv ... 55
Referenser... 59
BILAGOR
Bilaga 1. Uppgift med matris: Kaninburen ... 64
Bilaga 2. Gensvarsprotokoll... 65
Bilaga 3. Enkät med resultat, pilotundersökningen: Kaninburen ... 66
Bilaga 4. Enkät inför A-kursen ... 68
Bilaga 5. Uppgift med matris: Egna statistiska undersökningar... 69
Bilaga 6. Enkät med resultat: Egna statistiska undersökningar ... 70
Bilaga 7. Uppgift med matris: Dagisavgifter i Ankeborg... 72
Bilaga 8. Enkät med resultat: Dagisavgifter i Ankeborg ... 73
Bilaga 9. Uppgift med matris: Blomalgebra ... 75
1. INLEDNING
Under mina år som verksam lärare har synen på kunskap och därmed också synen på bedömning av elevers kunskap förändrats. När jag började arbeta var lärarens roll att förmedla kunskaper, och bedömningen syftade till att mäta hur mycket eleven hade lärt sig. Numera talar man om att eleven formar sin egen kunskap tillsammans med andra och med stöd av läraren, och bedömningen ska fokusera mer på vilka kvaliteter eleven kan visa i sina kunskaper (Kjellström, 2005).
Bedömning är en viktig del av lärarens uppdrag och därmed också ett kärnområde inom den didaktiska forskningen.Enligt Niss (2001) är syftet med matematisk didaktisk verksamhet, förutom att specificera och beskriva ett tillfredsställande lärande och att tänka ut och utforma en effektiv matematikundervisning, även att hitta sätt att bedöma resultaten av undervisningen och lärandet i matematik. Han anser att det behövs flera olika metoder om man ska kunna bedöma på vilket sätt elever uppnår de mål som man strävar efter i den moderna matematikundervisningen. Han skriver:
Vi ska dessutom studera egenskaper hos och effekter av de bedömningsformer som kommer till användning i matematikundervisningen, framför allt när det gäller vilka hållbara
kunskaper de kan ge oss om vad elever och studenter vet, förstår och kan – och vi ska i detta syfte utveckla och undersöka nya sådan former (Niss, 2001, s. 29).
Det har gjorts nationella och internationella undersökningar som visar att svenska elevers kunskaper i och intresse för matematik sjunker i förhållande till en del andra länder (SOU, 2004). I ”Att lyfta matematiken” (SOU, 2004) står att matematik har blivit skolans tystaste ämne trots att kursplanerna betonar problemlösning, kommunikation och argumentation. Man poängterar vikten av variation och menar att olika arbetssätt och arbetsformer krävs om man ska göra matematiken mer begriplig och meningsfull. Man skriver också att en varierande undervisning kräver en allsidig utvärdering och att det krävs fler verktyg än skriftliga prov om man ska lyfta fram olika kvaliteter i elevers kunnande.
En större allsidighet i bedömningens innehåll och form ökar möjligheten att också fånga upp och stimulera värdefulla matematiska kompetenser och förmågor som ofta formuleras i kursernas mål att sträva mot (SOU, 2004, s. 72).
Vi har gått från ett normrelaterat till ett kriterierelaterat betygssystem som ställer större krav på lärare, att för elever och föräldrar i förväg synliggöra och kommunicera de bedömningsgrunder som man arbetar efter. Selghed (2004) har i en doktorsavhandling påvisat att detta inte fungerar i praktiken. Enligt honom bedömer matematiklärare inte enligt kursmål och betygskriterier utan så som de alltid har gjort. Han menar dock att
det inte är lärarnas fel eftersom de inte har fått den hjälp och det stöd som krävs för så omvälvande förändringar.
Ett nytt bedömningssystem kräver nya redskap och bedömningsmatriser kan vara ett sådant redskap. En bedömningsmatris är ett dokument som beskriver olika
kvalitetsnivåer på de kriterier som en elevs prestationer bedöms efter. När jag våren 2005 introducerades för matriser reagerade jag så positivt som Andrade (1997) beskriver att lärare ofta gör. Jag konstruerade matriser till ett par lite större
inlämningsuppgifter i matematik (se exempel på matriser i bilagorna 1, 5, 7 och 9) som jag tidigare hade låtit elever arbeta med, och jag upplevde att lösningarnas kvalitet förbättrades och att elevernas reaktioner var positiva. Jag hade fått tillgång till ett hjälpmedel som jag förstod att jag skulle kunna ha nytta av. Matriser är inte användbara på de rutinuppgifter som finns i läroboken. Det är dock uppenbart att
matematikundervisning inte bara ska innebära en träning i att lösa rutinuppgifter. I Skolverkets beskrivning av ämnet matematik i gymnasieskolan står att:
Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik (Skolverket, 2000a).
Flera av de kompetenser som nämns i kursmålen (Skolverket, 2000b) som att lösa problem, genomföra resonemang och pröva tankar är svåra att bedöma med
konventionella prov. När jag inför matriser är jag tvungen att ändra min undervisning, vilket kanske kan innebära att mina elever på ett bättre sätt kommer att kunna uppnå kursmålen.
Mötet med matriser blev den impuls som på allvar fick mig att börja fundera över hur jag bedömer och om jag verkligen bedömer det som jag tycker är viktigt, vilket i sin tur ledde till en reflektion över undervisningens innehåll. Jag har i flera år känt mig
missnöjd med resultaten av min undervisning framför allt på gymnasiets A-kurs. Det är en repetitionskurs av grundskolans matematik, som alla elever oavsett program läser, och jag har upplevt att eleverna inte lär sig särskilt mycket. Det är min frustration över att eleverna varken blir kunnigare eller mer intresserade som är anledningen till att jag försöker förändra både min undervisning och mitt sätt att bedöma och att jag har infört matriser som ett hjälpmedel för bedömning och som ett pedagogiskt hjälpmedel. I en pilotundersökning våren 2007 provade jag dessutom, inspirerad av lärare på en gymnasieskola i Stockholm (Freccero, m.fl., 2005; Wohlin, 2004), att låta eleverna få arbeta med kamratbedömning. Resultatet av den undersökningen var så pass positiv att jag kände att jag ville fortsätta det påbörjade förändringsarbetet.
1.1. Syfte och frågeställningar
Syftet med min studie är att utifrån tidigare forskning planera, dokumentera och reflektera över den förändringsprocess av min matematikundervisning och mitt sätt att bedöma som jag är mitt uppe i. Mina frågeställningar är därför: Hur förändras det didaktiska kontraktet i matematik när man arbetar med lite större inlämningsuppgifter, bedömningsmatriser och kamratbedömning? Hur uppfattar eleverna arbetet med inlämningsuppgifterna? Hur använder de matriserna? Hur upplever de arbetet med kamratbedömning?
Kursplaner i matematik betonar kompetenser som problemlösning, kommunikation och argumentation. Lärare uppmanas att variera sin undervisning, vilket kräver en mer allsidig utvärdering än vad som varit brukligt. Att undersöka effekterna av att man ökar inslagen av formativ bedömning i matematikundervisningen med hjälp av matriser och kamratbedömning är ett aktuellt utbildningsvetenskapligt forskningsområde som inte finns dokumenterat sedan tidigare. Jag anser att mina erfarenheter kan vara av intresse även för andra.
I kapitel 2 ger jag en beskrivning av tidigare forskning och teori om bedömning och kamratbedömning, didaktiska kontrakt och matriser. Därefter beskriver jag i kapitel 3 den aktionsforskningsmodell som jag har valt att använda och i kapitel 4 mitt urval, min metod och de etiska överväganden som jag gjort. Kapitel 5 är en detaljerad redogörelse av pilotundersökningen och kapitel 6 är motsvarande beskrivning av själva
undersökningen. I kapitel 7 reflekterar jag över resultatet. Slutligen i kapitel 8 sammanfattar jag mina resultat och utpekar perspektiv för framtiden.
2. BEDÖMNING, DIDAKTISKT KONTRAKT OCH
MATRISER
Det finns ingen tidigare forskning som beskriver hur man kan arbeta med matriser och kamratbedömning i matematik. Det finns dock gott om forskning och teorier om olika typer av bedömning och kamratbedömning som jag redogör för i detta kapitel. Jag presenterar termen didaktiskt kontrakt som en metafor för de aktiviteter och det klassrumsklimat som utvecklas medan matematikundervisningen pågår i en viss undervisningsgrupp. Jag beskriver dessutom bedömningsmatriser som ett hjälpmedel för att synliggöra bedömningskriterier och som ett pedagogiskt hjälpmedel.
2.1. Formativ bedömning och feedback
I och med att synen på vad lärande och kunskap är har blivit mer komplex har även forskningen om bedömning ändrats. Numera diskuterar man vilken typ av slutsatser man är intresserad av att kunna dra (Korp, 2003). Korp anser att man grovt kan skilja mellan summativ bedömning som ska resultera i ett omdöme och formativ bedömning som har ett pedagogiskt syfte. Wiliam (1998) poängterar dock att termerna inte är beskrivningar av hur bedömningen går till, eftersom samma bedömning kan användas både summativt och formativt, utan termerna talar om hur bedömningen används. Sadler (1989) skriver att summativa bedömningar görs i slutet av ett moment eller en kurs och har vanligen ingen effekt på lärandet. Summativa bedömningar kan dock ha stor betydelse för de beslut elever kommer att fatta om till exempel fortsatta studier. Den formativa bedömningen görs under pågående utbildning och syftar till att hjälpa eleven att förbättra sitt lärande. Enligt Selghed (2006) är bedömning en process som ständigt pågår i lärarens arbete. Han anser att bedömningsforskningen har omorienterats så att den formativa bedömningen betonas allt mer. Han skriver:
Lärandet som process har fått en mer framträdande roll än kunskap som en produkt av lärandet. Bedömningsarbetet blir en integrerad del av lärares arbete från planering till utvärdering. I detta arbete tilldelas eleven en annan roll. Från att enbart ha varit den som blir bedömd engageras eleven som en aktiv part för att kunna bidra till att utveckla sina
lärstrategier. Kravet på kommunikation mellan lärare och elev blir avgörande. Innehållet i den feedback som läraren ger till eleven blir viktig. Eleven måste få reda på sina styrkor och svagheter för att kunna förbättra sina prestationer (Selghed, 2006, s. 206).
Även i läroplanen betonas elevens egna engagemang. I Lpf 94 kan man läsa att:
Skolan skall sträva mot att varje elev
• kan bedöma sina studieresultat och utvecklingsbehov i förhållande till kraven i kursplanerna (Lpf 94, s. 15).
Black och Wiliam (1998a) påstår att begreppen formativ bedömning och feedback ofta överlappar varandra. Enligt dem användes termen feedback ursprungligen av tekniker för att beskriva återkoppling i samband med reglering av olika processer. I under-visningssammanhang innebär feedback att man på något sätt ger elever information om på vilken nivå deras prestationer befinner sig jämfört med en referensnivå. Om
feedbacken ska vara formativ måste eleverna också använda den för att minska skillnaden mellan den aktuella och den önskvärda nivån. Wiliam skriver:
…feedback is not the same as formative assessment. Feedback is a necessary first step, but feedback is formative only if the information fed back to the learner is used by the learner in
improving performance. If the information fed back to the learner is intended to be helpful,
but cannot be used by the learner in improving her own performance it is not formative. It is rather like telling an unsuccessful comedian to “be funnier” (Wiliam, 1999, s. 10).
I forskningslitteratur finns olika definitioner av formativ bedömning och feedback. I detta arbete använder jag begreppet formativ bedömning för den utvärdering som sker under pågående kurser och som syftar till att hjälpa eleven att förbättra sitt lärande och att ge läraren indikationer på om undervisningen bör förändras, och begreppet feedback för den återkoppling som i detta sammanhang ges från lärare till elev, från elev till lärare eller från elev till elev.
Black och Wiliam (1998a) har gjort en stor metaanalys av 40 studier där man har försökt utveckla den formativa bedömningen i olika årskurser och i olika ämnen bland annat matematik. De kunde konstatera att det är stora vinster med att göra det. De går så långt att de skriver:
There is a body of firm evidence that formative assessment is an essential component of classroom work and that its development can raise standards of achievement. We know of no other way of raising standards for which such a strong prima facie case can be made (Black och Wiliam 1998b, s. 149).
och
…changing the kinds of feedback we use in mathematics classrooms could have more effect than all the government initiatives put together (Wiliam, 1999, s. 11).
Av deras undersökning framgår att formativ bedömning kan göra att elevernas genomsnittliga studieresultat förbättras och att förbättringen är störst hos de svagast presterande grupperna (Black och Wiliam, 1998a).
2.2. Didaktiskt kontrakt
Wedege och Skott (2006) använder begreppet ”views” för lärares och elevers syn på matematik som omfattar både uppfattningar och attityder. Enligt dem är människors uppfattning om matematik tämligen stabil men möjlig att förändra. De skriver att människors relation till matematik utvecklas i olika sammanhang, men att det som sker i klassrummet har störst påverkan.
Det finns undersökningar som visar att en stor del av undervisningen i matematik i svenska skolor är traditionell och starkt styrd av läromedel med små variationer i arbetssätt (SOU 2004), det vill säga enligt följande beskrivning som är Alrø och Skovsmoses (2006): Läraren går igenom ett nytt begrepp eller en algoritm på ungefär samma sätt som görs i lärobokens exempel. Därefter arbetar eleverna självständigt eller tillsammans med lärobokens uppgifter. Läraren går runt och hjälper till när de kör fast. Eleverna kontrollerar svaren i facit där det finns ett korrekt svar till varje uppgift. Till nästa lektionstillfälle får de ytterligare uppgifter av samma typ i läxa. Alrø och
Skovsmose benämner detta sätt att arbeta för ett uppgiftsparadigm. De menar att det är ett kommunikationsmönster mellan lärare och elever som går ut på att läraren ställer frågor som han eller hon redan vet svaret på. Det gör att eleverna ofta ger minimal respons på frågorna.
Jag anser att uppgiftsparadigmet (Alrø och Skovsmose, 2006) kan leda till det som Skemp (1976) kallar instrumentell förståelse av matematik. Elever som arbetar med rutinuppgifter enligt en viss metod tycker att de förstår vad de gör, och de känner sig nöjda eftersom de snabbt hittar rätt svar. Problemet är att de ofta lär sig ett antal regler utan att se några inbördes sammanhang mellan dem. Det gör att de inte vet hur de ska göra, om de plötsligt förväntas använda sina kunskaper i ett annat sammanhang. De har lärt sig det som Skemp kallar instrumentell matematik. Han förordar att man istället undervisar om relationell matematik som leder till att eleverna utvecklar en relationell förståelse för matematiska begrepp och procedurer. De lär sig då se sammanhang, strukturer och mönster som gör att det är lättare att både komma ihåg dem och att anpassa dem till nya situationer. Även Black m.fl. (2003) tar upp de problem som kan uppstå när elever lär sig strategier som bara passar i ett sammanhang, men inte inser att de inte fungerar i andra. Om eleverna har uppnått instrumentell eller relationell
förståelse för matematik beror enligt både dem och Skemp på lärarens syn på
matematik. Skemp skriver att det kan bli konflikter om elever som är vana vid och vill lära sig instrumentell matematik möter en lärare som undervisar om relationell
Sfard (1991) argumenterar också för olika typer av förståelse. Hon använder begreppen operationella föreställningar när det gäller processer, algoritmer och handlingar, och strukturella föreställningar när man behandlar matematiska begrepp som om de vore abstrakta objekt. Till skillnad från Skemp (1976) menar Sfard att begreppen är två sidor av samma sak och att djupare matematisk förståelse innebär förmåga att se ett begrepp både som en process och som ett objekt. Hon anser att den operationella förställningen nästan alltid kommer före den strukturella när en begreppsbildning sker. Sfard beskriver hur begreppsutvecklingen hos en individ går i cykler från en operationell till en
strukturell förståelse som sedan leder till en ny operationell förståelse. Jag tolkar det som att arbete med rutinuppgifter, det som Skemp kallar instrumentell matematik, kan vara av värde för att utveckla en mer relationell förståelse, men att elever också måste få arbeta med uppgifter som kräver andra kompetenser.
Winsløw (2006) beskriver klassrumssituationen som ett didaktiskt spel som följer vissa regler och som helst ska leda till att eleverna lär sig. Det betyder i så fall vinst för både lärare och elever. En förutsättning för detta är att eleverna faktiskt deltar i spelet och följer reglerna. Regler som Winsløw anser kan liknas vid ett mer eller mindre uttalat didaktiskt kontrakt mellan lärare och elever, som styr de ömsesidiga förpliktelser som man förväntar sig ska uppfyllas. I detta ingår att eleverna accepterar och förstår den didaktiska miljö som läraren försöker skapa, och att de tar del av och engagerar sig i de presenterade problemen. Lärarens ansvar är att skapa och om det krävs modifiera lärandesituationer, som gör det möjligt för eleverna att lära sig det som de ska. Wedege och Skott (2006) använder didaktiskt kontrakt som en metafor för att beskriva de förväntningar som elever och lärare har på varandra och som leder fram till en viss klassrumspraktik. De skriver:
…we use the term didactical contract as a methaphor for the set of implicit and explicit rules of social and mathematical interaction in a particular classroom. The didactical contract, then, in our terminology constitutes the rules of the game in that classroom, rules that on the one hand frame the practices that emerge and on the other are regenerated and transformed by those very same practices (Wedege och Skott, 2006, s. 41).
Jaworski (2000) skriver att det är lärare och elever tillsammans som skapar klassrums-klimatet, men att det är lärarens ansvar att tydliggöra normerna. Hon beskriver det didaktiska kontraktet som ett erkännande av gruppens normer. Även hon använder termen som ett uttryck för förväntningarna mellan lärare och elever som kan vara uttalade eller underförstådda. Vissa saker kan vara klart uttalade, men det är inte alltid så tydligt hur det har blivit så. Ibland sker utvecklingen av det didaktiska kontraktet
utan att vare sig lärare eller elever är medvetna om processen. Oavsett om normerna utvecklas öppet eller implicit så betonar Jaworski att det didaktiska kontraktet är:
an evolving co-construction by all participants in a classroom (Jaworski, 2000, s. 47).
Jag använder termen didaktiskt kontrakt för de mer eller mindre uttalade normer som ständigt utvecklas och förändras i samspel mellan mig och mina elever i en viss undervisningsgrupp i matematik och som hänger ihop med en viss syn på matematik.
2.3. Traditionell bedömning och reformbedömning
Webb (2004) betonar att det är lärarens uppfattning om vad matematik är som påverkar synen på vad det är han eller hon anser vara viktigt att kunna, vilket i sin tur påverkar vilka uppgifter eleverna får arbeta med. Läraren bestämmer också vilka uppgifter som ska bedömas och hur elevernas resultat ska tolkas och användas. Beslut som Webb anser har stor betydelse för elevers syn på matematik. Bedömningens utformning ligger till grund för elevers uppfattning om skolmatematik och därmed också om ämnet matematik. Taflin (2007) skriver att om man enbart låter elever arbeta med uppgifter som det bara finns ett sätt att lösa uteblir den matematiska diskussionen kring olika elevers sätt att tänka. Hon anser att lektionernas innehåll då mest blir en information och förtydligande av lärarens egna idéer. Efter sådana lektioner har lärarens kunskaper om elevernas matematiska idéer och resonemang inte ökat.
Even (2004) skiljer mellan traditionell bedömning (traditional assessment) och
reformbedömning (reform assessment). Han menar att de skiljer sig åt genom graden av integration mellan bedömning och undervisning, genom de metoder och verktyg man använder vid bedömningen och genom syftet med bedömningen. Vid traditionell
bedömning bedöms elever i matematik genom en speciell aktivitet som är konstruerad
för just detta ändamål. Undervisning och bedömning är två helt skilda aktiviteter. Bedömningen grundas till största delen på skriftliga prov som består av korta standarduppgifter med slutna frågor till vilka det bara finns ett korrekt svar. Enligt Jönsson och Svingby (2007b) är dessutom själva provsituationen standardiserad. Proven utförs av alla elever samtidigt i slutet av ett delmoment eller en kurs. De har begränsad tillgång till hjälpmedel och de förutsätts arbeta ensamma. Syftet är att kontrollera deras kunskaper i förhållande till uppsatta mål eller att rangordna dem sinsemellan. Jönsson och Svingby anser att proven också kan användas i disciplinsyfte och för att få eleverna att anstränga sig mer. Resultaten anges oftast i någon form av meritvärde så som antal poäng eller betyg. Meritvärdet ger ingen upplysning om varken kunskaper eller kunskapsbrister vilket gör det nästan omöjligt för elever att lära sig något av
prov-typen av prov, förutom att de inte bidrar till lärandet, inte mäter flera av de kvaliteter som betonas i kursplaner och att de lätt kan ge upphov till stress och bidra till minskat självförtroende och motivation för elever som inte lyckas så bra.
Den andra typen av bedömning, som Even (2004) kallar reformbedömning, är en del av den ordinarie verksamheten. Läraren väljer arbetssätt och arbetsuppgifter som gör att han eller hon får mycket information om elevernas kunskaper och färdigheter under matematiklektionerna. Eleverna får arbeta med uppgifter både för att de ska lära sig och för att läraren ska kunna se vad de kan. Det gör att läraren får en mera allsidig bild av elevernas kunskaper eftersom flera olika bedömningsmetoder naturligt kan användas. Bedömningen används formativt för att öka elevernas lärande och för att ge läraren information som kan användas för att planera hur man ska arbeta vidare. Enligt Jönsson och Svingby (2007b) är bedömningens huvudsyfte nu inte att kontrollera i vilken grad eleverna har nått kursmålen, utan att ge upplysning om på vilka sätt eleven klarar olika delar av målen. Den ska ge både eleven och läraren information om vad som är elevens styrkor och svagheter och vad som behöver förbättras. Eleven ska få relevant feedback utifrån sina prestationer. Det här sättet att arbeta gör att man kan skapa mer autentiska situationer där elevens kunskaper ska tillämpas, och där eleven kan få använda sig av olika hjälpmedel och till och med samarbeta med andra.
Boesen (2006) har i en doktorsavhandling jämfört de nationella proven i matematik med lärarnas egna prov på gymnasiet. Han konstaterar att de flesta lärare väljer uppgifter som kan lösas med hjälp av standardresonemang, medan de nationella proven i högre grad kräver ett kreativt matematiskt resonerande. Lärarnas egna prov fokuserar på algoritmiska färdigheter och ger eleverna klara signaler om att det är sådant som är viktigt att lära sig. Det gör att eleverna i första hand söker efter standardlösningar och att det är få elever som använder ett mer kreativt resonemang än vad uppgifterna kräver. Konsekvensen blir att många elever är dåligt förberedda för de nationella proven. Enligt Boesen finns det dock en klar skillnad mellan proven i gymnasiets olika kurser. I lärares A-kursprov kan man se fler uppgifter som kräver ett kreativt resonemang än i deras prov i de övriga kurserna. Han menar att en trolig orsak till detta är att A-kursen är en repetitionskurs, medan de övriga innehåller många nya begrepp och att kursplanerna är så innehållsrika att det är svårt att hinna med att arbeta med annat än rutinuppgifter.
2.4. Feedbackens betydelse för lärandet
Om elever bara får reda på att de har presterat bra eller dåligt så påverkar det deras självbild men stimulerar inte till ytterligare engagemang (Black m.fl., 2003). Pettersson (2005) skriver att om bedömning används så att den stödjer och stimulerar lärandet
genom att analysera och värdera elevens kunnande så kommer eleven att utvecklas i sitt lärande och känna tilltro till sin förmåga. Black m.fl. (2003) anser att feedback som fokuserar på vad som behöver göras kan uppmuntra alla elever att tro att de kan prestera bättre. En feedback som fokuserar på vad som är bra och vad som kan göras bättre, gör att eleverna så småningom kommer att bli medvetna om när de lär sig och när de inte gör det, vilket de menar är den stora vinsten med formativ bedömning.
Det finns undersökningar som visar att elever lär sig mer om de får adekvat skriftlig feedback utan poäng eller betyg på sina arbeten (Black och Wiliam, 1998a). Om man kombinerar kommentarer med betyg blir effekten lika liten som om man bara ger betyg. Även Sadler (1989) anser att bedömningar där man jämför elevers resultat inte leder till något lärande. Sadler skriver:
…all methods of grading which emphasize rankings or comparisons among students are irrelevant for formative purposes (Sadler, 1989, s. 127).
När man frågar eleverna om hur de vill ha de skriftliga kommentarerna säger de, enligt Black m. fl. (2003), förutom att läraren inte ska fördärva deras arbeten genom att använda röd penna och att läraren ska skriva läsligt och använda ord som eleverna förstår, att det är viktigt att det står vad som är bra och vad man ska göra annorlunda nästa gång. Elever som har fått vänja sig vid att få skriftlig feedback inser alltså att de har nytta av kommentarerna.
I traditionell bedömning är relationen mellan lärare och elev hierarkisk (Gipps, 2001). Läraren gör uppgifter och bestämmer hur de ska lösas och bedömas. I nyare typer av bedömning vill lärare att elever ska vara involverade i bedömningsprocessen så att de kan uppmuntras att kontrollera och reflektera över sina egna prestationer. Black och Wiliam (1998a) konstaterar att detta har goda effekter på lärandet eftersom det påverkar både deras motivation och självvärdering. Läraren delar alltså med sig av sin makt till eleverna (Gipps, 2001). Det innebär dock inte, anser Gipps, att läraren ger upp ansvaret för elevernas lärande utan att man involverar dem som samarbetspartners. Läraren har inte längre makt över utan makt med eleverna. Elevers roll i lärandet betonas och man uppmuntrar elever att bedöma sitt eget lärande.
Teachers, in this approach, were involving the learner in the process of assessment as well as demonstrating power with, rather than power over them (Gipps, 2001, s. 51).
En förutsättning för att elever ska kunna bedöma sig själva är att de har en klar
uppfattning om undervisningsmålen, det vill säga att det är tydligt vad som ska bedömas och vilka kriterier som ska användas (Black och Wiliam, 1998a). Morgan (2000)
är mindre bra när de bedömer elevers rapporter från matematiska undersökningar, så har de ofta svårt att verbalisera bedömningskriterierna. Hon menar att det ibland är en större utmaning för elever att försöka lära sig hur de ska redovisa så att det framgår att de kan och förstår, än att lära sig själva matematiken.
2.5. Kamratbedömning
Som ett led i att träna sig i att bedöma sin egen insats kan man arbeta med kamrat-bedömning (Black m.fl., 2003). Toppings (2003) definition av kamratkamrat-bedömning lyder:
...an arrangement for learners and/or workers to consider and specify the level, value or quality of a product or performance of other equal-status learners and/or workers (Topping, 2003, s. 65).
I skolan är det elever som går i samma matematikgrupp som studerar varandras redovisningar och försöker ge varandra konstruktiv kritik. Kamratbedömning har visat sig vara värdefull av flera skäl (Black m.fl., 2003). Om en elev vet att en kamrat ska bedöma arbetet är det i sig något som ökar elevens motivation att anstränga sig. När elever kommunicerar med varandra använder de ett för dem naturligt språk, vilket kan öka förståelsen. Det är dessutom så att elever ibland har lättare att ta till sig kritik från en kamrat än från en lärare. Topping (2003) skriver att både den som ska bedöma och den som blir bedömd kan känna sig lite ängsliga i inledningsskedet. Kamratbedömning involverar dock eleverna i lärandet och kan skapa en känsla av personligt ansvar och motivation. Att börja med positiv feedback minskar oron för bedömningen och kan även öka acceptansen för den negativa feedbacken. Black m.fl. (2003) poängterar dock att kamratbedömning inte uppstår spontant utan utvecklas bara om läraren organiserar arbetet och på så sätt hjälper eleverna att utveckla denna färdighet. De menar att ett sätt att betona vikten av kamratbedömning är att använda lektionstid för detta och att låta dem få lov att förbättra sina arbeten med hjälp av kamraternas feedback. De skriver:
Another key feature of all these classrooms is that all the teachers made lesson time available for the students to work on improvement (rather than consigning this to a homework
activity), which not only showed how the teacher valued such work, but also allowed students to discuss any continuing uncertainties with their peers or the teacher (Black m.fl., 2003, s. 66)
Tanken med kamratbedömning är att eleverna ska bli medvetna om vad som utmärker ett bra arbete så att de sedan ska kunna känna igen dessa kvaliteter i sina egna alster. Black (1998) skriver att om elever ska bli effektiva i sitt lärande måste de ha goda kunskaper om sig själva som tänkare och lärande. Effektivt lärande kräver att eleverna
tar allt mer ansvar och blir involverade i sin egen bedömning. Topping (2003) definierar självvärdering som:
an arrangement for learners and/or workers to consider and specify the level, value or quality of their own products or performances (Topping, 2003, s. 58).
Enligt Black m.fl. (2002) ger kamrat- och självvärdering lärandeeffekter som inte kan uppnås på annat sätt.
Jag använder begreppet kamratbedömning i matematik när elever i en undervisnings-grupp får ta del av varandras redovisningar. Syftet är att de dels ska lära sig av att se hur en eller flera andra kamrater har löst uppgiften, dels ska träna sig i att ge konstruktiv feedback. Meningen är att denna process ska leda till att eleverna blir medvetna om vilka kvaliteter som kännetecknar en bra redovisning och därmed ge dem
förutsättningar för att kunna göra en effektiv självvärdering.
2.6. Matriser
Ett av de hjälpmedel som nämns i samband med formativ bedömning och framför allt när det gäller att tydliggöra undervisningsmål och betygskriterier för både lärare och elever är bedömningsmatriser (eng. rubrics), som jag i fortsättningen bara benämner matriser. Enligt Wiggins (1998) kan ordet ”rubrics” härledas från latinets ”ruber” som betyder röd. Under medeltiden var rubrics instruktioner eller kommentarer skrivna med röd färg till lagar eller gudstjänstordningar. I undervisningssammanhang är matriser dokument som innehåller ett antal riktlinjer för hur man bedömer elevprestationer av olika slag. Andrade (2000) definierar en matris som ett
....document that describes varying levels of quality, from excellent to poor, for a specific assignment, (Andrade, 2000, s. 13).
Arter och McTighe (2001) skriver:
The best rubrics are worded in a way that covers the essence of what we, as teachers, look for when we´re judging quality, and they reflect the best thinking in the field as to what constitutes good performance, (Arter och McTighe, 2001, s. 8).
Formatet kan variera men enligt Andrade (2000) består alla matriser av en lista av kriterier som en viss uppgift ska bedömas efter och en gradering av olika kvalitetsnivåer för dessa kriterier. Det är detta mönster som jag har utgått från när jag har konstruerat mina matriser. Jag använder alltså termen matris för ett dokument som elever får tillsammans med en arbetsuppgift som beskriver olika kvalitetsnivåer på de kriterier som uppgiften bedöms efter.
Det finns olika sorters matriser (Arter och McTigh, 2001, Wiggins, 1998). En holistisk
matris innehåller bara en sammanfattande beskrivning av prestationen i sin helhet och
passar därför bäst vid en summativ bedömning. Den kombinerar alla väsentliga ingredienser till ett övergripande kvalitetsomdöme. En analytisk matris tar upp varje kriterium för sig och rekommenderas därför när bedömningen är formativ och det behövs specificerad vägledning om hur en förbättring av uppgiften, men även av lärandet och undervisningen kan ske. Den ger alltså en analys av hur väl man har lyckats med varje dimension av uppgiften. Mullen (2003) tilläger att holistiska matriser ofta är produktorienterade medan de analytiska är mer processorienterade. Därefter kan man skilja mellan generella och uppgiftsspecifika matriser (Arter och McTigh, 2001 och Wiggins, 1998). Generella matriser kan användas för bedömning av olika uppgifter av liknande slag. Man kan till exempel använda samma matris för att bedöma alla öppna matematiska problem. Uppgiftsspecifika matriser däremot kan bara användas för just de uppgifter som de är konstruerade för. Det gör att de är obegripliga när de är lösryckta ur sitt sammanhang. Wiggins (1998) anser att det kan finnas en risk att man glömmer det övergripande målet och koncentrerar sig på detaljer om man väljer att arbeta med uppgiftsspecifika matriser. Freccero, m.fl. (2005) skriver att det har visat sig att elever i ett inledningsskede ofta har problem med att använda en generell matris. De tycker att beskrivningarna är för allmänna och de förstår inte innebörden av de olika kvalitets-nivåerna. De anser att elever behöver arbeta med uppgiftsspecifika matriser först och sedan successivt övergå till att använda generella matriser.
Det tar lite tid att tillverka en matris. Andrade (2000) rekommenderar att man börjar med att studera exempel på bra och mindre bra elevarbeten för att göra klart för sig vilka kriterier som kännetecknar en god prestation. Lindström (2005) poängterar att en matris bör innehålla både produkt- och processinriktade kriterier som ska motsvara det som är väsentligt i den aktuella uppgiften och alltså inte förväxlas med betygskriterier. Därefter, skriver Andrade (2000), gör man beskrivningar av olika kvalitetsnivåer för varje kriterium. Enligt Wiggins (1998) kan en sådan beskrivning även innehålla
konkreta exempel som kan indikera på vilket sätt kriterierna är uppfyllda. Han anser att det är viktigt att man undviker ett komparativt språk för att skilja de olika
kvalitetsnivåerna. Man ska undvika ord och uttryck som sämre eller mindre tydlig och istället verkligen sträva efter att beskriva varje nivå för sig. Enligt Andrade (2000) är det en god idé att göra detta arbete i samråd med sina elever. Det är nyttigt för dem att diskutera vad god kvalitet innebär, de kommer att lära sig mycket under tiden och de kan hjälpa till att formulera kvalitetsnivåerna på ett för dem begripligt sätt. Det är sedan nödvändigt, anser Wiggins (1998), att komplettera matriserna med bedömda elevarbeten
för att försäkra sig om att olika personer tolkar texten i matrisen på likartat sätt. Sadler (1989) poängterar också att det behövs både beskrivningar av kriterier och typexempel. Han skriver:
Two approaches to specifying standards are through descriptive statements and exemplars. While neither of these is sufficient in itself, a combination of verbal descriptions and associated exemplars provides a practical and efficient means of externalizing a reference level (Sadler, 1989, s. 127).
Sadler anser att man ska ge elever typexempel som visar vad som skiljer hög kvalitet från låg. Man ska dessutom välja elevarbeten som visar att god kvalitet kan komma till uttryck på olika sätt för att uppmuntra elever att göra sina egna tolkningar av
uppgifterna.
Wohlin (2004) skriver att en bra matris visar på de misstag som elever ofta gör och vägleder dem i deras förbättringsarbete. Den synliggör och förtydligar lärarens
förväntningar och krav och ökar förståelsen för vad det är som betygsätts och vad det är som kännetecknar ett bra arbete. Andrade (2000) menar att lärare ofta förutsätter att elever vet hur ett bra arbete ser ut, vilket långt ifrån alltid är fallet. Wiggins (1998) betonar dock att matrisen inte ska fungera som ett recept som det är meningen att man ska följa. Den ska hjälpa till att synliggöra kvaliteter men inte dämpa kreativitet, fantasifullhet och nytänkande. Arter och McTigh (2001) anser att det är viktigt att eleverna har tillgång till matrisen redan när de får uppgiften. Då behöver de inte gissa vad som är viktigt eller hur deras prestationer kommer att bedömas. Morrell-Ackley (1999) skriver:
…rubrics or scoring guides remove much of the guesswork in completing a learning activity (from the student´s viewpoint) and remove much of the guesswork in grading a student´s product (from the teacher´s viewpoint) (Morrell-Ackley, 1999, s. 2).
Matrisen hjälper till att förtydliga uppgiften. Andrade ( 2000) anser att en bra matris fungerar som ett pedagogiskt hjälpmedel som suddar ut skillnaden mellan undervisning och bedömning. Den ger informativ feedback om elevernas styrkor och svagheter och stödjer på så sätt lärandet.
Tydliga kriterier, menar Wohlin (2004), gör att elever kan bedöma både egna och andras arbeten. Det gör att bedömningen inte upplevs som något hemligt, mystiskt och subjektivt som bara lärare kan utföra. Arter och McTigh (2001) skriver:
When we share performance criteria and scoring guides with students, we offer them the opportunity to self-assess and improve their work along the way. Through this approach to
the use of performance criteria and scoring guides, we can enhance the quality of students learning and performance, not simply evaluate it (Arter och McTigh, 2001, s. 12).
Andrade och Du (2005) har gjort en undersökning som bekräftar Wohlins åsikter. Deras elever uttrycker tydligt att de uppskattar att matriserna talar om för dem vad som förväntas istället för den ”gissningslek” som de annars upplever att det är, att försöka förstå vad läraren vill att de ska göra. Eleverna ansåg också att matriserna synliggjorde styrkor och svagheter i deras arbeten, och just att man i förväg visste vad som skulle bedömas gjorde att betygen upplevdes som rättvisa.
Morrell och Ackley (1999) beskriver hur man har arbetat med matriser i en lärar-utbildning. Lärarstudenterna har fått matriser till sina uppgifter, de har fått delta i arbetet med att ta fram matriser och de har även uppmanats att arbeta med matriser ute i sin praktik. De menar att såväl studenter som lärare är nöjda och anser att matriser är användbara bedömningsverktyg som gör studenterna mer delaktiga i verksamheten och gör betygsättningsprocessen rättvis och öppen. Lärarna anser att deras undervisning har förbättrats i och med att de har varit tvungna att tänka igenom varför de ger en viss uppgift och vad som ska bedömas.
The use of scoring guides has been a positive experience for us. It has been a win-win situation for both instructors and students (Morrell och Ackley, 1999, s. 7-8).
Jönsson och Svingby (2007a) har gjort en översikt över rapporter om användande av matriser i olika undervisningssammanhang. Även de konstaterar att huvudorsaken till att matriser tycks fungera som hjälpmedel för att förbättra elevernas lärande är, att de tydliggör lärarnas förväntningar och bedömningskriterier. De anser att även om det finns få undersökningar gjorda, så kan man dra slutsatsen att matriser kan vara
användbara för elever vid själv- och kamratbedömning. Också Kjellström (2005) anser att matriser kan vara ett bra hjälpmedel för att öva elever i att värdera och reflektera över sitt eget lärande, inte minst i ett ämne som matematik. Hon skriver att bedömning av matematiska kunskaper av tradition har gjorts nästan uteslutande med stöd av skriftliga prov där svaren har varit antingen rätt eller fel. I den nuvarande kursplanen betonas förståelse, analys av hela lösningsproceduren och kritisk granskning av resultat och förmåga att dra slutsatser. Om vi vill att eleverna ska utveckla sådana kunskaper och kompetenser måste vi också använda bedömningsmetoder som prövar detta. Såväl Kjellström som Jönsson och Svingby (2007a) poängterar dock att elever måste tränas i dessa processer och att det tar tid och kräver stöd. Jönsson och Svingby konstaterar också att även om det inte går att visa att elever lär sig bättre genom att använda matriser så upplever de själva att det är så.
2.7. Vad krävs för att det ska bli en förändring?
Att förändra en matematikundervisning innebär att det didaktiska kontraktet måste omförhandlas (Wedege och Skott, 2006). Det räcker inte att läraren plötsligt bestämmer sig för att arbeta på ett annat sätt än tidigare.
Change is a matter of teachers and students engaging differently in the activities that mutually constrain and support each other so as to constantly regenerate and further develop the practices of the classroom (Wedege och Skott, 2006, s. 45).
Det kan vara besvärligt att få eleverna med sig i en omförhandling av det didaktiska kontraktet. Därför är det oftast lättare att påbörja ett förändringsprojekt i början av ett läsår, eftersom det då blir en naturlig nystart (Black m.fl., 2003). Black, m.fl. (2003) skriver att många elever är misstänksamma till förändringar om de tror att de kan innebära mer arbete eller helt enkelt av osäkerhet eller rädsla. Black m.fl. (2002) är dock tydliga i att elever måste förändras från passiva mottagare av den kunskap som lärare erbjuder till att bli aktiva lärande som kan ta ansvar för och driva sitt eget lärande. Läraren måste dela med sig av sitt ansvar för klassens lärande till eleverna. Det innebär att allas förväntningar, det vill säga vad lärare och elever anser det innebära att vara lärare och elev, måste förändras.
Trots att flera undersökningar visar att det är stora vinster med att införa formativ bedömning i undervisningen är det svårt att få lärare att övergå till detta sätt att arbeta. Webb (2004) har i en longitudinell studie visat att även om lärare har förändrat sin undervisning i matematik så tar det lång tid innan de förändrar sitt sätt att bedöma. Han skriver:
…change in teachers´ assessment practices has more to do with change in teachers´
conceptions about how mathematics should be assessed rather than change in teachers´ conceptions of teaching and learning (Webb, 2004, s. 6).
Webb (2004) skriver att trots att lärarnas lektionsplanering visade att de hade en konstruktivistisk syn på elevers lärande så visade det sig inte i valet av provuppgifter i matematik. Proven innehåller inte uppgifter som skulle kunna uppmuntra till
resonemang, kommunikation och icke-rutinlösningar. Boesen (2006) har också visat att lärarnas egna prov till stor del fokuserar på fakta och algoritmer. Han konstaterar att även om de nationella proven kan betraktas som goda modeller, eftersom de i högre grad kräver ett kreativt resonerande, så tycks de inte ha haft någon större effekt på utvecklingen av lärarnas egna prov. Han anser att lärare behöver ytterligare stöd i att konstruera prov om det ska bli en förändring. Han skriver:
...they need support if they are to carry out the very difficult task to developing tests that at the same time can assess students´ different mathematical competences, and serve as a ground for the development of more sustainable mathematical abilities” (Boesen, 2006, s.52).
Webb (2004) anser att lärare, som fortsätter att använda konventionella provuppgifter samtidigt som de försöker implementera ett mera undersökande arbetssätt, har svårt att analysera skillnaden mellan sina personliga bedömningar av elevernas kunskaper under lektionstid och de resultat de uppvisar under traditionella prov. Han menar att om man kan få lärare att inse möjligheterna i att kunna skapa sig en uppfattning om elevernas kunskaper och färdigheter under lektionstid, så skulle de inse fördelarna med att utveckla en formativ bedömning. Han skriver:
If teachers come to recognize what their students know based on the students´ responses to tasks and questions posed during instructional activities – at least as much, or even more, than the evidence gathered from student responses to quizzes or tests – teachers´
instructional practices must be considered as opportunities for assessment (Webb, 2004, s. 7-8).
Even (2004) konstaterar att trots att lärare i större utsträckning än tidigare uppmanar elever att redovisa sina tankar och att lärare därmed får en bättre bild av både elevernas kunskaper och felföreställningar i matematik, så använder sig inte lärarna av denna vetskap formativt. Enligt Bodin (1993) fokuserar man i bedömning i matematik för mycket på de rätta svaren. Han anser att även felaktiga och uteblivna svar är värda att analysera och att man borde studera vilka procedurer eleverna använder när de försöker lösa uppgifterna.
Webb (2004) anser att om man ska få till stånd en varaktig förändring av det sätt som lärare bedömer elever så måste lärare samarbeta med varandra. Att lärare är motsträviga till att ta till sig andra bedömningsmetoder beror ofta på att det är svårt att göra
annorlunda än kollegorna. Webb skriver:
The sharing of concerns and solutions tends to “spread out the risk” that teachers undertake when attempting to engage in unfamiliar classroom practices (Webb, 2004, s.16)
Enligt Black m.fl. (2002) innebär det till en början mer arbete när lärare försöker utveckla den formativa bedömningen genom att skriva allt mer omfattande
kommentarer. Det är därför viktigt att lärare delar med sig av de sätt att kommentera som visar sig vara verksamma i elevernas förbättringsprocess.
Black m. fl. (2003) anser att det är nödvändigt att förse lärare med konkreta exempel att arbeta med i klassrummet om de ska komma igång med ett förändringsarbetet. Stedøy
(2006) har i ett forskningsprojekt kunnat visa att lärare som under många år undervisat på ett traditionellt sätt kan lära sig att undervisa på vad hon kallar ett högkvalitativt sätt. I förutsättningarna ingick att forskaren ägnade ett år åt att ta fram ett speciellt anpassat läromedel.
Syftet med formativ bedömning är att vara den feedback som dels ska ge signaler om elevens nivå på kunskaper och färdigheter och föra dem vidare, dels ska kunna användas för att förändra undervisningen. Formativ bedömning kan därför inte bara läggas in som ett nytt och ytterligare moment i en redan existerande verksamhet. Den måste redan från början ingå som en naturlig del i undervisningsplaneringen som därmed blir mer flexibel och komplex (Black, 1998). Eftersom den formativa
bedömningen är en väsentlig del av lärandet i klassrummet behövs det även djupgående förändringar av både lärarens uppfattning om sin funktion i förhållande till eleverna och av arbetssättet i klassrummet (Black m.fl., 2003). Om man väljer att se bedömning som en aktivitet vars mål är att eleverna ska producera arbeten av hög kvalitet så kommer detta synsätt att på ett naturligt sätt sudda ut gränserna mellan undervisning och bedömning (Wiggins, 1998).
Wiggins (1998) anser att målet i matematiklärarens kursplanering måste vara att först hjälpa eleverna att se att kunskap är en viktig förutsättning för deras prestationer och att till synes isolerade fakta och färdigheter kan samverka. Webb (2004) skriver att läraren måste uppmuntra till samarbete och delaktighet bland eleverna. Läraren måste skapa ett klassrumsklimat som gör att eleverna känner sig så trygga att de är villiga att delge sina kamrater sina tankeprocesser kring matematik. Om man ska kunna skapa en sådan miljö måste läraren vara lyhörd för elevernas känslor och uppmuntra och bevara trygga och produktiva relationer mellan eleverna.
Gipps (2001) menar att lärare måste diskutera kunskapsmål och kriterier med eleverna. Black (1998) skriver att om elever ska kunna bedöma sig själv måste de ha förstått både syftet med uppgiften och de kriterier som bedömningen görs efter. Målen måste skrivas så att eleverna förstår dem. Man måste också se till att de kortsiktiga målen är
realistiska för eleven. Om det är för stort avstånd mellan målet och den nivå eleven befinner sig på måste man sätta upp delmål. Eleven måste dessutom förstå skillnaden mellan sin egen nivå och målet för att kunna nå dit. Sadler (1989) urskiljer tre nödvändiga villkor som han anser bör uppfyllas samtidigt om processen ska bli lyckosam. Förutom att ha förstått målen, måste eleven också kunna jämföra sin prestation med målen och aktivt agera för att förbättra den. Sadler skriver:
...the learner has to (a) possess a concept of the standard (or goal, or reference level) being aimed for, (b) compare the actual (or current) level of performance with the standard, and (c) engage in appropriate action which leads to some closure of the gap (Sadler, 1989, s. 121).
Det tar tid för elever att förändras från att passivt ta emot till att aktivt ta ansvar för sitt lärande (Black m.fl. 2003). Det går inte av sig själv utan eleverna måste tränas i att ta kontroll över sitt lärande. Ett led i detta är att införa kamratbedömning som ett sätt att vänja eleven vid att bedöma först andras och sedan sina egna insatser. Om man ska kunna ge varandra effektiv feedback, måste man, precis som vid självvärdering, ha förstått både uppgiften och bedömningskriterierna (Black m.fl. 2003). En utveckling av en undervisning som innehåller ett större inslag av formativ bedömning och där matriser används som ett hjälpmedel i den processen leder förhoppningsvis till att elevernas självvärderingsförmåga utvecklas. Det är något som Black och Wiliam anser är nödvändigt inför framtiden. De skriver:
…the future professional will need all of the skills necessary for life-long learning, and self-evaluation must be one of these (Black och Wiliam, 1998a, s. 21).
Black m.fl. (2002) poängterar vikten av att avsätta lektionstid till att eleverna ska få omarbeta sina redovisningar. Det innebär att man verkligen betonar att feedbacken ska vara ett hjälpmedel för lärandet. Uppföljning av uppgifter ska vara en planerad del av lärandeprocessen och därmed ingå som en självklar del av klassrumsverksamheten. Att förändra ett didaktiskt kontrakt i matematik är en genomgripande process som omfattar både undervisning och bedömning. Eleverna måste uppmuntras att reflektera över sina prestationer. Ett sätt att öka elevernas förmåga till självvärdering är att låta dem arbeta med kamratbedömning. Det kräver att eleverna har förstått syftet med uppgifterna och de kriterier som de bedöms efter.
3. AKTIONSFORSKNING I UTBILDNINGSVETENSKAP
Jag har valt att genomföra min studie i mina egna undervisningsgrupper eftersom det är min undervisning och mitt sätt att bedöma som jag vill förändra. Det innebär att jag är starkt involverad i verksamheten. I detta kapitel beskriver jag den aktionsforsknings-modell som jag har valt att använda.Enligt Mattsson (2006) är praxisnära forskning en vetenskaplig tradition som omfattar både vetenskaplig kunskap och praktiskt förändringsarbete. Grundtanken är att människan påverkar sin omvärld vilket gör att även människan förändras. Praxisnära forskning är handlingsorienterad. Man vill åstadkomma en förändring. Ny kunskap uppstår genom att man genomför en förändring och reflekterar över processen och resultatet. Enligt Lorentz (2004) har man i Sverige sedan 1950-talet använt begreppet aktionsforskning för en forskning där det finns nära samband mellan den som initierar och utför ett förändringsarbete och den som analyserar effekterna av denna
förändringsprocess. Lorentz skriver att begreppet aktionsforskning kan betyda olika saker för olika personer beroende på i vilket sammanhang man verkar. Kosnik och Beck (2000) visar också att det finns meningsskiljaktigheter om den exakta betydelsen av begreppet. De använder aktionsforskning för en process som innebär att en lärare identifierar ett problem i sin verksamhet och utarbetar en förändringsplan med stöd av tidigare forskning. Läraren genomför sedan förändringen och med hjälp av
observationer och insamlande av data dokumenterar och reflekterar över resultatet samt publicerar och diskuterar det. Läraren forskar alltså på sin egen verksamhet. Enligt Nationalencyklopedin (1995) har det förts mycket diskussioner om huruvida ett så nära engagemang i planerings- och genomförandearbetet leder till att läraren/forskaren har svårt att objektivt beskriva och värdera förändringsprocessen och dess effekter. Många forskare är därför kritiska mot aktionsforskning, medan andra anser att en aktions-forskare bättre än någon annan kan se vad som händer eftersom han eller hon är väl insatt i verksamheten.
Mertens (2005) delar in den utbildningsvetenskapliga forskningen i fyra olika paradigm, det postpositivistiska, det konstruktivistiska, det transformativa och det pragmatiska. Enligt henne är ett paradigm ”a way of looking at the world” (Mertens, 2005, s. 7). Aktionsforskning ligger inom det transformativa paradigmet, som utgår från att människors bild av verkligheten formas av olika faktorer som kan vara sociala, politiska, kulturella, etiska med mera. Forskningen ska leda till en förändring som innebär någon form av “empowerment”, det vill säga stärkande av deltagarna. I det transformativa pardigmet finns ofta ett interaktivt samspel mellan forskaren och
deltagarna. Dialogen betonas, men olika kvalitativa och kvantitativa metoder kan användas.
I min studie planerar och genomför jag, utifrån tidigare forskning, förändringar av min klassrumsverksamhet och reflekterar över dem (se syfte och frågeställningar i avsnitt 1.1). Jag är lärare och forskare och arbetar på det sätt som Kosnik och Beck beskriver (Kosnik och Beck, 2000). Jag har dessutom haft stöd av en annan forskare, min
handledare, både i processen och i tolkningen av mina resultat. Det övergripande syftet är att förändra min undervisning så att mina elever uppfattar matematiken mer
meningsfull och begriplig, vilket förhoppningsvis leder till ett ökat självförtroende i matematik. Verksamheten innehåller inslag av ”empowerment”, dels för mina elever men också för min egen del, eftersom jag stärks av att tidigare forskning stödjer mina förändringstankar. Studien kan därför placeras inom det transformativa paradigmet.
3.1. En aktionsforskningmodell
Skovsmose och Borba (2000) har gjort en aktionsforskningsmodell i matematik som jag har valt att använda för att beskriva förändringsprocessen i min studie. Jag använder mina översättningar av deras begrepp i texten. Utgångsläget i det som de benämner kritisk undervisningsforskning (critical educational research) är att man konstaterar att något skulle kunna vara annorlunda. Ett sådant konstaterande bygger dels på hur något faktiskt är, dels på hur man anser att det istället skulle kunna vara. En kritisk
undervisningsforskning innebär att man studerar det som sker när man genomför förändringar i en aktuell verksamhet. Skovsmose och Borba beskriver denna förändringsprocess med hjälp av ett antal begrepp som placeras in i en triangel där triangelns hörn symboliserar tre olika situationer (Figur 1).
Figur 1. Modell som visar sambanden mellan den aktuella situationen (AS), den tänkta situationen (TS) och den förändrade situationen (FS). (Skovsmose och Borba, 2000, s. 11, min översättning).
AS – den aktuella situationen (the current situation - CS) är en beskrivning av hur undervisningen ser ut innan försöket påbörjas. TS – en tänkt situation (the imagined situation - IS) beskriver ett annorlunda mer önskvärt tillstånd än det pågående och FS – den förändrade situationen (the arranged situation - AS) beskriver hur
klassrums-situationen ser ut efter att man vidtagit förändringar. Den förändrade klassrums-situationen är annorlunda än den ursprungliga, men den har i regel inte blivit riktigt som den önskvärda, även om den tillkommit med denna som vision.
För att visa att det finns samband mellan dessa tre situationer placerar Skovsmose och Borba in begrepp på triangelns sidor (Figur 2).
Figur 2. Modell som visar sambanden mellan pedagogiska förställningar (PF), praktisk organisering (PO) och kritisk reflektion (KR) i förhållande till den aktuella situationen (AS), den tänkta situationen (TS) och den förändrade situationen (FS). (Skovsmose och Borba, 2000, s. 12, min översättning).
PF – pedagogiska föreställningar (pedagogical imagination - PI) är de åtgärder som skulle kunna leda till att en tänkt situation uppnås. PO – praktisk organisering (practical organisation - PO) är det som faktiskt sker, de åtgärder som görs och som leder fram till den nya förändrade situationen. Därefter krävs en kritisk reflektion - KR (critical reasoning - CR) kring varför den förändrade situationen inte blev riktigt så som man från början hade önskat.
Figur 3. Modell som visar att den kritiska undervisningsforskningen är en pågående process. (Skovsmose och Borba, 2000, s.19, min översättning).
Det troliga är att man har lärt sig en del under processen, vilket innebär att man nu kan utgå från en något annorlunda aktuell situation - AS2. Förmodligen har även den tänkta
processen. Det gör att de pedagogiska föreställningarna modifieras - PF2, vilket leder till att man faktiskt gör en annan pedagogisk organisation – PO2. Processen är i ständig förändring, och bilden med tre faser vill visa att pedagogiska ideal inte är statiska utan utvecklas i ett samspel mellan lärare och elever medan den kritiska undervisnings-forskningen pågår (Figur 3).
4. STUDIENS DESIGN
Min studie består av en pilotundersökning och en större undersökning. I detta kapitel beskriver jag min metod, mitt urval och de etiska överväganden som jag har gjort. I kapitel 5 beskriver jag mer ingående hur jag gick till väga i pilotundersökningen och reflekterar över resultatet. I kapitel 6 och 7 finns motsvarande beskrivning av själva undersökningen.
4.1. Pilotundersökningens design
Pilotundersökningen genomfördes våren 2007 med en grupp gymnasieelever i årskurs 1 som nästan hade läst färdigt kursen Matematik A. Gruppen bestod av 25 elever varav 16 gick samhällsvetarprogrammet och 9 idrottsprogrammet. Eleverna läste många kurser tillsammans och fungerade som en klass. De var 11 pojkar och 14 flickor. Eleverna hade arbetat dels med färdighetsträning i läroboken dels med några lite större öppnare inlämningsuppgifter till vilka de hade haft tillgång till uppgiftsspecifika bedömnings-matriser. I pilotundersökningen var det första gången eleverna arbetade med kamrat-bedömning. De fick studera och kommentera ett par kamraters redovisningar och sedan fick de möjlighet att arbeta om sina egna redovisningar med hjälp av kamraternas kommentarer.
För att få struktur på kamratbedömningen fick eleverna använda ett gensvarsprotokoll (bilaga 2). Enligt Wohlin blir bedömningarna då mer nyanserade och balanserade än om man låter eleverna kommentera fritt. De ombads att peka på otydligheter, lyfta fram styrkor och svagheter samt ge förslag till förbättringar.
För att jag skulle få en uppfattning om elevernas inställning och attityd till att arbeta med matriser och kamratbedömning fick de slutligen besvara en enkät (bilaga 3). Jag valde att skriva ett antal påståenden som eleverna bedömde enligt en Likert-skala, vilket innebär att de tar ställning till i vilken grad de instämmer eller inte instämmer i de olika påståendena (Mertens, 2005). Av undersökningar som jag hade gjort tidigare hade jag lärt mig, att mina elever är välvilligt inställda till att hjälpa till i mina projekt, men att de inte alltid läser texten så noga. Jag valde därför att skriva enbart positiva påståenden och jag hoppades, att det skulle öka sannolikheten för att eleverna visste vad de svarade. För att underlätta och tydliggöra grupperade jag påståendena under rubriker. Vid utdelandet beskrev jag Likert-skalan och tog ett par av påståendena som exempel. Jag gav
dessutom eleverna möjlighet att kommentera arbetsprocessen i slutet av enkäten och jag uppmanade dem att försöka skriva ner sådant som de hade tänkt på, undrat över, funnit oklart, uppskattat och så vidare. Jag betonade att jag verkligen ville veta och att syftet
var att förbättra min undervisning. Av erfarenheter från kursutvärderingar vet jag att elever i årskurs 1 sällan brukar skriva några övriga kommentarer. Mertens varnar för att placera viktiga frågor sist och kanske kan placeringen bidra till att utfallet ofta blir torftigt. Jag trodde att mina övriga frågor skulle omfatta det jag ville få reda på, men jag tyckte ändå att det var viktigt att eleverna gavs möjlighet att skriva ner sina synpunkter. Eleverna skrev namn på sina enkäter. Man kan fundera över om svaren skulle bli ärligare och mer rättvisande om man gör undersökningen anonymt. Även om jag kan tycka att jag var tydlig med att jag var intresserad av såväl negativa som positiva synpunkter, så finns det alltid en spänning mellan lärare och elev, om inte annat så beroende på att det är läraren som sätter elevernas betyg. Jag trordock att det kan finnas ett samband mellan hur lösningarna ser ut, det vill säga hur mycket energi eleverna har lagt ner på att försöka lösa uppgiften och deras inställning till matriser. Det fanns elever som helt uppenbart hade kopierat en kamrats lösning. Det fanns också ett par elever som hade lämnat mycket genomarbetade, tydliga och kloka redovisningar, som förmodligen inte hade haft så stor nytta av sina kamraters kommentarer i just denna uppgift. Att det finns namn på enkäterna gör också att jag, om jag finner det befogat, kan be om att få intervjua några elever.
Innan man delar ut en enkät bör man testa den i en pilotundersökning (Mertens, 2005). Jag konsulterade min handledare om påståendenas formuleringar och antal, men gjorde därutöver ingen test av frågorna. Just i denna undersökning var det inte möjligt eftersom det på min skola inte fanns några andra elever som hade arbetat på samma sätt. Min undersökning var dessutom en pilotundersökning i sig, och syftet var att jag skulle lära mig inför en eventuell undersökning om vidareutvecklingen av detta arbetssätt.
4.2. Undersökningens design
Den större undersökningen pågår under ett helt läsår. I augusti 2007 tar jag emot en ny grupp elever i åk 1 på samhällsvetarprogrammet. När terminen startar består gruppen av 28 elever men efter några veckor slutar tre av dem. Under resten av läsåret består gruppen av 25 elever; 15 flickor och 10 pojkar. Efter cirka två veckor berättar jag att jag går en utbildning, och jag frågar dem om de kan tänka sig att delta i en vetenskaplig undersökning om deras matematikundervisning. Det skulle innebära att de kommer att få besvara några enkäter och att jag kanske kommer att intervjua några av dem. Den första enkäten genomförs anonymt eftersom jag ännu inte har hunnit bygga några relationer till eleverna och jag vill att de ska kunna framföra sina tankar fritt utan rädsla för att det ska kunna påverka min bedömning av dem. Eleverna får skriva ner sina
själva (bilaga 4). De får också besvara några korta frågor om sin bakgrund och framtida studieplaner. Därefter har jag ett kort samtal med var och en om hur deras matematik-undervisning har sett ut tidigare.
Matematikundervisningen under läsåret består av traditionell färdighetsträning i lärobok varvat dels med mindre diskussionsuppgifter dels med fem lite större öppnare
inlämningsuppgifter med tillhörande matriser. Vid tre tillfällen organiserar jag kamratbedömning med hjälp av gensvarsprotokoll. Eleverna får besvara liknande enkäter som den jag använde i pilotundersökningen efter första inlämningsuppgiften, efter första kamratbedömningen och efter den sista inlämningsuppgiften (bilagor 6, 8 och 10). Jag modifierar dock frågorna så att de passar till de aktuella undersökningarna. Under läsåret har jag dessutom tre kurssamtal med varje elev då jag samtalar med dem om deras resultat men också om hur de upplever de olika arbetssätt som vi använder.
4.3. Etiska överväganden
Anledningen till att jag startade mitt förändringsprojekt var att jag var missnöjd med resultaten av min undervisning i matematik framför allt på A-kursen. Min frustration över att ungdomarna varken har blivit kunnigare eller mer intresserade av matematik under kursens gång har blivit allt starkare. Mertens (2005) skriver att man måste
överväga forskningens konsekvenser. Jag har känt att jag (och mina elever) inte har haft något att förlora på att jag genomför de förändringar som jag beskriver i kommande kapitel. Förändringar som jag faktiskt uppmuntras till att göra i olika styrdokument (Skolverket, 2000a, Skolverket 2000b) och rapporter (SOU, 2004). Jag är övertygad om att jag under ett läsår inte kan ta ifrån elever de kunskaper som de har när de kommer till gymnasiet. Mitt utgångsläge har därmed varit att situationen bara kan bli bättre. Enligt Mertens ska etiska överväganden finnas med när forskningen planeras. I mitt fall känns det som om det är etiska överväganden som har drivit fram projektet. Det har inte känts rätt att fortsätta arbeta på ett sätt som uppenbarligen inte har gett mina elever särskilt mycket stimulans.
Mertens (2005) poängterar att det måste vara frivilligt att delta i projektet. Jag berättade både för eleverna i pilotundersökningen och för eleverna i själva undersökningen om min utbildning. Jag frågade dem om de kunde tänka sig att delta i en vetenskaplig undersökning om deras matematikundervisning. Det var ingen som på något sätt protesterade. Varje gång jag har delat ut enkäter har jag påmint eleverna om mitt projekt.
