Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete 10 poäng
Matematisk problemlösning i grupp
Hur klarar elever av att använda sina matematikkunskaper när de löser problemmed vardagsinnehåll?
Mathematical problem-solving in groups
Pupil’s ability to use their mathematical knowledge to solve problems with daily life context?
Peter Persson Jannike Svensson
Lärarexamen 180 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006
Examinator: Johan Nelson Handledare: Anders Jacobsson
Sammanfattning
Syftet med vårt examensarbete är att vi vill utveckla och fördjupa våra kunskaper om elevers lärande inom problemlösning i grupp. Detta så att vi får en djupare kunskap och som förberedelse inför vår kommande yrkesroll som lärare. I skolverket (2000) står det att ett av målen att sträva emot i undervisningen i matematik i skolår 9 är att eleverna ska utveckla sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang. För att elever skall kunna utveckla tillit till den egna förmågan och en god självbild skall de få möjlighet att utveckla sin förmåga att kommunicera och interagera med omgivningen. Vår matematiska uppgift är ett så kallat ”öppet problem” där
eleverna tillsammans måste komma med förslag och kompromissa fram till en gemensam lösning. Med hjälp av videokamera har vi dokumenterat elevernas kommunikation och
interaktion för att sedan observera och analysera filmen. Studien genomfördes i en skolår 9-klass i en skånsk småstad under höstterminen 2006. Våra resultat visar att eleverna har svårt för att reflektera över antaganden och slutsatser. Vi anser att det är viktigt att lära eleverna kritiskt granska och reflektera över sina och andra elevers antaganden redan i tidig ålder. Uppfyller man dessa kriterier och dessutom får eleverna intresserade och motiverade tror vi att det arbetssättet kan vara ett bra inlärningssätt för eleverna.
Nyckelord
1. Inledning...4
2. Syfte ...5
Frågeställningar/forskningsfrågor ...5
3. Begreppsdefinitioner ...6
4. Teoretisk bakgrund...8
4.1 Elevers förmåga att verklighetsanknyta sina matematikkunskaper och göra rimliga antaganden...9
4.2 Elevers förmåga att använda korrekta matematiska begrepp...10
4.3 Hur påverkas det sociala samspelet mellan eleverna när de arbetar i grupp? ...13
4.3.1 Sociokulturell påverkan...16
5. Metod ...19
5.1 Urval och genomförande...20
6. Resultat...23
6.1 Elevers förmåga att verklighetsanknyta sina matematikkunskaper och göra rimliga antaganden...23
6.2 Elevers förmåga att använda korrekta matematiska begrepp...27
6.3 Hur påverkas det sociala samspelet mellan eleverna när de arbetar i grupp? ...30
7. Diskussion ...34
1. Inledning
I kursplanen för matematik finns det skrivit som ett mål att skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (Skolverket, 2000).
I den senaste PISA – undersökningen (Programme for International Student Assessment) som genomförts i Sverige har det visat sig att mellan år 2000 och 2003 har det skett en negativ utveckling av elevernas matematikkunskaper. Eleverna i Sverige är fortfarande bra på
rutinmässiga uppgifter där de grundläggande kunskaper ska användas. Däremot är de svenska eleverna ofta sämre på uppgifter som kräver kritiskt tänkande, analys, reflektion samt
kommunikation och argumentation (Skolverket, 2000).
Vi vill med hjälp av vårt examensarbete undersöka elevernas reflektionsförmåga och rimlighetsuppfattning när de löser ett matematiskt problem i grupp.
2. Syfte
I skolverket (2000) står det att ett av strävansmålen i skolår 9 är att eleverna ska kunna förstå, föra och använda logiska resonemang. Eleverna ska även kunna dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Vi vill med hjälp av vår undersökning se hur pass bra elever i skolår 9 kan lösa matematisk vardagsanknutna
problemuppgifter och om eleverna når upp till satta mål.
Frågeställningar/forskningsfrågor
Hur klarar elever av att använda sina matematikkunskaper i problemlösning med en vardagsanknuten kontext?
3.
Begreppsdefinitioner
Begreppsdefinitioner är en sammanfattning av vad vi menar när vi använder oss av olika begrepp i detta examensarbete. Stöd från våra tolkningar finns i den teoretiska bakgrunden.
Begrepp innebär enligt Nationalencyklopedin (2006-12-19) det abstrakta innehållet hos en språklig term till skillnad från dels termen själv, dels de objekt som termen betecknar eller appliceras på. Med begreppet stad t.ex. avses således den innebörd vi lägger i uttrycket "stad", vilket måste skiljas från såväl ordet "stad" som de geografiska orter som betecknas som städer.
Etnomatematik översätter Unenge (1994) som ”folkmatematik”. Vidare menar Unenge att etnomatematik uppstår vid olika grupperingar av människor, t.ex. yrkesgrupper, etniska grupper och annat. Boaler (1993) tar också upp detta begrepp och menar även att inom dessa grupper skapar de sina egna symboler, begrepp, koder och annat inom den vardagliga matematiken.
Grupp innebär enligt Nationalencyklopedin (2006-12-19) att individer har något gemensamt. Oftast avses individer som samverkar och har bestämda relationer till varandra t.ex. familjen, vännerna, arbetslaget, fackförening och annat. Nilsson (1993) definition på en grupp är att det ingår två eller flera människor.
Gruppdynamik avser i detta arbete det spel som finns i grupperna. Hur detta spel utspelar sig bestäms av klimatet i gruppen, om gruppen blir stark eller svag, effektiv eller ineffektiv osv. (Åhslund, 1982).
Interaktion syftar på det samspel som sker inom gruppen mellan eleverna. Interaktion innebär enligt Nationalencyklopedin (2006-12-19) en situation där grupper eller individer genom sitt handlande ömsesidigt påverkar varandra. Denna påverkan kan förmedlas via språk, gester, symboler etc.
Kommunikation avser i detta arbete främst den muntliga interaktion som sker mellan elever. Detta finner vi stöd för hos Nilsson (1993) som uttrycker att kommunikation innebär att man meddelar någonting eller delar med sig av någonting till någon annan. Nilsson (1993) menar vidare att begreppet kan definieras som den process där personer skickar budskap till varandra samt visar hur de uppfattar sig själva och budskapets innehåll.
Problemlösning avser det arbete elever utför när de löser ett matematiskt problem. Kronqvist och Malmer (1993) menar att problemlösning avser sådana uppgifter där räknesättet inte är givet.
Socialt samspel innebär i detta arbete där två eller flera personer påverkar varandra ömsesidigt genom direkt kontakt (Stensaasen 2000).
Öppen uppgift: Om en uppgift skall ses som ett problem så ska den enligt skolverket (2000) vara en öppen uppgift. Dessa uppgifter fastställer inte hur elever skall lösa dem, utan erbjuder många möjligheter och tankegångar för eleverna. Ju mer öppet ett problem är, desto bättre
4. Teoretisk bakgrund
I skolverket (2000) står det att ett av målen att sträva emot i undervisningen i matematik i skolår 9 är att eleverna ska utveckla sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang. Eleverna ska även kunna dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. I skolan skall det skapas en trygg miljö där elevers grundläggande behov, såsom en god självbild, kan tillfredsställas. Med andra ord är en av pedagogers viktigaste uppgifter att stärka och öka elevens självförtroende och självkänsla. För att elever skall kunna utveckla tillit till den egna förmågan och en god självbild skall de få möjlighet att utveckla sin förmåga att kommunicera och interagera med omgivningen. Pedagoger skall fungera som en vägledande förebild och stödja och främja alla elevers språkliga utveckling (Skolverket, 2000). I Lpo 94 under rubriken ”Mål och riktlinjer” står det bland annat att skolan ska sträva efter att varje elev lär sig att utforska och arbeta både självständigt och tillsammans med andra. Det står också att varje elev ska lära sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att:
– formulera och pröva antaganden för att lösa problem, – reflektera över erfarenheter
– kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden (Utbildningsdepartementet, 2006)
Ett matematiskt problem är en uppgift för vilken lösningsmetoden inledningsvis är oklar för elever (skolverket, 2000). För att så många elever som möjligt skall uppleva en uppgift som ett problem ska uppgiften vara öppen. Dessa uppgifter fastställer inte hur elever skall lösa dem, utan erbjuder många möjligheter och tankegångar för eleverna. För att samarbete vid problemlösning i grupp ska fungera bra krävs det att uppgiften är formulerad på ett sätt som inbjuder till samarbete. Ju mer öppet ett problem är, desto bättre kommunikation och samarbete kan ske i gruppen.
Kursplanen i matematik uttrycker en strävan att elever skall förstå och kunna lösa problem med hjälp av matematik (Skolverket, 2000). Viktigt är att eleven ska kunna tolka och värdera sina lösningar. Till exempel kan inte svaret till en uppgift vara att en elefant väger 3gram.
4.1 Elevers förmåga att verklighetsanknyta sina matematikkunskaper
och göra rimliga antaganden
I Skolverkets (2006) kursplaner för matematik står det att skolan skall ge eleverna sådana matematikkunskaper att de kan fatta välgrundade beslut i vardagslivet, ta del av det alltmer ökande informationsflödet samt följa och delta i slutprocesser i samhället. Vidare sägs att eleverna kan hämta erfarenheter från omvärlden som ger dem underlag för att utvidga sitt matematiska vetande och att undervisningen i matematik har en nära anknytning till andra ämnen.
Wistedt (1991) poängterar att många av Sveriges skolor anser att matematikundervisningen ska utgå ifrån elevernas vardagserfarenheter och uppfattningar och sträva efter att utveckla deras tänkande och kunnande. Genom undervisningen ska lärare försöka knyta an matematiken till sådant som eleverna redan kan och vet och till situationer som är välbekanta för dem. Även om eleverna kommer från olika sociala sammanhang så har de självklart rätt att få känna igen sig i skolan och få använda och vidareutveckla sitt kunnande. Skolverket (2006) poängterar att skolan har också i uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta hållbara beslut i vardagslivets många valsituationer.
Ahlberg (2000) anser att det matematiska språket är ett nytt språk för eleverna. För att de symboler och begrepp som finns inom matematiken ska få en innebörd för eleverna måste detta kopplas till deras eget språk. För att detta ska ske måste läraren föra in symbolerna och begreppen i undervisningen med varsamhet. Läraren bör även ta utgångspunkt från elevernas
erfarenhetsvärld, vilket innebär att barnens egna upplevelser och erfarenheter bildar innehållet i undervisningen. Detta medför att eleverna kommer att kunna koppla matematiken till sitt eget sätt att tänka och då ökar deras möjligheter att skapa innebörd i matematikens begrepp och symboler. Wistedt (1991) anser att matematik bäst lärs in vid användning. Detta ger eleverna möjligheten att använda sitt eget förnuft och utveckla användbara kunskaper. Wistedt tar även upp att
kunskaper som utvecklas i ett sammanhang kan vara svåra att överföra till nya situationer. För att undvika detta problem under matematiklektionerna har det visat sig att lärarna ofta lär ut
generella. Emanuelsson, Wallby, Johansson och Ryding (2000) menar att tyvärr uppfattar elever, att den kunskap de tillägnar sig i skolan, endast är användbar i skolsammanhang. Elever skapar alltså en skolkontext för sitt kunnande, vilket innebär att kunskaperna begränsas till dessa sammanhang och kopplas inte till verkligheten utanför skolan.
4.2 Elevers förmåga att använda matematiska begrepp
Emanuelsson, Johansson och Ryding (1991) anser att ett av skolans mål med
matematikundervisningen är att lära eleverna tänka logiska och att använda sitt sunda förnuft. Eleverna ska även kunna använda sina matematiska kunskaper i kombination med allt annat de behärskar. Tyvärr är det vanligt att eleverna inte alltid ser sambandet mellan ett begrepp som införts under en matematiklektion och samma begrepp utanför klassrummet. På liknande sätt kan skillnaden mellan matematik i skolan och matematik i vardagen ses.
Emanuelsson m.fl. (2000) skriver vidare att matematikundervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer. För att klara detta behövs bland annat ett språk i vilket man behärskar och förstår innebörden i de ord och begrepp som används.
Kronqvist och Malmer (1993) menar att om eleverna ska tillägna sig matematiska kunskaper i relation till deras individuella förutsättningar ska eleverna själva få undersöka, upptäcka och uppleva matematiken. Genom detta förankras de grundläggande matematiska begreppen och den matematiska processen blir medvetandegjord för eleven. Detta anser även Emanuelsson (1991) är viktigt och poängterar att läraren skall anordna situationer där det blir naturligt och viktigt för elever att genom samtal och kommunikation reflektera över matematiken. Genom detta menar Emanuelsson att eleverna ska få tid att formulera sina egna tankar i ord och ta del av andras tillvägagångssätt än deras egna. Detta ger eleverna tid till att reflektera sina egna och andras idéer och därmed utvecklas deras förmåga att värdera de resultat de kommer fram till inom
matematiken. Kronqvist och Malmer (1993) menar också att elevernas matematiska kunskaper och deras förståelse att definiera olika begrepp utvecklas då elever får möjlighet att formulera sina tankar i ord genom det matematiska språket.
Riesbeck (2000) hävdar att när eleverna använder sig av ett språk i vardagen utvecklar de sina vardagsbegrepp. Det händer ofta att eleverna använder sig av uttryck från den vardagliga världen, då de diskuterar matematiska uppgifter. Detta kan ge svårigheter då eleverna försöker förstå de matematiska begreppen. På matematiklektionerna bör eleverna lära sig att använda ett korrekt matematiskt språk och matematiska begrepp. Därför menar Riesbeck att det är lärarens uppgift att få eleverna att lära sig hur det matematiska språket knyter an till omvärlden, liksom villkoren för hur man går mellan de olika språkvärldarna. Emanuelsson (2000) tar också upp att eleverna behöver hjälp att tydliggöra det matematiska perspektivet och skilja detta från det vardagliga. Genom att vissa elever enbart rör sig inom ett vardagligt sammanhang missas de matematiska poängerna och därmed matematikinlärning. Ett strävansmål som lärare är att ge eleverna möjlighet att berika sitt matematiska vetande och vidga sitt begreppsförråd (Emanuelsson m.fl. 1991). Enligt Riesbeck (2000) måste matematiska begrepp läras in. Detta för att
begreppsinlärning möjliggör vidare inlärning för eleverna och binder samman olika kunskaper. Genom att kunna behärska de matematiska begreppen blir det lättare för eleverna att
kommunicera och förstå det matematiska språket.
I vardagliga situationer anser Kronqvist och Malmer (1993) att det ganska ofta händer att det behövs utföras mätning av något slag t.ex. volym, längd och bredd. För att utföra dessa mätningar krävs det mätredskap och kunskap om måttenheter. Tyvärr har det visat sig att ett stort antal elever har en mycket vag uppfattning om till och med så vanliga enheter som meter, liter och kilogram. Orsaken till detta menar Kronqvist och Malmer beror på t.ex. att när vi handlar väljer vi bland färdiga förpackningar, utan att uppmärksamma innehållets vikt och volym. Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) menar att om eleverna ska uppnå en god matematisk kunskap krävs det att eleverna behärskar och har goda insikter i centrala begrepp såsom längd, area, volym osv.
När ett nytt begrepp ska introduceras på matematiklektionerna är det enligt Emanuelsson m.fl. (1991) betydelsefullt att starta i en situation med öppna och konkret laborativa frågor som leder eleven in i begreppen. Emanuelsson m.fl. (1991) anser också att det är viktigt att eleverna får en djupare förståelse för begreppen och att det inte bara blir en ordkunskap där eleverna inte vet när
och hur det ska användas. Skemp (1976) skiljer mellan instrumental- och relational förståelse. Instrumental förståelse innebär att eleven lär sig och använder matematiska regler och formler utan att verkligen förstå dem. Med relational förståelse vet eleven både hur man löser ett matematiskt problem och har förståelse för varför man löser det på detta sätt.
Kronqvist och Malmer (1993) anser att vid undervisning av begreppen volym och area är det viktigt att utgå ifrån elevernas erfarenheter och göra en konkret framställning av begreppen, så att eleverna kan vidareutveckla sina matematiska begrepp. Det är även viktigt som lärare att så ofta som möjligt använda begreppen i undervisningen och vid kommunikationen mellan elever och lärare och elever. På så sätt fästs elevernas uppmärksamhet på begreppen. I Emanuelsson m.fl. (2000) tas det upp att det är viktigt att de matematiska begreppen sätts in i olika kontexter. Annars finns det risk att eleverna enbart kan koppla de geometriska formerna till detta specifika material och inte till andra föremål med samma form. Detta medför att eleverna inte kan
generalisera sin kunskap till andra situationer. För att barn ska få förståelse för geometriska begrepp kan läraren utnyttja de stora möjligheter som finns för barnen att upptäcka former i sin närmaste omgivning t ex fönster, dörrar och annat. Detta visar för eleverna att matematik inte bara finns i skolan utan att det finns med i många olika sammanhang och att den är ett viktigt redskap för att hantera många olika situationer i verkligheten. Kronqvist och Malmer (1993) poängterar även att det är viktigt som lärare att tillämpa ett mer undersökande arbetssätt på lektionerna så att eleverna får arbeta praktiskt i undervisningen istället för att gå slaviskt efter boken. Detta ger eleverna en möjlighet att använda sina ögon och arbeta med sina händer och det ger eleverna en ökad förståelse för de matematiska begreppen (Emanuelsson m.fl., 2000).
Unenge m.fl. (1994) skriver att många elever har svårt för begreppet area och att de har svårt att hålla isär area från omkrets. Problemet med begreppet area kan bero på att ordet area praktiskt taget bara förekommer på matematiklektionerna i skolan. Det finns inte i vardagsspråket och det finns inte i andra skolämnen. För att betona den begreppsmässiga skillnaden mellan area och omkrets bör man på ett enkelt sätt göra klart att area är ett mått på storleken av ett område och att omkretsen är ett mått på längden runt omkring området.
4.3 Hur påverkas det sociala samspelet mellan eleverna när de arbetar
i grupp?
Nilsson (1993) skriver att en stor del av vårt liv på arbetet, i hemmet och på fritiden kretsar kring delaktighet i mindre grupper. Individen har under alla tider befunnit sig i grupper, lekt i grupper, umgåtts i grupper, arbetat i grupper och gått igenom livets olika faser i grupper, oftast
tillsammans med andra som har olikartade erfarenheter, mål, värderingar och åsikter. Besluten som sker inom dessa grupper inverkar på vår vardag och dessa bestämmer saker som vi vill eller som vi tvingas rätta oss efter. Grupperna som individer ingår i under sitt liv är ett måste för att samhället ska fungera. Relationerna inom grupperna är viktiga för en individs välbefinnande och hälsa. Ju bättre grupperna fungerar, desto bättre kvalitet i våra liv. Nilsson (2005) tar även upp att de individer som är oerfarna att samarbeta i grupp, har oftast dålig självbild på grund av att de har haft för få tillfällen att jämföra sig själv med andra. Detta skapar en brist på tillhörighet och lojalitet mot andra och därigenom dålig social kompetens.
Nilsson (2005) menar att den sociala kontrollen utövas i de små grupperna, och det är där socialisationen sker, vilket innebär att individerna ska lära sig anpassa sig efter andra och inte själv ta för stort utrymme. Det är i grupperna som individen utvecklar sina värderingar, sociala färdigheter och förhållningssätt. Genom att få en bättre förståelse för hur grupper fungerar blir det lättare att förbättra anpassningen till skolan och samhället och för att effektivisera lärandet. Nilsson (1993) definierar grupp som en samling av två eller flera människor. Är en grupp alldeles för liten kan det bli problem med att medlemmarna tillsammans inte har tillräckliga kunskaper och resurser för att lösa problem i gruppen. Är gruppen för stor är risken att inte alla kommer till tals. Individerna i gruppen påverkar varandra genom samspel i olika former. När detta sker utvecklas en struktur i gruppen, där det uppstår mer eller mindre definierade roller, normer och relationer mellan gruppens medlemmar. Rollerna är det förväntade beteendet, och normerna är det som reglerar beteendet. Samspelet inom gruppen skulle bli kaotiskt om det inte fanns en rollstruktur i gruppen. Vem som får vilken roll i gruppen bestäms av gruppmedlemmarnas erfarenheter, vilja och läggning (Arfwedson, 1992). Emanuelsson (1991) menar att när eleverna placeras i nya konstellationer och sammanhang, utvecklas positiva eller negativa relationer. Eleverna beter sig annorlunda i olika grupper, några blir mer aktiva och andra mer passiva. Vilka
som blir aktiva respektive passiva bestäms dels av individuella faktorer, dels av interaktionen mellan olika gruppmedlemmars individuella egenskaper (Arfwedson, 1992). Därför är
gruppindelningen av stor betydelse för gruppernas arbetsresultat, där elevernas sociala färdigheter och deras personlighet styr hur gruppmedlemmarna hanterar konflikter, hur de stöder och
uppmuntrar varandra vilket påverkar problemlösningsprocessen (Emanuelsson, 1991). Ahlberg (1991) tar också upp att när grupparbeten ska användas i skolan är det viktigt att grupperna är heterogena, det vill säga hög- och lågpresterande elever arbetar tillsammans. Naturliga ledare bör fördelas i olika grupper och det bör vara en jämn fördelning mellan könen i grupperna. Dock kan det vara lämpligt att låta grupperna vara homogena ibland eftersom
lågpresterande elever kan ha svårt att inta ledarrollen när de arbetar med högpresterande elever. Det samma gäller för högpresterande elever att de inte blir tillräckligt utmanade när de arbetar tillsammans med lågpresterande elever. Det är även viktigt som Stensaasen (2000) har visat i tidigare forskning att det finns mycket att vinna på att basera arbete i grupp på ett öppet samspel mellan människor i skolan t.ex. mellan elev och elev samt mellan lärare och elev. Genom att det finns öppenhet i gruppen blir målen tydliga och detta bidrar till att gruppen kan förverkliga sina mål. Med öppenhet menar Stensaasen en villighet att lämna ifrån sig information om material som är relevant för gruppen och för gruppens utveckling. Det kan vara t ex idéer, kunskaper, frågor som gruppen behöver för att kunna förstå varandra och för att föra diskussionen framåt. Men det är lika viktigt att ta emot, att lyssna på andra. Genom att dela sin kunskap med andra gruppmedlemmar öka tilltron för varandra, och viljan att ta ansvar och fatta beslut inom gruppen (Åhslund, 1982).
I Webbs (1989) studier drar hon slutsatsen att när eleverna arbetar i smågrupper lär de sig mer än de gör vid enskilt arbete. Även Emanuelsson (1991) anser detta och menar att när eleverna får tillfälle att ” tala matematik” och förklara för varandra hur de resonerar sker det en delning av deras kunskap. När denna kunskap delas och diskuteras med andra elever blir den mer tydlig- och medvetandegjord. Genom att ge eleverna tillfälle att samarbeta och kommunicera med andra elever, anser Arfwedson (1992) att detta gör att eleverna utvecklar sitt tänkande, får en förståelse för matematiska samband samt förstår hur sina kunskaper skall användas inom matematiken. Vidare anser Arfwedson att inlärning av matematiska begrepp och färdigheter sker bäst i en
dynamisk process, där eleverna är delaktiga och engagerar sig. Gruppdynamik är det samspel mellan olika viljor och krafter som finns i gruppen. Grupparbete kan ses som en resurs där eleverna får jämföra och lägga samman sina kunskaper, idéer, färdigheter, tolkningar och bedömningar. Eleverna får komplettera och bygga vidare på varandras bidrag till gruppen.
Grupparbete är även en viktig arbetsform där eleverna får en samarbetsträning och en förmåga att ge och ta argument. Liksom att bedöma och resonera kritiskt, men också en allmän social träning som de kan få nytta av även utanför skolan (Arfwedson, 1992).
En bidragande orsak som kan påverka gruppens möjligheter att arbeta produktivt är gruppmedlemmarnas sociala status, som uppfattas av de andra i gruppen. Även hur
gruppmedlemmarna tar sig an ledarrollen och hur kommunikationen organiseras inom gruppen, mellan gruppen och omvärlden (Arfwedson, 1992). I många grupper är det alltid någon medlem som ganska klart tar ledningen. Man brukar ofta tala om ledarrollen, som är den mest
betydelsefulla i en grupp. Nedanstående funktioner menar Arfwedson (1992) är de viktigaste för ledaren.
1) Att ta initiativ: sätta igång gruppen, komma med nya förslag och idéer, hjälpa gruppen ur låsta
2) Att reglera: hålla gruppen till ämnet, fördela och avgränsa uppgifterna, reglera arbetstempo, sammanfatta osv.
3) Att informera: ge upplysningar som gruppen behöver för arbetet.
4) Att understödja: ge stöd åt idéer och förslag, medla i tvister, jämka samman skilda synpunkter, stärka gruppkänslan.
5) Att utvärdera: undersöka om enighet föreligger, om förslag är praktiskt möjliga, om gruppens arbetsmetod är funktionell osv.
Stensaasen (2000) menar att i samspel med andra individer utvecklas olika typer av mänskliga förhållanden. En del är t.ex. vänner, medan andra inte tål varandra. Kommunikationen är stel och formell i en del relationer, öppen och trivsam i andra. Vissa arbetar på ett harmoniskt sätt, medan andra dominerar över andra. Vidare menar Stensaasen (2000) att förutsättning för att samspel ska fungera bra är att deltagarna i samspelsprocessen har sociala färdigheter. Personer med bristande
sociala färdigheter har vanligtvis svårt att ge positiva bidrag till gruppen, och de blir oftare än andra utsatta för social exkludering. I en grupp kan exkludering bestå i att några av eleverna är tysta och blyga och inte vill delta i det andra gör, och riskerar att ignoreras. Det kan även vara avvikande beteende t.ex. aggression, bråkighet och att människor är bestämmande och
dominerande som upplevs obehagligt och kan många gånger leda till social avvisning. Motsatsen till exkludering är inkludering som betyder att en person blir accepterad och får tillfälle att aktivt delta i positivt samspel. I en grupp kan inkludering bestå i att eleverna har samarbetsvilja,
hjälpsamhet och vänlighet. Därför blir dessa elevers beteende positivt värderat i gruppen. Elever behöver utsättas för olika sociala situationer där det ställs varierande krav på den sociala kompetensen som finns i grupper, som t.ex. att vinna tillhörighet i en grupp, att handskas med en konfliktsituation, att visa omsorg, att bevara ett vänskapsförhållande, att hävda egna rättigheter och åsikter. Genom att som människa inneha en god social kompetens ger detta en stor möjlighet att komma in i grupper. Detta kan leda till social inkludering som även ger möjligheter för vidareutveckling av de sociala färdigheterna. Att som människa ha en god social kompetens ger även fördel att de kan läsa av den sociala situationen bättre än andra människor och kan därmed anpassa sitt beteende till situationen. Detta ger eleverna en möjlighet att utveckla sina sociala färdigheter och förbereda sig för det dagliga livet, som kännetecknas av socialt samspel i många olika situationer både hemma och borta. De får det även lättare att bli inkluderande bland andra individer (Stensaasen 2000).
4.3.1 Sociokulturell påverkan
Skolan och utbildning har en viktig del då elever ska lära sig något nytt, men lärandet är inte bara begränsat till dessa miljöer. Utan många utav de grundläggande kunskaper och färdigheter
människan behöver, förvärvas fortfarande i andra sammanhang som inte har som primärt syfte att förmedla kunskaper. Det kan alltså vara när vi samtalar vid middagsbordet, diskussion på caféet, umgås med vänner och familj och vid andra tillfällen då det sker interaktion mellan människor Säljö (2000). Kunskap och erfarenhet som människan förvärvar vid interaktion med andra individer ska tas till vara på och används i framtida sammanhang. Därför menar Säljö (2000) att
det är viktigt att skapa kommunikativa situationer för eleverna för att inte förlora de kunskaper de redan har utvecklat.
Säljö (2000) framhåller att i alla processer där lärande är involverat är kommunikation och interaktion mellan människor avgörande för individens utveckling. Det är genom kommunikation som sociokulturella resurser skapas, men det är också genom kommunikationen som den förs vidare. Ett sociokulturellt perspektiv menar Säljö (2000) handlar om hur människor tillägnar sig och formas av deltagande i kulturella aktiviteter och hur de använder sig av redskap som kulturen tillhandahåller. Säljö (2000) utgår från det sociokulturella perspektivet när han analyserar
utveckling och lärande av kunskaper och färdigheter. En av utgångspunkterna för det sociokulturella perspektivet på lärande och mänskligt tänkande är hur individer och grupper tillägnar sig och utnyttjar fysiska och kognitiva resurser t.ex. det matematiska språket. Dessa resurser är ett verktyg inom det sociokulturella perspektivet och har en speciell betydelse för att eleven ska kunna förstå och agera i vardagen. Eftersom människan är en biologisk varelse så är de fysiska och mentala resurser mer eller mindre givna av naturen och bestämda av den art vi tillhör. Genom detta uppstår det begränsningar för människan. Dessa begränsningar kommer vi runt genom att utveckla och använda fysiska redskap. Dessa fysiska redskap eller artefakter som t.ex. verktyg, instrument för mätning och annat som underlättar för oss, tillsammans med de idéer, värderingar, kunskaper och andra resurser som förvärvas genom interaktion med andra individer och med omvärlden kallar Säljö (2000) för kultur.
Emanuelsson m.fl. (2000) hävdar att barn för med sig sin egen matematik till skolan, den matematik som de utvecklar i sin egen socio-kulturella omgivning. Denna matematik kallar författarna för etnomatematik. Etnomatematiken förser individen med en mängd intuition och informella metoder för att kunna handskas med fenomen i matematik. Författarna menar att man inte behöver gå utanför skolan för att se att sociala och kulturella förhållanden påverkar
matematikutbildningen. Det samspel som äger rum mellan elever och mellan elever och lärare samt de värderingar och förväntningar som uppmuntras i skolan, formar inte bara vilken matematik som lärs in, utan också hur den lärs in och hur den förstås. Det betyder att de sociokulturella villkor som bygger upp en individs verklighet spelar en betydelsefull roll för individens möjligheter till framgång i matematik, både i och utanför skolan.
Redskapen som människan har skapat och har tillgång till har förändrat möjligheterna hur människan uppfattar världen. Säljö (2000) målar upp en illustration av hur ett praktiskt redskap integreras med mänskliga funktioner. Exemplet börjar med en vanlig rak käpp, som inte har några intressanta kommunikativa funktioner och som uppfattas som ett dött föremål. Men när en synskadad människa använder käppen som ett redskap för att flytta sig, får käppen en helt annan innebörd. Då blir käppen ett hjälpmedel för att orientera sig i och integrera med omgivningen. Den synskadade har nytta av denna käpp p.g.a. att denna person kan avläsa med hjälp av känsel och ljud markens underlag, föremål och annat. Med detta menar Säljö (2000) att en tänkande individ i kombination med ett dött redskap ger ett effektivt redskap som kan användas för att avläsa omgivningen. Säljö (2000) utrycker det som att i ett sociokulturellt perspektiv är det följaktligen grundläggande att fysiska, liksom språkliga redskap medierar verkligheten för människor i konkreta aktiviteter. Men mediering sker inte enbart med hjälp av teknik och
5. Metod
I denna studie görs en observation på hur elever i grupp ska lösa ett matematiskt problem (se bilaga 1). Undersökningen är empirisk vilket kännetecknas av att våra kunskaper grundas på observationer av verkligheten. Empirisk baserad kunskap är alltså den kunskap man får genom att skaffa sig erfarenheter genom observationer av omvärlden, i vårt fall de fyra eleverna som
tillsammans löser ett matematiskt problem (Patel, Runar och Davidson, Bo, 2003)
Vår matematiska uppgift är ett så kallat ”öppet problem” där eleverna tillsammans måste komma med förslag och kompromissa fram till en gemensam lösning. Med hjälp av videokamera kan man med en observerande metod dokumentera elevernas kommunikation och interaktion för att sedan analysera. Einarsson och Hammar Chiriac (2002) tar upp att observation innebär att man gör en iakttagelse. Dessa iakttagelser görs på fenomen i naturen eller i samhället. Observation är en lämplig metod för att få information inom områden som berör beteenden och skeenden i naturliga förhållanden samt inom laborativa situationer och vid studier av grupprelationer. Vidare menar Einarsson och Hammar Chiriac (2002) att fördelarna med att använda observation vid datainsamling, är att observation är oberoende av undersökningspersonernas förmåga att delge information. Metoden kräver inte att gruppen aktivt delger information som vid exempelvis intervju där det sker ett samtal mellan intervjuaren och deltagare. Vid observation delger istället gruppen information genom sitt handlande. Man kan alltså med hjälp av observation studera grupper som annars kan vara svåra att studera, exempelvis barn eller grupper som inte kan ge egna verbala förklarningar till sitt beteende. Andra fördelar med att videofilma anser Patel och Davidsson (2003) är att man kan registrera pauser, tystnader och personers kroppsspråk som kan kunnas användas i vår analys. En nackdel med observation är att det är svårt att veta om
beteenden som observeras är representativa. I detta arbete användes strukturerad observation för att samla in underlag till undersökningen. En strukturerad observation har en hög grad av
struktur, vilket innebär att den används när det är givet vilka specifika situationer och beteenden som skall ingå i observationen (Patel och Davidsson, 2003).
5.1 Urval och genomförande
Studien genomfördes i en årskurs 9-klass på en högstadieskola i en skånsk småstad under höstterminen 2006. Denna skola valdes för att en av författarna har haft praktik där under lärarutbildningen. Eleverna informerades om undersökningens syfte och mål. Vi berättade alltså vilka vi var, vad undersökningen gick ut på och vad elevernas del i studien innebar. Det framkom även att deras medverkan var frivillig och att de inspelade materialet aldrig kommer att användas för något annat syfte än för just denna undersökning. Eftersom deltagandet är frivilligt
motiverades eleverna att medverka i studien genom att författarna berättade hur viktigt deras bidrag är för att undersökningen ska ge ett rättvisande resultat.
Nilsson (1993) definierar grupp som en samling av två eller flera människor. Är en grupp alldeles för liten kan det bli problem med att medlemmarna tillsammans inte har tillräckliga kunskaper och resurser för att lösa problem i gruppen. Är gruppen för stor är risken att inte alla kommer till tals. Med detta i tankarna valde vi att genomföra vår studie med fyra elever i varje grupp. Genom diskussion med vår handledare bestämde vi gemensamt att tre grupper skulle vara tillräckligt för att vi skulle få ett bra underlag till vår studie. För att videofilma elever under 18 år krävs
målsmans underskrift. Därför gavs en lapp (se bilaga 2) till eleverna så att vi fick tillstånd från deras föräldrar så eleverna kunde videofilmas. Denna lapp har godkänts både av ansvarige lärare i det aktuella lärarlaget och av rektorn på aktuell skola. Dessa lappar var inte så lätta att få
underskrivna av olika skäl, så därför blev elevurvalet de tolv första elever som lämnat in lappen. Tyvärr kom kanske inte dessa tolv att vara representativa för alla elever i klassen, Skåne eller Sverige. Utan dessa elever är troligtvis de som är duktiga inom matematik och/eller har ett bra självförtroende. Gruppindelningen skedde slumpmässigt och ingen hänsyn av betyg togs. För att värna om den enskilda elevens integritet lämnas det inspelade materialet inte ut till någon utomstående. Det ska inte kunna vara möjligt att identifiera en enskild individ när resultatet av examensarbetet presenteras.
En pilotstudie gjordes på ett par utomstående personer för att det skulle finnas en möjlighet för oss att korrigera eventuella misstag som det matematiska problemet kunde innehålla (Einarsson, 2002). En provfilmning gjordes även några dagar innan den skarpa filmningen på de aktuella
eleverna för att testa så att all teknik fungerade. Denna provfilmning gjordes också för att
eleverna ska kameratränas och för att de inte ska tycka att det är lika konstigt med situationen och videokameran när den skarpa filmen spelas in. Under provfilmningen informerades eleverna hur den skarpa filmningen skulle genomföras. Detta för att minimera oklarheter till den skarpa inspelningen.
Undersökningen genomfördes i ett avskilt grupprum. Eleverna placerades i en halvcirkel vid ett bord. Under hela inspelningen befann författarna sig i rummet och filmade hela händelseförloppet från att eleverna fick ut uppgiften tills de ansåg sig klara. Som hjälpmedel hade eleverna penna och papper. Eleverna fick inga tidsramar utan fick sitta tills de kände sig klara med uppgiften. För att redovisa vårt resultat har vi transkriberat excerpt från videoupptagningen. Dessa excerpt är indelade under tre huvudrubriker. Med hjälp av excerpten belyses i resultatdelen elevernas rimlighetstänkande, matematiska språk och sociala samspel. I diskussionsdelen sammanställs resultaten från de tre rubrikerna. För att examensarbetet skall vara lätt att följa finns en tabell över observationseleverna (tabell 1). Elevernas riktiga namn döptes om till fingerade namn för att eleverna ska hållas anonyma. I tabell 1 kan man även utläsa elevens kön och nuvarande betyg i matematik. Betygen är medtagna som jämförelseunderlag i resultat- och diskussionsdelen. Viktigt att påpeka är att tio av de tolv eleverna som deltagit i studien har höga betyg i matematik, det vill säga att deras lärare anser att deras matematikkunskaper är goda eller mycket goda.
Tabell 1: Observationseleverna
Grupp Elev Betyg Kön
1 Anna MVG Flicka 1 Björn VG Pojke 1 Charlotte MVG Flicka 1 David MVG Pojke 2 Emma VG Flicka 2 Frida MVG Flicka 2 Gun G Flicka 2 Hanna MVG Flicka 3 Ivan G Pojke 3 Johanna VG Flicka 3 Kalle VG Pojke 3 Lasse MVG Pojke
6. Resultat
6.1 Elevers förmåga att verklighetsanknyta sina matematikkunskaper
och göra rimliga antaganden
Vid en analys av elevernas problemlösning i grupp blir det tydligare att en majoritet av eleverna har svårt att reflektera över antaganden och slutsatser. Det vill säga att eleverna sällan reflekterar över om ett påstående är rimligt eller ej. Ett exempel är Hanna som gör ett antagande att ett badkar rymmer 1800 liter. Ingen i gruppen reflekterar eller ifrågasätter det talet även om Hanna flera gånger säger att hon är mycket osäker på sitt antagande. I en av grupperna finns två
antaganden om badkarets volym men ingen bedömning görs vilket mått som är mest rimligt. Två av eleverna föreslår samma alternativ vilket medför att gruppen använder sig av deras antagande. Emellertid finns undantag då en av grupperna har en ingående diskussion om badkarets volym och reflekterar till verkligheten och sina badkar hemma. I excerpt 1 blir detta tydligt då grupperna diskuterar badkarets höjd.
Excerpt 1 (Längd: 54s)
Grupp 1 har uppskattat badkarets längd och ska nu uppskatta badkarets höjd
1 Björn Sen hur högt är det?
2 [tystnad i gruppen]
3 Anna Det kan inte vara så jättehögt 4 Björn
Vi har hemma ett skitstort,
men alla har inte en sån.
5 [Alla skrattar]
6 Björn Skryt här
7 [Alla skrattar]
8 David
Hm, men hur högt kan det vara? Man behöver ju inte hoppa i det.
9 Björn Nää
10 David 30? 40? 50?
11 Charlotte 30 är ju bara så här högt [Visar med händerna]
12 [Alla skrattar]
14 Björn Är det inte upp hit?
[Reser sig upp och visar med ena handen vid höften]
15 Charlotte En halv meter
16 Anna Va? Om man står upp [Tittar på Charlotte] 17 Björn Om man står upp
[Sänker sin hand till strax under höften]
18 Charlotte
Det beror ju på vad man har för badkar
19 [Alla skrattar]
20 Anna Det är väl inte så högt 21 David Det är väl lite ovan för knäna
22 [Alla skrattar]
23 David Ja! Vi säger bara något, första bästa
24 Anna 73
25 Charlotte Ja, 70 [Skrattar]
26 Anna Det är jättehögt 27 Björn Nej det blir bra 28 David
[Skriver ner höjd 70 cm på kladdpappret]
Björn inleder gruppens diskussion genom att ställa en öppen frågeställning (1). Efter en stunds fundering försök flera av eleverna i gruppen relatera badkarets höjd till sina egen
vardagsuppfattning (3-9). David skyndar på genom att ge förslag till olika höjder från 30-50cm (10). Charlotte ifrågasätter om inte 30 cm är för lågt genom att visa måttet med händerna (11). Det är tydligt att eleverna flera gånger använder kroppsmått för att få en realistisk jämförelse. Ett annat exempel på detta är då Björn stående visar med handen hur högt upp på benen ett badkar sträcker sig (14). Charlotte knyter till verkligheten när hon kommenterar att höjden beror på vilket badkar man använder sig av (18). David avbryter diskussionen genom att säga ”första bästa” (23). Anna och Charlotte bestämmer att 70 cm verkar rimligt och gruppen verkar nöjd (24-25).
I excerpt två är en annan grupp engagerade i samma uppgift. Excerptet utgör ett exempel på att inte alla elever har en lika ingående diskussion om rimligheten om badkarets volym.
Excerpt 2 (Längd 48s)
Grupp 2 ska nu uppskatta ett badkars storlek
29 Hanna
Hur många liter är det i ett badkar ungefär?
1800? Ah jag vet inte
30
[Tystnad 12s med inslag av nervösa skratt] 31 Frida Har vi inte haft det? Nä det har vi inte
32 Frida
Kan man inte räkna ut det med halvcirklar
också?
33 [….]
34 Emma Vad sa vi att ett badkar rymmer ungefär?
35 Gun Du sa nått innan? [Tittar på Hanna]
36 Hanna 1800 kanske
[Fryner på näsan och skriver
ner 1800 på pappret]
37 Emma Jag vet inte
38 Hanna Jag vet inte heller, jag gissar
39 Emma Jaja
Hanna frågar gruppen hur många liter ett badkar rymmer (29). Hon besvarar själv sin fråga med 1800 liter men hon säger även högt att hon är osäker. En tystnad infaller där eleverna väntar på att någon ska hitta en infallsvinkel (30). Frida bryter tystnaden men bidrar inget till gruppen (31-32). Hanna återkommer med sitt förslag men ingen ifrågasätter eller kommer med motförslag. I excerpt 3 diskuterar ytterligare en grupp badkarets volym. Denna diskussion är ett exempel på hur eleverna gör ett antagande om badkarets längd utan att diskutera om detta är rimligt.
Excerpt 3 (Längd 41s)
Grupp 3 har precis tittat på uppgiften och börjar fundera på hur man kan tänka sig att gå till väga och vart de ska börja
40 Johanna Okej
41 [Alla skrattar]
42 Kalle
Ungefär hur stort är ett
badkar?
43 [Tystnad 10s]
44 Kalle
[Tar fram ett kladdpapper] 45 Lasse Jag vet inte
46 Ivan Typ 1,60 det är typ 1,60
47 Kalle Nää
48 Johanna Det är längre måste det va? 49 Kalle Det är längre 50 Johanna
Kan det inte vara 1,80
kanske?
51 Kalle Jo, 1,80 nått sånt är det
52 Ivan Så långt? Ja, Okej [Han ser skeptiskt ut]
53 Lasse Ta det
Kalle ställer frågan hur stort ett badkar är till gruppen (42). Ivan är den första i gruppen som vågar sig på ett antagande (46). Kalle och Johanna protesterar och menar på att ett badkar måste vara längre än Ivans antagande (47-49). Johanna säger ett nytt antagande 20 cm längre än Ivans (50). Johanna får medhåll från Kalle (51). Ivan ser skeptisk ut men ger sig inte in en diskussion mot Kalle och Johanna (52). Lasse avslutar diskussionen (53).
6.2 Elevers förmåga att använda korrekta matematiska begrepp
Då Björn och David skulle räkna ut hur många golfbollar det får plats på bottenytan av ett badkar visar de stor osäkerhet för de matematiska begreppen. Exempel på detta är då de försöker dela en area med en längd (7500/4). Anna korrigerar Björn och David och förklarar för dem att de måste räkna ut arean på bollarna först. Gruppen tar till sig Annas förklaring utan att ifrågasätta. I en annan grupp har de inte klart för sig hur man beräknar volymen på ett klot. Det slutar med att de försöker räkna arean * arean. En av gruppens medlemmar visar även en osäkerhet för de
matematiska begreppen. Exempel på detta är då Frida frågar om area och volym är samma sak. Denna förväxling sker även i en annan grupp där Johanna blandar ihop begreppen area och volym. Excerpten nedan visar på hur elever i alla tre grupperna är osäkra på begreppen area och volym
.
Excerpt 1 (Längd 27s)
Grupp 1 har multiplicerat badkarets längd med dess bredd
54 David Får det plats 7500 bollar?
55 David Nä, det var hur stort det var 56 Björn
Nä, det var arean vi räknade ut.
Det är arean, det är inte 7500 bollar
57 David Ska vi dela det?
58 Björn På fyra väl?
59 David
På fyra centimeter, så får vi fram hur många
bollar
60 Björn Ja, där nere
61 Anna Nej, vi måste räkna ut arean på bollarna
62 Björn Ja, just det
63
[Björn mumlar något ohörbart]
64 Anna Då är det 2*2*3,14
David frågar om det får plats 7500 bollar på botten av ett badkar (54). Han kommer på att det är aren de har räknat fram och rättar sig själv direkt genom att säga att 7500 var hur stort det är (55). Björn fyller även i att det är bottenarean på badkaret som de räknat ut (56). David och Björn
inleder en diskussion där de försöker dela bottenytans area med golfbollens längd för att fram hur många bollar det får plats på botten i ett badkar (57-59). Björn säger där nere istället för de korrekta begreppen bottenyta/bottenarea (60). Anna märker att killarna är på fel spår och förklarar för gruppen att de måste räkna ut arean på golfbollen först. De andra
gruppmedlemmarna ifrågasätter inte Anna utan tar till sig hennes förklaring och fortsätter med beräkningarna (61, 64).
Excerpt 2 (Längd 51s)
Grupp 2 ska ta reda på vilken volym golfbollen har
65 Hanna Då måste man räkna ut volymen på den
66 Frida Ja
67 Emma Mmm
68 Hanna
Hur gör man det? Vänta! Är det inte
typ vi tar arean gånger arean? 69 Hanna Nä, nä det är det inte, jag bara skoja 70 Frida Area och volym är inte samma grej? 71
Hanna,
Emma Nä
72 Frida Nä, då får man inte höjden 73 Emma
Man får räkna ut arean på bollarna och
arean på badkaret, eller volymen på badkaret 74 Frida
Ja, då får man…. jag vet inte hur man räknar
ut det
75 Emma Inte jag heller
76 Hanna
Är inte det typ centimeter gånger
centimeter…
...Typ upphöjt till två står det…. Jag vet inte 77 Frida För om vi räknar med arean får vi bara platt?
[Pekar på golfbollarna]
78 Hanna Ja
Hanna inleder och säger att de måste räkna ut volymen på en golfboll (65). Hon föreslår att de först ska ta arean gånger arean, men blir osäker och tar tillbaka det (68-69). Frida är osäker på om area och volym är samma sak och frågar gruppen (70). Hanna och Emma svarar att det inte är det (71). Frida har förstått att om man räknar arean får man inte med höjden (72). Emma kan båda begreppen area och volym men kan inte applicera dem till uppgiften (73). Frida fyller i att hon inte kommer ihåg hur man beräknar volymen på ett klot och får medhåll från Emma (74-75). Hanna fortsätter på samma spår hon började med på rad 68 (76). Hon är fortfarande osäker. Frida fastställer ännu en gång att om man räknar arean får man bara en platt boll och får bekräftelse av Hanna (77-78).
Excerpt 3 (Längd 42 s)
Grupp 3 har uppskattat längd, bredd och höjd på badkaret och ska nu räkna ut volymen på den
80 Lasse Räkna ut volymen. De gånger de andra 81 Johanna Ja, vi räknar ut arean i badkaret
82 Lasse Ja, volymen
83 Johanna I meter eller centimeter? 84 Lasse
Det kvittar, gör det som du tycker är
lättast
85 Kalle Ta centimeter
86
[Skriver upp deras värden 180 gånger 50 gånger 60]
87 Lasse Ta bort nollorna 88
[De räknar då 18 gånger 5 gånger 6 = 540]
89 Johanna 5400 då
90 Lasse Mmm
91 Johanna Det är ju volymen då?
Lasse för processen i gruppen vidare genom att säga till att de ska beräkna volymen på badkaret genom att gånga de värden de kommit fram till. Lasse använder sig inte av det matematiska begreppet multiplicera utan säger istället ”gånga” (80). Johanna visar också brist vid de matematiska begreppen genom att säga area istället för volym (81). Lasse rättar henne direkt (82). Johanna startar en diskussion om de ska räkna i centimeter eller meter. Kalle bestämmer till slut att de ska räkna i centimeter (83-85). Lasse påpekar att det är lättare att räkna om de plockar bort nollorna vilket gruppen också gör (86-88). Efter gruppen fått fram 540 lägger Johanna bara om en nolla (5400) fast de plockade bort tre nollor på sina mått (89). Johanna får medhåll från Lasse (90). Johanna fastställer att de nu har volymen på badkaret och får direkt medhåll från Lasse (91-92).
6.3 Hur påverkas det sociala samspelet mellan eleverna när de arbetar
i grupp?
Det sociala samspelet är olika i grupperna. I en av grupperna hamnar Ivan utanför diskussionen efter han blivit nerröstad på sin uppskattning av ett badkars längd. Denna exkludering sker även i annan grupp där Gun sitter tyst genom hela diskussionen. En av grupperna är en väl fungerande grupp där alla eleverna är inkluderade i diskussionen. I excerpt 1 blir detta tydligt.
Excerpt 1 (Längd 1min 8s) Grupp 1 har precis fått uppgiften
93 Björn [Tar lappen och vänder]
94 Björn Vi kan chansa
95 David Jag har prövat det här hemma
96 [Alla skrattar]
97 Charlotte Det beror på hur stort badkar är 98 Björn Det beror på hur stort badkar är
99 David
Det finns inget riktigt svar, vad det ungefär är.
Är det det badkaret?
Ska det vara så, det här badkaret? [Pekar på pappret] 100 Björn Vi vet inte hur stort det är
101 David Det får plats ungefär två stycken
102 Björn Ja
103 [Alla skrattar]
104 Björn Hur stor är en sån? [Pekar på golfbollarna]
105 Charlotte
[Tar upp handen, måttar och bildar
en golfboll med fingrarna] 106 David
Jag vet inte, den har väl en diameter
på fem centimeter? sju? tio?
107 Björn Svenska tack!
108 David Strecket rakt igenom bollen… [Visar med fingrarna] 109 David
...är det sju centimeter?
eller är det fem centimeter? 110 Charlotte Nää, så stor är den inte
[Tittar på sina händer för att uppskatta bollens storlek] 111 Björn Jag har aldrig spelat golf
112 Björn Så är den väl
[sneglar på Anna uppskattning med fingrarna]
113 [Alla skrattar]
114 David Dom är så stora ungefär
[Pekar på golfbollen på pappret med uppgiften] 115 Charlotte Ja, så stora är de ungefär
116 David Eller lite större
117 Björn Ja, lite större
118 David Den har ju ungefär fyra, fem?
119 Charlotte [mäter med fingrarna antal cm]
120 [Alla skrattar]
121 David Den har fyra!
Björn tar först befälet i gruppen genom att han tar uppgiftslappen och vänder den (93). Efter en inledning med skämt och skratt (94-96) kommer sen gruppen tillsammans överrens att det inte finns ett exakt svar utan att det beror på hur stort badkaret är (97-99). Björn frågar gruppen hur stor en golfboll är (104). David ger gruppen tre alternativ hur stor golfbollens diameter som de andra kan jämföra med deras verklighet (106). Björn erkänner för gruppen att han inte förstår
begreppet diameter (107). David förklarar begreppet diameter för Björn. David som nu taget över initiativet som ledare i gruppen bestämmer att golfbollen har diametern 4 cm (108).
Excerpt 2 (Längd 25s)
Grupp 2 har en uppskattning hur stor en golfboll är och ska nu försöka uppskatta badkarets volym
Emma frågar till gruppen hur stort ett badkar är (122). Gun tittar åt Hanna och påminner att hon sagt ett antagande innan (123). Hanna svarar med samma antagande hon gjort innan under
observationen (124). Hon ser dock väldigt skeptisk ut. Emma ger uttryck att hon inte har en aning (125). Hanna svarar med att hon heller inte vet, att hon bara gissat till sig svaret (126). Emma avslutar konversationen med ett likgiltigt svar (127).
122 Emma
Vad sa vi att ett badkar rymmer
ungefär?
123 Gun Du sa nått innan? [Tittar på Hanna]
124 Hanna 1800 kanske
[Fryner på näsan och skriver
ner 1800 på pappret]
125 Emma Jag vet inte
126 Hanna Jag vet inte heller, jag gissar
Excerpt 3 (Längd 41s)
Grupp 3 har precis tittat på uppgiften och börjar fundera på hur man kan tänka sig att gå till väga och vart de ska börja
Ivan ger första uppskattningen hur långt ett badkar är (134). Johanna avbryter Ivan och
tillsammans med Kalle bestämmer de badkarets längd till 1.80. Fastän Ivan ser skeptisk ut väljer han att ge vika mot Johanna och Kalle (140). Gruppen använder sig av måttet 1.80 meter på badkarets längd.
128 Johanna Okej
129 [Alla skrattar]
130 Kalle
Ungefär hur stor är ett
badkar?
131 [Tystnad 10s]
132 Kalle
[Tar fram ett kladdpapper] 133 Lasse Jag vet inte
134 Ivan Typ 1,60 det är typ 1,60
135 Kalle Nää
136 Johanna Det är längre måste det va? 137 Kalle Det är längre 138 Johanna
Kan det inte vara 1,80
kanske?
139 Kalle Jo, 1,80 nått sånt är det
140 Ivan Så långt? Ja, Okej [Han ser skeptiskt ut]
7. Diskussion
Hur klarar elever av att använda sina matematikkunskaper i problemlösning med en vardagsanknuten kontext?
Grupp 2 består av två elever med MVG som senaste betyg i matematik. Borde inte gruppen kunna göra rimliga antaganden och få fram ett rimligt svar till den aktuella
problemlösningsuppgiften? I Lpo 94, skolverket står det att varje elev ska lära sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att:
- formulera och pröva antaganden för att lösa problem, - reflektera över erfarenheter
- kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden (Utbildningsdepartementet, 2006)
På rad 29 i vårt excerpt antar Hanna att ett badkar rymmer 1800 liter. Ingen av
gruppmedlemmarna i grupp två lyckades i vår observation pröva detta antagande om det var rimligt. Detta kan bero på att läraren inte lagt vikt vid att eleverna ska lära sig att
verklighetsanknyta och föra och använda ett logiskt resonemang på matematiklektionerna. I skolverket (2000) står det att ett av målen med undervisningen är att eleven ska hämta
erfarenheter från omvärlden som ska ge dem underlag för att utvidga sitt matematiska vetande. Eleverna ska även kunna dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Eleverna i grupp två reflekterade inte en enda gång under hela observationen till egna erfarenheter och ingen kritisk granskning eller värdering av Emmas påstående skedde. Självklart kan vi inte dra för generella slutsatser av resultatet från vårt examensarbete. Det finns förstås många orsaker som kan ha hämmat eleverna i den aktuella undersökningen. Eleverna kan ha varit obekväma med att dela med sig av sina tankar eller blivit nervösa inför videokameran. Det kan även vara så att eleverna inte är vana vid att jobba med denna arbetsform, där man sitter i grupp och räknar matematikuppgifter. Detta kan bero på att läraren har lagt större vikt vid att räkna från matematikboken och eleverna har inte fått jobbat tillräckligt med att kritiskt granska och reflektera över rimligheter av ett antagande eller ett svar. Därför tror vi att eleverna har svårt att sätta matematiken i en annan kontext än skolans. Wistedt
(1991) poängterar även detta och menar att kunskaper som utvecklas i ett sammanhang kan vara svåra att överföra till nya situationer. När vi tittar på elevernas betyg och jämför dem med deras prestation under problemlösningen, anser vi att betygen inte speglar deras prestationer under vår observation. Emanuelsson m.fl. (2000) anser att den kunskap eleverna tillägnar sig i skolan, uppfattas av eleverna som att det endast är användbart i skolsammanhang. Vi anser att vår studie stödjer Emanuelssons resultat därför att eleverna saknar förmågan att projicera deras kunskap från skol- till vardagskontext. Vi menar att ingen av de tre grupperna lyckades lösa uppgiften med både med korrekta antaganden och ett rimligt svar.
Efter vi observerat hur eleverna använder de matematiska begreppen area och volym, anser vi att eleverna saknar förmågan att sätta dessa begrepp i sitt rätta sammanhang. Emanuelsson m.fl. (2000) menar att detta kan bero på att eleverna oftast räknar i matematikboken. Därmed ges inga tillfällen för eleverna att sätta in begreppen i en annan kontext än bokens. Därför är det viktigt att läraren visar för eleverna att matematiken finns i vardagen och att det är ett viktigt redskap för att klara av situationer i verkligheten.
Alla tre grupperna förväxlar de matematiska begreppen area och volym. Skemp (1976) menar att detta problem kan uppstå då eleverna inte förstår ordens innebörd utan det har bara blivit en ordkunskap. Detta kallar Skemp (1976) för en instrumental förståelse som innebära att eleven lär sig och använder matematiska regler och formler utan att verkligen förstå dem. Kronqvist och Malmer (1993) anser att det är viktigt att läraren så ofta som möjligt använder korrekta
matematiska begrepp i undervisningen och vid kommunikationen med eleverna. På så sätt fästs elevernas uppmärksamhet på begreppen.
Hur påverkas elevers problemlösningsförmåga när de arbetar i grupp?
När vi tittar på resultatet i vår observation ser vi att gruppernas sociala samspel varierar från grupp till grupp. Detta beror på vem som finns i gruppen och vilka förhållanden eleverna har till varandra. Grupp 1 är heterogen vilket Ahlberg (1991) menar är viktigt när grupper samarbetar. Detta kan vara en orsak till att denna grupp är väl fungerande och alla eleverna är inkluderade i diskussionen. Stensaasen (2000) skriver att personer med goda sociala färdigheter har större förutsättningar vid samspel med andra elever och detta innebär att de kan ge gruppen mera som för elevens och gruppens utveckling framåt. Gruppens sammansättning är av en stor betydelse, skillnaden är stor om man känner personerna i gruppen och om de andra gruppmedlemmarna får en att känna sig trygg. Elevernas sociala färdigheter som utvecklas under uppväxtåren är av stor fördel då man möter olika grupper. Eleverna i grupp 1 är mer delaktiga i processen än eleverna i de andra två grupperna, dessutom delar de eleverna med sig mer av sina kunskaper och de lyssnar mer på de andra medlemmarna i gruppen.
I grupp tre blir Ivan utanför diskussionen efter han blivit nerröstad på sin uppskattning av ett badkars längd. Antigen väljer Ivan själv att vara utanför diskussionen eller exkluderar gruppen honom. Tyvärr tror vi inte Ivan fick ut mycket lärande under denna lektion. Kanske beror det på att gruppsammansättningen inte fungerade tillfredsställande. Vi utesluter absolut inte att
grupparbete är ett dåligt arbetssätt för Ivan. Med en annan gruppkonstellation är det mycket möjligt att Ivan skulle kunna vara med mera i diskussionen (Emanuelsson 2001). Vi anser det viktigt att som lärare lägga stor vikt vid gruppsammansättningen. Även i grupp två fungerar samarbetet sämre mellan eleverna än i grupp ett. Eleverna i denna grupp verkar mer nervösa inför varandra och de litar inte alls på sig själva. Gun hamnar under hela processen utanför diskussion. I Guns fall tror vi dock det inte handlar om en exkludering från gruppens sida utan snarare att hon väljer en tyst roll i gruppen. När vi jämför betygen i grupp två är Gun den enda tjejen med G i betyg. De andra tjejerna i gruppen har MVG eller VG i matematikbetyg. Ahlberg (1991) menar visserligen att det är viktigt att hög- och lågpresterande elever ska arbeta tillsammans. Här ligger dock en stor fara i att om elevernas självförtroende och självkänsla är dålig, så kan de lätt hamna utanför diskussionen.
8. Slutsats
Vårt resultat pekar på att majoriteten av de elever som deltog i vår problemlösningsstudie hade problem med uppgiften. De flesta av eleverna saknade förmågan att kritisk granska de
antaganden som gjordes. Detta medföljde att många av elevernas antaganden och svar blev orimliga. Många av eleverna hade dessutom svårt med de matematiska begreppen area och volym. Förväxlingar mellan begreppen area och volym skedde ett flertal gånger vilket medförde att formlerna ett antal gånger blev felaktiga.
Eleverna i undersökningen var inte vana vid arbetssättet och hade svårigheter att förhålla sig till problemet. För att undvika detta bör eleverna få jobba med olika arbetsformer, där de får tillfälle att reflektera och kritiskt granska sitt arbetssätt redan i tidig ålder. Det är även viktigt att skapa ett bra klassrumsklimat där alla elever får komma till tals. Med en trygghet i klassrummet där alla elever vågar säga sina tankar och åsikter har man en bra grund att bygga vidare från. Arfwedson (1992) skriver bland annat att genom att ge eleverna tillfälle att samarbeta och kommunicera med andra elever utvecklar de sitt tänkande och får en större förståelse för matematiska samband samt hur de ska kunna använda sina kunskaper inom matematiken. Även Webbs (1989) styrker detta genom att dra slutsatsen att när eleverna arbetar i smågrupper lär de sig mer än de gör vid enskilt arbete. Med Webbs och Arfwedsons forskning inom området så anser vi att matematisk
Referensförteckning
Ahlberg, Ann (1991). Att lösa problem i grupp. In Emanuelsson, G. Johansson, B. Ryding, R. (Red), Problemlösning. Lund: Studentlitteratur
Ahlberg, Ann (2000). Att se utvecklingsmöjligheter i barns lärande. (Red), (2000) Nämnaren
TEMA (Matematik från början). Kungälv: Livréna.
Arfwedson, Gerd och Arfwedson, Gerhard (1992) Arbete i lag och grupp – om grupparbete,
tema, Project, lärarlag och lokala arbetsplaner i skola och undervisning. Falköping: Gummessons Tryckeri AB.
Boaler, Jo (1993). The role of contexts in mathematics classrooms. For the learning of
mathematics. In Tine Wedege (Red), (2006) Kompendium till kursen Didaktisk forskning inom
marematik, Research in mathematics education.
Einarsson, Charlotta och Hammar Chiriac, Eva (2002). Gruppobservationer - teori och praktik. Lund: Studentlitteratur.
Emanuelsson, G. Johansson, B. Ryding, R (1991). Problemlösning. Lund: Studentlitteratur. Emanuelsson, G. Wallby, K. Johansson, B. och Ryding, R. (2000). Nämnaren TEMA (Matematik – ett kommunikationsämne). Kungälv: Grafikerna Livréna AB.
Lärarförbundet (2001). Lärarens handbok. Solna: Tryckindustri information.
Kronqvist, Karl-Åke och Malmer, Gudrun (1993). Räkna med barn. Falköping: Ekelunds Förlag AB.
Nilsson, Björn (1993). Individ och grupp - en introduktion till gruppsykologi. Lund: Studentlitteratur.
Nilsson, Björn (2005). Samspel i grupp. Lund: Studentlitteratur.
Patel, Runa och Davidsson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder - att planera,
genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur.
Riesbeck, Eva (2000). Interaktion och problemlösning - att kommunicera om och med
matematik. Linköping: Linköpings Universitet LiU- PEK-R-221.
Runesson, Ulla (1999). Elever lär av varandra. Lendahls. In Birgit och Runesson, Ulla. (red), Vägar till elevers lärande. Lund: Studentlitteratur.
Skemp, Richard R. (1976). Relational and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching, Bulletin of the Association of Teachers of Matehematics. In Tine Wedege (Red), (2006)
Kompedium till kursen Didaktisk forskning inom marematik, Research in mathematics education. Skolverket (2000). Grundskolan; Kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Statens skolverk Stensaasen, Svein och Sletta, Olav (2000). Grupprocesser – om inlärning och samarbete i
grupper. Borås: Centraltryckeriet.
Säljö, Reger (2000). Lärande i praktiken – ett sociokultutellt perspektiv. Stockholm: Prisma. Unenge, Jan. Sandahl, A och Wyndhamn, J. (1994). Lära matematik. Lund: Studentlitteratur. Utbildningsdepartementet (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,
förskoleklassen och fritidshemmet. Lpo 94 anpassad till att också omfatta förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Skolverket/Fritzes.
förskoleklassen och fritidshemmet: Lpo 94. Stockholm: Skolverket/Fritzes.
Webb, N. (1989). Peer interaction and learning in small groups. I Webb, N.(ED). International
Journal of Educational Research. Vol 13, nr 1.
Wistedt, Inger (1991). Om vardagsanknytning av skolmatematiken. In Emanuelsson, G. Johansson, B. Ryding, R. (Red), Problemlösning. Lund: Studentlitteratur
Åhslund, Kjell (1982). Tankar om grupper och gruppdynamik. Göteborg: Orstadius boktryckeri AB.
Webreferens
Skolverket: PISA (2006-12-18)
http://www.skolverket.se/publikationer?id=1390 Nationalencyklopedin, NE. Sökord: Begrepp
http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=125606 Hämtat: 2006-12-19
Nationalencyklopedin, NE. Sökord: Grupp
http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=186553 Hämtat: 2006-12-19
Nationalencyklopedin, NE. Sökord: Interaktion
http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=212337 Hämtat: 2006-12-19
Skolverket kursplaner (2006-12-18)
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SVochar=0607ochinfotyp=23ochskolform=11o chid=3873ochextraId=2087
Bilaga 1
Hur många
Får det plats i ett
Bilaga 2
Malmö 2006-10-11 Hej
Vi är 2 studenter från Malmö lärarhögskola som gör examensarbete denna höst. Vårt arbete går ut på att vi ska göra en studie om matematisk problemlösning i grupp. Projektet går ut på att vi låter fyra elever få en uppgift som de ska lösa tillsammans. Vi videofilmar hela samtalet mellan eleverna. Denna film kommer vi sedan att analysera för att kunna se om eller hur mycket eleverna kan lära sig av varandra när de löser problemet. Observera att det är bara vi och vår handledare på Malmö Högskola som har tillgång till att se filmen.
För att kunna göra studien behöver vi ta tid från skoltiden. Vi kommer att plocka eleven från beb-tid under två tillfällen som sammanlagt kommer att röra sig om 40 min totalt.
För att videofilma elever under 18 år krävs målmans underskrift. Mvh
Peter Persson och Jannike Svensson
Härmed intygar jag att min dotter/son får vara med i projektet Elevens Namn:
__________________________________
Målmans underskrift
