Från Aritmetik Till Algebra : En studie av svenska gymnasieungdomars kunskaper i gränslandet mellan aritmetik och algebra.

Från Aritmetik Till Algebra

En studie av svenska gymnasieungdomars kunskaper i

gränslandet mellan aritmetik och algebra.

Anders Larsson

Examensarbete 15 hp Handledare

Inom Matematik för gymnasielärare 61-90 hp Robert Gunnarsson

Lärarutbildningen Examinator

HÖGSKOLAN FÖR LÄRANDE OCH KOMMUNIKATION (HLK)

Högskolan i Jönköping

Examensarbete 15 hp

inom matematik med didaktisk in-riktning, 61-90 hp Lärarutbildningen Vårterminen 2013

SAMMANFATTNING

Syftet med studie är att synliggöra de problem elever kan stöta på i övergången mellan aritmetik och algebra. Detta gjordes dels genom att studera tidigare forskning på området samt genom intervjuer av svenska gym-nasieungdomar för att undersöka hur den utländska forskningen förhåller sig till våra svenska ungdomars kunskaper inom samma område. Resultatet av intervju studien är tvetydig då man både kan skönja ett möns-ter av att eleverna ser en koppling mellan aritmetik och algebra men att de samtidigt uppvisar stor osäkerhet då de inte är helt säkra på om samma räkneregler gäller i båda fallen. Elevernas kunskaper inom aritmetik är bristfälliga och det ger följdeffekter på deras kunskaper inom algebra. Det tycks alltså inte vara slumpmäss-iga fel som uppträder i övergången mellan aritmetik och algebra utan de fel eleverna gör i algebra går tydligt att härleda till motsvarande fel inom aritmetiken. Resultatet av den här undersökningen tyder på att åldern inte spelar så stor roll för hur man resonerar matematiskt. Matematikkunskaperna tycks alltså inte mogna fram utan det tycks som goda matematikkunskaper kräver hårt arbete och många timmars träning. Många av de svar eleverna i denna studie ger är väldigt lika de svar som tidigare framkommit i studier på yngre elever, vilket skulle kunna tyda på att gamla missuppfattningar inte har rättats till utan fortfarande lever kvar och ställer till problem för ungdomarnas fortsatta matematikstudier.

Anders Larsson

Från Aritmetik Till Algebra

En studie av svenska gymnasieungdomars kunskaper i gränslandet mellan aritmetik och algebra. Antal sidor: 34

Sökord: Aritmetik, Algebra, Variabel, Godtyckligt tal, Okänd storhet, Matematik

Postadress Högskolan för lärande och kommunikation (HLK) Box 1026 551 11 JÖNKÖPING Gatuadress Gjuterigatan 5 Telefon 036–101000 Fax 036162585

Innehållsförteckning

1 Innehåll

2 Inledning ... 1

3 Bakgrund... 3

3.1 Variabelbegreppet och dess betydelse för ekvationslösning ... 3

3.2 Ovilja att acceptera avsaknad av avslut ... 6

3.3 Taluppbyggnaden ... 7

3.4 Lärarna börjar ta saker för givet ... 7

4 Syfte och Frågeställning ... 9

5 Metod ...10 5.1 Forskningsmetodisk ansats ...10 5.2 Metodval ...10 5.3 Respondenternas bakgrund ...11 5.4 Etiska ställningstaganden ...11 5.5 Genomförande ...12 5.6 Intervjufrågorna ...12

5.7 Reliabilitet och Validitet ...15

6 Resultat och diskussion ...17

6.1 Aritmetiska och algebraiska förenklingar ...17

6.2 Elementära räkneoperationer ...19 6.3 Variabelbegreppet ...21 6.4 Struktur ...24 6.5 Förenkling av bråk ...26 6.6 Taluppbyggnad ...28 6.7 Slutsatser ...29 6.8 Metoddiskussion ...30

6.9 Förslag till fortsatt forskning ...31

1

2 Inledning

Matematik är ett av skolans viktigaste ämnen och två av hörnstenarna inom området är aritmetik och al-gebra (Bergsten, Häggström & Lindberg, 2001). Många upplever vägen mot alal-gebra som abstrakt och snå-rig och ser inte meningen med den. Om man då inte lyckas kan det hända att man inte bara tappar intres-set utan också får en negativ inställning till hela matematikämnet (Bergsten, 2001). I första årskursen på gymnasiet förväntas våra svenska ungdomar kunna ”Hantering av algebraiska uttryck och för karaktärs-ämnena relevanta formler” (Skolverket 2013). Många forskare (bl.a. Linchevski & Herscovics, 1996; Ma-lara & Iaderosa, 1999; Warren, 2003) har noga och ingående studerat övergången mellan aritmetik och algebra samt kopplingen mellan just dessa två ämnesområden samt var eleverna går fel. Forskarna Ba-nerjee och Subramaniam (2012) hävdar att många av de räknetekniska missförstånden inom algebra har sin grund i att eleven inte har tillräckliga kunskaper inom aritmetiken. Detta påstående stöds av flera andra forskare (Herscovics & Linchevski, 1994; Warren, 2003). Linchevski och Livneh (1999) visar i sin under-sökning att så pass enkla uppgifter som faktiskt vållar en hel del bekymmer. De visar att eleverna ofta väljer att, istället för att se uppgiften som det står, utföra beräkningen . Eleverna lägger helt enkelt in en mental parentes runt additionen (Linchevski & Livneh, 1999). Detta leder inte bara fram till räknetekniska missförstånd utan är inte aritmetiken glasklar blir algebran suddig och dessutom har den en förmåga att röra till elevens aritmetik ännu mer (Lee & Wheeler, 1989). Det tycks alltså finnas en kognitiv klyfta mellan aritmetik och algebra (Herscovics & Linchevski, 1994). Forskning som gjorts på området har inte studerat svenska förhållanden och studierna baserar sig i hög grad på yngre elever (10-14 år gamla). Eleverna man har studerat har ofta aldrig tidigare stött på algebra vilket väcker frågan hur det ser ut i Sverige bland våra gymnasieungdomar som läst både aritmetik och algebra i många år. Ökar förståelsen mellan aritmetik och algebra med ålder och ökad matematikerfarenhet eller är det så att gamla missuppfattningar eller okunskaper aldrig rättas till utan ligger kvar och vållar pro-blem för våra gymnasieelever?

Syftet med detta examensarbete är därför att synliggöra de problem elever kan stöta på i övergången mel-lan aritmetik och algebra. Undersökningen har gjorts dels genom att studera tidigare forskning på området samt genom intervjuer av svenska gymnasieungdomar för att undersöka hur den utländska forskningen förhåller sig till våra svenska ungdomars kunskaper inom samma område. Resultatet av undersökningen blev tvetydig då man både kan skönja ett mönster av att eleverna ser en koppling mellan aritmetik och algebra men att de samtidigt uppvisar stor osäkerhet då de inte är helt säkra på om samma räkneregler gäl-ler för aritmetik som för algebra. Elevernas kunskaper inom aritmetik är bristfälliga och det ger följdeffek-ter på deras kunskaper inom algebra. Det tycks alltså inte vara slumpmässiga fel som uppträder i över-gången mellan aritmetik och algebra utan de fel eleverna gör i algebra går tydligt att härleda till motsva-rande fel inom aritmetiken. Undersökningen visar också att åldern inte spelar så stor roll för hur man

re-2 sonerar matematiskt. Matematikkunskaperna tycks alltså inte mogna fram utan kräver förmodligen hårt arbete och många timmars träning. Många av de svar våra betydligt äldre ungdomar ger är väldigt lika de svar deras yngre kamrater redan givit i utländska undersökningar vilket skulle kunna tyda på att gamla missuppfattningar inte har rättats till utan fortfarande lever kvar och ställer till problem för ungdomarnas fortsatta matematikstudier.

3

3 Bakgrund

Chalouh och Herscovics (1988) har i olika texter kunnat identifiera följande fyra kognitiva hinder i över-gången mellan aritmetik och algebra:

1. Variabelbegreppet och dess betydelse för ekvationslösning

2. Ovilja att acceptera avsaknad av avslut (Inability to accept the lack of closure) 3. Dilemmat med frånvaro av särskiljande begrepp

4. Taluppbyggnaden

3.1 Variabelbegreppet och dess betydelse för ekvationslösning

1. Obestämda men specifika tal 2. Godtyckliga tal

3. Variabler

Ett vanligt exempel på ett obestämt men ändå specifikt tal är grunden i ekvationslösning där vårt okända tal, ofta kallat för ”x”, är ett okänt tal men när man löst ekvationen visar det sig att det okända talet måste anta ett specifikt värde för att satisfiera ekvationens grundutförande (Grevholm (2012).

Ett godtyckligt tal uppstår ur siffersubstitution i algebraiska förenklingar (Lee & Wheeler, 1989). Grev-holm (2012) menar att i uttrycket är det underförstått att bokstäverna a, b och c betecknar samma siffra i både höger- respektive vänster led. Det är alltså fullt möjligt att tilldela de olika bokstäverna specifika värden men det är inte möjligt att, som i ekvationslösning, avslöja de okända talen bakom bokstäverna a, b och c.

En variabel kan närmast beskrivas som en bokstavsbeteckning för ett godtyckligt element i en mängd. Denna mängd utgörs ofta av alla reella tal mellan två gränser. Detta brukar också kallas för variabelns grundmängd (Thompson, 1994). Inom skolmatematiken används främst begreppet variabel då man talar om funktioner (Grevholm, 2012).

Algebra och aritmetik är inte bara lika. Trots att algebra anses vara en naturlig förlängning av aritmetiken (Bills, Ainley & Wilson, 2003) upplever många ungdomar att aritmetik och algebra är två helt skilda världar (Lee & Wheeler, 1989) och det finns givetvis klara skillnader mellan de två olika världarna. Det kan lätt bli kulturkrockar när algebra ska introduceras för eleverna om de inte har variabelbegreppet helt klart för sig (Booth, 1984 refererad i Banerjee, 2011). Varje elev som lär algebra måste kunna förstå att en bokstav egentligen representerar ett tal och dessutom kunna skilja på konstanter och variabler (Kieran, 1992 refe-rerad i Warren, 2003). Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) har studerat Quinlan (1992) och identifi-erat fem hierarkiskt ordnade nivåer av elevuppfattningar (sid. 19):

4 1. Bokstaven ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås som bokstavens plats i

alfa-betet.

2. Det är tillräckligt att pröva med ett tal i stället för bokstaven. 3. Det är nödvändigt att pröva med flera tal.

4. Man uppfattar bokstaven som en representant för en klass av tal. Det räcker med att pröva något av dessa tal.

5. Man uppfattar bokstaven som en representant för en klass av tal. Man behöver inte pröva med något av dessa tal.

Brister i förståelsen av variabelbegreppet gör alltså att eleven inte ser bokstaven som ett tänkt tal utan som en förkortning för ett objekt (Grønmo & Rosén, 1998). Detta gör att eleven inte förstår varför man kan utföra aritmetiska operationer på en bokstav, vilket gör hela övningen totalt meningslös för eleven (Davis, 1975 och Wagner, 1981 refererade i Chalouh & Herscovics, 1988). Detta blir extra svårt för våra yngre elever som introduceras i algebra då forskning (Collis, 1974 refererad i Hersovics & Linchevski, 1994) har visat att 12-åringar normalt sett inte kan generalisera siffror med bokstäver om inte bokstaven betyder något speciellt och sitter i ett sammanhang, till exempel kan bokstaven b betyda bredd och bokstaven h betyda höjd (nivå 1 ovan). Man bör dock ganska snabbt vänja barn av med att en bokstav betyder något speciellt som har med begynnelsebokstaven i samma ord att göra, menar Booth (1988) och ger följande exempel:

I: And what does the y mean, in a question like that ”Add 3 to 5y”? Does it mean anything, does it stand for anything, or is it just a letter, or what?

Peter: It´s a letter, but it stands for something. It means eight lots of y. I: And what is the y?

P: Could be anything I: Like what?

P: Could be… a yacht. Could be eight yachts. I: Ok, anything else?

P: Could be yogurt. Or yam.

I: Would it havd to begin with y, like yoghurt, or could it be something else?

P: Think it would have to begin with y, ´cause you´ve got a letter y there. So you need a y for the start of the word. (Booth, 1984 sid. 28 i Booth, 1988 sid. 303)

Vidare måste man även kunna utföra långa matematiska operationer och förenklingar på tillsynes me-ningslösa uttryck som tycks tagna ur sitt sammanhang. Detta är en tröskel som eleven måste kliva över ty skaffar man sig denna förmåga erhåller man samtidigt förmågan att flytta sig fram och tillbaka i räkneop-erationer utan att gå vilse och tappa tråden (Warren, 2003).

5 Att kunna gruppera ”lika termer” i ett uttryck eller en ekvation är en viktig förkunskap inför algebraräk-ning och brister i förståelsen här kan komma att skapa problem i framtiden. Återigen visar utländska stu-dier att detta är något ungdomar generellt sett är dåliga på och istället låser de sig vid antalet plus- och mi-nustecken ”I used only one minus sign, so I am left with one more” (Linchevski & Livneh, 1999, s. 187), säger en elev som vid en förenklingsövning räknat fel och blivit uppmanad att dela med sig av sina tankar. Malara och Iaderosa (1999) menar att algebraundervisningen startar alltid med och måste alltid starta med förståelsen av aritmetik. De hävdar vidare att man också nästan alltid tänker åt just det hållet, från aritme-tik till algebra. Från tal till generalisering. Detta gör att eleverna många gånger blir så indoktrinerade att de har svårt att tänka åt andra hållet, från algebra till aritmetik om de inte blir direkt uppmanade att tänka åt ”fel” håll. Detta leder fram till att få elever faktiskt verifierar sin lösning av en ekvation eller sin algebraiska förenkling genom siffersubstitution (Banerjee, 2011). De tänker helt enkelt inte på att varje bokstav egent-ligen representerar ett tal. Det man också missar om man inte lär sig tänka åt båda hållen är att det algebra-iska språket faktiskt kan förenkla aritmetisk analys (Malar & Iaderosa, 1999). Nästan alla elever som läst algebra kan förenkla ett uttryck som till men de är inte alls lika säkra på om är lika mycket som (Liebenberg, Sasman & Olivier, 1999). Detta tycks stärka beviset för att eleverna upplever att det finns en kognitiv klyfta mellan aritmetiken och algebran (Linchevski & Livneh, 1999).

Man har också sett att om eleven uppmanas att verifiera sin lösning eller förenkling med siffersubstitution och inte erhåller samma svar i de båda fallen, uppstår ett dilemma där eleven tvingas välja mellan sin tillit till aritmetiken kontra sin tillit till algebran. Så många som 2/3 av eleverna väljer i denna situation att tro på sin aritmetik utan att egentligen kunna ge någon bra förklaring till detta val (Lee & Wheeler, 1989). Ele-verna har även svårt att acceptera att när något är visat med hjälp av algebra så är det helt sant och gäller för alla tal i alla situationer. Eleverna vill istället gärna bevisa algebran genom att ersätta bokstäverna med några slumpvis valda tal för att sedan kunna dra slutsatsen att det verkar stämma (Banerjee, 2011; Lee & Wheeler, 1989).

Man vet via studier (Linchevski & Livneh, 1999) att ungdomar i regel, med hjälp av en miniräknare, är ganska bra på att lösa ekvationer och ännu bättre på att beräkna rent aritmetiska uppgifter. När man tar bort miniräknaren sjunker dock både andelen rätt lösta aritmetiska uppgifter och andelen rätt lösta ekvat-ioner vilket skulle tyda på att många ungdomar prövar sig fram i en ekvationsberäkning till en lösning med hjälp av just miniräknaren. Eleverna vet att det ska bli ”lika” på båda sidorna av likhetstecknet. De har alltså förstått idén med ekvationer men har svårt att beräkna dessa (Linchevski & Livneh, 1999).

De fel som uppstår i ekvationslösning utan miniräknare är dock svåra att se något mönster i (Greeno, 1982 refererad i Linchevski & Livneh, 1999). Det tycks bli slumpmässiga fel som ofta bygger på missför-stånd i form av teckenfel etc. Många ungdomar inser inte att det är tecknet direkt framför konstanten/den

6 okända storheten som styr vilken räkneoperation som skall utföras. Eleverna tycks istället räkna antalet plus- och minus-tecken. “As one of the students explained, ´I had used the substraction and was left with the addition, so I have to use it now´ ” (Linchevski och Livneh, 1999, s. 174)

3.2 Ovilja att acceptera avsaknad av avslut

Inom aritmetiken blir ofta svaret på en godtycklig uppgift ett enda tal. låter sig enkelt förenklas till svaret 5. Inom algebran kan dock svaret aldrig förenklas vidare. Detta skapar förvirring om huruvida man är klar med uppgiften eller inte då detta svar kan tolkas som ett färdigt svar men också som en uppmaning att addera tre till ett godtyckligt tal (Collis, 1974 refererad i Chalouh & Herscovics, 1988). Detta har föranlett Libenberg et. al. (1999) att titta närmare på den algebraiska strukturen. De har kommit fram till att algebraisk struktur kan delas upp i två olika fall, ytlig- och systematisk struktur (Libenberg et al, 1999). Den ytliga strukturen berättar att till exempel. betyder att en godtycklig siffra ska adde-ras med två och att svaret sedan skall multipliceadde-ras med 3. Den systematiska strukturen i samma uppgift talar om att . Dessutom blir det ytterligare litet mer komplicerat då man studerar en ekvation som till exempel . Denna ekvation är numeriskt ekvivalent för ett visst värde på men aldrig algebraiskt lika (Libenberg et al, 1999). Likaså skulle man kunna skriva att om x antar värdet 0 eller 2. Denna algebrans dubbelnatur vållar en hel del problem för ele-verna.

Ett algebraiskt uttryck må vara transformerat mellan olika likheter men kan aldrig beräknas på samma sätt som motsvarande numeriska uttryck som genast blir greppbart och faller ihop till ett enda tal- slutsumman och tillika själva målet med beräkningen (Lee & Wheeler, 1989).

Detta tycker många elever är svårt att förstå vilket gör att det hela tiden är viktigt att betona den dubbla betydelsen av ett algebraiskt uttryck (Banerjee, 2011). Detta kallar Bergsten et al. (2001) för att algebran har en representativ del och en manipulativ del. kan alltså både vara ett färdigt resultat, ett svar och en uppmaning att addera ett godtyckligt tal med fyra. Målet med algebraundervisningen måste således vara att eleverna får utveckla en känsla för strukturen, det som på engelska kallas för ”structure sense”, och se likheten mellan de båda uttrycken och kopplingen mellan algebran och aritmetiken (Linchevski & Livneh, 1999). Bergsten et al. (2001) väljer att likna detta vid en cykelkedja (se Figur 1) där alla länkarna är lika vik-tiga för elevens förståelse av algebra. Brister en länk i kedjan är hela cykeln oanvändbar och hela konceptet riskerar att bli dubbelt meningslöst för eleven som då ”räknar med symboler som saknar mening och med regler som man inte förstår varför de fungerar eller varför de överhuvudtaget finns” (Bergsten et al., 2001 sid. 16-17).

7

3.3 Taluppbyggnaden

En annan skillnad som eleven också stöter på i övergången mellan aritmetik och algebra är taluppbyggna-den. Inom aritmetiken definierar man flersiffriga tal genom addition. Till exempel blir talet och talet 164 blir således . Chalouh och Herscovics (1988) refererar till Matz (1979) som menar att man inom algebran alltid utgår från multiplikation, . Detta ger effekter i förlängning-en då elever i allmänhet har lättare att se just addition än multiplikation. Till exempel blir lättare samma sak som i stället för . Ett alvarligare problem, som kan uppstå i förlängningen av detta, är missförståndet att (Booth, 1988). Notationen för addition är alltså klart starkare för eleven än notationen för multiplikation (Malara & Iaderosa, 1999). Det är alltså inte ”bara” att lära sig aritmetik grundligt och sedan tro att man automatiskt kan överföra den gamla kunskap-en (aritmetikkunskap-en) till kunskap-en ny kunskap (algebra) (Malara & Iaderosa, 1999).

3.4 Lärarna börjar ta saker för givet

I övergången mellan aritmetiska beräkningar och algebraiska förenklingar börjar man ta vissa saker för givet då man helt enkelt förutsätter att eleven redan kan och behärskar motsvarande moment från aritme-tiken (Warren, 2003). Booth (1988) säger att det till exempel är allmänt vedertaget att . I många fall utesluter man alltså både ettan framför x:et och multiplikationstecknet mellan ettan och x:et. Booth (1988) poängterar vidare starkt nyttan med att, åtminstone i början, alltid vara noga med att skriva ut multiplikationstecknet för att underlätta övergångsfasen mellan aritmetik och algebra för eleverna. Om eleven inte har den nya notationen helt klart för sig kan den uppleva att man inte resonerar på samma sätt då man förenklar följande två uttryck:

och

Eleverna upplever gärna att nämnaren i första exemplet ”försvinner”. De är inte automatiskt medvetna om den osynliga etta som är underförstådd i en tänkt nämnare. Det gör att det blir svårt att förstå var

et-8 tan kommer ifrån i täljaren i det andra exemplet. Till detta kommer att man även måste förstå och vara förtrogen med de mest elementära prioriteringsreglerna inom matematiken. Dessa regler kan enklast sammanfattas, enligt Glidden (2008), i den engelska minnesregeln över i vilken ordning räkneoperationer-na ska utföras ”Please Excuse My Dear Aunt Sally” eller ”PEMDAS” vilket på svenska närmast skulle kunna översättas till Parenteser, Exponenter, Multiplikation, Division, Addition och Subtraktion.

9

4 Syfte och Frågeställning

Mitt syfte med studien är att i en aritmetisk såväl som i en algebraisk kontext undersöka elevers svårigheter i övergången mellan aritmetik och algebra. Detta vill jag göra genom att besvara följande frågor:

 Vilka kopplingar, om några, låter sig göras mellan de undersökta svenska gymnasieungdomarnas kunskaper inom aritmetik och motsvarande kunskaper inom algebra?

 Är eventuella fel som eleverna gör slumpmässiga eller går det att skönja ett mönster i övergången mellan aritmetik och algebra?

10

5 Metod

5.1 Forskningsmetodisk ansats

Fenomenologin och subjektivismen har till uppgift att försöka förstå sig på människor genom att studera deras tankar och intentioner i en omgivande miljö, att se saker och ting ur en annan synvinkel (Imsen, 1984). Där behaviorismen har till uppgift att kunna förutsäga en människas exakta beteende låter fenome-nologen sig nöjas med ett förväntat beteende. Att förstå sig på en människa sker inte bara genom att stu-dera hennes yttre handlingar. Forskaren måste kunna tränga sig in på djupet för att föreställa sig och kanske till och med leva sig in i den värld respondenten bär i sitt inre. Denna typ av observation låter sig inte göras på ett helt objektivt och opartiskt sätt men det finns grader av både objektivitet och opartiskhet som forskaren kan beakta och därmed komma så nära sitt önskade resultat som möjligt (Denscombe, 2004). I pedagogiska sammanhang har fenomenologin alltid speglat lärarens handlingar (Imsen, 1984). Lärare försöker alltid sätta sig in i elevernas sätt att se på ett problem för att hitta ett lämpligt sätt att för-klara detsamma. Syftet med denna studie är att finna om några av elevernas svårigheter och resonemang i och kring övergången mellan aritmetik och algebra lämpar sig fenomenologin väl som forskningsfilosofi. Denna studie är därför genomförd med fenomenologin som grundfilosofi genom en kvalitativ analys av respondenternas tankar kring några matematiska uppgifter

5.2 Metodval

Att genom intervjuer samla in data till en fenomenologisk studie är kanske det vanligaste förekommande sättet. Intervjuer är en av den vanligaste förekommande företeelsen i såväl den sociala världen som inom forskningen (Bryman, 2011). Då syftet med denna studie var att upptäcka om eventuella svårigheter i övergången mellan aritmetik och algebra bottnar i det faktum att eleverna har allt för dåliga kunskaper inom aritmetiken konstruerades en semistrukturerad fokuserad intervju. Anledningen till att intervjumeto-den valdes till semistrukturerad var att intervjuaren då kunde ställa följdfrågor till responintervjumeto-denterna då dessa angav oklara eller särskilt viktiga svar (Bryman, 2011). En alternativ metod hade varit att låtit responden-terna delta i en kvantitativ studie vilket hade lämpat sig bra om man enbart hade varit intresserad av de svar eleverna gett på vissa uppgifter som ligger i gränslandet mellan aritmetik och algebra. Nu låg istället intresset på att undersöka de olika respondenternas djupgående förståelse och resonemang kring de olika uppgifterna de fick presenterade för sig. Detta gav vid handen att fördelarna med en kvalitativ studie övervägde fördelarna med en kvantitativ studie. Kanske hade det ideala varit att genomföra en kvantitativ studie följt av en kvalitativstudie, via intervjuer, på de elevsvar som varit extra intressanta.

Inför intervjun skapades 11 distinkta matematiska problem (se bilaga 2). Fem av frågorna rör aritmetiska problem, fem av frågorna rör algebraiska problem och den elfte frågan behandlar förståelsen av talsyste-mets uppbyggnad. Åtta av frågorna var öppna frågor där eleven ombads dela med sig av sina tankar kring hur man kan gå till väga för att lösa ett visst problem. Detta öppnar för forskaren så att alla elevers

en-11 skilda tankar åskådliggörs. De tre återstående frågorna var av karaktären flervalsfrågor där eleven istället ombads välja ett av flera presenterade alternativ. Risken med en djupgående intervju är att respondenten blir trött och inte orkar hålla fokus genom hela intervjun (Bryman, 2011). Att då avsluta med några frågor där man presenterar en rad alternativ gör att tiden för intervjun minskas och att respondenten upplever intervjun som mindre krävande.

Innan intervjuerna påbörjades gjordes en pilotstudie på två elever för att kontrollera såväl validiteten som reliabiliteten på frågorna.

5.3 Respondenternas bakgrund

De nio elever som ombads delta i undersökningen var vid undersökningstillfället mellan 17 och 18 år gamla. De gick alla i årkurs två på ett högskoleförberedande program. Dock gick inte eleverna på samma program eller i samma klass, detta för att minska risken för att de skulle tala med varandra och därmed avslöja det egentliga syftet med undersökningen. Samtliga elever läste vid undersökningstillfället kursen ”Matematik 2b” och samtliga elever hade minst ett E som betyg i kursen ”Matematik 1b”.

Urvalet skedde via ett så kallat kvoturval då det var intressant att studera hur elever med olika betyg och kunskapsbakgrund resonerade kring de olika problemen. Det var värt att notera att det inte var lätt att hitta frivilliga elever. Den främsta orsaken till att en elev tackade nej till att delta i studien var att man var rädd för att det skulle ta för lång tid eller att man var för dålig i matematik så man skulle få skämmas inför intervjuaren. Detta gjorde att urvalsprocessen fick startas om ett antal gånger samt att flera klasser och flera lärare fick involveras i studien än vad som var tänkt från början.

Eleverna numreras i studien från 1-9 för att det ska bli lättare för läsaren att hålla reda på vilken elev som sa vad.

Den manliga legitimerade gymnasieläraren i matematik som intervjuades arbetade vid intervjutillfället på samma skola där eleverna gick men i ett annat arbetslag. Han hade vid intervjutillfället ca 20 års erfarenhet av matematikundervisning på gymnasienivå.

5.4 Etiska ställningstaganden

I enlighet med publikationen Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning (Veten-skapsrådet, 2011) fick de elever som ställde upp i studien var sitt missivbrev (se bilaga 1) där det klart och tydligt framgick att deras deltagande var frivilligt, att de när som helst och utan konsekvenser kunde av-bryta sitt deltagande och att deras anonymitet garanterades. Eftersom samtliga elever var över 15 år gamla krävdes inte föräldrarnas/vårdnadshavarnas samtycke (Vetenskapsrådet, 2011).

12 Missivbrevet informerade om att en intervju skulle ske och att den hade till syfte att studera ungdomarnas tankesätt vid lösandet av olika matematiska uppgifter. Brevet avslöjade dock inte studiens egentliga inne-håll för att detta inte skulle kunna påverka deltagarnas inställning och resultat.

5.5 Genomförande

Intervjuerna genomfördes i en avskild konferenslokal på den skola eleven gick på. Efter respondentens medgivande spelades intervjuerna in för att underlätta efterarbetet samt för att kunna höja validiteten på undersökningen. Eleven och intervjuaren var ensamma i lokalen d.v.s. ingen medhörare fanns med under intervjuerna. Varje intervju tog mellan 20 och 40 minuter beroende på hur talföra respondenterna var och vilka svar de gav. Grundfrågorna som ställdes återfinns i sin helhet i bilaga 2.

Den manlige legitimerade gymnasieläraren i matematik intervjuades på samma premisser som eleverna ovan. Hans bidrag i studien syftar till att ge undersökningen högre validitet då hans långa och gedigna yr-keserfarenhet speglas i de svar han avgivit på intervjufrågorna.

Linchevski och Livneh (1999) lät i sin undersökning eleverna använda en enkel miniräknare utan priorite-ringsfunktion då de upptäckte att eleverna blev modigare och mer spontant provade olika metoder att framförallt verifiera sin ekvationslösning. Valet i denna undersökning föll dock på att inte låta responden-terna använda miniräknare till de uppgifter de ställdes inför. Detta för att kunna få en djupare inblick i elevernas faktiska matematikkunskaper och sätt att hantera siffror och räknesätt.

5.6 Intervjufrågorna

Nedan följer en presentation av intervjufrågorna respondenterna ställdes inför samt en kortare förklaring till vad de ämnar mäta samt var inspirationen till dessa frågor är hämtad från. Grundfrågorna som ställdes återfinns i sin helhet i bilaga 2.

Den första intervjufrågan respondenterna kom att ställas inför var att beräkna följande uppgift

Inspirationen till denna uppgift hämtades från Linchevski och Livneh (1999). Liksom i deras undersök-ning kommer respondenterna att få en alternativ lösundersök-ning presenterad för sig. De elever som svarar ”rätt” utsätts för ”fel” svar och de elever som svarar ”fel” utsätts för ”rätt” svar. Enligt Linchevski och Livneh (1999) tenderar matematiksäkra elever att hålla kvar vid sin rätta lösning när en felaktig lösning presenteras medan matematiksvaga elever ändrar sin felaktiga lösning när den rätta presenteras. Många elever tycks dessutom tro att det skulle kunna finnas två lösningar till uppgiften ovan.

I uppgift nummer två skulle respondenterna beräkna

13 Denna uppgift mäter förståelsen av ett pre-algebraiskt system enl. Linchevski (1995). Libenberg, Sasman & Olivier (1999) menar att elever i detta fall har mycket svårare att förstå aritmetiska förenklingar än alge-braiska förenklingar (se uppgift fyra nedan). Det man också missar om man inte lär sig tänka åt båda hål-len, både från aritmetik till algebra men även från algebra till aritmetik, är att det algebraiska språket fak-tiskt avsevärt kan förenkla även aritmetisk analys (Malara & Iaderosa, 1999).

I intervjufråga nummer tre ombads respondenterna beräkna nedanstående uppgift

Denna uppgift är direkt kopplad till fråga nummer ett och mäter återigen minustecknet som en frånkopp-lare enligt Linchevski och Livneh (1999) fast denna gång inom algebran.

Intervjufråga nummer fyra

är sammanlänkad med fråga nummer två (se sida 12 ovan).

Respondenterna ombads beräkna följande uppgift som den femte frågan

Frågeställningen ovan syftar till att mäta elevens förståelse av aritmetiska förenklingar/förkortningar. En-ligt Warren (2003) börjar man i övergången mellan aritmetiken och algebran ta saker och ting för givet, man förutsätter att eleven kan och förstår aritmetiken och därmed även kan tillämpa denna kunskap inom algebran. En förkortad siffra ersätts egentligen av en ”etta” men det är sällan denna ”etta” verkligen skrivs ut, vilket kan ställa till problem för eleven då denna ska förkorta algebraiska bråk där nämnaren är större än täljaren (Booth, 1988). Det senare kommer att prövas i fråga sju.

I fråga nummer sex ställdes respondenterna inför följande problem då de ombads beräkna

Denna uppgift ger en djupare inblick i elevens förståelse av de aritmetiska räknereglerna, i detta fall pri-oriteringsregeln (Lee & Wheeler, 1989).

14 Den sjunde intervjufrågan kopplas till den femte (se ovan) men denna gång är det den algebraiska för-mågan som provas och denna gång skapas en etta i täljaren, vilket kan skapa problem för de elever som inte fullt ut har befäst de aritmetiska kunskaperna fullt ut (Warren, 2003)

I fråga nummer åtta

ställs respondenterna inför ett algebraiskt problem skapad av Lee och Wheeler (1989). De menar att elever som inte fullt ut behärskar sin aritmetik får problem med att förenkla ovanstående uppgift då många i de-ras undersökning kom att svara . Banerjee (2011) hävdar att få elever faktiskt verifierar sin lösning av en ekvation eller sin algebraiska förenkling genom siffersubstitution. De tänker helt enkelt inte på att varje bokstav egentligen representerar ett tal. Enligt Lee och Wheeler (1989) kommer de elever som uppmanas att ersätta sin variabel med en siffra (siffersubstitution) att hamna i ett dilemma om de upptäcker att den algebraiska förenklingen inte stämmer överens med den aritmetiska. De tycks hamna i en dilemma situat-ion där de antimgen måste lita på sin algebraiska förmåga eller sätta sin tillit till sin aritmetiska förmåga. Respondenterna får i fråga nummer nio titta på följande uttryck och avgöra om

a) Alltid är sant

b) Skulle kunna vara sant c) Aldrig är sant

Malara och Iaderosa (1999) menar att yngre barn som ställs inför liknande uppgifter har bra kontroll över att .

Fråga nummer tio

a) Alltid är sant

b) Skulle kunna vara sant c) Aldrig är sant

är kopplad till fråga nummer nio men har för avsikt att mäta respondenternas förståelse av variabelbe-greppet.

15 “Talet 43+25 skulle kunna skrivas som 40+3+20+5=68. Kan 4a+2b skrivas som 4+a+2+b=6+a+b=6ab? Varför/varför inte?”

Chalouh och Herscovics (1988) refererar i sin undersökning till Matz (1979) som menar att man inom aritmetiken definierar man flersiffriga tal genom addition. Till exempel blir talet 43=40+3 och talet 164 blir således 100+60+4. Inom algebran utgår man alltid från multiplikation, . De elever som tänker aritmetiskt i ovanstående uppgift skulle alltså vara mer benägna än andra att hålla kvar vid den additiva notationen snarare än den multiplikativa notationen.

5.7 Reliabilitet och Validitet

Reliabilitet kan närmast beskrivas som ett mått på om ett mätinstrument ger tillförlitliga resultat samt vilka yttre faktorer som kan ha påverkat det uppmätta resultatet (Bryman, 2011). Bryman (2011) refererar till LeCompte och Goetz (1982) och menar att man ofta skiljer på extern- och intern reliabilitet. Den externa reliabiliteten definieras som den grad i vilken undersökningen skulle kunna upprepas av andra forskare med samma resultat. Den interna reliabiliteten syftar till att de forskare som ingår i samma forskarteam ska kunna tolka resultatet lika. Då min undersökning enbart är gjord av författaren själv måste man bortse från den interna reliabiliteten. När man ställer frågan om den externa reliabiliteten får man inte glömma bort att alla sociala möten sker i en viss omgivning som helt eller delvis kan vara omöjliga att exakt åter-skapa. Jag har dock försökt göra en så neutral undersökning som möjligt då man tittar på de omgivande faktorerna. Då det främst är elevernas tankar och resonemang om matematiska uppgifter i övergången mellan aritmetik och algebra som har mätts i denna undersökning anser jag att den kvalitativa forskningen ger en bra reliabilitet genom att en pilotstudie först genomfördes för att säkerställa såväl reliabiliteten som validiteten på de frågor som användes vid intervjuerna.

Validitet skulle kunna beskrivas som tillförlitligheten på mätinstrumentet, i detta fall tillförlitligheten på de frågor respondenterna fått i respektive intervju. Med andra ord, mäter frågorna det man vill att de ska mäta (Bryman, 2011)? I de fall man har att göra med en kvalitativ forskning saknar denna del ofta bety-delse då det inte är själva mätningen som har betybety-delse för undersökningen utan mer de intervjuades per-sonliga tankar och åsikter forskaren vill komma åt. Jag bedömer, trots detta, att de frågor jag ställt väl mä-ter svaren jag i denna studie vill ha svar på. Vailiditeten anses därför som god då inmä-tervjuerna genomfördes med samma förutsättningar och under samma förhållanden i varje intervju. Frågorna formulerades på samma sätt till alla svaranden. Alla intervjuerna spelades in för att i efterhand kunna granskas i lugn och ro.

Generalisering innebär, i detta fall, att man utifrån studien kan dra slutsatser om andra elevers resonemang kring samma frågor (Bryman 2011). Denna typ av generalisering låter sig givetvis inte göras fullt ut men de fakta som framkommit under studien stämmer väl överens med de slutsatser utländska forskare (till ex-empel Linchevski & Herscovics, 1996; Malara & Iaderosa, 1999; Warren, 2003) redan dragit. Allt tyder

16 ändå på att studien skulle kunna uppfattas som generaliserbar i teori men knappast mellan olika populat-ioner då variansen på yttre faktorer som ålder och matematisk erfarenhet borde spela en stor roll i denna typ av undersökning.

17

6 Resultat och diskussion

Många forskare (till exempel Linchevski & Herscovics, 1996; Malara & Iaderosa, 1999; Warren, 2003) har noga och ingående studerat övergången mellan aritmetik och algebra samt kopplingen mellan just dessa två ämnesområden och vad eleverna gör för fel. Den största skillnaden mellan deras undersökningar och denna studie är att deras undersökningar är gjorda på yngre barn som aldrig stött på algebra eller åt-minstone är nybörjare inom området. Denna studie har istället riktat sig till ungdomar i övre tonåren som studerat algebra en längre tid. Det visar sig dock att undersökningarnas resultat är mer lika än olika. Våra svenska gymnasieungdomar uppvisar flertalet likheter med sina utländska yngre kamrater då det gäller att hantera matematiken.

I följande beskrivning av undersökningens data har en uppdelning gjorts efter följande områden: Aritme-tiska och algebraiska förenklingar, elementära räkneoperationer, variabelbegreppet, struktur, förenkling och taluppbyggnad. Denna uppdelning av data är dock inte strikt utan försöker bara ange med en rubrik det man kan anse att eleverna behandlar. I många fall går elevernas kunskaper om till exempel variabelbe-greppet och förenklingar i varandra.

Vidare följer redovisningen av undersökningen samma upplägg genom alla frågor. Först kommer fråge-ställningen följt av ett eller flera exempel på elevsvar. Därefter kommer en forskningsanknuten diskussion kring elevsvaren. Sist i varje frågeställning finns en kommentar av hur en legitimerad gymnasielärare i ma-tematik uppfattar elevernas kunskaper inom berört område.

6.1 Aritmetiska och algebraiska förenklingar

Malara och Iaderosa (1999) menar att algebraundervisningen startar alltid med, och måste alltid starta med, förståelsen av aritmetik. Att kunna utföra aritmetiska beräkningar är grunden för hela den matematik vi idag använder oss av. Många av dessa aritmetiska beräkningar kan dock förenklas på samma sätt som vi förenklar algebraiska uttryck men är våra ungdomar medvetna om det? Ser de kopplingen mellan algebran och aritmetiken? Ungdomarna som intervjuades ställdes inför uppgiften att, utan miniräknare, berätta hur de tänker om de skulle vilja beräkna följande uppgift

Alla respondenter gav liknande svar. En flicka berättade att hon: ”… skulle göra gångertecknena först, alltså 3 gånger 23,5 och sen tar jag 7 gånger 23,5. Mmmm, jag tar svaren plus varandra och sen sist plus 5. Det är ju så man gör. Man tar väl gånger först och sedan plussar man ihop svaren?” En av de svagare ele-verna var mycket osäker på i vilken ordning uppgiften skulle beräknas. ”Jag skulle väl antagligen ta först 3 gånger 23,5 och sedan ta det plus 7 och sedan… öh… eller om jag skulle ta 3 gånger 23,5 plus 7 och sedan ta 23,5 plus 5 och sedan gångra svaren med varandra. Jag har ju två plustecken och två gångertecken. Mmm, så skulle jag nog göra på ett prov. ” (Elev nummer 7)

18 Elevens sätt att resonera är inte unikt. Linchevski och Livneh (1999) fick liknande svar av sina responden-ter vid en liknande undersökning.

När eleverna blev tillfrågade om man kunde tänka på något annat sätt som borde göra beräkningen en-klare svarade åtta elever att de inte kände till något annat sätt än att beräkna uppgiften som den står. En elev svarade dock att ”man borde nog kunna ta 3 plus 7. Det blir 10 och sedan tar jag 10 gånger 23,5 och sen plussa jag med 5, tror jag. Men först skulle jag räkna ut det som det står.” (Elev nummer 1)

Den intervjuade läraren uttrycker sina tankar:

Jag tror tyvärr inte att det var många, om ens någon, som direkt insåg att det är samma sak som . Jag tror de räknad som det står alltså och sen . Adderar svaren för att slutligen lägga på 5. Det här är baksidan med miniräknaren och Iphonens dilemma. De har tappat alla smarta huvudräkningsstrategier. De är som bortblåsta. Så fort något ska beräknas så tittar man inte på hur talet är uppbyggt utan man sträcker sig efter sin miniräknare eller tele-fon och börjar knappa precis som det står. Börjar man räkna i huvudet som det står i den här uppgiften då går man ju bet på det direkt.

Respondenterna presenterades litet senare i undersökningen för uppgiften att beräkna

Åtta av nio elever svarade utan att tveka att det måste bli . Den nionde eleven menade att ”Den här går inte att beräkna. plus plus fem blir men det är väl inte svaret? Eller det skulle kanske kunna vara svaret? Fast, nä, vi har ju inget ”likamed” och då kan vi ju inte räkna ut svaret eftersom vi inte vet vad x är. Vi måste ha ett lika med här för att kunna hitta svaret.” (Elev nummer 3). Detta är vad Chalouh och Herscovics (1988) valt att kalla för ”inability to accept the lack of closure” d.v.s. eleven ser inte i detta fall som ett resultat utan som en ekvation som saknar ett numeriskt svar och därmed inte kan beräknas vilket gör att ett ordentligt svar saknas. Utifrån bakgrundsundersökningen skulle man kunna tro att detta svar skulle vara vanligare än det faktiskt var. Kanske tyder det på en mognad hos verna med högre ålder och ökad erfarenhet av matematik än hos de betydligt yngre och mer oerfarna ele-ver som Chalouh och Herscovics (1988) mötte i sin undersökning?

Undersökningens nästa fråga blev om eleverna såg någon likhet mellan uppgifterna och

och om man kan resonera på samma sätt vid numeriska förenklingar som vid algebraiska förenklingar men innan dess hade en av eleverna upptäckt ganska omgående att:

19 Det är ju förresten samma uppgift som för ett tag sedan fast det står x istället för 23,5. Fast det ändrar ju inget. Vi måste räkna gånger först och då bli det ju … Fast det stämmer ju inte heller för plustecknet hör liksom ihop med 5:an och 7:an och det blir 13 gånger 23,5 och här uppe blev det ju . Nä, det kan inte stämma för om jag gör så har jag ju inget att gångra med i slutet och då får jag ju ett gångertecken över. Nä, 10 gånger 23,5 kan man inte ta för då blir det jättekrångligt sen. Då står det ju 10 gånger 23,5 gånger 23,5. Vi får typ en 23,5 kvar och vad ska vi göra med den? Nä, det funkar inte. Det känns väldigt rörigt. (Elev nummer 4)

En annan elev sa att ”3 gånger x är ju likadant som 3 gånger 23,5 så man gångrar på samma sätt. Men om du undrar om 3 gånger 23,5 plus 7 gånger 23,5 blir 10 gånger 23,5 så tror jag inte att det blir rätt svar. Det tror jag inte.” (Elev nummer 2)

Dessa elevsvar stämmer väl överens med de svar Liebenberg, Sasman och Olivier (1999) fick i sin under-sökning. Eleverna är inte alls säkra på om man kan förenkla aritmetiska uppgifter på samma sätt som man förenklar motsvarande algebraiska uppgifter. Det tycks som om eleverna verkligen upplever aritmetiken och algebran som två olika världar precis som Lee och Wheeler (1989) uttrycker det.

Matematikläraren kommenterar uppgiften på följande sätt:

Den här uppgiften måste de ju lyckas med. . //…// Däremot ser de nog inte samban-det mellan den här uppgiften och den med siffror. Jag tror tyvärr inte att samban-det är många som kan se likheten och vara säker på att det verkligen blir bara för att det blir . Jag skulle så gärna vilja säga att de flesta ser sambandet direkt [skrattar] men jag tror det inte. Det har visat sig i högre kurser att eleverna fortfarande inte ser samband mellan de algebraiska räknereglerna och de aritmetiska. De drar helt enkelt inte nytta av sin egen kunskap för att un-derlätta för sig själv. Det är just det här som gör att det inte går bra för dem på nationella prov etc.

6.2 Elementära räkneoperationer

Warren (2003) menar att en nödvändig förkunskap inför algebraförståelsen är förståelsen av addition och division som generella räkneoperationer. Till detta är det givetvis även viktigt att förstå de mest elementära prioriteringsreglerna. De intervjuade eleverna ombads beräkna uppgiften

Här förklarade alla respondenterna att man beräknar täljaren för sig och nämnaren för sig och att svaren sedan divideras med varandra. Alla eleverna kom fram till att det måste stå sju i täljaren och 14 i nämna-ren. Åtta av nio elever valde därefter att svara 0,5 (och inte ”en halv”). Det kan som en parentes i detta sammanhang noteras att eleverna genom hela intervjun var mer bekväma i användandet av decimaltal och

20 valde därför i större utsträckning att använda just decimaltal istället för bråktal. Den nionde eleven (elev nummer 4) valde att behålla svaret ”7 delat på 14” och förklarade sedan när hon fick frågan om man kunde göra på något annat sätt när man beräknade uppgiften:

Kanske kan man ta bort allt det här, alltså både där uppe och där nere men då blir det 0 delat på 7. Fast 7 delat på 14 är ju också 0 eftersom 7 delat på 7 blir 0 och 14 delat på 7 blir två och 0 delat på 2 är 0 så det blir samma. 0 delat på 7 är 0 och 0 delat på 2 är också 0. Ja, det måste bli samma. Man kan ta bort allt det där både uppe och nere.” (Elev nummer 4)

Övriga åtta elever försökte också att stryka termer och faktorer i bråket. De flesta försöken baserade sig på ”slumpmässig prövning” för att sedan jämföra med det första resultatet de fått. Sju av de övriga åtta ele-verna beslutade sig för att det inte gick att förenkla på något annat sätt än att beräkna uppgiften medan den åttonde eleven förklarade att:

Man skulle också kunna ta att de här (eleven ringar in termerna 1+2 i både täljare och nämnare) tar bort varandra. Eller jag tror det i alla fall. 1 plus 2 försvinner både uppe och nere och då får jag 0,33 i svaret, om jag inte räknat fel. Fast det blir inte samma svar. Jag måste ha gjort fel här nere i första försöket. Då var jag osäker på om jag ska räkna plus eller gånger först. Jag är osäker på det men 0,33 är rätt… Ja, jag gjorde fel mellan plus och gånger. (Elev nummer 3)

Resonemanget visar att eleven inte litar på sin första beräkning utan väljer att tro på sin andra beräkning där hen har förkortat bort i både täljare och nämnare och får tre delat på tio (det eleven kallar för 0,33) kvar. De övriga eleverna bestämmer sig för att lita på sin första beräkning där de förenklat täljare och nämnare var för sig. Att samtliga elever försökte, genom antingen slumpmässig- eller systematisk pröv-ning, stryka en eller flera termer i uppgiften ovan visar att de intervjuade eleverna inte är säkra på när man kan stryka termer och faktorer i en bråkräkning. De allra flesta var dock medvetna om sina egna tillkorta-kommanden inom området och jämförde hela tiden sitt nya resultat med det resultat de först fick fram och därmed litade mest på.

Matematikläraren menar:

Här räknar de fel! Jag tror de räknar fel … Jag tror de räknar fel både uppe och nere. Jag tror de glömmer… Här blir det 9. De glömmer prioriteringsregeln. Och här nere blir de i värsta fall 30. nä inte åt båda hållen. Nä här tar de nog bara rakt upp och ned. Sen har du de som förkortar fel. Du har nog haft många som svarat 1 delat på 7 [skrattar]. Det är tragiskt. Blir det något snällt svar? Jo, det blir ju… en halv. Det här ska de ju klara av.

21

6.3 Variabelbegreppet

Uppgiften ovan kom senare i intervjun att jämföras med följande uppgift då eleven ombads beräkna

Här skilde sig ungdomarnas svar åt. En elev (elev nummer 6) sa på en gång att ” delat på . Då kan jag bryta ut så att jag får… Nä, vänta… det går ju inte. delat på är svaret. Jag kommer inte längre”. Fem elever valde att stryka bort från täljare och nämnare och hamnade då på svaret ”1 delat på 8” eller ”en åttondel”. Ytterliggare en elev (elev nummer 9) menade att man kunde ta bort från både täljare och nämnare och då få resultatet en sjundedel. En respondent (elev nummer 3) förstod inte alls vad uppgiften gick ut på och valde att inte besvara frågan.

Vid frågan om man på något sätt kunde kontrollera om man räknat rätt i sin algebraiska förenkling sva-rade alla nio intervjuade nekande. En elev (elev nummer 7) svasva-rade ”Kolla om man räknat rätt? Ja med facit så går det fast annars inte”. De uppmanades då att testa att sätta in en siffra i stället för x och se om det blev samma svar före och efter förenkling. Åtta av nio elever tyckte övningen var helt meningslös när de såg att resultaten blev olika i de båda beräkningarna. ”Man kan inte prova vilken siffra som helst för den siffra vi använder måste passa in i uppgiften”, säger en elev (elev nummer 2) och en annan elev (elev nummer 1) menade i sin intervju att ”Nä, det blir inte samma sak. Det går inte. Man måste räkna ut vilken siffra det ska vara. Tar man vilken siffra som helst blir det ju olika hela tiden”. Den nionde eleven (elev nummer 5) accepterade att man kunde prova med vilken siffra som helst, insåg att förenklingarna blev olika men hade ingen förklaring till varför resultaten blev olika.

Här verifierar undersökningen Lee och Wheelers (1989) resultat om att få elever inser att man kan pröva sin algebraiska förenkling genom siffersubstitution. Lee och Wheeler (1989) kom fram till att ingen av de sex elever de intervjuat hade etablerat en substitutionsreflex för att kontrollera sina beräkningar. I uppgif-ten ovan ser ingen av de nio intervjuade eleverna möjligheuppgif-ten att kotrollera sina egna beräkningar genom siffersubstitution. Min undersökning tycks, i denna aspekt, bekräfta Lee och Wheelers (1989) resultat. I uppgiften ovan misslyckas det dock, till viss del, att verifiera Lee och Wheelers (1989) resultat om att de elever som upptäcker, genom påtvingad siffersubstitution, att de förenklat fel hamnar i en dilemmasituat-ion där eleven tvingas välja mellan sin algebraiska förenkling och sin aritmetiska beräkning. De elever som intervjuades såg helt enkelt inte variabeln x som ett godtyckligt tal och därmed förkastade de hela uppgif-ten. Detta skulle alltså tyda på att de befinner sig på steg 3 i Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) trappa där variabeln ses som ett okänt tal men det är nödvändigt att prova med flera tal för att veta om något stämmer eller inte stämmer.

22 Matematikläraren är snabb i sitt svar:

Läraren (L): 1/8 har du fått som svar. Ingen tvekan! De har förkortat i täljare och nämnare. Det är liksom så givet. plockar de direkt. Du skulle också kunnat ha fått 0/7, 1/7 för då har de strukit så det blir en etta kvar där uppe men 1/8 är vad jag tror är vanligast några har skrivit 1/7 men det är nog föresten ingen som skrivit 0/7.

Intervjuaren: Hur tror du eleverna reagerade när jag bad dem byta ut x mot en siffra?

L: Risken med att siffersubstituera är att de förkortar bort siffrorna de just placerat dit så det hjälper dem föga. Men sen tror jag inte det var någon som själv kom på att man kunde göra så och kolla sitt eget svar. Du vet att stoppa in en siffra eller stoppa in sin lösning för att kolla att man räknat rätt är mycket ovanligt.

Samtliga respondenter fick någon gång under intervjun frågan vad x egentligen betyder. Alla svarade att det står för något okänt. Två av eleverna (elev nummer 3 och 9) svarade att x mycket väl kan vara ett ob-jekt som till exempel en banan eller kottar i skogen men alla nio är överens om att inom matematiken syf-tar alltid x på ett okänt tal som måste räknas ut, ”Man kan väl inte bara ta en siffra och stoppa in istället för x hur som helst” svarar en elev (elev nummer 7) på frågan om x skulle kunna vara vilket tal som helst. Det tycks som om variabelbegreppet inte är helt klarlagt för de intervjuade eleverna. Detta kan leda fram till problem inom algebraförståelsen (Davis, 1975 och Wagner, 1981 refererade i Chalouh & Herscovics, 1988).

Varje elev som lär algebra måste kunna förstå att en bokstav egentligen representerar ett godtyckligt tal samt kunna skilja på konstanter och variabler (Kieran, 1992 refererad i Warren, 2003). I ett försök att be-visa detta påstående fick mina respondenter två frågor där den första frågan bringade klarhet i om det fanns några aritmetiska missuppfattningar kring följande begrepp:

Titta på uppgiften nedan och avgör om

d) Alltid är sant

e) Skulle kunna vara sant f) Aldrig är sant

Samtliga respondenter svarade att detta aldrig kan vara sant och samtliga gav också samma (rätta) moti-vering till varför det inte kan vara sant. Det betyder sannolikt att samtliga elever förstår skillnaden i notat-ion mellan och .

23 Läraren tittar på frågan och gör en snabb bedömning ” Jag tror inte att det är så många som svarat att det alltid är sant men det är nog inte helt omöjligt att några har svarat att det skulle kunna vara sant. Det är för snälla siffror för att de inte ska kunna detta.”

De intervjuade fick nu istället frågan

Titta på uppgiften nedan och avgör om

d) Alltid är sant

e) Skulle kunna vara sant f) Aldrig är sant

Åtta av nio tillfrågade svarade direkt att det aldrig är sant. En elev (elev nummer 2) svarade ”Alltså det beror på vad x är. Det är ju inte samma men det kanske skulle kunna finnas någon siffra det kan funka för. För… för det borde egentligen vara för x plus x är ju och det är inte x upphöjt till 2. Det beror på vilken siffra x egentligen står för.” Detta visar på en förståelse av vad x egentligen är, ett okänt tal. Tyvärr kommer eleven ifråga aldrig fram till vilken siffra som borde vara lämplig att substituera med då denna elev fortsätter sitt resonemang:

Kanske funkar x är lika med 1? För 1·1 är ju samma sak som 1+… Nä det är det ju inte! Vänta. Då är det nog inte sant. Fast 2 kanske? plus är ju lika med och gånger är lika med upphöjt till två. Nä, det stämmer ju inte heller. Jag tycker att det borde gå men jag testar att sätta olika siffror framför x men det blir inte lika… Fast det borde kunna funka. Det beror på hur siffrorna funkar med gånger och plus. Jag vet att det skulle kunna vara sant men jag vet inte hur. Det beror i alla fall på siffrorna. (Elev nummer 2)

När de övriga åtta respondenterna tillfrågades om man kunde prova att ersätta x med en siffra för att kon-trollera om deras uttalande just var sant kom många fram till samma slutsats. En elev berättar:

Om jag sätter in en 2:a istället för x blir det ju 2 plus 2 är ju lika med 2 upphöjt till 2. Ja just det! Det skulle ju kunna funka. 2 plus 2 är ju 4 och 2 upphöjt till 2 är ju också 4. Det stämmer ju! Men det kan ju inte alltid stämma? 10 plus 10 är ju 20 men 10 upphöjt till 2 är ju 100. Det skulle alltså kunna vara sant. (Elev nummer 6)

Uttrycket ovan är numeriskt ekvivalent för ett visst värde på x men aldrig algebraiskt lika. Detta vållar helt klart problem för ungdomarna. Libenberg et.al (1999) menar att förståelsen av en sådan här uppgift vittnar om att eleven har utvecklat både en syntaktisk- och en semantisk förståelse av likheten mellan uttrycken och . Min undersökning visar att eleverna spontant endast tittar på den algebraiska likheten och

24 dömer ut uppgiften istället för att titta på den symboliska likheten och reflektera över vad x egentligen står för. Återigen visar undersökningen att de intervjuade eleverna inte har variabelbegreppet helt klart för sig. Den intervjuade gymnasieläraren är medveten om att variabelbegreppet inte är lätt för våra elever. Han säger: ”Här finns det nog tyvärr en hel del som skrivit att det aldrig är sant. Har de sagt att det är sant har de nog haft tur fast de resonerat fel. De har inte tänkt på att x representerar olika siffror utan de tänker nog tyvärr fel och får det till rätt svar. ”

6.4 Struktur

Herscovics och Linchevski (1999) visar i sin undersökning att så pass enkla uppgifter som faktiskt vållar en hel del bekymmer. Eleverna väljer ofta att, istället för att se uppgiften som det står, utföra beräkningen . I ett försök att verifiera detta ombads de intervjuade be-räkna följande, tillsynes enkla, uppgift

Sju av eleverna räknade högt från vänster till höger och kom fram till resultatet 24. De två sista eleverna (elev nummer 5 och 6) svarade båda två att de såg att de två siffrorna i slutet av uppgiften blev 10 tillsam-mans så det enklaste var att addera de första tre tiorna till 30 och sedan subtrahera med 10 så att svaret blev 20. Samtliga respondenter fick nu en alternativ lösning presenterad för sig. De som svarat rätt fick den felaktiga lösningen presenterad och de som svarat fel fick den rätta lösningen presenterad. Samtliga respondenter uttryckte en osäkerhet men alla utom en valde sedan att tro på svaret 24. En elev (elev nummer 6), som tidigare angett fel svar, motiverade sitt ställningstagande på följande sätt: ”Jag tror att ordningen spelar in. Alltså i vilken ordning du räknar plus och minus. Om man räknar som det står då blir det öhhh… 24. Fast 24 måste vara rätt. Jag tänkte fel första gången. Jag tänkte att om jag sätter in en pa-rentes runt 8 plus 2 då blir det så. Men jag tänkte fel. Det finns ju ingen papa-rentes där.” Den sista eleven (elev nummer 3) som först svarat rätt blev väldigt osäker när den felaktiga lösningen presenterades. ”Konstigt! Jag fattar ingenting. Det ska inte spela någon roll hur man räknar plus och minus. Det ska bli samma svar i alla fall. Är det en sådan här uppgift som det kan finnas två svar till? Ja, så är det! Det har vi ju precis räknat på mattelektionerna. Det finns ju två svar till en sådan här uppgift. Båda är ju rätt!”. Lin-chevski och Livneh, (1999) kom i sin rapport fram till att många ungdomar har svårt för just den här typen av aritmetiska uppgifter. De menar att minustecknet fungerar som en frånkopplare (detacher). Linchevski och Livneh (1999) fann vidare att de ungdomar som räknat rätt och fick en felaktig lösning presenterad för sig vidhöll sitt eget svar och förkastade den felaktiga lösningen. De elever som istället räknat fel och fick den rätta lösningen presenterad för sig insåg sitt misstag och ändrade sitt svar till det rätta. En minori-tet av eleverna vidhöll sin egen felaktiga lösning men öppnade för att det skulle kunna finnas två svar som är rätt.

25 Den intervjuade gymnasieläraren menade att detta inte borde vara några större problem för eleverna. ”Jag tror de räknade precis som det står. 10, 20, 30, 22, 24.” När jag frågade honom om elevernas reaktioner när jag presenterade den alternativa lösningen för respondenterna sa han:

Nä, det tror jag inte de går på. Hade det istället varit ett minustecken där så det hade stått då kan du ha fått vilka svar som helst. Så fort det blir fler minustecken inblandade så kan det bli precis vad som helst. Jag hoppas att de inte tyckte att man kunde göra på det andra sättet. Förhoppningsvis körde några ”plusvarianten” och räknade och drog sedan bort 8 och då hamnar man ju på 24 igen så det borde inte vara några problem.

Läraren är till skillnad från Linchevski och Livneh, (1999), som menar att minustecknet fungerar som en frånkopplare, inne på att minustecknet istället fungerar som en distraktor som växer med antalet. ”Ju fler minustecken desto svårare har eleverna att hålla reda på vad som blir vad. Så fort det blir fler minustecken inblandade så kan det bli precis vad som helst.”

För att testa om samma typ av feltolkning kan dyka upp inom algebran testades eleverna på följande upp-gift

Samtliga elever gav svaret och ingen av eleverna ändrade sin utsaga när det felaktiga resultatet presenterades för dem. Kanske var detta mer ett resultat av att de kom ihåg den ovanstående uppgiften de fick vid ett tidigare skede i intervjun. Man kan inte utifrån resultatet i denna uppgift säga att de intervjuade eleverna skulle ha svårare för algebra än för aritmetik utan snarare tvärt om. Eleverna tycks ha lättare att se den algebraiska förenklingen än den aritmetiska beräkningen. Kanske hade resultatet blivit annorlunda på den sistnämnda uppgiften om den istället hade presenterats först för dem? Kanske skulle man ha presen-terat den algebraiska uppgiften först och den aritmetiska uppgiften sist för hälften av de intervjuade och vice versa? Det hade kanske gett ett helt annat resultat. Värt att notera är att den elev som tidigare hävdat att det kanske kunde finnas två svar på den tidigare uppgiften (elev nummer 3) svarade ett bestämt nej (!) när frågan ställdes om det inte kunde vara så att det finns två rätta svar på uppgiften. ”En sådan här ekvat-ion kan bara ha en lösning” sa den tillfrågade eleven.

Intressant att notera är också att det endast var elever som, enligt deras lärare, fått höga betyg i matematik, som svarade fel på uppgiften genom att lägga in en mental parentes runt de två sista termerna i första uppgiften. Vad beror det på? Kan det vara så att dessa elever lättare ser olika sifferkombinationer och, i detta fall, tiokamrater som gör att det blir ett tillfälligt tankefel? Hade resultatet blivit detsamma om siff-rorna hade varit annorlunda så att eleverna inte lurats att se sifferkombinationen så tydligt? Linchevski och Livneh (1999) hävdar att så inte är fallet i deras undersökning. De menar att minustecknet fungerar som

26 en frånkopplare (detacher) i alla liknande fall. Frågan kvarstår dock om våra äldre elever har vant sig av med denna typ av missförstånd och bara faller i fällan då de tydligt ser ett mönster bland siffrorna som skulle kunna förenkla beräkningarna avsevärt?

Läraren som intervjuades tror:

Eftersom det bara är ett minustecken så tror jag… Du vet är det flera minustecken så blandar de ihop tecknen så förbannat. De ser ju inte att tecknet står före siffran. Men det skulle inte förvåna mig om de gör fel på uppgiften eftersom x är inblandat här och då kan det hända vad som helst. Sannolikheten är nog större att de resonerar fel på den här uppgiften än på den aritmetiska upp-giften. Det är helt klart lättare att finta dem här om man vill och leda in dem på sidospår och få dem osäkra än på den förra uppgiften. Jag tror, tyvärr, att det är fler som har blivit lurade här än på den förra uppgiften.

6.5 Förenkling av bråk

I övergången mellan aritmetiska beräkningar och algebraiska förenklingar börjar man ta vissa saker för givet då man helt enkelt förutsätter att eleven redan kan och behärskar motsvarande moment från aritme-tiken (Warren, 2003). Ett sådant moment är förenkling av bråk. För att undersöka ungdomarnas förmåga att aritmetiskt förkorta bråk fick de i uppgift att beräkna följande tal

Alla nio eleverna valde som förstahandsalternativ att beräkna täljaren först, sedan nämnaren varpå de divi-derade svaren med varandra och fick resultatet tre. Vid frågan om de kunde göra på något annat sätt sva-rade åtta av nio elever att man kunde stryka två av treorna i täljaren och de båda treorna i nämnaren varpå resultatet återigen blev tre. Den nionde eleven (elev nummer 3) uppgav att den inte kunde se något annat sätt än att beräkna uppgiften som den stod. De åtta elever som valde att förkorta bort treorna i uppgiften ovan fick nu frågan vad som händer med en siffra man förkortat bort. En elev (elev nummer 1) uppgav att ”…tar jag bort den där 3:an med den andra 3:an där nere då blir det 1. Sen den där 3:an med den och se-dan dela då blir det 1 igen. Och då skulle 3 delat på 1 som blir 3. Jag skulle stryka 3:orna som då blir 1:or”. Ytterligare två elever resonerade på samma sätt. Fem av åtta elever uppgav att den ”försvinner”. Elev nummer 9 svarar:

Intervjuare (I): vad händer med en siffra man förkortat bort? Vart tar den vägen? Respondent (R): Den försvinner.

I: Vad exakt menar du med att den försvinner? R: Den bara försvinner. Det finns inget kvar.

27 I: Inget kvar, säger du. Blir det en nolla då eller?

R: Nä, ingen nolla. Det blir ingenting. Ingen siffra alls.

Denna typ av missförstånd kan komma att vålla enorma problem inom algebran. Gymnasieläraren kommenterar uppgiften:

De räknar nog i bästa fall 27 delat på 9 men utan miniräknare kan du säkert ha hittat de som räknade ut fel svar. I bästa fall kan du nog även ha hittat någon som har förkortat genom att stryka 3:or här och där. Potensräkning var det nog ingen som använde men det hade jag nog inte heller använt. Det är för enkla siffror för att koppla på potenser. Det går fortast med ”stry-kvarianten”.

För att se hur respondenterna i detta läge resonerar kring just en sådan algebraisk uppgift ombads de nu beräkna

Två av de elever som i uppgiften innan svarat att de strukna siffrorna blir ettor svarade helt korrekt att det måste bli ett delat på x. En elev (elev nummer 8) sa ”Jag skulle stryka två stycken x där uppe och två stycken x där nere då skulle det bli ett delat på x för när jag stryker får jag alltid en 1 kvar”. De övriga sju eleverna hade andra tankar kring hur uppgiften kunde behandlas. En elev (elev nummer 3) berättade

Jag kan räkna på två sätt. Jag kan ta att x tar ut varandra. Då har jag ett x kvar där uppe och två x kvar därnere… Det blir… x delat på och det är . Det blir 0,5! Eller vänta… mmm… det bli … tror jag. Men man kanske ska göra så här… hmm… är ju och är ju och delat på bli ju . [Skrattar] … Fast känns mer rätt. Eller, NEJ! Vänta! Jo, är nog rätt. Eller är det en sån här uppgift till där det finns flera svar? Det kanske finns två rätta svar? Jag tror det. eller .

Den vanligaste uppfattningen (fem elever) var dock att man resonerade som följande elev (elev nummer 1 som i den tidigare uppgiften redovisat att en struken siffra egentligen ska ersättas med en etta):

Respondent (R): Det var en bra fråga… Så kan man inte göra för då blir det noll. Intervjuare (I): Hur kan man inte göra?

R: Alltså x:ena tas bort men då blir det liksom inget x kvar där uppe. Alltså det blir typ 0 där uppe och det går inte. Men… Nä… Då skulle jag skriva delat på … typ”.

28 Eleverna inser att noll är ett orimligt svar men de hamnar helt klart i ett dilemma då de samtidigt inser att täljaren ”försvinner”. Svaren att och är inte ovanliga i sig, menar Malara och Iaderosa (1999). Felet bygger ofta på att eleven högt uttalar ”x är skrivet två gånger” respektive att ”x är skrivet tre gånger” och två gånger x är mycket riktigt precis som tre gånger x är .

Precis som Warren (2003) menar den intervjuade matematikläraren att eleverna inte tänker på att en för-kortad siffra eller variabel alltid lämnar en etta efter sig vid förkortning vilket oundvikligen leder fram till ganska enkla fel. Vidare håller läraren med Linchevski & Livneh (1999) om att eleverna tycks bli säkrare med en miniräknare vid sin sida. Läraren säger i intervjun att:

Här finns det ju en klar risk att de skriver ”x” här fast de förkortar och glömmer att det ska vara 1/x. Jag tror de är inne på att förkorta här men tyvärr tror jag många skriver x istället för 1/x. Du vet att när de förkortar så blir det ofta 0 kvar så kanske fick du även svaret 0/x. bekymret här är att resten som blir kvar efter förkortningen finns kvar i nämnaren och det… Blir resten kvar i täljaren så tänker de inte på ettan som är osynlig i nämnaren och därmed kan de inte tänka på samma sätt när resten finns kvar i nämnaren alltså att det blir då en etta i täljaren. //…// Det är synd att de inte ifrågasätter sina egna beräkningar på ett annat sätt. 0/x är ju 0 och kan verkligen x·x/x·x·x bli noll? Är det rimligt? De riktigt tragiska är att även de elever som vi tyck-er är duktiga sällan reflekttyck-erar övtyck-er sitt eget svar utan direkt sträcktyck-er sig efttyck-er miniräknaren och litar blint på det de har knappat in. I den här uppgiften hjälper ju det ofta inte att ha miniräkna-ren då den inte är symbolhanterande så det är lika många svaga som starka elever som åker dit på sådana här uppgifter. De starka eleverna har ofta lärt sig använda miniräknaren på ett bättre sätt och lyckas därför oftare få bättre resultat på proven men när det kommer till att resonera och räkna i huvudet så är det lika illa överallt.

6.6 Taluppbyggnad

Inom aritmetiken definierar man flersiffriga tal genom addition. Inom algebran utgår man från multiplikat-ion, (Matz, 1979 refererad i Chalouh & Herscovics, 1988). Respondenterna ombads resonera kring följande uppgift

Talet skulle kunna skrivas som . Kan skrivas som ? Varför/varför inte?

Alla elever höll med om att den numeriska uppgiften var korrekt beräknad. Tre av de nio tillfrågade ele-verna förkastade sedan den algebraiska delen helt. En av eleele-verna (elev nummer 5) förklarade ”Nä, det måste vara gånger för att det ska bli 4a. Mmm… Alltså det står gånger mellan 4:an och a:t. Inte plus. Allt det där är fel. Det går inte att förenkla så där. Det måste vara gånger mellan talen för att du ska kunna skriva . Till exempel gånger det blir men inte plus… Nej, det blir fel”. Övriga sex elever