Tre kunskapsområde i matematik

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

10 poäng

Tre kunskapsområde i matematik

Three Areas of Knowledge in Mathematics

An examination of the progress in the textbook series Mattestegen for school years 1-5

Maryam Ghasedi

Lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2007

Examinator: Agneta Rehn

S

Detta examensarbete har som syfte att studera progressionen i följande läroböcker; (a) Lilla

Mattestegen första till sjätte boken (Jakobson och Marand, 2005a-f) och (b) Mattestegen

(Backström och Rosenlund, 2003a-d), inom tre kunskapsområden; problemlösning, taluppfattning och rumsuppfattning. Genom att utgå från de mål som skolverket har satt upp för åk 5 och de teoretiska förkunskaper inom de tre kunskapsområden, undersöks de kunskaper som krävs för att lösa tre räkneuppgifter i Mattestegen B Höst/Vår Steg 5-8 (Backström och Rosenlund, 2003d). Undersökningen visar att läromedlet tar upp de kunskaper som eleverna behöver. Begreppen utvecklas i en logisk struktur, presenteras med hjälp av vardagsbegrepp, beskrivs i förhållande till andra begrepp och framställs med hjälp av lärarens engagemang och barnens kreativitet.

Nyckelord: Progression, Läromedel, Lilla Mattestegen, Mattestegen, Problemlösning,

I

2.2 Lärare och läromedel ... 10

2.3 Olika kunskapsområde ... 11 2.3.1 Problemlösning ... 11 2.3.2 Taluppfattning... 13 2.3.3 Rumsuppfattning... 16 3. Metod ... 18 3.1 Problemlösning ... 18 3.2 Tal uppfattning... 19 3.3 Rumsuppfattning... 19 3.4 Begränsningar ... 20 4. Resultat... 21 4.1 Problemlösning ... 21 4.1.1 Problemlösning ... 21 4.1.2 Begreppet ”hälften” ... 23 4.2 Taluppfattning... 24

4.2.1 Tals Betydelse och storlek ... 24

4.2.2 Användning av Ekvivalenta Uttryck... 26

4.3 Rumsuppfattning... 26 4.3.1 Längd ... 26 4.3.2 Area ... 28 5. Diskussion... 29 5.1 Problemlösning ... 29 5.2 Taluppfattning... 30 5.3 Rumsuppfattning... 32 6. Slutsats ... 34 7. Referenslista... 36

8. Bilaga A - Analystabell... 40

1.

I

År 1979, under den tidigare delen av den islamiska revolutionen i Iran, tog jag studentexamen i matematik och teknik. Ett år senare stängdes alla universitet och högskolor i landet. Därför kunde varken jag eller andra söka till universitet eller högskola. Istället började jag arbeta vid skoldepartementet, där jag fick skriva in olika forskares texter på skrivmaskin. Jag kände igen dessa texter från mina gamla skolböcker. Ju längre tiden gick, desto mer intresserad blev jag av vad forskarna arbetade med. Jag fick veta att forskarna ingick i olika kommittéer på skoldepartementet, som tillsammans med lärare, ansvarade för granskningen av de läromedel som användes eller skulle användas i landet. De texter jag skrev på maskin var en ny upplaga av en lärobok. Jag antog att beslutsfattandet kring läroböcker togs på liknande sätt i Sverige, men där hade jag fel. I Sverige ansvarar förlagen för både innehållet och leveransen av nya läroböcker och inte skolverket.

I Sverige framfördes ett förslag under 1970-talet om att alla förlag skulle bli statliga. Även om det avböjdes, äger staten fortfarande en del av förlagskoncernen Liber. Under perioden 1938-1991 var det statens roll att granska de läroböcker som förlagen producerade. Sedan 1938-1991 har staten ingen inblandning i utvecklingen av läromedel då allt blev privatiserat (Hultman och Martinsson, 2005). Därför har förlagen numera en stor roll inom barns lärande. Lärarens roll har också blivit större, då valet av läromedel numera är delvis upp till läraren och den ekonomi som skolan tillsätter för läromedel. Jag har valt att undersöka läroböcker, eftersom läroböcker är den sortens läromedel som de flesta lärare använder sig av. Oftast så används läroboken regelbundet eller som stöd till undervisningen.

Enligt Skolverkets rapport nr 221 (2002), ”Lusten att lära – med fokus på matematik”, förändras inte elevernas lust att lära om läroboken används som en del av ett varierande arbetssätt och olika metoder. Ska en lektion baseras endast på elevers förståelse och/eller även deras färdighet? Om vi satsar på att skapa kunskap, är det då inte förståelse tillsammans med färdighet, fakta och förtrogenhet som krävs? Det är därför viktigt att lärare har ett varierande arbetssätt och olika metoder, och att läroboken utgår från kursplanen och de mål eleverna ska uppnå.

1.1SYFTE

Mitt syfte är att studera och granska läromedlet; Lilla Mattestegen (Jakobson och Marand, 2005a-f) och Mattestegen (Backström och Rosenlund, 2003a-c), och undersöka huruvida det finns progression inom följande tre kunskapsområden; problemlösning, taluppfattning och rumsuppfattning. Jag kommer dessutom att undersöka om det finns en koppling mellan läroböckerna som samanlagt består av tio böcker och kursplanen i matematik för skolår 5 .

1.2FRÅGESTÄLLNING

I min undersökning utgår jag från de mål som ska uppnås för ämnet matematik enligt kursplanen för skolår fem (Skolverket, 2000). Jag vill med hjälp av min analys se både ifall matematikböckerna har en struktur som bygger på föregående färdigheter och kunskaper, samt huruvuda eleverna på detta vis bygger upp nya kunskaper och färdigheter. För att arbetet inte ska bli för stort har jag tillsammans med min handledare valt att undersöka följande frågor:

- Hur ser progressionen inom kunskapsområdena, problemlösning, taluppfattning och rumsuppfattning ut i läroböckerna ” Lilla Mattestegen” (Jakobson och Marand, 2005a -f) och ” Mattestegen” (Backström och Rosenlund, 2003 a-c)?

2.

T

I denna del kommer jag först att behandla elevers kunskapsutveckling. Sedan kommer jag att redogöra för lärarens förhållande till läromedlet. Slutligen presenterar jag de olika kunskapsområden som finns inom ämnet matematik.

2.1ELEVERS KUNSKAPSUTVECKLING

För att elever ska kunna uppnå mål inom ett ämne krävs, enligt Dewey (Egidius, 2000), att de har en tydlig förståelse för ämnet. När elever endast lär sig fakta, är det mindre troligt att de utvecklar kunskaper, som kräver balans mellan färdighet, förståelse, fakta och förtrogenhet. Det är därför viktigt att lärare i sin undervisning är uppmärksamma på att inte lägga betoning på den ena eller den andra kunskapsformen (Lärarförbundet, 2002).

Inom individens kognitiva utveckling, belyser Ingelstam (2004), två snarlika synvinklar inom kunskap och inlärning. Dels anser hon att förståelse och bearbetning av kunskap är åldersrelaterat, vilket hänvisar till den radikala konstruktivismen och dels att det skapas i det sociala sammanhanget, vilket hänvisar till den sociala konstruktivismen. Både radikala och sociala konstruktivismen talar om att kunskap är något privat som sker inom individen själv (Johansson, 1999). På motsatt sida står behaviorismen som hävdar att kunskap finns utanför individen och att den är abstrakt och för att individen ska kunna vidare utvecklas bör den gå igenom ett diagnostest vilket sker lätt inom det läromedelbaserade lärandet då mätbara kunskaper dominerar (Hultman och Martinsson, 2005).

Enligt Piaget (Ingelstam, 2004) konstruerar barn deras verklighet allt eftersom deras hjärnor utvecklas i tre steg; från simpla reflexrörelser till det mer abstrakta och slutligen det logiska tänkandet. Piagets teori bygger på hur utvecklingen av nya tanke - och handlingsmönster skapas eller påverkas från tidigare konstruktioner, därför är hans teori igenkänd som genetisk strukturalism (Ingelstam, 2004).

För att ta emot nya intryck använder vi oss av alla våra sinnen. När barn ser en sak eller hör ett ljud, aktiveras deras nervceller (perception) och intrycken överförs till hjärnan. Vilken betydelse dessa får beror på de erfarenheter barnen har fått i sin omgivning. Omgivningen hjälper barnen att förställa sig olika saker och händelser i form av en inre bild i minnet. Slutligen börjar barn

genom dessa abstraktioner och generaliseringar skaffa sig ett begreppsinnehåll (Evenshaug, 1992)

2.2LÄRARE OCH LÄROMEDEL

Läromedlets roll i lärarens vardag har undersökts av Daniel Jonsson och Maria Saverstam (2005) i deras examensarbete Laborativt matematikundervisning!. Resultatet av deras undersökning visar på att läromedlet har en varierande roll. I skolår 1-3, verkar den som ett stöd, men efter skolår tre ställs det större krav på lärarens egen initiativ och mindre på läromedlet. Praktisk innebär detta att elever i åk 4-6 bör ha tillräckliga kunskaper i matematiken för att kunna koppla den konkreta matematiken med den abstrakta. Det är däremot viktigt att lärare fortsätter använda sig av läromedel om behovet finns hos vissa elever, då laborativt arbete möjliggör kopplingen mellan matematiken i boken och vardagsmatematiken. Därför är det bra om läromedel är flexibelt, så att det tillåter lärare att kombinera dess användning med andra arbetssätt (Jonsson och Sverstam (2005).

I ett annat examensarbete ”Klassrumsaktiviteter för att utveckla och befästa elevers

taluppfattning under grundskolans år 1-3” (Sköld, 2002), intervjuas några lärare i skolår 1-3 om

deras arbetssätt. Många lärare anser att ett bra läromedel både ger struktur och agerar som en tillgång för elevernas fortsatta lärande. Samtidigt medger några att de använder sig av olika tips och idéer från läromedelsförlagen i sitt arbetssätt, därför är det ännu viktigare att läromedel följer samma grundsyn som läroplanen (Löwing et. al., 2002). Sköld (2002) påpekar att dagens läroböcker bygger på elevernas förståelse och färdigheter. Med det menas att eleverna ska ha tillräckliga förkunskaper i nästa område i läroboken för att kunna gå vidare.

Löwing el. al. (2002) belyser också vikten av att uppgifterna i ett läromedel kan knytas an med uppgifter i det vardagliga livet, samtidigt som de förbereder eleverna för utveckling av sitt lärande. För att man som lärare ska kunna utnyttja läroboken på bästa möjliga vis, är det viktigt att lyfta fram de förkunskaper som varje del kapitel eller bok kräver och att läroboken erbjuder en flexibilitet som gör det möjligt för läraren att individualisera.

2.3OLIKA KUNSKAPSOMRÅDE

Det finns tre områden i den grundläggande matematikundervisningen som är viktiga om eleverna ska uppnå de uppnående målen i slutet av skolår fem (Magne, 2002).

1. Problemlösning 2. Taluppfattning 3. Rumsuppfattning

Tillsammans anses dessa vara viktiga för att ge eleverna de grundläggande kunskaper de behöver inom ämnet matematik. På lång sikt hjälper de eleverna till att uppnå målen för skolår fem. Man bör notera att de tre kunskapsområden som presenterats, hör ihop och utvecklas parallellt.

2.3.1 Problemlösning

Problemlösning handlar om logiken som beskrivs med hjälp av språk, och att problemlösning oftast är knutet till språk och räknesättet får inte vara givet (Magne, 2002). För att kunna kommunicera använder vi oss av språket som ett redskap för tänkandet, vilket visar hur språk och kognition har med varandra att göra (Evenshaug, 1992).

Ahlberg et. al. (2000) anse r att små barn kommer i kontakt med problemlösningar redan i förskoleåldern när de t.ex. hanterar situationer som har med pengar och andra vardagsproblem att göra. Enligt matematikens karaktär och uppbyggnad, som presenteras i läroplanen, krävs det balans mellan idérika, problemlösande sysselsättningar och kunskaper om matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer för att lösa olika problem.

Mål som eleverna skall uppnå i slutet av det femte skolåret,

§ Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att kunna hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö

Enligt Ahlberg et. al. (2000) är problemlösning en central del av all matematikundervisning och har utvecklats till att inkludera allt mer vardagliga matematiska problem. Detta har skett för att elever i större grad ska finna matematiken som något ”meningsfullt”. På samma sätt som Magne (2002) anser Ahlberg el. al (2000) att eleverna har en uppfattning om problemlösning innan de lär sig de fyra räknesätten, då dessa grundar sig på tidigare erfarenheter. Denna utveckling är viktig för barns vidare utveckling inom andra området i matematik under deras skoltid. Däremot är det också viktigt att elever får träna sin färdighet inom räknesätten och förstå deras förhållande till varandra, och på så vis inte heller bli vana vid att endast utforma likformiga uträkningar, oberoende av vad uppgiften kräver. Detta innebär att eleven endast fokuserar på uträkningen och inte förståelsen kring innehållet i problemlösningen (Ahlberg el. al, 2000).

Det är viktigt att eleverna utvecklar sin förmåga i problemlösningar i en miljö, där de känner sig trygga och kan vara kreativa (Ahlström, et al., 2000). För att eleverna ska kunna utveckla bestående kunskap är det också bra att de utreder samma problem i olika sammanhang. Ett bra sätt att göra detta på är att få eleverna till att skriva egna händelseförlopp, och på så vis utveckla egna problemlösningar. Baroody (1987), precis som Magne (2002) och Ahlberg el. al. (2000), anser inte att problemlösningsuppgifter nödvändigtvis kräver att barn behärskar de fyra räknesätten.

Problemlösningar som är konkreta, berör enkla aritmetiska uppgifter och har ett klart och tydligt svar, utvecklar oftast basen som elever behöver för svårare problemlösningar (Ahlberg, el. al., 2000). Olsson (Ahlberg et. al., 2000) påstår att för att förenkla elevernas utveckling i hanteringen av dessa uppgifter är det också bra att använda sig av olika visuella och kreativa hjälpmedel, då detta agerar som ett stöd för deras tänkande. Det bör däremot noteras att detta även kan hämma de elever som vill rita ”perfekt”. Ett annat sätt att utveckla hanteringen av problemlösningar är enligt Olsson (Ahlberg, el. al., 2000) att elever formulerar egna uppgifter, speciellt om de redan har jobbat med olika uppgifter och kan således utveckla nya infallsvinklar.

Som det har beskrivits ovan är språk en viktig del av problemlösningar. Då mycket inom matematik är abstrakt får språket en allt viktigare roll. Magne (2002) belyser hur en dålig

ordförståelse, för t.ex. kvantitativa ord (fler, flest, få), ordningsrelationer (näst längst), likhetsrelationer (lika med, samma) eller storleksrelationer (högst, störst), påverkar elevens förståelse för problemlösningar och hur brister oftast leder till fel svar.

Däremot föreslår Magne (2002) att man inte ska lära ut matematik i form av isolerade färdigheter eller mekaniska läs - och skrivfärdigheter. Istället anser han att man ska utnyttja barnens naturliga nyfikenhet och använda sig av problemlösningar som är en förlängning av deras egna erfarenheter.

2.3.2 Taluppfattning

Taluppfattning kan definieras som känsla för tal och hur dessa kan hanteras (Ahlberg el. al., 2000). För att utveckla elevernas taluppfattning anser författarna att läraren ska låta elever få använda tal på ett konkret sätt och få tid att reflektera över dessa. Detta kan ske genom spel och olika mätövningar. Under den tidiga skolåldern anser man att detta kan ske i kombination med att rita och visuell kreativitet, men allt medan barns språk utvecklas kan detta ske mer i form av text. När elever har taluppfattning kan de lättare skapa en inre bild av de matematiska problem de ska lösa.

Enligt Magne (2002) börjar eleverna utveckla sin taluppfattning genom att träna med olika sorters mönster innan de börjar läsa och skriva,. I tidig ålder börjar elever bekanta sig med tal som del av lek vilket, enligt Magne (2002), skapar medvetenhet kring matematik. Därefter lär de sig att bli mer bekanta med talet 10, som vårt talsystem är baserat på och att sortera tal i storleksordning och förstå mönstret kring dem. Elever utvecklar sin taluppfattning genom att undersöka mönster,

Mål som eleverna skall uppnå i slutet av det femte skolåret;

§ Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk och decimalform,

§ Kunna förstå och använda begreppen addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna upptäcka tal mönster och bestä mma obekanta tal i enkla formler,

ordning, parbildning, grundtal, ordningstal, talramsa och pekräkning. Som det har diskuterats tidigare utvecklas taluppfattning och språk samtidigt. När barn t.ex. tränar parbildning lär de sig samtidigt att utveckla språk kring relationer mellan olika tal.

Enligt Hedrén (Grevholm, 2001) är taluppfattning en kombination av förståelse för tal och sambandet mellan dem. Han anser att taluppfattning blir viktigare när den skriftliga uträkningen datoriserats och huvudräkning och överslagsräckning ökar i betydelse.

Precis som Skolverket föreslog i ”Analysschema i matematik” (PRIM-gruppen, 2000) anser också Baroody (1987) att barn måste, innan de kan börja använda sig av olika räknesätt, ha taluppfattning och matematiska språket. Innan elever ska använda sig av olika räknesätt som redskap, krävs det att de har förståelse för; vardagsord, uppfattning av antal, symboler och obekanta tal och positionssystemet.

Enligt Olsson (Ahlberg et.al. , 2000) har skolverkets Kommentar till grundskolans kursplan och

betygskriterier i matematik presenterat sex olika aspekter som visar på god taluppfattning inom

grundskola. Dessa är följande; (1) tals betydelse och storlek,

(2) ekvivalenta uttryck och representationsformer, (3) operationers innebörd och funktion,

(4) användning av ekvivalenta uttryck,

(5) strategier för beräkning och antals bestämning,

(6) referenspunkter vid mätning och rymlighetsbedömningar.

Hedrén (Grevholm, 2001) nämner också de ovanstående som en beskrivning av god taluppfattning men inkluderar även

(7) förståelse för tals relativa storlek samt (8) kännedom om tals delbarhet.

2.3.2.1 Addition och Subtraktion

Baroody (1987) håller med andra forskare om att barn tidigt genom deras vardagserfarenheter utvecklar en förståelse för grundläggande aritmetiska koncept som ”plus och minus”. Författaren poängterar också hur viktig antaluppfattning är för utvecklingen av barns taluppfattning.

Innan eleverna börjar med antalsuppfattning säger hela räknesekvensen, t.ex. att om det finns tre klossar på bordet och eleven ska räkna dem börjar eleven med ett, två och tre och svarar att det finns tre klossar på bordet, då barnet kopplar det sista räkneordet med det antal klossar som finns på bordet (Ahlberg el. al., 2000).

För att börja med att räkna några (antal) föremål utan att räkna upp från allra första början ska eleverna arbeta med små grupperade mängder i form av strecksymboler som används vid olika spel som t ex brännboll, //// På detta sättet kan barnen se en grupp strecksymboler som består av fem streck. Varje gång eleverna möter en sådan grupp behöver de inte räkna från början utan de vet helt enkelt att där finns fem streck. Enligt Sterner (Ahlberg et. al., 2000) är det viktigt att eleven upptäcker och förstår vårt tiobassystem genom 5-talen eftersom många elever använder sig av fingrar vid räkningen och det blir lättare för många elever att se förhållandet mellan 5 oc h 10 som 5 + någonting (Ahlberg el. al., 2000).

Positionssystemet är en viktig del av taluppfattningen, om en elev inte har uppfattningen av positionssystemet då kan det enligt Analysschemat (PRIM gruppen, 2000) tolka talet 14 som en ”ett och fyra” eller ”ett och fyra är lika med fem”.

Det är också viktigt att elever skapar förståelse för de fyra räknesätten (Ahlberg, el. al., 2000). Här är det viktigt att skilja på subtraktionen som en ta bort funktion och differens funktion

Eleverna börjar med addition oftast innan de börjar skolan i form av uppräkning av antal, genom uppräkning av föremål. För att eleverna ska kunna utveckla en bra teknisk grund för vidare additionsräkningar anser Kilborn (1989) att det är viktigt att undervisningen i matematik sker

med hjälp av elevernas vardagserfarenheter och i samband med utvecklingen av deras matematiska språk.

2.3.3 Rumsuppfattning

Enligt Ahlberg et.al. (2000), matematik handlar i många situationer om relationer, strukturer och mönster. Elever börjar med att placera olika föremål i storleksordning, vilket mäts och jämförs med hjälp av längd. Detta utmanar eleverna till att använda olika uttryck som lång – längre – längst vilket leder till en naturlig kommunikation kring geometriska föremål. Elever lägger också tidigt märke till dem olika mönster och former som finns i deras vardag och att man i vardagslivet ofta behöver utföra mätningar av olika slag, som t.ex. längd. För att elevernas förståelse av mätningar och måttsystem ska utvecklas, bör de få arbeta med att mäta med olika enheter praktiskt. Ahlberg et.al. (2000) poängterar att det är viktigt att eleverna får använda sig av alla sina sinnen under dessa övningar. På så vis utvecklar eleverna de grundläggande erfarenheter som hjälper dem att förstå olika geometriska begrepp.

Enligt Analysschemat (PRIM gruppen, 2000) har elever förståelse för längd, innan de utvecklar förståelse för omkrets. Många barn börjar tidigt med att mäta olika längder med hjälp av klossar som enhet. Det viktigaste är att barn lär sig att använda en enhet i deras beskrivning av längd, i detta fall ”klossar”. Många barn har redan i förskolan börjat med formuppfattningen genom att nämna trianglar för trekantiga eller kvadrater för fyrkantiga (Ahlberg et. al., 2000). Barn börjar med sorteringar och placeringar av sina leksaker utifrån storlek och ibland bygger de olika geometriska former.

Mål som eleverna skall uppnå i slutet av det femte skolåret, eleven skall

§ ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva grundläggande egenskaper hos geometriska figurer och mönster

§ Kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar och massor (Skolverket, 2000)

undersökande aktiviteter kan man aktivt stimulera deras nyfikenhet och intresse för vidare utveckling av den rumsuppfattningen (LPO94). Genom att jämföra, uppskatta och mäta längder och areor kan eleverna, genom sina vardagserfarenheter, utveckla sin förståelse för geometri (Ahlström et. al., 2000).

Enligt Heinrich Bauersfeld (Engström, 1998), är det lätt att undvika geometriska uppgifter ur scheman i skolan när det är brist på tid. När eleverna lär sig att koppla det abstrakta och det konkreta, är det bra att använda sig av ”geometrisk hypnotisering” (Engström, 1998). Detta kan göras t.ex. när man staplar upp klossar för att skapa förståelse för talen mellan 1-10 eller när man utgår från areabegreppet för att kunna förstå vad bråken innebär. Bergsten et. al. (1997) presenterar hur elever kan förknippa multiplikationen med area. Genom att börja med rutor eller punkter i rektangulära mönster i de n tidiga undervisningen lär sig barn att förstå begreppet area. Detta är inte bara möjligt, utan har också visats ge bra grund både för multiplikationskunnande och area tänkande (Bergsten et. al., 1997)

3.

M

Jag har undersökt läromedlet ”Lilla Mattestegen” (Jakobson och Marand, 2005) och

”Mattestegen steg 1-5” (Backström och Rosenlund, 2003) , som tillsammans består av 10 böcker.

Undersökningen bygger på de kunskapsområden, som anses vara grundläggande inom matematikundervisningen (Magen, 2000), dvs. a) problemlösning, b) taluppfattning och c) rumsuppfattning, och grundar sig i dokument analys som är del av de kvalitativa forskningsmetoder som finns , som enligt Johansson och Saverstam (2005) är baserat på resultat och fakta.

Tre skilda uppgifter med behov av olika förkunskaper valdes ut ur böckerna Mattestegen steg 5-8

höst respektive Mattestegen steg 5-8 vår (Backström och Rosenlund, 2003). De valda uppgifterna

utgör;

1. Problemlösning, 2. Uträkning av tal 3. Geometrisk uppgift

Genom att utföra en dokume nt analys, granskade jag huruvida det fanns progression och en uppbyggnad av de förkunskaper som krävs för att lösa de utvalda frågorna. I samtliga läroböcker granskas innehållet som motsvarade de olika kunskapsområdena och resultatet presenteras i tabell form (se bilaga A) som sedan används för att analysera innehållet. De mål för baskunskaper i matematik som eleverna behöver uppfylla baserades på kursplanen i matematik (Skolverket, 2000) och de är dessa som används för att avgöra huruvida läroböckerna bygger upp de kunskaper som behövs för att fylla de mål som är uppsatta av skolverket.

3.1PROBLEMLÖSNING

1) I onsdags köpte Petra en ordbok och en kartbok. Kartboken kostade hälften så mycket som ordboken. Tillsammans kostade böckerna 150 kr. Hur mycket kostade ordboken? (Mattestegen B Höst Steg 5-8, Backström och Rosenlund, 2003, uppgift 34, s.13).

räknehändelser. Eftersom uppgiften även krävde att eleverna har förstått uppgiftens innehåll, undersökte jag hur begreppet ”hälften” presenterades och behandlades genom hela läromedlet.

3.2TAL UPPFATTNING

2) Räkna på det sätt du tycker är bäst? 1,2+0,9=

(Mattestegen B Höst Steg 5-8, Backström och Rosenlund, 2003, uppgift 47 b, s.15). Skolverkets Kommentar till Grundskolans Kursplan och Betygskriterier i Matematik (Ahlberg et. al., 2000) poängterar sex olika aspekter som visar tecken på en god taluppfattning. Pga brist på plats valde jag att koncentrera min undersökning på utvecklingen av följande två aspekter;

a. tals betydelse och storlek och

b. användningen av ekvivalenta uttryck i den utvalda frågan.

Detta innebar att jag undersökte hur läroböckerna redogjorde för användningen av decimalt tal och de fyra räknesätten. I övrigt undersökte jag även hur likhetstecknet introducerades och behandlades.

3.3RUMSUPPFATTNING

3) Arean av det gröna området är 8 cm². Hur stor är arean av den stora rektangeln? (Mattestegen B Vår Steg 5-8, Uppgift 4, s.55)

För att lösa ovanstående uppgift krävs det att eleverna har en grundläggande rumsuppfattning, vilket skolverkets läroplan (Skolverket, 2000) har som mål för eleverna att uppnå i slutet av skolår fem. Jag undersökte därför på vilket sätt författarna av läroböckerna lilla Mattestegen (Jakobson och Marand, 2005a-f) och Mattestegen (Backström och Rosenlund, 2003a-d) presenterade begreppen;

a) längd och b) area.

Jag undersökte delvis storlek relationens utveckling, som t.ex. lång, längre, längst i läroböckerna samt hur begreppet area presenterades och vilka metoder som rekommenderas för att stärka begreppets förståelse hos eleverna.

3.4BEGRÄNSNINGAR

Inom kvalitativ forskning behöver man uppmärksamma att den data man samlar in är relevant och tillförlitlig, till skillnad från kvantitativa forskningsmetoder som behöver fylla en statistisk signifikans nivå. I framtida forskning, kan man för att validera och stärka resultatet av denna forskning, kombinera dokument analys med enkäter, dvs. kvantitativa forskningsmetoder, samt andr a kvalitativa forskningsmetoder som intervjuer och gruppdiskussioner med både elever, lärare samt författare till läromedel få en mer utförlig syn på denna typ av forskning. På så vis kan man genom triangulering motverka de brister som finns i de enskilda forskningsmetoderna och på så vis komma fram till ett mer generaliserad resultat.

4.

R

För att få en klar överblick över progressionen i samtliga böcker inom läromedlet Lilla

Mattestegen (Jakobson och Marand, 2005a-f) och Mattestegen (Backström och Rosenlund,

2003a-d), har det innehåll som direkt berör utvecklingen av de förkunskaper som krävs för att lösa de utvalda uppgifterna samlats in i en gemensam tabell (se tabell, bilaga A). Uppgifterna har valts med hänsyn till de mål som elever ska uppnå i slutet av skolår fem (Skolverket, 2000). I nedanstående del presenterar jag de förkunskaper som krävs för att lösa uppgifterna samt mindre tabeller som redogör över progressionen inom det enskilda ämnet.

4.1PROBLEMLÖSNING

1) I onsdags köpte Petra en ordbok och en kartbok. Kartboken kostade hälften så mycket som ordboken. Tillsammans kostade böckerna 150 kr. Hur mycket kostade ordboken? (Mattestegen B Höst Steg 5-8, (Backström och Rosenlund, 2003d))

Som jag beskrev ovan, så krävs det både att elever ha r tidigare erfarenheter av problemlösningar samt förståelse av textuppgiftens innehåll för att lösa uppgiften. I Mattestegens alla böcker undersöks därför (1) introduktionen och utvecklingen av problemlösningar (tabell 1), samt (2) införandet och behandlingen av det matematiska språket, specifikt begreppet hälften (tabell 2).

4.1.1 Problemlösning

Problemlösningar presenteras redan tidigt i Lilla Mattestegen Första Bok (Jakobson och Marand, 2005a) med hjälp av bilder och vardagliga symboler. I slutet av boken utvecklas problemlösningen till att innehålla mer text men med samma nivå av kreativitet som tidigare (se tabell 1).

Tabell 1: Problemlösning Första boken

- Rita och berätta - Räkna och berätta - Räknehändelse

Andra boken - Rita och berätta - Räknehändelse Tredje boken - Rita - Skriv räknehändelse - Skriv (geomtri s.22) Fjärde boken

- Rita och skriv räknehändelse

- Skriv och rita tiden s. 16 , 47

- På restaurang s. 59 (växla pengar)

- Enkla text uppgifter

- Visuella problemlösningar Femte boken - Textuppgifter (multiplikation och division)

- Räkna och skriv - Uträkningar

Sjätte boken

- Att förstå tabellen för att lösa uppgifterna s:18 - Räknehändelse tidtabell Steg 1-4 Höst - Geometri - Decimaltal s 61 - Stora tal s. 83 - Tabell s.118 - Diagram Steg 1-4 Vår - Bråk och decimaltal - Geometri

I Lilla Mattestegen Andra Bok (Jakobson och Marand, 2005b) innehåller problemlösningen förutom en teckning även en uträkning och ett svar. Problemlösningar med matematisk uträkning som kräver att elever använder sig av olika räknesätt, presenteras i ”Kalaset” i Lilla Mattestegen

Tredje Bok (Jakobson och Marand, 2005c). Under bokens gång fortsätter författarna att

kombinera problemlösning med andra vardagliga föremål, såsom timslag (”Klockan”) och pengar (”Skatten”). I Lilla Mattestegens Fjärde Bok (Jakobson och Marand, 2005d) används enkla textuppgifter, som utvecklas vidare under skolår fyra (Mattestegen A Höst, Backström och Rosenlund, 2003a) till geometriska textuppgifter (se tabell 1).

I Lilla Mattestegen Första till Fjärde boken (Jakobson och Marand, 2005a -d), använder sig författarna till stor del av visuella problemlösningar och från årskurs fyra ersätter uträkningar till stor del visuella frågeställningar (se tabell i bilaga A). Eleverna får även tidigt börja med egna räknehändelser (se tabell i bilaga A). I Lilla Mattestegen Första Boken (Jakobson och Marand, 2005a), använder sig författarna av en naturlig situation (en utflykt på en djurpark).

4.1.2 Begreppet ”hälften”

I ovanstående uppgift krävs det också att eleverna har förståelse för begreppet hälften. I Lilla

Mattestegen första (Jakobson och Marand, 2005a) och andra bok (Jakobson och Marand, 2005c)

möter eleverna begreppet ”hälften” för första gången (se tabell 2).

Tabell 2: Begrepp Första boken

- Lika många, dubbelt - Fler, färre, dela upp

Andra boken - Hälften

- Udda, jämna tal - Sortera, största - Ordningstal, - Första, andra… Tredje boken - Hälften så mycket - Skillnaden - Tyngst, lättast - Dubbelt, tillsammans Fjärde boken - Hur mycket, hur många - Skillnaden -Lodrätt, vågrätt och diagonalt - Dela lika Femte boken - Dela lika - Kortast, längst Sjätte boken - Addera - Subtrahera - Kortast - Multiplicera - Produkt

- Spegla, vrid och flytta

- Jämna och udda tal - Matematikspråket - Dubbelt, hälften minsta Steg 1-4 Höst - Likhetstecken s. 31 - Stapeldiagram - Linjediagram - Procent Steg 1-4 Vår

- Hela och delar - Andel, del av antal - Geometri

- Enhet

Författarna använder sig av öppna frågor och elevernas egen kreativitet för att bekanta dem med det nya begreppet. Under skolår två, finner man uttrycket som en delfråga. I Lilla Mattestegen

Tredje bok (Jakobson och Marand, 2005c) presenteras uttrycket i samband med talsorter (se

tabell 2 samt bilaga B). Samtidigt används det motsvarande begreppet ”dubbelt”. I Lilla

Mattestegen fjärde bok (Jakobson och Marand, 2005d) får eleverna arbeta med begreppet inom

mått och mätning. Begreppet hälften kan också presenteras i form av tal i bråkform, och finns med i en uppgift om klockan (Lilla Mattestegen Femte Boken, (Jakobson och Marand, 2005e). Begreppets användning inom problemlösning ökar (se tabell i bilaga B) och förklaras tydligt som en huvudräkningsmetod. Begreppet presenteras även inom procent räkning. Under vårterminen av skolår fyra, behandlar läroboken först och främst tal i bråkform (Mattestegen A Vår Steg 1-4, Backström och Rosenlund, 2003b).

4.2TALUPPFATTNING

2) Räkna på det sätt du tycker är bäst. 1,2+0,9=

(Mattestegen B Höst Steg 5-8, (Backström och Rosenlund, 2003d)

Här kommer jag att titta på de olika aspekter av taluppfattning som krävs för att lösa ovanstående uppgift. I Mattestegens alla böcker undersöks (1) tals betydelse och storlek (decimaltal), (2) användningen av ekvivalenta uttryck (likhetstecken)

4.2.1 Tals Betydelse och storlek

Decimaltal presenteras först i läroboken i skolår fyra och är därför inte med i någon av tidigare läroböcker (se tabell 3). I Mattestegen A Vår, Steg 1-4 (Backström och Rosenlund, 2003b), utvecklar författarna elevernas bekantskap med decimaltal, genom att dels presentera begreppet procent och dels genom att inkludera det i andra matematiska sammanhang som t.ex. Geometri (se tabell 4).

Tabell 3: Taluppfattning

Första boken Andra boken Tredje boken Fjärde boken - 5, 4, 3, 2, 1 - Tal och siffra - Talsorter (ental, tiotal) - Tallinje - Addition och - 1-100 - Klockan (tiden) - Spetstal subtraktion - Klockan (tiden) - Sortera - Klocka - 6, 7 ,8, 9, 10 - Talsystem (ental, tusental) - Uppskattning - Addition och subtraktion - Tallinje, talsorter - Mönster - Division och subtraktion - Olika räknestrategier - Diagram - Uppskattning - Olika räknestrategier - Ental, tiotal och hundratal - Additionstabell - Olika strategier - Ordningstal - Osynliga tal s.42 - Talsorter - Addition och subtraktion med stora tal

- Multiplikation 1*5 s.76

- 5*4 = 4*5 s. 80 - Udda och jämna tal

Femte boken - Multiplikation - (hoppa 3,4,…) - Division Sjätte boken - Tallinje - Olika strategier s.24 - Talsorterna (ental, tiotal osv.) s. 43 - Kvadrat, s.44 Steg 1-4 A Höst - Addition och Subtraktion - Positionssystem - Mönster s.12

- Uppdelning av tal

(tre-Steg 1-4 A Vår - Bråk och decimaltal s.7 - 3/4=6/8 olika namn för samma bråk - Osynliga tal s. 41 - Negativa tal, - Negativa tal s.57 fyrasiffriga tal) termometer s. 98 - Multiplikation och - Liggande och stående

division (addition) s.33 - Kvadrattal s.68 - Rektangel tal s.65 - Storleksordning - Positionssystem s.71 - Talets delbarhet s.82 - Tal i bråkform - Multiplikation och division - Osynliga tal s.35 - Decimaltal s.59 - Kvadrattal

- Division med stora tal s.81

Problemet kräver också att eleverna förstår tal i bråkform (se tabell i bilaga A) och hur man från en del kan räkna ut en annan del, detta lär sig eleverna när geometriska figurer kombineras med bråktal (Mattestegen A Vår Steg 1-4, Backström och Rosenlund, 2003b). Eleverna lär sig också att se mönster inom en geometrisk figur. Under vårterminen i skolår fem vidareutvecklar eleverna denna kunskap i samband med bråk och procent (Mattestegen B Vår Steg 5-8, Backström och Rosenlund, 2003d).

4.2.2 Användning av Ekvivalenta Uttryck

Likhetstecknet ”=” introduceras i Lilla Mattestegens första bok (Jakobson och Marand, 2005a) genom additionsräkning som visualiseras med hjälp av en bild på en våg. I och med att barnen bekantar sig med addition och ”räkna” börjar de använda likhetstecknet. För att ge eleverna förståelse om att man kan räkna på olika sätt, används tecknet i samband med dels addition och subtraktion och dels med hjälp av obekanta tal.

4.3RUMSUPPFATTNING

3) Arean av det gröna området är 8 cm². Hur stor är arean av den stora rektangeln? (Mattestegen B Vår Steg 5-8, Backström och Rosenlund, 2003d)

För att eleverna ska kunna lösa ovanstående uppgift krävs det att de har en grundläggande rumsuppfattning vilket skolverket har som mål för elever att uppnå i slutet av skolår fem. I Mattestegens alla böcker undersöks (1) längd, (2) area.

4.3.1 Längd

Begreppen längd innefattar både språk och rumsuppfattning. I Lilla Mattestegens första bok, (Jakobson och Marand, 2005a), får eleverna möta och utveckla sin förståelse för storleksrelationer som ”kortast” och ”lä ngst” (se tabell 4 samt bilaga A).

Tabell 4: Rumsuppfattning

Första boken Andra boken Tredje boken Fjärde boken - Mönster, kvadrat - Mönster, triangel, diagram - Mönster - Hörn, sidor - Kortast, längst - Att mäta, enhet (centimeter) - Mät längden, enhet - Månghörningar - Mäta längder i - Förkortning cm - Omkrets - Cirkel

"fot" - Mönster, rektangel, kvadrat - Uppskattning - Tangram - Längder och - Symetri - Cirkel, kvadrat, - Mönster enheter - Mäta sträckor, enhet meter triangel - Symmetri

_{- Symmetri - Textuppgifter s.85}

_{- Olika enheter}

Femte boken Sjätte boken Steg 1-4 A Höst Steg 1-4 A Vår - Längd (enhet, cm, - Mil, km - Problemlösning - Bråk och decimaltal m) - Centimeter, millimeter - Tabell, diagram - cm och mm

- Diagram - Pyramid, kon - Procent s.146 - Rektangel, kvadrat,

- Rektangel triangel

- Omkrets - Cirkel och dess

_{- Femhöringar egenskaper}

_{- Mönster S.73 - Kluriga omkrets}

_{- Diagram - Skala, karta}

_{- Klot, kub, cylinder, prisma, - m, dm - Rätblock, pyramid och kon - Vinklar}

_{s.74 - Längd}

Eleverna lär sig att använda sig av enheterna centimeter och meter och kombinerar sedan detta med storleksrelationer i andra boken (se tabell 4). Eleverna fortsätter att använda sig av olika mätningar och begreppet omkrets presenteras (se tabell 4). Begreppet längd används tillsammans med problemlösningar i Lilla Mattestegens Fjärde Bok (Jakobson och Marand, 2005d). Under skolår tre får eleverna också mäta längder och sträckor i enheten mil limeter (mm), (Jakobson och Marand, 2005c-d). I Mattestegen A Höst Steg 1-4 (Backström och Rosenlund, 2003a) används begreppen kring längd betydligt mer och då huvudsakligen i text uppgifter.

4.3.2 Area

För att förstå begreppet area krävs det att eleverna börjar med att förstå begreppet yta. I den Lilla

Mattestegen (Jakobson och Marand, 2005a-f) används inte begreppet area eller yta, istället läggs

vikten för begreppen längd (se ovan). I Mattestegen A Vår Steg 1-4 (Backström och Rosenlund, 2003b) går ma n tydligt igenom sträckor och att de kan vara både vågräta och lodräta. I avsnittet ”omkrets” presentera begreppet längden på sida i en rektangel. Begreppet area används inte förrän på vårterminen i skolår fem (Mattestegen A Vår Steg 1-4, Backström och Rosenlund, 2003b).

5.

D

I detta examensarbete, har jag haft som syfte att studera progressionen i läroböckerna; Lilla

Mattestegen (Jakobson och Marand, 2005a-f), Mattestegen (Backström och Rosenlund, 2003a-d)

inom tre kunskapsområden; problemlösning, taluppfattning och rumsuppfattning. Genom att utgå från kursplanen för skolår 5, valde jag tre olika räkneuppgifter i Mattestegen B Höst/Vår Steg 5-8 (Backström och Rosenlund, 2003), som berörde dessa kunskapsområden.

5.1PROBLEMLÖSNING

I Lilla Mattestegen Första till Fjärde bok (Jakobson och Marand, 2005a -d) använder sig författarna till stor del av visuella problemlösningar och uppmuntrar eleverna till att lösa uppgifter genom att rita och måla, i enlighet med vad läroplanens mål strävar mot (LPO94, 1998). Detta minskas successivt, och från skolår fyra ersätter uträkningar till stor del visuella frågeställningar. Eleverna hinner däremot vänja sig vid att utnyttja sin kreativitet för att förstå och lösa olika problemlösningar, vilket de senare använder för att förbinda det abstrakta till det konkreta. På så vis kan de även förstärka den inre bilden som krävs vid förståelse av problemlösningens innehåll. Som översikt, kan man se att vid en presentation av ett nytt begrepp använder författarna av elevernas egen kreativitet för att poängtera vikten av begrepps uppfattning till skillnad från uträkning. Detta visar på att eleverna utvecklas genom

översättningsövningar.

För att få eleven till att börja med egna räknehändelser, använder sig författarna av naturliga situationer (exp. en utflykt på en djurpark) vilket motiverar eleven till att använda sig av sin egen kreativitet genom att rita, men precis som för visuella frågeställningar minskar även denna form av egna räknehändelserna i samband med att uträkningar utvecklas. Jag undrar huruvida detta kommer att påverka elevernas intresse för matematik när textuppgifter tar över de kreativa och öppna frågornas plats?

Läroböckerna visar att elever kan hantera problemlösningar utan någon erfarenhet av de olika räknesätten och att deras kunskap kan byggas med hjälp av kreativitet. Författarna i serien använder sig också till stor del av teckning och vardagliga begrepp och följer på så vis forskarnas rekommendationer om att använda kreativa arbetssätt i kombination med fakta (Skolverkets rapport nr 221, 2002).

Enligt Magne (2002), är språk en viktig del av problemlösningar och en dålig ordförståelse för t.ex. storlekrelationer påverkar elevernas därför är det viktig att presentera begreppet i olika sammanhang. Författarna använder sig av öppna frågor och elevernas egen kreativitet för att bekanta dem med det nya begreppet. Uttrycket ”hälften” används som en delfråga och presenteras i samband med talsorter. Begreppet används inom mått och mätning och presenteras i form av tal i bråkform. För att eleverna ska befästa den nya kunskapen krävs att de använder begreppet i olika sammanhang vilket författarna har gjort.

Begreppet hälften har en naturlig del av uppgifterna och eleverna utvecklar samtidigt sin förståelse kring begreppet inom olika strategier, samt olika uttryck för dess förhållande till andra tal i bråkform. Enligt min uppfattning följer detta konstruktivismens idé om att kunskap bygger på tidigare kunskap, och det finns en tydig röd tråd i hur författarna bekantar eleverna med det matematiska språket. Om vi tittar vidare i böckerna om den kunskap som eleverna skaffar efter att ha löst den fråga vi analyserar, kan vi se att begreppet även förbereder eleverna för kunskaper om area

Inom problemlösning anser Ma gne (2002) och Ahlberg el. al. (2000) att elever bör ha erfarenheter av problemlösningar innan de lär sig de olika räknesätten och att en effektiv träning av deras färdighet inom området sker när man använder sig av vardagliga begrepp. Eftersom språk och problemlösning är relaterade undersökte jag också hur begreppet ”hälften” presenterades och behandlas genom hela läroboksserien. Undersökningen visar också att eleverna börja med att använda egna erfarenheter för att svara på öppna frågor likaså räknehändelser till avancerade uppgifter vilket leder det till att de kan lösa egna problem i sin närmiljö. Slutligen anser jag att eleven, i skolår fem, bör ha uppnått de kunskaper som krävs för att kunna visualisera och lösa exemplet på problemlösningen.

5.2TALUPPFATTNING

Redan i första skolåren barns tankemönster bearbetar för att förstå skillnaden mellan t.ex. färre och fler genom konkreta föremål, vilket enligt Piaget barn befinner sig i det konkreta operations stadium. Efter det här stadiet behovet av det konkreta föremålet minskar och börjar de med att

man addera 5 och 3 får man 8 och minskar man sedan med 3 får man tillbaka 5. På detta sätt kan de förstå att det finns strukturer i både verkligheten och tanken (Egidius.2002).

För att barn ska utveckla sitt lärande krävs att samspelet mellan assimilation (lärande och tänkande) och ackommodation (nytt sätt att se och tolka). Den logisk-matematiska struktur sker när eleverna förstår förhållandet mellan det konkreta och abstrakta företeelse (Egidius.2002).

Innan eleverna börjar med decimaltal har de inhämtat förståelse för de fyra räknesätten vilket används som ett verktyg i olika matematiska uppgifter (PRIM gruppen, 2000). Elevernas utveckling av förståelse av decimaltal sker genom att dels presentera begreppet procent och dels genom att inkludera det i andra matematiska sammanhang som t.ex. Geometri.

Problemet kräver också att eleverna förstår tal i bråkform och hur man från en del kan räkna ut en annan del, detta lär sig eleverna när geometriska figurer kombineras med bråktal, då det är viktigt att elever får repetera samma begrepp många gånger, så att kunskapen ska kunna befästas (Sköld, 2002). Författarna har väntat med att presentera decimaltal och koncentrerat sig istället på tal i bråkform. Det finns inte någon uppgift eller exempel på kopplingen mellan tal i bråkform och decimaltal. Enligt Hedrén (Grevholm, 2001) är taluppfattning en kombination av förståelse för tal och sambandet mellan dem vilket författarna i serien har glömt att lägga vikten på och därför tycker jag att eleverna kommer att vara tveksamma när de vill lösa uppgiften.

När eleverna ser talet ”1,2” och uttalar det ”ett komma två” förstår de nödvä ndigtvis inte innebörden att ”1,2”, är ”ett helt tal och tvåtiondedelar”. Här har läraren stor betydelse för elevernas kunskapsutveckling eftersom hon/han med hjälp av förklaringar och visualiserande kopplingar kan minska bristen i läromedlet (Daniel Johansson och Maria Saverstam, 2005). Däremot sker en naturlig utveckling i läromedelsserien; från ental till bråktal till decimaltal och slutligen procent, vilket visar på att böckerna har en progression i detta begrepp.

Eftersom en längre genomgång av decimaltal inte sker förrän vid ovanstående uppgift, är jag inte säker på om eleverna har tillräckligt förståelse för decimaltal för att kunna lösa uppgiften. Läroböckerna följer den strukturerade läroplanen utan att tänka på att kunskapsutvecklingen baseras på fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. Som jag har beskrivit ovan, tar Skolverket

upp, i sin artikel ”Lusten att lära med fokus på matematik”, att begreppet ”kunskap” innehåller fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet. Om kunskap består av dessa, då borde inte färdighetsträningar i sig vara tillräckliga för att erövra ny kunskap, och på så vis spelar det mindre roll ifall läroboken följer kursplanens mål eller inte. Om vi har som mål att leda elever i deras kunskapsutveckling, då räcker det kanske inte med att vi endast arbetar med färdighetsträningar?

Likhetstecknet ”=” introduceras genom additionsräkning som visualiseras med hjälp av en bild på en våg. I och med att barnen bekantar sig med addition och ”räkna” börjar de använda likhetstecknet. För att ge eleverna förståelse om att man kan räkna på olika sätt, används tecknet i samband med dels addition och subtraktion och dels med hjälp av obekanta tal. Uppgifterna visar att likheten kan läsas från både vänster till höger och tvärtom eftersom de är likvärdiga. Uttrycket presenteras i samband med summan av olika talserier. På så vis har tecknet utvecklats genom den första boken och följt den konstruktivistiska teorin. Då likhetstecknet är något som eleverna får använda sig av ofta, antar ja g att de i skolår fem har skapat förståelse för användningen av uttrycket vilket visar, i enlighet med skolverkets mening, att de även har utvecklat sin taluppfattning.

5.3RUMSUPPFATTNING

Enligt Egidius (2002) är grunden för pedagogiken för 2000-talet; självstyrning, uppgiftsbaserat lärande, delaktighet och jämställdheten. I dagens skolor ser man väldigt tydligt att både lärare och skolor följer målstyrning som finns i problembaserade lärande. Målstyrning är en egen styrning av innehållet och studiesättet mot fastställda må l som har tagits från läroplanen i ett specifikt ämne då är det viktigt att innehållet i läroböcker följer de mål Skolverket (Utbildningsdepartementet, 1998) satt upp (Egidius, 2002).

Enligt Ahlberg et.al. (2000), handlar matematik i många situationer om relationer, strukturer och mönster. Begreppen längd innefattar både språk och rumsuppfattning. För att eleverna ska ha en grundläggande rumsuppfattning bör de möta och utveckla sin förståelse för storleksrelationer som ”kortast” och ”längst” och deras enheter. Enligt Analysschemat (PRIM gruppen, 2000) har elever förståelse för längd, innan de utvecklar förståelse för omkrets. Många barn börjar tidigt med att

elevernas förståelse för begreppet när de möter begreppet i textuppgifter. På så vis kan man se att begreppet längd går igenom en logisk utveckling i läromedlet, som bygger upp elevernas rumsuppfattning.

För att förstå begreppet area krävs det att eleverna börjar med att förstå begreppet yta. Begreppet area används inte förrän på vårterminen i skolår fem (Mattestegen B Vår Steg 5-8, Backström och Rose nlund, 2003d). De uppgifter som bekantar eleverna med begreppet, visar att positionen av en geometrisk figur inte ändrar dess area. Med hjälp av olika kreativa och undersökande aktiviteter kan man aktivt stimulera elevernas nyfikenhet och intresse för vidare utveckling av den rumsuppfattningen (LPO94). Genom att jämföra, uppskatta och mäta längder och areor kan eleverna, genom sina vardagserfarenheter, utveckla sin förståelse för geometri (Ahlström el. al., 2000). Genom att klippa och klistra kan eleverna undersöka geometriska uppgifter vilket Ahlberg et.al. (2000) poängterade. Jag ser än en gång hur laborativ matematikundervisning är viktig för elevernas förståelse för ett nytt begrepp vilket Daniel Johansson och Maria Saverstam (2005) också har påpekat.

Jag tycker att författarna har använt sig av geometriska former för att befästa begreppet bråktal vilket lägger mindre betoning på begreppet area. Jag tycker att det är bra att författarna använder sig av elevernas kreativitet och att de utvecklar nya begrepp i en logisk ordningsföljd. Däremot tycker jag att uppgifterna kring area avancerar för snabbt och bygger inte på tillräckligt mycket kunskaper kring begreppet.

6.

S

Som jag nämnt tidigare har jag i detta examensarbete haft som syfte att stude ra progressionen i läroböckerna; Lilla Mattestegen (Jakobson och Marand, 2005a -f), Mattestegen (Backström och Rosenlund, 2003a-d) inom tre inlärningsområden; problemlösning, taluppfattning och rums uppfattning. Genom att utgå från de mål som skolverket har satt upp för skolår fem, valde jag tre uppgifter i Mattestegen B Höst/Vår Steg 5-8 (Backström och Rosenlund, 2003) som berörde inlärningsområdena problemlösning, taluppfattning och rumsuppfattning.

Inom problemlösning har forskarna föreslagit att barn ha r en uppfattning av problemlösningar innan de lär sig de olika räknesätten och att en effektiv träning av deras färdighet inom området sker när man använder sig av vardagliga begrepp. Eftersom problemlösning och språkuppfattning är relaterade undersökte jag också hur begreppet ”hälften” introducerades och behandlas genom hela läroboksserien. Författarna i serien använder sig till stor del av ritningar och vardagliga begrepp och följer på så vis forskarnas rekommendationer om att använda kreativa arbetssätt i kombination med fakta. Jag anser att elever i skolår 5, bör ha uppnått de kunskaper som krävs för att kunna visualisera och lösa exemplet på problemlösningen, vilket därmed följer konstruktivismens idé om att kunskap bygger på äldre kunskap och färdigheter. Innehållets konstruktion är även väl anpassad till läroplane n. Undersökningen visade också att författarna har lagt mer vikt på vissa begrepp, som decimaltal, trots att alla begrepp är lika viktiga. Detta är ett område där mer forskning kan göra nytta.

På samma sätt som problemlösning utvecklas decimaltal, inom inlärningsområdet taluppfattning, med hjälp av barnens vardag och i en logisk ordning som följer tron att kunskap bygger på tidigare kunskap. På så vis sker en naturlig utveckling i läroböckerna från ental till bråktal till decimaltal och slutligen procent, vilket visar på att böckerna har en ”röd tråd” i sin uppställning.

Rumsuppfattningen har utvecklats efter samma principer som de två tidigare. Däremot tycker jag att författarna använder sig av geometriska former främst för att befästa begreppet bråktal mer än begreppet area. Jag tycker att det är bra att författarna använder sig av barns kreativitet och att de

Min undersökning visar tydigt att det fanns en ”röd tråd” i hur författarna bekantar eleverna med det matematiska språket. Detsamma kan sägas för min undersökning kring taluppfattning och rumskuppfattning.

Skolverket tog upp, i sin artikel ”Lusten att lära med fokus på matematik”, att begreppet ”kunskap” innehåller fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet. Min undersökning visade även att läroböckernas innehåll är baserade på färdighetsträningar med korta genomgångar. Detta förstärker bara elevernas färdigheter. Om kunskap innehåller fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet, hur kan då läroböckerna med bara färdighets träningar leda eleverna i deras kunskapsutveckling och hur påverkar detta lärarens roll i undervisningen? Oavsett hur bra en lärobok är och hur väl den är anpassad till varje elev, är det ändå läraren som har den dominerande rollen i elevens utveckling av lärandet. Läraren väljer läromedlet, tar upp dess innehåll och didaktiserar det. För att en lärobok ska kunna hjälpa elever att uppnå de mål som skolverkets har satt upp för skolår fem, krävs det att en engagerad och motiverad lärare både ser och känner till de brister läroboken har och anpassar sina lektioner för att fylla dessa brister. Jag tycker att lärare borde fortsätta att använda läroböcker som stöd till sina lektioner, men de bör uppmärksamma vilken lärobok de följer då de har den valmöjligheten.

Det är intressant att undersöka vidare följande frågeställningar för att se lärarens syn på läroböckernas innehåll.

§ Varför ska vi ha en bra lärobok?

§ Hur mycket vet lärare om läroböckernas innehåll?

§ Hur viktigt är lärobokens innehåll för elevernas kunskapsutveckling?

Jag hoppas därmed att mitt arbete intresserar andra studenter att granska andra läroböcker och jämföra dem, och på så sätt hjälpa lärare välja läromedel som inspirerar både dem själva och deras elever.

7.

R

Ahlberg Ann, Bergius Berit, Doverborg Elisabeth, Emanuelsson Lillemor, Olsson Ingrid, Pramling Emanuelsson Ingrid och Sterner Görel, (2000), ”Matematik från början”, Göteborg Nämnare Tema

Ahlström Ronny, Bergius Berit, Emanuelsson Göran, Emanuelsson Lillemor, Holmqvist Mikael, Rystedt Elisabeth och Wallby Karin, (2000), ”Matematik – ett kommunikationsämne”, Göteborg, ISBN 91-884 50- 06 – 6 Nämnare Tema

Backström Inger, Rosenlund Kurt, (2003 a), ”Mattestegen A Höst (steg 1-4)” Stockholm: Natur

och kultur

Backström Inger, Rosenlund Kurt, (2003 b), ”Mattestegen A Vå rt (steg 1-4)” Stockholm: Natur

och kultur

Backström Inger, Rosenlund Kurt, (2003 c), ”Mattestegen BA Höst (steg 1-4)” Stockholm: Natur

och kultur

Backström Inger, Rosenlund Kurt, (2003 d), ”Mattestegen BA Vårt (steg 1-4)” Stockholm: Natur

och kultur

Baroody, Arthur J, (1987),” Children’s Mathematical Thinking”, USA: Columbia Universit y

Bergsten, Christer, Häggström Johan och Lindberg Lisbeth. (1997), ”Algebra för alla”, Göteborg, Nämnaren Tema.

Egidius Henry (2000), ”pedagogik för 2000-talet”, Stockholm, Natur och Kultur

Evenshaug Björn, Hallen Dag (1992), ”Barn och ungdomspsykologi”, Lund: Studentlitteratur

Grevholm Barbro (red) (2001), ”Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv” Lund; Studentlitteratur,

Hultman Glenn, Martinsson Bengt - Göran, (2005), ”Pedagogiskt arbete som forskningsfält-

Några forskningsinriktningar vid Linköpings universitet”, Linköping: ISBN 0284-1266

Ingelstam Lars och Lärarförbundet (2004), ”Kampen om kunskapen”, Stockholm: Kristianstads Boktryckeri AB,

Jakobson Britt, Marand Eva, (2005 a) ”Lilla Mattestegen första boken,” Stockholm; Natur och

kultur

Jakobson Britt, Marand Eva, (2005 b) ”Lilla Mattestegen andra boken,” Stockholm; Natur och

kultur

Jakobson Britt, Marand Eva, (2005 c) ”Lilla Mattestegen tredje boken,” Stockholm; Natur och

kultur

Jakobson Britt, Marand Eva, (2005 d) ”Lilla Mattestegen fjärde boken,” Stockholm; Natur och

kultur

Jakobson Britt, Marand Eva, (2005 e) ”Lilla Mattestegen femte boken,” Stockholm; Natur och

kultur

Jakobson Britt, Marand Eva, (2005 f) ”Lilla Mattestegen sjätte boken,” Stockholm; Natur och

Johansson, Bo & Svedner, Per-Olov (2001). ” Examensarbetet i lärarutbildningen

Undersökningsmetoder och språklig utformning”, Uppsala: Kunskapsföretaget

Johansson Daniel & Saverstam Maria,(2005) ” Laborativ matematikundervisning i Ett steg mot

ett mer lustfyllt lärande”, elektronisk resurs, hämtas, 2006.12.20 från

k 6 B % 3 C % S = &btnG + Saverstam + Maria = &q = sv&lr = scholar?hl / se . google . scholar ://: http

Johansson Kjell, (1999), ”Konstruktivism i distansutbildning – studerandes uppfattning om

konstruktivistiskt lärande”, Luleå tekniska universitet, ISBN 91-7191-644-X

Kilborn Wiggo, (1989). ”Didaktiskt ämnesteori i matematik – del 1- grundläggande aritmetik”

Stockholm: ISBN 91-47-02993-5

Kilborn Wiggo & Löwing Madeleine, (2002). ”Baskunskaper I matematik – för skola, hem och

samhälle” Lund: Studentlitteratur

Lärarförbundet, (2002), ”Lärarens handbok”, Solna, Lärarförbundet

Magne Olof (2002) ”Barn upptäcker matematik- Aktiviteter för barn i förskola och skola”, Umeå, SIL , ISBN: 91-7838

PRIM-gruppent (2000), ”Analysschema i matematik – för åren före skolår 6”, Stockholm, Skolverket.

Skolverket (2000). Grundskolan kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket/Fritzes.

Sköld Pia (2002) ”Klassrumsaktiviteter för att utveckla och befästa elevers taluppfattning under

grundskolans år 1-3”, Hämtas 2006 12 20 från http://scholar.google.se/scholar?q=Klassrumsaktiviteter+f%C3%B6r+att+utveckla+och+bef%C3

%A4sta+elevers+taluppfattning+under+grundskolans+%C3%A5r+1-3&hl=sv&lr=&btnG=S%C3%B6k

Utbildningsdepartementet (1998). ”Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet och de

8.

B

A

-

A

Taluppfattning Rumsuppfattning Problemlösning Begrepp

Första boken

5,4,3,2,1

addition och subtraktion 6,7,8,9,10

mönster, kvadrat kortast, längst mäta längder, fot som längd enhet.

Rita och berätta räkna och berätta räknehändelse

lika många, dubbelt fler, färre, dela upp dela lika, fattas, hur många,

Andra boken

tal och siffra 1-100

klockan (tiden)

talsystem (ental, .tusental) uppskattning

addition och subtraktion tallinje, talsorter

mönster, triangel, diagram att mäta, enhet (centimeter) förkortning cm

mönster, rektangel, kvadrat symetri

mäta sträckor, enhet meter

Rita och berätta räknehändelse

hälften

udda, jämna tal sortera, största ordningstal, första andra .. Tredje boken talsorter(ental, tiotal) klockan(tiden) sortera mönster

division och subtraktion olika räknestrategier diagram uppskattning tallinje olika räknestrategier 14-6= s:59

ental, tiotal och hundratal

mönster mät längden, enhet omkrets uppskattning cirkel,kvadrat, triangel Symmetri rita, skriv räknehändelse rita, skriv (geomtri s22)

hälften så mycket skillnaden tyngst, lättast dubbelt, tillsammans

Taluppfattning Rumsuppfattning Problemlösning Begrepp Fjärde boken tallinje spetstal klocka additonstabell olika strategier ordningstal osynliga tal s:42 talsorter

additrion och subtration med stora tal

multiplikation 1*5 s76 5*4=4*5 s:80 hörn, sidor månghörningar cirkel tangram mönster symmetri textuppgifter s_85 olika enheter

rita och skriv räknehändelse skriv och rita tiden s:16 , 47 på resturang s:59 (växla pengar) enkla text uppgifter

hur mycket, hur många skillnaden

lodrätt, vågrätt och diagonalt dela lika hur lång, hur högt Femte boken multiplikation(hoppa 3,4,…) division Längd (mm, cm, dm) Diagram textuppgifter (multiplikation och division

räkna och skriv

dela lika kortast, längst Sjätte boken olika strategier s:24 talsorterna (ental,tiota osv)s:43 kvadrat, s:44 negativa tal s:57

multiplikation och division kvadrattal s.:68

storleksordning positionssystem s:71 talets delbarhet s:82 Tal i bråkform

Mil, kilometer, centirmeter, millimeter Pyramid, kon Rektangel Omkrets Femhörningar Mönster (s.73) Diagram

Klot, kub, cylinder, prisma Rätblock

att förstå tabellen för att lösa uppgifterna s:18 räknehändelse tidtabell Addera subtrahera kortast multiplicera produkt

spegla, vrid och flytta jämna och udda tal dubbelt, hälften matematikspråket minsta

Taluppfattning Rumsuppfattning Problemlösning Begrepp

Steg1-4 A höst

addition och subtraktion positionssystem

mönster s:12

uppdelning av tal (tre-fyrasiffriga tal) liggande och stående (addition)s:33 osynliga tal s:35 decimaltal s:59 rektangeltal s:65

multiplikation och division kvadrattal

division med stora tal s:81 procent problemlösning tabell, diagram procent s:146 geometri decimaltal s:61 stora tal s:83 tabell s:118- diagram likhetstecken s:31 stapeldiagram linjediagram procent Steg1-4 Avår bråk och decimaltals:7 3/4=6/8 olika namn för samma bråk osynliga tal s:41

negativa tal, termometer s:98

bråk och decimaltal cm och mm

rektangel,kvadrat,triangel och l cirkel och deras egenskaper

bråk och decimaltal geometri

Hela och delar andel, del av antal geometri enhet Steg1-4 Avår kluriga omkrets skala, karta m,dm vinklar längd