Strukturanalys av skyddsrör för temperaturgivare

(1)

Strukturanalys av skyddsr ¨

or f ¨

or

temperaturgivare

Structural analysis of protective tubes for temperature

sensors

Examensarbete, 15 hp, Produktutveckling och design, VT 2019 Examensarbete, 15 hp, Maskin- och materialteknik, VT 2019

Mattias Tidefelt August Zedigh

(2)

Sammanfattning

Temperaturgivare är ett instrument för temperaturmätning som används i stor ut-sträckning i industrin. M˚anga g˚anger installeras temperaturgivare i farliga miljöer vilket medför att h˚allfastheten hos givarna är av yttersta betydelse. För att minimera risken för att en temperaturgivare ska g˚a sönder kan bland annat beräkningsmodeller för h˚allfastheten tas fram. Dessa modeller kan användas för att skapa diagram och tabeller ˚at företag för att lättare avgöra hurvida en temperaturgivare h˚aller eller inte i en given processmiljö.

I detta arbete föresl˚as tryck-temperaturdiagram för temperaturgivares skyddsrör som baserats p˚a framtagna beräkningsmodeller. Beräkningsmodellerna tillämpas ¨

aven till matematisk kod för att kunna reproducera resultaten. Beroende p˚a na-tionella standarder s˚a varierar dimensioner och material p˚a skyddsrör vilket medför att diagrammen skiljer sig ˚at. Skyddsrören belastas av ett yttre övertryck och ett böjmoment fr˚an ett processmediums flöde. Dessa belastningar används i förh˚allande till specifika temperaturer för att tillhandah˚alla ett maximalt till˚atet övertryck i processen. H˚allfasthetsstudien innefattar även beräkningar av skyddsrörens egenfre-kvenser som ett första steg för fortsatt arbete med de vibrationer som processmediets flöde runt skyddsrören skapar.

Initialt undersöks h˚allfastheten hos skyddsrören genom att betrakta systemet som en fast inspänd konsolbalk p˚averkad av en utbredd last där risken för plastisk deformation ökar p˚a grund av spänningsbidrag fr˚an det yttre övertrycket. Även en modell för att erh˚alla ett maximalt till˚atet övertryck för att inte riskera rörknäckning tas fram. I denna modell anses samexistensen av en elastisk och en plastisk re-gion i rörväggens tvärsnitt ligga till grund för en reducerad spänningsgräns mot rörknäckning. Det böjande momentet och det yttre övertrycket orsakar axiella sp¨ ann-ingar som ocks˚a ing˚ar i beräkningarna för den reducerade spänningsgränsen mot rörknäckning. Beräkningarna utförs ocks˚a enligt icke-symmetriska rör där initial ovalitet har inkluderats, vilket resulterar i ett reducerat kritiskt övertryck.

H˚allfasthetsberäkningar med FEM utförs för att undersöka var sp¨ anningskoncen-trationer uppkommer i skyddsrören och hur dessa förflyttar sig vid ett ökat övertryck för r˚adande lastfall. Även rörknäckning studeras med hjälp av FEM för att un-dersöka hur rördimensioner och randvillkor p˚averkar storleken av till˚atet övertryck mot rörknäckning.

Arbetet resulterar i framtagna beräkningsmodeller skrivna i kod för maximalt till˚atet övertryck och egenfrekvenser. Flera diagram med avseende p˚a de olika have-rityperna samt egenfrekvenser för undersökta skyddsrör redovisas utifr˚an dessa mo-deller. En tabell över samtliga skyddsrörs egenfrekvenser vid 200°C redovisas även som ett komplement. För fortsatt arbete bör svetsars h˚allfasthet samt uttmattnings-brott i skyddsrören genererade av vortex inducerade vibrationer undersökas närmre. Detta arbete har inte tagit hänsyn till dessa aspekter som tros ha en stor inverkan p˚a skyddsrörens h˚allfasthet.

(3)

Abstract

Temperature sensors are instruments for temperature measurement that are wi-dely used among industries. Temperature sensors are often installed in dangerous environments, which implies that the strength of a temperature sensor is of the ut-most importance. In order to minimize the risk of brekage in a temperature sensor, strength models can be produced. These models can later be used by companies to create charts and tables to more easily determine whether or not a temperature sensor will break in a given environment.

In this study, several pressure- temperature diagrams are proposed based on calculated models for the protective tube of temperature sensors. The calculation models are also applied to mathematical code in order to be able to reproduce the results. Depending on national standards, dimensions and materials vary on protective tubes, which means that the diagrams differ. The protective tubes are loaded with an external pressure and a bending moment from the flow of the pro-cess medium. These loads are applied for different temperatures in order to get a maximum permissible external pressure of the process. The strength study also in-cludes calculations of the protective tubes natural frequencies as the first step for continued work on vibrations caused by the flow around the protective tubes.

Initially, the strength of the protective tubes is examined by considering the system as a cantilever beam affected by a spread load where the risk of plastic deformation increases due to stress contribution from the external pressure. Another model for obtaining a maximum permissible pressure to prevent pipe collapse is also produced. In this model, the coexistence of elastic and plastic region in the cross section of the housing is considered as basis for a reduced stress limit against pipe collapse. The bending moment and the external pressure cause axial stresses that are included in the calculation of a reduced stress limit against pipe collapse. The calculations are also carried out for non-symmetrical pipes where initial ovality considerations have been included, which results in a reduced critical pressure.

Strength studies with FEM are performed to study where stress concentrations occur and how these move with an increased external pressure for the given load situation. Pipe buckling is also studied with FEM to investigate how pipe dimensions and boundary conditions affect the size of permissible pressure against pipe buckling. This study results in calculated models written in code for maximum permissible pressure and natural frequencies. Several diagrams with respect to the two different strength studies and natural frequencies for the examined protective tubes are pre-sented. A table for all of the protective tubes natural frequencies at 200°C is also presented as a complement. For continued work, the strength of the weldments and the fatigue failure in the protective tubes generated by vortex induced vibrations should be investigated more closely. This work has not taken these aspects into ac-count which are believed to have a major impact on the strength of the protective tubes.

(4)

F¨

orord

Detta arbete omfattar ett examensarbete för högskoleingenjörsutbildningar p˚a Malmö universitet inom ”Produktutveckling och Design” samt ”Maskin och Materialteknik”. Vi vill tacka Krohne Inor för att vi har f˚att möjligheten att utföra v˚art examensar-bete p˚a detta företag. Vi vill även särskilt tacka Peter Alex-Petersen och Christina Bjerkén som har handlett oss under detta examensarbete.

Malm¨o, Juni 2019 Mattias Tidefelt August Zedigh

(5)

Inneh˚

all

1 Inledning 1 1.1 Problemformulering . . . 3 1.2 Syfte . . . 3 1.3 M˚al . . . 3 1.4 Avgr¨ansningar . . . 3 2 Teori 4 2.1 Str¨omningsmotst˚and . . . 4

2.1.1 Fullt utvecklat laminärt flöde i ett cirkulärt rör . . . 5

2.1.2 Vattnets densitet . . . 6

2.2 Tyngdpunkt och b¨ojsp¨anning . . . 6

2.3 Lamés formler för tjockväggigt rör . . . 7

2.4 Von Mises effektivsp¨anning . . . 7

2.5 Kritiskt övertryck mot rörknäckning . . . 7

2.5.1 Ovalitet . . . 9

2.5.2 Reducerad till˚aten sp¨anningsgr¨ans . . . 10

2.6 Modalanalys . . . 11

3 Metod 11 3.1 Datorst¨odd konstruktion . . . 12

3.2 Finita elementmetoden . . . 12

3.3 Matematisk programmering . . . 13

4 Resultat 13 4.1 Specifikationer f¨or svenska skyddsr¨or . . . 13

4.2 Beräkning av böjspänning . . . 15

4.3 Plastisk deformation . . . 16

4.4 R¨orkn¨ackning . . . 18

4.5 FEM-simulering av sp¨anningsf¨ordelningar . . . 21

4.6 FEM-simulering av r¨orkn¨ackning . . . 22

4.7 Egenfrekvenser utifr˚an modalanalys . . . 25

5 Diskussion 26

6 Slutsatser 29

Referenser 30

A Tyngdpunktsber¨akning A1

B Matlab kod för maximalt till˚atet övertryck för plastisk deformation B1 C Matlab kod för maximalt till˚atet övertryck för rörknäckning C1

(6)

D Matlab kod f¨or egenfrekvenser D1

E Diagram f¨or maximalt till˚atet tryck E1

E.1 Ovriga diagram f¨¨ or plastisk deformation . . . E1 E.2 Ovriga Kn¨¨ ackningsdiagram . . . E6

(7)

1 Inledning

I v˚art moderna samhälle produceras det mesta enligt givna regler och produkter har tydliga krav som m˚aste uppfyllas. För att kunna leverera produkter som uppfyller dessa krav används en mängd olika sensorer och givare inom modern produktion. Vid processer där fluiders temperatur önskas styras används temperaturgivre i olika for-mer. Dessa ska kunna ge snabba responstider p˚a temperaturskiftningar och h˚alla för de belastningar som processen utgör. Processen kan inneh˚alla olika typer av fluider, strömningshastigheter, tryck samt olika temperaturintervall och temperaturgivaren m˚aste s˚aledes anpassas efter detta.

Temperaturgivarna konstrueras p˚a flera olika sätt beroende p˚a tillverkare, typ av applikation och r˚adande regelverk. Krohne Inor [1] är ett av företagen som tillverkar temperaturgivare. Bland annat tillverkar företaget temperaturgivare som är avsedda att användas i en processmiljö med ett statiskt yttre övertryck och ett processflöde. I figur 1 visas en av dessa temperaturgivare som best˚ar av kopplingshuvud, halsrör, processanslutning och skyddsrör. Dessa komponenter omsluter en mätinsats, som ¨

ar den del av givaren som mäter temperaturen i dess nedre spets. För att täta temperaturgivaren har skyddsröret bland annat en bottenplugg som svetsats fast och en svetsfog mellan processanslutning och skyddsrör. Komponenternas utformning kan variera beroende p˚a vilket land som temperaturgivaren skall användas i p˚a grund nationens standarder.

Figur 1: Temperaturgivare och m¨atinsats, som anv¨ands vid temperaturstyrning i processer med fluider, tillverkade av Krohne Inor [1].

Temperaturgivarens skyddsrör utsätts dels för ett böjande moment p˚a grund av processmediets flöde, dels för spänningar genererade fr˚an det yttre övertrycket. I figur 2 illustreras en installerad temperaturgivare i ett processrör samt de yttre krafter som p˚averkar skyddsröret. D˚a processer kan innefatta höga tryck, giftiga eller explosiva fluider och höga temperaturer blir det s˚aledes viktigt att skyddsröret h˚aller för de belastningar som uppst˚ar. Flödet runt skyddsröret kan även skapa turbulens och ge upphov till s˚a kallade vortex inducerade vibrationer vilket kan medföra att

(8)

skyddsr¨oret hamnar i resonans [2].

Figur 2: Yttre kraftp˚averkan p˚a ett skyddsr¨or. I processr¨oret finns ett statiskt ¨

overtryck och ett laminärt flöde vinkelrätt mot skyddsrörets längdriktning.

Om det p˚a n˚agot sätt uppst˚ar läckage i skyddsröret, till exempel p˚a grund av spricktillväxt, riskerar givaren att sluta fungera d˚a elektronik i kopplingshu-vud kan g˚a sönder. Ett värre scenario är att explosiva eller giftiga gaser med mycket högt tryck och temperatur läcker ut utanför en sluten process. Det är s˚aledes inte bara temperaturgivarens funktionalitet som är av intresse vid dimen-sionering utan även processanläggningen samt personsäkerheten. P˚a grund av des-sa risker är det av yttersta vikt för företaget att kunna grantera h˚allfastheten för temperaturgivarnas skyddsrör. Detta görs bland annat genom att använda sig av tryck-temperaturdiagram och tabeller över skyddsrörens egenfrekvenser. Diagram-men anger maximalt till˚atet övertryck p˚a skyddsrören vid en viss temperatur och flödeshastighet av processmediet.

(9)

1.1 Problemformulering

De tryck-temperaturdiagram som Krohne Inor använder är gjorda utifr˚an tyska skyddsrörs dimensioner och material. Detta medför en osäkerhet i huruvida dessa diagram överensstämmer för skyddsrör tillverkade efter andra nationella standar-der. Även egenfrekvenser finns bara tabulerade för tyska skyddsrör. Dessutom sak-nas information om vilka beräkningar eller experiment som data för dessa diagram och tabeller baserats p˚a, vilket medför att diagram och tabeller för andra natio-ners standarder inte g˚ar att reproducera. Genom att undersöka de belastningar som skyddsrören p˚averkas av kan beräkningsmodeller för skyddsrören tas fram och med dessa kan diagram över maximalt till˚atet tryck samt egenfrekvenser genereras. Finita element simuleringar är även ett bra komplement för att styrka analytiska undersökningar.

1.2 Syfte

Syftet med arbetet är att underlätta valet av temperaturgivare till kund med avse-ende p˚a skyddsrör som är tillverkade efter olika nationella standarder. Genom att minska osäkerheten kring huruvida företagets tryck-temperaturdiagram och egenfre-kvenser för de tyska skyddsrören överensstämmer med andra nationella standarder hoppas kunders krav p˚a produkten kunna säkerställas.

1.3 M˚

al

M˚alet med arbetet är att erbjuda företaget underlag utifr˚an undersökningar rörande h˚allfastheten hos temperaturgivares skyddsrör. Dessa underlag innefattar ber¨ aknings-modeller för plastisk deformation, rörknäckning och egenfrekvens. Genom att tillämpa beräkningsmodellerna till matematisk programmering möjliggörs snabba framst¨ all-ningar av tryck-temperaturdiagram samt egenfrekvenser för olika nationers standar-der. Denna kod tillämpas för att ta fram tryck-temperaturdiagram och egenfrekven-ser för skyddsrör tillverkade enligt svensk standard.

1.4 Avgr¨

ansningar

För vätskor som flödar i ett processrör kan b˚ade laminärt flöde och turbulent flöde r˚ada. Ett laminärt flöde i en process betyder dock inte att turbulens inte sker runt ett objekt i samma process. Om turbulens runt objektet i processen r˚ader skapas virvlar med en viss frekvens [2]. Om virvlarnas frekvens motsvarar objektets egenfrekvens skapas resonans, som ofta är oönskat, och objektet bör s˚aledes dimensioneras med avseende p˚a detta. I detta arbete undersöks endast ett fullt utvecklat laminärt flöde i processen och det tas ingen hänsyn till eventuell turbulens runt skyddsröret. Ingen hänsyn tas heller till processmediets dämpande inverkan p˚a egenfrekvensen.

Vid sammanfogning av komponenter med hjälp av svets skapas alltid restsp¨ annin-gar som uppst˚ar i och runt om svetsen. Dessa restspänningar försämrar materialets

(10)

h˚allfasthet avsevärt [3]. En vanlig typ av svets är kälsvets. Detta arbete behand-lar kälsvetsar p˚a skyddsröret som svarvade käl och bedömningen av h˚allfastheten grundar sig istället p˚a en höjd säkerhetsfaktor.

Vid analytiska beräkning av maximalt till˚atet övertryck för rörknäckning och plastisk deformation räknas materialet i skyddsrören som idealplastiskt. Detta medför att ingen hänsyn tas till h˚ardnande i materialet efter att plasticitet initieras och oförhindrad utböjning samt rörknäckning anses ske d˚a effektivspänningen n˚ar ma-terialets sträckgräns utan ökat spänningsbidrag [4]. Utmattning, krypning och kor-rosion samt hur temperaturväxling p˚averkar materialet undersöks ej.

2 Teori

De krafter som p˚averkar skyddsröret är dels ett böjande moment och dels ett ytt-re övertryck i processröret. Det böjande momentet uppkommer fr˚an processmediets flöde och beror även p˚a fluidens densitet. I detta kapitel presenteras beräkningsteorier som kan tillämpas för de olika haverityperna plastisk deformation och rörknäckning i förh˚allande till r˚adande lastfall. Även teori rörande modalanalys för att kunna beräkna egenfrekvenser redovisas i detta kapitel.

2.1 Str¨

omningsmotst˚

and

D˚a en kropp sänks ner i en fluid kommer denna kropp att utsättas för en motst˚ ands-kraft. Detta strömningsmotst˚and FD (Eng: Drag Force) verkar i motsatta riktningen

mot str¨omningshastigheten. Denna kraft kan tas fram f¨or den p˚averkade kroppen enligt

FD =

ρv2_C DA

2 , (1)

d¨ar ρ, v, CD och A svarar mot mediets densitet, str¨omningshastigheten, motst˚

andsko-efficienten och profilarean av den p˚averkade kroppen. Motst˚andskoefficienten CD ¨ar

en enhetslös kvantitet som varierar beroende p˚a kroppens form och orientering i mediets flödesriktning. För att bestämma CD behövs Reynolds tal som f˚as fr˚an

Re=

ρvd

µ , (2)

där µ är fluidens viskositet och d är den p˚averkade kroppens profilbredd. För en cylinder blir denna profilbredd lika med cylinderns ytterdiameter. Med Reynolds tal känt kan motst˚andskoefficienten CD bestämmas och med det kraften FD. För en

(11)

Figur 3: Motst˚andskoefficient CD f¨or cylinder i korsfl¨ode som funktion av Reynolds

tal Re [2].

2.1.1 Fullt utvecklat laminärt flöde i ett cirkulärt rör

Hastighetsprofilen för ett fullt utveckat laminärt flöde i ett cirkulärt rör visas i figur 4 där radien R0 är rörets innerdiameter och Rl är avst˚andet fr˚an centrumlinjen där

hastigheten önskas mätas. Även pocessmediets medelhastighet vmed visas i denna

fi-gur. P˚a grund av skjuvkrafter mellan vätska och rörvägg s˚a är hastighetsfördelningen s˚adan att den närmar sig noll vid rörväggen och n˚ar sitt maximala värde i mitten av röret [5].

Figur 4: Hastighetsprofil i ett cirkulärt rör med fullt utvecklat laminärt flöde där me-delhastigheten, processrörets innerradie och avst˚andet fr˚an centrumlinjen där has-tigheten mäts är markerad.

(12)

En approximation av hastighetsprofilen för ett fullt utvecklat laminärt flöde ges av v(Rl) = 2vmed(1 − R2 l R2 0 ). (3)

Ekvationen säger att med radien Rl = R0 är strömningshastigheten noll och med

Rl = 0 ¨ar str¨omningshastigheten 2vmed.

2.1.2 Vattnets densitet

Vattnets densitet varierar avsevärt beroende p˚a om det är flytande eller i gasform. In-om aggregationstillst˚anden varierar även densiteten med temperatur och tryck. För flytande vatten finns det ett tryck för varje temperatur d˚a aggregationstillst˚andet ¨

overg˚ar till gas. Detta tryck kallas f¨or ˚angbildningstrycket [6].

En fluid kan anses vara inkompresibel, lätt kompresibel eller kompresibel. Gra-den av kompressibilitet beskriver hur mycket en fluids volym och därmed densitet varierar med temperatur och tryck. Inkompresibla fluider finns inte, men det kan vara fördelaktigt att räkna vätskor som inkompresibla. Trots att dessa egentligen ¨

ar lätt kompresibla kan det ge en god approximation vid beräkningar. Gaser kan däremot inte approximeras som inkompresibla utan m˚aste alltid räknas som kom-presibla fluider. [7] För en ideal gas används den ideala gaslagen

pV = nRT (4)

som inneh˚aller trycket p, volymen V , substansmängden n, den allmänna gaskonstan-ten R samt temperaturen T mätt i grader Kelvin [8]. Ekvation (4) gäller dock endast om gasen anses vara ideal, det vill säga att molekylerna i gasen inte tar upp n˚agon egentlig plats, denna ekvation kan dock användas som en god approximation. För att erh˚alla densiteten skrivs ekvation (4) om tillsammans med uttrycket nM = m där M är molekylmassan och m är massan av substansen. Denna omskrivning ger att

ρ = pM

RT. (5)

2.2 Tyngdpunkt och b¨

ojsp¨

anning

Lasters utformning kan variera fr˚an punktlaster till olika typer av utbredda laster. Om en fast inspänd konsolbalk p˚averkas av en utbredd last kan lastens storlek beräknas och ansättas i lastfunktionens tyngdpunkt i längdriktningen för beräkning av maximalt böjmoment. Funktioners tyngdpunkt i en dimension kan tas fram enligt

x = Rx1 x0 xf (x)dx Rx1 x0 f (x)dx (6) där x st˚ar för koordinaten i funktionens längdriktning [9]. För att ta fram den böjspänning som uppst˚ar i ett element används

(13)

|σb(x)| =

|Mb(x)|

I(x) · z, (7)

där Mb, I och z st˚ar för det böjande momentet, balkens tröghetsmoment och

av-st˚andet fr˚an den axiella centrumlinjen genom balken [10].

2.3 Lam´

es formler f¨

or tjockv¨

aggigt r¨

or

För att beräkna spänningarna som uppst˚ar i ett tjockväggigt rör enligt ett cylindriskt kordinatsystem med riktningarna r, θ och a som utsätts för ett inre eller yttre ¨

overtryck anv¨ands

σr= p · κ2 0 1 − κ2 0 (1 − r 2 0 r2 m ) (8) σθ = p · κ2 0 1 − κ2 0 (1 + r 2 0 r2 m ) (9) σa = p · κ2 0 1 − κ2 0 (10) där κ0 är kvoten av inre radien och yttre radien ri/r0 och rm är medelradien i

godset. [10]

2.4 Von Mises effektivsp¨

anning

För en punkt med ett fleraxligt spänningstillst˚and är det ofta av intresse att ve-ta storleken av den effektiva spänningen. För att bestämma denna används oli-ka flythypoteser, bland annat Trescas och von Mises [11]. Med dessa flythypoteser kan effektivspänningen σe beräknas fr˚an dess spänningstensor eller utifr˚an

huvud-spänningarna. I detta arbete kommer von Mises effektivspänning att användas enligt σe = 1 √ 2 p (σ1− σ2)2+ (σ2− σ3)2+ (σ3− σ1)2, (11)

där index 1, 2 och 3 st˚ar för huvudspänningarna [10]. Med känd effektivspänning i en viss punkt kan denna jämföras med sträckgränsen för att se huruvida materialet kommer att plasticera i denna punkt eller ej.

2.5 Kritiskt ¨

overtryck mot r¨

orkn¨

ackning

D˚a ett rör utsätts för ett yttre övertryck kommer den tangentiella spänningsf¨ ordeln-ingen σθ variera längs med rörets radiella tvärsnitt. De största spänningarna

upp-kommer p˚a rörets innervägg vilket innebär att plastisk deformation först kommer att ske p˚a rörets insida vid ett ökat övertryck. P˚a grund av detta skapas en plastisk samt en elastisk region i röret. Om den tangentiella spänningen blir tillräckligt hög

(14)

kan s.k rörknäckning ske. I figur 5 visas en översiktligt bild över hur den tangentiella spänningsfördelningen kan se ut tillsammans med plasticitetregionens utbredning tp

samt r¨orets godstjocklek t. [12]

Figur 5: Översiktlig bild p˚a den tangentiella spänningsfördelningen för ett rör som belastas av ett yttre övertryck. De streckade linjerna är symetrilinjer i rörets tvärsnitt. Bilden ˚ask˚adliggör även den plastiska respektive den elastiska regioner-na tillsammans med godstjockleken och plasticitetregionens utbredning. (Skiss efter figur 1 i [12])

.

Tidigare studier av Huang och Gao [12] har visat att det g˚ar att ta fram ett uttryck för det kritiska yttre övertrycket pp d˚a plastisk deformation inträffar för

ett idealplastiskt rörs innervägg. Genom att använda Lamés formel för tangentiellt riktad spänning d˚a tp = 0 ges detta uttryck av

pp =

2(d_t − 1)σp

(d_t)2 , (12)

där σp st˚ar för den spänningstorlek som krävs för att plasticetet ska initieras. För en

idealplastisk modell är σplika med materialets sträckgräns och plastisk rörknäckning

sker d˚a det yttre övertrycket är lika med pp. Samma studie har även visat att

det g˚ar att ställa upp ett uttryck som beskriver det kritiska yttre övertrycket mot rörknäckning med avseende p˚a elastisk kompression enligt

pe =

2Et d(1 − ν2₎₍₍d

t) − 1)

2, (13)

där ν är Poissons tal och E st˚ar för materialets elasticitetsmodul. Med tillg˚ang till de tv˚a kritiska trycken pp och pe g˚ar det sedermera att ta fram ett uttryck som

(15)

beskriver ett sammanvägt kritiskt tryck pc mot rörknäckning enligt 1 pc = 1 pp(κ1+ 1) + κ1 pe(κ1+ 1) , (14)

d¨ar κ1 ¨ar en konstant som tas fram enligt [12]

κ1 = 2(d_t − 1) (d t) 2₋ 2d t + 2 . (15) 2.5.1 Ovalitet

Huang och Gao [12] framför ocks˚a betydelsen av ovalitet för rörknäckning. Vid härledning av uttrycken för ppoch pehar röret förenklats till att vara cirkulär. I själva

fallet har rör alltid imperfektioner som uppst˚att exempelvis vid rörens tillverkning. Ovalitet är ett exempel p˚a imperfektion. P˚averkas röret av ett tillräckligt stort yttre ¨

overtryck kommer ovaliteten att öka till dess att röret knäcks. I figur 6 visas ett tvärsnitt p˚a ett rör som är cirkulärt, med en initial ovalitet samt en ökad ovalitet.

Figur 6: Illustration av tvärsnitt för ett cirkulärt samt ovalt rör. Belastas röret med ett yttre övertryck kommer den initiala ovaliteten att öka.

Den initiala ovaliteten e0 ber¨aknas enligt

e0 =

2(Dmax− Dmin)

Dmax+ Dmin

, (16)

där Dmin och Dmax st˚ar för den största respektive den minsta diametern. Läggs ett

yttre övertryck p˚a röret kommer ovaliteten att öka vilket g˚ar att beräkna enligt e = e0

1 − _pp

e

(16)

där e är den ökande ovaliteten. Fr˚an denna ekvation g˚ar det att urskilja att ovaliteten bara är definierad s˚a länge p < pe. Ökar ovaliteten s˚a pass mycket att Dmin= 0 f˚as

en kritisk ovalitet e = ec= 2 enligt ekvation (16) vilket ¨ar den maximala ovaliteten.

Det reducerade kritiska trycket mot elastisk kompression p0_e definieras av p0_e = pe(1 −

e0

ec

) (18)

när ovaliteten n˚ar det kritiska värdet ec. Med hänseende till ovalitet har Huang

och Gao ¨aven tagit fram ett uttryck som beskriver ett reducerat kritiskt tryck f¨or plastisk deformation p0_p. Detta uttryck ges enligt

p0_p = 2pp 1 + pp pe + 3e0 σp pp + q (1 + pp pe + 3e0 σp pp) 2_{− 4}pp pe (19)

och erh˚alls d˚a den maximaxla tagentiella spänningen uppn˚ar samma spänningstorlek som σp. Ur denna ekvation g˚ar det att notera att p0p minskar i förh˚allande till

ovali-tetens ökning. Tas hänsyn till ovalitet i ett rör bör även den ojämna tryckfördelning som uppkommer p˚a grund av ovaliteten undersökas. Den ojämna tryckfördelningen beskrivs enligt Huang och Gao som ev =p/p dë arep är det varierande trycket och p är medeltrycket. Med detta kan ekvation (19) skrivas om till ett plastiskt medeltryck enligt p_p = 2pp 1 + pp pe + (2ev + 3e0) σp pp + q (1 + pp pe + (2ev + 3e0) σp pp) 2_{− 4}pp pe , (20) där stuiden visar att en god approximativ relation mellan imperfektionerna e0 och

ev ¨ar att 2ev = 3e0. Med de reducerade kritiska trycken g˚ar det ¨aven att ta fram

ett sammanvägt reducerat tryck med hänsyn till ovalitet och ojämn tryckfördelning genom insättning av p0_e och p_p i ekvation (14). [12]

2.5.2 Reducerad till˚aten sp¨anningsgr¨ans

Antas systemet följa en idealplastisk modell är storleken p˚a den spänning som ger upphov till plastisk rörknäckning lika med materialets sträckgräns. P˚a grund av detta kan spänningsstorleken av σp ses som en maximal till˚aten spänningsgräns mot

rörknäckning. När ett rör utsätts för en axiell kraft kommer knäckning av röret att ske vid ett lägre yttre övertryck än för ett axiellt obelastat rör. Detta sker p˚a grund av att rörets insida lättare överg˚ar till den plastiska regionen. Huang och Gao [12] har utvecklat ett uttryck som reducerar den till˚atna spänningsgränsen σ0_p genom att ta hänsyn till axiell kraft, böjande moment och vridningslaster. Detta uttryck ges av σ_p0 = σp s 1 − 3τ 2 m σ2 p − 3(σa± σb) 2 4σ2 p −σa± σb 2σp ! , (21)

där skjuvande spänningar τm, axiella spänningar σa och spänningar p˚a grund av

(17)

2.6 Modalanalys

Vibrationer kan uppkomma d˚a ett objekt utsätts för en cykliskt varierande belast-ning. För ett system med en frihetsgrad studeras vibrationer som en massa som utsätts för en acceleration med utg˚ang fr˚an Newtons andra lag

F = m¨u, (22)

där F och ü svarar mot kraften och accelerationen. Om ett objekt anses vara odämpat ges rörelsen enligt

¨

u + ω_n2u = f0cos(ωtτ), (23)

där u och ωn är förskjutningen respektive egenvinkelfrekvensen. Högerledet i

ekva-tion (23) ¨ar den cykliskt varierande lasten d¨ar f0, ω, tτ som svarar mot accelerationen

(F/m), frekvensen och tiden. D˚a objekt best˚ar av utbredda massor och s˚aledes bör ses som system av flera frihetsgrader medför detta att systemet f˚ar s˚a m˚anga egen-vinkelfrekvenser som antalet frihetsgrader systemet har modellerats med. För varje tillagd frihetsgrad ges en korresponderande egenvinkelfrekvens ωn som är av större

storleksordning än den första s.k grundtonen ω0. Olika metoder har skapats för att

ber¨akna egenvinkelfrekvensen f¨or system med flera frihetsgrader. Rayleigh’s metod ¨

ar en av dessa metoder som bygger p˚a att den potentiella och kinektiska energin i systemet är konserverad. D˚a de undersökta skyddsrören kan ses som fast inspända konsollbalkar ger metoden egenvinkelfrekvensen för grundtonen enligt

ω0 = 3.516

r EI

ml3, (24)

där l är längden av balken. Lösningen till ekvation (23) ges av

u(tτ) = v0 ωn sin(ωntτ) + (u0 − f0 ω2 n− ω2 )cos(ωntτ) + f0 ω2 n− ω2 cos(ωtτ), (25)

d¨ar u0 och v0 svarar mot den initiala f¨orskjutningen och hastigheten. De flesta

fre-kvenser ω av cyklisk kraft har en självhämmande effekt och resulterar i att objektet hamnar i svängning med en given amplitud. Om frekvensen ω av lasten är lika med n˚agon av objektets egenvinkelfrekvenser ωn kommer objektet i fr˚aga att hamna i

resonans som innebär att svängningsamplituden kommer att öka med varje cykel. D˚a ω0 är den lägsta egenvinkelfrekvensen är det s˚aledes viktigast att h˚alla ω under

denna frekvens om underkritsik drift önskas. Resonans är en vanlig anledning till haverier och komponenter p˚averkade av cyklisk varierande last bör s˚aledes dimen-sioneras mot detta. [13]

3 Metod

Ett sätt att styrka analytiska beräkningar är att använda datorprogram som har möjlighet till att göra simuleringar som motsvarar problemet. Om m˚anga analytiska

(18)

beräkningar ska göras s˚a underlättas beräkningsprocessen avsevärt med hjälp av programmering i matematiska program. Metoder för dessa tillvägag˚angssätt beskrivs i detta kapitel.

3.1 Datorst¨

odd konstruktion

Datorstödd konstruktion (Eng: Computer-aided design, CAD) är ett samlingsord för olika sätt att skapa tekniska ritningar och konstruera 3D-modeller med hjälp av datorprogram [14]. Solidworks [15] är ett datorprogram som kan användas för konstruktion med CAD. Med verktyget skapas solid- eller friformsmodeller av t.ex. maskin- och konstruktionselement. Förutom att skapa 3D-modeller och ritningar inneh˚aller ofta CAD-programmen även olika typer av verktyg för att analysera ska-pad modell. Med möjlighet att välja material och olika typer av belastningar kan modellen enkelt analyseras utifr˚an tänkt situation med b˚ade snabba och precisa beräkningar.

3.2 Finita elementmetoden

Finita element metoden (FEM) innebär att en given fysikalisk situation beskrivs som ett ekvationssystem av partiella differentialekvationer för att p˚a s˚a sätt kunna stu-dera ett stort urval av olika problem. Metoden kan användas till att simulera en, tv˚a och tredimensionella problem. Genom att göra en diskretisering av den innefattade situationen kan helheten beskrivas utifr˚an elementens p˚averkan p˚a varandra.

Beroende p˚a situation kan ekvationerna variera men metoden grundar sig alltid p˚a samma princip. Bland annat kan deformation av en kropp p˚averkat av yttre kraf-ter tas fram, detta med ekvationer som grundar sig p˚a Hookes lag. Spänningsstorlekar, flöden och värmeledning är andra fysikaliska situationer som kan undersökas med FEM. [16]

För att underlätta beräkningar med FEM kan simuleringar utföras med CAD. Bland annat kan statiska analyser enligt en linjärelastisk isotrop materialmodell utföras (Eng: Linear Static Analysis) för att bland annat studera deformation och spänningsstorlekar hos ett objekt som utsätts för en eller flera laster [17]. Även knäckningsanalys kan utföras med CAD för att studera deformation hos objekt som genomg˚att knäckningshaveri samt för att ta fram ett s.k. BLF-värde (Eng: Buckling Load Factor) för gällande lastfall och geometri [18]. BLF-värdet är en säkerhetsfaktor mot knäckning som kan beräknas enligt

BLF = K¨ackningslast

P˚alagd last . (26)

Genom att multiplicera BLF-värdet med den p˚alagda lasten kan allts˚a storleken p˚a knäckningslasten tas fram enligt ekvation (26). Det ska noteras att de kalkylerade värdena av knäckningslasten ocks˚a utg˚ar ifr˚an en linjärelastik isotrop materialmodell men ingen hänsyn till imperfektioner i geometrin, material, last eller stöd tas med vid beräkningen. Simuleringen tar även ingen hänsyn till att den diskretiserade modellen

(19)

¨

ar styvare än den korresponderande modellen innan diskretisering. P˚a grund av dessa uteslutande aspekter är den beräknade käckningslasten betydligt högre sitt egentliga värde. [19]

3.3 Matematisk programmering

Integrerade utvecklingsmiljöer (Eng: Integrated Development Environment, IDE) användas för att programmera allt ifr˚an användargränsnitt till att utföra beräkningar. MATLAB är ett utvecklingsmiljö med flera matematiska verktyg som kan användas för att underlätta beräkningsprocesser [20]. Genom att skriva kod i form av skript kan MATLAB bland annat användas för att skapa diagram och utföra komplexa beräkningar p˚a ett effektivt sätt.

4 Resultat

I detta kapitel presenteras resultat för plastisk deformation, rörknäckning, FEM-simuleringar samt skyddsrörens egenfrekvenser. D˚a b˚ade plastisk deformation och rörknäckning beror p˚a samma beräkning av böjspänning redovisas detta separat där tyngdpunktsberäkningar visas i bilaga A. Dessa resultat har alla utg˚att fr˚an mate-rialspecifikationer och dimensioner för Krohne Inors skyddsrör för svenska tempe-raturgivare. De delar som är i direkt anslutning till skyddsröret antas även vara stumma. Beräkningsmodeller för plastisk deformation, rörknäckning och egenfre-kvenser skrivs i MATLAB, koden visas i bilaga B-D. FEM-simuleringar utförts med Solidworks för att studera spänningsfördelningar för r˚adande lastfall samt undersöka knäckningslaster för olika dimensioner p˚a skyddsrör. Diagram över maximalt till˚atet tryck som inte redovisas här och ˚aterfinns i bilaga E. Diagram över egenfrekvenser som inte redovisas här ˚aterfinns i bilaga F.

4.1 Specifikationer f¨

or svenska skyddsr¨

or

Specifikationer för Krohne Inors rörmaterial SANDVIK 3R65 [21] som används till svenska temperaturgivares skyddsrör visas i tabell 1. Temperaturintervallet som anges är 20°C-400°C. Detta temperaturintervall har valts för att enbart ange ma-terialspecifikationer under rekristallisationstemperaturen. Temperaturer över detta medför ett mjuknande i materialet [22].

(20)

Tabell 1: Materialspecifikationer för sömlöst rostfritt austenitiskt st˚al, SANDVIK 3R65 [21]. Ur tabellen f˚as temperaturen T , elasticitetsmodulen E, den plastiska spänningsgränsen vid 0.2% töjning Rp0.2% och Poissons tal ν.

T [°C] E [GPa] Rp0.2% [MPa] ν 20 200 220 0.25 50 197 200 0.25 100 194 180 0.25 150 190 165 0.25 200 186 150 0.25 250 182 140 0.25 300 179 130 0.25 350 175 120 0.25 400 172 115 0.25

I detta arbete används en generell säkerhetsfaktor mot plasticering. Initialt sätts denna säkerhetsfaktor till tv˚a, men p˚a grund av restspänningarna i och runt om svet-sarna p˚a skyddsröret ökas denna säkerhetsfaktor till tre. I beräkningarna används m˚atten och koordinatsystem enligt figur 7.

Figur 7: Skyddsrörets olika dimensioner samt valt koordinatsystem för beräkningar. Utifr˚an Krohne Inors preferenser listas de dimensioner och strömningshastigheter som har använts vid analysen i tabell 2. Alla diametrar och godstjocklekar ana-lyseras för respektive längd. De tv˚a längre skyddsrören analyseras med de max-imala flödeshastigheterna 3 m/s för vatten och 40 m/s för ˚anga. De tv˚a kortare skyddsrören analyseras med de maximala flödeshastigheterna 5 m/s för vatten och 60 m/s för ˚anga. Detta för att ta hänsyn till rörlängdens inverkan p˚a storleken av böjspänningen.

(21)

Tabell 2: Dimensioner p˚a undersökta skyddsrör Rörlängd [m] 0.1 0.16 0.25 0.4 Godstjocklek [mm] 1.0 2.0 2.5 Ytterdiameter [mm] 10.0 12.0 vmax,vatten [m/s] 5 3 vmax,˚anga [m/s] 60 40

4.2 Ber¨

akning av b¨

ojsp¨

anning

D˚a de största spänningskoncentrationerna kan uppst˚a vid käl finns förhöjd risk att brott kommer att ske i käl mellan skyddsrör och processanslutning [23]. Med detta antas det att spänningarna kring bottenpluggen är av mindre storleksordning än vid kälen och böjspänningen studeras endast mellan skyddsrör och processanslutning. Den böjspänning som uppst˚ar i skyddsröret uppkommer av strömningsmotst˚andet FD som beror p˚a densiteten och flödeshastigheten hos processmediet. I detta arbete

användas enbart vatten som processmedium. För att bestämma aggregationstill-st˚andet som r˚ader används ˚angbildningstrycket som gräns för att skilja vatten fr˚an ˚anga som visas i figur 8.

Figur 8: ˚Angbildningstryck f¨or vatten mellan 0°C och 374°C. .

Detta görs genom att varje tryck som testas för vald temperatur jämförs med ˚angbildningstrycket, om trycket är lägre än ˚angbildningstrycket vid vald temperatur behandlas vattnet som ˚anga där ˚angans densitet beräknas med ideala gaslagen (5). Om trycket är högre än ˚angbildningstrycket s˚a behandlas vattnet som inkompresi-belt med densistet för flytande vatten vid ˚angbildningstrycket enligt tabell 3.

(22)

Tabell 3: Densitet för flytande vatten som använts vid beräkningar vid olika tempe-raturer [6].

Temperatur [°C] 25 50 100 150 200 250 300 350 373 Densitet [kg/m3_] ₉₉₈ ₉₈₇ ₉₅₈ ₉₁₇ ₈₆₀ ₇₉₉ ₇₁₂ ₅₇₄ ₄₁₅

D˚a motst˚andskoeffecienten CDvarierar mellan 5·10−1och 102 ber¨aknas Reynolds

tal enligt ekvation (2) f¨or varje tryck som testas. Enligt figur 3 antar CD ett v¨arde

runt 1.0 i intervallet 102 _6R

e 65·105. Efter detta rasar CD f¨or att sedan stabilisera

sig. Det visar utifr˚an testade värden att Reynolds tal ligger mellan 104 till runt 106. För att täcka detta skrivs en approximation som ger CD värdet 1.2 för Reynolds tal

l¨agre ¨an 5 · 105 _{och ¨}_{over detta ges C}

D värdet 0.5. Värden som använts som viskositet

vid ber¨akningar visas i tabell 4 [6].

Tabell 4: Använda värden för dynamisk viskositet hos ˚anga och vatten vid relevanta temperaturer [6].

Temperatur [°C] 25 50 100 150 200 250 300 350 375 Viskositet vatten [10−6Pa·s] 890 547 283 182 134 106 87 70 46 Viskositet ˚anga [10−6Pa·s] 10 11 12 14 16 18 20 22 23

Hastighetsprofilen fr˚an ekvation (3) integreras över skyddsrörets längd och sätts in i ekvation (1). D˚a temperaturmätningen är ideal där flödeshastigheten är som störst antas temperaturgivarens skyddsrör n˚a halvvägs ner i processröreret. S˚aledes ¨

ar R0 = l och det strömningsmotst˚and som p˚averkar skyddsröret beräknas enligt

FD = ρ(2vmed)2CDd 2 Z l 0 (1 −R 2 l l2 ) 2 dRl. (27)

D˚a ekvation (27) endast ger storleken av kraften beräknas även hastighetsprofilens tyngdpunkt i skyddsrörets längdriktning vilka tillsammans ger den utbredda lastens kraftresultant i flödets riktning. Utifr˚an ekvation (3) och (6) beräknas hastighetspro-filens tyngdpunkt i längdriktningen till Rl= (3/8)l räknat fr˚an skyddsrörets

botten-plugg. Beräkningarna visas i bilaga A. Insatt i ekvation (7) beräknas böjspänningen vid kälen mellan skyddsrör och processanslutning för de olika skyddsrören. Bero-ende p˚a om röret undersöks med avseende p˚a plastisk deformation eller knäckning anpassas beräkningarna efter avst˚andet fr˚an den axiella centrumlinjen z därefter.

4.3 Plastisk deformation

Med utg˚angspunkt i Lamés formler för tjockväggiga rör samt ekvation (7) för ber¨ akn-ing av böjspänning beräknas von Mises effektivspänning i kälen mellan processan-slutning och skyddsrör. Utan skjuvspänningar resulterar ekvation (11) i

σe= 1 √ 2 p (σa− σθ)2+ (σθ− σr)2 + (σr− σa)2 (28)

(23)

med huvudspänningar i riktningar enligt ett cylindriskt koordinatsystem. Sträckgr¨ a-nsen Rp0.2%jämförs med den effektivspänning som genereras av yttre övertryck samt

böjande moment. Det yttre övertrycket pytter höjs inkrementellt med en bar vid

varje trycktestning till dess att sträckgränsen är n˚add. När sträckgränsen är n˚add sparas värdet pytter som ett maximalt till˚atet övertryck Pmax vilket är specifikt för

temperatur, l¨angd , ytterdiameter och godstjocklek. Koden visas i bilaga B.

I figur 9 visas det maximalt till˚atna trycket för tv˚a olika längder med samma godstjocklek och ytterdiameter. Skillnaden i till˚atet tryck innan och efter ˚ angbildning-strycket beror p˚a att storleken av v2 _{· ρ antar samma storlek för ˚}_{anga av ett l¨}_agre

tryck ¨an den det konstanta v¨ardet av v2· ρ som vatten har.

Figur 9: Maximalt till˚atet övertryck mot plastisk deformation för skyddsrör med längden 0.1 m respektive 0.16 m, godstjocklek p˚a 1 mm och ytterdiameter p˚a 10 mm.

I figur 10 visas det till˚atna trycket för skyddsrör med ytterdiameter tio millimeter och en godstjocklek av en millimeter. För att se ytterligare diagram hänvisas läsaren till bilaga E.

(24)

Figur 10: Maximalt till˚atet övertryck mot plastisk deformation för skyddsrör med längden 0.25 m respektive 0.4 m, godstjocklek p˚a 1 mm och ytterdiameter p˚a 10 mm.

4.4 R¨

orkn¨

ackning

Med utg˚angspunkt i Huang och Gaos studie om maximalt till˚atet övertryck för rörknäckning (p0_c) [12] görs beräkningar för p0_c innan knäckning av rören uppst˚ar. Storleken av den axiella spänning och böjspänning som röret utsätts för beror p˚a det yttre övertrycket pytter. Utifr˚an ekvation (21) kommer p0c s˚aledes att bero p˚a

spänningar som själva beror p˚a pytter. För att lösa detta problem testas flera värden

p˚a pytter som jämförs med beräknat p0c. Vid ansatt godkänd differens mellan dessa

tryck sparas p0_c som pytter. P˚a detta s¨att genereras ett maximalt till˚atet ¨overtryck

Pmax f¨or varje temperatur.

Diametrarna Dmax och Dmin f˚as genom mätning av tio av företagets skyddsrör.

I detta arbete används den maximala ovaliteten hos ett skyddsrör, vilket visade sig efter mätning att vara 1 %. D˚a det böjande momentet skapar ovalitet för r˚adande randvillkor ökas den framtagna ovaliteten till 2% [24]. Ovalitetsökningen är enbart en vald approximation som används p˚a grund av kännedom om detta faktum.

Ekvation (29) visar den reducerade till˚atna spänningsgränsen σ0_p enligt Huang och Gao, men d˚a skyddsröret ej antas utsättas för n˚agot vridande moment har denna parameter uteslutits. De ing˚aende axiella spänningar som slutgiltligen tas med är σa enligt ekvation (10) och σb enligt ekvation (7). Koden ˚aterfinns i bilaga C.

σ_p0 = σp s 1 −3(σa+ σb) 2 4σ2 p − σa+ σb 2σp ! (29) I figur 11 visas ˚aterigen det till˚atna trycket f¨or tv˚a olika l¨angder med samma

(25)

godstjocklek och ytterdiameter. Skillnaden i till˚atet tryck efter ˚angbildningstrycket beror p˚a samma anledning som f¨or plasticeringsdiagrammen. Figur 11 och 12 mot-svarar samma dimensioner som i figur 9 och 10.

Figur 11: Maximalt till˚atet övertryck mot rörknäckning för skyddsrör med längden 0.1 m respektive 0.16 m, godstjocklek p˚a 1 mm och ytterdiameter p˚a 10 mm.

Utifr˚an figur 9 - 12 framg˚ar det att det till˚atna trycket för rörknäckning är lägre ¨

an det för plastisk deformation d˚a vattnet är i flytande fas. Vid överg˚ang till ˚angfas varierar det däremot huruvida rörknäckning eller plastisk deformation kommer att

(26)

ske f¨orst. I figur 13 och 14 visas diagram fr˚an ett annat val av dimensioner. F¨or ¨

ovriga diagram h¨anvisas l¨asaren till bilaga E.

(27)

4.5 FEM-simulering av sp¨

anningsf¨

ordelningar

För att vidare undersöka haverimodellerna utförs FEM-simulering för att studera hur spänningsfördelningen förflyttar sig beroende p˚a ett böjande moment efterföljt av ett givet ökat yttre övertryck. Därför är endast den maximala sp¨ anningskoncentra-tionen av intresse vid denna simulering vilket medför att exakta värden p˚a sp¨ anninga-rna utelämnats.

Vid FEM-simuleringarna görs en 3D-modell av en temperaturgivare. Model-len är en förenkling av en verklig temperaturgivares form och best˚ar enbart av ett tjockväggit skyddsrör, processanslutning och bottenplugg. I verkligheten g˚ar skyddsröret igenom processanslutningen, men d˚a denna studie utg˚ar ifr˚an att skydds-röret endast utsätts för yttre övertryck fr˚an processanslutningens botten till bot-tenpluggen skapas modellen som en solid. Anslutningen mellan bottenplugg och rör anses ocks˚a som solid d˚a bottenpluggen är tjockare än rörets godstjocklek och därmed tas ingen hänsyn till svetsen kring bottenpluggen. Hela modellen best˚ar av samma material vilket liknar SANDVIK 3R65 (AISI 316L rostfritt st˚al) och har fixerats p˚a processanslutningens undersida. Simuleringen utförs vid en temperatur p˚a 24◦C. Programmet anger var den maximala spänningskoncentrationen befinner sig i systemet.

FEM-simuleringarna i figur 15 har initialt utg˚att ifr˚an simulering 1 där skyddsröret har belastats med en utbredd böjande kraft p˚a 25 N och ett konstant inre tryck p˚a 1 bar. I denna simulering g˚ar det att urskilja att den maximala sp¨ anningskoncentrati-onen befinner sig p˚a rörets utsida samt uppe vid givarens processanslutning. Forts¨ att-ningsvis har simulering 2 utförts där systemet även har belastats med ett yttre ¨

overtryck p˚a 100 bar. Här g˚ar det att urskilja att den maximala sp¨ anningskoncentrati-onen förflyttats till insidan av röret men fortfarande befinner sig vid processanslut-ningen. Detta styrker att vid tillräckligt höga böjande moment kan haverikaraktären av plastisk deformation ske trots yttre övertryck, men om det yttre övertrycket är tillräckligt högt sker istället rörknäckning.

(28)

Figur 15: Spänningsfördelning enligt tv˚a FEM-simuleringar. I simulering 2 har det yttre statiska övertrycket ökats med 100 bar gentemot simulering 1 för att ˚ask˚adliggöra hur den maximala spänningen förflyttas vi ökat yttre övertryck.

Di-mensionerna för skyddsröret är l=160 mm, d=12 mm och t=2 mm.

4.6 FEM-simulering av r¨

orkn¨

ackning

FEM-simulering av rörknäckning utförs för att undersöka hur knäckningslasten för¨ a-ndras för olika rördimensioner samt vid tv˚a olika randvillkor. Flera rotationssymet-riska rör modelleras med olika längder, diametrar och godstjocklekar. Vid det ena randvillkoret fixeras röret p˚a dess b˚ada ändar vilket har till avsikt att simulera pro-cessanlutningen och bottenpluggen som stela kroppar och p˚a s˚a sätt enbart erh˚alla deformation mellan dessa parter. Vid det andra randvillkoret fixeras enbart en si-da av röret vilket svarar mot en stel bottenplugg. Den andra sidan motsvarar en svagare länk mellan processanslutning och skyddsrör p˚a grund av svetsens negativa p˚averkan p˚a h˚allfastheten. Även denna simulering utg˚ar ifr˚an AISI 316L rostfritt st˚al som material samt utförs vid 24◦C.

Framförda resultat fr˚an knäckningssimuleringen skiljer sig fr˚an simuleringen av spänningsfördelningar i att färgdistributionen inte anger spänningsfördelningens stor-lek eller deformationens magnitud, utan används enbart för att förtydliga en ¨ overdim-ensionerad deformation. I figur 16 visas en simulering av ett cylindriskt rör som belastats med ett yttre övertryck p˚a 1 bar och som utförts enligt det randvillkor som svarar mot ett dubbelfixerat rör.

(29)

Figur 16: FEM-simulering av ett cylindriskt rör som har utförts enligt det randvillkor som motvarar en stel bottenplugg och processanslutning. Dimensionerna för detta rör är t=2 mm, d=12 mm och l=160 mm.

I figur 17 har röret utsatts för samma belastning som i figur 16 men har istället utg˚att ifr˚an det randvillkor som svarar mot en ensidig fixering. B˚ada dessa simule-ringar har utg˚att ifr˚an samma rördimensioner där BLF-värden har tagits fram för respektive rör.

(30)

Figur 17: FEM-simulering av ett cylindriskt rör som har utförts enligt det randvillkor som motvarar en stel botten plugg och en svagare länk mellan processanslutning och skyddsrör. Dimensionerna för detta rör är t=2 mm, d=12 mm och l=160 mm.

I tabell 5 visas fler framtagna BLF-värden för yttligare rördimensioner än de som användes i figur 16 och 17. Genom att välja den p˚alagda lasten till 1 bar kan knäcknigslaster enkelt jämföras d˚a detta ger knäckningslast = BLF enligt ekvation (26).

Tabell 5: BLF-värden för flera rördimensioner. Randvillkor (b) st˚ar fallet d˚a b˚ada sidorna har fixerats och randvillkor (e) st˚ar för fallet d˚a enbart en sida ha fixerats. Alla rören har belastats med ett yttre övertryck p˚a 1 bar.

d=10 mm l=160 mm (b) l=160 mm (e) l=400 mm (b) l=400 mm (e) t=1 mm BLF=6895 BLF=6871 BLF=6877 BLF=6865 t=2 mm BLF=50147 BLF=49449 BLF=50078 BLF=49593 d=12 mm l=160 mm (b) l=160 mm (e) l=400 mm (b) l=400 mm (e) t=1 mm BLF=3637 BLF=3611 BLF=3627 BLF=3624 t=2 mm BLF=28386 BLF=28143 BLF=28040 BLF=27924

Knäckningslasterna fr˚an dessa simuleringar är som förväntat betydligt högre än värdena p˚a Pmaxi diagrammen fr˚an knäckningsanalysen. Värdena i tabellen visar att

den största procentuella förändringen av knäckningslasten för en specifik godstjock-lek ligger p˚a 1,4% d˚a man undersöker olika längder och randvillkor. Detta tyder p˚a att längden hos skyddsrören inte har betydelse för knäckningslastens storlek d˚a skyddsrören enbart utsätts för ett yttre övertryck. Detta visar även att vilken typ av fixering som används har större betydelse för rörets deformationskaraktär än p˚alagda lastens magnitud. Detta styrker i sin tur att rörknäckning kommer att ske

(31)

vid svetsfogen mellan processanslutning och skyddsrör d˚a denna del av temperatur-givaren kan ses som en svagare länk. Framtagna värden visar ocks˚a att vid 2 mm minskad ytterdiameter s˚a ökar knäckningslasten med upp till 190% vilket tyder p˚a att storleken av diameter har stor betydelse för när rörknäckning ska ske. Det sam-ma gäller även för godstjockleken hos skyddsrören där knäckningslasten ökar med upp till 780% vid en dubbelt s˚a stor godstjocklek.

4.7 Egenfrekvenser utifr˚

an modalanalys

Utifr˚an ekvation (24) skrivs kod som beräknar egenvinkelfrekvensen ω0för skyddsrören,

d˚a elasticitetsmodulen varierar med temperaturen ber¨aknas ω0 f¨or varje temperatur

inom det unders¨okta intervallet. Genom att dela ω0 med 2π ges egenfrekvensen f0

som är ett mer allmänt uttryck som svarar mot svängningar per sekund. Bild p˚a hur f0 varierar med temperatur för de undersökta skyddsrören med ett specifikt

tv¨arsnitt visas i figur 18 och den tillh¨orande koden visas i bilaga D.

Figur 18: Egenfrekvenser för de fyra olika rörlängderna med ytterdiameter 12 mm och godstjocklek 2 mm.

Utifr˚an figur 18 framg˚ar det att f0 varierar med max ungef¨ar ˚atta procent

ut-ifr˚an temperaturvariationens p˚averkan av elasticitetsmodulen. Frekvensen av vor-texvirvlarna är sv˚ara att exakt bestämma och värdena vid 200°C bedöms vara ett representativt medelvärde över temperaturintervallet d˚a elasticitetsmodulen mins-kar närmast linjärt och storleksordningen av f0 är av störst intresse vid denna typ

av vibrationer. Resultatet för alla givares egenfrekvenser vid 200°C visas i tabell 6 och för övriga diagram hänvisas läsaren till bilaga F.

(32)

Tabell 6: Egenfrekvenser för samtliga undersökta givare vid 200°C. Längd [m] Ytterdiameter [mm] Godstjocklek [mm] Egenfrekvens [Hz]

0.1 10 1 859 2 763 2.5 716 12 1 1049 2 954 2.5 906 0.16 10 1 335 2 298 2.5 280 12 1 410 2 373 2.5 354 0.25 10 1 137 2 122 2.5 115 12 1 168 2 153 2.5 145 0.4 10 1 54 2 48 2.5 45 12 1 66 2 60 2.5 57

5 Diskussion

Tryck-temperaturdiagram för plastisk deformation och rörknäckning har tagits fram för Krohne Inors svenska temperaturgivares skyddsrör som baserats p˚a ber¨ akningsmo-deller för respektive haverityp. FEM-simuleringarnas resultat användes ocks˚a för att undersöka spänningsfördelningar och knäckningsmotst˚and. Även egenfrekven-sen hos skyddsrören har tagits fram och där med anses arbetets m˚al ha uppn˚atts.

¨

Onskas maximalt till˚atet övertryck erh˚allas för undersökta skyddsrör s˚a anses det fördelaktigt att utg˚a ifr˚an knäckningsdiagrammen.

Diagrammen gav information om att skyddsrörens dimensioner har stor betydelse för det maximalt till˚atna övertrycket. Detta anses rimligt d˚a skyddsrörens styvhet ¨

ar direkt beroende p˚a dimensionerna. Det maximalt till˚atna övertrycket i vattnets flytande fas är mindre vid rörknäckning vilket tyder p˚a att denna haverityp sker före plastisk deformation i vatten. Vid fasöverg˚angen till ˚anga skiljer sig däremot vilken typ av haveri som sker först beroende p˚a skyddsrörens dimensioner. Det g˚ar även

(33)

att urskilja att en drastisk minskning av till˚atet övertryck sker vid fasöverg˚angen för b˚ada haverityperna. Detta värde skulle kunna användas som maximalt till˚atet ¨

overtryck i processer där temperaturer varierar inom hela temperaturintervallelt. Kurvorna planar ut d˚a vattnet är i flytande fas. Detta beror p˚a att sträckgränsen minskar samtidigt som densiteten sjunker i förh˚allande till temperatur. I ˚angfasen förändras kurvornas utseende p˚a grund av att böjspänningen inte längre är konstant utan varierar med övertrycket. Detta resulterar i en spridning i till˚atet övertryck som beror p˚a skyddsrörens dimensioner. D˚a böjmomentet blir lägre med kortare längder till˚ats även ett högre övertryck, vilket medför att även CD sänks. Denna avvikelse

kan ses i diagrammen i bilaga E för analysen av plastisk deformation p˚a skyddsrör med längden 0.1 meter.

Arbetet har tagit hänsyn till m˚anga av de aspekter som spelar in p˚a storleksord-ningen av böjspänningen och den kan anses vara en god approximation. Under arbe-tet har det framg˚att att storleken av böjspänningen har en stor inverkan p˚a det max-imalt till˚atna övertrycket för b˚ade rörknäckning och plastisk deformation. Detta bör s˚aledes beaktas vid tillverkning av tryckkärl i processer med strömningshastigheter. Genom att ta hänsyn till skyddsrörens initiala ovalitet samt den ojämna tryckf¨ or-delningen enligt Huang och Gaos studie [12] ges en mer realistisk bild av rörets tryckt˚alighet än om beräkningarna hade grundats sig p˚a ett perfekt cirkulärt tvärsnitt. Enligt studiens resultat framg˚ar det tydligt att inverkan av ovalitet och ojämn tryckfördelning är av stor vikt. Vid mätningar av skyddsrörens ovalitet visade det sig att den största ovaliteten utan belastning l˚ag kring 1%. Men d˚a ovaliteten hos rör ökar vid belastning av böjande moment för detta randvillkor ökades denna pro-centsats till 2%. Denna uppskattning är en grov approximation som borde studeras noggrannare om mer exakta ovalitetsökningar vill tillhandah˚allas.

FEM-simuleringen av spänningsfördelningar visade att den maximala sp¨ anningsk-oncentrationen i kälsvetsen förflyttades till rörets insida vid ett ökat övertryck. D˚a böjspänningen varierar med dimensioner och temperatur finns det s˚aledes ett speci-fikt tryck vid varje temperatur d˚a den maximala spänningen förflyttar sig till insidan p˚a skyddsrören och medför en större risk för rörknäckning. Vid FEM-simulering av rörknäckning gav knäckningslasten som förväntat ett betydligt högre resultat jämfört med Pmax. Längdvariationerna och randvillkoren gör att knäckningslasten

högst skiljer sig med 1.4%. Detta resultat stödjer Huang och Gaos studie om att längden p˚a röret inte verkar p˚averka den slutgiltiga kritiska lasten. Knäckningslastens tillsynes lilla variation p˚a grund av olika randvillkor visar att vilken typ av fixering som används har större betydelse för rörets deformationskaraktär än p˚alagda lastens magnitud. Detta styrker i sin tur att rörknäckning kommer att ske vid svetsfogen mellan processanslutning och skyddsrör d˚a denna del av temperaturgivaren kan ses som en svagare länk.

En mer avancerad FEM-simulering skulle kunna utföras genom att inkludera im-perfektioner i geometri, material, last och stöd i beräkningarna och p˚a s˚a sätt tillhan-dah˚alla en mer exakt simulering. Även experimentellt framtagna rörkollapser med skyddsrörens dimensioner och materialegenskaper skulle kunna anses fördelaktig i fortsatta arbeten för att undersöka simuleringens trovärdighet.

(34)

De vibrationer som uppkommer av voretxvirvlarna är sv˚ara att undvika i belast-ningssituationer som dessa och virvlarna har stor chans att generera utmattnings-brott i givarna. Med vetskapen om givarnas egenfrekvens kan däremot str¨ omningsha-stigheten i processen anpassas för att undvika de starkaste oscillationerna. Utifr˚an att ha studerat hur Reynolds tal varierar för de olika skyddsrören med belastnings-fall st˚ar det dock klart att storleksordningen av detta helt klart ligger i ett turbulent omr˚ade. För smala objekt i dessa typer av fall verkar det s˚aledes vara sv˚art att undg˚a turbulens och en viktig dimensioneringsaspekt blir d˚a i första hand att undvika re-sonans.

Att kälen mellan skyddsrör och processanslutning är behandlad som en svarvad del snarare än en svets har en stor inverkan p˚a skyddsrörets h˚allfasthet. Hur stor inverkan detta har är däremot sv˚art att bestämma. FEM-simuleringen där enbart ena sidan av röret fixerades skulle kunna motiveras vara det rimligare deformations-alternativet p˚a grund av svetsens negativa inverkan p˚a h˚allfastheten. Det finns även m˚anga studier som undersöker vibrationers p˚averkan av svetsars h˚allfasthet för ut-mattning [25]. Det man vet är att efterbehandlingar av svets sänker restspänningarna avsevärt [3]. För ett noggrannare eller ett mer tillförlitligt resultat r˚adges att an-tingen utföra stuider om storleken av de restspänningar som finns runt svetsen eller att implementera efterbehandlingar av svetsen, vilket inte görs idag.

Mätinsatsens p˚averkan av h˚allfastheten har inte tagits med i detta arbete d˚a den-na komponent inte tillhör skyddsrörets uppbyggnad. Mätinsatsen anses dock inte ha n˚agot betydelse för framtagningen av kritiskt övertryck mot rörknäckning d˚a denna typ av haveri är momentan och initieras i samma ögonblick som skyddsröret belastas med det kritiska övertrycket. Däremot kan det tänkas att mätinsatsen bland annat har en dämpade inverkan p˚a skyddsrörets vibrationer, även den extra massan har en inverkan. Detta ändrar förutsättningarna för att vortexvirvlarnas frekvens och egen-frekvensen hos skyddsröret med mätinsats ska hamna i resonans. Även spänningarna i skyddsröret som uppkommer p˚a grund av böjande moment kan tänkas minskas p˚a grund av mätinsatsens kraftp˚averkan i motsatt riktning jämfört med processmedi-ets flöde. Dock är mätinsatsen mjuk i förh˚allande till skyddsröret och dess styvhet kan anses som marginell. Mätinsatsens skulle allts˚a kunna p˚averka h˚allfastheten av skyddsrören p˚a flera sätt och kan därför vara av intresse för fortsatt arbete.

De framtagna modellerna skulle kunna tänkas användas för andra dimensio-ner än de som har används i detta arbete. Den enda ändring som skulle behövas göras är att g˚a in i MATLAB-koden och skriva in önskade dimensioner. Det samma gäller om man vill undersöka skyddsrör av ett annat material s˚a länge man innehar skyddsrörets materialspecifikationer. Däremot är det osäkert hur vida dessa modeller kan användas för andra typer av processmiljöer, exempelvis vid dynamiska laster el-ler inhomogena processmedier. Andra utformningar av skyddsrör medför även andra typer av belastningar. Exempelvis om skyddsröret är konsiskt s˚a p˚averkar flödet p˚a andra sätt jämfört med de undersökta skyddsrören i detta arbete.

(35)

6 Slutsatser

Beräkningsmodeller för haverityperna plastisk deformation, rörknäckning samt för skyddsrörens egenfrekvens har tagits fram. Dessa modeller har tillämpats till kod skriven i MATLAB och med det har tryck-temperaturdiagram samt egenfrekvenser för Krohne Inors temperaturgivare som används inom sverige genererats. Med detta anses arbetets m˚al ha n˚atts och slutsatser som kan göras utifr˚an detta arbete är:

• Rörknäckning ger ett lägre maximalt till˚atet övertryck jämfört med plastisk deformation vid vattnets flytande fas.

• Vid˚angfas varierar det vilken haverityp som sker f¨orst beroende p˚askyddsr¨orens dimensioner.

• Ytterdiameter och godstjocklek p˚a skyddsr¨oret bidrar starkt till det till˚atna ¨

overtrycket.

• Längden p˚a skyddsröret har ingen betydelse för varken knäckningslasten eller plastisk deformation d˚a röret enbart utsätts för yttre övertryck.

• Längden p˚askyddsröret har betydelse för det till˚atna trycket mot b˚ade plastisk deformation och rörknäckning om röret belastas med ett böjande moment. • ˚Angans densitet ökar avsevärt vid ökande övertryck till skillnad fr˚an vattnets

densitet. Detta bidrar till att böjmomentets storlek i ˚angfas n˚ar samma värde som i vattenfas vid ett lägre övertryck.

• Maximal spänning förflyttas fr˚an svetskälen till insidan av rörväggen d˚a ett rör som utsätts för böjande moment senare ocks˚a belastas med ett tillräckligt stort yttre övertryck.

(36)

Referenser

[1] INOR Process AB. Krohne Inor. Malm¨o; 2019 [Anv¨and 2019-02-19]. https: //www.krohne-inor.se/

[2] Kundu PK, Cohen IM. Fluid mechanics. 4. ed. Amsterdam: Academic Press; 2008.

[3] Karlsson L. RESIDUAL STRESSES DUE TO WELDING OF A NOZZ-LE TO A PRESSURE VESSEL. Division of Solid Mechanics, Lund; 2005. http://www.solid.lth.se/fileadmin/hallfasthetslara/utbildning/ examensarbete/TFHF5114.pdf

[4] Ljung C, Saabye Ottosen N, Ristinmaa M. Introduktion till h˚allfasthetsl¨ara: enaxliga tillst˚and. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur; 2007.

[5] Ledoux M. Fluid Mechanics : Analytical Methods [Elektronisk resurs]. 2017. [6] Wagner W, Kretzschmar H. International Steam Tables [electronic resource]

Pro-perties of Water and Steam Based on the Industrial Formulation IAPWS-IF97. Second edition. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag Berlin Heidelberg; 2008. [7] Ahmed T, Meehan D. N. Well Testing Analysis. School of Civil

Engi-neering, Advanced Reservoir Management and Engineering (Second Edi-tion), 2012. https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/ isothermal-compressibility

[8] Tipler PA, Mosca G. Physics for scientists and engineers Volume 1 Mechanics, oscillations and waves, thermodynamics. 6th ed. New York: W.H. Freeman; 2008. [9] Nyberg C. Mekanik: statik. 2. uppl. Stockholm: Liber; 2014.

[10] Red. Sundstr¨om B. Handbok och formelsamling i H˚allfasthetsl¨ara, (2014), 11:e omarbetade upplagan redigerad av Bo Alfredsson

[11] Saabye Otoosen N Ristinmaa M & Ljung C H˚allfasthetsl¨ara-Allm¨anna tillst˚and, (2007), Upplaga 1:5.

[12] Huang W, Gao D. A theoretical study of the critical external pressure for casing collapse. Journal of Natural Gas Science and Engineering Volume 27, Part 1, November 2015, Pages 290-297 . https://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/S1875510015301268

[13] Gatti PL, Ferrari V. Applied structural and mechanical vibrations [Elektronisk resurs] theory, methods, and measuring instrumentation. New York, NY: E FN Spon; 1999.

[14] Narayan, K. Lalit Computer Aided Design and Manufacturing Prentice Hall of India, New Delhi, ISBN 812033342X.

(37)

[15] Solidworks, 3D CAD Software, Officiel hemsida [Internet]. [Anv¨and 2019-03-30]. https://www.solidworks.com/product/solidworks-3d-cad

[16] Dahlblom O, Olsson K. Strukturmekanik: [modellering och analys av ramar och fackverk]. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur; 2015.

[17] Solidworks Web Help, Dassault Syst`emes, 2019. [Anv¨and 2019-06-12]. https://help.solidworks.com/2018/english/SolidWorks/cworks/c_ Linear_Static_Analysis.htm

[18] Solidworks Web Help, Dassault Syst`emes, 2019. [Anv¨and 2019-06-12]. https://help.solidworks.com/2018/english/SolidWorks/

cworks/c_Linearized_Buckling_Analysis.htm?id= 643fc0bbcf504ac893d7005c3a610eab#Pg0

[19] Kurowski P. Engineering analysis with solidworks simulation 2017. Sdc Publications; 2017. https://books.google.se/books?id=ONgBDgAAQBAJ& pg=PA209&lpg=PA209&dq=amplitude+buckling+simulation+solidworks& source=bl&ots=IxeSl9gDM-&sig=ACfU3U0YB6yadASGD0OKVLGsWnMgSfP8Aw& hl=sv&sa=X&ved=2ahUKEwjbzLbx_oTiAhWLtIsKHcjvBV0Q6AEwDXoECAkQAQ#v= onepage&q=buckling&f=false

[20] Matlab, 2016b. Natick: MathWorks 1994. [Anv¨and 2019-02-19]. https://se. mathworks.com/products/matlab.html

[21] SANDVIK, SANDVIK 3R65. Sandvik AB. Sandviken; 2018 [Anv¨and 2019-04-17]. https://www.materials.sandvik/en/materials-center/ material-datasheets/tube-and-pipe-seamless/sandvik-3r65/

[22] Callister WD, Rethwisch DG. Materials science and engineering: SI version. 9. ed. New York: John Wiley; 2015.

[23] M¨agi M, Melkersson K, Evertsson M. Maskinelement. Upplaga 1. Lund: Stu-dentlitteratur; 2017.

[24] S.R. Reid & T.X. Yu & J.L. Yang, Response of an elastic, plastic tu-bular cantilever beam subjected to a force pulse at its tip-small deflec-tion analysis, Int. J. Solifis Structures Vol. 32, No. 23, pp. 3407-3421, November 1994. https://www-sciencedirect-com.proxy.mau.se/search/ advanced?docId=10.1016/0020-7683(94)00314-M

[25] Bergdahl S. Undersökning av svetsförband med avseende p˚a svetsgeometri, dis-kontinuiteter och blästring med st˚alkulor. Linköpings Universitet, Linköping; 2004. https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:21258/FULLTEXT01. pdf

(38)

A

Tyngdpunktsber¨

akning

För att beräkna tyngdpunkten av hastighetsprofilens längdriktning för ett fullt ut-vecklat laminärt flöde d˚a R0 = l i ett rör används ekvation (6) och (3) som resulterar

i Rl = Rl 0 Rlv(Rl)dRl Rl 0v(Rl)dRl . (A.1)

Integration av Rlv(Rl) och v(Rl) sker enligt ekvation (A.2) och (A.3).

Z l 0 Rlv(r)dr = 2vmed Z l 0 Rl(1 − R2 l l2 )dRl = vmedl2 2 (A.2) Z l 0 v(Rl)dRl = 2vmed Z l 0 (1 −R 2 l l2 )dRl = 4vmedl2 3 (A.3)

Tyngdpunkten av hastighetsprofilen i radiel riktning ges s˚aledes enligt

Rl = vmedl2 2 4vmedl2 3 = 3 8l. (A.4)

(39)

B

Matlab kod f¨

or maximalt till˚

atet ¨

overtryck f¨

or

plastisk deformation

I denna bilaga visas kod för beräkning av maximalt till˚atet övertryck innan plastisk deformation sker för de svenska temperaturgivarnas skyddsrör. Beräkningarna tar hänsyn till ett böjande moment fr˚an ett processmediums flöde samt spänningar ge-nererade av ett yttre övertryck. Det undersökta temperaturintervallet ligger mellan 20°C och 400°C clear all clc close all %%%%nollar variabler z=0; %längder m=0; % Emodul,Rp02,T w=0; %tjocklek

n=1; %variabel intresanta v¨arden fig=1; %figur

Pmax=zeros(4,9); %9 värden för varje längd count=zeros(2,216); %antal värden som sparas for i=1:2 for w=1:3 for z=1:4 for m=1:9 %%satp för ˚angbildningstryck Tsat=[20 60 100 140 180 220 260 300 340 370]; Satp=[2.3393 19.946 101.42 361.54 1002.8... 2319.6 4692.3 8587.9 14601 21044]*10^3; %%% Rp02=[220 200 180 165 150 140 130 120 115]*10^6; %Rp 0.2% (seamless pipe) Tfix=[20 50 100 150 200 250 300 350 400]; % Tempraturer C E=[200 197 194 190 186 182 179 175 172]*10^9; % E-moduler

myv=[890 547 283 182 134 106 87 70 0]*10^-6; %viskositet vatten myg=[0 0 12 14 16 18 20 22 23]*10^-6; %viskositet ˚anga

rhov=[998 987 958 917 860 799 712 574 415]; %rho vatten vid satp %satp 20 50 100 150 200 250 300 350 (xxx alltid ˚anga)C

satp=[2.3393 12.352 101.42 476.16 1554.9...

4019.6 8587.9 16634 99999]*10^3; %matchar Tfix l=[0.1 0.16 0.25 0.4]; % L¨angder

Vv=[5 5 3 3]; %hastighet max vatten Vg=[60 60 40 40]; %hastighet max ˚anga

(40)

d=[10 12]*10^-3; % Diametrar t=[1 2 2.5]*10^-3; % Tjocklekar r0=d(i)./2; % r_ytter

r=r0-t(w)./2; % r_medel ri=r0-t(w); % r_inner k0=ri./r0; % k-v¨arde lames

sigma_inor=0; %f¨or att starta loop p_ytter=1.*10^5; %yttertryck start

pin=10^5; %innertryck

R=8.314; %allm¨anna gaskonstanten M=18.01528.*10^-3; %molmassa vatten while sigma_inor<Rp02(m)

%%%%%%densitet%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if p_ytter<satp(m) %%%%%%˚anga

rho=(p_ytter.*M)./(R.*(Tfix(m)+273.15)); %allm¨anna gaslagen v=Vg(z)./2; %medelhastighet

rey=rho.*v.*d(i)./myg(m); %reynolds nummer %%%%%vatten

else

rho=rhov(m); %inkompresibelt vatten v=Vv(z)./2; %medelhastighet

rey=rho.*v.*d(i)./myv(m); %reynolds nummer end

if rey>5.3*10.^5 %h¨ansyn till figur 3 cd=0.5; %dragkonstant

else

cd=1.2; end

%%%%%%%%%%b¨ojsp¨anning

fun=@(rv) ((1-rv.^2./l(z).^2)).^2; %funk som ska integreras q=integral(fun,0,l(z)); %integral av funktion

Fd=rho.*(2.*v).^2.*cd.*d(i)./2.*q; %dragkraft Wb = pi.*r.^2.*t(w); %B¨ojmotst˚and

sigma_bz=(Fd.*(l(z).*5./8))./Wb; %Böjspänning 3/8 fr˚an botten %%%tryckspänning_fr˚an_lames%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

sigma_pa=pin.*k0.^2./(1-k0.^2)-p_ytter.*k0.^2./(1-k0.^2);%lames formler axiell sigma_pr=pin.*k0^2./(1-k0.^2).*(1-(r0.^2)./(r.^2))...

-p_ytter.*k0^2./(1-k0.^2).*(1-(r0.^2)./(r.^2)); %radiell sigma_pt=pin.*k0^2./(1-k0.^2).*(1+(r0.^2)./(r.^2))...