Cauchys integralformler f¨ or derivatorna

2006–09–19

Definition: F ¨ar en primitiv funktion till f i D om F⁰ = f i D.

I det reella fallet g¨aller:

f ¨ar kontinuerlig =⇒

Z x a

f(t) dt ¨ar en primitiv till f I det komplexa fallet g¨aller p˚a motsvarande s¨att:

f ¨ar analytisk =⇒

Z z z0

f(ζ) dζ ¨ar primitiv till f

Vilken kurva ska man ta n¨ar man integrerar fr˚an z0 till z? Det spelar ingen roll — integralen ¨ar oberoende av v¨agen.

Cauchys integralformler f¨ or derivatorna

D

γ z₀

Figur 1: Kurvan γ och punkten z0 som Cauchys integralformel leker med.

Sats: (Cauchys integralformel). f : D → ¨ar analytisk, z0 ∈ D, γ ¨ar en enkel sluten kurva, γ ∈ D tillsammans med sitt inre, γ omringar z0 (se vidare figur 1). D˚a g¨aller:

f(z0) = 1 2πi

Z

γ

f(z) z− z0

dz k.

1

f(z) = 1 2πi

Z

γ

f(ζ) ζ− z dζ Derivera formellt¹ med avseende p˚a z:

f⁰(z) = 1 2πi

Z

γ

− 1

(ζ − z)² · (−1) · f (ζ) dζ f⁰(z) = 1

2πi Z

γ

f(ζ) (ζ − z)² dζ Detta ger oss Cauchys formler f¨or derivatorna:

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi Z

γ

f(ζ) (ζ − z)ⁿ⁺¹ dζ Fick vi derivera under integralen?

f⁰(z) = lim

∆z→0

f(z + ∆z) − f (z)

∆z

=? 1 2πi

Z

γ

f(ζ) (ζ − z)² dζ Med andra ord, g˚ar f¨oljande mot 0 d˚a ∆z → 0?

¯¯

¯¯

f(z + ∆z) − f (z)

∆z − 1

2πi Z

γ

f(ζ) (ζ − z)² dζ

¯¯

¯¯=

=

¯¯

¯¯ 1 2πi

· 1

∆z µZ

γ

f(ζ)

ζ− (z + ∆z) dζ − Z

γ

f(ζ) ζ− z dζ

¶

− Z

γ

f(ζ) (ζ − z)² dζ

¸¯¯

¯¯=

= 1 2π

¯¯

¯¯ 1

∆z Z

γ

f(ζ)(ζ − z) − f (ζ)(ζ − z − ∆z) (ζ − z − ∆z)(ζ − z) dζ −

Z

γ

f(ζ) (ζ − z)² dζ

¯¯

¯¯=

= 1 2π

¯¯

¯¯ Z

γ

f(ζ)

(ζ − z − ∆z)(ζ − z) dζ − Z

γ

f(ζ) (ζ − z)² dζ

¯¯

¯¯=

= 1 2π

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ Z

γ

f(ζ) ζ− z

µ 1

ζ− z − ∆z − 1 ζ− z

¶

| {z }

=(ζ−z−∆z)(ζ−z)^{ζ−z−ζ+z+∆z}

dζ

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

=

1Formellt s˚a till vida att det inte ¨ar s¨akert att man f˚ar derivera under integralen (d.v.s byta ordning p˚a derivering och integrering).

2

D

d z+ ∆z γ z

Figur 2: Kurvan γ, punkterna z och z₀, samt avst˚andet d.

= 1

2π|∆z| ·

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯ Z

γ

f(z)

(ζ − z)²(ζ − z − ∆z) dζ

| {z }

=I

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯

Vi vet att |∆z| → 0 d˚a ∆z → 0, s˚a allting g˚ar mot 0 om integralen I

¨ar begr¨ansad. F¨or att f¨orvissa oss om att s˚a ¨ar fallet g¨or vi oss en bild av situationen (figur 2). z och z + ∆z befinner sig b˚ada i γ:s inre. S¨att d = dist(z, γ) ^def= minζ∈γ|z − ζ| och l˚at ∆z vara s˚adant att |∆z| < ¹₂d (eftersom

∆z ska g˚a mot noll ¨ar det ingen inskr¨ankning att anta att dess belopp ¨ar mindre ¨an n˚agot visst tal).

dist(z + ∆z, γ) > d 2 1

dist(z + ∆z, γ) < 2 d

Om vi nu anv¨ander M L-olikheten p˚a integralen I ovan f˚ar vi I <max

ζ∈γ |f (ζ)| · 1 d² · 2

d · l¨angd(γ)

Detta ¨ar ett begr¨ansat tal som inte beror p˚a ∆z, vilket ger oss 1

2π|∆z| · |I | → 0 d˚a ∆z → 0 3

γ_R z₀

R

Figur 3: Kurvan γR: en cirkel kring z0, genoml¨opt ett varv moturs.

vilket enligt ovan inneb¨ar att

∃f⁰(z) = 1 2πi

Z

γ

f(ζ) (ζ − z)² dζ (Vi visste att f ¨ar analytisk. P˚a samma s¨att f˚ar vi

∃ f⁽ⁿ⁾(z) = n! 2πi

Z

γ

f(ζ) (ζ − z)ⁿ⁺¹ dζ Sats: f ¨ar analytisk i D =⇒ f ∈ C^∞(D).

Sats: (Liouvilles sats) f ¨ar en hel funktion (d.v.s. analytisk i ), |f | ≤ M i

=⇒ f ≡ konstant i

Bevis. Tag z0 ∈ godtycklig. L˚at kurvan γR beskrivas av |z − z0| = R (se figur 3). Cauchys formel f¨or derivatan:

f⁰(z0) = 1 2πi

Z

γR

f(z) (z − z0)² dz Notera att n¨amnarens belopp ¨ar R². M L-olikheten ger:

|f⁰(z0)| ≤ 1

2π · M · 1

R² ·2πR→ 0 d˚a R → ∞.

Allts˚a ¨ar |f⁰(z0)|, som ju inte beror p˚a R, mindre ¨an n˚agot som g˚ar mot noll d˚a R → ∞.

=⇒ f⁰(z0) = 0 =⇒ f⁰ ≡ 0 i =⇒ f ≡ konstant i

4