Lösningar Heureka 2
Kapitel 8
Stegmetoden
Andreas JosefssonLösningar Fysik 2 Heureka Kapitel 8
I samarbete med Magnus AÅkerblad
8.1) 𝑣1 = 𝑣0+ 𝑎0∙ ∆𝑡 𝑎1 = 𝑎0−𝑚 ∙ 𝑣𝑘 0 ↔𝑎1 = 𝑎0− 9,533 ∙ 𝑣0 𝐹 = 4,41 ∙ 10−6𝑁 𝑘 𝑚 = 4,9 ∙ 10−6 5,14 ∙ 10−7= 9,5330 𝑎0 = 𝑚 =𝐹 4,41 ∙ 10 −6 5,14 ∙ 10−7= 8,5797
Vi använder de blåa formlerna, först med en tidsintervall av 0,001s, sedan 0,01 och 0,1 s. ∆𝑡 = 0,001 𝑡 = 0 → 𝑣0 = 0 𝑡 = 0,001 →𝑎1 = 𝑎0− 9,533 ∙ 𝑣0 = 8,5797 →𝑣1 = 𝑣0+ 𝑎0∙ ∆𝑡 = 0,0085 𝑡 = 0,002 → 𝑎2 = 8,8797 − 9,533 ∙ 0,0085 = 8,4979 𝑣2 = 𝑣1+ 𝑎1∙ ∆𝑡 = 0,0085 + 8,5797 ∙ 0,001 =0,0171 Osv.osv.osv.
Detta görs med ett datorprogram, t.ex. Excell. Jag tog bara några värden, programmet kan räkna många många fler.
Om ∆𝑡 = 0,001 t=0 v=0 0,001 0,0085 0,002 0,0171 0,003 0,0256 0,004 0,0339
Om ∆𝑡 = 0,01 0 0 0,01 0,0858 0,02 0,1716 0,03 0,2564 0,04 0,3248 0,05 0,3688 Om ∆𝑡 = 0,1 0 0 0,1 0,858 0,2 1,7159 0,3 1,6606 0,4 1,6053 0,5 -0,033
Vi ser nu att grafen, åtminstone i början, stämmer bra överrens med figuren på sidan 38 om tidsintervallet är 0,001 och 0,01, men det funkar inte alls om tidsintervallet är för stort.
8.2)
Eftersom boken refererar till ett exempel som inte finns beskrivet ska jag byta den här uppgiften mot en annan. Luftmotståndet beror på en konstant k som i sin tur beror på kroppens geometri, och vikt samt luftens densitet. Kraften som orsakas av luftmotståndet beror på hastigheten i kvadrat, dvs.
𝐹 = 𝑘 ∙ 𝑣2. Vi tittar på en person som hoppar från världens högsta byggnad, utan fallskärm men med luftmotstånd. Vi räknar med en faktor 0,004.
Den här gången får vi hjälp av min kollega Magnus Åkerblad som skrev ett litet program i Scilab (en gratis version av Mathlab). Programmet ser ut såhär:
Acceleration
8.3)
Vi kan inte använda 𝐹 = 𝑚𝑔 eftersom kraften avtar med avståndet i kvadrat och vid stora avstånd som här kommer det inte att funka. Då använder vi gravitationslagen:
𝐹 = 𝐺 ∙𝑀 ∙ 𝑚𝑟2 → 𝑎 = −𝑚 = −𝐺 ∙𝐹 𝑟𝑀2 𝑣1 = 𝑣0+ 𝑎0∙ ∆𝑡 𝑟1= 𝑟0+ 𝑣0∙ ∆𝑡 Nu använder vi Excell. b) 𝑚 ∙ 𝑣2 2 = 𝐺𝑀𝑚 ∙ � 1 1 − 1 𝑟2� ↔ 8 19,93 = 1 − 1 𝑟 1 𝑟 = 1 − 8 19,93 Nu är det Excell.
Vi ser att vid de röda markeringarna byter hastigheten tecken, alltså raketen vänder neråt. Svaret är i båda fallen:
Höjden är 10,11 jordradier som nås efter 7,69 timmar. (det skiljer lite från facit)
8.4)
Se bokens exempel med satellitens bana på sidan-149-150.
Jag klippte ut en del av beräkningarna. Se grafen under.
t ax ay vx vy sx sy r dt 0,01 0 -4,9825 0 0 4,464 2 0 2 0,01 -4,98126 -0,11121 -0,04983 4,464 1,999502 0,04464 2 0,02 -4,97506 -0,22223 -0,09964 4,462888 1,998505 0,089269 2,000498 0,03 -4,96392 -0,33277 -0,14939 4,460666 1,997011 0,133876 2,001494 0,04 -4,9479 -0,44258 -0,19903 4,457338 1,995021 0,178449 2,002986 0,05 -4,92706 -0,55137 -0,24851 4,452912 1,992536 0,222978 2,004974 0,06 -4,90148 -0,65889 -0,29778 4,447398 1,989558 0,267452 2,007454 0,07 -4,87127 -0,7649 -0,34679 4,44081 1,98609 0,31186 2,010426 0,08 -4,83656 -0,86913 -0,3955 4,433161 1,982135 0,356192 2,013885 0,09 -4,79749 -0,97138 -0,44387 4,424469 1,977697 0,400436 2,017829 0,1 -4,75422 -1,07141 -0,49184 4,414755 1,972778 0,444584 2,022253 0,11 -4,70691 -1,16902 -0,53939 4,404041 1,967384 0,488624 2,027154 0,12 -4,65576 -1,26403 -0,58646 4,392351 1,96152 0,532548 2,032527 0,13 -4,60097 -1,35626 -0,63301 4,379711 1,95519 0,576345 2,038367 Höjden i jordradier Tiden i tusendels timmar
7,44 0,063514 -0,05666 -1,51127 0,566387 -11,4182 10,18692 15,30193 7,45 0,063411 -0,05653 -1,51063 0,56582 -11,4333 10,19257 15,31697 7,46 0,063308 -0,05639 -1,51 0,565255 -11,4484 10,19823 15,33201 7,47 0,063205 -0,05626 -1,50936 0,564691 -11,4635 10,20387 15,34703 7,48 0,063103 -0,05613 -1,50873 0,564129 -11,4786 10,20952 15,36206 7,49 0,063001 -0,05599 -1,5081 0,563567 -11,4937 10,21515 15,37707 7,5 0,062899 -0,05586 -1,50747 0,563007 -11,5088 10,22078 15,39208 7,51 0,062798 -0,05573 -1,50684 0,562449 -11,5238 10,22641 15,40708 7,52 0,062696 -0,0556 -1,50621 0,561892 -11,5389 10,23202 15,42208 7,53 0,062596 -0,05546 -1,50559 0,561336 -11,554 10,23764 15,43707 7,54 0,062495 -0,05533 -1,50496 0,560781 -11,569 10,24325 15,45205 7,55 0,062395 -0,0552 -1,50434 0,560228 -11,584 10,24885 15,46703 7,56 0,062294 -0,05507 -1,50371 0,559676 -11,5991 10,25444 15,482 7,57 0,062195 -0,05494 -1,50309 0,559125 -11,6141 10,26004 15,49697 7,58 0,062095 -0,05481 -1,50247 0,558575 -11,6291 10,26562 15,51193 0 2 4 6 8 10 12 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
