Att representera tal i
decimalform
En kvalitativ intervjustudie om hur lärare undervisar för att
elever ska skapa förståelse för tal i decimalform genom olika
representationsformer
KURS:Examensarbete för grundlärare 4–6, 15 hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6
FÖRFATTARE: Joshua Schultheiss
EXAMINATOR: Pernilla Mårtensson
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare, 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med
inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6
VT 21
SAMMANFATTNING
___________________________________________________________________________ Joshua Schultheiss
Att representera tal i decimalform
En kvalitativ intervjustudie om hur lärare undervisar för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform genom olika representationsformer
Antal sidor: 35 ___________________________________________________________________________ I kursplanen för matematik beskrivs att elever ska ges förutsättningar att tolka vardagliga och matematiska situationer genom att använda matematiska uttrycksformer. Begreppet uttrycksformer likställs i den här studien med representationsformer. Studiens syfte är att ta reda på vilka sätt lärare använder olika representationsformer för att elever ska ges möjlighet att skapa förståelse för tal i decimalform. Utgångspunkten i denna studie är en kvalitativ intervjustudie som inriktas mot lärares beskrivningar av sin undervisning kring tal i decimalform. Den empiriska insamlingen genomfördes genom semistrukturerade intervjuer med åtta lärare.
Som utgångspunkt i studien har ett teoretiskt ramverk använts för att analysera den insamlade empirin i form av en tematisk analys. Analysen visar att lärare använder olika representationer i undervisningen inom varje representationsform. I resultatet framgår vad lärare anser vara relevant för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform och hur lärarna väljer att undervisa inom området. Den vanligaste representationen lärarna valde att inkludera i undervisningen var tallinjen men även tio-basmaterial och andra laborativa material används.
___________________________________________________________________________ Sökord: tal i decimalform, representationsformer, representationer, matematikundervisning,
lärare, förståelse
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare, 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med
inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6
VT 21
Abstract
___________________________________________________________________________ Joshua Schultheiss
Representation of decimal numbers
A qualitative interview study on how teachers teach pupils to create an understanding of decimal numbers trough different representations
Total pages: 35 ___________________________________________________________________________ The curriculum for mathematics describes that pupils should be given conditions to interpret everyday and mathematical situations by using mathematical different forms of expression. The concept of forms of expression can be equated with representation. The aim of this study is to find out how teachers use representations to give pupils the opportunity to create an understanding of decimal numbers. This study is using qualitative interviews that are focusing on teachers’ description of their teaching of decimal numbers. The collection of data was conducted through semi-structured interviews with eight teachers.
As a starting point in this study, a theoretical framework has been used in order to analyze the collected empirical data tough a processed thematic analysis. The analysis shows that teachers use different kinds of representations in their teaching. The results show what teachers consider as relevant for pupils to know to create an understanding to enhance their knowledges of decimal numbers and how teachers choose to teach in the area. The most common representation the teachers chose to include in their teaching was the number line, but base-ten materials and other laboratory materials are also used.
___________________________________________________________________________ Keywords: decimal numbers, representations, mathematics teaching, teachers, understanding ___________________________________________________________________________
Innehållsförteckning
INLEDNING ... 1
SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING ... 2
BAKGRUND ... 3
STYRDOKUMENT ... 3
DECIMALA TALSYSTEMET ... 3
FÖRSTÅELSEN FÖR TAL I DECIMALFORM ... 4
MISSUPPFATTNINGAR VID JÄMFÖRELSER AV TAL I DECIMALFORM ... 5
TEORETISKT RAMVERK ... 6
Real world situations - situationer ... 7
Manipulative models – laborativa material ... 7
Picture - bild ... 8
Spoken symbols – vardagliga ord/matematiska termer ... 8
Written symbols – matematiska symboler ... 9
ATT REPRESENTERA TAL I DECIMALFORM I UNDERVISNING ... 9
Konkret material som representation ... 9
Pengar som representation ... 10
Mätinstrument som representation ... 11
Språket som representation ... 11
METOD ... 13
DATAINSAMLINGSMETOD ... 13
URVAL OCH GENOMFÖRANDE ... 14
DATABEARBETNING OCH ANALYS ... 16
RELIABILITET OCH VALIDITET ... 19
FORSKNINGSETISKA PRINCIPER ... 19
RESULTAT ... 21
KUNSKAPER SOM LEDER TILL FÖRSTÅELSE FÖR TAL I DECIMALFORM ... 21
LÄRARNAS VAL AV REPRESENTATIONER ... 22
UNDERVISNINGSMOMENT MED OLIKA REPRESENTATIONER ... 23
Bildlig representation ... 23
Laborativt material som representation ... 25
Representationsformen situationer ... 26
Matematiska ord som representation ... 26
DISKUSSION ... 28
METODDISKUSSION ... 28
RESULTATDISKUSSION ... 30
Real world situations - situationer ... 30
Manipulative models – laborativa material ... 30
Picture - bild ... 32
Spoken symbols – vardagliga ord/matematiska termer ... 33
Written symbols – matematiska symboler ... 34
IMPLIKATIONER FÖR PRAKTIKEN ... 34 FORTSATTA STUDIER ... 35 REFERENSLISTA ... 36 BILAGOR ... 1 BILAGA 1 ... 1 BILAGA 2 ... 2
1
Inledning
Tal i decimalform är ett matematiskt område som för många elever kan leda till svårigheter. Det finns rikligt med internationell forskning kring elevers missuppfattningar. Elevers missuppfattningar beskrivs av forskare på olika sätt men innebörden är ofta den samma (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985; Resnick et al., 1989; Steinle & Stacey, 1998). Från tidigare erfarenheter, utifrån perioder av verksamhetsförlagd utbildning, är min uppfattning att lärares undervisning om tal i decimalform ofta genomförs tillsammans med enhetsomvandling. Det kan medföra att elever uppfattar tal i decimalform som två separata heltal (Roche, 2010; Jameson, 2016; Steinle 2004). Enligt Sackur-Grisvard och Leonard (1985) utvecklar elever förståelse för tal i decimalform i olika steg. Därför behöver lärare planera och genomföra undervisning som tillåter elever att växla mellan olika representationsformer för att de ska utveckla förståelse för tal i decimalform (Lesh, 1981). I kursplanen för matematik står det att elever ska lära sig att tolka vardagliga och matematiska situationer med hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket, 2019). Uttrycksformer beskrivs inte ytterligare i kursplanen, därför har uttrycksformer likställts med representationsformer i den här studien. Studien använder Leshs (1981) beskrivningar för representationsformer tillsammans med en nyare tolkning av Bergius et al., (2019) som ett teoretiskt ramverk.
Flera studier har undersökt lärares val av representationsformer i matematikundervisningen. Det finns däremot begränsad forskning om hur lärare representerar tal i decimalform. Därför är syftet med studien är att ta reda på hur lärare utformar sin undervisning på olika sätt som möjliggör att elever kan skapa förståelse för tal i decimalform genom olika representationsformer. Exempelvis tenderar matematikundervisning ofta att behandla matematiska symboler mer än användningen av laborativa material (Lesh, 1981).
Denna studie syftar till att bidra med kunskap gällande lärares val av representationer. För att ta reda på hur lärare undervisar kring tal i decimalform har åtta lärare intervjuats genom semistrukturerade intervjuer. Intervjuerna har sedan transkriberats för att möjliggöra en noggrannare analys av empirin. Analysen genomfördes i form av en tematisk analys för att finna intressanta teman i lärarnas utsagor. Målet med studien är att den ska inbringa kunskap för hur undervisning kan utformas med olika representationer för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform.
2
Syfte och frågeställning
Syftet med studien är att ta reda på vilka sätt lärare, genom olika representationsformer, genomför undervisning om tal i decimalform i år 4–6.
• Vad anser åtta lärare vara kritiskt för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform?
• Hur beskriver åtta lärare att de utnyttjar olika representationsformer i sin undervisning för att möjliggöra lärande om tal i decimalform?
3
Bakgrund
Styrdokument
Undervisning i ämnet matematik ska bidra till att elever bygger upp matematiska kunskaper som kan användas i vardagliga sammanhang samt andra ämnesområden. Matematikundervisningen ska även bidra till att elever utvecklar tilltro till sin egen förmåga att använda matematik i olika sammanhang. Elever ska dessutom kunna beskriva och formulera sina kunskaper genom olika uttrycksformer (Skolverket, 2019). Genomgående i hela kursplanen för matematik finns en uttalad ambition att undervisningen ska bidra till att elever skapar kunskaper som kan användas i olika sammanhang (Skolverket, 2017). I området taluppfattning och tals användning inom det centrala innehållet ingår tal i decimalform. Enligt det centrala innehållet ska undervisning behandla positionssystemet för tal i decimalform och inom området finns det en tänkt progression upp genom årskurserna. I årskurserna 1–3 ska undervisningen behandla hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. I årskurserna 4–6 ska elever möta tal i decimalform. Där ingår talsorter som historiskt representerats på olika sätt genom tecken eller symboler. Därigenom skapas kunskaper för uppbyggnaden av tal i decimalform. Genom kunskaper för hur tal i decimalform kan representeras kan elever förstå uppbyggnaden av det decimala positionssystemet (Skolverket, 2017). Vidare skall elever i undervisningen möta tal i decimalform och dess användning i vardagliga situationer. Därför ska undervisningen innehålla moment där elever får möjlighet att använda sig av centrala metoder för att genomföra enkla överslagsberäkningar, huvudräkning samt beräkning med skriftliga och digitala verktyg med tal i decimalform. Under årkurserna 4–6 ska elever även arbeta med tal i procentform och lära sig om sambanden till tal i bråk- och decimalform (Skolverket, 2019).
Decimala talsystemet
Det decimala talsystemet utgörs av symbolerna, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, och 9. Symbolerna, som också benämns som siffror, bygger tillsammans ett talsystem med talbasen tio. Talsystemet är också ett positionssystem. På varje position i talsystemet är det möjligt att använda siffran 9, för att uttrycka det högsta värdet och siffran 0, för att uttrycka det lägsta värdet (Hansson, 2019; Howe, 2019). Det innebär att varje siffra får ett specifikt platsvärde beroende på vilken position i talet siffran placeras i. Med dessa symboler kan oändligt stora
4 och små tal representeras. Beroende på vilken plats en siffra har, representerar den ett platsvärde (Hansson, 2019). Positionssystemet fungerar på så sätt att för varje position åt vänster får siffrorna sitt värde multiplicerat med tio. Till höger får siffrorna sitt värde dividerat med tio (Björklund & Grevholm, 2014). Det decimala positionssystemet kan representera både heltal och tal som är mindre än en hel. Separeringen mellan heltalen och tal som är värdemässigt mindre än en hel görs med hjälp av ett decimaltecken. Decimaltecknet synliggör var heltalsdelen tar slut och när decimalerna börjar (Hansson, 2019).
Förståelsen för tal i decimalform
Tal i decimalform kan vara svåra att förstå. Mårtensson (2015) menar att det beror på att elever sedan tidigare besitter rika erfarenheter om heltal och hur talen är uppbyggda. När elever i ett senare skede börjar arbeta med tal i decimalform behöver de identifiera vad det finns för likheter och skillnader mellan heltal och tal i decimalform. Wright och Tjorpatzis (2015) menar att det är viktigt att elever förstår att talet ett (1) är ekvivalent med tio tiondelar eller hundra hundradelar.
Sackur-Grisvard och Leonard (1985) har empiriskt visat att elever sällan gör misstag när de ska jämföra vilket tal i decimalform som är störst om talen består av olika heltal, exempelvis 13,4 och 15,67. Däremot gör elever misstag när de ska jämföra tal i decimalform med samma heltal, exempelvis kan elever tro att 2,34 är större än 2,5 eftersom 2,34 innehåller fler decimaler. Sackur-Grisvard och Leonard (1985) anser att elever behöver förstå vad som är unikt med tal i decimalform. Det finns enligt Steinle och Stacey (1998) flertalet missuppfattningar vad gäller förståelsen för tal i decimalform. Elever lär sig genom undervisningen regler för hur beräkningar med tal i decimalform ska genomföras. Det medför att förståelsen för tal i decimalform kan bli problematiskt. Reglerna leder till att elever ser tal i decimalform som heltal och fokus hamnar på fel talsorter (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985). Ett misstag många lärare gör gällande undervisningen om tal i decimalform, är att fokuseringen läggs på fel område. Lärare lägger generellt för lite tid på moment där elever får möjlighet att skapa förståelse. För att elever ska kunna skapa förståelse ska inte de grundläggande principerna för tal i decimalform påskyndas i undervisningen. Anledningen till att lärare påskyndar undervisningen för tal i decimalform är för att spara tid åt mer komplicerade moment inom området, exempelvis algoritmer (Sowder, 1997).
5 Sackur-Grisvard och Leonard (1985) menar att elevers förståelse för tal i decimalform utvecklas utefter olika nivåer. Nivåerna kan ses som steg i en lärprocess där det slutgiltiga målet är att ha uppnått full förståelse. Forskarna genomförde en studie med 521 elever i åldrarna 9–14 år som jämförde tal i decimalform. Utifrån elevernas svar kunde forskarna formulera olika steg som beskrev var eleverna befann sig i sin utveckling av förståelse för tal i decimalform.
Första steget, steg 0, innebar att elever inte visar någon hänsyn till decimaltecknet. Istället tillämpades regeln för längd (the rule of length), vilket innebär att tal i decimalform istället uppfattas som heltal, exempelvis 4,12 uppfattas som heltalet 412. För att elever ska nå steg 1 behöver de förstå innebörden av decimaltecknet. I steg 1 avläser elever tal i decimalform i sektioner som om de vore heltal, exempelvis 11,12 utläses som elva komma tolv. För att elever anses uppnå steg 2 behöver de ha förståelse för positionssystemet. Det innebär att elever ska ha insett att för varje position åt höger minskar värdet tiofalt och till vänster ökar värdet tiofalt. Det innebär att elever förstår att ju längre en siffra är åt höger i positionssystemet desto mindre värde har den. Slutligen, steg 3, innebär att elever har förstått att en nolla längst till höger i ett tal inte påverkar värdet. Uppnås dessa steg i lärprocessen anses elever ha utvecklat full förståelse för tal i decimalform (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985).
Missuppfattningar vid jämförelser av tal i decimalform
Elevers missuppfattningar om tal i decimalform går enligt Steinle och Stacey (1998) att kategorisera. Enligt dem finns det olika slags missuppfattningar vid jämförelser av tal i decimalform och utifrån deras tidigare forskning har de kategoriserat elevers missuppfattningar i tre kategorier. Den första kategorin benämner forskarna som längre är större (longer is larger). Forskarna beskriver denna missuppfattning som att elever som gör jämförelser mellan två tal i decimalform och uppfattar talet med flest decimaler som störst. En liknande beskrivning av missuppfattningen har beskrivits av Resnick et al., (1989) medan hans benämning på missuppfattningen är heltalsregeln (whole number rule). När elever ska jämföra två tal i decimalform använder de sig av sina kunskaper om heltal och överför det till tal i decimalform vilket leder till felaktigheter. Exempelvis kan elever avgöra vilket av heltalen 4 och 30 som är störst medan liknande siffror med tal i decimalform, 0,4 och 0,30 leder till felaktigt svar.
6 Den andra kategorin benämner Steinle och Stacey (1998) som kortare är större (shorter is larger). Elever som tillhör denna kategori har enligt forskarna lärt sig tals platsvärden för decimaler. Elever har i den här kategorin insett att en tiondel är större än en hundradel och därav gör en generalisering att, oavsett vilket tal i decimalform som enbart innehåller tiondelar är större än tal som innehåller mindre beståndsdelar såsom hundradelar eller tusendelar (Steinle och Stacey, 1998). Resnick et al., (1989) motsvarighet till denna kategori är en regel de kallar bråkregeln (fraction rule). Elever som använder denna regel använder sina kunskaper om tal i bråkform och decimalers platsvärde. Regeln leder till felaktiga svar eftersom elever jämför tal i decimalform sett till sista decimalens platsvärde. Elever som följer regeln anser att tiondelar är störst och hundradelar är näst störst och så vidare, vilket är korrekt. Sedan när elever ska jämföra exempelvis, 0,3 med 0,661 anser de att 0,3 är större eftersom talet består av tiondelar. Talet 0,661 består av tusendelar, vilket är mindre bråkdelar än tiondelar och därmed tolkas talet som ett värdemässigt mindre tal än 0,3 (Resnick et al., 1989).
Den tredje kategorin benämns av Steinle och Stacey (1998) som expertkategorin (apperant-expert behavior). Till den kategorin tillhör elever som genomför jämförelser av tal i decimalform på korrekt sätt samt elever som känner till och följer de regler som gäller för att jämföra tal i decimalform men däremot saknar förståelse för reglerna. Exempelvis känner elever till att om de jämför siffra för siffra, från vänster till höger, kan de avgöra vilket tal som är störst (Steinle & Stacey, 1998).
Teoretiskt ramverk
Begreppet ”representationsformer” innebär att olika matematiska begrepp eller händelser representeras på olika sätt. Inom internationell forskning används vanligen det engelska begreppet representations (Lesh, 1981; Goldin, 2008). I kursplanen för matematik används begreppet uttrycksformer (Skolverket 2019). I den här studien likställs begreppet uttrycksformer med representations, därför används den svenska översättningen representationsformer. Enligt Goldin (2008) ska elever ges möjlighet att beskriva matematiska situationer med hjälp av olika representationsformer. Elever ska exempelvis ges möjlighet att beskriva situationer med symboler för att sedan förklara med hjälp av ord eller bilder. Lesh (1981) menar att elever behöver ha kunskap om att växla mellan olika representationsformer. Genom att elever kan växla mellan representationsformer kan matematiska situationer förtydligas och omformuleras och därigenom kan elever få bättre
7 förståelse för olika matematiska problem. Den här studien utgår från en sammanslagning av Leshs (1981) beskrivningar av representationsformerna: real world situations,
manipulative models, pictures, spoken symbols och written symbols och Bergius et al.,
(2019) motsvarande beskrivningar. Figuren nedan (figur: 1) visar en tolkning av Leshs (1981) originalfigur över representationsformerna. Anledningen till varför studien använder figuren av Bergius et al., (2019) är för att den förtydligar Leshs (1981) originalfigur. I originalfiguren går det till exempel inte att inkludera digitala hjälpmedel. Därför är figuren av Bergius et al., (2019) mer aktuell i en skolkontext.
Figur 1: [Färg]. Tolkning av Leshs (1981) schema över växlingsprocesser översatt och omarbetad av Bergius et al., (2019).
Real world situations - situationer
Representationsformen situationer innebär att konkreta föremål kan sättas i relation till verkliga och vardagsnära situationer. Lesh (1981) menar att det handlar om att göra de matematiska situationerna begripliga genom att konkretisera och förenkla det abstrakta matematiska innehållet. Bergius et al., (2019) menar att elever ska kunna göra kopplingar från andra representationsformer genom att exemplifiera dessa i verkliga eller fiktiva situationer.
Manipulative models – laborativa material
Leshs (1981) beskrivning av manipulative models är att exempelvis symboler förändras till en annan matematisk form. Exempel på manipulative models kan vara tabeller, koordinatsystem eller tallinjer. Lesh (1981) skriver att representationsformen kan visa en
8 förändring, till exempel priset på en vara eller befolkningen i ett område över en viss tid. I den här studien har representationsformen som Bergius et al., (2019) benämner laborativa material ersatt Leshs (1981) manipulative models. Representationer som benämns inom
manipulative models tolkas istället som bildliga representationer. Studiens fortsatta
tolkning är att laborativa material innefattar konkret material. Bergius et al., (2019) skriver att elever i undervisning ska få laborera och undersöka med laborativa material, exempelvis med penna och papper, digitala hjälpmedel eller konkret material. Debrenti (2015) skriver att konkret material är värdefullt för elevers utveckling inom matematik. Lärare behöver använda konkret material i sina introduktioner inom matematiska områden och genom hela inlärningsprocessen för att elever ska kunna visualisera kunskapen. Picture - bild
Bergius et al., (2019) skriver att representationsformen bild innebär bildspråk, både egna skisser och professionellt framtagna illustrationer. Leshs (1981) beskrivning av pictures är att representationsformen används för att illustrera en matematisk situation i form av statiska bilder. Bilder kan ge en bredare förståelse för matematiska situationer eftersom elever får möjlighet att se problemen visuellt. Representationsformen kan skapas genom att rita den matematiska situationen (Lesh, 1981). Med hjälp av representationsformen framhävs en tydlighet som kan hjälpa elever att förstå. Att använda representationsformen kan vara framgångsrikt i matematikundervisning i både yngre och äldre årskurser (Duval, 2006). Användningen av visuell representation kan underlätta när elever utvecklar förståelse eftersom minnet arbetar bättre med bilder än med ord (Debrenti. 2013).
Spoken symbols – vardagliga ord/matematiska termer
Representationsformen vardagliga ord och matematiska termer innebär att elever och lärare kan förklara matematiska situationer med ord, antingen verbalt eller i skrift (Lesh, 1981; Berigus et al., 2019). Lesh et al. (1987) menar att språket kan vara ett sätt för elever att beskriva sina tankar vid matematiska problem. Representationsformen samspelar med andra representationsformer genom att till exempel diskutera tillvägagångsätt vid beräkningar. Representationsformen är också ett vanligt verktyg för både lärare och elever för att göra sig förstådd. Vidare menar Lesh (1981) att elever ibland kan finna det enklare att översätta matematiska situationer från vardagen till talat språk jämfört med använda matematiska symboler. Representationsformen används vanligtvis av elever för att
9 beskriva hur de kommit fram till ett resultat i en lösningsprocess (Friedlander & Tabach, 2001).
Written symbols – matematiska symboler
Written symbols innebär skrivna matematiska symboler. Representationsformen är den
som används mest i matematikundervisning. Matematiska symboler hjälper lärare och elever att beskriva matematiska situationer, exempelvis tal, likhetstecken och additionstecken (Lesh, 1981; Bergius et al., 2019).
Att representera tal i decimalform i undervisning
När lärare planerar sin undervisning finns det flera viktiga aspekter att tänka på. Lärare behöver fundera på vad som är viktigt i innehållet för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform. En utmaning är att finna lämpliga representationer för att undervisa om specifika matematiska koncept för att elever ska skapa förståelse. Lärare behöver också på förhand tänka ut strategier med materialet och förutspå vilka frågor som kan dyka upp hos elever för att hjälpa dem vidare (Suh et al., 2008).
Konkret material som representation
Undervisning ska utgå från vardagliga situationer och flertalet forskare poängterar att användning av konkret material i undervisningen kan stödja elevers utveckling av förståelse för tal i decimalform (Jameson, 2016; Kidder, 1980; Pramudani et al., 2011). En mängd olika konkreta material kan vara lämpliga vid undervisning om tal i decimalform. Det finns däremot både för- och nackdelar. Många av de konkreta materialen bidrar till att elever skapar förståelse för decimalers platsvärde, exempelvis ”hundra-ruta”, ”decirör”, linjära aritmetiska block (LAB) och multibas aritmetiska block (MAB) (Roche, 2010). Roche (2010) anser att hundra-rutan har en nackdel på grund av att den endast kan representera tal i decimalform till och med hundradelar. MAB används vanligen vid undervisning om heltal men materialet kan anpassas för att undervisa om tal i decimalform. En annan forskare som förespråkar användningen av konkret material i undervisningen är Sowder (1997). Hennes benämning på MAB är tio-basmaterial. När verksamma lärare frågar henne hur undervisning om tal decimalform kan göras meningsfullt föreslår hon tio-basmaterial. Lärarna som senare använt materialet vittnar om att elevers förståelse för tal i decimalform blivit bättre än tidigare elever som undervisats på annat sätt.
10 Sowder (1997) förespråkar även användningen av andra representationsformer för att elevers förståelse ska utvecklas än mer. Hon föreslår exempelvis representationen pengar för att senare undervisa utan konkret material. En liknande åsikt beskrivs av Wright och Tjorpatzis (2015). Har elever utvecklat god förståelse för tal i decimalform kommer de inte vara i behov av konkret material för att kunna resonera om talen.
Pengar som representation
Ett material som ofta används i undervisningen om tal i decimalform är pengar (Jameson (2016). Jameson (2016) beskriver i sin studie, som genomfördes i USA, för- och nackdelar med materialet. Genom att använda pengar i undervisningen får elever chans att skapa förståelse för värdet på tiondels- och hundradelspositionen samt att elever skapar förståelse för valörernas värde. Om pengar används i undervisningen kan elever utnyttja sina vardagskunskaper om pengars värde och omsätta kunskapen i andra sammanhang. Dessutom kan elever träna på att dela upp och sortera pengar i olika valörer. Elever får då chans att lära sig om tal i decimalform genom att sortera, gruppera och växla pengar till de minsta beståndsdelarna (Jameson, 2016). Carraher et al., (1988) belyser vikten av att lära elever relationen mellan pengar och platsvärden för att de ska utveckla förståelse för tal i decimalform.
I Carrahers et al., (1988) studie framgår det att elever lär sig matematik i vardagssammanhang. När elever handlar i butiker behöver elever lära sig att räkna sina pengar men också räkna ut växeln de kommer få tillbaka. Forskarna har upptäckt att både barn och vuxna som inte gått ut skolan och inte lärt sig skriva, trots det kan förstå det decimala positionssystemet. I forskningen framgår det att brasilianska gatuförsäljande barn som har daglig kontakt med pengar kan lära sig förstå pengars värde. Barnen genomför beräkningar med tal i decimalform med upp till 98 procent säkerhet på gatan. Däremot när barnen fick utföra samma uppgift i skolan under en matematiklektion var andelen rätta svar endast 37 procent.
Roche (2010) anser att pengar är ett matematiskt korrekt material för att genomföra diskussioner om tal i decimalform. Däremot finns det betydande nackdelar med materialet då det inte kan ses som ett adekvat material för symboliseringen mellan tiondel och hundradel. Jameson (2016) beskriver också ett problem med pengar. Elever lär sig enbart om två decimaler med hjälp av pengar. Därför blir elever osäkra på hur de ska hantera
11 nästkommande decimaler. Dessutom kan pengar ge uppfattningen som om de vore två olika heltal beroende på att man skiljer på dollar och cent. Det kan leda till att elever tror att de kan hantera tal i decimalform som två separata tal uppdelade med ett decimaltecken (Roche, 2010; Jameson, 2016). Steinle (2004) skriver att pengar kan hindra elevers utveckling av förståelse för tal i decimalform på grund av att elever omvandlar talen till heltal.
Mätinstrument som representation
En vanlig representation som många lärare använder i undervisningen för att introducera tal i decimalform är mätinstrument. Det beror på att lärare vill att undervisningen ska syfta till vardagshändelser och då kan elever utnyttja sina kunskaper från vardagssammanhang (Pramudiani et al., 2011). Mätinstrument såsom meterlinjalen kan vara lämplig för att konkretisera det decimala positionssystemet (Wright & Tjorpatzis, 2015). Kidder (1980) styrker idén om att använda konkret material för att elever ska lära sig förstå tal i decimalform. Undervisning där elever får genomföra mätaktiviteter kan enligt forskaren vara effektiva när elever utvecklar förståelse för tal i decimalform. Vårt mätsystem är likt vårt talsystem, grundat i bas av tio och därför kan mätaktiviteter ge en översikt hur tal är uppbyggda. Syftet med mätaktiviteter får däremot inte bli att lära elever om hur en meter omvandlas till decimeter eller centimeter. Målet bör istället vara att materialet hjälper elever att bekanta sig med tal i decimalform. Om undervisningens syfte är att omvandla måttenheter med hjälp av mätinstrument kan elever missledas. Undervisningens fokus kan enligt forskaren hamna på heltal istället för tal i decimalform (Kidder, 1980). Även Steinle (2004) har kommit till en liknande slutsats. Enligt forskaren är det vanligt att mått ingår i undervisningen med tal i decimalform. Hon varnar däremot för att elever kan tolka tal i decimalform som två separata tal om de arbetar med enhetsomvandlingar och det leder till att fokus hamnar på heltal, exempelvis kan 44,27 meter tolkas som 44 meter och 27 centimeter (Steinle, 2004).
Språket som representation
Språkbruket kan vara en anledning till missuppfattningar för tal i decimalform. Benämningen av tal i decimalform kan påverka elevers förståelse, exempelvis om 0,41 utläses som noll komma fyrtioett. Exemplet kan leda till att elever tror att läraren pratar om heltalet 41 istället för talet 0,41 (Mårtensson, 2015). Ett adekvat språkbruk i klassrummet hjälper elever att förstå vilket tal lärare syftar till. Med ett tydligt språk kan
12 elever uppfatta om det talas om heltalet alternativt talet i decimalform (Steinle, 2004; Mårtensson, 2015). För att ge elever chans att utveckla förståelse för tal i decimalform bör talet 0,41 utläsas som noll hela, fyra tiondelar och en hundradel alternativt noll hela och fyrtioen hundradelar. Det tydliggör att talet är en del av en helhet (Mårtensson, 2015; Steinle, 2004). För att elever ska kunna skapa en djupare förståelse för tal i decimalform betonar Sowder (1997) vikten av att uttala talen för vad de egentligen är. Processen att benämna tal i decimalform behöver få extra uppmärksamhet i undervisningen (Mårtensson, 2015; Sowder, 1997). Benämningen av heltal följer en viss struktur och tal i decimalform följer en annan struktur. Talet 0,642 utläses som sexhundrafyrtiotvå tusendelar och har innebörden 642 tusendelar. Heltalet 642 benämns som sexhundrafyrtiotvå och har innebörden sexhundrafyrtiotvå ettor (Sowder, 1997).
Ett sätt att benämna tal i decimalform kan vara genom att använda fractional language.
Fractional language innebär att tal i decimalform benämns utifrån minsta beståndsdelen.
Roche (2005) lyfter exemplet 2,75 och menar att talet ska utläsas som två hela och sjuttiofem hundradelar. Hon förespråkar metoden med stöd av sin forskning vilken indikerar att elever som använder sig av fractional language kan ha djupare förståelse för tal i decimalform. En liknande språklig strategi för att utläsa tal i decimalform nämns av Resnick et al., (1989). Forskarna menar att tal i decimalform, precis som heltal, ska utläsas som en helhet. Heltalet 236 ska utläsas som tvåhundratrettiosex. Tal i decimalform ska också utläsas som en helhet, däremot är positionsvärdet av den sista siffran avgörande för benämningen. Sexan (0,006) på tusendelsposition i talet 0,236 har positionsvärdet tusendelar och därmed ska talet benämnas som tvåhundratrettiosex tusendelar. Däremot belyser forskarna att strategin kan skapa problematik för elever då benämningsprocessen kan skapa förvirring. Elever kan uppfatta delar av talen som heltal. Dessutom kan strategin vara svår att omsätta i praktiken vid jämförelser med tal som varierar i antal decimaler, exempelvis 0,245 och 0,7. (Resnick et al., 1989)
13
Metod
Bryman (2018) skriver att inom samhällsforskning finns två strategier när det gäller genomförandet av studier. Den första strategin är kvantitativ forskning. Den kan betraktas som en forskningsstrategi som betonar kvantifiering vad gäller insamling och analys av data. Den kvantitativa strategin innehåller ett deduktivt synsätt och tyngden ligger på prövning av teorier. Deduktivt synsätt representerar den vanligaste uppfattningen om förhållandet mellan teori och praktik. Det innebär att forskare med deduktivt synsätt har en uppfattning inom det tänkta forskningsområdet och därigenom utformar hypoteser. Utifrån hypoteser genomförs mätningar som ger ett resultat. Efter att resultatet analyserats revideras den ursprungliga teorin (Bryman, 2018).
Studiens syfte var inte att mäta olika företeelser, därför var inte kvantitativ forskning lämplig att genomföra. Valet föll på att genomföra kvalitativ forskning. Inom kvalitativ forskning läggs vikten vid innebörder av ord och inte kvantiteten vid insamling av data. Inom kvalitativ forskningsstrategi betonas i huvudsak ett induktivt synsätt där tyngden läggs på att observera verkligheten för att skapa kunskap och teori. Vanligt inom kvalitativ forskning är att genomföra intervjuer och därigenom få respondenternas synvinklar (Bryman, 2018). Denna studie är beroende av lärarnas personliga uppfattningar om matematikundervisning inom området elevers förståelse för tal i decimalform. Med det avseendet var det lämpligt att utgå från kvalitativ forskningsstrategi i denna studie.
Datainsamlingsmetod
Som nämndes ovan fokuserar oftast kvalitativ forskning på respondenternas personliga uppfattningar. Det innebar att insamlingen av data behövde göras på så sätt att lärarnas åsikter kunde framgå. Det gjordes genom semistrukturerade intervjuer. Bryman (2018) menar att inom kvalitativ forskning är intervjuer den metod som är vanligast. Intresset inom kvalitativa intervjuer är riktat mot respondenternas ståndpunkter. Metoden för genomförandet är oftast i form av ostrukturerade- eller semistrukturerade intervjuer. Vid ostrukturerade intervjuer används någon form av minnesanteckningar för att säkerställa att intervjun behandlar ett visst antal teman. Ostrukturerade intervjuer tenderar att likna ett vanligt samtal. Vid semistrukturerade intervjuer används intervjuguider som fungerar som ett manus. Intervjuguiden behöver inte följas slaviskt utan respondenterna kan få prata fritt och lämpliga följdfrågor tilläggas vid behov av intervjuaren (Bryman, 2018). Intervjuerna
14 är personliga och enskilda mellan intervjuaren och respondenten. Både Bryman (2018) och Denscombe (2016) anser att metoden ger möjlighet för respondenterna att ge välutvecklade och detaljerade svar vilket leder till en fyllig data. Vidare beskriver Denscombe (2016) att personliga intervjuer både är populära och relativt lätta att arrangera eftersom datan enbart kommer från en respondent i taget. Bryman (2018) belyser att den semistrukturerade intervjuprocessen är flexibel och det relevanta är respondenternas uppfattningar samt forskarens tolkningar av deras åsikter. Semistrukturerade intervjuer används ofta när forskare har ett förhållandevis tydligt fokus för att ta sig an specifika frågeställningar. I den här studien valdes semistrukturerade intervjuer eftersom studiens huvudsakliga teman redan var formulerade inför intervjuerna. Det innebar att det fanns ett fokus på att lärarna pratade om både sin egen undervisning om tal i decimalform och vilka verktyg lärarna använde för att hjälpa elever att skapa förståelse. Dessutom hade intervjuaren tillgång till en intervjuguide (bilaga 1), vilket skapade extra trygghet under intervjuerna.
Urval och genomförande
Studiens syfte är att ta reda på hur lärare med hjälp av representationsformer undervisar om tal i decimalform. Insamlingen av material till studien hart gjorts genom att intervjua åtta lärare. Kriterierna för vilka lärare som valdes ut till intervjuer var:
• Läraren ska inneha legitimation för att undervisa i matematik i mellanstadiet. • Läraren ska ha genomfört undervisning minst en gång inom området tal i
decimalform.
Urvalet av lärare gjordes genom ett så kallat bekvämlighetsurval. Forskare som genomför en studie med ett bekvämlighetsurval väljer ut personer som råkar finnas tillfälliga för forskaren (Bryman, 2018). Genom kontakter tillfrågades olika personer som var tänkbara för att delta i studien. På grund av rådande pandemi uppstod vissa svårigheter att få tag på lärare som kunde tänkas delta i studien. Trots det har lärare från två olika kommuner och totalt fem olika skolor deltagit. För att uppnå viss variation i studien vad gäller lärare, har det strävats efter att välja personer med olika erfarenhet och bakgrund. Inom kvalitativ forskning är alltid antalet deltagare problematiskt. Det är omöjligt att på förhand veta hur många deltagare som behövs för att uppnå teoretisk mättnad (Bryman, 2018). Antalet deltagare i studien stannade vid åtta personer. Anledningen till att inte fler lärare intervjuades berodde på att studien enbart löpte över tio veckor och det hade blivit svårt
15 att analysera datamaterialet på ett önskvärt sätt om fler hade deltagit. Nedan följer en tabell (tabell 1) för att ge en översikt över lärarnas erfarenhet ifrån matematikundervisning och vilken årskurs de undervisar i för tillfället. I tabellen har lärarnas namn ersatts med ”L” följt av en siffra.
Tabell 1: Sammanställning av lärarnas erfarenhet inom matematikundervisning och vilken årskurs de undervisar för tillfället.
Lärare Yrkeserfarenhet som matematiklärare Undervisar för tillfället i årskurs
L1 25 års erfarenhet Årskurs 3 L2 15 års erfarenhet Årskurs 6 L3 9 års erfarenhet Årskurs 5 L4 27 års erfarenhet Årskurs 4 L5 14 års erfarenhet Årskurs 5-6 L6 10 års erfarenhet Årskurs 6 L7 3 års erfarenhet Årskurs 5 L8 40 års erfarenhet Pensionär
Lärarna i studien kontaktades antingen via mail eller genom en direkt förfrågan. Samtliga lärare fick ta del ett missivbrev (bilaga 2) för att informeras om vad studien behandlade och för att godkänna sin medverkan. Missivbrevet möjliggjorde att lärarna fick möjlighet att förbereda sig inför intervjuerna. Innan intervjuerna utformades en intervjuguide. Intervjuguiden skapades för att få en struktur i intervjuerna. Lärarna informerades både i missivbrevet och inför intervjuerna att deras medverkande i studien förblir anonymt. Sex av intervjuerna genomfördes på lärarnas arbetsplatser medan två intervjuer genomfördes genom ett videokonferensprogram. Intervjuerna dokumenterades med ljudupptagning. Inspelning av intervjuer möjliggör att forskare kan genomföra noggrannare analys eftersom det kan spelas upp flertalet gånger (Bryman, 2018).
Intervjuerna inleddes med att samtliga lärare fick besvara frågan: Kan du beskriva din undervisning när du behandlar tal i decimalform? Frågan medförde att samtliga lärare fick möjlighet att berätta med stor frihet om sin undervisning. Sedan följde frågor utifrån intervjuguiden om både vad lärarna ansåg vara relevant för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform samt vad lärarna använder för verktyg i undervisningen (se bilaga 1). Eftersom semistrukturerade intervjuer inte behöver följa intervjuguiden slaviskt valdes följdfrågor utefter lärarnas utsagor. Lärarna kunde utforma svaren på sitt sätt och
16 intervjuernas längd varierade mellan 25–40 minuter beroende på hur utförliga svar lärarna gav. För att studiens syfte och frågeställningar skulle besvaras var det viktigt att intervjufrågorna tillät lärarna att reflektera och beskriva sin egen undervisning. Huvudfokus var att lärarna beskrev vilka verktyg de tog till i undervisningen för att eleverna skulle skapa förståelse för tal i decimalform. Lärarna beskrev ofta sambanden till andra matematiska områden, exempelvis tal i bråkform. Det innebar att intervjuerna behövde styras i rätt riktning för att lärarna inte skulle avvika från ämnet, tal i decimalform. För att effektivisera transkriberingsarbetet användes en mobil för inspelning eftersom det underlättar processen. Bryman (2018) menar att personer som genomför intervjuer som ska transkriberas behöver avsätta ordentligt med tid för uppgiften. Därför är avvägandet av ett realistiskt antal respondenter betydelsefullt eftersom momentet är tidskrävande. Vidare tillägger han att intervjuare bör vänta in i det sista med att stänga av inspelning. Respondenterna kan öppna sig mer mot slutet, därför avvaktades det en extra stund med att avsluta intervjuerna för att invänta lärarnas slutkommentarer. Efter att transkriberingsarbetet var slutfört, påbörjades analysen av det insamlade datamaterialet, vilket beskrivs nedan.
Databearbetning och analys
När datamaterialet bearbetades gjords det genom en så kallad tematisk analys. Genomförandet av en tematisk analys innebär att organisera och sammanställa materialet i teman. Sökandet efter teman i datamaterial är ett vanligt tillvägagångsätt inom kvalitativa studier. Inom tematisk analys kan teman innebära samma sak som kod eller en grupp koder (Bryman, 2018). I den här studien innebär en grupp med samma färgkoder ett tema. Genomförandet av en tematisk analys kan enligt Braun och Clarke (2006) delas upp sex steg.
Första steget innebär att den eller de som genomför en studie ska bekanta sig med materialet. Det kan handla om att genomföra eventuella transkriberingar, lyssna och läsa igenom materialet flera gånger. Forskarna menar att detta steg är relevant för fortsatt analys. Första steget i bearbetningen av materialet var att lyssna på inspelningarna ett par gånger och senare transkribera intervjuerna. Braun och Clarke (2006) menar att forskare som själv samlar in sitt datamaterial skapar en viss förkunskap under processen. Det gör att tankar om kommande teman kan uppenbaras för forskaren vid bearbetning. Forskarna
17 menar att i det här steget är det viktigt att föra anteckningar som senare kan användas i kommande steg. Under transkriberingsfasen antecknades återkommande begrepp och återkommande åsikter och synpunkter som senare kunde innebära ett tema. Själva bearbetningsfasen är tidskrävande men lägger grunden för kommande analys. Därför har samtliga intervjuer inom studien transkriberats, för att få en så god överblick som möjligt. Andra steget innebär att inleda kodningen av materialet. Detta är ett moment där det sker en initial kodning, vilket innebär att kodningen är öppen. Det handlar om att sätta namn på mindre textdelar. Det här momentet kan innebära att antalet koder växer snabbt (Braun & Clarke, 2006). Men detta kunde förhindras tack vare initiala rubriker i resultatet som upptäcktes under transkriberingen. De initiala rubriker som användes när kodningen inleddes var: (1) Relevanta kunskaper för att elever skapa förståelse för tal i decimalform. Här ingick uttalanden som beskrev vad lärarna ansåg vara relevant för att elever skulle skapa förståelse för tal i decimalform. (2) Representationsformer i undervisningen. Under rubriken sorterades beskrivningar om representationer utifrån representationsformerna. (3) Undervisningsmoment med tal i decimalform. Lärarna beskrev hur de undervisar om tal i decimalform och här samlades olika exempel utifrån deras utsagor.
Det tredje steget innebär att koderna från steg två ska grupperas in i olika teman. Här handlar det om att hitta gemensamma delar som kan relateras och kombineras för att skapa ett större övergripande tema. Det är vanligt att forskare i det här steget namnger de olika teman och att det kan vara bra att genomföra visuellt för att göra materialet överskådligt (Braun & Clarke, 2006). Men i och med att både intervjuerna och transkriberingen genomfördes av forskaren själv hade teman redan identifierats. I det här steget färgkodades materialet och färgen grön användes för att markera utlåtanden som upplevdes relevanta vad gäller elevers förståelse för tal i decimalform. Färgen lila användes för att markera olika typer av representationsformer och representationer som lärarna beskrev att de använde i undervisningen (Se figur 2). Färgen blå användes för att markera lärarnas beskrivningar av olika undervisningsmoment om tal i decimalform.
18
Figur 2: [Färg]. Utdrag från exempel på färgkodning av datamaterial.
Kan du beskriva hur din undervisning ser ut när du behandlar tal i decimalform?
Decimaltal är ju en form av tal. Så att det gäller att bädda för att dom ska få en ökad förståelse för flera olika typer av tal. Jag brukar börja med den tomma tallinjen och post-it-lappar och då är det inte bara decimaltal på post-it lapparna utan vanliga heltal oftast. Sen får eleverna sätta ut dessa tal och då diskuterar vi vad som finns där emellan. Så brukar jag börja och sen så blir det svårare och svårare decimaltal som man sätter ut på den här tomma tallinjen. Vi storleksordnar också tal ofta. Jag skriver upp tal och så får de säga om det ena är större eller mindre. Vi använder alltså begreppen större än och mindre än. [L1]
Steg fyra i processen att analysera datamaterialet innebär att granska teman. Eventuellt kan teman behöva sammanfogas med andra teman då temat inte kan stå för sig självt på grund av avsaknad av data. Dessutom kan teman behöva delas upp i mindre delteman eftersom materialet inte har en sammanhållning. I det här steget kan det vara lämpligt att sätta namn på teman och delteman som knyter an till den litteratur som används i studien (Braun & Clarke, 2006). Detta steg gjordes genom att sätta rubriker för det kodade datamaterialet. Det landade i tre olika rubriker: (1) Kunskaper som leder till förståelse för tal i decimalform, (2) Lärarnas val av representationer och (3) Undervisningsmoment med olika representationer.
Steg fem handlar om att försöka definiera de olika teman. Det innebär att försöka förklara essensen av vad varje tema handlar om. Det är viktigt att varje tema förklaras och varför temat är intressant att behandlas (Braun & Clarke, 2006). För att det kodade materialet ska tillföra något i resultatet granskades de olika teman mot både syfte och frågeställningar. Det gjordes för att säkerställa att materialet tillförde något essentiellt till studien. Steg sex innebär ett moment då det ska formuleras en skriftlig rapport. Syftet med rapporten är att berätta om den insamlade data och övertyga mottagaren av arbetet om giltigheten av analysen. Braun och Clarke (2006) menar att det är viktigt att studien inte bara tillhandahåller data utan den bör dessutom skrivas samman som en analytisk redogörelse. I den här studien formuleras rapporten i form av ett resultat. I resultatet lyfts teman med relevanta citat för att skapa en analytisk redogörelse.
19 Reliabilitet och validitet
Bryman (2018) förklarar att reliabilitet och validitet är två viktiga aspekter för att kunna genomföra en god kvalitativ studie. Reliabilitet handlar om hur data samlas in och hur den senare bearbetas. Han förklarar att reliabiliteten innebär att resultaten från studier ska kunna åstadkommas på likvärdigt sätt om andra forskare önskar att genomföra liknande studier. Det innebär att studierna har god tillförlitlighet och trovärdighet. Inom kvalitativ forskning läggs inte vikten vid mätning som inom kvantitativ forskning. För att denna studie skulle uppnå en hög reliabilitet har studiens val av metod bestått av kvalitativa intervjuer där data senare analyserats genom att skapa olika teman. För att öka reliabiliteten har intervjuerna dessutom spelats in för att senare transkriberas. Det gjorde att det var möjligt att följa upp med intressanta följdfrågor istället för att fokus lades på att anteckna. Validitet innebär studiers trovärdighet och om studien mätte det som faktiskt skulle mätas (Bryman, 2018). För att få så hög validitet som möjligt har frågeställningen avgränsats till att undersöka hur lärare använder representationsformer i undervisningen för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform. Tack vare intervjuguiden har det varit möjligt att få lärarna att ge sin bild utifrån studiens teman. För att skapa en äkthet har även kriteriet, rättvis bild, tagits hänsyn till. Det innebär att undersökningen som gjorts ger en rättvis bild av lärarnas åsikter och uppfattningar (Bryman, 2018).
Forskningsetiska principer
Vid all typ av forskning finns det ett antal forskningsetiska principer att ta ställning till. För denna studie har Vetenskapsrådets (2017) forskningsetiska principer beaktats för att uppfylla en god forskningssed. De etiska ställningstagande som gjorts i denna studie är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Principerna är till för att ge skydd till personer som väljer att delta i undersökningar (Bryman, 2018). Stensmo (2002) skriver att inom forskning kring utbildningsvetenskap är principerna viktiga eftersom det kan vara lätt att identifiera deltagare genom exempelvis spårning av skola och därigenom få tag i personal- och klasslistor.
För att uppfylla informationskravet informerades samtliga lärare om studiens syfte samt tillvägagångssätt. Lärarna gjordes medvetna om att deltagandet var frivilligt och att de hade rätt att avbryta sin medverkan i studien om de så önskade utan att behöva ange skäl.
20 Samtyckeskravet belystes för att lärarna i undersökningen skulle veta att de själv har rätt över sin medverkan. Vid kvalitativa studier med intervjuer är det extra relevant att ta samtyckeskravet i beaktning eftersom deltagarna ska ge sitt samtycke för att kunna genomföra intervjuer (Bryman 2018). Konfidentialitetskravet togs hänsyn till genom att alla lärarnas riktiga namn ersattes med ”lärare” följt av en siffra och att alla personuppgifter förvaras på sådant sätt att ingen obehörig kan komma åt det. Slutligen har nyttjandekravet informerats till respondenterna. Det innebär att den data som samlats från varje enskild person, via intervjuer i denna studie, enbart får användas för det aktuella forskningsändamålet (Bryman, 2018).
21
Resultat
För att få en djupare insikt i vad lärare hade för ståndpunkter och åsikter kring undervisning om tal i decimalform analyserades lärarnas intervjuer. Första temat utgörs av olika aspekter som lärarna ansåg relevanta för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform. Det andra temat är en tolkning utifrån studiens ramverk, vad lärare använder för representationsformer i undervisningen. Det tredje och avslutande temat beskriver undervisningsmoment med representationer som bidrar till att elever skapar förståelse för tal i decimalform. De olika teman utgör egna rubriker och innehållet exemplifieras med citat från respondenterna i följande resultat.
Kunskaper som leder till förståelse för tal i decimalform
Temat kännetecknas av att lärarna uppvisar medvetenhet om att olika kunskaper krävs för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform. För att elever ska kunna ta steg i sin förståelse behöver de förstå vissa aspekter med tal i decimalform. I datamaterialet framgår att lärarna anser att kunskaper om positionssystemet är relevant för att elever ska utveckla förståelse för tal i decimalform. För att elever ska utveckla förståelse för tal i decimalform behöver de förstå siffrors värde beroende på vilken plats siffran står.
[…] de måste ju ha full koll på talsorterna, ental, tiotal, hundratal och tusental. Samt att det även finns talsorter i decimaltal, tiondelar, hundradelar och så vidare. […] Om de har positionssystemet klart för sig förstår de värdet på siffran, där den står. [L1]
Citatet ovan beskriver att elever behöver förstå att det både finns naturliga och rationella tal. För att eleverna ska förstå värdet på tal i decimalform ansåg lärarna att eleverna behövde förstå sambandet mellan heltal och decimaler. Flera av lärarna menade också att eleverna behöver lära sig vad decimaltecknet har för betydelse i ett tal i decimalform. Det innebär också att elever behöver förstå att tal till höger om decimaltecknet relaterar till entalet och att entalet är mittpunkten av ett tal.
Någonting de måste förstå är vad som är heltalet i 1,25. 1 är heltalet och 25 i 1,25 betyder att det inte är en hel bit utan det är en del utan någonting. Det är viktigt att förstå att det är en del av det hela. [L5]
Det som ändå är viktigast är att eleverna förstår att entalet är mittpunkten i talet och inte decimaltecknet. [L6]
22 En annan aspekt som samtliga lärare nämnde i intervjuerna var samband till andra matematiska områden. När lärarna fick inleda intervjuerna med att beskriva hur de undervisar kring tal i decimalform inledde många med att belysa sambandet till tal i bråkform. De flesta antydde att tal i bråkform relaterar till tal i decimalform. Till exempel berättade lärare 5 att hen börjar med att utgå från tal i bråkform för att sedan knyta an till tal i decimalform. Senare i undervisningen påvisar hen även sambandet till tal i procentform.
Jag börjar faktiskt med att utgå från bråktal för att sen komma över till decimaltal. Det gör jag för att dom ska få förståelse för att ett decimaltal kan vara en del utav det hela, exempelvis 1/4 är 0,25. Därifrån går jag ofta vidare till procent. [L5]
Många av lärarna poängterade även sambanden till enhetsomvandlingar. Lärarna menade att undervisningen kring tal i decimalform kunde göras konkret om eleverna fick möjlighet att exempelvis jobba med omvandling av längdenheter eller viktenheter. Det framgick i intervjuerna att lärarna ville att eleverna har en förståelse om att en tiondels meter är ekvivalent med en decimeter.
Väldigt tidigt vill jag att eleverna ska förstå att 1 decimeter är 1/10 av en meter. Det vill jag gärna att dom ska förstå innan vi börjar med decimaltal. Om jag skriver det som ett uttryck, 1 decimeter = 1 tiondels meter. […] Jag vill ju att de har en grundförståelse. [L1]
Lärarnas val av representationer
Det här temat beskriver vilka representationer lärarna använder i sin undervisning om tal i decimalform. Temat ställs mot det teoretiska ramverk som nämns i bakgrunden, Leshs (1981) fem olika representationsformer sammanslaget med Bergius et al., (2019) tolkning. I tabellen (tabell 2) nedan motsvarar varje representationsform, med tillhörande representationer, de beskrivningar som lärarna gav om sina val av representationer för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform. Utifrån det teoretiska ramverk om olika representationsformer har lärarnas beskrivningar tolkats och grupperats för att skapa en överblick över olika representationer som lärarna använder i undervisningen.
23
Tabell 2: Sammanställning av lärarnas val av representationer i undervisning om tal i decimalform inom varje representationsform.
Representationsform Representationer eller lärandemoment
Matematiska symboler Skrivna tal och uppgifter på tavlan och i läromedel
Ord Lärares genomgångar, helklassdiskussion, elevers muntliga redovisningar, ramsräkning, diskussioner i grupper
Bilder Målade bilder på tavlan, projicerade bilder på tavlan, ritade lösningar på uppgifter, tallinje
Laborativa material Tio-basmaterial, mätinstrument, digitala hjälpmedel, abakus, bråkplatta, låtsaspengar
Situationer Inköp i affär, tider från sporter, mätaktiviteter, batterinivå på digitala hjälpmedel
Undervisningsmoment med olika representationer
Följande tema behandlar olika moment i lärarnas undervisning som ger elever lärandemöjligheter. Lärarna beskrev olika undervisningsmoment och i detta tema kommer olika representationer presenteras.
Bildlig representation
De flesta lärarna började relativt omgående i intervjuerna beskriva den bildliga representationen tallinje som en viktig del i undervisningen för att elever skulle skapa förståelse för tal i decimalform.
Det utgår ju från att man börjar med dom naturliga talen, 1 till 10 och där tänker jag att vi jobbar oftast med en tallinje. För att dom ska ha förståelse för att, här ligger de naturliga talen, noll och uppåt. Sen att det även finns tal bakom. Men också ett sätt att bryta ner tallinjen. Om man tänker att du har en tallinje och så visar du mellan noll och ett. Då kan man även bryta ner den till en ny tallinje. [L7]
Lärare 7 beskriver att hen utgår från elevernas förståelse för de naturliga talen. Genom att poängtera att det finns tal mellan heltalen, påvisar hen att tal i decimalform också kan placeras på tallinjen. Hen synliggör det genom att bryta ner tallinjen till en ny tallinje mellan två naturliga tal. Lärare 7 använder i det här lärandemomentet olika
24 representationsformer i form av bildlig representation, ord och matematiska symboler för att eleverna ska kunna skapa förståelser för tal i decimalform. I lärarens undervisning förblir eleverna passiva så länge inte läraren tillåter eleverna delta i momentet.
Lärare 4 börjar också med att markera ut två naturliga tal (0 och 1) för att sedan markera ut tio lika stora delar på tallinjen. Det medför att lärare 4 påvisar att relationen mellan heltal och tal i decimalform måste vara proportionerliga. Det innebär att eleverna får möjlighet att se värdet på tal i decimalform i relation till heltal. Vid varje markering skriver hen först ut talet i bråkform för att sedan berätta att det finns ett annat skrivsätt för tal i decimalform. Det bidrar till att eleverna får använda sig av tidigare kunskaper från tal i bråkform och se sambanden till tal i decimalform. I undervisningsmoment tillåts elever inte, likt det lärare 7 beskriver, att själva arbeta med tallinjen. I citatet under använder sig lärare 4 bildlig representation samt representationsformen matematiska symboler med två olika representationer, tal i bråkform och tal i decimalform:
En sak som jag alltid använder är tallinjen när jag ska visa på decimaltal. Jag markerar ut en nolla och en etta och sen delar upp det i 10 lika stora delar. Sedan så ska man då markera ut decimaltalen. Jag börjar i regel med att uttrycka det i bråkform, exempelvis 1/10 2/10 3/10 och så vidare. […] Sedan brukar jag då berätta att det finns ett annat skrivsätt för att skriva 1/10. Till exempel 1/10 så skriver man bara ut täljaren som en decimal då 0,1. Det är egentligen ett förenklat skrivsätt istället för att skriva ut hela bråket. [L4]
Skillnaden mellan lärare 7, lärare 4 och lärare 8 är att lärare 8 tillåter elever att vara aktiva på ett annat sätt i undervisning med tallinjen. Hen har utformat en lektion där eleverna använder flertalet representationsformer i samma uppgift. Uppgiften går ut på att i grupp resonera fram var de olika skrivna talen ska placeras på en tallinje. Efter att eleverna placerat talen ska de sedan presentera sina lösningar för övriga i klassen och då menar läraren att de får chans att växla mellan olika representationsformer:
Tallinjen, den jobbar jag mycket med. Då har jag en tallinje i resårband. Och så får barnen, i grupper, klädnypor med papperslappar med tal på. […] Sen får de fundera på var de ska sätta fast nyporna. […] Sen får varje elevgrupp redovisa. Var de satt sina tal och varför de placerat dem där. [L8]
Undervisningsmomentet innehåller flertalet representationsformer där eleverna muntligt med ord ska samarbeta med gruppen och sedan presentera sina lösningar i helklass. De ska placera ut matematiska symboler på den bildliga representationen. Övningen går att tolka
25 som en fiktiv situation där de ska utföra uppgiften och eleverna får om de vill presentera lösningen med hjälp av ritade svar. Lärandemomentet innebära att eleverna ges möjlighet att växla mellan olika representationsformer.
Laborativt material som representation
En annan representation som hälften av lärarna talade om var tio-basmaterial, i form av laborativt material. Materialet användes på olika sätt bland lärarna. Lärare 4 beskrev att det var något hen visade upp för eleverna för att synliggöra tal i decimalform. När läraren fick frågan i vilken utsträckning eleverna fick använda materialet beskrev hen att det i stort bara var hen som använde det:
I princip är det faktiskt bara jag som grejar med och visar upp det. [L4]
Lärare 4 använder dessutom en Powerpoint för att visa upp tio-basmaterialet genom en annan representation. Det innebär att läraren använder en bildlig representation av det laborativa materialet i det här momentet. En annan lärare som beskrev hur hen använde tio-basmaterial var lärare 8. Hen inledde intervjun med att poängtera värdet av att använda laborativt material i undervisningen:
Åtminstone de sista 20 åren som jag jobbade så har jag börjat använda mer konkret material. Jag har läst och tycker själv att en riktig förståelse börjar i det konkreta materialet. För att man måste ha någon bild. Av det konkreta materialet så skapar barnen en bild. Och detta ska barnen kunna gå tillbaka till innan man kommer till den abstrakta eller symboliska nivån. [L8]
Det lärare 8 beskriver är att elever behöver kunna skapa mentala bilder av det laborativa materialet för att kunna omsätta det i mer abstrakta representationsformer såsom matematiska symboler. Vidare berättar läraren vad hen anser vara relevant med konkret material för elevers utveckling av förståelse för tal i decimalform:
Därför börjar jag alltid att på ett laborativt problemlösande sätt med det konkreta. Och jag tycker det är jätteviktigt att alla barn ska göra detta. Inte bara nått konkret material som man tar fram efteråt, om några barn inte förstår. För att alla människor har nytta av att börja i den konkreta fasen. Efter den konkreta fasen är det viktigt att man kan göra någon slags bild. Och i det här fallet med decimaltal så har de ritat hundra-rutan, tio-staven och en-kuben. [L8]
26 Hur Lärare 8 använder det laborativa materialet skiljer sig jämfört med lärare 4. Lärare 8 tillåter eleverna utforska materialet laborativt vilket ska bidra till att eleverna senare kan måla upp egna bilder av det. Lärare 4 visar istället upp det laborativa materialet utan att eleverna själva tillåts laborera med det.
Representationsformen situationer
En annan representation för tal i decimalform som hälften av lärarna beskrev var pengar. I citatet under beskriver lärare 5 att elever möter tal i decimalform även i vardagen. Läraren gör en koppling till representationsformen situationer. Med hjälp av kopplingen till vardagen kan läraren konkretisera när tal i decimalform kommer till användning. Läraren gör det för att eleverna inte ska uppleva matematiken som abstrakt. Det läraren gör i det här momentet är att hen kopplar samman representationsformen situationer med matematiska symboler vid exempelvis beräkningar.
Sen kan man ju koppla det till affären. När man handlar och tittar på siffor, där har man ju decimalsiffror. Vad har vi för decimalsiffror, vad ser ni ute 13,95. […] Det är massor med decimalsiffror hela tiden från vardagen. Det bästa är att koppla grejerna till vardagssituationer som finns för annars blir det abstrakt. [L5]
Lärare 2 berättar också om hur hen arbetar med pengar i undervisningen för att konkretisera tal i decimalform. Det sker genom digitala hjälpmedel där eleverna får leka affär med koppling till valutan euro. Hen anser att den representationen skapar en verklighetsbild som hjälper till med att visualisera talens värde. Läraren använder laborativa material i form av digitala hjälpmedel tillsammans med fiktiva situationer för att elever ska skapa förståelse för tal i decimalform.
[…] men sen introducerar jag valutan euro och att det faktiskt rymmer tal i där som man behöver kunna behandla när de använder sina digitala läromedel. Som exempel kan man leka affär eller pizzabagare med euro som valuta och då får de en förståelse också för att det är behövligt och inte bara ett onödigt ont. [L2]
Matematiska ord som representation
Något samtliga lärare bads att resonera om var betydelsen av språket i undervisningen. Samtliga lärare ansåg att ett adekvat språk ska nyttjas i undervisningen för att elever ska lära sig begrepp och ord rätt från början vad gäller tal i decimalform. Hur lärarna använde språket i undervisningen skiljde sig åt. Lärare 5 beskrev att hen gav eleverna en strategi
27 för hur tal i decimalform ska utläsas. Om ett tal står skrivet med matematiska symboler (0,123) ville läraren att de skulle behärska att växla representationsformen till ord. För läraren räcker det inte med att utläsa talet som noll komma etthundratjugotre. Läraren hjälper eleverna att skapa ett gemensamt språk för hur tal i decimalform ska utläsas. Därför vill hen att talet ska utläsas som noll hela och etthundratjugotre tusendelar. För att eleverna ska kunna använda denna muntliga strategi behöver de däremot besitta kunskaper kring positionssystemet.
Om vi tänker på positionssystemet så är det ju det att jag försöker lära att uttrycka decimaltal på rätt sätt. Om vi tar 0,123 och då vet inte barnen vad de ska säga för enhet. Då lär man dem positionssystemet och vad är då sista siffran, och det är trean i detta fall som står på placeringen tusendel. Alltså blir det här 123 tusendelar. [L5]
Lärare 3 berättade att språket var viktigt i hens undervisning, samtidigt som det fanns svårigheter. Eleverna har olika bakgrund och det innebar att undervisningen behöver anpassas. Läraren vill att eleverna ska vara bekanta med de matematiska uttryck som finns. Men eftersom språket kunde skapa hinder i hens undervisning används andra representationsformer för att beskriva samma sak. Matematiska ord växlades till matematiska symboler, som i sin tur kunde växlades till bilder genom att rita en beskrivning av ordet. Genom att växla mellan olika representationsformer menade lärare 3 att eleverna fick möjlighet att lära sig innebörden av olika begrepp.
Det är mycket tecken som gör att man kan förstå. Men just det muntliga att ge dom uttryck för matten är viktigt men det är samtidigt svårt för många. Men ritar man det eller gör någonting då märker man verkligen att de också förstår. [L3]
