Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Utomhuspedagogik i matematik
- ett forskningsbaserat lektionsmaterial för grundskolans senare år och gymnasietMatematik-A
Out of the classroom education in mathematics - a research based teaching material for secondary school
Ethel Degirmenci
Karolina Reinholdson
Lärarexamen 180 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006
Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Eva Davidsson
Sammanfattning
Detta arbete syftar till att framställa lektionsplanering anpassad för utomhuspedagogik i ämnesområdet matematik och mer specifikt inom bråk. Planeringen är tänkt att kunna tillämpas i grundskolans senare årskurser och gymnasiet A-kursen. För att kunna bygga en grund för vårt resultat har vi forskat i tidigare forskning inom berörda områden så som utomhuspedagogik, laborativt arbetssätt, lärande, grupparbete samt bråk. Resultatet blev en planering som sträcker sig över fyra lektioner samt tillhörande
lärarhandledningar. Lektionerna innehåller del- helhets- och operationsbegreppen för bråk samt applicering av de fyra räknesätten på bråktal.
Nyckelord:
Utomhuspedagogik, bråk, lärande, socialkonstruktivism, del – helhet, utematematik, lektionsplanering.
Innehållsförteckning
Sammanfattning... 3 Innehållsförteckning ... 5 1 Inledning... 7 1.1 Syfte... 7 1.1.1 Bakgrund för undersökningen ... 7 1.1.2 Allmänt syfte ... 9 1.2 Frågeställning ... 9 1.3 Styrdokumenten... 9 2 Bakgrund ... 11 2.1 Utomhuspedagogik... 11 2.1.1 Språklig utveckling... 112.1.2 Skolgården som undervisningsplats ... 12
2.1.3 Ämnesintegrering ... 12
2.1.4 Utomhuspedagogik på gymnasieskolan ... 13
2.2 Laborativt arbetssätt ... 14
2.2.1 Konkretion... 14
2.2.2 Attitydförändring... 14
2.2.3 Lösa laborativa uppgifter... 15
2.3 Lärande ... 15
2.3.1 Inlärningsstilar... 15
2.3.2 Kognitivt lärande ... 17
2.3.3 Social konstruktivism ... 18
2.3.4 Affektiva faktorer i lärandet ... 18
2.4 Grupparbete ... 19
2.4.1 Gruppsammansättning... 19
2.4.2 Kommunikationens påverkan på inlärningen... 20
2.5 Bråk ... 21
2.5.1 Utvecklingsschema... 21
2.5.2 Modeller för division av bråktal ... 22
2.5.3 Utveckling av missuppfattningar... 23
3 Metod... 25
3.1 Urval ... 26
3.2 Koppling till resultat... 26
3.2.1 Laborativt arbetssätt ... 26 3.2.2 Lärande ... 26 3.2.3 Grupparbete ... 27 3.2.4 Bråk ... 28 3.3 Metoddiskussion... 28 4 Resultat ... 30 4.1 Lektionsplanering ... 30
4.1.1 Bråk, lektion 1 (del- helhet och operator)... 30
4.1.2 Bråk, lektion 2 (addition och subtraktion av bråktal)... 32
4.1.3 Bråk, lektion 3 (multiplikation av bråktal) ... 33
4.1.4 Bråk, lektion 4 (division av bråktal)... 34
4.2 Tillägg till lektioner... 35
4.2.2 Tillägg till lektion 4 (division av bråktal)... 36 4.3 Lärarhandledning... 36 4.3.1 Lärarhandledning bråk, lektion 1... 36 4.3.2 Lärarhandledning bråk, lektion 2... 37 4.3.3 Lärarhandledning bråk, lektion 3... 38 4.3.4 Lärarhandledning bråk, lektion 4... 40 5 Reflektioner ... 42 6 Referenser... 43 6.1 Bok ... 43 6.2 Tidning/tidskrift... 45 6.3 Webb... 45
1
Inledning
I detta kapitel har vi utöver bakgrund, syfte och frågeställning sökt och förankrat utomhuspedagogiken i styrdokumenten. Anledningen till att vi tar upp styrdokumenten redan i inledningen är för att det är en lektionsplanering som framställs och sådant material är inte relevant om man inte kan förankra undervisningsvalet i styrdokumenten.
1.1
Syfte
1.1.1 Bakgrund för undersökningen
I dagens samhälle har undervisningen och lärandet i allt större utsträckning koncentrerats till klassrumsmiljö. Dock finns det vissa organisationer som
Friluftsfrämjandet och Naturskolan, som verkar för att flytta ut undervisningen ur
klassrummet.
I Ur och Skur är en pedagogikinriktning inom förskoleverksamheten. Metoden går ut på
att barnen ska förbättra sin finmotorik och att barnen ska få hjälp i sin egen
utveckling av sådant som finns i naturen. De övar sina sinnen genom att smaka, lukta,
känna, titta, lyssna och jämföra sådant som finns runt omkring på ängen, skogen och vid ån. (Friluftsfrämjandet 2006 [www]). Meningen med hela pedagogikinriktningen är
att barnen på I Ur och Skur får en inbyggd känsla för naturen med sig ut i livet.
Naturskolan är en verksamhet som inte är förlagd till en bestämd plats. Deras arbetssätt går ut på att anordna och hjälpa allt ifrån förskolor till gymnasier att bedriva
undervisning utomhus. Skolorna kan för en viss betalning beställa planerade
temadagar/utedagar och projekt för klasser samt fortbildning för skolpersonal i naturen. Handledningen genomförs av någon/några av naturskolans många kompetenta
naturpedagoger. Förutom temadagar/utedagar och fortbildning erbjuder Naturskolan samarbete med skolor som inte är belägna nära naturområden eller rekreationsområden och därför saknar tillgång till uterum för att variera sin undervisning. I tidskriften
Bladet. Mathematics (november 2005) som utgivits av Naturskoleföreningen skriver
hänvisar till Gudrun Malmer (Good Maths for Everyone 2002) och Bengt Ulin (Engaging Maths 1996) som båda skriver att matematik inte bara är räkning. Malmer beskriver matematiken som ett språk som måste läras in för förståelse och Uhlin att problemlösning gör matematiken mer intressant för eleverna. Naturskolan har under sina många års erfarenhet (startade 1982) märkt positiva effekter av
utomhusundervisning:
Our experience of outdoor teaching is that surprisingly easy to spur commitment towards solving a problem and that pupils remember the exercise many years afterwards. Other pupils than those who dominate the classroom can often unexpectedly contribute in a meaningful and clever way. Another benefit is that school knowledge is tested in a real-world setting and that a genuine understanding of mathematics of the math’s applied is developed
(Molander m.fl. 2006:5) Under vår utbildning har vi funderat på om utomhuspedagogik är en undervisnings-alternativ för grundskolans senare år och gymnasiet men funnit ytterst lite underlag och information om detta. Idésamling med lektionsförslag för utomhusundervisning verkar ofta vara anpassade för de lägre årskurserna på grundskolan eller förskolan t.ex.
Gustavsson m.fl. (tryckår saknas). Någon enstaka samling, t.ex. Molander m.fl. (2006), har varit anpassad för elever upp till och med grundskolans sista år men ingen av dem vi har funnit har varit anpassad för gymnasiet. Därför bestämde vi oss för att skriva en lektionsserie som skulle vara anpassad till grundskolans senare år och för
gymnasieskolans Matematik A-kurs. Gymnasielärarna (en av oss har sin VFT1 på gymnasiet) reagerade skeptiskt på att undervisningen i utomhuspedagogik skulle fungera för gymnasieungdomar. De tvivlade, trots att de i övrigt är positiva till nya och/eller varierade undervisningsmetoder då dagens vanligast förekommande undervisningsform kanske inte passar dessa elever. Under skoldagarna på Malmömässan 2006 mötte vi en representant från naturskolan, han berättade att gymnasieskolor sällan anlitade dem. På grundskolan (den andra av oss har sin VFT på grundskolan) var reaktionen helt annorlunda, där var lärarna intresserade och eventuellt beredda att testa. Detta stärkte vårt intresse ännu mer och bidrog till vårt val av ämne till
examensarbetet. Matematikområdet till lektionsplaneringen blev bråk eftersom detta är en grundläggande förutsättning för vidare studier i matematik.
1.1.2 Allmänt syfte
Syftet med vår uppsats är att ta fram riktlinjer och förslag för hur ett läromedel för utomhuspedagogik i matematik kan se ut. Detta gör vi utifrån tidigare forskning med socialkonstruktivistisk syn på lärande.
1.2 Frågeställning
Vi ska i det här arbetet försöka besvara följande forskningsfråga.
• Hur skulle ett lektionsmaterial i utomhusmatematik, anpassat för grundskolans senare år och gymnasiet i A-kursen, kunna se ut utifrån forskningslitteratur i ämnet?
1.3
Styrdokumenten
Utomhuspedagogik är en arbetsform och vårt genomgående syfte är att framställa ett arbetssätt för detta som skulle kunna tillämpas i undervisningen. I Lpo 94 och lite annorlunda formulerat med tanke på det ökade elevansvaret i Lpf 94 står det under mål och riktlinjer att,
Läraren skall
• svara för att eleverna får pröva olika arbetssätt och arbetsformer
(Skolverket 1994a [www] och Skolverket 1994b [www]) I sökandet efter belägg för tillämpning av utomhuspedagogik finner man inget explicit uttalande i läroplanerna. Efter att ha gått igenom relevant litteratur för ämnet
styrdokumenten. Dessa var bl.a. att språkutveckling främjas och att närmiljön blir en del av elevens vardag och något eleven vill ta ansvar för.
Både i Lpo94 och Lpf 94 står det skrivet under mål och riktlinjer att,
Läraren skall
• organisera och genomföra arbetet så att eleven får stöd i sin språk- och
kommunikationsutveckling.
Skolan skall sträva efter att varje elev
• visar respekt för och omsorg om såväl närmiljön som miljön i ett vidare
perspektiv.
2
Bakgrund
I detta kapitel behandlar vi teorin som har legat till grund för vårt resultat. Kapitlet börjar med teori kring utomhuspedagogik som är basen i vårt arbete. Därefter följer aspekterna vi har koncentrerat oss på och som är genomgående i vårt arbete nämligen laborativt arbetssätt, lärande, grupparbete och bråk. Urvalet av litteraturen till dessa behandlas under metoden.
2.1
Utomhuspedagogik
2.1.1 Språklig utveckling
I språket präglas och avslöjas vår naturrelation. Jägaren och bonden gick i näverskog, älgskog och fågelskog. Stadsbon av idag besöker oftast bara skogen under helgerna, vilket i många fall blir ett sporadiskt och teknifierat naturmöte (Dahlgren & Szczepanski 2001). Med teknifierat möte menas det att individen använder sig av artefakter under sin vistelse i naturen. Dahlgren och Szczepanski diskuterar utomhuspedagogikens
möjligheter i våra lärande organisationer som motivationsskapande faktor för bl.a. livslångt lärande och hälsa i ett hållbart ekologiskt samhälle. Dahlgren och Szcepanski (1997) försöker ge oss en bild av utomhuspedagogik. Karakteristiskt innebär
pedagogiken handlingsinriktade lärandeprocesser som ofta sker ute. De centrala aspekterna är helhetsupplevelser, tematisk integration och direktkontakt mellan den lärande (eleven) och föremålet för lärandet (materialet). Reflektioner sker via yttre aktivitet som leder till en inre aktivitet, ett tänkande kring görandet. Avslutningsvis så tolkar de att utgångspunkten för själva lärandet är den direkta upplevelsen. Dahlgren och Szczepanski framhäver att direktkontakten med utemiljön har en viktig pedagogisk betydelse i samhället idag. De menar att: Hos homo urbaniensis [stadsmänniska] har de
språkliga begreppen för relationerna till landskapet alltmer försvagats. (2001:10) Idag
använder vi mycket av orden kopplade till naturen inte minst i ordspråk som t.ex. ”Man
ska inte ropa hej förrän man är över bäcken” eller ”Droppen urholkar stenen”. En
förutsättning för att kunna förstå innebörden av dessa ordspråk är att man behöver kunna relatera innehållet i ordspråksmeningarna till naturen, vilket homo urbaniensis kommer att ha allt svårare med.
2.1.2 Skolgården som undervisningsplats
Idag börjar fler och fler skolor att undervisa ute skriver journalisten Titti Olsson i boken ”Skolgården - Det gränslösa uterummet” (1995). Hon skriver om en skola från Kiruna och en från Lund som båda använder skolgården som undervisningsplats. Hennes syfte med att skriva boken var att inspirera andra pedagoger i skolor till att börja använda skolgården som undervisningsplats. Vidare skriver Olsson om stiftelsen Learning
through Landscapes som under flera år redan har arbetat med undersökningar av
skolgårdsprojekt. Stiftelsen förespråkar utomhusundervisningens vikt för barns
utveckling. De menar att barn har lättare för inlärning och utveckling via lek utomhus. Så här skriver de t.ex. på sin hemsida:
We believe that learning and playing outside are essential to every child's development and by improving outdoor spaces in education and childcare we can make a real difference.
(Learning through Landscapes 2006 [www]) Projektet Skolans Uterum är den svenska versionen av Learning through Landscapes som Gareth Lewis, landskapsarkitekt från Lund har startat i Sverige. Till projektet valdes 12 pilotskolor varav Olsson valt ut de två ovan nämnda att rapportera om. Projektet ska verka för att göra skolgården till en plats för lek rekreation,
skönhetsupplevelser, kunskapsinhämtning och utmaningar genom att involvera
samhället. Genom att göra detta kan skolgården bli en plats för möten där bl. a. sociala och kulturella klyftor överbyggs. Eleverna i projektet får själva verka i skapandet av en trivsammare skolgårdsmiljö så att de får känna tillhörighet och ansvar över den.
2.1.3 Ämnesintegrering
Molander m.fl. (2006) tar upp ämnesintegrering som ett skäl till att flytta ut
undervisningen i bl.a. matematik. De skriver att integreringen underlättas genom att bara starta en lektion ute i naturen. Med det menar de, viket ämne man än har tänkt sig från början att behandla under en lektion, kommer automatiskt även andra ämnen in. Ett exempel som de tar upp är om ett funnet getingbo. Matematiskt pratade man om
sexkantiga celler och hur mycket byggmaterial som minst krävdes för att få plats med alla ägg och larver, men automatiskt kom eleverna att prata även om själva insekten
geting. Ämnesintegrering tycks bli allt viktigare. I dagens läroplan för de frivilliga skolformerna (Lpf 94) står det att ”läraren skall samverka med andra lärare i arbetet
på att nå utbildningsmålen”(Skolverket 1994b [www]). Detta innebär ett
ämnesöverskridande samarbete mellan lärare på en skola. Det finns även planer från skolverket på att stärka vikten av ämnesintegreringi den kommande reformen på läroplanen för gymnasieskolan (2006-11-02, kallad för gymnasieskola 07). Med
gymnasieskola 07 (Skolverket 2006 [www]) skulle Skolverket utforma kursplanerna så att möjligheten att arbeta ämnesövergripande och ämnesintegrerat stärks. Detta gäller särskilt möjligheten att samverka mellan kärnämnen och karaktärsämnen där matematik är ett kärnämne. Emellertid så ligger gymnasieskola 07 på is, men tanken på att stärka ämnesintegrering finns.
2.1.4 Utomhuspedagogik på gymnasieskolan
Jansson och Lundberg (2004) har undersökt hur några för gymnasieungdomars tidigare kända begrepp i ämnet matematik kvalitetsmässigt förändras i olika lärandesituationer över tid. Deras val föll på ekvationer. Deras undersökning bygger på 35 elever som delats in i två grupper. I den ena gruppen bedrevs undervisningen ute och inleddes alltid med lek och i den andra gruppen skedde undervisningen inomhus. Undervisningen i de båda grupperna skilde sig från varandra via innehållet av uppgifterna under lektionerna. För att Jansson och Lundberg skulle kunna jämföra de båda grupperna använde de enkät, intervju och utvärdering. Syftet med att använda dessa metoder var följande:
Enkäter - De anser att ekvationer är verktyg som kommuniceras
skriftligt. Kan vara användbar i mätning av kunskapskvalitet. Intervju - Intervjuer underlättar för eleverna att beskriva sin
uppfattning. Intervjuer ger dessutom ytterligare en dimension av kunskapskvaliteten.
Utvärdering - Avsikten med denna metod var att se om eleverna kunde tillämpa sina kunskaper, på för dem okända situationer. Innegruppen fick lösa uppgiftstyper, på utegruppens villkor
och tvärtom. Dessutom gavs det några uppgiftstyper som inte var bekant för någon av grupperna.
Resultatet visade att utegruppen nått större inblick med avseende på ekvationsbegreppet. De flesta av eleverna från utegruppen kunde se
tillämpningsmöjligheter utöver dem i skolan medan innegruppen var mer benägna att se ekvationer som något som används i skolan. Jansson och Lundberg kom fram till att utomhuspedagogik inte bara är en teoretiskt möjlig utan även en fungerande
arbetsmetod för att lära sig ekvationsbegreppet.
2.2
Laborativt arbetssätt
2.2.1 Konkretion
Konkretion i matematiken har olika innebörd (Magne & Sander refererat i Häggblom 2000). Häggblom ger oss några exempel på det och ett av dessa exempel är att
undersöka strukturer med laborativa material. Hon menar att konkretionen fungerar som ett hjälpmedel för barnen att få erfarenhet för tankeprocesser eller uppfattningsförmågor som bör föregå användning av mekanisk räkning. Konkret material fungerar som ett hjälpmedel till att stimulera barnen till aktiva diskussioner och reflektioner. Detta möjliggörs genom en effektivare språkanvändning genom att barnen utvecklar ett språk för sina iakttagelser.
2.2.2 Attitydförändring
Undersökningar visar att elevers attityd till matematik förbättras när man använder laborativa undervisningsmetoder (Boström m.fl. 2003[www]; Khanian & Nilsson 2004). Boström m.fl. undersökte gymnasieelevers attityder till matematik. De använde sig av enkätundersökning som bestod av två delar, en före respektive en efter införandet av laborativt arbetssätt. Enkätsvaren visade att efter införandet av laborativa arbetssätt förbättrades elevernas intresse för matematik.
2.2.3 Lösa laborativa uppgifter
Levir (2004) har undersökt laborativa arbetssätt för undervisning inom bråk för kriminella på anstalt. Hennes syfte med arbetet var att visa att eleverna kan
- samarbeta trots stora skillnader i kunskapsnivå.
- se att det finns flera sätt att betrakta, angripa och lösa ett problem. - utveckla förmågan att växla mellan det konkreta och det abstrakta. - utveckla sitt matematiska språk och förmågan att göra sig förstådd.
(Levir 2004:3) Hon skapade matematikuppgifter kring ett material som kallas Multilink2 samt 10-sidiga tärningar. Hennes undersökning bygger sedan på observationer av eleverna i studien. Hon upptäckte att matematisk kommunikation underlättades då eleven kunde se vad som skulle jämföras med vad, och multilink skapade en möjlighet för eleverna att angripa problem på ett annat sätt. På grund av det låga elevdeltagandet som oftast var så lågt som endast en elev per tillfälle fick hon ingen möjlighet att undersöka samarbete i grupp.
2.3
Lärande
2.3.1 Inlärningsstilar
Även om människor i stort sätt är fysiskt lika varandra, så skiljer sig deras individuella drag starkt ifrån varandra (Dunn, 2001). Ett av exemplen som Rita Dunn, professor vid St. John’s University i New York tar upp är, hur våra hjärnor ser lika ut till formen men ändå är ofattbart olika varandra till funktionen. På samma sätt skriver hon att varje individ är unik i sin inlärningsstil. Detta grundar hon bl.a. på sin egen samt andra universitet och högskolors omfattande forskning om inlärningsstilar. Hon redovisar en sammanställning av vilka faktorer som kan ha verkan på inlärning i form av en modell och som man kan utgå ifrån vid tolkning av en individs inlärningsstil (se figur 1).
Figur 1 (Dunn 2001:16)
Vidare definierar Dunnbegreppet inlärningsstil som följande:
Inlärningsstilar beskriver hur olika människor lär sig. Stilen varierar från person till person, från grupp till grupp och från klassrum till klassrum. […] De aspekter som ingår i din inlärningsstil avgör hur mycket och hur effektivt du lär dig.
(Dunn 2001:15) Reiss och Braund (2004) skriver om vikten av att anpassa klassrumsundervisningen så att det når till så många elever som möjligt och att detta på ett smidigare sätt kan möjliggöras genom utomhus-undervisning (out-of-the-classroom learning). I konventionellklassrumsundervisning gynnas oftast auditiva inlärare och visuella inlärare däremot missgynnas kinestetiska inlärare.
En lite närmare beskrivning av de olika inlärningsstilarna finner vi i boken, ”Inlärning
på elevernas villkor – inlärningsstilar i klassrummet” (Boström & Wallenberg 1997:24)
1. Visuella inlärare – lär sig bäst genom synsinnet. De lär sig bäst genom att läsa eller se bilder och diagram. Dessa har en snabb inlärningsförmåga och passar bra inom det traditionella skolväsendet
2. Auditiva inlärare (hörselinlärare) lär sig bäst genom ljud, musik, samtal, och diskussioner. De vill gärna förhandla, prata och vara allmänt sociala. De passar också ganska bra i skolsystemet.
3. Kinestetiska inlärare (kännare) lär sig bäst när de är delaktiga, rör sig, experimenterar och upplever. Dessa elever passar inte in i den
traditionella skolan. (Inom NLP inräknas även det taktila sinnet i det kinestetiska.)
NLP är en förkortning för Neuro Lingvistisk Programmering och NLP i skolan är en inlärningsmodell som utgår från hjärnans sätt att arbeta (Boström & Wallenberg 1997:23)
2.3.2 Kognitivt lärande
Hermansen (2000) tolkar kognitivismen som en syn på lärande där individen måste vara aktiv under inlärningsprocessen. Teorin innebär att grunden till all kunskap sker genom motorisk aktivitet. I vuxen ålder utgör även språklig aktivitet en del av grunden. Barnen bildar en hypotetisk konstruktion eller bild av en aktivitet, bilden är representationen i hjärnan eller uppfattningen om hur något fungerar. Denna representation kan utvecklas under livets gång. Hermansen beskriver utvecklingen av detta som en process som sker via två kanaler, (operativa och figurativa). Kanalerna kallar han för kunskap, just för att kanalerna är en bearbetning av intryck vars slutprodukt är kunskap: ”Den figurativa
kunskapen är knuten till framträdande formerna, till ytan, det omedelbart
percipierande, medan operativ kunskap förhåller sig till den inbyggda strukturen, sammanhanget eller sakförhållandets väsen.” Hermansen (2000:41). Hermansen skriver
för att nå en högre kunskapsnivå så måste båda kanalerna användas eftersom dessa förbinder och förutsätter varandras existens. I den kognitivistiska synen på lärande är assimilation och ackommodation viktigt. Assimilation och ackommodation är två samtidigt verkande processer som är grunden för att vi ska kunna samspela med omvärlden. Säljö (2000) beskriver dessa två processer. Assimilation innebär att vi tar intryck från omvärlden om hur den fungerar och är organiserad, omvärlden uppträder
precis som vi förväntat oss och representationen behöver inte utvecklas. Vid
ackommodation däremot går de nya intrycken emot vår representation som Säljö kallar för föreställningsvärld, varpå vi måste utveckla denna för att nå en balans, ett
ekvilibrium.
2.3.3 Social konstruktivism
Engström (2006) beskriver konstruktivismen som en stadieteori i enlighet med kognitivismen. Uppbyggandet av kunskap i form av inhämtandet av intryck är
densamma. En avgörande skillnad mellan konstruktivistisk och kognitiv syn på lärande är dock att barns utveckling sker i samspel med dess omgivning i högre grad än att det är en oberoende individuell process. Ernest (1998) tar upp samtalet som en väsentlig roll i undervisningen, det är genom socialt rika samtal som eleven utvecklar sin personliga kunskap. I konstruktivismen kan en individ som är längre kommen i sin kunskapsutveckling stimulera en annan individ till att också komma lite längre fram i sin kunskapsutveckling (Engström). I teorin talar man om den närmaste
utvecklingszonen som är nästa gräns för hur många intryck en individ kan omarbeta till kunskap. I och med att det sociala samspelet kan stötta utvecklingen talar man om social konstruktivism. Det är det sociala samspelet som möjliggör för individen att nå framåt inom sin utvecklingszon. I teorin krävs inte att samspelet är en dialog mellan lärare och elev utan att det … kan ske mellan olika deltagare, inklusive till exempel ett
datorprogram, men kan även bestå av en inre kommunikation i den egna tankevärlden.
Engström (2006:66)
2.3.4 Affektiva faktorer i lärandet
Skolverket (2003) har gjort en nationell kvalitetsgranskning under 2001 - 2002 och i den efterföljande rapporten, Lusten att lära - med fokus på matematik kom man fram till att matematik undervisningen måste förändras. Undervisningen bör kännetecknas av större variation för att väcka nyfikenhet, skapa lust och väcka intresse hos elever. En sådan undervisning kännetecknas av att det ges utrymme för både känsla och tanke samt att upptäckarglädje, engagemang och aktivitet hos både elever och lärare främjas. Goldin och DeBellis (refererat i Hannula 2005) har kommit fram till att affekter dvs.
känslor fungerar som ett parallellt system som är nödvändig för kognitiv
processbildning. Detta affektiva representationssystem går att delas in i fyra aspekter i form av affektiva tillstånd som samspelar på individuell nivå. Dessa affektiva tillstånd är emotionell, attityd, tro/övertygelse, moraliska/etiska värderingar. Tillstånden inverkar såväl på individen som växelverkar med sociokulturella kontexten och det affektiva klimatet i omgivningen, i vårt fall utomhusundervisning.
2.4
Grupparbete
2.4.1 Gruppsammansättning
Brändström & Lindmark (1999) har undersökt hur 8:e klassare samarbetar i grupp. I början av undersökningen delades en enkät ut till berörda klasser som skulle grupperas för att få reda på om de tidigare hade arbetat i grupp samt vilken inställning de hade för grupparbete. Därefter grupperades eleverna slumpmässigt och grupparbete infördes vid tre tillfällen. Under dessa tillfällen gjordes observationer. Avslutningsvis delades en ny enkät ut till undersökningsgruppen, som skulle ge en slags utvärdering från eleverna hur de tyckte att de fungerat i grupp och om de var nöjda med sina prestationer osv.
Brändström och Lindmark kom fram till att arbete i grupp fungerar olika. Vad detta beror på är vilka individer som ingår i den, vilken miljö som gruppen befinner sig i och vilken sorts uppgift gruppen får arbeta med. Den bästa gruppen enligt Brändström och Lindmark är den grupp som består av individer med olika kompetenser varav en är en stark ledare. Det finns fler som drar samma slutsats som Brändström & Lindmark som t.ex. Markku Hannula. Hannula (2005) har under en tre år lång studier sökt rollen av känslomässiga reaktioner i social koordination inom problemlösning. Detta har han undersökt via intervjuer av elever, lärare och föräldrar till eleverna och observation av elever. Han fann att den sociala samverkan och känslorna hos eleverna varierade beroende på både gruppsammansättning och typ av uppgift. Han kunde tydligt urskilja kognitiv intimitet och defensiva strategier. Den kognitiva intimiteten sker mellan personer som har samma åsikter och de kan enkelt gå upp i sin uppgift. De defensiva strategierna används av dem som inte förstår andra personer inom gruppen eller helt enkelt inte håller med. Strategierna kan vara av olika typer:
• Försöker komma in i samtalet mellan övriga i gruppen • Uttrycker att de inte gillar uppgiften
• Skrattar åt sig själva när de har fel
Hans uppfattning av bästa gruppen är när hela gruppen delar den kognitiva intimiteten.
2.4.2 Kommunikationens påverkan på inlärningen
Douglas Barnes som är en brittisk pedagogikforskare belyser i boken ”Kommunikation
och inlärning” (1978) olika sätt att använda språk i samband med inlärning. Boken
bygger på ett antal observationer och utifrån dessa resonerar författaren med
utgångspunkt från tidigare erkänd forskning inom området. I förordet för den svenska upplagan anges Barnes resonemang stämma överens med riktlinjer från
Skolöverstyrelsens (SÖ). I förordet nämns även att ”… likartade situationer i många av
Europas länder har lett till likartade slutsatser.”(Lindberg refererad i Barnes 1978:5)
Barnes ser två användningsområden för talet. Det ena är för kommunikation och det andra som ett inlärningshjälpmedel. När man använder talet som inlärningshjälpmedel möjliggörs det att sätta nya kunskaper i relation till tidigare kunskaper. Detta kallar Barnes för talet som reflektion. Båda dessa användningsområden bör användas i undervisningen enligt honom. Skulle språket enbart användas för kommunikation med läraren så ges en passiv roll till eleven i form av ett socialisationsobjekt. När läraren även accepterar talet som ett inlärningshjälpmedel så kan eleverna medverka aktivt i inlärningsprocessen. Inlärningsprocessen består av tre delar (Boaler 1993; Hedrén 2000)
1. Eleven bygger sin egen kunskap
2. Tidigare upplevelser påverkar uppbyggnaden av kunskapen 3. Socialisation: samarbete och dialog med andra
Barnes uppmärksammar talet som inlärningshjälpmedel som är i linje med det tredje steget ovan. Han poängterar dock att inlärningsprocessen inte behöver ske bara genom att några elever sammanförs till en grupp utan att läraren måste aktivt handleda gruppen genom bland annat planering av elevuppgiften. För att den enskilde eleven ska kunna nå
tredje steget, får inte läraren påverka eleven på sådant sätt att denna strävar efter att finna godtagbara svar. Detta kräver en stor pedagogisk skicklighet från läraren sida.
2.5
Bråk
2.5.1 Utvecklingsschema
Engström (1993) har uppmärksammat flera olika diskussionspunkter om bråkräkningens roll i skolan. Genom en rapport har han försökt få klarheter i
diskussionspunkterna. Följande angivna här punkter nedan är hans egen uppfattning om vad som har diskuterats i bl.a. nämnaren.
• Bråk är svårt
• Bråkräkningen är inte något för samhällsbruk, dvs. som bör ingå i en
medborgerlig utbildning,
• Det ger den begreppsmässiga grunden för mycket inom matematiken, • och således är ett viktigt område som grund för vidare matematikstudier
(Engström 1993:1) Engström har i sin rapport utgått från en konstruktivistisk syn på lärande när han undersökt elevers förståelse av en grundläggande aspekt av bråkbegreppet.
Undersökningen genomförde han i en fjärdeklass och som metod använde han sig av skriftliga tester, lektioner och kliniska intervjuer för att dokumentera elevers
prestationer och reaktioner. Rationella tal (Tal som kan uttryckas som bråk) kan tolkas i olika underkonstruktioner eller aspekter. Dessa underkonstruktioner måste byggas upp av elever som en grund inför uppbyggandet av andra konstruktioner sammanfattar Engström. Den konstruktion som kallas Delning och Del - Helhet är den mest
grundläggande. Varje annan konstruktion byggs inte på samtliga underkonstruktioner utan det räcker med någon av dem. Engström tar ett exempel: underkonstruktionen
Operator är grundläggande för att eleven ska kunna bygga konstruktionen
respektive hypotetiska relationer mellan konstruktionerna. Ett begreppsligt schema enligt Engström för relationerna mellan underkonstruktionerna redovisar Behr m.fl.
Figur 2 (Bher m.fl. refererat i Engström 1993:15) Schemat ovan är skapat kring den konstruktivistiska synen på lärande där barnets kapacitet att lära sig är kopplat till utvecklingszonen. Engstöm skriver innan elever förknippar bråk med något som man kan applicera de fyra räknesätten på ser de bråk som operationer eller delar av en kvantitet. För att kunna förstå ett rationellt talbegrepp måste eleven sammanföra de båda synerna för bråk.
2.5.2 Modeller för division av bråktal
Liping Ma (1999) har arbetat som lärare både i Kina och i USA. I sitt arbete uppmärksammade hon stora skillnader mellan de olika ländernas grundläggande matematiska elevkunskaper. Detta blev hennes inspirationskälla till att börja undersöka skillnader i lärares kunskaper i respektive land. I sin undersökning har Ma använt sig av intervjufrågor från “Teacher Education and Learning to Teach Study (TELT)”, detta pga. att de är av matematisk natur och handlar om lärares matematiska ämneskunskaper samt att de täcker ett brett område av grundläggande matematik. Ma fann att endast en av de 23 intervjuade amerikanska lärarna kunde på ett begreppsligt korrekt sätt förklara innebörden med division av bråktal (t.ex. ½/¼). Motsvarande antal av kinesiska lärare var 90 %.De kinesiska lärarna gav dessutom ett flertal exempel i form av text problem, närmare bestämt 80 st. kopplat till division av bråktal varav Ma valt ut några till sin bok ”Knowing and teaching elementary mathematics”. Dessa problem uppstod till följd av
olika tolkningsmodeller med division av bråktal. I nedan angivna modeller motsvarar t bråket i täljaren och n bråket i nämnaren.
1. Finn hur många n det går i t
2. Finn ett tal så att n av det är t. (t.ex. om n = 1/2, t = 7/4: Finn ett tal så att hälften av det är 7/4)
3. Finn en faktor som multiplicerat med n blir t
Den första punkten ovan beskriver Ma som den mätbara modellen. Man frågar sig hur mycket något är av något annat. Samma fråga fungerar både på heltalsbråk och på division av bråktal. Ett problem uppkommer dock då svaret blir ett bråk och en omvärdering behöver ske. Omvärderingen kan vara av typen att lägga till satsen Finn
vilket bråk som ett tal är av ett annat tal till första punkten. Den andra punkten är del -
modellen av division och ofta används vid introduktionen av heltalsbråk och är även den modell som är mest förekommande bland problemen. Del - modellen handlar om
att finna värdet av en enhet när värdet av flera enheter är känt citerar Ma en av de
intervjuade lärarna. När detta ska översättas till division av bråk istället för division av heltal så innebär detta att en del av värdet på det hela är känt. Sista modellen av dessa tre tar hänsyn till relationen mellan multiplikation och division på ett abstrakt sätt. Ma tillägger att även om division av bråk logiskt är uppbyggd av tidigare inlärda begrepp behöver man omarbeta och fördjupa sina tidigare begrepp.
2.5.3 Utveckling av missuppfattningar
Erlwanger (1973) har observerat en klass 6 som använder Individually Prescribed
Instruction (IPI). Artikeln bygger på en av pojkarna i klassen. Han ansågs enligt läraren
vara snabbare än dem andra eleverna i klassen. Läraren lät pojken vara mer självgående än de andra eleverna eftersom han alltid hunnit längre med IPI-uppgifterna.
Utvärderingen i IPI är i form av ett test där eleven måste klara av minst 80 procent av uppgifterna i testet. Vid icke godkända resultat får eleven upprepa testet så många gånger som det behövs tills eleven kommer upp till den 80 proc Reiss och Braund (2004) entiga gränsen. Läraren bedömde att pojken lärt sig matematiken eftersom han klarade testen. Under intervjuer som Erlwanger utförde visade det sig att pojken hade ett flertal missuppfattningar om t.ex. hur man utför en division. Pojken hade undervisats
med IPI sedan årskurs två och hans missuppfattningar hade under denna tid inte upptäckts eftersom han var mer självgående än andra elever. Han hade under denna tid hunnit utveckla felaktiga inlärningsvanor och uppfattningar av matematik som skulle kunna hindra hans utveckling i framtiden.
3
Metod
Vi kommer att grunda våra argument på tidigare genomförd forskning i olika fält. Vi har valt att belysa några olika aspekter på hur undervisning kan se ut för att skapa förutsättningar för elevers lärande.
Aspekterna är:
Laborativt arbetssätt Enligt definitionen av utomhuspedagogik ska kreativitet sättas i fokus och begrepp ska läras in i olika former av handling.
Lärande Enligt definitionen för utomhuspedagogik är pedagogiken
elevinriktad. En elevs inlärningsstil är individuell och därmed en avgörande faktor för hur undervisning ska läggas upp för att varje elevs behov ska tillgodoses.
Grupper Vi har valt att utgå från socialkonstruktivism där
socialisation är ett hjälpmedel till inlärningen och kan ske mellan bland annat elever.
Bråk Ämnesområdet är viktigt både i grundskolans senare år och i
gymnasiet.
I grundskolans kursplan för matematik finns målen som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret. Det är föreskriven bl.a. att eleven skall ha utvecklat sin
taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.
(Skolverket 2000a [www]). I gymnasieskolans kursplan för matematik A finns målen som eleverna skall ha uppnått efter avlutad kurs. Det är föreskriven att eleven skall ha fördjupat och vidgat sin
taluppfattning till att omfatta reella tal skrivna på olika sätt.
3.1
Urval
När vi samlat in litteratur har vi i första hand utgått från de fyra aspekterna var och en för sig. Sedan med tanke på den begränsade tiden vi fick till förfogande för
examensskrivningen har vi valt att avgränsa oss vid urvalet av litteratur. Vi har använt oss av tillgänglig litteratur på biblioteken samt tillförlitliga Internetkällor på webben.
3.2
Koppling till resultat
3.2.1 Laborativt arbetssätt
I undersökningar vi har läst om elevers attityder till matematik (Boström m.fl. 2003[www]; Khanian & Nilsson 2004) verkar det som att attityden har blivit mer positiv till matematik efter införandet av laborativa lektioner. Levir (2004) kom fram till att kommunikationen underlättades och att laborativt material gav elever möjligheter till att angripa problem på flera olika sätt. Med utgångspunkt från bl.a. dessa resultat väljer vi att använda oss av laborativa arbetssätt vid undervisning utomhus. Det finns även forskning som tyder på att barnens inlärning förbättras. Genom laborativa material konkretiseras matematiken och detta blir ett hjälpmedel för barnens uppfattningar och tankeprocesser, dessutom kan det stimulera barnen att diskutera och reflektera mera (Häggblom 2000). Detta betyder enligt den socialkonstruktivistiska synen på lärande (Engström 2006) att laborativa material kan vara ett hjälpmedel för inlärningsprocessen då denna beskrivs som en tankeprocess som kan stöttas av socialt samspel. Just i valet för typ av laborativ uppgift (se lektionsplanering) så har vi utgått från Molander m.fl. (2006) och Levir. Molander m.fl. föreslår att man kan såga pinnar när man ska
behandla arbetsområdet tal i bråkform och Levir använder olika längder av multilink för att beskriva det hela respektive delar av något.
3.2.2 Lärande
Dunn (2002) har beskrivit olika aspekter som kan påverka en elevs inlärningsstil. Aspekterna påverkar hur mycket och hur effektivt eleven lär sig. Reiss och Braund (2004) skriver om vikten av att anpassa klassrumsundervisningen så att det når till så
många elever som möjligt. De menar att fler aspekter får utrymme om man undervisar utomhus och att man på detta sätt inte enbart gynnar en typ av inlärningsstil. Vi har utgått från socialkonstruktivistisk syn på lärande där lärandet sker i samspel med individens omgivning. Enligt definitionen på utomhuspedagogik så ska inlärningen ske via direktkontakt mellan den lärande och föremålet för lärandet. Reflektioner ska enligt utomhuspedagogiken ske via yttre aktivitet som ska leda till en inre aktivitet, ett
tänkande kring görandet. Detta är även den socialkonstruktivistiska synen på lärande där intryck från omgivningen ska omarbetas inne i hjärnan till kunskap.
3.2.3 Grupparbete
Vi har valt att använda oss av grupparbete som arbetsform eftersom socialisation är en viktig del för att sluta inlärningsprocessen (Boaler 1993; Hedrén 2000). Socialisation kan ske i samspel mellan elev och lärare men även elever emellan. En eventuell förutsättning är dock att det behövs en skicklig handledning för detta (Barnes 1978). Han beskriver även vikten av att inte gå in för mycket i gruppen då risken istället blir att läraren förhindrar elevens aktiva inlärningsprocess.
Läraren måste å ena sidan undvika en lärardominans som avskräcker eleverna från aktiv inlärning, och å andra sidan undvika att lämna eleverna helt utan stöd. En del elever kan visserligen skaffa sig kunskaper när de måste klara sig på egen hand, men läraren skulle svika sin uppgift om han inte tog på sig ett visst ansvar för vad eleverna lär sig.
(Barnes 1978:83) Det är därför som vi valt att poängtera detta i lärarhandledningen till
lektionsplaneringen.
Något som vi inte valt att förutbestämma i handledningen är hur urvalet av eleverna till gruppsammansättningen kommer att ske. Forskning inom ämnet (Brändström & Lindmark 1999; Hannula 2005) tycks inte ge någon riktning på hur den ideala gruppen bör se ut. Båda dessa forskningar tyder på att den ideala gruppen varierar med situation och därför överlåter vi läraren att själv avgöra eller bestämma hur denne vill sätta ihop grupperna.
3.2.4 Bråk
Engstöm (1993) skriver innan elever förknippar bråk med något som man kan applicera de fyra räknesätten på ser de bråk som operationer eller delar av en kvantitet. För att kunna förstå ett rationellt talbegrepp måste eleven sammanföra de båda synerna för bråk. Detta har vi tagit fasta på när vi förberett vår lektion 1 (se syftet i lärarhandledning för bråk: lektion 1). Först har vi tänkt att eleverna ska göra en operation på en pinne genom att såga den i ett givet antal delar (se i bråk, lektion 1). Resultatet av en operation kan formuleras med olika del-helhetsuttryck. Genom att träna eleverna på att
omformulera resultatet från ett del-helhetsuttryck till ett annat får vi eleven till att se samband mellan en operation- och del-helhetsbegreppet. Lektion 2 - 4 (se
lektionsplanering) innehåller sedan appliceringar av de fyra räknesätten på bråk. Trots att vi tryckt på att inte gå in för tidigt i en grupp (se lärarhandledning), har vi även valt att trycka på att rena missuppfattningar hos elever ska avvärjas så fort de upptäcks innan de hinner utvecklas. Erlwanger (1973) upptäckte att en elev utvecklat missuppfattningar av division då han under lång tid varit självgående. Han menar utvecklingen av
missuppfattningar skulle ha kunnat förhindras om läraren upptäckt detta i ett tidigt stadie av utvecklingen. Eleven i fråga hade då troligen inte fått gå vidare förrän han förstått begreppet division. Till lektion 4 har vi utgått från den första av modellerna som Ma (1999) beskriver. I denna modell frågar man hur mycket något är av något annat eller hur många gånger något går i något annat. Denna modell har vi valt eftersom modellen även funkar på heltalsbråk, med en skillnad endast på frågeformuleringen. Den andra har vi valt bort därför att det enbart är delar av den kvantitet man ska utföra beräkningar på som är känt. Den tredje modellen beskriver Ma som abstrakt och poängen med att ha laborativt arbetssätt (se ovan) var bl.a. att konkretionen skulle vara ett hjälpmedel till inlärningsprocessen.
3.3
Metoddiskussion
Vi valde att begränsa oss till att enbart behandla dessa ovanstående fyra aspekter tillsammans med utomhuspedagogiken. Begränsningen gjordes därför att färre aspekter skulle ha gett oss ett något smalt synsätt på planeringen och fler hade inneburit att vi inte hunnit behandla dem lika djupt. Aspekterna ger oss en förutsättning för skapandet
av lektionsplaneringen för utomhusundervisningen. Dock har vi nu i efterhand känt att ytterligare en aspekt angående frågeformuleringar i materialet eventuellt skulle ha gett oss en ännu bättre förutsättning att skapa materialet.
4
Resultat
Resultatet av vårt arbete är uppdelat i tre avsnitt. I första avsnittet har vi lagt upp stencilerna som eleverna ska få tilldelade i början av respektive lektion. Avsnitt två innehåller tillägg till lektion tre och fyra som eleverna ska få tilldelade i slutet av respektive lektion. Tredje avsnittet innehåller lärarhandledningen för var och en av lektionerna. Vidare ska denna lektionsserie användas utomhus som vi motiverar med följande argument. Anledningen till att vi valt en hel meters pinnar är för att undvika att arbeta med för små pinnar då vi delar dem i tolftedelar. Med tanke på pinnarnas längd kommer grupperna att behöva stort utrymme till att lägga ut pinnarna. Eftersom
lektionerna också bygger på samarbete i gruppen kommer eleverna att behöva diskutera, tala med varandra och ev. uttrycka känslor, därmed skulle ljudnivån antagligen bli för hög inomhus, för att eleverna ska kunna koncentrera sig. Ett annat tänkbart problem skulle vara att grupperna står för nära varandra och långsammare grupper hör/ser svaren från granngruppen innan dem självhanda tänkt igenom uppgiften och kommit på en lösning. Handledarens roll är viktig i denna serie och för att denne ska slippa sicksacka mellan alla bänkar och stolar som antagligen finns i ett klassrum så bör undervisningen flyttas ut. Eleverna som är kinestetiska skulle inte bli lika missgynnade i
utomhusundervisning då dem får en större yta att röra sig på, som en klassrumsmiljö inte erbjuder (Reiss & Braund 2004). Utomhusundervisningen möjliggör även att alla elevers inlärningsförmågor förbätras då fler sinnen kommer till användning (som t.ex. känsel, syn och hörsel) som därmed förstärker intrycken. En annan viktig fördel med utomhusundervisningen är den friska luften som barnen får i sig medan dem arbetar med uppgifterna och kan således koncentrera sig bättre.
4.1
Lektionsplanering
4.1.1 Bråk, lektion 1 (del- helhet och operator)
För att beskriva delar av en helhet kan man använda något man i matematiken kallar för bråkform.
AAB
Vi har ett antal olika bokstäver som tillsammans bildar en helhet. I denna delhet har vi 2 st. A och 1 st. B. Antalet bokstäver A respektive B utgör delen av det hela. Imatematiken kan detta då tex. uttryckas på följande sätt: Två stycken bokstäver är A av totalt tre stycken dvs. 2/3 [uttalas två tredjedelar]. 2/3 kallas för bråkform.
AABBCC
Två stycken av totalt sex bokstäver är A dvs. 2/6 [uttalas tvåsjättedelar]. Det här exemplet går även att skriva som 1/3. Varför? Jo, om man tänker på de båda A:na som en enhet och grupperar resten i ytterligare två enheter. Vi ser tre delenheter, varav en består av endast bokstaven A. Uppgift:
• Framför er har ni en pinne. Pinnen ska delas i ett antal, lika långa delar som er handledare kommer att tala om för er.
• Skriv på varje pinndel hur mycket delen motsvarar av det hela i bråkform. • Diskutera i gruppen följande frågeställningar:
1. Hur tänkte ni när ni skulle dela pinnen?
2. Kan delarna beskrivas i någon annan bråkform?
• Ni får tilldelat av er handledare ett antal pinndelar i olika längder. Dessa ska ni nu jämföra med varandra så ni kan besvara frågorna nedan.
Ett exempel:
Beskriv 1/2 i antal sjättedelar 1/2 = ______
3/6 = __ __ __
Vi får att 1/2 är lika lång som 3 st. sjättedelar detta skrivs så här: 6 3 2 1
3. Beskriv 1/2 i antal åttondelar. 4. Beskriv 1/3 i antal sjättedelar. 5. Beskriv 1/4 i antal åttondelar. 6. Beskriv 1/2 i antal fjärdedelar. 7. Beskriv 1/3 i antal niondelar. 8. Beskriv 2/6 i antal tredjedelar. 9. Beskriv 6/9 i antal tredjedelar.
10. Hur kan man skriva 2/4 i antal sjättedelar?
4.1.2 Bråk, lektion 2 (addition och subtraktion av bråktal)
Man kan addera eller subtrahera bråk och för att kunna göra detta måste man ha en gemensam nämnare. Ett bråk består av en täljare, en nämnare och en kvot.
(täljare/nämnare = kvot) För att kunna göra addition eller subtraktion av tal i bråkform behöver de båda bråktalen ha samma nämnare. När så inte är fallet, måste man förlänga eller förkorta bråken tills man hittar en gemensam nämnare. Detta för att man
exempelvis inte kan addera två äpple och ett päron. Men om vi tänker oss att din kompis har ett äpple som du byter mot ditt päron, så kan du addera alla dina äpplen och får sammanlagd tre äpplen. Päron är således lika mycket värt som äpplen och som vi konstaterade i lektion ett är 1/3 lika mycket värt som 2/6 och därför utbytbar.
1/3 = 2/6 detta kan beskrivas som: 2/6 är en förlängning av 1/3 med 2 ( 1*2 = 2 och 3*2 = 6). Förkortning går till på följande vis: 2/6 förkortat med 2 blir 1/3 (2/2 = 1 och 6/2 = 3)
Exempel:
1/3 + 3/6 = 2/6 + 3/6 = 5/6 Uppgifter:
• Ni ska undersöka med vilket tal man kan förlänga och/eller förkorta bråken med genom att jämföra längder på de olika pinndelarna, liksom vi gjorde under förra lektionen.
1. Vilken gemensam nämnare har 1/4 och 1/3?
2. Kan 1/6 också skrivas med samma nämnare som i uppgift 1?
• Beräkna följande uppgifter och . Ta hjälp av exemplet ovan. Förkorta svaret så mycket som det går.
3. Vad är 1/2 pinne+1/2 pinne? 4. Vad är 2/2 pinne - 1/2 pinne? 5. Vad är 2/2 pinne + 1/2 pinne? 6. Vad är 5/12 pinne + 3/12 pinne?
7. Formulera om svaret ni får på uppgift 6 så att ni får samma värde fast med en annan nämnare?
8. Vad är 1/3 pinne + 1/6 pinne? 9. Vad är 1/3 pinne - 1/6 pinne? 10. Vad är 2/4 pinne + 1/6 pinne? 11. Vad är 2/4 pinne - 1/6 pinne?
12. Vad blir 1/3 pinne + 1/4 pinne + 1/6 pinne?
4.1.3 Bråk, lektion 3 (multiplikation av bråktal)
En tredjedel av en pinne innebär operationen ∗ pinne= 3
1
en tredjedels pinne.
Om vi nu tänker oss att vi har tre fjärdedels pinnar från början vad är då en tredjedel av detta.
Om den här pinnen ___ är enfjärdedelspinne ( 4 1 ), då är trefjärdedelspinnar ( 4 3 ) likamed såhär: ___ ___ ___
En tredjedel av dessa motsvarar detta ___ som är lika stor som en fjärdedel Vi gör alltså operationen 4 3 3 1 ∗ pinne = 4 1 12 3 = pinne
Uppgift:
• Ni ska lösa uppgifterna nedan genom att använda dem till er tilldelade pinnar. Utnyttja exemplet ovan.
1. Vad är 2 1 4 1 ∗ pinne? 2. Vad är 2 1 3 1 ∗ pinne? 3. Vad är 4 1 3 4 ∗ pinne? 4. Vad är 3 1 3 1 ∗ pinne? 5. Vad är 4 1 2 1 ∗ pinne? 6. Vad är 3 1 3 2 ∗ pinne? 7. Vad är 3 4 3 1 ∗ pinne?
4.1.4 Bråk, lektion 4 (division av bråktal)
Att beräkna division av bråktal innebär att ta reda på: Hur många gånger som nämnaren
går i täljaren?
Ett exempel är att beräkna: 8 / 1 4 / 1 pinnar
Denna beräkning innebär att: Hur många gånger 1/8 pinne går i 1/4 pinne? Om en fjärdedel av en kvantitet är så här lång ______
1/8 pinne ( ___ ) går två gånger i 1/4 pinne ( ___ ___ ) dvs. svaret är 2 gånger. 8 / 1 4 / 1 = 2 Uppgift:
• Ni ska lösa uppgifterna nedan genom att ta hjälp av era pinnar. Utnyttja exemplet ovan. 1. Vad är 6 / 1 2 / 1 ? 2. Vad är 6 / 1 3 / 1 ? 3. Vad är 2 / 1 4 / 3 ? 4. Vad är 2 / 1 6 / 5 ? 5. Vad är 3 / 1 6 / 1 ?
4.2
Tillägg till lektioner
4.2.1 Tillägg till lektion 3 (multiplikation av bråktal)
Här visas ett mellanled på att beräkna ∗ 53 = 3 1
.
Skriv om talet genom att multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig. Skriv kvoten i nästa led. Förkorta sedan kvoten med 3.
15 3 5 3 3 1 5 3 3 1 = ∗ ∗ = ∗ [förkorta med 3] = 3 1 3 / 15 3 / 3 =
4.2.2 Tillägg till lektion 4 (division av bråktal)
Här visas en mellanled metod på att beräkna 10 / 1 5 / 1 .
Skriv om talet genom att vända 1/10 och därmed byta ut tecknet till multiplikation mellan bråktalen. Multiplikationen beräknas sedan i vanlig ordning.
10 / 1 5 / 1 = 1 10 5 1 ∗ = 1 5 10 1 ∗ ∗ = 5 10 = 2
Testa denna metod på uppgifterna ni genomförde i lektion 4. Blev svaret detsamma?
4.3
Lärarhandledning
4.3.1 Lärarhandledning bråk, lektion 1
Syfte:
Att eleverna efter avslutad lektion ha förstått att bråk är ett sätt att uttrycka delar av en helhet och sett samband mellan en operation och dess resultat i form av delar av en kvantitet.
Material:
Elevstencil med instruktioner för lektionsupplägget.
Exempelvis 1 m lång pinne (alla pinnar måste vara exakt lika långa), en såg, eventuellt en markeringspenna samt ett måttband till varje grupp. Ytterligare några pinnar till dig som handledare som ska delas ut till eleverna efter sågningen.
Utförande:
Låt varje grupp dela upp sin pinne i olika antal som du talar om för dem. Tydliggör att alla pinndelar i en och samma grupp ska vara lika till längden. Tänk på att delarna ska vara lätta att göra gemensam nämnare på eftersom dem ska användas till det under lektion 2.
Handledarens roll:
Uppgiften för dig som handledare är att vara uppmärksam på att eleverna har förstått och hjälpa dem på traven om de kommit fel eller fastnat. Gå inte in allt för fort, eleverna måste ha någorlunda fritt tankerum. Utöver detta så måste du övervaka så att ingen skadar sig vid sågningen av pinnarna. Samla in alla sågar så fort sågningen är avklarad. När eleverna klarat uppgift 1 och 2 ska du dela ut pinndelar till dem. Tänk på att varje grupp måste ha minst:
Antal pinnstorlek 1 1/2 2 1/3 2 1/4 2 1/6 4 1/8 6 1/9
(Förbered detta innan lektionen börjar).
Efter genomförd lektion skall alla pinnar samlas in och förvaras till nästa lektionstillfälle.
4.3.2 Lärarhandledning bråk, lektion 2
Syfte:
Eleverna ska träna på att skriva bråk på olika sätt och förstå syftet med att skriva med gemensam nämnare innan man adderar eller subtraherar bråktal.
Material:
Elevstencil med instruktioner för lektionsupplägget.
Varje grupp av elever ska under denna lektion ha en uppsättning av pinnar i olika längder (se tabell för ytterligare information om minst antal pinnar).
Utförande:
Ta först en kort reflekterande diskussion med eleverna över vad som gjordes i föregående lektion. Detta för att ge elever utrymme för eventuella frågor och
funderingar innan man fortsätter med bråk, lektion 2. Eleverna ska få ut stencilen för lektion 2 samt pinnarna. De ska sedan efter sina egna förmågor genom att jämföra olika längder på pinnarna komma på olika sätt att skriva ett bråk som får samma kvot vid delning.
Handledarens roll:
Dela ut stencilen till varje elev och se till att varje grupp får minst det antal pinnar som är angivit i tabellen, men se till att grupperna får några fler än vad som står i tabellen för att undvika att vara ledande vid läroprocessen. (förbered pinnarna innan lektionen). Se till att eleverna förstår vad som ska göras och hjälpa dem på traven om de kommit fel eller fastnat. Gå inte in allt för fort, eleverna måste ha någorlunda fritt tankerum. Diskutera gärna med eleverna varför svaren på uppgifterna är lämpliga att förkorta.
Antal storlek 3 1/2 2 1/3 4 1/4 4 1/6 9 1/12
Efter genomförd lektion skall alla pinnar samlas in och förvaras till nästa lektionstillfälle.
4.3.3 Lärarhandledning bråk, lektion 3
Syfte:
Eleverna ska få inblick i vad multiplikation av bråktal innebär. De ska upptäcka att svaret kan bli mindre än det minsta bråket i uppgiften och förstå varför.
Material:
Elevstencil med instruktioner för lektionsupplägget.
Innan lektionen börjar ska det finnas pinnar av storlekarna (1/2; 1/3; 1/4; 1/6; 1/8; 1/9: 1/12)
Utförande:
Inled lektionen med en kort reflekterande diskussion med eleverna över vad som gjordes i föregående lektion. Detta för att ge elever utrymme för eventuella frågor och funderingar innan man fortsätter med bråk, lektion 3.
Alla grupper ska få några av pinnarna i varje storlek. Eleverna ska genom att jämföra pinnarna hitta svaren på frågorna.
Handledarens roll:
Dela ut elevstencilen och minsta antalet pinnar som är angivet i tabellen nedan, men se till att grupperna får några fler än vad som står i tabellen för att undvika att vara ledande vid läroprocessen (förbered pinnarna innan lektionen). Se till att eleverna förstår vad de ska göra och inled gärna en diskussion om det finns oklarheter i hur man kan gå till väga för att lösa uppgifterna. Gå inte in allt för fort, eleverna måste ha någorlunda fritt tankerum. Blir någon grupp färdig tidigt inled en diskussion om hur de skulle kunna lösa uppgiften utan hjälp av pinnarna och med tal över hundra. I anslutning till lektionen delar du ut tillägget till lektion 3.
Antal storlek 1 1/2 4 1/3 1 1/4 3 1/6 4 1/8 4 1/9 4 1/12
Efter genomförd lektion skall alla pinnar samlas in och förvaras till nästa lektionstillfälle.
4.3.4 Lärarhandledning bråk, lektion 4
Syfte:
Eleven ska lära sig använda minst en utav tre modeller för hur man kan tolka vad division av bråktal är. Modellen eleverna ska tillämpa under denna lektion är Hur
många gånger går nämnaren i täljaren. Modellen ska ge eleverna en tillämpbar
tolkning för division även med heltal och en konkretion som kan leda till förståelse för vad division av bråktal är. De ska under lektionen träna på att använda sig av denna modell.
Material:
Elevstencil med instruktioner för lektionsupplägget.
Varje grupp av elever ska under denna lektion ha en uppsättning av pinnar i olika längder (se tabell för ytterligare information om minst antal pinnar).
Utförande:
Inled lektionen med en kort reflekterande diskussion med eleverna över vad som gjordes i föregående lektion. Detta för att ge elever utrymme för eventuella frågor och funderingar innan man fortsätter med bråk, lektion 4. Eleverna ska efter sina egna förmågor genom att lägga ut de pinnar som motsvarar täljaren jämföra hur många nämnare, också beskrivna i pinnar, som detta motsvarar.
Handledarens roll:
Dela ut elevstencilen och minst antal pinnar som är angivet i tabellen nedan, men se till att grupperna får några fler än vad som står i tabellen för att undvika att vara ledande vid läroprocessen (förbered pinnarna innan lektionen). Se till att eleverna förstår vad som ska göras. Inled en diskussion om eleverna undviker att tillämpa modellen. Blir eleverna tidigt färdiga med uppgifterna ställ frågan om hur de skulle ha gått till väga om de inte hade pinnarna till sitt förfogande eller om bråktalen skulle ha bestått av
hundratals delar. I anslutning till lektionen delar du ut tillägget till lektion 4 och låter eleverna reflektera och ställa frågor om eventuella oklarheter.
Antal storlek 3 1/2 1 1/3 3 1/4 5 1/6 2 1/8
Efter genomförd lektion skall alla pinnar samlas in och förvaras för framtida användning.
5
Reflektioner
Vårt resultat blev ett exempel på hur lektionsmaterialet enligt frågeställningen kan se ut. I resultatet använde vi ett exempel som bygger på delning och jämförelser av pinnar. Vi upptäckte under arbetets gång att det blev rätt många pinnar som krävdes för att
eleverna ska kunna uppnå syftet med varje lektion och att detta kan uppfattas besvärligt för handledaren. För att ta reda på om det stora antalet pinnar är rimligt skulle vi vilja prova lektionen som en fortsatt forskning. Dock valde vi redan nu att göra en praktisk utvärdering av uppgifterna. Utvärderingen skedde i liten skala utan elever och med spaghetti istället för pinnar. Vi kom fram till att uppgifterna gick att lösa och att vissa av dem kunde besvaras med fler än en lösning. Uppgifterna verkade heller inte allt för svåra eller lätta för vårt val av åldersgrupp. Vi fick även vår oro bekräftad angående det stora antalet av pinnar som eleverna behöver ha till sitt förfogande, men detta tror vi inte är en nackdel för eleverna utom eventuellt för handledaren. Vi fick ibland svårt med att hålla reda på vilken del som var vad då vi inte kunde skriva storleken på spaghettistråna. Men detta skulle inte bli fallet med större pinnar att skriva på. Det vi tror är den största fördelen med att använda utomhuspedagogik är att det antagligen når fram till fler elever då fler lärstilar får utrymme (Reiss & Braund 2004). Vi märkte att det också fanns otroligt mycket forskning kring just ämnet inlärningsstilar. Vi känner att reliabiliteten kan ha en brist i att forskningen kring utomhuspedagogiken som vi har funnit enbart talat till fördel för utomhuspedagogiken och att detta därmed kan ha påverkat vår egen syn positivt under arbetets gång. Vi kan tänka oss att utveckla eller bygga på arbetet med ytterligare ämnesområden i matematik. Vi känner då att de tre första aspekterna laborativt arbetssätt, lärande och grupparbete går att generalisera till ett nytt ämnesområde i matematiken men att vi skulle behöva läsa på forskning kring det nya området.
6
Referenser
För att få en tydlig översikt över våra referenser har vi valt att dela dessa in i tre olika kategorier. Kategorierna är följande: bok, tidning/tidskrift och webb.
6.1
Bok
Barnes, Douglas (1978). Kommunikation och inlärning – Hur talet och gruppsamtalet
fungerar i en interaktionsmodell för undervisning och inlärning. Malmö: Wahlström &
Widstrand.
Boström, Lena & Wallenberg, Hans (1997). Inlärning på elevernas villkor –
Inlärningsstilar i klassrummet. Falun: Brain Books AB.
Braund, Martin & Reiss, Michael (2004). Learning science outside the classroom. London: Routledge Falmer.
Dahlgren, Lars Owe & Szczepanski, Anders (2001). Utomhuspedagogik – Boklig
bildning och sinlig erfarenhet. Ett försök till bestämning av utomhuspedagogikens identitet erfarenhet. Linköping: Linköpings universitet.
Dunn, Rita (2001). Nu fattar jag! – Att hitta och använda sin inlärningsstil. Finland: Brain books.
Engström, Arne (1993). Om de rationella talen i den grundläggande
matematikundervisningen om elevers förståelse av sambandet mellan
del-helhetskonstruktionen av ett kontinuum. Pedagogisk-Psykologiska problem Nr 579.
Institutionen för pedagogik och specialmetodik. Lärarhögskolan, Lunds Universitet. Engström, Lil (2006). Möjligheter till lärande I matematik – Lärares
Ernest, Paul (1998). ”Vad är konstruktivism?”. I: Engström, Arne (red.). Matematik och
reflektion. Lund: Studentlitteratur s. 21-33.
Gustavsson, Agneta; Jernberg, Gun-Britt; Johansson Yvonne (tryckår saknas). Räkna
med utemiljö – Utveckla barns matematiska tänkande med hjälp av utemiljön.
Östersund: Fjällängsskolan.
Hermansen, Mads (2000). Lärandets universum. Lund: Studentlitteratur.
Häggblom, Lisen (2000). Räknespår Barns matematiska utveckling från 6 till 15 års
ålder. Åbo: Åbo akademis.
Jansson, Eva & Lundberg, Anna (2004). Kan man lära in matematik ute? – En
studie vad avser ekvationsbegreppet i gymnasieskolans kurs matematik A.
Linköpings universitet, ISRN: LIU-ESI-MOE-D--03/008-SE.
Johansson, Bo & Svedner, Per Olof (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget.
Ma, Liping (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. New Jearsey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
Molander, Kajsa; Hedberg, Per; Bucht, Mia; Wejdmark, Mats; Lättman-Masch, Robert (2006). Att lära in matematik ute. Falun: Falun Research Center.
Olsson, Titti (1995). Skolgården – det gränslösa uterummet. Uppsala: Liber. Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Örebro: db grafiska. Strömquist, Siv (2003). Uppsatshandboken. Göteborg: Hallgren & Fallgren Studieförlag AB.
Säljö, Roger (2000). Lärande i praktiken ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm: Bokförlaget Prisma.
6.2
Tidning/tidskrift
Boaler, Jo (1993). “The role of contexts in mathematics classrooms”. I: For the learning
of mathematics,13(2), 12-17.
Erlwanger, Stanley H (1973).”Benny’s Conception of Rules and Answer in IPI Mathematics.” I: Journal of Children’s Mathematical Behaviour 1(2), 7-26.
Hannula, Markku S. (2005). “Shared cognitive intimacy and self defence: two socio-emotional processes in problem solving”. I: Nordisk Matematikkdidaktikk, 10(1), 25-41. Hedrén, Rolf (2000). ”Alternatives to standard algorithms. A study of three pupils during three and a half years”. I: Nordisk Matematikkdidaktikk, 8(1), 35-64. Molander, Kajsa; Hedberg, Per; Bucht, Mia; Wejdmark, Mats; Lättman, Robert (2005:5) Bladet – Mathematics. November. Vallentuna: Affärs & Tidskriftstryck.
6.3
Webb
Boström, Tommy; Isberg, Camilla; Nilsson-Hedemalm, Barbro (2003). Laborativ
matematik en studie i hur inslag av laborativ matematik i undervisningen påverkar gymnasieelevers intresse för matematik. Hämtad 2006-11-08 från
http://epubl.luth.se/1402-1595/2003/103/LTU-PED-EX-03103-SE.pdf. Brändström, Anna & Lindmark, Jessica (1999). Samarbete i grupp – Ett
inlärningstillfälle i ämnet matematik. Hämtad 2006-11-16 från
http://epubl.ltu.se/1402-1595/1999/102/LTU-PED-EX-99102-SE.pdf.
Friluftsfrämjandet (2006). I ur och skur. Hämtad 2006-10-26 från
Learning through landscapes (2006). Welcome. Hämtad 2006-10-26 från http://www.ltl.org.uk.
Levir, Ingrid (2004). Känsla för bråk laborativ matematik innanför murarna. Hämtad 2006-11-13 från
http://dspace.mah.se:8080/bitstream/2043/2353/1/Kanslaforbrak_levir.pdf .
Khanian, Mahin & Nilsson, Karita (2004). Matematik, ett tråkigt ämne!!! Kan
laborativt/praktiskt arbetssätt ändra elevers attityder till matematik? Hämtad
2006-11-08 från
http://dspace.mah.se:8080/dspace/bitstream/2043/1020/1/Aktionsforskning2.pdf. Skolverket (1994a). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,förskoleklassen och
fritidshemmet, Lpo94 Hämtad 2006-12-05 från
http://www.skolverket.se/publikationer?id=1069.
Skolverket(1994b). Läroplan för de frivilliga skolformerna, Lpf 94 Hämtad 2006-11-02 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=1071.
Skolverket (2006). Gymnasieskola 07 Hämntad 2006-11-28 från http://www.skolverket.se/sb/d/436.
Skolverket(2000a). Matematik Hämtad 2006-12-04 från
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0607&infotyp=23&skolform =11&id=3873&extraId=2087.
Skolverket (2000b). MA1201 – Matematik A Hämtad 2006-12-04 från
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0607&infotyp=5&skolform= 21&id=3202&extraId=.
