Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Gymnasieelevers reflektioner om
matematiklektioner
Students reflections regarding mathematics classes
Henrik Klasson
Gymnasielärarexamen 180 poäng Matematik och lärande
Höstterminen 2006
Examinator: Per-Eskil Persson
Sammanfattning
Detta arbete gjorde jag för att få reda på hur elever reflekterar runt sitt eget lärande och vilka förslag till förbättring av undervisningen de vill ha. Jag tog reda på detta genom att intervjua fem elever och även söka information i forskningslitteratur och liknande. Resultatet jag fick fram blev att de intervjuade eleverna, över lag, hade en välutvecklad metakognition och att de hade ett antal värdefulla förslag till lektionsinslag.
Avslutningsvis konstaterade jag också att det är svårt att hitta undervisningsmetoder som passar alla elever samtidigt, men om man kan träna elevernas metakognitiva tänkande samt vara lyhörd för deras synpunkter och förslag till förbättringar så kan man komma en bit på vägen mot den perfekta undervisningen.
Nyckelord
Förbättringar, Grupparbete, Inlärning, Lektionsplanering, Lärande, Matematik, Metakognition
Innehållsförteckning
Sammanfattning... 3 Nyckelord ... 3 1 Inledning... 7 1.1 Syfte... 7 1.2 Frågeställningar ... 7 2 Teori ... 8 2.1 Metakognition... 8 2.2 Elevsamarbete... 10 2.3 Övrig teori ... 13 3 Metod... 14 3.1 Intervjufrågorna ... 15 4 Resultat ... 17 4.1 Metakognition... 17 4.2 Strategier i klassrummet ... 19 4.3 Elevsamarbete... 21 5 Diskussion ... 235.1 Hur uppfattar gymnasieelever att de kan påverka sin egen inlärning av matematik?... 23
5.2 Vilka strategier använder gymnasieelever för att förbättra sin egen inlärning av matematik?... 24
6 Avslutning ... 27
7 Referenser... 28
8 Bilaga 1... 31
1 Inledning
Att som matematiklärare planera sin undervisning kan vara både jobbigt och svårt när man vill ta hänsyn till styrdokument, läroplan och liknande. Individuella variationer elever emellan såsom olika nivå på förkunskap, studiemotivation och dagsform gör inte saken lättare. I Lpf94 står det att
Läraren skall
• se till att alla elever oberoende av social bakgrund och oavsett kön, etnisk tillhörighet, religion eller annan trosuppfattning, sexuell läggning eller funktionshinder får ett verkligt inflytande på arbetssätt, arbetsformer och innehåll i undervisningen (s. 14)
Därmed bör man alltså i möjligaste mån ta hänsyn till elevernas åsikter och låta dem få inflytande över lektionsplaneringen. För att kunna göra det måste man föra en dialog med eleverna och bland annat ta reda på hur de resonerar runt sin egen inlärning. Mitt mål med att göra denna undersökning är att få reda på hur en del elever tänker kring undervisning och inlärningssituationer och därigenom kunna utveckla min undervisning för att gynna så många av eleverna som möjligt.
1.1 Syfte
Detta examensarbete syftar till att visa på några gymnasieelevers uppfattningar om hur de själva kan påverka sin matematikinlärning och även visa på några av de strategier som elever använder i matematikinläringssituationer för att ge en inblick i elevernas tankar runt lärande och undervisning. Mina frågeställningar blir därmed följande:
1.2 Frågeställningar
- Hur uppfattar gymnasieelever att de kan påverka sin egen inlärning av matematik? - Vilka strategier använder gymnasieelever för att förbättra sin egen inlärning av matematik?
2 Teori
2.1 Metakognition
I nationalencyklopedin står det att metakognition är:
medvetenhet om eller förståelse av den kunskap man har, en förståelse som kan komma till uttryck antingen genom effektiv användning av kunskapen eller genom förmåga att verbalt beskriva den.
(NE)
Tolkar man in detta i en lärandesituation kan man säga att om en elev har god
metakognition så kan det leda till att eleven får lättare att effektivt använda den kunskap han/hon tillämpat sig under matematiklektionerna även utanför skolan. Detta är helt i led med det som står i kursmålen för bland annat Matematik A (Skolverket, 2000) enligt nedan:
Eleven skall
-kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning
-med och utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper i olika former av numerisk räkning med anknytning till vardagsliv och
studieinriktning
-kunna tolka och hantera algebraiska uttryck, formler och funktioner som krävs för problemlösning i vardagslivet och i studieinriktningens övriga ämnen
På PISAs hemsida kan man läsa att “Mathematical Literacy” definieras som förmågan att identifiera, förstå och ge sig i kast med matematik samt att kunna göra välgrundade bedömningar av den roll som matematik spelar i en individs nuvarande och framtida liv som en konstruerande, involverad och
Utifrån den definitionen kan man tolka metakognition som ett verktyg som kan användas för att lättare uppnå ”mathematical literacy”
Kramarski (2004) skriver följande om resultatet till en undersökning av hur metakognitiv träning påverkar hur elever kan uppnå ”mathematical literacy”:
It was found that students who were exposed to FORUM+META discussion outperformed students that were not exposed to metacognitive guidance (FORUM discussion) on mathematical literacy. The effects were observed on various aspects of solving real life tasks: (a) Understanding the task; (b) Using mathematical strategies; (c) Processing information; and (d) Using mathematical reasoning.
Detta kan tolkas som att elever som har ett metakognitivt tänkande får lättare för att tillämpa den matematik de lär sig, i verkligheten. Metoden som Mevarech & Kramarski, (1997), tagit fram och som användes i ovan nämnda studie kallas för IMPROVE. Detta är en metod som kan användas för att strukturera den metakognitiva guidningen man, som lärare, kan tänkas vilja ge eleverna. IMPROVE betonar vikten av att förse varje elev med tillfälle och möjlighet att konstruera matematisk relevans genom att göra honom eller henne delaktig i att ställa frågor i stil med: (a) förstå problemet (e.g., ”Vad handlar den här uppgiften om?”); (b) konstruera kopplingar mellan tidigare och ny kunskap (e.g.,”Vad är det för skillnad/likhet mellan denna uppgiften och den du löste tidigare? Varför?”); (c) användande av strategier som är lämpliga för att lösa uppgiften (e.g., ”Vilken strategi/taktik/princip är lämplig för att lösa uppgiften och varför?”); (d)
reflektera över processen och lösningen (e.g., ”Vad gjorde jag fel här?”; ”Är den här
lösningen logisk?”).
PEEL är en gräsrotsrörelse som startade i Australien 1985. 1996 nådde rörelsen Sverige och har här också kallats PLAN, vilket står för Projekt för Lärande under ANsvar. I projektet är metakognition ett centralt begrepp. PLANs mål är att elever ska kunna reflektera över sitt sätt att lära in, och att lärarna ska ha och kunna tillämpa metoder för att hjälpa eleverna till att själva kunna identifiera bra och mindre bra
inlärningsstrategier. Därmed strävas även mot att lärarna ska kunna identifiera bra och mindre bra undervisningsmetoder. PEEL-arbetet fungerar på så vis att lärare frivilligt
träffas över ämnesgränserna för att tillsammans fundera över dessa frågor. Resultaten som man uppnått med PEEL (PLAN) är bland annat ett stort utbud av
undervisningsmetoder som designats för att underlätta effektiv inlärning och de lärare som deltar i projektet har rapporterat en märkbar ökning i intresse och studiemotivation från eleverna. Dessutom rapporteras elevernas inlärning ha blivit mer meningsfull, intellektuellt stimulerande och självständig. (Peel Publications, 2005)
2.2 Elevsamarbete
Costley (2006) sammanfattar Vygotskys teorier och menar att de kan tolkas som att språket och den kommunikation som språket möjliggör är det som gör att människor kan lära sig. Det vill säga att en elev behöver kommunicera för att lära sig, till exempel med en kompis. Piaget, menar han, skiljer sig från Vygotsky genom att Piagets teorier går ut på att det är genom erfarenheter och anknytningar till det man redan kan som är nyckeln till lärande. Detta kan tolkas som att en elev behöver tillämpa matematiken och/eller jämföra det han eller hon redan kan med det som någon annan bidrar med.
Arfwedson (1981) skriver om de mekanismer som verkar i nya grupper, sammanhang och liknande där människor möts. Vid sådana möten uppstår såväl negativa som positiva kontakter individerna emellan. Sättet som till exempel eleverna delas in på, menar Arfwedson (1981), kan vara avgörande för hur gruppen kommer fungera.
Wadsworth (enl. Jakobsson, 2001) menar att elever lär av varandra genom att de, under samarbetet, i diskussioner ställs inför motstridande uppfattningar och inadekvata resonemang. I sådana situationer tvingas eleverna att försöka jämföra och kombinera den nya informationen med sina tidigare kunskaper. Detta är i linje med Puntambekars (2006) idéer om att divergerande tankar och idéer är viktiga, då elever samarbetar i grupp. för att eleverna ska konfronteras med flera olika alternativa tankesätt.
Hübscher-Younger och Narayanan (2002) undersöker elevers uppfattningar av auktoritet i en kooperativ inlärningsmiljö. De fann att elever ofta inriktar sig mot material och information som kan uppfattas som auktorativt, till exempel en lärobok eller något en lärare sagt. Ett sådant beteendemönster kan ha en negativ inverkan på funktionaliteten i ett gruppsamarbete.
Slavin (1983) menar att elevdiskussioner i grupp är en viktig förutsättning för att nya idéer och hypoteser skall kunna byggas upp vid ett utforskande och kreativt arbetssätt. Han motiverar detta med att eleverna, först när de diskuterar med andra, får feedback och respons på sina tankesätt. Genom denna feedback är det lättare att tänka om och tänka nytt. Dock har Hakkarainen, Lipponen och Jarveka enligt Puntambekar (2006) funnit att elevers förväntningar, under kooperativa inlärningssituationer, påverkar hur mycket eleverna interagerar med varandra vilket i sin tur påverkar i vilken utsträckning eleverna kan dra nytta av samarbetet. Detta kan tolkas som att det för eleverna bör tydliggöras vilka förväntningar på deras prestationer som finns för att eleverna ska utbyta idéer och hypoteser med varandra.
Puntambekar (2006) har dessutom funnit att huruvida elever är vana vid ett arbetssätt eller inte kan ha en inverkan på elevernas prestationer och deras inlärning. Detta tolkar jag som att en ovana vid att jobba på ett specifikt sätt alltså kan leda till att elever väljer att jobba på ett invant sätt trots att andra arbetssätt skulle kunna vara mer givande i längden. Detta i förlängningen, menar jag, kan leda till en stagnation i elevens personliga utveckling i fråga om förmåga att använda flera olika arbetssätt såsom till exempel gruppsamarbete eller enkilt arbete.
Jakobsson (2001) argumenterar för att man i ett antal studier om elevers resultat, då de jobbar i grupp, endast fokuserat på gruppens resultat. Detta gör att man utifrån de studierna inte kan uttala sig om huruvida individens färdigheter gynnas av grupparbete. Vidare påpekar han att det finns en möjlighet att enskilda individer inte bidrar i arbetet och därför varken lär sig eller delar med sig av sina färdigheter.
Guzdial och Carroll (enligt Puntambekar, 2006), tar upp den avsaknad av dialog som ibland kan observeras vid elevsamarbete. De menar att elever ibland drar sig för att göra sina röster hörda om någon annan redan representerar deras åsikt men att de ändå kan lära sig av diskussionen och/eller arbetet. Dessutom kan, menar de, elever reflektera över andras idéer även då de inte aktivt deltar i den diskussion eller aktivitet där idén presenteras. Av detta drar jag slutsatsen att även elever som tycks jobba enskillt mycket väl kan tänkas dra nytta av interagerandet i klassrummet även utan att själv aktivt delta.
Prichard et al. (2006) undersöker hur träning i att jobba i grupp kan förbättra inlärning vid ett kooperativt arbetssätt. De konstaterar att det ofta antas att elever antingen har en väl definierad färdighet att jobba i grupp eller att en sådan färdighet automatiskt växer fram under arbetets gång. Detta skulle innebära att elever aldrig behöver specifik
träning för att bli bra på att jobba i grupp. Prichard et al. hävdar att det inte finns mycket bevis för att så skulle vara fallet. Dessutom, konstaterar Hertz-Lazarowitz, enligt
Prichard et al. att det i ett antal studier av otränade skolbarn bara är en bråkdel av barnens beteende som är kooperativt eller hjälpsamt. Vidare konstaterar de att tidiga studier, av korrelationen mellan träning i grupparbetesteknik och efterföljande
förbättringar av elevprestationer i en skolmiljö, har visat att träning i grupparbetesteknik förbättrar både individ- (Yager et al., 1986) och grupprestationer (Johnson et al., 1989). Dessutom finns forskning som visat att träning i grupparbetesteknik ökar frekvensen av hjälpsamt beteende och förklaringar ämnade att assistera andra. Vidare uppvisade de tränade eleverna ett mer inkluderande språk enligt Gillies och Ashman (1996). Därmed drar jag slutsatsen att man som lärare bör instruera eleverna i hur de ska jobba och inte förutsätta att de vet bäst redan på förhand eller kommer lära sig på egen hand.
2.3 Övrig teori
I Lpf 94 står det skrivet att ”Skolans uppgift är att låta varje enskild elev finna sin unika egenart och därigenom kunna delta i samhällslivet genom att ge sitt bästa i ansvarig frihet.” (sid 3). Dessutom står det att:
Läraren skall
• utgå från att eleverna kan och vill ta personligt ansvar för sin inlärning och sitt arbete i skolan,
• se till att alla elever oberoende av social bakgrund och oavsett kön,
etnisk tillhörighet, religion eller annan trosuppfattning, sexuell läggning eller funktionshinder får ett verkligt inflytande på arbetssätt, arbetsformer och innehåll i undervisningen,
• uppmuntra sådana elever som har svårt att framföra sina synpunkter att göra det,
• planera undervisningen tillsammans med eleverna, • låta eleverna pröva olika arbetssätt och arbetsformer och • tillsammans med eleverna utvärdera undervisningen.
(sid 14)
I läroplanen för den frivilliga skolan står det skrivet att:
Varje elev skall få stimulans att växa med uppgifterna och möjlighet att utvecklas efter sina förutsättningar. Varje elev skall möta respekt för sin person och sitt arbete. Eleverna skall bli medvetna om att nya kunskaper och insikter är förutsättningar för personlig utveckling.
3 Metod
Jag gjorde min undersökning i en klass med en stor andel elever som både är
studiemotiverade och vältaliga. Detta för att minimera risken för att eleverna inte skulle vilja ställa upp på intervjuer och dessutom för att öka chansen till kvalitativa intervjuer. Eleverna går första året på naturvetenskapsprogrammet (NV). Jag har undervisat denna klass under fyra veckor så jag känner eleverna och de känner mig.
Jag intervjuade fem elever som jag valde ut slumpmässigt bland de elever som var villiga att ställa upp. Detta antal valde jag för att hinna göra kvalitativa intervjuer med dem samtidigt som jag inte ville ge mig själv en onödigt stor arbetsbörda. Det
slumpmässiga urvalet resulterade i att det blev fem pojkar. Att undersöka genusperspektivet hade varit för tidskrävande vilket gjorde att jag valde att inte
kommentera eventuell genuspåverkan vidare i arbetet. Intervjuerna planerade jag så att de blev semi-strukturerade och kvalitativa. Detta för att ge ett bra djup på intervjuerna samt för att ge mig så mycket input som möjligt med tanke på det ringa antalet
informanter. Att använda mig av enkäter istället var inget bra alternativ då enkäter inte ger lika stort spelrum för elevernas svar och dessutom är det svårt att få samma djup i svaren (Trost, 1993). Valet av kvalitativa intervjuer istället för kvantitativa gjorde jag av samma anledning då kvalitativa intervjuer används och är att föredra då man vill
upptäcka företeelser medans kvantitativa används för att bestämma omfattningen av det man hittat genom den kvalitativa (Trost, 1993). Intervjuerna gjordes under skoltid men lades på elevernas raster för att slippa svårigheter med att ordna med tillstånd från elevernas lärare. Varje intervju tog ungefär 20 minuter och jag genomförde dem i ett litet, avsides liggande rum där jag bedömde risken för störande moment som liten. Eleverna informerades om att de fick vara helt anonyma. För att kunna göra intervjuerna mindre strukturerade utan att jag skulle behöva anteckna väldigt mycket så spelade jag in dem med en mobiltelefon. Mobiltelefonen hade dessutom inga rörliga delar eller blinkande lampor som kunde störa och mikrofonen kunde ligga på bordet mellan mig och informanden utan att vara iögonfallande vilket är viktigt enligt Trost (1993).
För att bevara elevernas anonymitet kallar jag elev nummer ett för Anders, elev två Bosse, elev tre Caesar, elev fyra David och elev fem Erik.
Från intervjuerna valde jag ut de delar som var av intresse för min undersökning och transkriberade dessa. Transkripten strävade jag efter att hålla så ordagranna som möjligt för att minska inflytandet från min egen värdering vid den delen av datainsamlingen.
De svar jag fick från eleverna under intervjuernas gång var både utförliga och upplevdes av mig som genomtänkta.
3.1 Intervjufrågorna
I bilaga 1 finns de intervjufrågor som jag hade med mig till intervjun för att leda den framåt.
För att få ett diskussionsunderlag samt för att inleda med en lättbesvarad fråga ställde jag första frågan som följer: ”Beskriv en standardlektion.”
Stämningen i klassrummet är något som de flesta elever lätt kan beskriva. Dessutom kan en fråga om den leda in på beskrivningar av hur eleverna arbetar i klassrummet och därför ställde jag frågan: ”Hur upplever du stämningen i klassrummet?”
Frågan om hur en elev upplever att ljudnivån i klassrummet är kan leda in på
diskussioner om elevgrupper i klassrummet och annat som är av intresse då man vill ta reda på elevens uppfattningar om hans/hennes matematikinlärning och elevens
strategier i klassrummet. Därför ställde jag följande fråga: ”Hur upplever du ljudnivån i klassrummet?”
Följande fråga ställde jag för att leda in intervjun på elevens strategier och/eller tankar runt sin egen inlärningssituation. ”Hur länge brukar du vara koncentrerad?”
För att få insyn i elevens metakognitiva tänkande ställde jag denna fråga: ”Hur lär du dig?”
Med avsikten att leda diskussionen i riktning mot ett samtal om elevens uppfattningar om hans/hennes matematikinlärning samt strategier i klassrummet frågade jag: ”Vad skulle kunna förbättras med standardlektionen för att du skulle kunna lära dig mer?”
För att leda diskussionen vidare och för att ge mer input om elevens tänkande och medvetenhet följde jag upp med följande fråga: ”Hur är en perfekt lektion för dig?”
Följande fråga går ihop med den föregående men jag ställde den för att vara säker på att få svar på hur eleven själv tror att han/hon lär sig bäst: ”Vilket arbetssätt passar dig bäst?”
4 Resultat
4.1 Metakognition
Under intervjuerna svarade en majoritet av eleverna på sätt som kan tolkas som att de har en klar metakognition. De resonerade kring sitt eget lärande och tycktes ha klara tankar med hur de agerar för att förbättra sin matematikinlärning. Anders tycks i excerpt 1 ställa sig själv frågan ”Är denna metod bättre än den jag redan kan?” medans David i excerpt 2 kan tänkas utgå ifrån att ”Om jag vet vad det ska handla om blir det lättare att följa med.”. I excerpt 3 kan man se att Bosses metakognition yttrar sig i att han repeterar de uppgifter han haft svårt att lösa och han tycks tänka ”Om jag har svårt för det så behöver jag repetera.”
Excerpt 1:
Anders brukar, under genomgångarna på matematiklektionerna, jämföra det han redan kan med det som gås igenom för att på detta sätt avgöra om hans sätt är bättre än det som gås igenom av läraren eller om han behöver byta metod (2).
1 Jag Alltså brukar du lära dig genom att lyssna på andra när dom sitter och snackar eller brukar du vara väldigt koncentrerad vid genomgången eller brukar du...
2 Anders Alltså, jag brukar... jag brukar kolla på genomgången och om jag tycker det är.. alltså ett bra sätt.. eller... så... så brukar jag försöka få in det. Men om jag har ett bättre... eller som jag tycker är bättre själv så tar jag hellre det.
3 Jag Så du gör någon form av värdering?
4 Anders Ja, om jag tycker det är lättare så är... oftast så har jag ju saker med mig från högstadiet som jag har nötat in i huvudet. [skratt]
Excerpt 2:
David visar att han förbereder sig innan matematiklektionerna för att underlätta sitt lärande (8). Dessutom påpekar han att många andra också gör likadant. Detta skulle kunna tolkas som att han och de andra har en god medvetenhet om att deras lärande gynnas av detta tillvägagångssätt (10).
5 Jag Hur brukar du lära dig under lektionen?
6 David Ja, om jag har... Ibland... eller oftast så kollar jag sidorna innan vad vi ska göra.
7 Jag Innan lektionen eller...?
8 David Ja, eller före lektionen det vi ska göra, så vet vi ungefär vad det handlar om och sen när vi går igenom det så tar man lite anteckningar och sånt. Sen kör man på.
9 Jag Är det fler som brukar göra det... att dom läser...?
10 David Det är många som gör det. Går igenom dom lite snabbt och kollar så man kan om talet.
Excerpt 3:
Här tyder Bosses uttalande på att han är väl medveten om sitt lärande och är medveten om att repetition av uppgifter kan gynna hans inlärning (12).
11 Jag Hur brukar du lära dig, under lektionerna?
12 Bosse Det är genom att räkna uppgifterna. Sen så om det är någon svår uppgift som jag inte klarar av eller tog hjälp av läraren till, så brukar jag markera i kanten och repetera den senare.
4.2 Strategier i klassrummet
Bland eleverna jag intervjuade fann jag tre olika strategier för lärande. En av elevernas strategier (Anders) går ut på att eleven i fråga lär sig både när han räknar själv och när han visar för någon annan. En annan strategi (Davids) går ut på att eleven främst jobbar själv och vanligtvis tar hjälp av läraren och inte sina klasskamrater då han kör fast, med motiveringen att det går snabbare så. Den tredje strategin (Eriks) går ut på att eleven främst lär sig då han får något förklarat för sig och inte då han läser själv i boken. Skillnaden mellan Eriks strategi och den förstnämnda är att Eriks tydligt markerar att han inte läser så mycket i boken för att lära sig.
Excerpt 4:
Anders beskriver här samspelet mellan honom och hans klasskamrat som ett sätt för honom att lära sig (16).
13 Jag Så då brukar ni diskutera, ni två då framförallt? 14 Anders Japp.
15 Jag Kan du tänka dig att du lär dig av att visa honom också eller är det...? 16 Anders Ja, alltså man lär ju sig att lära ut och sen så, om jag visar någonting så
ställer han ju nån fråga som jag kanske inte riktigt har tänkt på då. Så blir det ju tvärt om också.
Excerpt 5:
Davids strategi tycks gå ut på att främst arbeta själv under matematiklektionerna (18). På frågan om de andra eleverna tar hjälp av honom svarade han att så nog inte är fallet (20).
17 Jag Brukar du lära dig genom att fråga dina polare eller...?
18 David Ee... det är läraren, då lär jag mig rätt så snabbt. Om det inte är för svårt så man inte hänger med i det. Men, ee... tar hjälp av andra... Ja, ibland gör jag det men inte så ofta. Dom, många gör ju det men... 19 Jag Brukar dom ta hjälp av dig eller...?
20 David Nää... det tror jag inte. 21 Jag Inte så ofta iallafall? 22 David Nä
Excerpt 6:
Erik uttrycker här att han lär sig bäst när någon förklarar matematiken för honom (24) och motiverar det med att han upplever det som svårt att förstå då han läser i boken (26).
23 Jag Hur brukar du lära dig... på matematiklektioner?
24 Erik Oftast... Jag lär mig bäst när nån förklarar nånting för mig. 25 Jag Okej...
26 Erik Äumm... Nej, just det ja... Alltså... Ungefär, så att säga... att om man... om nån förklarar nånting för mig och visar det för mig och sen så, jag får själv prova på... å göra det själv vill säga... Det är då jag tycker jag lär mig bäst för då tar jag in mycket mer... än vad jag sitter och gör och bara liksom läsa i boken å sen göra uppgifterna, då... då, liksom... förstår man inte riktigt det hela.
4.3 Elevsamarbete
Utifrån nedanstående excerpt tycks det vara så att alla elever i klassen brukar vara uppdelad i smågrupper som jobbar i olika tempo och inom dessa grupper finns där ytterligare uppdelningar (excerpt 7, 8 och 9). Därmed är klassen med ungefär 30 elever uppdelad i grupper med tre till fyra medlemmar och inom dessa grupper jobbar eleverna flexibelt och växlar mellan att arbeta till exempel enskilt, två och två eller kanske hela gruppen.
Excerpt 7:
Anders brukar sitta i en grupp med fyra medlemmar (30) men jobbar främst med sin kompis (32).
27 Jag Du sa att du brukar sitta med dina polare? (syftar på elevens redogörelse för en standardlektion i början av intervjun) 28 Anders Ja
29 Jag Hur många är ni? Fyra? 30 Anders Ja, fyra.
31 Jag Okej... Ligger ni på ungefär samma nivå eller?
32 Anders Ja... ja... alltså vi har ju... ja iallafall jag och min... alltså som jag gick med innan. Vi har ju alltid liksom jobbat tillsammans [...]
Excerpt 8:
Caesar berättar här att han föredrar att jobba själv men att han också tycker att grupparbete har sina fördelar eftersom man då kan få se flera lösningsmodeller till samma uppgift (34) vilket tyder på att han växlar mellan att jobba enskilt och att jobba i grupp.
33 Jag Du sa det att du föredrar att jobba själv?
34 Caesar Ja, fast i grupper är också rätt bra eftersom om man har ett sätt som man själv tycker är lite klyddigt men man hänger med på det. Sen hör man ett annat som nån annan använder som fungerar lika bra men egentligen inte så mycket omvägar så kan det ju vara bra att höra det andra alternativet.
Excerpt 9:
Erik redogör här för sin observation att klassen är uppdelad i smågrupper och att dessa grupper ”jobbar i sitt eget tempo” (36).
35 Jag Stämningen i erat klassrum, hur brukar den va, om du skulle beskriva den?
36 Erik [...] var och en sitter och jobbar i sina egna grupper, var och en har sitt eget tempo å jobba i. Åå ibland så... så finns det ju små grupper där man diskuterar olika uppgifter å som... varje grupp jobbar i sitt eget tempo så att säga.
5 Diskussion
Att göra en generalisering för alla gymnasieelever utifrån de svar jag fick i intervjuerna är inte möjligt, eftersom jag bara intervjuade fem elever. Likväl kan resultatet i detta arbete tolkas som tendenser och fingervisningar till variationerna i elevers uppfattningar om och strategier i matematikundervisning. Reliabiliteten kan tänkas ha påverkats av sättet jag ställde intervjufrågorna på, då mina egna tankar och åsikter kan ha lyst igenom men jag strävade efter att vara så neutral som möjligt. Validiteten i undersökningen torde vara god eftersom jag fick tydliga svar på mina forskningsfrågor och dessutom var elevernas svar lätta att tolka. Det jag tror skulle behöva forskas mer om är hur man som lärare kan gå till väga för att lära eleverna metakognitivt tänkande och ge dem bra strategier som är användbara vid mer än bara matematikinlärning.
5.1 Hur uppfattar gymnasieelever att de kan påverka sin egen
inlärning av matematik?
Ett urval av de uppfattningar rörande hur de kan påverka sin egen inlärning, som jag har tolkat att eleverna har lyder:
1. Jag kan underlätta min inlärning genom att jämföra det jag redan kan med det som presenteras för mig under förslagsvis lärarens genomgångar.
2. Mitt lärande förbättras om jag förbereder mig inför matematiklektionerna genom att läsa igenom, det som kommer tas upp, innan lektionen.
3. Om jag repeterar de uppgifter jag haft svårt för att lösa så lär jag mig bättre. Dessa uppfattningar kan ses som att eleverna har en medvetenhet om den kunskap de har. En sådan medvetenhet benämns ofta som metakognition. En välutvecklad
metakognition kan, enligt nationalencyklopedins definition, leda till att eleverna får det lättare att tillämpa sina matematikkunskaper även utanför matematiklektionerna. Detta, kan man med andra ord säga, leder till att eleverna uppnår ”mathematical literacy” i större utsträckning än de skulle ha gjort annars (OECD/PISA, 2003). I enlighet med kursmålen som Skolverket (2000) ställt upp ska man alltså uppmuntra till sådant tänkande som jag observerat hos de intervjuade eleverna då detta tankesätt kan göra det lättare för dem att bland annat ”kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning” (Skolverket, 2000).
För att träna och guida eleverna i det metakognitiva tänkandet kan man bland annat ta hjälp av den metod som Mevarech & Kramarski (1997), kallar för IMPROVE. Den kan användas som mall för de frågor som man bör lära eleverna att ställa till sig själva. Vidare kan man dra nytta av den stora informationskälla som PEEL (PLAN i Sverige) utgör. Denna organisation riktar in sig mot att ta reda på hur man kan hjälpa eleverna att själva identifiera bra och mindre bra matematikmetoder. Genom att bli medlem i
organisationen får man, bland annat, tillgång till en stor databas med förslag på lektionsupplägg.
5.2 Vilka strategier använder gymnasieelever för att förbättra
sin egen inlärning av matematik?
Bland de elever jag intervjuade fann jag ett antal olika strategier som de använder då de lär sig matematik. Följande tre strategier kunde urskiljas:
1. eleven lär sig både genom att räkna själv och genom att hjälpa andra. 2. eleven jobbar främst själv och tar mestadels hjälp av läraren då han kör fast. 3. eleven undviker att läsa i boken för att lära sig utan förlitar sig på att någon kan
förklara för honom.
Till de strategier som eleverna använder kan även läggas det sätt som jag funnit att eleverna, i matematik, bildar smågrupper på. Detta är inget som deras ordinarie matematiklärare har organiserat utan det har uppstått automatiskt, vilket jag vet eftersom jag under min verksamhetsförlagda tid (VFT) diskuterat detta med honom. Elevernas klass med ungefär 30 elever är vanligtvis indelad i smågrupper. Dessa
grupper har eleverna själva format och grupperna består vanligen av tre till fyra elever. I dessa smågrupper jobbar eleverna på det sätt som passar för stunden och de växlar mellan att jobba hela gruppen, två och två och enskilt.
De tre ovan nämnda strategierna ser jag som de generellt vanligaste och i de flesta klasser jag undervisat i har jag sett exempel från alla tre. Den första strategin
kombinerar både Vygotskys och Piagets teorier om lärande (Costley, 2006), detta då, att räkna själv kan ses som exempel på lärande som sker genom erfarenheter och
anknytningar till det man redan kan. Dessutom innebär strategin lärande genom kommunikation mellan individer vilket är i linje med Vygotskys teori. Fördelningen, i elevernas arbete, mellan de båda teorierna beror på i vilken utsträckning eleven räknar
på egen hand. Här kan man som lärare stimulera inlärningen genom att tillse att de elever som föredrar den första strategin får sitta i smågrupper i klassrummet och möjliggöra för eleverna att hjälpa varandra genom att inte tvinga eleverna till tystnad i onödan. Dessutom bör det räcka med att se till att klassrummet är möblerat så att det underlättar dessa gruppbildningar eftersom gruppbildningen tycks ske automatiskt. Dock bör påpekas, enligt Hakkarainen et al. (2002), att man bör göra klart för eleverna vilka förväntningar som finns på dem eftersom en avsaknad av detta kan leda till en onödigt liten interaktion i klassrummet. Vidare kan arbete i grupp, enligt bland annat Slavin (1983), uppmuntra elever att tänka om och tänka nytt då de gjort fel. Wadsworth (enligt Jakobsson 2001) och Puntambekar (2006) menar vidare att elever lär av varandra bland annat eftersom de ställs inför kognitiva konflikter och divergerande idéer.
Dessutom bör beaktas att elevernas vana eller ovana att jobba på ett specifikt sätt, enligt Puntambekar (2006), kan leda till att en elev väljer ett arbetssätt enbart för att det är bekant för eleven och inte för att det är det bästa. Därmed bör, enligt mig, eleverna uppmuntras att testa nya arbetssätt även då de i början kan vara ovilliga att göra det. Detta då det är gynnsamt för elevernas utveckling att vänja sig vid flera olika arbetssätt.
Den andra strategin är snarlik den första med den skillnaden att eleven främst förlitar sig på lärarens kunnande vilket minskar antalet individer som eleven interagerar med. Det kan tänkas att detta är för att eleven upplever att det är lättare att fråga läraren eftersom han/hon är den som är mest kunnig i ämnet. Detta antagande är i linje med det som Hübscher-Younger och Narayanan (2002) konstaterat, nämligen det att elever ofta inriktar sig mot information som kan uppfattas som auktorativ. Det bör även beaktas att detta kan vara tecken på ett beteendemönster som kan ha en negativ inverkan på elevens inverkan. Jakobsson (2001) argumenterar dock för att arbete i grupp inte nödvändigtvis är bättre för individens utveckling av matematikfärdigheter än att arbeta enskilt vilket gör att denne elev mycket väl kan ha hittat den metod som fungerar bäst för honom. Till detta bör läggas att Guzdial och Carroll, enligt Puntambekar (2006), konstaterat att en elev som jobbar enskilt mycket väl kan dra nytta av interagerandet i klassrummet även utan att själv delta aktivt. Jag anser dock att man som lärare ändå bör uppmuntra eleven till att delta i matematikdiskussioner så att eleven inte går miste om den
Den tredje strategin kombinerar även den både Vygotskys och Piagets teorier om lärande men det är anmärkningsvärt att eleven avsiktligt väljer att inte använda matematikboken som informationskälla. Detta kan möjligen bero på problem med att tolka det som står skrivet i boken, kanske på grund av det formella språket. Som lärare, tror jag, bör man vara vaksam och inte hänvisa till boken i alltför stor utsträckning då denna elev kan ha mycket svårare att ta till sig matematikfärdigheter från boken. Dock bör man naturligtvis uppmuntra eleven att använda boken för att ge träning i att läsa bokens formella språk. Framförallt eftersom mycket information främst går få tag på i skriven form utanför klassrummet.
Gemensamt för samtliga elever i undersökningen är att de bör tränas i att jobba i grupp eller i klassen som helhet på grund av det som Prichard et al. (2006), Hertz-Lazarowitz (enligt Prichard et al., 2006), Yager et al. (1986), Johnson et al. (1989) och Gillies och Ashman (1996) konstaterat, nämligen vilken gynsam effekt träning i kooperativa arbetssätt kan ge på elevernas inlärning.
Under tiden som jag arbetat med detta examensarbete har jag fått en, för mig, användbar inblick i hur en del elever tänker kring matematikundervisning och jag har fått
konkretiserat ett antal strategier som elever använder då de lär sig matematik. Detta tror jag kommer hjälpa mig i min undervisning genom att jag känner att jag i större
utsträckning än innan kan sätta mig in i mina elevers tänkande och vara mer öppen för alla de strategier och tankar som eleverna har. Dessutom blir det lättare att planera min undervisning utifrån elevernas strategier så att jag till exempel kan se till att möblera klassrummet så att eleverna får goda möjligheter att jobba så som de vill. Dock måste jag påminna mig själv om att bland de fem elever jag intervjuat i samband med denna undersökning så finns där stor individuell variation vilket leder till slutsatsen att om man vill anpassa undervisningen efter eleverna i egenskap av enskilda individer så bör man göra någon form av intervju eller undersökning i den klassen som undervisningen är tänkt för. Detta då klassers sammansättning av individer varierar kraftigt. Vidare kan det vara en god idé att visa eleverna på de strategier som finns och även lära eleverna ett metakognitivt tänkande då detta gynnar deras inlärning och förmåga att tillämpa sina matematikkunskaper.
6 Avslutning
Avslutningsvis skulle jag vilja citera Costley (2006):
Research, resulting in theories, should not govern everything we do in life; there is a time that common sense and gut instinct should override theories. However, the open-minded and eclectic individual considers them all (Costley, 2006, 5-6).
7
Referenser
Arfwedson, G & G. (1981). Arbete i lag och grupp. Helsingborg: Schmidts Boktryckeri AB.
Costley, Kevin C. (2006); Why Do We Have Theories? Online Submissio, 2006 (ED491769) [www dokument]. URL
http://www.eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2/content_storage_01/0000000b/80/3 2/e9/78.pdf
Gillies, R., & Ashman, A. (1996). Teaching collaborative skills to primary school children in classroom-based work groups. Learning and Instruction, 6, 187-200.
Hübsche-Younger, T., & Narayanan, H. (2002). Influence of authority on convergence in collaborative learning. In T. D. Koschmann, R. Hall, & N. Miyake (Eds.), Carrying
forward the conversation: Proceedings of the international conference on computer
support for collaborative learning (CSCL ‘02). Mahwah, NJ: Erlbaum.
Jakobsson, A. (2001). Elevers interaktiva lärande vid problemlösning i grupp. Malmö: Institutionen för pedagogik, Lärarutbildningen.
Johnson, D. W., Johnson, R. T., Stanne, M. B., & Garibaldi, A. (1989). Impact of group processing on achievement in cooperative groups. Journal of Social Psychology, 130, 507-516.
Kramarski, B. (2004). Enhancing mathematical literacy with the use of metakognitive guidance in forum discussion. The 28th International Conference of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education Volume 3. (s 169-
176)
Mevarech, Z. R., & Kramarski, B. (1997). IMPROVE: A multidimensional method for teaching mathematics in heterogeneous classrooms. American Educational
Research Journal, 34(2), 365-395.
Nationalencyklopedin, 2006. [www dokument]. URL
http://www.ne.se.support.mah.se/jsp/notice_board.jsp?i_type=1
OECD/PISA, 2003. PISA. [www dokument]. URL
http://www.pisa.oecd.org/pages/0,2966,en_32252351_32235968_1_1_1_1_1,00.html
Peel Publications, 2005. About PEEL. [www dokument]. URL http://www.peelweb.org/index.cfm?resource=about
Prichard, Jane S.; Stratford, Robert J.; Bizo, Lewis A. (2006). Team-Skills Training Enhances Collaborative Learning [www dokument]. URL
http://dx.doi.org.support.mah.se/10.1016/j.learninstruc.2006.03.005
Puntambekar, Sadhana. (2006). Analyzing Collaborative Interactions: Divergence, Shared Understanding and Construction of Knowledge [www dokument]. URL http://dx.doi.org.support.mah.se/10.1016/j.compedu.2004.10.012
Skolverket (2000). Skolverkets föreskrifter om kursplaner och betygskriterier för kurs i ämnet matematik i gymnasieskolan (SKOLFS2000:5).
Slavin, R. (1983). Cooperative learning, New York: Longman
Trost, J. (1993). Kvalitativa intervjuer. Lund: Studentlitteratur
WIKIPEDIA, 2006. PEEL - Wikipedia, den fria encyklopedin. [www dokument]. URL http://sv.wikipedia.org/wiki/PEEL
Yager, S., Johnson, R. T., Johnson, D. W., & Snider, B. (1986). The impact of group processing on achievement in cooperative learning groups. Journal of Social
Informationskällor:
8 Bilaga 1
8.1 Intervjufrågor
Beskriv en standardlektion.
Hur upplever du stämningen i klassrummet? 1: Varför upplever du den så? 2: Vad är det som gör att det blir så? Hur upplever du ljudnivån i klassrummet?
1: Varför upplever du den så? 2: Vad är det som gör att det blir så? Hur länge brukar du vara koncentrerad?
1: Vad gjorde att du kunde koncentrera dig så länge? 2: Varför kunde du inte koncentrera dig längre än så? Hur lär du dig? (ge förslag: räknar själv, lyssnar, får hjälp osv)
1: Varför på det sättet?
2: Hur fungerar det? Hur kan man lära sig på det sättet?
Vad skulle kunna förbättras med standardlektionen för att du skulle kunna lära dig mer? Noggrannare genomgång?
Kortare/Längre genomgång? Hur lång? Effektivare lyssning? (elevens)
Hur? Annan tid på dygnet? När? Längre eller kortare lektion?
Hur lång? Hur är en perfekt lektion för dig?
Vilket arbetssätt passar dig bäst? Motivera.
Risker? Fördelar?
