Konkret matematik - en del av undervisningen

Malmö Högskola

Lärande och samhälle

Skolutveckling och ledarskap

Självständigt arbete

avancerad nivå, 30 högskolepoäng

Konkret matematik – en del av

undervisningen

Concrete mathematics – a part of teaching

Jenny Ormsby

Masterprogram i Pedagogik, 120 hp Handledare: Ange handledare

Slutseminarium: 2015-06-16

Examinator: Cecilia Olsson Jers Handledare: Anna Wernberg

Sammanfattning

Ormsby, Jenny (2015), Konkret matematik – en del av undervisningen, (Concrete mathematics – a part of teaching). Magister/Master i Pedagogik, Skolutveckling och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö Högskola.

Syftet med denna uppsats är att undersöka huruvida verksamma lärare i grundskolans tidigare år använder sig av konkret material som en del i sin vardagliga undervisning och hur de i så fall använder sig av det. I denna undersökning är innebörden av konkret matematik ett tydligt objekt som kan upplevas genom kroppens sinnen och som kan användas i det verkliga livet. Undersökningen begränsades till de tre första åren av grundskolan där fem lärare från två olika kommuner deltog. Undersökningen bygger på en kvalitativ studie där observationer används som stimuli till de intervjuer som genomfördes.

Undersökningen visade att samtliga lärare använder sig av konkret matematik i större eller mindre utsträckning som en del i sin undervisning. De kunde inte ange hur stor del av deras undervisning i matematik som bestod av ett konkret arbetssätt. Lärarna beskrev ett varierat arbetssätt i matematik där den enskilda eleven är i fokus. Lärarna arbetar med konkret matematik genom kroppen, sinnena och material som de förankrar i elevernas verklighet och vardag. Samtliga lärare utom en visar på en djup förståelse av vad konkret matematik är. Samtliga lärare såg möjligheter och begränsningar med att använda konkret matematik i undervisningen. Möjligheterna visar att konkret matematik kan synliggöra för eleverna och att de genom det konkreta får en möjlighet till förståelse. Flertalet av lärarna påpekade även variation som en möjlighet genom att eleverna får olika former av lärandesituationer som kan väcka en nyfikenhet hos eleverna. Lärarna såg dock fler begränsningar än möjligheter med användandet av konkret matematik. Personal, utrymme, pengar, tid och lek var begränsningar som framkom i studien. Även då studiens resultat från lärarna visar fler begränsningar än möjligheter åskådliggör lärarna ändå olika metoder att komma från begränsningarna och vända dem till möjligheter istället.

Förord

Denna masteruppsats har genomförts vid Malmö Högskola. Masteruppsatsen avser trettio högskolepoäng och utgör den avslutande delen av min masterutbildning i pedagogik. Min ambition med uppsatsen har varit att i praktiken omsätta de kunskaper jag har tillägnat mig under min lärarutbildning och även under min masterutbildning. Under både min

lärarutbildning samt masterutbildning i pedagogik har jag haft möjlighet att utveckla mitt intresse för matematik.

Jag vill tacka alla som har bidragit till möjligheten att kunna genomföra min masteruppsats. Först vill jag tacka de lärare som har ställt upp på intervjuer och på så sätt medverkat i min undersökning. Jag är väldigt tacksam för den tid min handledare, Anna Wernberg, har tagit sig för att vägleda mig under arbetets gång. Ett särskilt tack vill jag rikta till min familj och mina vänner som har stöttat mig under min masterutbildning. Utan er hade denna uppsats inte varit möjlig.

Helsingborg i juni 2015.

Innehållsförteckning

1.3   Syfte och frågeställning  ...  8  

2   Matematik  ...  9  

2.1   Vad är matematik?  ...  9  

2.2   Konkret matematik som begrepp  ...  9  

3   Tidigare forskning  ...  11  

3.1   Matematikens historia  ...  11  

3.2   Skolmatematik  ...  13  

3.3   Varför ska vi lära oss matematik?  ...  14  

3.4   Konkret matematik som en del i den vardagliga undervisningen  ...  15  

3.5   Möjligheter med konkret matematik  ...  17  

3.6   Begränsningar med konkret matematik  ...  18  

3.7   Var kommer läroboken in?  ...  20  

3.8   Att konkretisera och lärarens roll  ...  22  

3.9   Internationella studier  ...  23  

3.9.1   TIMSS  ...  23  

3.9.2   PISA  ...  24  

4   Teoretisk förankring  ...  26  

4.1   Det konstruktivistiska perspektivets utveckling  ...  26  

4.2   Det konstruktivistiska perspektivets lärandeteori  ...  27  

4.3   Konstruktivismen och det sociala samspelet  ...  30  

4.4   Argumentation för val av inriktning inom det teoretiska perspektivet  ...  31  

5   Metod och genomförande  ...  32  

5.1   Metodval och datainsamlingsmetoder  ...  32  

5.1.1   Observation  ...  32   5.1.2   Intervju  ...  33   5.2   Urval  ...  35   5.3   Etiska ställningstaganden  ...  35   5.4   Genomförande  ...  36   5.5   Analysmetod  ...  37  

5.5.1   Analys utifrån mina intervjuer  ...  39  

5.6   Validitet och reliabilitet i en kvalitativ undersökning  ...  40  

5.6.1   Validitet och reliabilitet i min uppsats  ...  40  

5.7   Lärarnas bakgrund  ...  41  

6   Resultat och analys  ...  42  

6.1   Avgränsning av begreppet  ...  42  

6.1.1   Sinnen och kroppen  ...  42  

6.1.2   Verklighet och vardag  ...  42  

6.1.3   Material av olika slag  ...  43  

6.1.4   Analys av avgränsning av begreppet  ...  44  

6.2   Möjligheter  ...  45  

6.2.2   Analys av möjligheter  ...  46  

6.3   Begränsningar  ...  47  

6.3.1   Personal och utrymme  ...  47  

6.3.2   Tid  ...  48  

6.3.3   Lek  ...  48  

6.3.4   Pengar  ...  49  

6.3.5   Analys av begränsningar  ...  49  

6.4   Lärandesituationer  ...  51  

6.4.1   Utan avslutande diskussion  ...  51  

6.4.2   Med avslutande diskussion  ...  53  

6.4.3   Lärobok  ...  54   6.4.4   Analys av lärandesituationer  ...  55   6.5   Läroplanen  ...  58   6.5.1   Stöd  ...  58   6.5.2   Analys av läroplanen  ...  58   6.6   Sammanfattning av resultatet  ...  59   7   Diskussion  ...  62   7.1   Metoddiskussion  ...  62  

7.2   På vilket sätt anser verksamma lärare att de tillämpar konkret matematik i sin undervisning?  ...  64  

7.3   Vilka möjligheter och/eller begränsningar finns det av att använda sig av konkret matematik i den dagliga undervisningen?  ...  69  

7.3   Sammanfattande diskussion  ...  72  

7.4   Förslag till vidare forskning  ...  73  

8   Litteraturförteckning  ...  75  

Bilagor  ...  80  

Bilaga 1   Informationsbrev  ...  80  

1

Inledning

1.1 Problembakgrund

När jag ansökte till lärarutbildningen hade jag en tydlig föreställning om vilket huvudämne som skulle ligga till grund för min examen. Matematik hade sedan min egen skolgång varit det ämne som jag funnit ett stort intresse för. Under min egen skolgång handlade matematik om att räkna i en lärobok efter att läraren haft en genomgång vid tavlan. Denna enformiga undervisning var sig lik från det att jag började årskurs 1 tills det att jag gick ut gymnasiet. Mitt intresse för matematik avtog inte men föreställningen om att matematik kunde vara ett roligt ämne avtog. Intresset för att lära ut matematik på ett mer intressant och roligt sätt växte hos mig när det var dags att söka sig vidare till högre studier. Under min utbildning till grundskollärare växte intresset för konkret matematik fram. Begreppet konkret matematik samt innebörden av detta undervisningssätt återkom kontinuerligt under min utbildning och mitt intresse för detta begrepp växte fram när jag förstod betydelsen av konkret matematik som ett undervisningssätt. Under den verksamhetsförlagda tiden på lärarutbildningen samt under de år som jag har arbetat som lärare har jag inte mött en undervisning bland de tidigare skolåren där man har arbetat med konkret matematik. Den matematikundervisning som jag har stött på har mestadels bestått av att hämta en lärobok och sätta sig ner på sin plats för att börja räkna. Ett arbetssätt som liknade det jag själv varit med om under min skolgång. Jag har mött en del elever i de tidiga skolåren som har en negativ inställning till matematik. Eleverna tycker att matematik är tråkigt och undrar varför vi behöver lära oss matematik. Jag har även mött många elever som tycker att matematik är en tävling där det viktiga är att hinna så långt som möjligt i läroboken i matematik. I Skolverkets rapport Lusten att lära – med

fokus på matematik (2003, ss.7-17) står det att alla elever ska få möjligheten att lära sig

matematik och skaffa sig matematikkunskaper. Även grundskolans läroplan trycker på skolans ansvar för att alla elever efter genomgången grundskola ”kan använda sig av

matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet” (Skolverket 2011b, s.13). I ovan nämnd rapport beskrivs vidare att många tyvärr har negativa erfarenheter av matematiken. Den anses svår att förstå och meningslös. På så sätt kan matematik bidra till ångest och en känsla av misslyckande vilket följer personen in i vuxen ålder. På så sätt finns även en risk att denna negativa syn överförs till nästa generation. Därför är det viktigt att eleverna i skolan får en förståelse om matematik som såväl i matematik. Användningen av matematiken ändras under åren i grundskolan vilket i sin tur bidrar till att elevernas lust att lära förändras.

Rapporten visar på en ökande olust till matematik hos många elever. Det finns inte en undervisningsmetod som är den rätta utan olika sätt att arbeta bidrar till att man kan möta varje elev gällande innehåll, material och arbetssätt.

1.2 Avgränsning

I min undersökning har jag valt att studera om lärare i grundskolans tidigare år tillämpar konkret matematik i vardagen. Undersökningen kommer att avgränsas till de tre första skolåren av grundskolan i två kommuner i Södra Sverige. Två kommuner har valts på grund av att intresset bland deltagande lärare var för svagt i den primära kommunen.

En annan avgränsning som bör tydliggöras är innebörden av konkret matematik. Som titeln på uppsatsen uppger handlar undersökningen om konkret matematik som en del av

undervisningen. I denna undersökning kommer innebörden av konkret matematik vara ett tydligt objekt som kan upplevas genom kroppens sinnen och som kan användas i det verkliga livet.

1.3 Syfte och frågeställning

Syftet med uppsatsen är att undersöka om verksamma lärare arbetar med konkret matematik i sitt vardagliga arbete och hur de i så fall använder sig av det.

Utifrån detta syfte har jag formulerat följande frågeställningar,

- På vilket sätt anser verksamma lärare att de tillämpar konkret matematik i sin undervisning?

- Vilka möjligheter och/eller begränsningar finns det av att använda sig av konkret matematik i den dagliga undervisningen?

2

Matematik

För att skapa sig en förståelse för vad matematik är följer nedan en beskrivning av detta. Matematik kan ha olika betydelse för olika personer på grund av kunskaper och/eller

erfarenheter inom ämnet. Även om personer har olika uppfattningar om begreppet matematik finns det mer noggranna definitioner om vad matematik är. Därför har jag valt att ange en tydlig definition av begreppet matematik. Definitionen av matematik är enligt

Nationalencyklopedin följande:

Matematik[…], en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. Definitionen kan

kommenteras på följande sätt. Matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald situationer, men också för den logiska giltigheten hos resonemangen skall kunna klarläggas. Matematiken är inriktad på stadium och uppbyggnad av strukturer av de mest skilda slag, såväl för att lösa speciella problem som för att utveckla allmänna metoder att lösa problem och ange dessa problems begränsningar (Sökord: matematik).

I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr11, finns kursplanen i matematik. I inledningen finns följande beskrivning av vad matematik är:

Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser (Skolverket 2011b, s. 62).

2.2 Konkret matematik som begrepp

Under föregående rubrik har jag redogjort för definitionen av matematik. För att få en kännedom om vad som menas med konkret matematik kommer jag nedan att redogöra för begreppet konkret. Eftersom uppsatsens innehåll är riktat mot begreppet konkret matematik och tillika att detta ord finns med i kursplanen för ämnet matematik är det av vikt att detta ord får en innebörd i denna uppsats. För att synliggöra konkret matematik ännu mer har jag valt att även definiera motsatsordet till konkret vilket är abstrakt.

Konkret substantiv, substantiv som betecknar något som kan vägas och direkt uppfattas med

sinnena, t.ex. varelser, föremål och material. Motsats: abstrakt substantiv (Sökord: konkret substantiv).

Definitionen av abstrakt är enligt Nationalencyklopedin följande:

Abstrakt substantiv, substantiv som betecknar ett icke-påtagligt fenomen (utan massa), t.ex.

egenskap, tillstånd, händelse och tid. Många abstrakta substantiv är avledningar av adjektiv eller verb. Motsats: konkret substantiv (Sökord: abstrakt substantiv).

Jag vill även definiera ordet laborativ eftersom det ofta förekommer i sammanhang som har med konkret matematik att göra. Enligt Nationalencyklopedin är laborativ undervisning följande:

Laborativ undervisning, metoder för undervisning och inlärning med stöd av experiment och

försök, vanligen i naturvetenskapliga ämnen. Termen har också använts om undervisning som kombinerar teoretiska och praktiska uppgifter enligt John Deweys princip ”learning by doing” (Sökord: laborativ undervisning).

I definitionen för laborativ undervisning från Nationalencyklopedin nämns att laborativ undervisning även kan innebära en undervisning där teoretiska och praktiska uppgifter kombineras (Sökord: laborativ undervisning). Eftersom orden praktiska uppgifter framträder har jag valt att även definiera ordet praktisk för att få en helhet av vad en konkret

undervisning innebär. Definitionen av praktisk är enligt Nationalencyklopedin följande:

Pra´ktisk, som har att göra med (konkreta) företeelser och händelser i det verkliga livet; som

har gott handlag och lätt finner lösningar på problem i (vardags)livet; som är lätt att använda och kommer till god nytta (särskilt i vardagslivet) (Sökord: praktisk).

I denna uppsats kommer innebörden av konkret matematik vara ett påtagligt föremål som kan upplevas genom kroppens sinnen och som kan användas i det verkliga livet.

3

Tidigare forskning

För att mer ingående få reda på hur och var matematiken uppstod samt hur det kom att bli en vetenskap inleds detta kapitel med en sammanfattning av matematikens historia från

tiotusentals år sedan och fram tills idag.

3.1 Matematikens historia

Man tror att matematiska problem har intresserat människor så tidigt som för tiotusentals år sedan. Varför man tror detta är på grund av att man hittat geometriska mönster som

utsmyckning. Vid samma tillfälle uppstod en nödvändighet, denna nödvändighet var behovet av att ange antal. Det visade man med streckmarkeringar eller en samling likartade föremål. Detta var skapandet av den första matematiska modellen. Olyckligtvis bestod de flesta skrifter från denna tid av obeständigt material vilket innebär att de flesta av spåren i form av skrifter har försvunnit. De skrifter som är bevarade har gett information om den tidiga matematiken. Denna information kommer från de kulturområden som uppstod i floddalarna kring Hoangho, Indus, Eufrat, Tigris samt Nilen. Man tror att många av de papyrusrullar som bestod av obeständigt material innehöll samlingar av teknik samt matematik. Det finns två papyrusrullar som bestod av material som man har kunnat bevara. Dessa två papyrusrullar är

Rhind-papyrusen och Moskva-Rhind-papyrusen. Rhind-Rhind-papyrusen skrevs av Ahmes ungefär 1700 f.Kr. En annan mycket viktig informationskälla är de lertavlor som presenterar babyloniernas

matematik i form av kilskrift. I floddalarna fanns det olika typer av behov eftersom alla vuxna inte kunde delta i jordbruksarbetet. Därför skapades det arbetsuppgifter som exempelvis att hålla reda på skörd och åkerarealer samt konstruera vattenreglering och tabeller för

årstidsväxlingar. Aritmetiken och geometrin blev en del av kulturen på grund av de nya praktiska matematiska arbetsuppgifter som uppstod. Matematikens utveckling ägde rum i Kina, Indien, Babylonien och Egypten. Matematiken har sedan överförts till olika kulturer varav grekerna tog över arvet ca 600 f.Kr. Grekerna hade kunskapscentra i de områden som ingick i det grekiska stormaktsväldet, bland annat i egyptiska Alexandria. Från år 100 f.Kr. till ca 500 e.Kr. framträdde Romarriket starkast kring Medelhavsområdet. Under tiden som Grekland utvecklade sin matematik tror man att det även skedde en betydande utveckling av matematiken i Afrika och Amerika. År 500 e.Kr. faller Romarriket och då tar indierna och araberna över och de bidrog med de viktigaste bidragen till att utveckla matematik inom naturvetenskapen och tekniken. Den utveckling som skedde var upptäckten av

positionssystemet, talet noll samt siffrorna. Ett litet antal framsteg gjordes mellan år 1000 e.Kr. och 1500 e.Kr. Exempel på några framsteg under denna tid var Fibonaccis bok, Liber

Abaci samt att de grekiska skrifterna översattes till europeiska språk. Man tror att anledningen

till denna minimala utveckling berodde på att man saknade ett matematiskt symbolspråk. Det fanns ingen möjlighet att formulera algebraiska uttryck, formler eller ekvationer. I slutet av 1400-talet börjar dock utvecklingen ta fart igen och på grund av geografiska upptäckter och behovet av exempelvis navigation och expanderat handelsutbyte behövdes ytterligare kunskaper inom matematiken. Det fanns nu gott om papper och man gick från att räkna på abakusen till att använda papper istället. De romerska siffrorna blir gammalmodiga och det arabisk-indiska siffer- och positionssystemet slår igenom samt ett användande av de fyra räknesätten börjar ta form. Under 1600-talet och framåt sker utveckling inom bland annat den analytiska geometrin och derivata- och integralbegreppet. Från att ha varit en hjälpvetenskap blir nu matematik en egen vetenskap (Olsson 1999, ss. 62-65). Några betydande banbrytande matematiker från 1600-talet var René Descartes, som var filosof och matematiker, samt Pierre Fermat, som var jurist. Under 1700-talet levde en matematiker vid namn Leonhard Euler som kom att bli den produktivaste matematiker som har funnits. Han kom från Schweiz och löste matematiska problem som mynnade ut i grafteorin och topologin. I slutet på 1700-talet och i början av 1800-talet blir matematikerna mer specialiserade. Den analytiska matematiken utvecklades vilket ledde till stora framsteg under 1900-talet. På grund av den förfining man gjorde av den matematiska analysen kunde fysikerna utforma teorierna om kvantmekanik och relativitet vilket i sin tur bidrog till att helt ny matematik skapats. Mängdläran är ett exempel på ny matematik som skapats, det var Georg Cantor som utvecklade teorin om oändliga mängder. Som nämnt tidigare fanns det många viktiga upptäcker och utvecklingar av matematiken efter 1600-talet och framförallt på 1800-talet. Matematiken blir mer abstrakt samt omfattande under 1900-talet. Under detta århundrade skapades även datorn som kom att bli en del av den matematiska utvecklingen. År 1976 löstes det första matematiska problemet med hjälp av en dator (Dahl 1991, ss. 38-41).

Under 1960-talet infördes även grundskolan i Sverige och mer precist skedde detta år 1962. Detta år fick även grundskolan sin första läroplan, Lgr62. Det fanns fem principer som skulle gälla för undervisningen i denna läroplan och det var motivation, aktivitet, konkretion, individualisering samt samarbete. Sju år senare fick grundskolan en ny läroplan, Lgr69, där det gavs större utrymme för lärarna att använda sig av ett varierat arbetssätt. Detta utrymme ökade ytterligare i Lgr80 och temastudier infördes som en ny arbetsform. År 1994 fick grundskolan en helt ny typ av läroplan, Lpo94. Samtidigt som den nya läroplanen infördes

övergick även skolan samtidigt från regelstyrning till målstyrning och arbetssätten i

grundskolan förändrades märkbart (Hartman 2012, ss. 56-76). År 2011 infördes Läroplanen för grundskolan förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr11. I läroplanen finns en kursplan för varje ämne i grundskolan och den anger undervisningens syfte där de förmågor som eleverna ska ges förutsättningar att utveckla genom undervisningen framgår. Kursplanen innehåller även ett centralt innehåll som anger vilket obligatoriskt innehåll som ska behandlas i undervisningen samt de kunskapskrav som eleverna ska ha uppnått i slutet av årskurs 3, 6 och 9 (Skolverket 2011b, ss. 66-67). Detta leder fram till nästa rubriks innehåll, det vill säga vad den nuvarande kursplanen i matematik innebär.

3.2 Skolmatematik

I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Skolverket 2011b, s.62-68) kan man läsa att syftet med matematiken i skolan bland annat är att undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar ett intresse för matematik samt att eleverna ska våga lita på sin förmåga att använda matematiken i olika situationer. Eleverna ska utveckla kunskaper om matematiken, dess användning i vardagen samt inom olika ämnesområden. Eleverna ska även ges möjlighet att begrunda matematikens betydelse, användning och begränsning i

vardagslivet, i andra skolämnen samt under historiska skeenden och på så sätt skapa sig en förståelse för matematikens sammanhang och relevans. I slutet av syftesbeskrivningen finns de förmågor sammanfattade som eleverna genom undervisningen i matematik ska ges förutsättningar att utveckla. Dessa förmågor lyder enligt följande;

• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och

metoder,

• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,

• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa

rutinuppgifter,

• föra och följa matematiska resonemang, och

• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra

för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket 2011b, s. 63).

Under rubriken för kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 nämns ordet konkret vid två tillfällen;

Eleven ska ha grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder/…/Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget (Skolverket 2011b, s. 67).

3.3 Varför ska vi lära oss matematik?

Precis som att det kan finnas många uppfattningar till vad matematik är kan det finnas lika många uppfattningar till varför vi ska lära oss matematik. Olsson och Forsbäck (2008, ss. 5-6) menar att en stor del av det vi gör, beslutar och arbetar med under en dag faktiskt är

matematik. Från det att väckarklockan ringer till det att man går och lägger sig på kvällen har man hunnit med många varierande områden inom matematiken. Exempel på detta är under frukosten, vägen till arbetet, arbetsuppgifterna under dagen, i livsmedelsaffären och lagning av kvällsmat. Redan som barn möter man matematiken i vardagen och den återkommer ständigt exempelvis genom upptäckten och användningen av mönster, att räkna föremål samt sortering av lego. Barn måste få förstå sin omvärld och det gör de genom att leka samt att tillsammans med vuxna få hjälp att sätta ord på upplevelserna och upptäckterna. Detta är grundläggande kunskaper och begrepp som barn tar in under sin uppväxt vilket bidrar till deras utveckling inom den formella matematiken. Därför är det viktigt att den matematiken barnen möter innan de börjar skolan samt den matematik de sedan möter utanför skolan är så innehållsrik som möjligt. Löwing och Kilborn (2002, s. 17) anser att man i det moderna samhället dagligen möter situationer där man behöver kunna tolka samt bearbeta numerisk information. Målet med undervisningen av matematik i grundskolan blir därför att förbereda eleverna för detta. För att kunna nå detta mål menar författarna att en del mot målet är att få förståelse och kunna hantera den matematik som finns i övriga skolämnen som exempelvis No, So, hemkunskap, idrott och slöjd. Beroende på vilken miljö respektive verksamhet som matematiken finns i yttrar den sig i många olika former, formella som informella. I Lusten att

lära – med fokus på matematik (Skolverket 2003, s. 7) står det att det används begrepp,

metoder och modeller från matematiken i vardags- och yrkesliv samt i samhällelig och vetenskaplig verksamhet. Genom att ha kunskaper i matematik kan man påverka och delta i beslutsprocesser gällande landets och kommunens ekonomi och miljö, vilket även är en demokratisk rättighet. Dessa matematiska kunskaper är något som alla elever ska ha möjlighet att införskaffa. Genom dessa kunskaper kan man även lösa vardagsproblem, förstå

information och reklam, fungera som en medborgare samt kunna granska och värdera påståenden från exempelvis politiker. Matematik är således ett viktigt ämne för utbildning. Kunskaper i matematik är inte tillräckligt utan vi behöver även kunskaper om matematik på grund av det livslånga lärandet.

3.4 Konkret matematik som en del i den vardagliga undervisningen

I Lusten att lära – med fokus på matematik (Skolverket 2003, ss. 7-49) står det uttryckligen att undervisningen på många skolor är bra och intressant och gynnar elevernas lust att lära samt bidrar till motivation. Detta gäller inte enbart för ämnet matematik utan även för andra ämnen och ämnesområden. Det går dock inte att på ett enkelt sätt ange vilka typiska lärmiljöer som skapar lust eller olust och att kategoriskt säga exempelvis att individualisering är bra eller att katederundervisning är dålig. Olika elever och elevgrupper samt elever i olika åldrar har varierande behov och reagerar olika på samma undervisningssituationer. De menar på att det inte finns en modell som garanterar hög kvalitet. Vad man kommit fram till i studien är att det finns en rad olika faktorer inom undervisningsstrukturerna som är det viktiga och som skapar lust eller olust. Engagerade och intresserade elever har de funnit i undervisningssituationer där det funnits utrymme för känsla, tanke, upptäckarglädje, engagemang samt aktivitet hos elever och lärare. Det har varit en variation i innehåll och arbetsform där laborativt och undersökande arbetssätt varit en del. Elevernas glädje och lust att lära är under de tidigare skolåren fortfarande levande och genom lek, temaarbeten och språkaktiviteter är innehållet konkret och omväxlande samt blir då arbetssätt och läromedel varierande. Lärarna försöker behålla det lustfyllda lärandet. Det finns alltså inte enligt rapporten en speciell

undervisningsmodell som är den rätta. Olika elever behöver olika innehåll, material och arbetsmetoder.

Den större delen av matematikundervisningen i skolan är mekaniskt räknande. Det är viktigt att öva räknefärdigheter och det är inte säkert att det bidrar till en negativ lust till att lära hos eleverna. Det kan för stunden vara tillfredsställande. Men det som blir motigt i en sådan situation är när räknandet inte har en mening och när man inte förstår vad man gör längre. Det kan också bli motigt när lektionerna ser likadana ut och man på egen hand måste skapa sig förståelsen. För att skapa en lust att lära är det viktigt att det finns en variation, flexibilitet och ett undvikande av det monotona. Olika sätt att lära in bidrar till att olika

kan förbättras genom att bland annat ha en mer varierad undervisning, ett varierat arbetssätt med inslag av laborativt material och att minska lärobokens dominans.

Olsson och Forsbäck (2008, ss. 7-12, 14) anser att vi oftast i vardagen möter matematiken i en konkret form och att många vuxna mött matematiken i skolan på en abstrakt nivå utan att ha fått hjälp att koppla det till egna vardagserfarenheter. På detta sätt blir ofta matematiken något som ska reproduceras och då skapas det inte någon mening med matematiken. Genom att börja arbeta från de egna erfarenheterna som vi möter i vardagen till att samtala om hur det kan formuleras på ett matematiskt språk till att slutligen räkna ut talet kan man skapa sig en förståelse för vad det är man gör. Genom att översätta uppgifter till en vardagshändelse kan exempelvis en uppgift om i vilken ordning de olika beräkningarna ska göras klargöras. Det är ett stort steg mellan det konkreta vi möter i vardagen och det abstrakta matematikspråket i den matematik vi har i skolan. Det är ett steg som vi måste hjälpa barnen att klara. Författarna förklarar det genom att dra en parallell med ett hyreshus. De menar att ingen byggmästare ens skulle tänka tanken att be byggnadsarbetarna börja bygga den översta våningen på ett nytt hyreshus. Grunden är det som huset ska stå på och det får man inte slarva med. Det är likadant med matematiken i skolan. Det som eleverna arbetar med i årskurs 1 kan verka väldigt enkelt och att skriva rätt svar till exempelvis 3 + 2 = ____ tycks inte som något större problem. Alla klarar säkert det på något sätt men precis som i husgrunden kan det finnas dolda svagheter som kan ge stora problem längre upp i åldrarna om det inte tas itu med. Det finns kanske något barn som inte riktigt förstår begreppen och kanske enbart uppfattar den dynamiska aspekten av likhetstecknet (Sfard 1995, ss.15-39). Kvaliteten på kunskaperna måste hålla för att barnen ska fortsätta att lära. Steget från det konkreta till det abstrakta är stort vilket avser varje tillfälle som barnen möter nya moment inom matematiken. Därför är det viktigt att grunden i begreppshuset byggs rätt från början genom att samtala och uppmärksamma

matematiska begrepp samt koppla dem till barnens erfarenheter. På så sätt utvecklar barnen en stadig bas för att utveckla sina matematikkunskaper (Olsson och Forsbäck 2008, ss.7-12, 14). I en rapport utgiven av Skolverket, Laborativ matematik, konkretiserande undervisning och

matematikverkstäder (2011a, ss. 28-29) skriver Löwing, Fredriksson och Färjsjö att

kopplingen konkret – abstrakt inte finns utan att det är något som måste skapas av läraren. De menar att man borde fokusera på verbet konkretisera istället för ordet konkret då det kan leda till missuppfattningar om att materialet har ett liv och ett värde i sig. Genom att konkretisera ska abstraktionen, förståelsen, underlättas. Det är inte det konkreta materialet som ska leda till abstraktion utan det är hur materialet används och vad läraren lyfter fram med hjälp av

för att förklara det som ska abstraheras. Alla sinnen behöver inte användas vid konkretisering utan det kan räcka med att eleven använder ett sinne för att abstraktion ska nås. Det finns även upplevda händelser och metaforer som kan vara mer konkretiserande än material för elever. Det betyder att konkretisering inte behöver bestå av material. En metafor eller en upplevd händelse kan vara konkretiserande för en elev. Det matematiska innehållet ska synliggöras med hjälp av materialet vilket innebär att konkretisering inte handlar om att arbeta med material. Författarna skriver:

Vi menar att avsikten med all matematikundervisning är att den ska leda till abstraktion, även om det gäller en så elementär kunskap som att 1 + 1 = 2 oberoende av vad man räknar. För att underlätta abstraktion kan man som lärare hjälpa eleverna genom att konkretisera det som ska läras. Konkretisering går då ut på att med hjälp av material eller en metafor lyfta fram den idé eleverna ska abstrahera. Det innebär att det material som används måste presenteras och organiseras på ett sådant sätt att man för eleverna lyfter fram den aktuella idén. Materialet behöver därför ha en strukturlikhet med den matematik som ska förklaras. Det handlar således inte om att ta i materialet (gripa) utan att med materialets hjälp begripa, alltså abstrahera. När detta har skett har materialet spelat ut sin roll. Då är det abstraktionen som gäller. Målet är att eleverna med tanken ska förstå hur och varför aktuella operationer och procedurer ska utföras (Skolverket 2011a, s. 29).

Vidare menar författarna för en ökad framgångsrik konkretisering behövs tillgång till beprövat material med beprövade arbetsinstruktioner (Skolverket 2011a, s. 28-29). Löwing (2006, ss.130-141) menar att matematik på alla nivåer handlar om att abstrahera. När man abstraherar har eleverna skaffat sig en mental bild och ett effektivt språk som kan användas till att snabbt och effektivt lösa nya matematiska problem. Om eleverna har förstått något genom konkretisering innebär det inte automatiskt att eleverna behärskar motsvarande operation. Det måste också färdighetstränas så att eleverna känner igen uppgifterna som passar för strategin så att eleverna kan använda strategin med flyt. Konkretiseringen ska med andra ord vara en hjälp till att abstrahera.

3.5 Möjligheter med konkret matematik

Bernerskog (2007, ss. 3-8) har skrivit en rapport som handlar om möjligheter att arbeta med kroppen som laborativt redskap i matematikundervisningen för att på så sätt göra

undervisningen mer laborativ. Författaren menar att den tidiga matematikundervisningen utgår från det konkreta med laborativt material för att sedan gradvis övergå till abstrakt

matematiktänkande. Genom sina studier kom författaren fram till att den egna kroppen kan fungera som ett laborativt hjälpmedel för att förstå de första momenten inom

matematikundervisningen bland de tidiga skolåren. Det fanns många vinster med detta arbetssätt både inom ämnet matematik men även inom andra ämnen. Exempel på dessa vinster var att eleverna upplevde övningarna positivt, de fick fysisk aktivitet varje dag och läsförståelse samt ordkunskap tränades. Det konkreta tillvägagångssättet med rörelse gjorde att eleverna tog till sig nya moment lättare samt att de befäste kunskaperna på ett nytt sätt. De elever som hade svårt att sitta still och koncentrera sig fick genom matematikövningar med kroppen en möjlighet att kunna gå ut och ändå träna sig i matematik. Bernerskog anser att det finns många vinster med att använda kroppen som ett laborativt hjälpmedel i den tidiga matematikundervisningen. D’Angelo och Iliev (2012, s.1-5) menar att användandet av laborativt material är nödvändigt när man undervisar unga barn i matematik. Den konkreta upplevelsen som eleverna får av materialet ger dem en större förståelse om lärarna använder materialet på ett effektivt sätt. Ett konkret och verkligt material skapar en rik miljö där eleverna kan undersöka sina idéer kritiskt samt lösa problem. Eleverna blir då nyfikna och utvecklar ett livslångt lärande. Det är av vikt att eleverna får en exponering av ett varierat antal matematiska verktyg. Det konkreta materialet tydliggör matematiska begrepp och koncept för eleverna och hjälper dem att hantera det som är abstrakt genom att göra det konkret. Författarna refererar i sin artikel till NCTM, National Council of Teachers of Mathematics, som rekommenderar användandet av laborativt material i alla årskurser. Alla elever oavsett ålder har nytta av laborativt material i sin undervisning. Det konkreta materialet skapar en övergång mellan det konkreta och det abstrakta under det att eleverna mognar i sitt matematiska vetande. Ju tidigare en elev börjar arbeta med laborativt material desto stabilare blir grunden för kunskapen hos eleven.

3.6 Begränsningar med konkret matematik

Under föregående rubrik nämns möjligheter med att använda konkret matematik som en del i undervisningen. Under denna rubrik nämns vilka begränsningar som kan finnas med konkret matematik.

Ahlberg (2000, s.52) skriver att det är viktigt att elever arbetar med olika hjälpmedel och inte fäster sig för mycket vid ett enda laborativt material. Risken finns att eleverna känner sig alltför beroende av materialet och tycker att det är jobbigt att klara sig utan det och på så sätt

få svårt att släppa materialet. Det som också kan ske är att ett barn som skulle behöva ett laborativt material som stöd inte vill använda det för att det kan kännas pinsamt eller obehagligt att använda det inför klasskamraterna. Wistedt (1992, ss. 65, 111-112) skriver också om att det finns problem med att vardags anknyta matematiken i skolan på grund av att vi inte kan vara säkra på att eleverna lär sig matematik. De intressanta matematiska

aspekterna av sammanhanget kan gås miste om. Wistedt menar att vardagsmatematiken har en plats i skolan men att det viktiga är att komma ihåg att själva övningarna inte ger någon matematisk förståelse i sig. Många elever förlorar sig i de konkreta exemplen som ges och missar då vad de är exempel på. Det finns dokumenterat i tidigare forskning att elever kan fastna i konkretioner. Wistedt refererar i sin text till Bergqvist (1990) som berättar om elever som ska lära sig om solsystemets uppbyggnad genom att konstruera en modell av ballonger i papier maché. Eleverna blir i detta konkreta exempel så upptagna av att blåsa ballonger i rätt storlek att de inte tar in syftet med övningen. Wistedt anser att om eleverna ska kunna använda sig av de erfarenheter de skapat i matematikinlärningen måste de ha relevanta erfarenheter att knyta an till samt måste eleverna även göras medvetna om dessa erfarenheter. De måste se erfarenheterna i nya sammanhang. Riesbeck (2008, ss. 48-49) har gjort en studie där det beskrivs hur en undervisning fortlöper. Eleverna har av sin lärare fått i uppgift att i en grupporganiserad verksamhet bevisa att triangelns area är hälften av en rektangel. Eleverna ska lösa uppgiften med hjälp av konkret material, de ska klippa, färglägga, bevisa samt diskutera sig fram. De har även fått tillgång till ett papper där de kan se en triangel i en rektangel. De svårigheter som eleverna stöter på är att de inte förstått lärarens budskap, det är inte tydligt nog samt att de inte har ett språk för att förklara vad de gör och tänker. Elevernas samtal förs på ett vardagsspråk vilket gör det svårt att förena det med det matematiska språket. Läraren försöker förankra de geometriska begrepp som eleverna behöver men dessa försvinner i de laborativa övningarna som eleverna gör i gruppen på grund av att de inte är förankrade. Vidare menar Riesbeck (2008, ss. 61-62) att eleverna i denna uppgift pendlar mellan att arbeta med konkret material och samtidigt med hjälp av matematiska tecken, begrepp eller symboler försöka bevisa formeln för triangelns area utan att veta i vilken diskurs de befinner sig i. Författaren menar att eleverna hamnar i olika diskurser när de försöker lösa vardagsproblem och att det är svårt att förena dessa. I denna studie blir eleverna kvar i det konkreta och på så sätt inte delaktiga i lärarens sätt att passera dessa diskursiva gränser. Ett problem var också att varken läraren eller eleverna visste de gemensamma målen för aktiviteten. Eleverna tar inte till sig de matematiska begrepp som läraren tänkt sig när de arbetar med det laborativa materialet. Szendrei (1996, s. 411, 423-424) beskriver faror med att

använda sig av konkret material i sin undervisning. Faror som hon ser är om lärarna inte har kunskapen om materialet som används kan det bidra till att materialet inte används på rätt sätt, om tiden man lägger ner på användandet av konkret material återfås samt om kunskapen eleverna får genom användandet av konkret material är effektivt i vardagen. Författaren menar att konkret material kan vara både till nytta och till skada. Användandet av material i undervisningen ska planeras och användas med försiktighet. D’Angelo och Iliev (2012, s.5) uttrycker begränsningar med användandet av laborativt material. Elever kan se materialet som leksaker vilket innebär att läraren måste introducera materialet. Genom att läraren visar hur materialet används kan eleverna fysiskt se hur materialet ska användas. Lärarna måste även noggrant planera lektionerna där användandet av material förekommer samt måste läraren vara aktiv.

3.7 Var kommer läroboken in?

Till störst del är det lärarna som är ansvariga vid inköp av läromedel vilket innebär att det är läraren som själv avgör valet av vilken lärobok som ska användas i undervisningen. Rektorn har det ekonomiska ansvaret i denna process på grund av fördelningen av de ekonomiska resurserna. På detta sätt är rektorn endast lite involverad vid inköp av läromedel

(Skolinspektionen 2011, s. 6-7). I Skolverkets rapport, Lusten att lära – med fokus på

matematik (Skolverket 2003, s.28), står det att matematik verkar vara det ämne som är mest

beroende av en lärobok. Författarna menar att detta kan vara både på gott och ont. Ett bra läromedel kan bidra till en positiv utveckling av undervisningen men samtidigt kan ett

ensidigt användande av läroboken göra matematiken enformig vilket kan leda till att elever tar avstånd till ämnet. Undersökningen som Skolverket gjort visar att läroboken har en

dominerande roll i undervisningen samt att läroboken har en betydande roll vad gäller lust och olust inför elevernas matematiklärande. Detta gäller delvis i de tidigare åren men är mer uppenbar från år 4-5 och uppåt vilket också inkluderar gymnasiet och vuxenutbildning. Matematikens innehåll, upplägg och undervisning domineras av läroboken. Eftersom

läroboken används till stor del i de svenska klassrummen skapas det problem på grund av att lärobokens innehåll ofta endast fokuserar på att räkna utifrån lösta exempel (Skolinspektionen 2009, s.17). Genom denna form av undervisning begränsas eleverna att utveckla andra

kompetenser. Ett sätt att komma från detta problem är att komplettera uppgifterna i läroboken med andra uppgifter. Malmer (1990, s.46) anser att läromedel i allmänhet tar upp avsnitt som är tematiska som exempelvis verklighetsanknuten matematik. Exempel på områden av denna

art som tas upp i läroböcker kan vara posten, klockan, kommunikation och skogen. Dessa områden har ofta uppgifter som är bra utformade och det finns ofta många övningsexempel till varje område. Malmer menar att det i läroboken finns uppgifter som är strukturerade och tillrättalagda samt försedda med facit. Detta kan man inte säga om verkligheten utan den är ofta komplicerad och svårtolkad. Malmer anser därför att det är viktigt att lärare använder läroboken som utgångspunkt för undervisningen. Johansson (2006, ss. 9, 27-30) undersöker i sin avhandling lärobokens styrande roll i klassrummet. Johansson beskriver sin egen

uppfattning av ämnet matematik där hon minns ämnet som nästintill definierbart med en lärobok. Hur bra man var mättes i antalet sidor man hade hunnit med att räkna i boken. Detta är ofta kulturen i våra svenska klassrum när det gäller matematik. I Sverige är läraren ansvarig för undervisningen samt innehållet i lektionen. Detta kan leda till att utbudet av läroböcker i matematik blir smalt på grund av att utvecklingen av läroböcker följer efterfrågan och förväntningarna på själva boken. Om lärare väljer samma typ av lärobok blir valet av läroböcker på marknaden begränsad. På detta sätt är det läraren som blir ansvarig för vilken typ av läroböcker som finns på marknaden. Läroboken underlättar det dagliga arbetet för läraren och genom att använda sig av en lärobok minskar arbetsbördan för läraren. Det är mycket tid som går förlorad för läraren om han/hon ska utveckla och komma på nytt material från grunden. När det kommer till individualisering finns det oftast i läroböckerna även uppgifter som är graderade efter svårighetsgrad vilket gör att boken även kan individualisera. Detta gör undervisningen i matematik relativt enkel för lärarna. I Sverige är traditionen med läroböcker i matematik djupt rotad och många förväntar sig att läraren använder en lärobok just för att kunna vara säker på att eleverna lär sig det som ska lära sig. Är läraren inte säker i ämnet kan läroboken vara en säkerhet att luta sig tillbaka på. Johansson menar att

lärarstudenter måste få hjälp med att välja vilka läroböcker som är bra att använda sig av samt hur de ska användas. Läroboken ska vara en ram för undervisningen där läraren bestämmer hur styrande denna ram ska vara. I rapporten kommer Johansson fram till att det är självklart att lärare kan avvika från läroboken. Läraren måste utvärdera boken och hitta dess potentialer samt begränsningar. Läroboken ska vara stöd till undervisningen, det vill säga att man ska utveckla det redskap som läroboken redan är. Boken Matematik från början består utav ett urval av författartexter varav en text är skriven av Ahlberg som forskar inom undervisning och barns lärande i matematik. Ahlberg (2000, ss. 21-22) menar att lärare har ett varierat arbetssätt gällande läroboken. Några lärare arbetar med stödet av en lärobok medan andra inte alls använder sig av en lärobok. Författaren anser att det måste få ta tid för lärarna att överge ”den trygga” läroboken och övergå till ett annat arbetssätt. Om man väljer att övergå till ett

annat arbetssätt än att följa boken är det viktigt att man har tydliga mål med sin undervisning och en fast struktur i sitt arbete. Som nämndes ovan är variationen stor bland hur lärare använder sig av läroboken. Ahlberg har funnit tre olika inriktningar som förekommer i undervisningen. Den första inriktningen är att läraren endast använder sig av läroboken. Den andra inriktningen är att läroboken är den huvudsakliga utgångspunkten. Den tredje

inriktningen är att läraren utgår från barnens erfarenheter och planerar undervisningen utifrån detta samt att läroboken endast används till färdighetsträning. Fortsättningsvis skriver

Ahlberg att forskare samt matematikdidaktiker menar att det finns en risk att formalisera undervisningen för tidigt genom att barnen arbetar med abstrakta begrepp och symboler som inte utgår från barnens eget sätt att tänka. Oftast tycker barnen det är roligt att få en lärobok i matematik men det är inte alltid den har en positiv påverkan på barnet lärande.

Undervisningen måste ha en utgångspunkt i barnens egen föreställningsvärld om de ska ges möjligheter till nya erfarenheter.

3.8 Att konkretisera och lärarens roll

Löwing (2006, ss. 115-130) menar att konkretisering är en väg till abstraktion. För att eleverna ska kunna abstrahera måste de veta vad som ska abstraheras. På grund av detta bör undervisningen grundas på något som eleverna redan är bekanta med. Det som ska

abstraheras kan exempelvis knytas till en situation eller metafor som eleverna redan är bekanta med. Man kan även använda sig av ett material som hjälp för att åskådliggöra det som ska abstraheras. Det som är beskrivet ovan kan sammanfattas i ordet konkretisering. Löwing menar att om man arbetar med laborativt material och inte abstraherar efteråt kan man inte kalla det för konkretisering utan anser då att det endast är manipulation. Vidare skriver författaren att skolans elever i verkligheten inte lär sig matematik genom att göra utan istället genom att reflektera över det som görs. Meningen med konkretisering är att bidra till en förståelse och att bygga upp ny kunskap utifrån de erfarenheter som eleverna redan har. Konkretiseringen av matematikundervisningen kan ske på flera olika sätt. Många lärare pratar ofta om konkret material som om materialet hade ett eget liv men Löwing menar att det faktiskt är så att materialet inte är levande utan att det är dött och att det endast är lärarens användning av materialet som kan ge det liv. Meningen med att konkretisera är att man vill åskådliggöra ett matematiskt begrepp, samband eller en operation med hjälp av ett material, en erfarenhet eller metafor. På så sätt används konkretiseringen som ett stöd för språket för att få eleverna till att förstå. Men som nämnts tidigare måste användandet av ett konkret material

kopplas till en idé eller för att matematiken ska få ett djup. När eleverna har abstraherat, vilket innebär att eleverna har förstått den idé man vill belysa, är det viktigt att eleverna får tänka med utgångspunkt i den nya nivån. Om man inte låter eleverna göra detta hindrar man dem från att expandera sitt vetande. I Skolverkets rapport (2011a, s. 29) skriver Löwing,

Fredriksson och Färjsjö att det gäller att ha rätt fokus när man använder sig av konkretisering. Det är lärarens matematikdidaktiska ämneskunskaper som är av betydelse så att läraren använder materialet på ett sätt som leder till de kunskapsmål som finns. Mycket av det material som finns kan användas på många olika sätt med olika syften och här är det lärarens uppgift att bestämma vilken matematik och vilket tänkande som ska synliggöras. Det är alltså inte tillgången på material som är det viktiga utan det viktiga är hur materialet används. Szendrei (1996, ss.429-433) menar att det inte är lätt för en lärare att planera en process från det konkreta till det abstrakta och att lärarens roll i detta arbete är avgörande. Materialet i sig är en artefakt som genom läraren får en mening om läraren använder materialet på rätt sätt. Om materialet leder till konkretisering beror på läraren och dess kunskaper. D’Angelo och Iliev (2012, s.3-5) skriver att lärarens support är vital i användandet av laborativt material. Läraren måste veta när, varför och hur det laborativa materialet ska användas på det mest effektiva sättet. Läraren måste även ha kunskaper som gör att de kan ställa givande frågor till eleverna i situationer där en möjlighet till lärande uppstår.

3.9 Internationella studier

Nedan presenteras de resultat som presenterats i den senaste rapporten från TIMSS och PISA. Jag har valt att ta med dessa resultat på grund av de försämrade resultaten i matematik bland elever i den svenska grundskolan.

3.9.1 TIMSS

TIMSS är en förkortning av Trends in International Mathematics and Science Study och organiseras av IEA. Länder från hela världen deltar i TIMSS och studien genomförs vart fjärde år. De kunskaper som undersöks i studien är matematik och naturvetenskap i årskurs 4 och årskurs 8. TIMSS består av en förstudie och en huvudstudie, en förstudie genomförs för att korrigera mätmetoder och mätinstrument inför huvudstudien. Syftet med studien är att beskriva och jämföra elevers prestationer och att redovisa elevers erfarenheter av och attityder till matematik och NO. Detta sker både nationellt och internationellt. Ett annat syfte med studien är att försöka förklara och förstå trender inom länder och undersöka skillnader i

prestationer mellan länder. Detta sker mot bakgrund av skolans organisation, elevens attityder och situation samt lärarens undervisning. Förutom ovanstående syften mäter och jämför studien även skillnader mellan olika länders skolsystem. På så sätt kan stöd för förbättringar i matematik och NO ges samt kan länderna upptäcka sina egna systems svaga och starka sidor vilket kan bidra till en förbättrad skola (Skolverket 2013). Den senaste undersökningen genomfördes 2011 och var den fjärde studien att genomföras. Resultaten i denna studie visar att svenska fjärdeklassare har förbättrat sina kunskaper i naturvetenskap medan

åttondeklassarnas resultat i matematik har försämrats. Studien har även kommit fram till att svenska elever lär sig mindre i matematik och naturvetenskap mellan årskurs 4 och 8 än i andra länder. Resultatet i matematikkunskaper för årskurs 4 visar eleverna ett lägre resultat om man jämför med genomsnittet för eleverna i EU/OECD-länderna. Om man jämför med studien som genomfördes år 2007 så är kunskapsnivån i matematik bland elever i årskurs 4 oförändrad. Vad gäller elever i årskurs 8 är resultatbilden i jämförelse med andra länder densamma som i årskurs 4. Svenska elevers resultat i årskurs 8 har försämrats markant om man tittar på perioden från år 1995 till år 2011 dock har hastigheten på försämringen trappats ner efter 2003. Studien från 2011 visar att elevernas intresse för matematik och

naturvetenskap är stort i årskurs 4 men svagt i årskurs 8. Denna undersökning är möjlig att göra då samma årskull som deltog i årskurs 4 i TIMSS 2007 deltog i årskurs 8 i TIMSS 2011. Resultaten visar även att elever med välutbildade föräldrar presterar bättre än elever som har föräldrar med lägre utbildning. Elever med mer fördelaktig socioekonomisk bakgrund tycker bättre om att räkna samt har i större utsträckning en hemmiljö som stimulerar lärande

(Skolverket 2012).

3.9.2 PISA

PISA är en studie som genomförts vart tredje år och står för Programme for International Student Assessment. Det är en internationell studie som undersöker elevernas förmågor i matematik, naturvetenskap och läsförståelse. Studien undersöker i vilken grad

utbildningssystemet bidrar till att femtonåriga elever är rustade att möta framtiden. Vart tredje år som studien genomförs är ett av ämnena som undersöks huvudämne men alla

kunskapsområden undersöks varje gång. Detta gör det möjligt att jämföra över tid. Tonvikten läggs på det livslånga lärandet och att eleverna fortsätter att lära sig under hela livet. Frågan som ställs i undersökningen är om hur 15-åringar på ett konstruktivt sätt klarar att analysera, resonera och föra fram sina tankar och idéer. Syftet med PISA är att öka förståelsen för

orsakerna till och konsekvenserna av observerade skillnader i förmåga. Ett annat syfte är att ge politiker goda empiriska underlag. Genom undersökningarna i PISA kan man få

återkommande mätningar av resultat. Länderna kan upptäcka sina egna systems svaga och starka sidor vilket kan bidra till en förbättrad skola (Skolverket 2014b). Den senaste

undersökningen genomfördes i mars år 2012. Det var 4700 15-åringar som deltog och dessa barn var fördelade på 209 skolor. 2500 av dessa barn gjorde även ett digitalt prov. Utöver proven besvarades även en enkät av eleverna där det till exempel fanns frågor om bakgrund, lärande, engagemang samt motivation. Skolornas rektorer har också fått besvara frågor om till exempel lärandemiljö, elevernas inställning och beteende samt lärarnas kompetens och

engagemang. Huvudämne för undersökningen har för andra gången varit matematik vilket har gjort det möjligt att jämföra matematikens utveckling i skolan sedan 2003. Då detta är den femte PISA-undersökningen har man kunnat göra trendanalyser i alla tre ämnen.

Undersökningen visar att svenska 15-åringars kunskaper i matematik, läsförståelse och naturvetenskap fortsätter att försämras. I den senaste undersökningen presterar 25 av 34 länder bättre än Sverige i matematik. Resultaten i alla tre kunskapsområden har försämrats ytterligare mellan 2009 och 2012. I den senaste undersökningen presterar svenska elever under OECD-genomsnittet i matematik, läsförståelse och naturvetenskap. Nedgången i matematik kunskaperna är lika stor hos lågpresterande elever som hos högpresterande elever. Pojkar har försämrat sina resultat i större utsträckning än flickor inom alla tre

kunskapsområdena (Skolverket 2014a).

4

Teoretisk förankring

Nedan följer en beskrivning av det konstruktivistiska perspektivet och vilka teoretiker som ligger till grund för denna teori.

4.1 Det konstruktivistiska perspektivets utveckling

Idén om att kunskap byggs upp genom ett aktivt deltagande istället för ett passivt mottagande grundar sig i Socrates. Denna idé omfattas idag av de som kallar sig konstruktivister. Kunskap kan inte överföras från förälder till barn eller från lärare till elev utan måste aktivt byggas upp genom varje individs tankeförmåga. Den radikala inriktningen inom konstruktivismen

härstammar från den revolutionerande ståndpunkt som Jean Piaget förespråkade under 1930-talet (Glaserfeld 1991, ss.xiii-xix). Piaget var inte den första som föreslog att vi konstruerar våra föreställningar, skillnaden var dock att Piaget var den första som startade denna

utvecklingsprocess (Glaserfeld 1995a, ss. 1-18). Under 70 år tillverkade Piaget ett stort antal böcker och artiklar samt redigerade rapporter vilket gör det svårt att få en sammanhängande förklaring gällande kognitiv utveckling. Piagets tankar och idéer utvecklades och förändrades under årens gång vilket även visade sig i hans verk. Eftersom Piaget producerade många verk är det svårt att summera hans idéer utifrån endast ett fåtal av hans böcker. Den som gör det får ett mycket begränsat perspektiv samt blir de omedvetna om innebörden från andra delar av Piagets verk. Det finns ett stort antal psykologiböcker och artiklar som innehåller en

ofullständig syn på Piagets teori och som även i vissa fall kan innehålla en förvrängd tolkning av hans grundläggande idéer. Det finns många recensenter som har missat eller med vilja har bortsett från det revolutionerande synsätt som låg till grund för Piagets kunskapsteori. Piaget tog ett medvetet steg utanför den västerländska filosofiska traditionen och utan denna

förståelse är det svårt att få en fullständig syn på hans kunskapsteori och av den modell han byggde upp gällande barns införskaffning av kunskaper. Piaget var pionjär gällande det konstruktivistiska synsättet av intellektuella funktioner under 1900-talet. Synsättet var okonventionellt när Piaget utvecklade det under 1930-talet och än idag går det mot en godtagbar syn. Det är ett obekvämt synsätt på grund av att det kräver drastiska förändringar av några fundamentala begrepp som har tagits förgivet i flera år långt tillbaka i historien. Bland dessa begrepp finner man ord som verklighet, sanning och uppfattningen av vad

kunskap är samt hur vi tar till oss kunskap. En del av Piagets tidigare verk innehåller

uttalanden som motsäger uttalanden i senare verk vilket visar på en utveckling av hans synsätt. Det som motiverade Piaget i sin forskning var den process som behandlade de

intellektuella funktionerna hos barn. Han menar att kunskap uppstår från det aktiva subjektets aktivitet, fysisk eller mental, och att det är en mål riktad aktivitet som ger kunskapen dess struktur (Glaserfeld 1995a, ss.53-56).

4.2 Det konstruktivistiska perspektivets lärandeteori

I Piagets konstruktivism finns en kunskapsteori som grundar sig i en biologisk liknelse där organismen måste anpassa sig till omgivningen för att överleva. För att människans

intelligens ska kunna förbli livskraftig måste den genomgå en anpassningsprocess. Dessa anpassningsprocesser benämns assimilation samt ackommodation och utifrån dessa processer formas personliga scheman (Säljö 2010, s.60). Assimilation och ackommodation är centrala begrepp inom konstruktivismen. Med assimilation menas den process då individen tolkar nya erfarenheter med hjälp av redan befintliga begreppsmässiga strukturer. Dessa redan befintliga strukturer kan även benämnas som scheman (Glaserfeld 1995a, s.62). Däremot vid

ackommodation förändras vårt sätt att se på verkligheten. Det uppstår en obalans mellan vår föreställningsvärld, våra kognitiva scheman och vår uppfattningsförmåga av verkligheten. För att få balans igen måste en förändring av de kognitiva strukturerna ske vilket i sin tur leder till att vi ackommoderat en ny typ av händelse. Därefter har vi fått nya kognitiva scheman vilket tillåter oss att assimilera en ny nivå av händelser (Engström 1998, s.22). Denna kunskapsteori kan sammanfattas med att kognitivt lärande och förändring äger rum när ett schema, istället för att producera det förväntade resultatet, leder till perturbation som i sin tur leder till ackommodation som återetablerar balans (Glaserfeld 1995a, s.68).

Konstruktivismen bör ses som en diskurs då den består av en stor teoretisk spännvidd. Detta synsätt består det vill säga inte av någon homogen teoribildning utan kan beskrivas som ett sätt att se på kunskap, lärande och undervisning. Konstruktivismen representerar därav inte det korrekta perspektivet utan det viktiga är att förstå att det representerar ett sätt. Eftersom konstruktivismen är en vetenskaplig verksamhet förändras och utvecklas detta perspektiv genom att forskningens fokus ändras till andra områden och genom att nya frågor ställs inom detta perspektiv. Inom konstruktivismen finns det olika inriktningar vilka har olika betydelser

både teoretiskt och praktiskt (Engström 1998, s.22; 144-145). Under denna kategori kommer konstruktivismen att ta sin utgångspunkt i den radikala konstruktivismen.

I början av 1970-talet blev Piaget återigen aktuell i Amerika och fokus låg då på

konstruktivismen istället för på den stadieteori som Piaget tidigare hade presenterat. Författare började försöka förklara den konstruktivistiska inriktningen men de verkade omedvetna om Piagets grundläggande ståndpunkt i denna kunskapsteori. Piaget hade stor påverkan på Glaserfeld och hans sätt att tänka vilket gjorde att när han undervisade i kunskapsteori ville skilja på sitt synsätt på konstruktivismen som hans studenter kom att möta i annan litteratur. På så sätt formade Glaserfeld ordet radikal med följande två grundsatser (Glaserfeld 1995a, ss.1-18),

• Knowledge is not passively recieved but build up by the cognizing subject,

• The function of cognition is adaptive and serves the organization of the experimental

world, not the discovery of ontological reliaty (Glaserfeld 1995a, s.18).

Den radikala konstruktivismen menar att konsten med undervisning har lite att göra med själva kunskapen i sig, dess grundläggande syfte måste vara att utveckla konsten att lära sig. Konstruktivismen är en teori av kunskap som skiljer sig från den traditionella epistemologin. Konstruktivismen accepterar inte de traditionella grunderna gällande kunskap där skolorna ses som institutioner som ska överföra objektiv kunskap eftersom konstruktivismen ser kunskap som instrumentell. Inom konstruktivismen är det viktigt att eleverna får grunden till varför speciella sätt att agera och tänka är önskvärda. Kunskap som erhålls måste vara trovärdig att fungera. Motivationen hos eleverna höjs om de kan se hur det kan vara användbart att använda kunskapen. På det sätt som skolsystemet är uppbyggt leder till en vidsträckt

uppfattning om att man studerar för att klara en tentamen istället för att bli mer intellektuellt kompetent. Detta gör att den värdefulla tillgången på kunskap ersätt med ett pappersvärde i form av ett certifikat eller examina. Det finns skiljaktigheter med hur kunskaper på bästa sätt ska införskaffas och grunden i den nuvarande krisen gällande undervisning är många och olikartade. Även om en förändring av filosofin genomfördes skulle det inte med detsamma bota denna problematik. Det tar tid att förändra attityder och förväntningar. Konstruktivismen berättar inte för läraren om nya sätt att arbeta men den kan berätta varför vissa inställningar är kontraproduktiva (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Inom den radikala konstruktivismen

konstrueras kunskap av individen genom en adaption av deras subjektiva upplevelse

(Glaserfeld 2000, s.4). Kunskapen handlar om vad vi kan göra i vår erfarenhetsbaserade värld (Glaserfeld 1995b, s.7). Matematisk kunskap är inte något en individ skaffar sig genom att

lyssna på en lärare eller genom att lösa uppgifter i en lärobok. Eleverna måste själva konstruera denna kunskap genom att aktivt söka och skapa mentala samband. När en elev aktivt kopplar ihop hans eller hennes fysiska och sociala miljöer med speciella numeriska och logiska begrepp uppnås en känsla av ägandeskap. Denna känsla av ägandeskap är oerhört viktigt när man inom konstruktivismen pratar om skolmatematik. Lärare har uttryckt att elever tidigare uppfattat skolmatematiken som traditionell där kunskapen redan är bestämt och ägs av läraren eller läroboken. Dock skedde en förändring under 1980-talet då en mängd olika konstruktivistiska matematiklärare runt om i världen försökte förändra detta synsätt. De önskade att lärare skulle skapa undervisningsmiljöer där eleverna själva konstruerade

matematiken och på så sätt fick en känsla av ägandeskap över den matematik de lärde sig (Ellerton 1992, ss.4-5). Den konstruktivistiska filosofin ger lärarna möjlighet att använda sin spontana fantasi där det fantasifulla lärandet finns som bas. Det är av vikt att läraren inte misslyckas med att ge uttryck för tron på att eleven har förmågan att tänka. Eleverna har det i sig i form av en förmåga att konstruera och inte genom färdiga föreställningar (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Om elever ska kunna lösa ett problem i matematiken måste de ha en begreppsmässig förståelse. Eleverna måste även kunna lösa problem med stor variation. De elever som bygger en repertoar av begrepp kan bättre lyckas med nya problem som de möter. Dessa begrepp kan inte överföras från lärare till elev utan begreppen måste ha uppfattats av eleven. Den begreppsmässiga utvecklingen hos en elev som tar sin utgångspunkt i

konstruktivismen skapar ett samband mellan lärare och elev samt skapar en bra stämning hos eleverna (Glaserfeld 1995b, s.4-5). Motivation för fortsatt lärande hos individen utvecklas genom att leda eleven till att själv uppleva tillfredsställelse som finns i problemlösning. Läraren måste lyssna på eleven samt tolka vad eleven gör och säger och försöka bygga upp en modell för elevens begreppsmässiga struktur. Så länge räkneexempel från läraren ligger utanför elevens kunskapsområde blir det svårt för eleven att ändra sin tankegång. Det är av stor vikt att lära studenterna att se varför en särskild idé eller teori är gångbar i ett givet praktiskt sammanhang än att presentera det som en priviligierad sanning (Glaserfeld 1995b, ss.14-15) En variation av källor ger eleverna motivation till att lära vilket bidrar till att läraren måste vara entusiastisk i sin undervisning. Undervisningens aktiviteter måste vara noga utvalda och få eleverna att känna sig lustfyllda och trygga. Inom det konstruktivistiska synsättet är det nödvändigt att eleverna får komma i kontakt med en variation av perceptuella situationer där den begreppsmässiga konstruktionen är i fokus. Begreppen finns inte i fysiska saker utan måste byggas upp individuellt genom reflektiv abstraktion. Med reflektiv

som finns till hands. Fysiskt material som finns till hands är användbara men de måste ses som ett tillfälle att reflektera och abstrahera (Glaserfeld 1995a, ss.176-192).

4.3 Konstruktivismen och det sociala samspelet

Som tidigare nämnts har konstruktivismen som vuxit fram under senare tid grundat sig på Piagets begrepp om assimilation och ackommodation av kunskap samt reflektiv abstraktion. Detta kan förenklas genom att säga att man skapar sig en förståelse utifrån sina erfarenheter i förhållande till existerande kunskap. Den radikala konstruktivismen har bidragit till givande arbeten om matematikinlärning och att många författare brottas med hur problemet gällande hur det sociala ska fogas in i konstruktivismen (Engström 1998, ss.26-28; 106-109). Om man ser till den radikala konstruktivismen inriktar den sig utifrån ett individualistiskt perspektiv vilket gör att man kan få en känsla av att Piaget utesluter social interaktion och att betydelsen av sociala faktorer inte spelar in när kunskap konstrueras (Glaserfeld 1995b, ss.11-12). Piaget har blivit kritiserad för att inte ha med det sociala samspelet i sitt synsätt vilket inte stämmer. Piaget har med i nästan alla sina verk att de viktigaste orsakerna till att ackommodation uppstår genom socialt samspel. Dock lade han inte ner mycket tid på det sociala samspelet och hur detta samspel skulle fungera utan ägnade sig istället åt de logiska strukturerna. När man pratar om socialt samspel syftar man oftast på språket. Det sociala samspelet har grundläggande betydelse när man ska förvärva nya begrepp. Den sociala komponent som finns med i utvecklingen av den begreppsmässiga kunskapen har kommit att kallas för social konstruktivism. Den sociala konstruktivismen är något som utvecklats under senare tid inom matematiken och grundar sig på teorier från Piaget vilket bidrar till att den sociala

konstruktivismen är en utveckling av den radikala konstruktivismen (Glaserfeld 1995b, ss.11-12).

Utgångspunkten för denna kategori är den sociala aspekt av konstruktivismen som Glaserfeld menar är nödvändig för vidare utveckling. Aspekten riktar sig mot att lokalisera studenters matematiska utveckling i sociala och kulturella sammanhang och samtidigt betrakta lärandet som en process av anpassningsbara omorganiseringar. Genom aktivitet bidrar den individuella eleven till en utveckling av de matematiska övningar som utförs i klassrummet och denna aktivitet kan både möjliggöra och begränsa eleverna i sin individuella process. Varken den individuella studentens matematiska resonemang eller mikrokulturen i klassrummet är tillräcklig om inte de andra i klassrummet är delaktiga. Det finns ett beroendeförhållande