Fakulteten för lärande och samhälle Vidareutbildning av lärare
Examensarbete i fördjupningsämnet matematik och lärande
15 högskolepoäng, grundnivå
”Då får jag gå ut här hela vägen till femman,
sen fick jag gå upp i y”
- om elevers användande av matematikord för att
beskriva, lösa och förklara matematikuppgifter
About pupils’ use of mathematical terms when describing, solving
and explaining mathematics tasks
Jenny Iwarsson
Examen, poäng: 270 hp Examinator: Petra Svensson Källberg
Förord
Det har stundvis varit en pärs att skriva examensuppsats samtidigt som jag jobbat heltid som lärare, tagit hand om mina barn och gjort allt annat som livet kräver av en vuxen. Den här uppsatsen har tagit fyra år att färdigställa. Under de fyra åren har jag bytt arbetsplats en gång, båda mina barn har börjat skolan (!), personer i min omgivning har dött, har överlevt svåra sjukdomar, och fötts, och många hundratals elever har passerat mitt klassrum. Jag har varit trött. Samtidigt känner jag mig nu i sluttampen stärkt av upplevelsen. Jag kunde! Det gick!
Livet blir inte som det ska, det blir som det blir. Vägar är krokiga.
Tack till de elever som med fullt förtroende för mig och mina upptåg gav mig av sin tid och sitt engagemang så att denna studie kunde bli verklighet.
Tack även till mina gamla lärarutbildare, framför allt Bosse och Bodil, som när jag gick utbildningen i början av 2000-talet gav mig välbehövligt självförtroende och förståelse, och en känsla av att jag är bra på detta, något jag försöker förvalta i min vardag.
Och tack till de rektorer och alla kollegor jag haft under resans gång, och mina vänner, som erbjudit pepp och stöd, och tålamod, när det behövts. Och förstås, min handledare. Tack.
Skivarp, januari 2020 Jenny Iwarsson
Abstract
Detta examensarbete är en studie på min egen lärarpraktik i matematik. Studien tittar på hur elever i grundskolans årskurs 9 använder matematikord när de beskriver, löser och förklarar matematikuppgifter. Syftet med studien är att utveckla min lärarpraktik samt att ge större utrymme för en matematisk kommunikationskultur i klassrummet.
De teoretiska utgångspunkterna som använts är det sociokulturella perspektivet på kunskap genom språket, samt Gudrun Malmers texter om kommunikativ matematik (1990, 2002, 2003). Även forskning om begreppsförståelse som gjorts inom fysikområdet har tittats på.
Eleverna som deltog i studien fick lösa givna uppgifter och sedan filma sina egna lösningar och i filmen berätta om hur de löste uppgifterna. Det som analyserades var vad de sa i filmerna utifrån forskningsfrågorna.
Studiens resultat visar på att eleverna mest använder vardagsord och pekningar när de beskriver uppgifterna och sina lösningar, samt att deras språkanvändning inte påverkas av uppgifternas formuleringar.
Innehåll:
1 Inledning...7
2 Syfte och frågeställning...10
3 Teoretiska perspektiv...11
3.1 Om kunskap och förståelse...11
3.2 Matematiken...13
3.2.1 Matematik som ett kommunikationsämne...13
3.2.2 Matematiken: funktioner...15
3.3 Sociokulturell syn på lärande...15
3.3.1 Vygotskij...15
3.3.2 Sociokulturella begrepp...16
4 Tidigare forskning...19
5 Metod...23
5.1 Undersökningsmetod...23
5.2 Genomförande och datainsamling...23
5.3 Presentation av testuppgifterna...24
5.4 Analysmetod...25
5.5 Urval av elever...26
5.6 Reliabilitet och validitet...26
5.7 Forskningsetik...27
5.7.1 Informationskrav...27
5.7.2 Samtyckeskrav...28
5.7.3 Konfidentialitetskravet...29
5.7.4 Nyttjandekravet...29
6 Resultat och analys...30
6.1 Resultat...30
6.1.1 Uppgift 1...30
6.1.2 Uppgift 2...31
6.1.3 Uppgift 3...33
6.2 Analys...34
7 Slutsats och diskussion...37
7.1 Resultatdiskussion...37
7.2 Metoddiskussion...39
7.3 Vidare nytta och forskning...40
8 Referenser...41 Bilagor
(i) Testuppgifterna
(ii) Instruktioner för filmandet (iii) Brev till vårdnadshavare
1 Inledning
Under de år jag arbetat som lärare inom skolan, har elevernas förståelse av det de arbetar med varit ett av mina självuttalade mål med min undervisning. Jag har tänkt på förståelse som något vi utvecklar i förhållande till kunskap, där kunskap har en rigidare betydelse. Ett exempel från matematiksfären i försök att förklara hur jag resonerat är automatiseringen av multiplikationstabellen, vilket många lärare i matematik lägger mycket tid och energi, och frustration, på att få sina elever att lära sig. Jag anser att automatiseringen av multiplikationstabellen är bra och användbar kunskap, men att förståelse av multiplikationsbegreppet är precis lika bra och användbart, i många fall mer så, eftersom det möjliggör användning utanför tabellens egna begränsningar. Det är ett personligt exempel då jag själv under hela min skolgång, och även nu, inte har automatiserat multiplikationstabellen, trots att jag undervisat i matematik i många år i årskurs 7-9, och haft synnerligen lång tid på mig. Automatiseringen av multiplikationstabellen är även kunskap som är lätt att mäta, att kvantifiera, något som även det görs i många klassrum; på tid, i mängd, osv. Detta berör den problematik jag ofta stått inför i mitt arbete; hur mäter jag elevernas förståelse? Går det att mäta förståelse? Jag har under åren haft många diskussioner med kollegor om vad förståelse är för något, hur vi arbetar med förståelse, hur vi får syn på, och hur vi mäter förståelse. Min erfarenhet är att förståelse är svårt att kvantifiera, på samma sätt som utantillkunskap (vare sig det handlar om automatisering av tabeller, verbformer eller kungar; för att ta några klassiska exempel) är lätt att kvantifiera. Svårigheten ligger i att få fram de matematiska tankarna utan att fastna i det mekaniska, det algoritmiska, procedurförfarandet. Forskning om svenska gymnasieelevers matematikkunskaper har visat att just procedurella kunskaper dominerar men att begreppsförståelse och konceptuella kunskaper samtidigt är bristfällig (Rydberg, 2014). Att använda sig av muntliga uppgifter, gruppuppgifter och intervjuer är alla bra sätt att få fram de matematiska tankarna, som kan ses i en uppsjö exempel i litteraturen och studier (Sjöström, 1998, Riesbeck, 2006, Nyström & Palm, 2001), och även i min egen och många kollegors erfarenhet av att genomföra den muntliga delen av det nationella provet i matematik i årskurs 9. Det är även otroligt tidskrävande för den inblandade läraren, och därmed svårt att implementera i klassrummet (Nyström & Palm, 2001). Att få ihop den här till synes omöjliga situationen har varit min målsättning; att hitta sätt att arbeta med eleverna där jag kan få syn på deras förståelse, eller brist på sådan, för att kunna bygga vidare på den, och för att kunna bedöma den.
hur och för vem? Vad vi ska lära ut finns reglerat i läroplanen och kursplanerna (Skolverket, 2011) och för vem beror såklart på ens arbetsplats och vilka som hamnar i ens klassrum. På frågorna varför och hur är däremot inte svaren lika givna, och begrepp som kunskap och förståelse behöver problematiseras för att bli betydelsefulla. I kapitel 3.1 skriver jag mer om begreppen kunskap och förståelse.
I första kapitlet, andra meningen, av läroplanen, LGR11, står det att läsa att enligt Skollagen ska utbildningen syfta till att ”elever ska inhämta och utveckla kunskaper och värden” (Skolverket, 2011). Texten beskriver vidare dessa värden; som de demokratiska värden som svenska samhället vilar på, mänskliga rättigheter, individens frihet, alla människors lika värde, jämställdhet och solidaritet mellan människor, m.fl., och beskriver ett mål av inkludering och jämlikhet som ska prägla skolan och alla elevers utbildning. Alla dessa värden, och de perspektiv som behöver tas hänsyn till, radas upp och förklaras. I slutet av kapitel 1 problematiseras begreppet kunskap och den enskilda skolan uppmanas ständigt föra diskussion kring kunskapsbegreppet för att inte missa former av det, och, gissningsvis, inte fastna i gamla mönster och vanor. Kunskap, står det, ”kommer till uttryck i olika former – såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrolighet – som förutsätter och samspelar med varandra” (Skolverket, 2011). I kapitel 3.2 skriver jag om vad Skolverket skriver; vad som står i läroplanen och kursplanerna i Matematik.
Jag har även tagit inspiration från Gudrun Malmer (2002), hennes inlärningsnivåer och fokus på kommunikation när jag planerat denna studie. I ett nummer av Nämnaren, 2003, skriver Malmer att ”[f]ör nutidens människor krävs det ständigt nya utmaningar, inte minst vad det gäller att anpassa sig till ett alltmer automatiserat liv. Den manuella betjäningen ersätts i ett accelererande tempo av automatik. För detta krävs ett välutvecklat språk för att förstå instruktioner. Men därutöver behövs ett stort mått av logiskt tänkande för att omsätta instruktionerna i handling” (Malmer, 2003, s. 37). 17 år senare känns detta mer relevant än någonsin, och platsen att utveckla detta tänkande är våra matematikklassrum, och då krävs det större utrymme för kommunikation. Jag skriver mer om Malmers inlärningsnivåer i kap 3.2, samt om matematik som ett kommunikationsämne och matematiken som berörs i min studie. Vidare skriver jag om sociokulturell syn på lärande och språket som verktyg för lärande i kapitel 3.3.
I kapitel 4 beskriver jag tidigare forskning som berör matematik och språk, samt begreppsförståelse och begreppsutveckling. Dessa kan på olika sätt kopplas till min studie. I kapitel 5 redogör jag för studiens utformning och genomförande, samt tillförlitlighet och kraven som ställs på vetenskapliga
studier. Kapitel 6 består av min studies resultat och analys av dessa resultat. I kapitel 7 försöker jag väva samman alla tankar jag tänkt och slutsatser jag dragit, samt att blicka framåt i mitt eget yrkesutövande och vilka behov jag ser.
2 Syfte och frågeställning
Det här är en studie som handlar om hur elever i grundskolans årskurs 9 använder matematikord för att beskriva, lösa och förklara matematikuppgifter. Matematik innehåller många abstrakta begrepp som vi behöver förstå för att förstå matematiken, men trots det testas oftast matematikkunskaper i grundskolan utifrån metoder och procedurer med hjälp av skriftliga prov och uppgifter. Jag vill istället undersöka hur eleverna pratar om matematikuppgifterna för att se hur de använder de vedertagna matematiska begreppen. Detta utifrån den sociokulturella förståelsen av språket som artefakter, och artefakters betydelse för tänkande. Tänkande är som att ha ett sorts samtal med sig själv, enligt Vygotskij (Säljö, 2005). Genom att bjuda in andra att lyssna på det samtalet kan kunskap och förståelse synliggöras, ungefär som vi gör när vi skriver böcker, eller håller föreläsningar. Jag vill komma åt elevernas förståelse, och mina studier och min beprövade erfarenhet säger mig att ett sätt att göra det är att få dem att prata. Eftersom förståelse är svårt att komma åt har jag valt att använda begreppsförståelse för att få en ingång, där begreppsförståelse är knutet till det språkliga användandet av begreppen. Jag hade kunnat välja intervju som metod för denna studie, men eftersom jag har som mål med min egen undervisning att använda teknik som står till mitt förfogande för att bättra på förutsättningarna för att eleverna utvecklar förståelse, och för mig att få syn på den, så valde jag att låta eleverna filma sig själva. Genom att låta elever enskilt filma sina lösningar till matematikuppgifter, där de beskriver och förklarar tankar och strategier blir underlaget för läraren mycket rikare i jämförelse med konventionella skriftliga sätt, samtidigt som det tar mycket mindre av lärarens tid i anspråk jämfört med intervjuer. Jag vill försöka mig på att visa ett konstruktivt sätt att använda just film som metod för att skapa utrymme för kommunikativ matematik inom ramen för ordinarie undervisning. Jag är i förlängningen intresserad av att undersöka huruvida matematikklassrumskulturen kan förändras, från en göra-kultur till en kommunikationskultur med hjälp av möjligheterna som ges av digitala verktyg. Samt om detta är en möjlig metod att få syn på, och mäta, förståelse.
Forskningsfrågorna är
1. Hur förklarar elever i grundskolans årskurs 9 muntligt sina lösningar till olika matematikuppgifter?
2. Vilka, om några, förändringar sker mellan det skriftliga lösandet av matematikuppgiften till den muntliga förklaringen av uppgiften?
3 Teoretiska perspektiv
I detta kapitel redogör jag för hur kunskap, förståelse och begreppsförståelse används och förstås i denna uppsats, samt beskriver en studie inom fysik som tydliggör hur begreppsförståelse, eller snarare brist på den, ibland är svår att få syn på och hur det leder till svårigheter för elever. Vidare beskriver jag vad matematik som kommunikationsämne handlar om, och beskriver vad som gjorts för att matematikämnet i svensk skola ska bli mer av ett kommunikationsämne. Jag presenterar även kort den matematik som finns med i min studie. Slutligen redogör jag för den sociokulturella synen på lärande, och förklarar de begrepp inom det sociokulturella som sedan används för tolkning av resultatet i min studie.
3.1 Om kunskap och förståelse
”Man förstår världen på ett annat sätt när man förstår den än när man inte förstår den” (Fibæk Laursen, 2004, s. 66).
Ett av de främsta styrdokumenten för grundskolan är Lgr11, Läroplanen för grundskolan (Skolverket, 2011). Som jag skrev i inledningen så hittar vi redan i slutet av kapitel 1 av Lgr11 en uppmaning till problematisering av begreppet kunskap, och en uppmaning att ha en aktiv diskussion om vad kunskap innebär, hur utveckling av kunskap sker, samt vilken kunskap som ses som viktig kunskap. (Skolverket, 2011). Fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet listas som olika uttrycksformer av kunskap. Det upprepas i texten att alla dessa former tillsammans bildar en helhet och att alla former måste ges utrymme. I kapitel 2 av Lgr11 beskrivs skolans uppdragsbeskrivning, alltså det som jag som lärare måste förhålla mig till i mitt praktiserande av yrket. I texten beskrivs vad målet med skolan är, och vad skolan ska ansvara för och bidra till. Texten innehåller många referenser till begreppet kunskap, men ingen vidare problematisering av det, dock poängteras elevernas ”harmoniska utveckling” (Skolverket, 2011, s. 8) som refererar till ovan nämnda helhet som bildas genom att med olika arbetsformer och innehåll utforska de olika uttrycksformerna av kunskap; fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. Det nämns även att undervisningen i skolan ska organiseras och genomföras så att eleven ”får använda digitala verktyg på ett sätt som främjar kunskapsutveckling” (Skolverket, 2011, s. 11).
(Engström, 1998), vilket även präglar nuvarande läroplan. Inom konstruktivismen är inte kunskap något som är överförbart från en person till en annan, utan kunskap fås genom en aktiv process hos den som lär sig. Kunskap ses vidare inte som avbildning av verkligheten, utan snarare som ett sätt att göra verkligheten begriplig, och därmed är det även kontextberoende (Engström, 1998).
Fibæk Laursen (2004) skriver att det primära målet med skolan är förståelse. Han menar att förståelse av världen omkring oss ger människor en upplevelse av sammanhang och ett utrymme att använda vår kunskap, skolinlärd och livsinlärd, i andra kontexter än där den lärdes in. Han beskriver också att när nivån av förståelse inte är tillräckligt hög för den inlärda kunskapen så kommer den inte ersätta den vardagliga (primitiva, som Fibæk Laursen (2004) kallar den) förståelsen eller uppfattningen om samma sak. Han ger bl.a. exempel från fysiken där vi lär oss om vad Newtons lagar säger, men ändå har svårt att förklara en vardaglig företeelse såsom vad som händer när en bil bromsar, i termer av dessa lagar.
Just den typ av förståelse, som är kontextbunden och specifik, och inte vardaglig, kommer vidare i denna uppsats benämnas som begreppsförståelse. Ordet begrepp syftar enligt Nationalencyklopedin på ”det abstrakta innehållet av en språklig term” (u.å.) och begreppsförståelse förstås således som förmågan att se, använda och förklara detta abstrakta innehåll som är kopplat till begreppet.
I början av 80-talet genomförde Halloun och Hestenes (1985) en studie på cirka 1 000 universitetsstudenter i USA, som gick introduktionskurs i fysik, där deras begreppsförståelse testades, då de märkt att många studenter lyckades så dåligt på examinationerna trots att de matematiskt kunde lösa komplexa fysikaliska problem med givna formler. Studien heter Force Concept Inventory och bestod av frågor av flervalskaraktär där begreppsförståelsen om vardagsfenomen snarare än skolfysiken testades. Frågorna gavs till studenterna innan de började kursen och sedan efter att de avslutade kursen (som handlade om mekanik). Studenterna presterade endast marginellt bättre efter kursen än innan, och resultatet såg likadant ut i alla grupper, oavsett lärare och oavsett om föreläsningarna lagt tyngdpunkt på problemlösning eller grundläggande begrepp. En slutsats som drogs var att studentens förkunskaper hade större betydelse för slutresultatet än undervisningen de fått, och ”the implications of failure on the part of conventional instruction could hardly be more serious” (Halloun & Hestenes, 1985, s. 1048). I början av 90-talet utvecklade Eric Mazur, professor i fysik vid Harvard University, utifrån ovan nämnda studie (som han reproducerade med sina egna studenter med samma resultat) ett arbetssätt som kallas Peer Instruction, där studenterna, utifrån frågor liknande dem i studien; flervalsfrågor där
begreppsförståelse testas, förklarar för varandra (Crouch & Mazur, 2001). Att Peer Instruction leder till att fler elever lär sig beror på två saker, dels att de elever som precis har lärt sig har kvar förståelsen av vad det var som var svårt att förstå, något en lärare som haft kunskapen under lång tid kan ha svårt att veta. Elevernas proximala utvecklingszoner överlappar varandra och därmed blir inte förklaringen för avancerad utan mer anpassad för den uppnådda kompetensen eleven har (Säljö, 2014). Det beror även på att Peer Instruction är en aktiv process där eleverna är delaktiga i en social aktivitet, där vi lär oss genom att prata med andra (Säljö, 2014).
3.2 Matematiken
Begreppsförståelse inom matematik kan ses som hur väl en förstår, tolkar och använder matematiska begrepp. Matematiska begrepp är oftast abstrakta och har specifik och kontextbunden betydelse, ibland en helt annan än vad begreppet betyder i vardagliga termer.
3.2.1 Matematik som ett kommunikationsämne
I kursplanen för matematik redogörs det för vad elever ska möta för matematik i skolan, samt vilka förmågor de ska ges förutsättning att utveckla. För grundskolans senare år (7-9) är det fem förmågor som listas och av dessa är den sista av särskilt intresse här. Det står att genom ”undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser” (Skolverket, 2011, s. 55). Detta handlar om kommunikation. Ordet kommunikation betyder enligt Svenska Akademiens Ordböcker ”överföring av information” eller ”överföring av (intellektuellt) innehåll” (2019). Kommunikation kommer i denna uppsats förstås som detta i verbal form, alltså i form av användning av ord och begrepp i samtal eller liknande språkligt uttryck.
Gudrun Malmer har skrivit mycket om språket och kommunikationens roll i matematik-undervisningen, t.ex. hur stor vikt språket har för begreppsbildning i matematik, språkets roll för det logiska tänkandet och kommunikationens roll i hennes olika inlärningsnivåer i matematik (Malmer, 1990; Malmer, 2002; Malmer, 2003). Det handlar delvis om att ge elever utrymme att formulera sina tankar i ord så att de kan komma i kontakt med sitt tänkande, ”vilket också kan göra dem medvetna om inte bara vad de vet, utan också hur de vet det” (Malmer, 1990, s. 39, hennes kursivering). I sin erfarenhet med att jobba laborativt med elever med matematik har Malmer erfarit
situationer där elever kunnat dra logiska slutsatser och löst problem, men saknat språket för att motivera och beskriva vad de gjort (Malmer, 1990). Detta är en viktig insikt för oss som jobbar med elever, men gör även situationen synlig för eleven, att den faktiskt saknar språket som den behöver.
De ovan nämnda sex inlärningsnivåerna består kortfattat av rubrikerna Tänka/tala, Göra/pröva, Synliggöra, Förstå/formulera, Tillämpning och Kommunikation (Malmer, 2002). Nivån Tänka/tala har en stor språklig komponent, då den handlar om att ”komma i kontakt med de erfarenheter eleverna redan har” (Malmer, 2002, s. 31), att sätta ord på dessa genom att utöka deras ordförråd, samt att lära sig beskriva saker. Nivå Förstå/formulera handlar även den mycket om språket, då fokus är på att tolka symboler i det matematiska symbolspråket, och matematiska begrepp och att sedan redovisa detta med hjälp av samma symbolspråk. Det är ”stor skillnad mellan en förmåga att lösa ett problem och att kunna redovisa det med hjälp av det matematiska symbolspråket” skriver Malmer (Malmer, 2002, s. 38). Den sista nivån, Kommunikation, handlar om att reflektera kring kunskaper i matematik, vad ska vi ha dem till? vad har vi för användning av dem? osv. Men även att lösa problem tillsammans, att i grupp samarbeta och diskutera, där andras reaktioner tvingar fram större tydlighet i vårt uttryck; att använda matematikens möjligheter till att ”öva upp och utveckla förmågan att kritiskt granska, reflektera, argumentera och diskutera” (Malmer, 2002, s. 43) (all kursivering i detta stycke är hennes kursivering).
Just i det reflekterande samtalet, som Malmer (2002) kallar det, får elever tillgång till nya idéer och där kan även eleverna ta större ansvar för sin egen kunskapsutveckling, något som rimmar med målen uppsatta i läroplanen (Skolverket, 2011).
Matematikämnet har länge präglats av att vara ett göra-ämne där metoder och räknande stått i centrum, med mycket så kallad tyst räkning, något som framkommer i diverse rapporter på tidigt 90-tal (Nämnaren, 2000) och när Lpo94 (Läroplanen som gällde innan Lgr11) kom stod det i kursplanen för matematik bl.a. att ”[u]ndervisningen i matematik skall ge eleverna möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem” (Nämnaren, 2000, s. 13). I samband med Lpo94 släppte NCM (Nationellt Centrum för Matematikutbildning) en temabok av sin tidskrift Nämnaren, som fokuserade på matematik som ett kommunikationsämne, och innehöll artiklar och konkret undervisningsmaterial för att stödja lärare i övergången till de nya styrdokumenten (Nämnaren, 2000). Annat som gjorts i riktning från göra-ämne mot kommunikationsämne är införandet av muntlig del i det nationella provet i matematik för årskurs 9,
med formella bedömningskriterier (de nationella proven var även de nya sedan Lpo94 (Wennerholm, 1994)). Det gjordes i steg med lite olika implementationer och mellan dem utvärderades och utvecklades de. I Äp98 fanns muntlig del utan specifika uppgifter och bedömningskriterier, i Äp00 med tydligare anvisningar och klart definierade uppgifter, och 2002 med uppgiftsanpassad bedömningsmatris (Kjellström, 1999; Kjellström, 2001). Detta föregicks även av diskussioner och argumenterande, vilket kan läsas i flertalet nummer av Nämnaren. T.ex skrev Nyström och Palm (2001) att ”[d]ominansen av skriftliga prestationer i samband med formell bedömning i matematik riskerar att signalera till eleven att det endast är skriftlig kommunikation som är viktig” (s. 37) och att ”[e]rfarenheterna vid utvärderingar av muntlig bedömning i samband med nationella prov visar hur elever som inte lyckats särskilt väl vid den skriftliga lösningen av en uppgift själva upptäcker samband och förstår saker när de tvingas formulera dem i ord” (s. 36).
3.2.2 Matematiken: funktioner
Uppgifterna som eleverna i denna studie fick lösa handlar om funktioner och de beskrivs i kapitel 5.3. Funktioner i matematik beskriver ett samband mellan två (eller fler) variabler, alltså värden, som förändras. De variabler som av tradition används är x och y. En funktion kan representeras på flera sätt. De sätt som används i denna studie är med ord, som koordinater i en värdetabell över värden på x och y, med hjälp av en graf (alltså en typ av bild) och som en formel (ett algebraiskt uttryck).
3.3 Sociokulturell syn på lärande
3.3.1 Vygotskij
Det sociokulturella perspektivet på lärande är inspirerat av Vygotskij, rysk intellektuell och doktor i psykologi, och hans forskning om utvecklingspsykologi, där han ifrågasatte och utmanade vad psykologer tidigare sett som sanningar om samspelet mellan tanke, språk och sociala sammanhang (Vygotskij, 1986; Säljö, 2005). Vygotskijs slutsats var att språket i första hand är ett redskap för kommunikation med andra i ett socialt sammanhang, och först i förlängningen blir ett redskap för tänkande, och att tänkande är ett sorts samtal med sig själv (Säljö, 2005).
3.3.2 Sociokulturella begrepp
Tre huvudsakliga begrepp inom det sociokulturella perspektivet som är relevanta i detta arbete är artefakter, mediering och kontext.
Artefakter kan sägas vara alla redskap vi använder oss av vad vi än gör. Dessa redskap är både
fysiska och språkliga, och vi använder dem som kulturella resurser för alla tänkbara ändamål. Att se fysiska redskap som kulturella resurser ter sig ganska självklart. Att se språket som sådant kanske är svårare, men även språket är något vi lär oss använda, precis som kniv och gaffel. Säljö (2005) kommenterar det hela så här;
”Det kan förefalla egendomligt att kalla ord och uttryck för artefakter, allra helst om man kan gå med på att vår språkliga förmåga är medfödd och artspecifik. Men /.../ det finns inget naturligt – i meningen naturgivet – i våra sätt att tala och tänka. De är lika konstgjorda och historiskt föränderliga som vilken fysisk artefakt som helst” (s. 33).
Det är artefakterna som kopplar ihop våra tankar med världen runt omkring oss, orden eller de fysiska redskapen. Dessa blir integrerade i vår vardag. En kalender, eller en penna, har i sig inga intressanta egenskaper, men när de kommer i kontakt med en människa som använder dem till specifika ändamål blir de en del av intellektuella eller sociala praktiker. De samspelar, så utan verktygen hade inte samma tankar funnits. Tankarna finns inte i artefakten, men inte heller enbart i användarens huvud, utan ”vi tänker i symbios med kalendern” (Säljö, 2014, s. 75). Vi förstår det som att vi människor står i indirekt kontakt med vår omgivning. Vi använder artefakter för att vår förståelse av verkligheten är i termer av artefakter. T.ex. så förstår vi antal i termer av siffror, för utan siffror kan vi bara förstå förhållandet; alltså fler eller färre, mindre eller större. På samma sätt förstår vi tid i termer av klockor, eller kalendrar. Mediering innebär att redskapen vi har till vårt förfogande hjälper oss att varsebli omgivningen, samt formar vårt tänkande och blir en integrerad del av hur vi agerar och tänker. Med hjälp av artefakter löser vi problem och lär oss behärska sociala praktiker som utan dem varit omöjligt att göra (Säljö, 2014).
Eftersom medieringen sker med de redskap vi har till vårt förfogande, så finns det alltså väldigt många olika sorters mediering. Att mäta längden av ett fält, t.ex., för att förstå hur långt det är, kan göras på många olika sätt. Det kan mätas i steg, som inte kräver någon direkt matematisk kunskap och förståelse utöver antal men ger ett oexakt resultat. Här sker medieringen med kroppen och kunskapen om stegets längd. Att i stället använda metersystemet med någon form av standardiserat
mätverktyg ger ett mer exakt resultat, men kräver både matematiskt språk och standardiserade verktyg eftersom medieringen sker genom dessa. Vi använder och samspelar med artefakter, såväl fysiska som intellektuella och språkliga, för att förstå och tänka kring verkligheten (Säljö, 2014).
Kommunikation med andra gör oss delaktiga och de ord vi använder medierar världen runt omkring oss och gör den meningsfull, ”[s]pråklig kommunikation /.../ är således den medierande länken mellan social interaktion och individers tänkande” (Riesbeck, 2008, s. 51). För det sociokulturella perspektivet har språk tre funktioner; den utpekande funktionen, den semiotiska (eller semantiska) funktionen, och den retoriska funktionen (Säljö, 2014, s. 83). Den utpekande funktionen (Vygotskij kallade denna för indikativ) är ersättningen för pekfingret. I stället för att peka på bordet så säger vi ordet bord, vi benämner helt enkelt föremål i vår omgivning. Vidare med språkets hjälp behöver föremålet inte vara närvarande, eller vara konkret, för att vi ska kunna peka ut det. Vi kan prata om saker som är långt borta och även om saker som är så små att vi inte kan se dem med blotta ögat. Vi kan frigöra oss från det fysiska rummet, och även abstrakta föremål som känslor går att peka ut.
Den semiotiska funktionen handlar om relationen mellan språkliga uttryck och de företeelser de refererar till, och innefattar dess flexibilitet och förmåga att utvecklas. Det är i dess semiotiska funktion som språkets kraft som medierande artefakt verkligen finns. Säljö uttrycker det som att ”språkliga uttryck refererar inte enbart till en företeelse eller ett objekt, de betecknar också och signalerar mening/innebörd” (Säljö, 2014, s. 85). Han menar vidare att i relationen mellan ett uttryck och det uttrycket relaterar till ”finns väsentliga delar av det vi kallar kunskap” (Säljö, 2014, s. 85). Sättet vi pratar om något har betydelse, för det påverkar vad vi förmedlar, och det fungerar i en kontext. Beroende på vilka aspekter vi lyfter fram när vi beskriver något, eller någon, så gör vi olika bedömningar och det leder till olika typer av handlingar. Språkliga uttryck ur ett sociokulturellt perspektiv är inte neutrala, utan bär med sig flera dimensioner, värderingar och antaganden.
Språkets retoriska funktion handlar om hur vi kan kommunicera väldigt mycket med en utsago beroende på omständigheterna i vilken de sägs. ”Glaset är fullt” betyder t.ex. inte bara att det faktiska glaset är fyllt med något, utan signalerar även optimism.
Det ovan nämnda första sättet att mäta fältet, med steg, kan liknas vid hur ett barn utan matematiskt språk skulle göra för att veta hur bred studsmattan är. Att ett barn säger att det får plats med tre kompisar på rad som svar på hur lång studsmattan är ses nog som en begriplig och rimlig
mediering. Däremot förväntar vi oss mediering med matematiskt språk och standardiserad enhet om längden av studsmattan i en annons. Omvänt skulle barnet föredra kompis-medieringen, då hen inte har det matematiska språket och därför inte skulle förstå innebörden av det.
Förutsättningen för oss att förstå vår omgivning och de sammanhang vi befinner oss i på ett sofistikerat sätt, är de intellektuella artefakter som språket erbjuder (Säljö, 2014).
4 Tidigare forskning
Nedan redogör jag för forskning som handlar om matematik och språk, och som handlar om begreppsförståelse och begreppsutveckling. En del av forskningen rör fysik och inte direkt matematik, men är vald då jag anser att den illustrerar begreppsförståelse på sätt som går att relatera till min studies resultat.
Riesbeck har gjort ett flertal studier som handlar om matematik och språk ur ett sociokulturellt perspektiv med fokus på diskurs (Riesbeck, 2006, Riesbeck, 2008). I sin avhandling (Riesbeck, 2008) undersöker hon i flera studier klassrumskommunikation mellan elever och lärare. I en av dessa, en videofilmad lektion i en årskurs 5 som handlar om triangelns area och begreppen som hör därtill, tittar hon på hur samtalen ser ut mellan lärare som eleverna, samt mellan eleverna då de ges möjlighet till gruppsamtal. Hon beskriver att när läraren styr samtalet används ett matematiskt språk, men att begreppen inte är förankrad hos eleverna, så de använder vardagsspråk mellan varandra, trots lärarens uppmaning till diskussion om begreppen. En av de andra studierna (Riesbeck, 2006) tittar på hur livsvärlden, alltså den kontext med tillhörande kunskaper som eleverna befinner sig i utanför skolan, påverkar deras förmåga att ta till sig och förstå det matematiska innehållet, och hur skolan medvetet kan välja kontext och arbetssätt för att överbrygga detta. Studien behandlar decimaltal och elever i årskurs 5 och 6, och de får i tre olika sorters kontext, med olika arbetssätt – olika tolkningsförutsättningar - lösa likvärdiga uppgifter, varpå de i samtal får diskutera varför de tror att deras svar är rätt. Hon beskriver att när eleven blir inbjuden till delaktighet och interaktion, och är med om att skapa innehållet (i det här fallet en tallinje med tiondelar och hundradelar), då infinner det matematiska perspektivet sig, genom att ”eleverna blir delaktiga i språket och tolkningen av symbolerna och att de kan uttrycka sig på ett matematiskt språk med tiondelar och hundradelar” (Riesbeck, 2006, s. 45). Hon skriver att denna delaktighet kan gestalta matematisk förståelse.
Utgångspunkten i Olteanus (2007) forskning var frågan varför elever på gymnasiets natur-vetenskapliga och samhällsnatur-vetenskapliga program tycker att matematik är så svårt, detta då det leder till många avhopp. I studien undersöktes vilken betydelse lärarens behandling av algebramomenten hade för elevers lärande, specifikt andragradsekvationer och -funktioner. Hon förstår lärande utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv, ”som en förändring i elevernas förmåga att erfara ett objekt” (Olteanu, 2007, s. 88). En pilotstudie genomfördes där Olteanu med hjälp av ett
diagnostiskt prov sammanställde i vilka moment eleverna gjorde andra tolkningar av symboler, terminologi och beräkningar än vad som är gängse inom matematiken (Olteanu, 2007). Därpå följde videoinspelade individuella genomgångar med eleverna om deras resultat. I genomgångarna har eleverna själva svårt att uttrycka vad de menar, och ”analysen av intervjuerna med eleverna visar att det i framställningen av innehållet har tagits för givet att de exempelvis kan den matematiska terminologin och dess konventioner och/eller att de uppfattar en matematisk formel och/eller ett algebraiskt uttryck i sin helhet” (Olteanu, 2007, s. 14). Olteanu gör en grundlig genomgång av tidigare matematikdidaktisk forskning kring algebra och funktioner och sammanfattar att svårigheter som elever uppvisar ”kan övervinnas om man använder sig av multipla representationer eller om man fokuserar på funktionens egenskaper” (Olteanu, 2007). Hennes egen huvudstudie består av flertalet videofilmade lektioner av två lärares klasser med gemensam planering, deras lärobok, deras genomförda prov samt intervjuer med några av eleverna i grupperna. Slutsatsen hon drar baserat på allt analyserat material är att ”det erbjudna innehållet i klassrummet i högsta grad återspeglas i vad eleverna lär sig” (Olteanu, 2007, s. 298), och att det är i enlighet med vad andra forskare som använt variationsteoretiska perspektiv också har erfarit. Det erbjudna innehållet handlar i stor grad om vad läraren presenterar och hur läraren förhåller sig till det presenterade, men även vad läroboken presenterar. En fråga hon väckte är hur vi kan identifiera vilka de kritiska aspekterna är för elevers lärande, och vilka som ska räknas som de kritiska aspekterna. Hon efterfrågar även metoder för att göra detta, och som beskriver elevernas begreppsutveckling, inom ramen för undervisningen i klassrummet (Olteanu, 2007).
Ryberg (2014) genomförde en studie om vilken betydelse variation i undervisningen av derivata har på elevers lärande, och i genomgången av tidigare forskning på området framträder en bild av betydelsen av användningen av flera olika representationsformer vid undervisning av matematisk analys. Resultaten i forskningen som Ryberg (2014) refererar till beskriver hur elever/studenter saknar komplett begreppsförståelse i grafiska representationsformen av derivator, samt har svårt att växla mellan representationsformerna, och det antyds att det kan bero på att undervisningen lägger stor fokus på den algebraiska representationsformen.
Rybergs (2014) egen studie är en learning study där syftet är att identifiera och i undervisningen synliggöra de kritiska aspekterna i det matematiska området, så att eleverna ska få möjlighet att urskilja dem. Utgångspunkten var en pilotstudie med elevintervjuer där elevernas kunskaper och uppfattningar kartlades, och efter varje steg i studien så analyserades resultaten och revidering av planeringen skedde inför nästa steg. Med bakgrund att det i tidigare forskning just framkommit en
överrepresentation av användande av den algebraiska representationsformen av derivata valdes i studien att ge den grafiska representationen mer utrymme, för att ge eleverna möjlighet att urskilja denna. Dock, skriver Ryberg, att det i studien visade sig att ”effekten av att variera representationsformen [ledde] till en minskad möjlighet för eleverna att urskilja lärandeobjektet” (Ryberg, 2014, s. 155). Förklaringen till detta, skriver Ryberg (2014), ska inte ses vara att utgångspunkten är felaktig, dvs att variation inte är att föredra, utan snarare att hänsyn bör tas till de aktuella elevernas förutsättningar, samt att ”forskningsresultat inte alltid ger direkt information om undervisningen” (Ryberg, 2014, s. 115). De aktuella eleverna kanske behövde fokusera på en representation lite längre innan fokus flyttades till en annan, eller båda, och här, skriver Ryberg, ställs det höga krav på undervisande lärare både vad gäller ”förståelse av innehållet och vad det innebär att kunna det” (Ryberg, 2014, s. 155). Han avslutar med att konstatera att det inte finns någon universallösning på utformandet av undervisningen om derivata, utan att det är elevernas förutsättningar som ska ligga till grund för detta.
”En sämre förståelse av ett fenomen, exempelvis ett matematiskt problem eller en instruktion, kan ses som att inte lika många aspekter urskiljs samtidigt, vilket innebär en ofullständig förståelse.” (Ryberg, 2014, s. 21).
Muller (2008) undersökte i sin forskning hur multimedia kan utformas i fysikundervisning för att så effektivt som möjligt få studenter att lära sig fysik. Precis som i ovan nämnda studier om fysikkunskaper konstaterar Muller att bristande begreppsförståelse och alternativa förklarings-modeller (likt det Fibæk Laursen (2004) kallar primitiv förståelse) förekommer även bland studenter som klarar sina fysikstudier (Muller, 2008). I sin genomgång av tidigare forskning om hur multimediainnehåll kontra text- och bildinnehåll gynnade inlärning, så var resultatet i den lilla forskning som fanns att det inte fanns någon väsentlig skillnad. Det han stötte på i sin forskning, där videor användes, var att det inte handlade så mycket om multimedian i sig, för så länge studenterna var passiva i sitt tittade så utmanades inte deras alternativa förklaringsmodeller och då behölls dessa trots att de själva upplevde att de lärde sig, vilket framgick i tester gjorda före och efter videon. Vidare framkom det i intervjuer med studenter som i stället fått titta på videor där de alternativa förklaringsmodellerna diskuterades och sedan ledde till den korrekta förklaringen, att studenterna inte upplevt att de lärt sig så mycket utan kände sig förvirrade, men deras faktiska resultat på eftertesterna visade en signifikant ökning (Muller, 2008; Muller, 2011). För att multimedian skulle vara meningsfull, alltså öka studenternas lärande och förståelse, så behöver den uppmuntra till meningsfulla tankeprocesser, och även innehålla diskussion om alternativa förklaringsmodeller (Muller, 2008). Muller (2008) benämner dessa tankeprocesserna som mental effort, vilket kan
översättas som aktiv tankeansträngning, och menar att detta är nyckeln till att ändra tidigare, primitiva, förklaringsmodeller.
5 Metod
I detta kapitel kommer jag först beskriva studiens metod och utformning, samt hur datainsamlingen gick till. Sedan kommer jag presentera testuppgifterna som användes, beskriva analysmetoden jag använde, och hur urvalet av elever gick till. Jag kommer vidare redogöra för aspekter av reliabilitet och validitet som berör studien, och avslutningsvis beskriva de fyra forskningsetiska huvudkraven, samt redogöra för hur jag tagit hänsyn till dessa i min studie.
5.1 Undersökningsmetod
Denna studie är en studie på min egen praktik, med elever från mina egna undervisningsgrupper. Undersökningsmetoden är en sorts kombination av kvantitativ metod för datainsamling med kvalitativ metod för dataanalys. Jag har använt mig av en sorts strukturerad observation (Bryman, 2016) i form av egeninspelad instruktionsvideo, där de observerade personerna alla fick lösa samma matematikuppgifter och det som observerats är språket som använts i filmerna. Strukturerad observation som metod används oftast för att studera beteenden, och har som fördel att beteendet blir synligt snarare än berättat om eller återgett ur minnet såsom blir fallet i självrapporterande eller intervjuer (Bryman, 2016). Några problematiska aspekter av metoden skriver jag om i kap 5.6. Strukturerad observation är en kvantitativ metod där det som ska observeras är förbestämt och där strukturen ger data som går att jämföra. Eftersom jag valt att använda en kvalitativ analysmetod och studerar språket som används, alltså göra verbala analyser, så sammanställer jag inte datan statistiskt. Detta för att jag inte studerar resultat som är direkt mätbara och översättbara till siffror.
5.2 Genomförande och datainsamling
Genomförandet är utformad i tre steg. Steg ett genomfördes vid ett tillfälle några dagar före steg två och tre. Steg två och tre genomfördes vid samma tillfälle, direkt efter varandra. I första steget fick de utvalda eleverna delta på två genomgångar som handlade om det som matematikuppgifterna skulle handla om, vilket var funktioner (se kap. 3.2.2). Dessa genomgångar ingick i den ordinarie undervisningen och var inte exklusivt för de deltagande eleverna, utan för hela klassen. På genomgångarna presenterade jag begreppen och metoderna samt förklarade matematiken som uppgifterna de senare skulle lösa enskilt handlade om. De fick sedan tid och möjlighet, inom ramen
för ordinarie lektioner, att jobba med uppgifter som handlade om detta.
Några skoldagar senare genomfördes steg två och tre, då eleverna fick uppgifterna som är grund till denna studie. I steg två fick de sitta i lugn och ro och lösa uppgifterna med hjälp av allt de normalt sätt har tillgång till under lektionerna; sin mattebok och lektionsanteckningar, dock ingen hjälp från mig eller möjlighet att fråga en kompis. Jag tillhandahöll penna, sudd och linjal till samtliga elever, samt rutat papper att skriva sina lösningar på. När de var färdiga gick jag över till steg tre.
I steg tre fick de i uppdrag att med hjälp av iPad spela in en instruktionsvideo där de skulle berätta om uppgifterna och förklara hur de löst dessa. Jag placerade dem i ett rum var för sig och instruerade dem en och en enligt en mall för filmandet (se bilaga i). De fick instruktionen både muntligt och skriftligt, med några hjälpfrågor för att leda dem att säga så mycket som möjligt. De instruerades att i filmen visa uppgifterna, samt berätta och förklara hur de gjort och tänkt när de löst dessa. De uppmanades att använda matteord i så stor utsträckning som möjligt och de fick tillgång till följande hjälpfrågor:
Hur tänkte jag? Varför är detta bra?
Jag vet att detta är rätt för att.. Jag fattade bättre därför att..
Jag lämnade dem ensamma och lät dem filma sina lösningar. När de filmat färdigt hjälpte jag dem att ladda upp filmen som olistad på Youtube, och de fick maila länken till mig. Att den är olistad betyder att den inte är sökbar, dvs. att ingen kan söka reda på videon, utan det går endast att få tillgång till den genom att ha den exakta länken dit. Jag berättade för eleverna att de kunde radera filmen från sin iPad och att jag skulle tala om för dem när jag var färdig med analyserandet av filmerna och att de då kunde ta ner den från Youtube själva om de ville.
De uppladdade filmerna utgör min data, och det är dessa jag studerat.
5.3 Presentation av testuppgifterna
Eleverna fick tre uppgifter att lösa (se bilaga i). De tre uppgifterna är medvetet valda för att de är olika och kräver olika kunskap och förmågor för att lösa.
I första uppgiften presenteras fyra grafer, A-D, som inte är graderade eller förklarade, och under dem finns fyra numrerade beskrivningar samt instruktionen att para ihop graferna med beskrivningarna och förklara varför de hör ihop. Alla beskrivningar innehåller orden ”som (en) funktion av”. Uppgiften valdes för att se hur väl de visuellt kan tolka grafer och förändringen av värdet av funktionen, samt hur de förklarar detta med egna ord.
Andra uppgiften går ut på att först rita ett eget koordinatsystem och sedan pricka in fyra koordinater i detta. Det är en mekanisk uppgift som kräver att de känner till hur positionering i tvådimensionella plan går till.
I tredje uppgiften får de ett graderat koordinatsystem med två inritade grafer i olika färger och märkning, med tillhörande frågor. Frågorna går ut på att de skulle kunna läsa ut information ur graferna. Tre av frågorna är rutinfrågor där punkter skulle läsas av och jämförelser skulle göras. En av frågorna efterfrågar formel för funktionen, och förslag ges. För att lösa denna fråga krävs att de förstår hur x och y i en funktion förhåller sig till varandra. Den sista frågan är en öppen fråga där de ska ta ställning till vilken av graferna är mest fördelaktig. För att kunna svara på detta måste de förstå vad som skiljer graferna åt.
5.4 Analysmetod
Analysmetoden jag använt för bearbetning av min insamlade data är en sorts tematisk analys (Bryman, 2016). De teman jag använt är bestämda utifrån mina forskningsfrågor. Dessa är matematikord, beskrivningar i ord av uppgifter och lösningar, gester som användes i stället för ord, samt vardagsord som användes istället för matematikord. De uppladdade filmerna som utgör mitt material, transkriberades inte i sin helhet utan endast delvis. I denna process tittade och lyssnade jag flertalet gånger på alla filmer och letade efter ord, uttryck och gester som passade studiens frågeställningar, alltså de teman jag beskrivit ovan. Jag observerade även skillnader mellan vad som fanns skrivet eller ritat på papperna och vad eleverna sa i sina filmer. Det som transkriberades av materialet var de delar där något av de ovan listade förekom. Gesterna noterades med beskrivande text inom hakparenteser mellan orden som sades. Resultatet redogör jag för i kap 6.1 i sammanfattad form.
5.5 Urval av elever
Jag har valt att använda mig av elever i årskurs 9 som jag själv har i undervisning, då det finns en poäng att de är vana vid mitt sätt att jobba, samt att de är bekanta med mig. Detta eftersom viss teknisk kunnighet och vana kring videoinspelning måste ses som fördel för resultaten, alltså att inte för mycket osäkerhet och ifrågasättande kring detta stör genomförandet. Jag ser även en fördel i att eftersom de känner mig och litar på mig så vågar de utföra det de blir instruerade att göra utan oro för hur det kommer påverka dem. Att jag valde elever i årskurs 9 har även att göra med att jag inte ville att det matematiska innehållet skulle vara för svårt, och det vanligtvis är i läromedel för just årskurs 9 som momentet om funktioner dyker upp.
Jag valde ut nio elever, från två olika klasser, med syftet att få så stor spridning som möjligt. Jag tog hänsyn till kön, etnisk bakgrund och prestationsnivå i mitt urval. Eftersom deltagandet är frivilligt, och eleverna skulle få möjlighet att ta ställning till om de vill delta eller inte, valde jag även ut tre extra elever som skulle vara reserver ifall någon av de första nio valde att inte delta. De nio valde alla att delta så reserverna blev aldrig tillfrågade. Trots ovanstående fördelar med urvalet bör nog gruppen ses som ”en tillgänglig grupp” (Patel & Davidson, 1994, s. 47) då de inte valts slumpmässigt och inte kan ses som ett stickprov ur populationen.
5.6 Reliabilitet och validitet
Då jag är undervisande lärare för dessa elever till vardags, innebär det förstås att jag känner dem, och har bedömt och betygsatt dem. Den psykologiska innebörden av detta kan påverka reliabiliteten i studien, att resultaten inte blir tillförlitliga (Patel & Davidson, 1994). Resultatet kan påverkas av att eleverna väljer att svara på vissa sätt för att de vill göra mig till lags, att de helt enkelt svarar som de tror att jag vill, snarare än hur de själva uppfattar det. Det kan ses som en sorts reaktiv effekt av att de är medvetna om att de blir studerade, eller the guinea pig effect, som Bryman refererar till det som (2016, s. 277). Det kan även vara så att de oroar sig för att deras insats kommer bedömas och att det ska påverka dem negativt om det visar sig att deras svar är felaktigt, och därmed låter bli att svara på det de inte är säkra på, i stället för att försöka. Detta sistnämnda adresserar jag med att kommunicera både till eleverna och deras vårdnadshavare att så inte är fallet; i nedan beskrivna brev (se kap 5.6.1.) gör jag klart att deras insats i denna studie inte skulle påverka deras skolarbete eller betyg, utan endast ingår som resultat i studien. Det förstnämnda är svårare då många barn är socialiserade att vara vuxna till lags, samt att många barn vill vara vuxna i deras omgivning till lags,
framför allt vuxna som är viktiga för dem på ett eller annat sätt, något som lärare inte sällan är. Eftersom resultatet samlas in i form av filmer som eleverna själva spelar in, där jag inte direkt interagerar med dem, även om frågorna de besvarar är ställda av mig, så undviks eventuella intervjuareffekter, då eleverna inte har mig i rummet och därmed inte kan utläsa av min ton eller ansiktsuttryck vad som förväntas av dem (Patel & Davidson, 1994). Däremot går det, som sagt, inte att underskatta den psykologiska effekten av att jag för dem är en känd vuxen, och att de interagerar med mig flera gånger i veckan i klassrummet.
Precis som vid en inspelad intervju så är verkligheten ”lagrad” i filmen eleverna spelat in, så det finns ingen del av resultatet som gått förlorad.
Ett av de fem validitetskriterierna som Larsson (refererad i Szklarski, 2002) avgränsat i kvalitativa studier, det pragmatiska kriteriet, känns relevant för denna studie då det berör vad resultatet har för nytta för praktiken. Detta eftersom metoden i denna studie är vald utifrån arbetssätt jag redan implementerat i mitt klassrum, för att undersöka elevernas språk, och i förlängningen informera mig om huruvida metoden leder till att uppnå de mål jag satt för min undervisning. Därigenom har studiens resultat ett direkt värde för mig i min praktik.
5.7 Forskningsetik
Grunden till forskningsetik är dels att forskning bör ske, eftersom det är genom ny kunskap och förståelse som vi gemensamt utvecklar samhället och oss själva (Vetenskapsrådet, 2010), och dels att vi som samhällsmedborgare har rätt att inte få vår integritet kränkt genom otillbörlig insyn, bli fysiskt eller psykiskt kränkta, skadade eller förödmjukade då sagd forskning utförs. Forskningsetiska ställningstagande ska därför alltid göras med utgångspunkt att inte kränka individen. Den ansvarige forskaren har en skyldighet att väga värdet av dennes resultat gentemot risken för negativa konsekvenser för de deltagande i dennes studie. Forskningsetiska principer har tagits fram för att bli normgivande i relationen mellan forskare och deltagare. Vetenskapsrådet tar upp fyra huvudkrav för att bedriva forskning på ett etiskt sätt, en konkretisering av deltagarens rätt att bli skyddad; informationskrav, samtyckeskrav, konfidentialitetskrav samt nyttjandekrav (2010).
5.7.1 Informationskrav
den aktuella forskningsuppgiftens syfte” (Vetenskapsrådet, 2010, s. 7).
Informationskravet handlar om att deltagarna, skriftligt eller muntligt, ska få information om vilken roll de förväntas ha i studien, vilka villkor som gäller, vilka konsekvenser de kan förvänta sig genom sitt deltagande, samt upplysande om att deltagandet är frivilligt. Alltså sådant som kan tänkas påverka deras villighet att delta i forskningen.
Jag informerade de utvalda eleverna muntligt om studien innan de fick frågan om att deltaga. De fick tydligt reda på att deras deltagande var frivilligt, att de kunde ångra sig om de ville utan att det gjorde något, samt att det inte skulle påverka deras skolarbete eller betyg på något negativt sätt om de deltog. Det senare tog jag upp då jag av erfarenhet vet att elever lätt oroar sig för detta. Eftersom deltagarna i min studie är minderåriga så informerade jag även vårdnadshavarna. Veckan innan jag tänkte genomföra studien fick vårdnadshavarna till de utvalda eleverna hem ett brev från mig där jag presenterade syftet med min studie, vad jag ville att eleverna skulle göra i studien, informerade om frivillighet samt intygade att deras deltagande inte skulle påverka deras skolarbete negativt (detta eftersom jag som sagt förmodade att det kunde vara en invändning).
5.7.2 Samtyckeskrav
Samtyckeskravet handlar om att de som deltar i en studie själva ska få bestämma över sin medverkan (Vetenskapsrådet, 2010). Det ligger på forskaren att inhämta samtycke från deltagarna i dennes studie, och om deltagarna är minderåriga ska även samtycke ges av vårdnadshavare. Samtyckeskraven handlar även om att deltagare i studier ska ha rätt att bestämma hur länge de ska deltaga, samt att de ska ha rätt att avbryta sitt deltagande när som helst de vill utan att bli utsatt för påtryckningar eller negativa konsekvenser.
I brevet jag nämnde ovan (se kap. 5.6.1), som skickades ut till vårdnadshavarna, skrev jag även att eleverna kunde avbryta sitt deltagande när som helst om de så önskade. Jag bad dem även skriva under för att visa att de godkände elevens deltagande. Dessa underskrifter samlade jag in och sparade. Eftersom jag till vardags är elevernas undervisande lärare och att de därmed är i beroendeställning gentemot mig så poängterade jag både muntligt till dem samt skriftligt i brevet att de inte skulle känna sig tvingade att deltaga för min skull utan att det låg utanför skolarbetet och var helt frivilligt.
5.7.3 Konfidentialitetskravet
Konfidentialitetskravet lyder som följer: ”Uppgifter om alla i en undersökning ingående personer skall ges största möjliga konfidentialitet och personuppgifterna skall förvaras på ett sådant sätt att obehöriga inte kan ta del av dem.” (Vetenskapsrådet, 2010, s. 12)
Detta krav handlar om att känsliga uppgifter som hanteras av forskaren inte ska kunna kopplas ihop med deltagaren det berör. För att definiera vad som är känsliga uppgifter så bör det ses som uppgifter som om de blir allmän kännedom, av berörda deltagare kan generera upplevelser av obehag och kränkning. Hanteringen av uppgifterna gäller både vid publicering och vid muntlig redogörelse till personer som inte är knuten till forskaren i arbetet.
De deltagande eleverna i min studie blir inte nämnda vid namn, eller beskrivna i studien på något sätt, visuellt eller annat, som gör att de går att identifiera. Dock är det en offentlig uppgift var jag jobbar och jag talar i detta arbete, av goda skäl, om att jag är elevernas undervisande lärare, så det förefaller här en risk att några av de nio eleverna som deltar blir identifierade som deltagande. Jag har för avsikt att genom kodnummer och på sättet jag skriver om deras deltagande undanröja alla möjligheter att koppla den verkliga eleven till eleven beskriven här.
Vad gäller hantering av personuppgifter så uppfyller jag konfidentialitetskravet.
5.7.4 Nyttjandekravet
Nyttjandekravet handlar om att inte nyttja uppgifter från enskilda deltagare i något annat ändamål än forskning. Forskaren får inte använda uppgifterna i kommersiellt eller annat icke-vetenskapligt syfte. Om uppgifterna är insamlade i forskningsändamål får de heller inte användas som underlag för beslut om eller åtgärder för deltagaren vad gäller vård, omhändertagande etc (Vetenskapsrådet, 2010).
6 Resultat och analys
I detta kapitel presenteras och analyseras materialet i filmerna som eleverna spelade in. Presentationen av resultatet är uppdelad efter de uppgifter eleverna genomförde, medan analysen är uppdelad efter frågeställningarna i studien. Resultatet är sammanfattat utifrån en tematiska analys, och resultatet tolkas sedan utifrån den sociokulturella förståelsen av språk, som är beskrivet i kap 3.3.
6.1 Resultat
6.1.1 Uppgift 1
När de ska beskriva och förklara uppgift 1, där de ska para ihop grafer med påståenden innehållande orden ”som (en) funktion av” så är det 6 av eleverna som endast nämner orden graf och funktion när de läser innantill ur uppgiften. I övrigt refererar de till graferna med bokstaven den fick, eller genom att peka och säga ”den”. En av eleverna läser inte alls ur uppgiften och säger inga av orden under sin förklaring. Endast två av eleverna använder ordet graf av sig själva, men inte ordet funktion. Alla eleverna använder händerna som en del i sina förklaringar, de pekar och följer grafernas lutning och form i stället för att sätta matematiska ord på förändringen. De benämner konsekvent x-och y-axel som ”den” x-och pekar, även de elever som specificerar vad som respektive axel representerar.
En av eleverna (elev G) misstolkar uppgiften och ger flera alternativ på grafer till varje påstående. En annan elev (elev H) hoppar helt över påstående 4.
Graf A, som är den enda som alla elever lyckades para ihop med rätt påstående, beskrivs med ord som ”sjunker” och ”går ner”. En av eleverna (elev F) uttrycker följande, ”ju längre upp, desto högre blir det, alltså så jag tänkte mig att detta var grader och detta var tid”. När hen säger ”längre upp” och ”grader” visar hen på y-axeln, och när hen säger ”tid” pekar hen på x-axeln. En annan elev (elev D) beskriver det som att ”den börjar varmt, sen sjunker temperaturen”, en tredje ”på A går ju temperaturen neråt /.../ då blir den kallare och kallare” (elev G).
förklara rätt, en av dem (elev G) förklarar ”man springer, och då tar man full sats, sen springer man, sen blir man kanske tröttare och här är man som tröttast [pekar på min-värdet], sen så kanske man springer sen snabbt igen”, men även de andra eleverna förklarar att själva grafen först ”börjar högt”, ”går ner” och sen ”går upp”. Elev D föreslår att sprintern först ”tappat konditionen” och sen ”kanske fått lite motivation eller sådär och sen slutar han ganska bra” i och med att hastigheten ökar igen.
I graf C tänker en elev (elev F) att ”man kanske sätter varmt vatten i kastrullen för att det ska gå fortare”. En annan elev (elev E) konstaterar att ”vatten börjar inte på noll grader”, och elev I att ”vattnet går långsamt när det kokar”. Elev B beskriver att temperaturen ökar ”snabbare, efter ett tag sen avtar den”. Elev D beskriver förändringen som ”kan börja gå långsamt och sen snabbt”.
Graf D ser i princip likadan ut som graferna i uppgift 3, men det är endast en av eleverna som påtalar detta. Hen förklarar att
”först så trodde jag faktiskt att 4:an var den här [graf B], men sen så läste jag den andra uppgiften, 3:an, uppgift 3, och då så handlade den om päron och kilopris och så och då gick den upp också så, här, då gick den upp väldigt mycket, så då tänkte jag, jo men då är nog den D eftersom det handlar om kilopris och så.” (elev I)
När hen säger ”den” pekar hen på grafen i uppgift 3. Elev B beskriver denna som en ”rak linje”. Även de elever som inte parat ihop grafen med rätt påstående beskriver ökning på olika sätt; ”den blir varmare, varmare, varmare” (elev I) och ”den går upp” (elev A och C).
6.1.2 Uppgift 2
Precis som i uppgift 1, så använder eleverna sina händer mycket och pekar ut både axlar, värden och koordinater utan att namnge dem alltid. Många av eleverna tappar ordet minus när de ska prata om de negativa värdena i koordinaterna, elev E säger t.ex. koordinaten rätt ”x är minus 5 och y är 3”, och pekar på rätt ställe i koordinatsystemet samt sätter koordinaten rätt, men säger ”då får jag gå ut här hela vägen till femman, sen fick jag gå upp i y”.
Elev A använder ordet koordinatsystem att betyda både koordinatsystem och koordinat, och förklarar så här, ”för att tvåan är ju där på x, man börjar alltid med x, och sen så ska man ta den på fyran, och fyran är där på y och då blir det koordinatsystemet där.” Hen prickar in alla koordinater rätt och förklarar samtliga.
Elev B förklarar att hen ”skulle rita in prickar på ett koordinatsystem” och visar alla koordinater på rätt ställe, men förklarar endast den första, att ”A då t.ex. var 2 på x-axeln och 4 på y-axeln så jag pricka in den där”.
Elev C hade lagt in punkt D på fel ställe, men verkade inte märka det trots att hen berättade om samtliga punkter. ”Jag har ritat ett koordinatsystem som ni ser, här är x och här är y”, pekande på axlarna, och beskrev att ”x är 2 här och y är minus 5 som ligger här, den är B”.
Elev D beskrev att hen skulle ”sätta ut punkterna, sätta ut koordinaterna” och visade först koordinatsystemet med en felaktig koordinat D, medan hen beskrev de tre första, bl.a. ”A är 2 komma 4, alltså x är 2 och y är 4”. Innan förklaringen till koordinat D så klipps filmen och koordinat D byter plats till den korrekta platsen. Eleven upptäckte sitt misstag och korrigerade det men nämner inget om det i filmen.
Elev E förklarar att ”x:et är alltså först, så det är 2 på x:et” och vidare att ”då gick jag upp 4 på y och gjorde en punkt där.” Alla koordinater förklaras och är korrekta.
Elev F förklarar alla koordinater korrekt, pekar mycket samt berättar vilken axel som är vilken. T.ex. ”minus 5 var ju på denna axeln, så den fick vara där, och sen trean den är där, så det blev den här då”. Hen säger även att ”jag tror inte det finns fler sätt att räkna ut detta”.
Elev G förklarar alla koordinater korrekt, men använder konsekvent ordet funktion att betyda koordinat, t.ex. ”man nämner alltid x-värdet först /.../ där är x-värdet minus 3 och y-värdet är minus 1, så där ligger den funktionen, pricken”.
Elev H har prickat in sina koordinater korrekt men beskriver inte hur utan kommenterar det hela med att ”jag tycker dom är rätt, för jag vet själv hur man skriver dom i ett koordinatsystem”.
Elev I förklarar alla koordinater rätt, t.ex. ”två och minus fem var det, den är här” och pekar på axlarna och punkten. Hen tillägger att ”jag tycker det är rätt enkelt med koordinatsystem”.
6.1.3 Uppgift 3
Under filmningen tog minnet på iPaden slut för elev C, men hen märkte inte det förrän hen skulle klippa ihop filmen, och eftersom dagen var slut så beslutade jag att hen inte behövde göra om det. Därför finns inga lösningar på uppgift 3 för elev C. När jag i denna del hänvisar till alla elever, är elev C borträknad.
Deluppgift a löste alla korrekt och beskrev på ungefär samma sätt. Elev B var den enda som inte visade själva graferna i sin film, men var å andra sidan mycket tydligare i sin beskrivning; ”då letar man ju upp 4 kilo på x-axeln för att sen kunna följa den uppåt tills man träffar A och sedan följa den till y-axeln för att kunna se hur mycket det kostar”. Elev I pekade på grafen och beskrev att ”här nere står vikten, och här uppe står priset, så kollade jag då, 4 kilo, och så upp här till de där, då var det 70kr”. Elev H var väldigt vag, hen visade med sin penna i luften och sa ”mellan 60 och 80 så jag tycker det är 70kr.”
Deluppgift b löste alla utom elev H korrekt, och elev H var väldigt vag även här, det går inte riktigt att avgöra vad hen pekar på med sin penna på grafen, som delvis ur bild, för pennan är i luften, men ”om man ska kolla så är den i mitten av 2 och 3, så jag skrev 2,5”. Elev E hade också initialt på sitt papper svarat fel, men visade hur hen tänkt i videon och kom då fram till rätt svar, och svarade det utan att ta notis av det tidigare felaktiga svaret. Elev D påpekade att denna deluppgift var ”samma sak fast åt andra hållet” jämfört med deluppgift a. Elev F pekade och förklarade att ”då kollade jag på sort B här, så fick jag 75, då tog jag ungefär där, då fick jag den där, och rakt ner så blev det trean”.
Deluppgift c löstes på i huvudsak två olika sätt. Elev B och D räknar ut det, den tidigare korrekt; ”det var svårt att se exakt vid ett kilo så vad jag gjorde var, jag visste att jag fick 4 kilo för 70 kr så vad jag gjorde då var, jag delade 70 med 4 och då får man 17,5”, och den senare inte, då hen hade ritat av graferna på sitt eget papper och någonstans prickat in koordinater fel så hens avlästa värden stämde inte med originalet. Hen utförde och beskrev dock samma typ av beräkning; kostnaden för 5 kilo och divisionen som följer. Det andra sättet som uppgiften löstes på var att läsa av i grafen och konstatera, som elev A, att ”det är 19 kr/kg för man ser det där tills man kommer fram till strecket /.../ där är 1 kilo, för man räknar ju att 1 kilo är kilopriset”. Elev F sa att ”då tänkte jag 1 kilo och då fick jag den där, och jag skrev ungefär 19 för den var inte hela vägen upp till 20”. Även elev E och G gjorde varianter av detta. Elev H verkar inte förstå vad som menas med kilopris och
förklarar aldrig sitt svar. Elev I hade på sitt papper svarat 20 kr, alltså som avläsningen, men är i sin video först inne på den första varianten med beräkningen men ändrar sig någonstans mitt i och svarar sedan enligt vad hen först skrev, ”här är 5 kilo, så tänkte jag så att det slog ju på 90 så då, och så tänkte jag då också sen här att på 1 kilo så står där 20 och eftersom där står 20 så borde det vara 20 kilo, för 1 kilo, eller 20 kr för 1 kilo, då är det kilopriset”.
Deluppgift d genererade alla typer av svar, två elever hoppade helt över den, elev I och elev E, med motiveringen ”den fattar jag inte med x:et vad man ska gånga med”. Elev F uttryckte stor osäkerhet men gjorde ett försök ”då tog jag denna y=20x” och förklarade ”men jag tänkte kilogram, variablen x, alltså vi vet inte vad den är för vikt, så då tänkte jag liksom att jag tog 20 för det passade bäst kanske ta som exempel eller nånting, eftersom det är 1 så kostar det, kanske, 1 kilo kostar 20 kr”. Elev H svarade y=15x och pekade i sin graf och sa ”man ser det inte så tydligt, men här är sort B, så ligger det här, så det blir liksom 15”, igen en väldigt vag beskrivning. Elev G, D, B och A gav korrekt svar med liknande motiveringar, elev B den ganska korta ”så kunde jag konstatera att y=25x genom att testa det, för t.ex. 4 kilo av B kostade 100 kr, vilket stämmer”, och elev G den något längre ”om jag kollar B här så vill jag se om det finns någon funktion [hen använder konsekvent ordet funktion att betyda koordinat] där det liksom, exakt, alltså alla är ju heltal, men jag vill se liksom om det är nånting som matchar in här på dessa [pekar på y-axeln] exakt, och då hittar jag denna. 50 kr kostar det här och det är då 2 kilo /.../ då tänker jag 50 delat på 2 är 25 och 25 gånger 2 är 50, alltså måste y lika med 25 multiplicerat med x vara det rätta formeln”.
På deluppgift e svarade samtliga att de skulle välja sort A, med samma motivering, att den var billigast (förutom elev H ”har ingen anledning varför”). Några, elev E, G och I, lade dock till att om sort B var godare eller av bättre kvalitét så skulle de köpa den i stället.
6.2 Analys
Hur förklarar elever i grundskolans årskurs 9 muntligt sina lösningar till olika matematikuppgifter?
Det är ganska enkelt att konstatera ur resultatet, att ingen av eleverna, trots uppmaningen att använda matteord, genomgående uttrycker sig på korrekt matematikspråk. Vissa av eleverna använder korrekta begrepp, men de blandar upp det med vardagsord och pekande. Inom den
