NATURVETENSKAP-MATEMATIK-SAMHÄLLE
Examensarbete i Matematik och lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
En komparativ studie av
matematikläroböcker 1970-2011 för
Samhällsvetenskapsprogrammets första
år med fokus på
proportionalitetsbegreppet
A Comparative Study of Mathematic Textbooks 1970-2011 for the
First Year of the Social Sciences Program with a Focus on the
Concept of Proportionality
Karl Sörensen Hannell
Ämneslärarexamen för gymnasiet, 300hp Datum för slutseminarium (2020-06-01)
Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Jöran Petersson
2
Förord
Detta examensarbete är den sista delen av min ämneslärarutbildning för gymnasieskolan i matematik. Tidigare har jag skrivit ett självständigt arbete motsvarande 15 högskolepoäng som heter ”Förändringen i gymnasieskolans läro- och kursplaner i matematikämnet 1970-2011 med fokus på första matematikkursen på Samhällsprogrammet”. Mitt självständiga arbete ledde mig till att fortsätta att se hur införandet av nya läroplaner har förändrat matematikundervisningen. Under min verksamhetsförlagda utbildning har jag insett att läroboken är en central del av matematikundervisningen och ett stöd för läraren. Därmed valde jag att göra en läroboksanalys. Inspirationen till att studera proportionalitetsbegreppet fick jag i sista kursen i utbildningsvetenskaplig kärnan. Under mina tio terminer på Malmö Universitet har jag lärt mig ofantligt mycket och jag ser fram emot att efter detta examensarbete kunna verka som lärare. Slutligen vill jag rikta ett stort tack till Jöran Petersson som handlett detta arbete.
3
Abstract
Läroboken har en central roll i den svenska matematikundervisningen. Det är ett av de huvudsakliga undervisningsunderlagen som läraren använder sig av. Därmed påverkas undervisningen av lärobokens innehåll. Att ha olika typer av uppgifter som kan lösas med olika lösningstekniker främjar elevers begreppsförståelse. Sedan införandet av gymnasieskolan år 1971 har Sverige haft fyra läroplansreformer: Lgy70, Lpf94, Gy2000 och Gy11. Syftet med examensarbetet är att bidra med en förståelse för hur läroböcker från olika läroplaner har behandlat proportionalitetsbegreppet. Proportionalitet är ett begrepp som är centralt i matematikundervisningen, från lågstadiet till gymnasiet. Studien fokuserar på skillnaden av variation i läroböckernas exempeluppgifter rörande proportionalitet.
Innehållsanalysen gjordes med hjälp av ett analysverktyg som är skapat från teoretiska begrepp inom Anthropological Theory of the Didactic (ATD). Analysverktyget delade in uppgifterna i tre huvudkategorier: uppgiftstyp, lösningsteknik och teori (statisk och dynamisk proportionalitet). Didaktisk transposition är en subteori till ATD och beskriver hur kunskap väljs ut och transponeras från läro- och kursplanen till eleverna. Läromedelsförfattare är en del av den didaktiska transpositionen, då de analyserar och tolkar läro- och kursplaner vid utformandet läroboken. Resultatet visar att det finns mindre skillnader mellan läroböckerna rörande fördelningen av statisk och dynamisk proportionalitet. Läroböckerna skiljer sig gällande fördelningen av uppgiftstyp i exempeluppgifterna. Läroboken från Lpf94 har mest variation av uppgiftstyper. Läroböckerna skiljer sig även åt gällande fördelningen av lösningstekniker i exempeluppgifterna. Läroboken från Gy11 har mest variation gällande lösningsteknik i exempeluppgifterna. Lärare bör analysera läroböcker och kunna välja ut uppgifter till elever och därefter komplettera sin undervisning så att elever får en variationsrik undervisning. Således är det lärarens yttersta ansvar vid den didaktiska transponeringsprocessen att utforma undervisningen så att den vilar på den kunskap som läro- och kursplanen ska förmedla.
5
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 7
2. Syfte och frågeställningar ... 10
3. Teoretiska perspektiv ... 11
3.1 Analysverktyg skapat från ATD ... 11
3.1.1 Praxis & Logos ... 11
3.2 Didaktiskt transposition ... 13
3.2.1 Institutionell kunskap ... 13
3.2.2 Kunskap som ska undervisas ... 13
3.2.3 Kunskap som undervisas ... 14
3.2.4 Kunskap som elever lär sig ... 14
4. Tidigare forskning ... 15
4.1 Institutionell kunskap ... 15
4.2 Kunskap som ska undervisas ... 16
4.2.1 Lgy70 ... 16
4.2.2 Lpf94 & Gy2000 ... 17
4.2.3 Gy11 ... 17
4.3 Kunskap som undervisas ... 18
4.3.1 Analys av proportionalitet i läroböcker ... 18
4.4 Kunskap som elever lär sig – Vergnauds perspektiv ... 20
5. Metod ... 22
5.1 Metodval ... 22
5.2 Presentation av Lundbergs (2011) analysverktyg ... 23
5.4 Lösningsteknik ... 25
5.4.1 Vägen över ett (V1) ... 25
5.4.2 Sambandsmultiplikation (SM) ... 25
5.4.3 Proportion (P)... 26
5.4.4 Korsvis multiplikation (KM) ... 27
6
5.4.6 Övriga tekniker (ÖT) ... 27
5.5 Statisk och dynamisk proportionalitet ... 28
5.6 Genomförande ... 29
5.7 Urval ... 30
5.8 Reliabilitet & Validitet ... 31
5.9 Etiska överväganden ... 32
6. Resultat och analys ... 33
6.1 Exempeluppgifter i läroböckerna ... 33
6.1.1 Statisk och dynamiskt proportionalitet i läroböckerna ... 34
6.1.2 Jämförelse av typuppgift i läroböckerna ... 34
6.2 Lösningstekniker i läroböckerna ... 36
6.2.1 Jämförelse av lösningstekniker i läroböckerna ... 36
7. Slutsats och diskussion ... 39
7.1 Svar på frågeställningarna ... 39
7.2 Diskussion av resultat ... 40
7.3 Diskussion av metod ... 43
7.4 Slutsats ... 44
7.5 Förslag till vidare forskning ... 45
Referenser ... 47
Bilaga ... 52
7
1. Inledning
År 1971 integrerades yrkesskolan, gymnasium och fackskolan till en gymnasieskola (Lindberg & Grevholm, 2013). Sedan införandet av nya gymnasieskolan har Sverige haft fyra läroplansreformer: Läroplan för gymnasieutbildning 1970 (Lgy70); Läroplan för de frivilliga skolformerna (Lpf94); Läroplan för gymnasieskola 2000 (Gy2000); Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola 2011 (Gy2011) (Lindmark, 2007). Vid införande av nya läroplaner lanseras nya läroböcker. Läroboken påverkar en stor del av den svenska undervisningen då den används som undervisningsunderlag av många lärare. Vid skapandet av läroböcker tolkar läroboksförfattarna läro- och kursplanerna. Det finns ett stort förtroende från lärarnas sida för att läroboksförfattare tolkar kursplanerna på ett rimligt sätt (Lundberg, 2011). Det är däremot lärarna själva som har det yttersta ansvaret att tolka kursplanen. Karlsson och Kilborn (2015) skriver: ”För att kunna tolka intentionerna i en ny läroplan och kursplan är det viktigt att man som lärare förstår orsakerna till varför läroplanen eller kursplanen ser ut som den gör. Risken är annars att man misstolkar texten.” (s.16). År 1992 skapades Skolverket, detta i sin tur ledde till att SIL (Statens institut för läromedelsinformation) lades ned. Sedan införandet av Skolverket har det inte funnits en statlig instans som granskar läroböcker (Nationalencyklopedin, u.å.). Ansvaret är därmed lärarnas att kontrollera och granska läroböcker så att kraven och målen från styrdokumenten uppfylls (Grevholm, 2014).
1.1 Bakgrund till studien
Proportionalitet är ett begrepp som rör algebra, funktioner och geometri och är därmed ett stort område inom skolmatematiken (Lundberg, 2011). I detta arbete har jag valt att fokusera på begreppet proportionalitet i läroböcker. Lundberg skriver att proportionalitet är ett centralt begrepp inom matematikundervisningen och att elever stöter på proportionalitet både i grundskola och gymnasiet. Lamon (2007) skriver att senare kommer vissa elever att stöta på problem av proportionell karaktär, därmed är det av stor vikt att eleverna får rätt verktyg att öva sig inom proportionalitet i matematik. Tidigare forskning visar att elever i skolan har svårt med proportionalitet (Cramer & Post, 1993; Lamon, 2007; Lundberg, 2011; Lundberg
8
& Hemmi, 2009; Miyakawa & Winsløw, 2009). En svårighet som elever har är att de väljer fel typ av lösningstekniker. Lundberg (2011) skriver att ”en typ av problem i samband med proportionalitet som uppmärksammats är en övergeneraliserad användning av en linjär lösningsmetod, det vill säga att eleverna använder proportionellt resonemang på uppgifter som inte är proportionalitets-uppgifter” (s.2). Ur ett forskningsperspektiv är det därmed intressant att analysera hur läroböcker från olika läroplaner förhåller sig till proportionalitet. Syftet med läroboksanalysen är att analysera läroböcker från de fyra senaste läroplansreformerna och se om det finns någon skillnad i hur proportionalitetsbegreppet hanteras.
I Lgy70 presenteras proportionalitet på ett detaljrikt sätt med beskrivande text hur lärare ska arbeta med proportionalitet (Skolöverstyrelsen, 1971). I Lpf94 och Gy2000 finns inte begreppet proportionalitet med (Skolverket, 2000; Utbildningsdepartementet, 1994). Lundberg (2011) skriver att då ”kursplanen är målstyrande blir även beskrivningen av kursen målbeskrivande. Istället för att ange vilka begrepp som eleverna ska kunna anges vad eleven ska kunna göra” (s.32). I Gy11 står det i det centrala innehållet för matematik 1a att undervisningen ska behandla begreppen ”förhållande och proportionalitet i resonemang, beräkningar, mätningar och konstruktioner” (Skolverket, 2011, s.93). I matematik 1b och 1c finns inte begreppet med i det centrala innehållet, däremot rör innehållet områden som hör till proportionalitet.
Brändström (2005), Lundberg (2011) och Jäder (2019) skriver att läroböckers uppgifter ofta är och har varit ensidiga. Ur ett lärarperspektiv är det intressant att se om läroböckerna har förändrats mellan 1970 och 2011. Johansson (2006) skriver att läroböcker över tid inte har förändrats avsevärt utan upplägget och variationen är likartade. Barton (2018) skriver att det är av stor vikt att elever får olika sorters uppgifter att arbeta med och att ”variation hos exempel och övningar gör att eleverna kan upptäcka nödvändiga samband som leder till att de tillägnar sig både förmågan att ledigt utföra procedurer och begreppsförståelse” (s. 236). Det är därför intressant att se om läroböckernas innehåll har förändrats över tid gällande variationen i läroböckerna.
9
I detta arbete undersöks hur proportionalitet behandlas i läroböcker från olika tidsperioder. Det är intressant att se om det skett en förändring av urvalet av exempeluppgifter i och med att didaktiskt forskning har gjorts på begreppet proportionalitet. Därmed är det av intresse att se om läroboksförfattarna tagit del av den utvecklingen och anpassat böckerna efter vad elever har svårt med. Detta examensarbete ger även lärare möjligheten att få en holistisk syn hur matematikämnet har förändrats över tid. Det ger också nya lärare bättre förståelse för hur äldre lärare som varit verksamma under tidigare läroplaner tänker och tolkar kursplanen. Ur ett lärarperspektiv får också studien en djupare innebörd genom att ge insyn i hur matematiklärare kan se och analysera läroböcker. En svaghet i examensarbetet är att tidsaspekten gör att analysen enbart fokuserar på endast ett matematiskt begrepp. Slutligen kommer läroboksanalysen fokusera på första kursen i matematik som läses av elever på Samhällsvetenskapsprogrammet. Kursen valdes i och med att Samhällsvetenskaps-programmet har funnits sedan 1970. SamhällsvetenskapsSamhällsvetenskaps-programmet var mellan 2018 och 2019 det största programmet med 40 268 elever. Sammanlagt var 255 084 elever antagna på gymnasieskolan (Skolverket, 2019).
10
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med examensarbetet är att bidra med en förståelse för hur läroböcker från olika läroplaner har behandlat proportionalitetsbegreppet. Studien syftar till att undersöka om det finns en skillnad i läroböcker över tid. Studien fokuserar på variationen av exempeluppgifter som rör proportionalitetsbegreppet i läroböcker och hur läroboksförfattarna väljer sina lösningstekniker till exempeluppgifterna så att elever får öva sin matematiska förmåga på ett varierat sätt. Den komparativa studien är till för att fylla den luckan som finns inom forskningsfältet med en analys av proportionalitetsbegreppet. Examensarbetets analys baseras på läroböcker från olika läroplaner från 1970 till 2011 med avseende på första matematikkursen på Samhällsvetenskapsprogrammet.
Examensarbetet ämnar att besvara följande frågeställningar:
1. Vilka skillnader finns mellan läroböckers exempeluppgifter från Lgy70 till Gy11 gällande fördelningen av uppgiftstyper rörande proportionalitet?
2. Vilka skillnader finns mellan läroböckers exempeluppgifter från Lgy70 till Gy11 gällande fördelningen av lösningstekniker rörande proportionalitet?
11
3. Teoretiska perspektiv
Begreppen Praxis och Logos från Anthropological Theory of the Didactic (ATD) är till för att beskriva analysverktyget som används i detta examensarbete. Detta examensarbete använder även didaktisk transposition, som är en subteori till ATD (Chevallard, 2019). Didaktisk transposition är ett begrepp som används för att beskriva transponering av kunskap i skolan. För att läsaren ska få en insikt i hur kunskapen bildas och väljs ut i läroböcker används didaktiskt transposition som ett teoretiskt begrepp.
3.1 Analysverktyg skapat från ATD
Yves Chevallard (1946-) är en fransk forskare inom matematikdidaktik. Mitt analysverktyg är skapat från ett ramverk som är en del av Anthropological Theory of the Didactic (ATD) (Chevallard, Bosch, & Kim, 2015). Lundberg (2011) har i sin studie skapat ett analysverktyg från ett ramverk som är en del av ATD. ATD är en modell för att beskriva matematisk kunskap och hur kunskap är kopplad till matematiska institutioner. För att få en förståelse för hur uppgifterna väljs ut i läroböcker krävs det att från en aspekt från ATD beskriva den institution som svensk skolmatematik vilar på. Praxeologi är en del av ATD och det beskrivs som att forskaren undersöker relationen mellan den mänskliga handlingen (alltså läroboksförfattarnas tolkning av styrdokumenten) till den sociala institutionen (där styrdokumenten bildas) (Pansell & Björklund Boistrup, 2018). Pansell och Björklund Boistrup (2018) skriver att ”ATD has been used to study didactic phenomena located in different social practices” (s. 545). De didaktiska fenomenen innesluts av den kunskap som finns i läroböckerna, läroböckerna har anpassat sig så att den kunskap som finns i kursplanerna blir undervisningsbar.
3.1.1 Praxis & Logos
Praxis och Logos i ATD delar upp kunskap i matematikuppgifter i två komponenter: ett
praktiskt block och ett teoretiskt block. (Lundberg, 2011). Chevallard (2019) skriver att kunskap är en förening av både det praktiska blocket och det teoretiska blocket. Dessa två
12
komponenter är till för att beskriva hur matematisk kunskap är organiserad som en mänsklig aktivitet (Pansell & Björklund Boistrup, 2018).
Praxis-know how är den första komponenten och beskrivs som det praktiska blocket (Pansell
& Björklund Boistrup, 2018). Praxis delas in i två undergrupper: Uppgift och Teknik. Kategorin Uppgift delar in uppgifterna beroende på vilken typ av uppgift som ska analyseras.
Teknik är den lösningsteknik som tillämpas på uppgiften. Tanken är att eleverna ska veta hur
en viss typ av uppgift ska lösas (Lundberg, 2011).
Logos-know why är den andra komponenten och innefattar det teoretiska blocket. Logos har
undergrupperna teknologi och teori (Pansell & Björklund Boistrup, 2018). Logos ”innefattar
teorier och teknologier som motiverar, bevisar och avgränsar aktiviteten” (Lundberg, 2011,
s.54). Teknologi (detta får ej blandas ihop med Praxis kategori teknik) ses som mer abstrakt och allmän och syftar till förklarandet av lösningsmetoder som ofta hör till matematiska bevis (Chevallard, et al., 2015). Lundberg (2011) skriver att undergruppen teori förklarar och motiverar tekniken (Praxis) på ett djupare plan. Pansell och Björklund Boistrup (2018) skriver: ”Theory creates a discursive environment for Praxis” (s.546). Tabell 1 visar uppdelningen mellan Praxis-know how och Logos-know why. Praxis är exempelvis när läraren endast visar hur eleverna ska lösa vissa typer av uppgifter. Logos är kunskap som elever får när läraren förklarar varför uppgifterna kan lösas på vissa sätt. Tillsammans utgör de kunskapen för att elever ska förstå matematiska begrepp fullständigt.
Tabell 1. Uppdelning av Praxis-know how och Logos-know why. (Lundberg, 2011, s.54)
”Know-How” Uppgiftstyp (Type of task)
Teknik (Techniques)
”Know-Why” Teknologi (Technology)
13
3.2 Didaktiskt transposition
Vetenskapens mål är att ta fram ny kunskap. Tanken med skolan är att reproducera den kunskap som redan finns i vetenskapen till eleverna. Att vetenskapens kunskap väljs ut och omvandlas till att utgöra den kunskapen som eleverna ska lära sig i skolan kallas för didaktisk transposition (Chevallard, 2019). Detta betyder att matematisk kunskap transponeras från olika etapper i skolan som institution tills den når ut till eleverna (Lundberg, 2011). För att förstå varför det kommer nya läroböcker behöver man som läsare därmed få en beskrivning av hur skolans utveckling och läroplansreformer har sett ut (detta beskrivs längre fram i avsnitt: Tidigare forskning). Chevallard (2019) beskriver den didaktiska transpositionen som bildandet av matematisk kunskap för elever och att kunskap förmedlas och skapas i fyra områden: 1. Institutionell kunskap. 2. Kunskap som ska undervisas. 3. Kunskap som undervisas. 4. Kunskap som elever lär sig.
3.2.1 Institutionell kunskap
Institutionell kunskap är den kunskap som forskare eller matematiker utvecklar (Lundberg, 2011). Lundberg skriver att den existerande kunskapen måste väljas ut från matematiken. Chevallard (2019) beskriver olika discipliner som exempelvis fysik, matematik och kemi. Kunskapen som finns inom de olika disciplinerna är skapad av människan. Matematik som ämne har en flertusenårig historia och utvecklas ständigt. Chevallard (2019) skriver att all existerande kunskap inom disciplinen är för bred i ett skolsammanhang. Därmed måste kunskap som ska läras ut i skolan väljas ut från den institutionella kunskapen.
3.2.2 Kunskap som ska undervisas
Kunskap som ska undervisas är den kunskap som beskrivs och utformas i skolans styrdokument. Travers och Weinzveig (1999) kallar detta område inom den didaktiska transpositionen för den avsedda läroplanen. Läro- och kursplaner utformas på ett nationellt plan. Det är Skolverket med uppdrag från regeringen som utformar läro- och kursplaner. I läro- och kursplanen formuleras ämnets specifika innehåll och mål. Kunskapen som ska förmedlas behöver konkretiseras för att skolan ska bli likvärdig. Läro- och kursplanen är till
14
för att lärare ute på skolorna ska kunna organisera sin undervisning. Valet av skola för elever ska inte avgöra vilken kunskap som förmedlas (Linde, 2012).
3.2.3 Kunskap som undervisas
Travers och Weinzveig (1999) beskriver denna delen av den didaktiska transpositionen som den implementerade läroplanen. I den implementerade läroplanen sker tolkningen av läro- och kursplanerna av rektorer, lärare, läromedelsförfattare och elever. Muhrman (2016) skriver att det finns olika faktorer som avgör hur läraren tolkar läro- och kursplanen. Lärarens ideal, utbildning och socioekonomiska bakgrund kan ligga till grund för hur läraren skapar sin undervisning. Lundgren, Svingby och Wallin (1983) skriver att lärarens analys av läro- och kursplaner påverkas av hens pedagogiska grundsyn där fyra komponenter avgör vad läraren utformar i sin undervisning. Dessa fyra komponenter är: 1. Kunskap – lärarens syn på vad eleven ska lära sig, beroende på vilken kunskap läraren själv har från tidigare utbildning. 2. Inlärning och didaktik – hur lärarens didaktik är utformad, vad läraren anser är ett lämpligt upplägg för kursen. 3. Människosyn: Lärarens syn på elevgruppen påverkar hur hen utformar undervisningen. 4. Samhället: Hur läraren anser att kunskapen för eleverna ska gynna dem i livet i samhället och arbetslivet. Därmed blir det lärarens egna grundsyn på samhället och vad läraren anser som relevant kunskap som blir avgörande för vad eleverna verkligen lär sig i skolan. Läromedelsförfattarna är därmed de som står för analysen av läro- och kursplanerna där läroböckerna är deras tolkning av vad som ska läras ut (Lundgren, et al., 1983).
3.2.4 Kunskap som elever lär sig
Den sista delen av den didaktiska transpositionen beskriver Travers och Weinzveig (1999) med den uppnådda läroplanen. Den uppnådda läroplanen är den kunskap som eleverna tillägnar sig i undervisningen. Eleverna kan exempelvis tillägna sig kunskap från lärarens genomgångar eller från läroboken, dessa är sändare av kunskap till eleverna. Från elevers perspektiv är det vad de har uppfattat av själva undervisningen, den kunskap som eleverna skapar hos sig själva. Här är det viktigt att påpeka att det som elever möjligen uppfattar är inte alltid det som läraren, eller i detta fallet läroboksförfattarna vill förmedla (Linde, 2012).
15
4. Tidigare forskning
Med hjälp av tidigare forskning är tanken att läsaren ska få en större förståelse av proportionalitetsbegreppet. Tanken är också att läsaren ska få en större inblick av den svenska skolan som institution. Slutligen ska läsaren också få ta del av tidigare forskning gällande proportionalitet i skolan. Jag har valt att söka i tre databaser: Malmö Universitets Libsearch, Education Resources Information Center (ERIC) via EBSCO information services och SwePub. Urvalet begränsades till söksträngen i Libsearch och SwePub: Proportionalitet,
Gymnasieskolan OR Gymnasieskola, Läromedel. Sökningen gav sju träffar i Libsearch och
tjugo träffar i SwePub där Lundbergs (2011) och Magnussons (2014) licentiatavhandlingar valdes ut. I SwePub användes även söksträngen mathematics, teacher, textbook education med 34 sökträffar, där fann jag Pansells och Björklund Boistrups (2018) artikel. I ERIC användes söksträngen: proportionality, upper secondary*, mathematics textbook (134 träffar) och här fann jag Lundbergs och Hemmis (2009) artikel. Från dessa artiklar användes ”snöbollsmetoden” för att finna andra artiklar som var relevanta för arbetet (Bryman, 2011).
4.1 Institutionell kunskap
Ordet proportionalitet kommer från latin ”pro portione” och översatt till svenska betyder det ”andel”. Hatami (2007) skriver att proportionsläran har varit ett begrepp inom matematiken långt bak i tiden. Euklides (325 f.Kr.-265 f.Kr.) Elementa nummer fem innefattas av proportionsläran. I Elementa delades proportion upp i antingen aritmetisk eller geometrisk proportion (Lundberg, 2014). Kiselman och Mouwitz (2008) definierar begreppet proportionalitet som ”ett samband mellan två storheter sådant att kvoten mellan storheterna är konstanta” (s.98). Magnusson (2014) beskriver proportion som att den uppfyller olika egenskaper. I Figur 1 nedan presenteras proportionalitetsbegreppets olika egenskaper.
16
Figur 1. Figuren visar olika egenskaper av en proportion (Magnusson, 2014, s. 28).
Magnusson (2014) skriver att elever ofta stöter på sammansatta storheter i svenska läroböcker (exempelvis m/s, km/h, kr/antal). Det är ett så kallat paraplybegrepp och kan sammanbindas med proportion. I läroböcker kan elever lösa sådana problemuppgifter med hjälp av ett proportionellt resonerande. Ett exempel är: Kalle springer 3 m på 2 sekunder. Hur långt har han sprungit om han har sprungit i 6 sekunder? Sambandet kan sättas upp genom !"= $% , eleven kan lösa problemet med flera olika lösningstekniker, men tanken är att lösa ut x som blir 9 m.
4.2 Kunskap som ska undervisas
För att få en förståelse för hur kunskapen förmedlas genom den didaktiska transpositionen (Chevallard, et al., 2015) presenteras de olika läroplansreformerna för gymnasieskolan för att som läsare få en bakgrund till varför nya läroböcker lanseras.
4.2.1 Lgy70
Tanken med läroplansreformen var att få ungdomar från grundskolan att fortsätta sina studier med minst två år. Gymnasiet blev tvådelat där den ena sidan var högskoleförberedande och den andra sidan var yrkesförberedande (Muhrman, 2016). I Lgy70 beskrivs kursplanen i matematik för första året på Samhällsvetenskapsprogrammet med exakt det stoff som skulle
17
studeras, det fanns även med en timplan. Beskrivningen för läraren var väldigt utförlig (Skolöverstyrelsen, 1971).
4.2.2 Lpf94 & Gy2000
I början av 1990-talet skedde en decentralisering där kommunerna fick ansvaret för skolorna istället för staten. Kommunerna blev arbetsgivare för lärarna istället för staten, de fick också eget ansvar att fördela statsbidraget på olika ansvarsområden i kommunen. År 1994 skedde en läroplansreform i Sverige där syftet med Lpf94 var en ökad måluppfyllelse. I Lgy70 hade läroplanen som uppgift att fördela resurser (Lundberg, 2011). Reformen av skolsystemet som skedde under 1990-talet är en av Sveriges största skolreformer. För att sammanfatta vad som hände under 1990-talet fick svenska skolan ett nytt betygssystem och läroplan. Styrningen av skolan omfördelades där kommunerna fick mer makt (Bjerneby Häll, 2006). En annan skillnad var att yrkesprogrammen blev treåriga istället för tvååriga (Lindberg & Grevholm, 2013).
I Lpf94 infördes kunskapsmål där läraren gavs större möjlighet för egen tolkning vid bedömningen av eleverna och hur undervisningen skulle utformas. Ramarna som lärarna skulle hålla sig efter mjuknades upp (Muhrman, 2016). Lpf94 var en läroplansreform, men Gy2000 var ingen reform utan en uppdatering av Lpf94. I detta examensarbetet behandlas dock Gy2000 som en läroplansreform i och med att en lärobok analyseras efter införandet av Gy2000. Det ansågs relevant att uppdatera och förtydliga programmålen i Gy2000. Kursplaner bearbetades och moderniserades i Gy2000 (Skolverket, 2000). Mellan Lpf94 och Gy2000 skedde inga stora förändringar. En förändring var att betygskriterierna ligger i kursplanen i Gy2000. Betygskriterierna ligger i ett eget dokument i Lpf94. Vid införandet av Lpf94 hette den första kursen Matematik A (Skolverket, 2000; Utbildningsdepartementet, 1994).
4.2.3 Gy11
I Gy11 togs Lpf94s kunskapsmål bort och byttes ut mot centralt innehåll istället. De hade dock samma innebörd men olika namn. Det centrala innehållet beskriver tydligt det stoff som ska ingå i kursen. Under samma tid som Gy11 infördes lärarlegitimation vilket innebar att
18
endast legitimerade lärare hade rätt att sätta betyg. Tanken med Gy11 var att den skulle vara tydligare än tidigare kursplaner och striktare än Lpf94 och Gy2000 (Persson, 2009). De teoretiska programmen i Gy11 ska förbereda eleverna till högre utbildning. En stor förändring var att matematikkurserna förändrades. I första matematikkursen skedde en förändring genom att den anpassades för programmet eleven gick på. Första
matematikkursen delades upp i 1a (yrkesprogram), 1b (exempelvis
samhällsvetenskapsprogrammet) och 1c (exempelvis naturvetenskapsprogrammet) (Skolverket, 2011). Lindberg och Grevholm (2013) skriver att det finns en problematik då detta system utestänger elever för vidare studier då kurserna är specifika för programmen. Det blir problematiskt för elever på yrkesprogrammen om de vill läsa högre matematikkurser.
4.3 Kunskap som undervisas
Pansell och Björklund Boistrup (2018) skriver att matematiken i skolan har en stark tradition och att läroboken spelar en stor roll i svensk undervisning. Ett exempel på att läroboken är central i undervisningen är att matematiklärare använder sig av läroboken som en mall, och de muntliga genomgångarna speglas av vad som står i läroboken. Pansell och Björklund Boistrup skriver att läroboken i undervisningen kan ha en indirekt påverkan, då den underlättar undervisning och är en del av lärarens undervisningsunderlag. Den kan också ha en direkt påverkan på undervisning om den enbart utgör det undervisningsunderlaget som läraren använder. Lundberg (2011) skriver att det finns ett problem med att enbart använda sig av läroboken som undervisningsmaterial. En aspekt är att läroboken sällan bjuder in till kunskap som finns i styrdokumentens strävansmål. I Sverige är läroboken ett dominerande undervisningsunderlag. Därmed är det läroboksförfattarnas tolkning av kursplanen som når eleverna om inte läraren använder sig av annat undervisningsmaterial (Johansson, 2006).
4.3.1 Analys av proportionalitet i läroböcker
Brändströms (2005) studie har analyserat tre läroböcker för elever i årskurs sju från Lgr94. Studien visade att alla tre läroböcker har samma svaghet när det gäller uppgifterna, uppgifterna skiljer sig väldigt lite åt rent svårighetsmässigt. Studien visade att det fanns för få lätta uppgifter och för få av den svårare typen. Att uppgifterna är på samma svårighetsnivå resulterar i att eleverna får en alltför ensidig undervisning. Brändström skriver att det är
19
problematiskt att läraren inte blint kan förlita sig på läroboken utan att det krävs en analys av läroboken i förhållande till kursplanen.
Johanssons studie (2006) visar att läroboksförfattare i vissa fall inte följer kursplanen strikt. Läroboksförfattarna väljer själva vad som ska finnas med i läroboken. Johansson såg också ett problem att nya upplagor endast är reviderade efter läroplansreformerna. Läroböckerna innehåller i stort sett samma uppgifter, skillnaden är att man lagt till eller tagit bort något kapitel. ”Det finns indikationer på att läromedlen följt traditionen från den gamla läroplanen” (Lundberg, 2011, s.120). Lundberg menar att innehållet för tidigare läroplaner finns kvar i läroböcker för nya läroplaner, om inte författarna skapar helt nya läroböcker med nya uppgifter. I Lundbergs (2011) licentiatuppsats har tre läroböcker och nationella prov i Matematik A för Gy2000 analyserats med fokus på proportionalitet. Resultaten av studien visade att det fanns skillnader på vilken typ av uppgifter som fanns i läroböckerna i jämförelse med de nationella proven. Studien visar att en fjärdedel av uppgifterna innehåller proportionalitet både i nationella proven och i läroböckerna. Lösningarna av uppgifterna var mer ensidiga i läroböckerna i jämförelse med nationella proven.
Jäders (2019) avhandling är baserad på fem studier. Jäder undersöker problemlösning i läroböcker. Han jämförde tolv länders läroböcker, där han såg att läroböckerna är snarlika varandra. Läroböckerna visar samma begränsning av ensidiga uppgifter som Lundberg (2011), Brändström (2005) samt Lundberg och Hemmi (2009) visar i sina studier. Jäder (2019) undersökte problemlösning, Lundberg (2011) proportionalitetsbegreppet och Brändström (2005) undersökte alla uppgifter baserat på uppgifternas svårighetsgrad.
En studie i Mexiko undersökte proportionellt resonerande för lärare i grundskolan. Studien visade att lärare för de lägre åldrarna hade sämre förmåga att lösa uppgifter med proportionalitet jämförelsevis med lärare från högstadiet. Synen på proportionalitet var att begreppet utvecklades primärt hos eleverna genom att sättas in i olika kontexter (Lamon, 2007). Lamon listade åtta punkter som tillsammans utgör förståelse för proportionalitet: 1. Använda proportionalitet som en matematisk modell för problem från verkligheten. 2. Skilja uppgifter åt med proportionalitet som modell och se om man kan använda proportionalitet
20
eller inte. 3. Uttrycka förhållandet mellan två storheter. 4. Kunna skilja på 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 och 𝑦 = 𝑘𝑥. 5. Förstå att proportionalitet kan uttryckas med en graf, alltså en rät linje genom origo. 6. Förstå sambanden mellan 𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑥", 𝑦 = 𝑘𝑥!. 7. Förstå k som riktningskoefficient där två variabler som storheter är en proportionalitet. 8. Att en omvänd proportionalitet kan ritas som en hyperbel.
I Miyakawa och Winsløws (2009) studie undersöktes proportionalitet hos elever i tidiga skolåldern i Japan. Studien visar att elever stöter på statisk proportionalitet redan i yngre skolåldern i grundskola, där har vissa elever svårt med det proportionella resonerandet då de löser problemen med aritmetisk räkning istället för metoder som hör till proportionalitet. På högstadiet och gymnasiet stöter eleverna på dynamiskt proportionella matematikuppgifter mer frekvent. Enligt Lundberg (2011) har svenska elever samma upplägg med statiska proportionalitetsuppgifter i tidigare skolåren och har samma slags problem när det kommer till det proportionella resonerandet. Statisk och dynamisk proportionalitet presenteras senare i metodavsnittet.
4.4 Kunskap som elever lär sig – Vergnauds perspektiv
Gérard Vergnaud (1933- ) är en forskare inom matematikdidaktik. En stor del av hans forskning syftar till hur just elever lär sig och förstår proportionalitet. Vergnaud (1983) har utformat ett ramverk som heter Conceptual fields (CF). Tanken bakom CF är att forskare ska kunna analysera elevers matematiska utveckling genom elevers lärande och erfarenhet. CF härrör från ett Piagetanskt perspektiv. Vergnaud (1994) skriver att utmaningen i matematikundervisningen är att begrepp är sammanbundna med problem och situationer. En tanke bakom CF är att ett matematisk begrepp alltid utvecklas tillsammans med tidigare kunskap och aldrig isolerat utan förkunskaper om tidigare begrepp. Eftersom didaktiken är komplex skriver Vergnaud (1994) att den teoretiska ramen som forskare arbetar från också bör vara komplex. En del av CF är ett ramverk som beskriver multiplikativa begreppsfält (Multiplicative Conceptual Fields). Det multiplikativa begreppsfältet involverar bland annat division, multiplikation, linjära funktioner, förhållande, bråk, kvot och rationella tal, dimensionsanalys och sammansatta storheter (Lundberg, 2011). Från ett matematiskt perspektiv är tanken bakom analysen av multiplikativa begreppsfält att ställa sig frågan:21
Vilka funktioner är centrala för utvecklandet av elevernas färdighet? När forskaren analyserar multiplikativa begreppsfält omfattas elevers lärande också av ett psykologiskt perspektiv då elevernas tidigare kunskaper och idéer omvandlas till begreppsförståelse och att denna begreppsförståelse kan generaliseras och lösa många klasser av problem (Vergnaud, 1983).
22
5. Metod
5.1 Metodval
För att besvara frågeställningarna i arbetet valdes innehållsanalys som ett angreppssätt. Innehållsanalys valdes i och med att undersökningen krävde en metod som kunde kvantifiera läroböckernas uppgifter. Bryman (2011) skriver att innehållsanalys ”är en metod som rör analys av dokument och texter där man på ett systematiskt och replikerbart sätt vill kvantifiera innehållet utifrån kategorier” (s.282). För att besvara mina frågeställningar krävdes ett urval av olika läroböcker från skolan mellan 1970 och 2011. I och med att examensarbetet ska göras på ungefär tio veckor fokuserades arbetet enbart på att kategorisera och jämföra lösningstekniker och uppgiftstyper i läroböckernas exempeluppgifter rörande proportionalitet.
På grund av att arbetet fokuserar på hur läroboken har förändrats, fokuseras analysen inte på elevlösningar då uppgifter ofta kan lösas på flera sätt. Det är däremot läromedelsförfattarnas förslag av lösningstekniker i exempeluppgifterna som är av vikt att analysera för att besvara frågeställningarna. Exempeluppgifterna är de uppgifter som presenteras i början av varje delkapitel och där läromedelsförfattaren har exempel på lösningstekniker. Om en exempeluppgift innehåller flera uppgifter beräknas dessa enskilt, alltså en exempeluppgift med tre delfrågor beräknas som tre uppgifter. För att innehållsanalysen ska bli konkret användes en analystyp som Bryman (2011) kallar för kodningsschema. Den analystyp som arbetet använder sig av är ett analysverktyg utarbetat av Lundberg (2011). Bryman (2011) skriver att kategoriseringen av analysverktyget är viktigt. För det första måste det finnas diskreta åtskilda dimensioner. Med diskreta åtskilda dimensioner menar Bryman att kategoriseringarna bör vara åtskilda så att de inte överlappar varandra. Analysverktyget ska också ha en hög grad av koherens i den bemärkelsen att undersökningen ska vara lätt att replikera.
Med hjälp av tidigare forskares uppdelning (Lundberg, 2011; Cramer & Post, 1993; Miyakawa & Winsløw, 2009) av olika slags kategorier rörande proportionalitet användes ett
23
tidigare framställt analysverktyg som fungerade för arbetet. I resultatet kommer studien framställas med resultat och tabeller så att läsaren tydligt kan se skillnaden mellan läroböckerna. Med hjälp av univariat analys presenteras resultatet med frekvenstabeller och diagram (Bryman, 2011).
5.2 Presentation av Lundbergs (2011) analysverktyg
Lundberg (2011) använder sig av begreppen Praxis och Logos (se avsnitt: Teoretiska
perspektiv) för att skapa sitt analysverktyg som används för att analysera läroböcker,
elevlösningar och nationella prov med fokus på proportionalitet. Logos låter Lundberg utgöra en kategori då det är sällsynt med bevis i Matematik A. Lundberg låter därmed teknologi och teori utgöra en kategori som kallas för enbart Teori. Praxis delar Lundberg upp i två kategorier: Uppgift och Teknik. Teknik är den lösningsteknik som används i matematikuppgifterna. Uppgift beskriver exempeluppgifternas typ av uppgift. Nedan visas
Figur 2 som är Lundbergs analysverktyg.
Figur 2. Figur 2 visar en översikt av Lundbergs analysverktyg (Lundberg, 2011, s. 60). 5.3
24
Den första kategorin: Uppgift (en del av Praxis) är hämtad från Cramers och Posts (1993) studie. Denna kategori beskriver uppgifternas typ, alltså deras egenskap. Uppdelningen är:
saknat värde; bestäm k; numerisk jämförelse; kvalitativ förutsägelse & jämförelse.
Sammansatta storheter som exempelvis m/s eller kr/styck är under samma kategori som
Bestäm k (Magnusson, 2014).
Tabell 2. Uppdelning av proportionalitetsuppgifter från kategori Uppgift.
Uppgift (Uppdelning av olika proportionalitetsuppgifter) Allmänt Exempel Saknat värde (SV) + ,= -. , a, b och c är givna tal, bestäm d. Alternativt 𝑘 ∗ 𝑥 = 𝑦, k och x är givna bestäm y. Exempel: 789 ="8 . , bestäm d. Alternativt 0.2 ∗ 5 = 𝑦. Numerisk jämförelse (NJ) 12𝑎 4𝑎 = 3𝑎 𝑎 Eleven ska förstå
sambandet att !%7" är samma som 7"!
Bestäm k (BK) y = k ∗ x, y och x är givna
tal, bestäm k.
50 = 5 ∗ k, bestäm k
Kvalitativ förutsägelse och jämförelse (KFJ)
Lundberg (2011) skriver att det ”är en jämförelse mellan två förhållanden utan givna numeriska värden” (s.65).
Sant eller falsk-frågor:
”Om y är omvänt
proportionell mot x så är produkten 𝑥 ∗ 𝑦 konstant, dvs 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑘”
25
5.4 Lösningsteknik
Den andra kategorin: Teknik (en del av Praxis) beskriver lösningstekniken som används för att lösa en uppgift. Teknik är uppdelad i sex grupper:
1. Vägen över ett
2. Sambandsmultiplikation 3. Proportion
4. Korsvis multiplikation 5. Koefficient
6. Övriga tekniker
Lundberg (2011) beskriver de olika lösningsteknikerna med följande uppgift: ”Om 18 meter tyg kostar 189 franc vad kostar 13 m tyg?” (s. 66)
5.4.1 Vägen över ett (V1)
Uppgiften räknas ut genom att först ta reda på vad en meter tyg kostar genom att ta 7EF7E och sedan multiplicera med 13 meter tyg. Från Björk, Brolin och Ljungström (1984) finns ytterligare ett exempel på V1, se Figur 3 nedanför.
Figur 3. Exempel på Vägen över ett från Björk et al. (1984, s.56)
5.4.2 Sambandsmultiplikation (SM)
Lundberg (2011) beskriver Sambandsmultiplikation (SM) som att ”Skillnaden mot de andra teknikerna att inte nämna förhållande eller proportionalitet i lösningen” (s. 67). Först och
26
främst är uppställningen i samma enhet, i detta fallet meter, därmed räknas 7!7E först och sedan multipliceras kvoten med 189. Från Alfredsson (2011) ges ytterligare ett exempel på SM, se Figur 4 nedanför.
Figur 4. Exempel på sambandsmultiplikation i 2201. b. från Alfredsson (2011, s. 97).
5.4.3 Proportion (P)
Proportionalitet (P) löses med ett proportionellt samband som: 7EF7E = 7!G. Sedan multipliceras båda sidorna med 13 så att y blir ensamt i högerled 7EF7E ∗ 13 = 𝑦. I detta fallet innehåller uppställningen två olika enheter, meter och franc. Från Alfredsson (2011) ges ytterligare ett exempel på P, se Figur 5 nedanför.
27
5.4.4 Korsvis multiplikation (KM)
Korsvis multiplikation (KM) löses med hjälp av att först sätta upp sambandet med 7EF7E = 7!G. Och sedan utföra korsvis multiplikation genom 189 ∗ 13 = 𝑦 ∗ 18 och sedan 7EF∗7!
7E = 𝑦.
5.4.5 Koefficient (K)
Koefficient (K) löses genom att först beräkna om till enheter franc/m, i detta fallet att tyget
kostar 7EF7E franc/m. Då kostar 13 meter tyg 13 ∗7EF7E. I detta fallet är 7EF7E ändringskoefficienten
k och y är pris och x är antal meter. Från Björk, Brolin och Ekstig (1994) ges ytterligare ett
exempel på K, se Figur 6 nedanför.
Figur 6. Exempel på koefficient från Björk et al. (1994, s. 329)
5.4.6 Övriga tekniker (ÖT)
Beskriver Lundberg (2011) som att det kan innefatta en grafisk metodräkning. Genom att sätta upp 𝑦 =7EF7E 𝑥 i exempelvis en grafräknare och se vad y är när 𝑥 = 13. Från Björk et al. (1994) ges ytterligare ett exempel på ÖT, se Figur 7 nedanför.
28
Figur 7. Exempel Övriga tekniker, här en utläsning från graf, från Björk et al. (1994, s.
325)
5.5 Statisk och dynamisk proportionalitet
Den tredje kategorin (en del av Logos) teori är uppdelad i Statisk proportionalitet och
Dynamisk proportionalitet. Tanken med denna kategori är att dela upp exempeluppgifterna i
två olika grupper av proportionalitet. Statisk proportionalitet kan beskrivas med uttrycket J
K= L M =
N
O. Om 𝑎, 𝑏, 𝑐 och 𝑒 är fixerade tal betyder det att att 𝑑 och 𝑓 ska anta värden så att kvoten för ML och ON blir samma som kvoten för JK (Miyakawa & Winsløw, 2009). Ett exempel är förhållandet mellan par av sträckor i likformiga trianglar (Lundberg, 2011). Magnusson (2014) skriver att ”vid statisk proportionalitet görs jämförelser av 4 storhetsvärden vilket inte är fallet med dynamisk proportionalitet” (s. 43). Ett exempel på dynamisk proportionalitet är funktionen 𝑦 = 𝑘 ∗ 𝑥, 𝑦 och 𝑥 är variabler och 𝑘 är en konstant. 𝑘 kallas för riktningskoefficienten i funktionen. I gymnasiematematiken antar variablerna reella värden. Om variablerna 𝑥 och 𝑦 har ett fixt förhållande och 𝑘 är en fix konstant är detta ett exempel på dynamisk proportionalitet (Miyakawa & Winsløw, 2009). Ett annat exempel på dynamisk
proportionalitet är uppgiften: Nils går och köper godis, han betalar 20 kr för 2 hektogram, hur mycket är kilopriset?
29
5.6 Genomförande
Detta examensarbete har följt Brymans (2011) steg av process vid kvantitativ forskning. Processtegen består av: 1. ”Teori. 2. Hypotes/frågeställning. 3. Undersökningsdesign. 4. Utformning av mått på begreppen. 5. Val av platser där forskning ska göras. 6. Val av respondenter. 7. Tillämpning av undersökningsinstrumenten för datainsamling. 8. Bearbetning av data. 9. Resultat/slutsatser. 10. Formulering av resultat och slutsatser” (s. 150).
Den första punkten och sista punkten hänger samman i och med att teorin bakom undersökningen hör ihop med hur forskaren formulerar frågeställning, redovisar resultatet och drar slutsatser. Den andra punkten vid val av frågeställning framställdes när jag valde angreppsätt för undersökningen, alltså att undersökningen skulle fokuseras på exempeluppgifterna i läroböckerna. Bryman (2011) skriver att det mest förekommande angreppssättet vid studier av text är innehållsanalys. Detta examensarbete följer denna tradition och använder därmed innehållsanalys. I den fjärde punkten togs tidigare forskning (Chevallard, 2019, Lundberg, 2011) till hjälp för att beskriva begrepp som används i analysverktyget. Punkt fem och punkt sex är självklara då examensarbetet syftar till att analysera läroböcker. Punkt sju utformades med inspiration från Lundbergs (2011) studie där hon tagit hjälp av tidigare forskare för att utforma sitt analysverktyg med utgångspunkt från ett ramverk som grundar sig i ATD (Anthropological Theory of the Didactic).
Pansell & Björklund Boistrup (2018) har också analyserat läroböcker och de använde sig av ett ramverk som är en del av ATD, därmed stöttades mitt teoretiska perspektiv med ytterligare forskning. När analysverktyget för examensarbetet var utvalt valdes angreppsättet för undersökningen. Exempeluppgifterna i läroböckerna som innehöll någon form av proportionalitet utgjorde analysenheterna. Punkt åtta utfördes genom en bearbetning av data, genom att studera alla läroböckernas exempeluppgifter från början till slut. De uppgifter som inte rörde proportionalitet sållades bort. Den första uppdelningen var om exempeluppgifterna var statiska eller dynamiskt proportionella. I detta sammanhang analyserades exempeluppgiften. Därefter delades uppgifterna in i olika uppgiftstyper, vilken sorts proportionalitetsuppgift som skulle lösas. Till sist analyserades och kategoriserades
30
exempeluppgifternas lösningsförslag med de olika lösningsteknikerna. Arbetet tog hjälp av Excel vid kategorisering i analysen. I punkt nio presenterades kategoriseringen av proportionalitetsuppgifterna i resultatet med hjälp av diagram och frekvenstabeller. Slutligen som beskrivs av punkt tio besvarades frågeställningarna och slutsatser drogs från resultatet.
Efter att analysens resultat presenterades i stapeldiagram användes ett Chi-två-test för undersöka om det fanns en skillnad mellan de olika variablerna. Bryman (2011) skriver att chi-två-testet är till för att se om resultatet i undersökningen beror på slumpen eller om skillnaden är statistisk signifikant. För att göra signifikanstestet togs Excel till hjälp, där ett av verktygen i programmet är chi-två-test.
Arbetet har följt Brymans (2011) struktur gällande signifikanstest:
1. Formulera en nollhypotes: Att det inte finns någon skillnad mellan läroböckerna. 2. Formulera en mothypotes: Att det finns en signifikant skillnad av läroböckernas
innehåll.
3. Bestämma en gräns för signifikansnivån: I arbetet valdes signifikansnivån med 5 procent, vilket betyder att det finns 5 procent risk att nollhypotesen är sann även om den förkastas.
4. Bestämma den statistiska signifikansen med hjälp av Chi-två-test, värdet som framkommer är p, om p<0.05 kan nollhypotesen förkastas och resultatet visar en signifikant skillnad.
5.7 Urval
Det finns många läroböcker ute på marknaden idag. För att välja en lärobok som förekommer ute på gymnasieskolorna tillfrågades fem gymnasieskolor i Malmö, vilken bok som användes i matematik 1b. Tre skolor använde Natur och Kulturs: Matematik 5000 (Alfredsson, 2011) som fysisk lärobok. En av skolorna använde sig av samma lärobok fast som ett digitalt läromedel. Det går inte att säkerställa att denna lärobok är den som förekommer med högst frekvens på alla gymnasieskolor i Sverige. I och med att undersökningen skulle jämföra läroböcker från olika läroplaner valdes Natur och Kulturs serie Matematik för att undersöka
31
om det fanns någon skillnad gällande proportionalitetsuppgifter. Tanken med att välja samma lärobok från serien Natur och kultur var att läroböckerna har utgivits i de fyra läroplansreformer som studien ämnar att undersöka.
Arbetet valde inte att analysera läroböcker från andra bokförlag i och med att det var svårt att ta reda på vilka läroböcker som användes med högst frekvens i tidigare läroplaner. Urvalet av läroböcker skulle kunnat förfinas genom att göra en bredare undersökning av vilken lärobok som använts med högst frekvens. Detta ansågs som svårt då många lärare som varit verksamma på gymnasiet på 1970- och 1980-talet sannolikt har gått i pension. Läroböckerna lånades från Malmö Universitetsbibliotek. Därmed kan undersökningen replikeras genom att böckerna förekommer på bibliotek eller finns att köpa.
De läroböcker som valdes ut för studien var:
1. Björk, L., Brolin, H. & Ljungström, L. (1984). Matematik: gymnasieskolan. 2. Björk, L., Brolin, H. & Ekstig, K. (1994). Matematik 2000: kurs A. Grundbok. 3. Björk, L. (red.) (2000). Matematik 3000: matematik tretusen. Kurs A Grundbok. 4. Alfredsson, L. (2011). Matematik 5000 Kurs 1b grön Lärobok.
5.8 Reliabilitet & Validitet
Innehållsanalysens reliabilitet beskriver Bryman (2011) som ”fast rotad i den kvantitativa forskningstraditionen som lägger tonvikten på mätning och specifikation av tydliga regler som ger reliabilitet” (s.299). Genom att använda ett analysverktyg leder det till ett klart och tydligt resultat. Tidigare har en pilotstudie gjorts av Lundberg (2011) där säkerställandet av reliabiliteten av analysverktyget framställdes med 86 procent reliabilitet av kategorin uppgiftstyp, 94 procent reliabilitet av kategorin Lösningsteknik och 92 procent reliabilitet av kategorin Teori. Enligt Chronbachs Alphas modell som bestämmer graden av bedömar-interreliabiliteten ska nivån för att få en god reliabilitet ligga på minst 80 procent (Bryman, 2011). Därmed ansågs Lundbergs (2011) analysverktyg ha en hög reliabilitet. Innan analysen av läroböckerna påbörjades, prövades först och främst analysverktyget på några slumpvis
32
utvalda proportionalitetsuppgifter och resultatet av dessa jämfördes med Lundbergs analysexempel. Genom att pröva hur Lundberg använde sitt analysverktyget förbättrades noggrannheten i kodningen för denna studie. Genom att analysverktyget är förklarat i detalj anses undersökningen kunna replikeras. Bryman (2011) skriver att hög reliabilitet kan visas genom att undersökningen utförs på nytt av en annan forskare och resultatet blir den samma.
För att stärka validiteten för examensarbetet undersöktes alla avsnitt i läroböckerna, även de avsnitt som inte uttryckligen hade proportionalitet som huvudinnehåll. När varje delkapitel var analyserat lades resultat in i Excel. Examensarbetet har analyserat läroböckernas exempeluppgifter konsekvent två gånger för att säkerställa resultatet. Arbetet bör därmed ha en hög validitet, då Bryman (2011) skriver att den interna validiteten styrs av hur sannolika resultaten är. Sammanfattningsvis har aktiva åtgärder vidtagits för att arbetet ska kunna replikeras samt ha hög tillförlitlighet genom att exempelvis utförligt beskriva analysverktyget.
5.9 Etiska överväganden
Det insamlade materialet för examensarbetet består enbart av läroböcker och läroplaner, alltså behandlas ingen persondata. Läroböcker och läroplaner avser offentligt material. Läroböckerna som granskas går att köpa eller låna på bibliotek. I min analys vill jag poängtera att jag inte är kritisk till själva läromedelsförfattarna utan analysen är avsedd enbart att analysera exempeluppgifternas variation i böckerna. I och med att läroböckerna är från olika tider blir det ingen jämförande kvalitetsaspekt på nutida läroböcker som har en konkurrens mellan sig. Därmed finns det inga andra etiska aspekter som arbetet behöver ta hänsyn till.
33
6. Resultat och analys
I detta kapitel kommer resultat från innehållsanalysen att presenteras. Innehållsanalysen delas upp i två områden. För det första, vilken typ av uppgift som ska beräknas. För det andra, vilken lösningsteknik läromedelsförfattarna väljer att använda sig av för att lösa uppgiften. Examensarbetet har enbart fokuserats på exempeluppgifter. Exempeluppgifter är de uppgifter som finns i början av varje delkapitel i läroböckerna, alltså de avsnitt där läromedelsförfattare presenterar det matematiska området. Först i 6.1 Exempeluppgifter i läroböckerna, kommer innehållsanalysen av läroböckerna presenteras utifrån om exempeluppgifterna är statiskt eller dynamiskt proportionella. Tanken är att läsaren ska få en insikt i vilken typ av proportionalitet som är mest förekommande i första matematikkursen på Samhällsvetenskapsprogrammet.
Därefter presenteras vilken typ exempeluppgifterna är av. I arbetet presenteras resultaten från varje lärobok med ett stapeldiagram där läsaren får se skillnaden mellan läroböckerna. I Avsnitt 6.2 Lösningstekniker i läroböckerna används samma förfarande som avsnitt 6.1
Exempeluppgifter i läroböckerna. De analyserade läroböckerna har varit aktuella under olika
läroplaner för svenska skolan: Lgy70 - Björk et al. (1984), Lpf94 - Björk et al. (1994), Gy2000 - Björk (2000) och Gy11-Alfredsson (2011). I Bilaga 1 finns innehållsanalysen sammanställd.
6.1 Exempeluppgifter i läroböckerna
Först och främst presenteras vilken sorts proportionalitet som finns i läroböckerna med hjälp av statisk och dynamisk proportionalitet som hör till kategorin Teori. Därefter presenteras kategorin Uppgift. Från analysverktyget (se: Tabell 2) är kategorin Uppgift indelad i undergrupperna:
1. Saknat värde (SV) 2. Bestäm K (BK)
3. Numerisk jämförelse (NJ)
34
6.1.1 Statisk och dynamiskt proportionalitet i läroböckerna
Tabell 3. Presentation av exempeluppgifter från de analyserade läroböckerna.Lärobok Exempeluppgifter
totalt i läroboken Exempeluppgifter med proportionalitet. (Procentuell fördelning) Exempeluppgifter av Statisk proportionalitet. (Procentuell fördelning) Exempeluppgifter av dynamisk proportionalitet (Procentuell fördelning) Björk et al. (1984) 397 67 (16,9 %) 22 (32,8 %) 45 (67,2 %) Björk et al. (1994) 476 88 (18,5 %) 15 (17 %) 73 (83 %) Björk (2000) 296 62 (20,9 %) 14 (29,2 %) 48 (70,8 %) Alfredsson (2011) 391 54 (13,8 %) 13 (24,1 %) 41 (75,9 %)
Med en uträkning av den statistiska signifikansen med hjälp av chi-två-testet är p ≈ 0,151, vilket innebär att skillnaden inte är statistisk signifikant. Detta resultat visar att det inte finns någon stor skillnad mellan läroböckerna och därmed kan inte min nollhypotes förkastas.
I Björk (2000) är fördelningen av statisk och dynamisk proportionalitet likartad i jämförelse med Björk et. al (1984) och Alfredsson (2011). Den lärobok som skiljer sig är Björk et al. (1994) där innehållet av statisk proportionalitet är minst. Alfredsson (2011) innehåller minst proportionalitetsuppgifter i förhållande till antalet exempeluppgifter i läroboken. Det som läroböckerna har gemensamt är att dynamisk proportionalitet är den typ av proportionalitet som behandlas med högst frekvens. Läroböckerna är olika omfattande ifråga om hur många exempeluppgifter som presenteras i varje lärobok. Men det är tydligt att läroböckerna är lika med avseende på fördelningen av dynamisk och statisk proportionalitet i exempeluppgifterna.
6.1.2 Jämförelse av typuppgift i läroböckerna
I Figur 8 presenteras den procentuella fördelningen med uppgiftstyp i förhållande till antalet exempeluppgifter rörande proportionalitet i varje lärobok.
35
Figur 8. Procentuell fördelning av uppgiftstyp. n = Totala antalet exempeluppgifter som
behandlade proportionalitet. Björk et al. (1984): n = 67. Björk et al. (1994): n = 88. Björk (2000): n = 62. Alfredsson (2011): n = 54.
Med en uträkning av den statistiska signifikansen med hjälp av chi-två-testet är p ≈ 0,003, vilket innebär att skillnaden är statistiskt signifikant. Detta resultat visar att det finns en skillnad mellan läroböckerna och därmed förkastas min nollhypotes.
Det finns betydligt fler uppgifter rörande proportionalitet i Björk et al. (1994) i jämförelse med Alfredsson (2011). Resultatet visar att från och med Björk et al. (1984) till Björk (2000) skedde det en ökning av proportionalitetsuppgifter fram till Alfredsson (2011) där exempeluppgifter med proportionalitet minskade. Gällande uppgiftstyp finns det ett tydligt samband mellan de analyserade läroböckerna där Saknat värde (SV) är den uppgiftstyp som behandlas med högst frekvens. I Björk et al. (1984), Björk et al. (1994) och Björk (2000) är
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
Björk et al. (1984) Björk et al. (1994) Björk (2000) Alfredsson (2011)
Procentuell fördelning av uppgiftstyp
36
Bestäm K (BK) den uppgiftstyp som behandlas med näst högst frekvens. Alfredsson (2011)
skiljer sig här genom att Numerisk Jämförelse (NJ) är den uppgiftstyp som behandlas med näst högst frekvens. I Björk et al (1984) finns det 1,6 procent Kvalitativ förutsägelse och
jämförelse (KFJ) och i Björk (2000) finns det ingen uppgift av typen KFJ. Här skiljer sig
Björk et al. (1994) och Alfredsson (2011) sig i jämförelse med de andra läroböckerna. De skiljer sig genom att alla uppgiftstyper behandlas med större omfattning, det finns en större variation av uppgiftstyper då staplarna har en jämnare fördelning.
6.2 Lösningstekniker i läroböckerna
I denna kategori har lösningstekniker från varje exempeluppgift analyserats. Exempeluppgifterna kan lösas på flera sätt, men det är läromedelsförfattarnas val av lösningsteknik som analyserats. I Metod beskrivs analysverktyget utförligt men för att diagrammen ska bli tydliga presenteras här undergrupperna till lösningsteknik igen:
1. Vägen över ett (V1).
2. Sambandsmultiplikation (SM). 3. Proportion (P).
4. Korsvis multiplikation (KM). 5. Koefficient (K).
6. Övriga tekniker (ÖT).
6.2.1 Jämförelse av lösningstekniker i läroböckerna
I Figur 9 presenteras den procentuella fördelningen med avseende på antalet exempeluppgifter rörande proportionalitet i läroböckerna.
37
Figur 9. Procentuell fördelning av lösningstekniker. n = Totala antalet exempeluppgifter som
behandlade proportionalitet. Björk et al. (1984): n = 67. Björk et al. (1994): n = 88. Björk (2000): n = 62. Alfredsson (2011): n = 54.
Med en uträkning av den statistiska signifikansen med hjälp chi-två-testet är p ≈ 0,004, vilket innebär att skillnaden är statistiskt signifikant. Detta resultat visar att det finns en skillnad mellan läroböckerna och därmed förkastas min nollhypotes.
I samtliga läroböcker är den vanligaste lösningstekniken Proportionalitet (P). Det som är utmärkande för alla läroböcker är att Korsvis Multiplikation (KM) knappt finns med. Vägen
över ett (V1) finns med i samtliga läroböcker, skillnaden är dock att i Björk et al. (1984) var
4,5 procent av lösningsteknikerna V1. Sedan skedde en minskning ner till 2,2 procent i Björk et al. (1994). Från Björk et al. (1994) fram till Alfredsson (2011) ökade V1 från 2,2 procent till 12,5 procent. Sambandsmultiplikation (SM) används näst flest gånger i alla läroböcker
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
Björk et al. (1984) Björk et al. (1994) Björk (2000) Alfredsson (2011)
Procentuell fördelning av lösningsteknik
38
förutom i Björk (2000) där Koefficient (K) används näst flest gånger. K förekommer med nästintill samma frekvens i Björk et al. (1984) 13,6 procent och Alfredsson (2011) 14,3 procent. Däremot så förekommer den näst flest gånger i Björk (2000) med 22,7 procent. Det finns ett samband mellan Björk et al. (1994) och Alfredsson (2011). Här är exempeluppgifternas olika lösningstekniker mer utspridda. I Björk et al. (1994) och Alfredsson (2011) finns inte en enda uppgift med KM presenterad. I Alfredsson (2011) visar resultatet på att lösningsteknikerna är mer utspridda jämfört med de andra böckerna. Övriga
tekniker (ÖT) förekommer flest gånger i Björk et al. (1994) och i Alfredsson (2011), i dessa
läroböcker lades större vikt vid att presentera en lösning av proportionalitetsuppgifter med hjälp av digitala verktyg eller en bild. Ett exempel är att kunna rita en graf med grafräknaren och läsa av variablernas värde.
39
7. Slutsats och diskussion
I detta avsnitt presenteras först svar på frågeställningarna i form av en sammanställning av resultatet. Sedan kommer resultatet diskuteras utifrån tidigare forskning. Metoden kommer att diskuteras utifrån vilka begränsningar arbetet haft. Slutligen kommer det att ske en redogörelse gällande vilka slutsatser som kan dras och förslag kommer att ges på vidare forskning.
7.1 Svar på frågeställningarna
1. Vilka skillnader finns mellan läroböckers exempeluppgifter från Lgy70 till Gy11 gällande fördelningen av uppgiftstyper rörande proportionalitet?
Läroböckerna skiljde sig avseende mängden exempeluppgifter rörande proportionalitet. Fördelningen av uppgifter rörande dynamisk och statisk proportionalitet skiljer sig inte avsevärt. Det som läroböckerna har gemensamt är att dynamisk proportionalitet är den typ av proportionalitet som behandlas mest i läroböckerna. Resultatet visar att kategorin Uppgift skiljer sig mellan läroböckerna. Björk et al. (1984) och Björk (2000) har en mindre variation gällande uppgiftstyp i jämförelse med Björk et al. (1994) och Alfredsson (2011). Björk et al. (1994) har mest variation gällande uppgiftstyp. Alfredsson (2011) har näst mest variation. Till sist är det svårt att rangordna Björk et al. (1984) och Björk (2000). Därmed beskrivs dessa två böcker i samma fack, med minst variation gällande uppgiftstyp. Björk (2000) innehåller ingen uppgift rörande Kvalitativ förutsägelse och jämförelse (KFJ) till skillnad från de andra läroböckerna som har exempeluppgifter rörande uppgiftstypen. Björk et al. (1984) har enbart 1,6 procent exempeluppgifter av typen KFJ. Saknat värde (SV) är den kategorin som skiljer sig minst mellan läroböckerna, då den i samtliga fall är den uppgiftstyp som har högst frekvens.
2. Vilka skillnader finns mellan läroböckers exempeluppgifter från Lgy70 till Gy11 gällande fördelningen av lösningstekniker rörande proportionalitet?
Resultatet visar på att det finns vissa specifika skillnader. Till att börja med så är Korsvis
40
användes den 4,5 procent av gångerna till skillnad från Björk et al. (1994) och Alfredsson (2011) som inte har en enda uppgift med lösningsteknik KM. I Björk (2000) används KM i 1,5 procent av fallen. Det finns ett tydligt mönster i läroböckerna där Proportionalitet (P) används flest gånger. Den lösningsteknik som används näst flest gånger i tre av läroböckerna är Sambandsmultiplikation (SM). I Björk (2000) används Koefficient (K) näst flest gånger.
Vägen över ett (V1) ökade från Björk (1994) med 2,2 procent till Alfredsson (2011) med 12,5
procent. Läroböckerna har utvecklats och blivit mer benägna att ha en mer variationsrik lösningsteknik med åren. När en jämförelse görs mellan läroböckerna är Björk et al. (1984) den bok som har minst variation gällande lösningsteknik. Björk (2000) har näst minst variation. Den lärobok med mest variation gällande lösningsteknik är Alfredsson (2011) och näst mest variation är Björk et al. (1994). Övrig teknik (ÖT) där grafräknaren används som verktyg, används med högre frekvens i de tre senaste läroböckerna jämförelsevis med Björk et al. (1984).
7.2 Diskussion av resultat
Resultatet för denna studie visar på att det inte finns stora skillnader mellan läroböckerna rörande fördelningen av statisk och dynamisk proportionalitet. Under analysens gång märktes också att vissa uppgifter återkom mellan de olika läroböckerna. Resultatet visade även att dynamisk proportionalitet var den typ av proportionalitet som behandlades mest i de analyserade läroböckerna. Johansson (2006) skriver i sin studie att läroböcker inte har förändrats avsevärt över tid. Detta påstående kunde bekräftas gällande fördelning av dynamisk och statisk proportionalitet. Johanssons påstående kan också delvis bekräftas i analysen då det visade sig att samma uppgifter från tidigare läroböcker återkom emellanåt. Det som är mest likt är fördelningen mellan statisk och dynamisk proportionalitet. Miyakawa och Winsløw (2009) skriver att dynamisk proportionalitet oftare syns i högstadiet och gymnasiet. Statisk proportionalitet hör till geometri som elever i yngre åldrar oftare stöter på. Därmed stämmer Miyakawas och Winsløws påstående väl överens med arbetets resultat, dynamisk proportionalitet är det som behandlas mest i läroböckerna.
För examensarbetets resultat visade det sig att läroböckerna skiljde sig mellan fördelningen av proportionalitetsuppgifter i förhållande till antalet exempeluppgifter. Björk et al. (1984)
